Isi artikel

TURUNAN– turunan dari fungsi tersebut kamu = F(X), diberikan pada selang waktu tertentu ( A, B) pada titik X interval ini disebut batas di mana rasio kenaikan fungsi cenderung F pada titik ini ke kenaikan argumen yang sesuai ketika kenaikan argumen cenderung nol.

Turunannya biasanya dilambangkan sebagai berikut:

Sebutan lain juga banyak digunakan:

Kecepatan instan.

Biarkan intinya M bergerak dalam garis lurus. Jarak S titik bergerak, dihitung dari suatu posisi awal M 0 , tergantung waktu T, yaitu. S ada fungsi waktu T: S= F(T). Biarkan suatu saat nanti T titik bergerak M berada di kejauhan S dari posisi awal M 0, dan pada saat berikutnya T+D T menemukan dirinya dalam posisi M 1 – dari kejauhan S+D S dari posisi awal ( lihat gambar.).

Jadi, dalam kurun waktu tertentu D T jarak S diubah sebesar D S. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa selama periode waktu D T besarnya S menerima kenaikan D S.

Kecepatan rata-rata dalam semua kasus tidak dapat secara akurat mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik M pada suatu saat T. Jika, misalnya, benda berada di awal interval D T bergerak sangat cepat, dan pada akhirnya sangat lambat kecepatan rata-rata tidak akan dapat mencerminkan ciri-ciri tertentu dari pergerakan suatu titik dan memberikan gambaran tentang kecepatan sebenarnya dari pergerakannya saat ini T. Untuk menyatakan kecepatan sebenarnya dengan lebih akurat menggunakan kecepatan rata-rata, Anda perlu mengambil periode waktu yang lebih singkat D T. Paling lengkap mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik saat ini T batas kecenderungan kecepatan rata-rata pada D T® 0. Batas ini disebut kecepatan gerak masuk saat ini:

Jadi, kecepatan gerak pada suatu momen tertentu disebut batas rasio pertambahan lintasan D S untuk menambah waktu D T, ketika pertambahan waktu cenderung nol. Karena

Arti geometris dari turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi.

Konstruksi garis singgung merupakan salah satu permasalahan yang menyebabkan lahirnya kalkulus diferensial. Karya pertama yang diterbitkan berkaitan dengan kalkulus diferensial dan Peru Leibniz, punya nama itu Metode baru maxima dan minima, serta garis singgung, yang tidak memiliki besaran pecahan maupun irasional, dan jenis kalkulus khusus untuk ini, tidak menjadi kendala..

Biarkan kurva menjadi grafik fungsi kamu =F(X) V sistem persegi panjang koordinat ( cm. beras.).

Pada nilai tertentu X fungsi penting kamu =F(X). Nilai-nilai ini X Dan kamu titik pada kurva tersebut bersesuaian M 0(X, kamu). Jika argumennya X memberi kenaikan D X, maka nilai argumen yang baru X+D X sesuai dengan nilai fungsi baru kamu+ D kamu = F(X + D X). Titik yang sesuai pada kurva akan menjadi titiknya M 1(X+D X,kamu+D kamu). Jika Anda menggambar garis potong M 0M 1 dan dilambangkan dengan j sudut yang dibentuk oleh garis transversal dengan arah sumbu positif Sapi, langsung terlihat jelas dari gambar itu.

Kalau sekarang D X cenderung nol, maka intinya M 1 bergerak sepanjang kurva, mendekati suatu titik M 0, dan sudut J berubah dengan D X. Pada Dx® 0 sudut j cenderung pada batas tertentu a dan garis lurus melalui titik tersebut M 0 dan komponen dengan arah sumbu x positif, sudut a, akan menjadi garis singgung yang diinginkan. Kemiringannya adalah:

Karena itu, F´( X) = tidak

itu. nilai turunan F´( X) untuk nilai argumen tertentu X sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung grafik fungsi tersebut F(X) pada titik yang sesuai M 0(X,kamu) dengan arah sumbu positif Sapi.

Diferensiabilitas fungsi.

Definisi. Jika fungsinya kamu = F(X) mempunyai turunan pada titik tersebut X = X 0, maka fungsinya terdiferensiasi pada titik ini.

Kontinuitas suatu fungsi yang mempunyai turunan. Dalil.

Jika fungsinya kamu = F(X) dapat terdiferensiasi pada titik tertentu X = X 0, maka kontinu pada titik ini.

Jadi, fungsi tersebut tidak dapat mempunyai turunan pada titik diskontinuitas. Kesimpulan sebaliknya salah, yaitu. dari kenyataan bahwa pada suatu saat X = X 0 fungsi kamu = F(X) kontinu bukan berarti dapat terdiferensiasi pada saat ini. Misalnya saja fungsinya kamu = |X| berkelanjutan untuk semua orang X(–Ґ x x = 0 tidak mempunyai turunan. Pada titik ini tidak ada garis singgung pada grafik. Ada garis singgung kanan dan kiri, tetapi tidak berhimpitan.

Beberapa teorema tentang fungsi terdiferensiasi. Teorema akar-akar turunan (teorema Rolle). Jika fungsinya F(X) kontinu pada segmen tersebut [A,B], dapat dibedakan secara keseluruhan poin internal segmen ini dan di ujungnya X = A Dan X = B menjadi nol ( F(A) = F(B) = 0), lalu di dalam segmen [ A,B] setidaknya ada satu poin X= Dengan, A c b, di mana turunannya Fў( X) menjadi nol, mis. Fў( C) = 0.

Teorema pertambahan hingga (teorema Lagrange). Jika fungsinya F(X) kontinu pada interval [ A, B] dan terdiferensiasi di semua titik dalam segmen ini, kemudian di dalam segmen [ A, B] setidaknya ada satu poin Dengan, A cb itu

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

Teorema perbandingan pertambahan dua fungsi (teorema Cauchy). Jika F(X) Dan G(X) – dua fungsi kontinu pada segmen tersebut [A, B] dan terdiferensiasi di semua titik interior segmen ini, dan Gў( X) tidak hilang dimanapun di dalam segmen ini, lalu di dalam segmen [ A, B] ada benarnya X = Dengan, A cb itu

Turunan dari berbagai ordo.

Biarkan fungsinya kamu =F(X) terdiferensiasi pada interval tertentu [ A, B]. Nilai turunan F ў( X), secara umum, bergantung pada X, yaitu. turunan F ў( X) juga merupakan fungsi dari X. Saat mendiferensiasikan fungsi ini, kita memperoleh apa yang disebut turunan kedua dari fungsi tersebut F(X), yang dilambangkan F ўў ( X).

Turunan N- urutan fungsi F(X) disebut turunan (orde pertama) dari turunan tersebut N- 1- th dan dilambangkan dengan simbol kamu(N) = (kamu(N– 1))ў.

Diferensiasi berbagai ordo.

Diferensial fungsi kamu = F(X), Di mana X– variabel independen, ya mati = F ў( X)dx, beberapa fungsi dari X, tapi dari X hanya faktor pertama yang dapat bergantung F ў( X), faktor kedua ( dx) adalah pertambahan variabel bebas X dan tidak bergantung pada nilai variabel ini. Karena mati ada fungsi dari X, maka kita dapat menentukan diferensial dari fungsi tersebut. Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua dari fungsi ini dan dilambangkan D 2kamu:

D(dx) = D 2kamu = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferensial N- orde pertama disebut diferensial pertama dari diferensial tersebut N- 1- urutan ke-:

d n y = D(d n–1kamu) = F(N)(X)dx(N).

Turunan parsial.

Jika suatu fungsi tidak bergantung pada satu, tetapi pada beberapa argumen x saya(Saya bervariasi dari 1 hingga N,Saya= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… xn), lalu masuk kalkulus diferensial konsep turunan parsial diperkenalkan, yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi beberapa variabel ketika hanya satu argumen yang berubah, misalnya, x saya. Turunan parsial orde pertama terhadap x saya didefinisikan sebagai turunan biasa, dan diasumsikan bahwa semua argumen kecuali x saya, menyimpan nilai konstan. Untuk turunan parsial, notasi diperkenalkan

Turunan parsial orde pertama yang didefinisikan dengan cara ini (sebagai fungsi dari argumen yang sama), pada gilirannya, juga dapat memiliki turunan parsial, yaitu turunan parsial orde kedua, dan seterusnya. Turunan yang diambil dari argumen berbeda disebut campuran. Turunan campuran kontinu berorde sama tidak bergantung pada orde diferensiasi dan setara satu sama lain.

Anna Chugainova

Buat rasio dan hitung batasnya.

Dari mana asalnya? tabel turunan dan aturan diferensiasi? Berkat satu-satunya batasan. Tampaknya seperti sihir, tetapi kenyataannya itu adalah sulap dan tidak ada penipuan. Di kelas Apa itu turunan? Saya mulai melihat contoh spesifik di mana, dengan menggunakan definisi tersebut, saya menemukan turunan dari linier dan fungsi kuadrat. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu tabel turunan, mengasah algoritma dan solusi teknis:

Contoh 1

Intinya, Anda perlu membuktikannya kasus khusus turunan fungsi daya, yang biasanya muncul di tabel: .

Larutan secara teknis diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulai dengan pendekatan pertama yang sudah familiar: tangga dimulai dengan papan, dan turunan fungsi dimulai dengan turunan di suatu titik.

Mari kita pertimbangkan beberapa(spesifik) titik milik domain definisi fungsi yang mempunyai turunan. Mari kita atur kenaikannya pada saat ini (tentu saja, tidak lebih dari ituo/o -SAYA) dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita hitung batasnya:

Ketidakpastian 0:0 dihilangkan dengan teknik standar, yang dikembangkan pada abad pertama SM. Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi konjugasinya :

Teknik penyelesaian limit tersebut dibahas secara rinci di pelajaran pengantar tentang batasan fungsi.

Karena Anda dapat memilih titik mana pun dalam interval sebagai kualitas, maka dengan melakukan penggantian, kita mendapatkan:

Menjawab

Sekali lagi mari kita bergembira dengan logaritma:

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi menggunakan definisi turunan

Larutan: Mari kita pertimbangkan pendekatan berbeda untuk mempromosikan tugas yang sama. Persis sama, tetapi lebih rasional dari segi desain. Idenya adalah untuk menghilangkan subskrip di awal solusi dan menggunakan huruf tersebut sebagai pengganti huruf.

Mari kita pertimbangkan sewenang-wenang titik milik domain definisi fungsi (interval) dan atur kenaikan di dalamnya. Tapi di sini, omong-omong, seperti dalam kebanyakan kasus, Anda dapat melakukannya tanpa syarat apa pun, karena fungsi logaritma dapat dibedakan pada titik mana pun dalam domain definisi.

Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mari kita cari turunannya:

Kesederhanaan desain diimbangi dengan kebingungan yang mungkin timbul bagi pemula (dan tidak hanya). Lagi pula, kita terbiasa dengan kenyataan bahwa huruf "X" berubah batasnya! Tapi di sini semuanya berbeda: - patung antik, dan - pengunjung yang masih hidup, berjalan cepat di sepanjang koridor museum. Artinya, “x” adalah “seperti sebuah konstanta.”

Saya akan mengomentari penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Kami menggunakan properti logaritma .

(2) Dalam tanda kurung, bagilah pembilang dengan penyebut suku demi suku.

(3) Pada penyebut, kita mengalikan dan membagi secara artifisial dengan “x” untuk memanfaatkannya batas yang luar biasa , sementara sebagai kecil sekali menonjol.

Menjawab: menurut definisi turunan:

Atau singkatnya:

Saya mengusulkan untuk membuat sendiri dua rumus tabel lagi:

Contoh 3

DI DALAM dalam hal ini akan lebih mudah untuk segera memimpin kenaikan yang dikomposisikan penyebut yang sama. Sampel perkiraan menyelesaikan tugas di akhir pelajaran (metode pertama).

Contoh 3:Larutan : pertimbangkan beberapa hal , termasuk dalam domain definisi fungsi . Mari kita atur kenaikannya pada saat ini dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita cari turunan pada titik tersebut :


Sejak sebagai a Anda dapat memilih titik mana pun domain fungsi , Itu Dan
Menjawab : menurut definisi turunan

Contoh 4

Temukan turunan menurut definisi

Dan di sini semuanya perlu direduksi menjadi batas yang luar biasa . Solusinya diformalkan dengan cara kedua.

Sejumlah lainnya turunan tabel. Daftar lengkap dapat ditemukan di buku pelajaran sekolah, atau, misalnya, volume pertama Fichtenholtz. Saya tidak melihat ada gunanya menyalin bukti aturan diferensiasi dari buku - bukti tersebut juga dihasilkan oleh rumus.

Contoh 4:Larutan , milik , dan atur kenaikan di dalamnya

Mari kita cari turunannya:

Menggunakan batas yang luar biasa

Menjawab : menurut definisi

Contoh 5

Temukan turunan suatu fungsi , menggunakan definisi turunan

Larutan: kami menggunakan gaya desain pertama. Mari pertimbangkan beberapa poin milik , dan tentukan kenaikan argumennya. Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mungkin sebagian pembaca belum sepenuhnya memahami prinsip perlunya melakukan peningkatan. Ambil sebuah titik (angka) dan temukan nilai fungsi di dalamnya: , yaitu, ke dalam fungsi alih-alih"X" harus diganti. Sekarang kita juga mengambil bilangan yang sangat spesifik dan juga mensubstitusikannya ke dalam fungsinya alih-alih"iksa": . Kami menuliskan perbedaannya, dan itu perlu seluruhnya dimasukkan ke dalam tanda kurung.

Peningkatan fungsi yang dikompilasi Akan bermanfaat jika kita segera menyederhanakannya. Untuk apa? Memfasilitasi dan mempersingkat solusi hingga batas yang lebih jauh.

Kami menggunakan rumus, membuka tanda kurung dan mempersingkat segala sesuatu yang dapat dipersingkat:

Kalkunnya dikupas, tidak ada masalah dengan daging panggangnya:

Sebagai akibat:

Karena Anda dapat memilih kualitas apa pun bilangan real, lalu kita lakukan penggantian dan dapatkan .

Menjawab: menurut definisi.

Untuk keperluan verifikasi, mari kita cari turunannya menggunakan aturan dan tabel diferensiasi:

Mengetahui jawaban yang benar selalu berguna dan menyenangkan terlebih dahulu, jadi lebih baik membedakan fungsi yang diusulkan dengan cara yang "cepat", baik secara mental atau dalam konsep, di awal solusi.

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi menurut definisi turunan

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Hasilnya jelas:

Contoh 6:Larutan : pertimbangkan beberapa hal , milik , dan atur kenaikan argumen di dalamnya . Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:


Mari kita hitung turunannya:


Dengan demikian:
Karena sebagai Anda dapat memilih bilangan real apa saja Dan
Menjawab : menurut definisi.

Mari kembali ke gaya #2:

Contoh 7

Mari kita cari tahu segera apa yang harus terjadi. Oleh aturan diferensiasi fungsi yang kompleks :

Larutan: mempertimbangkan titik sewenang-wenang, milik , atur pertambahan argumen di dalamnya dan buat pertambahan fungsi:

Mari kita cari turunannya:


(1) Gunakan rumus trigonometri .

(2) Di bawah sinus kita buka tanda kurung, di bawah kosinus kita nyatakan suku-suku serupa.

(3) Di bawah sinus kita kurangi suku-sukunya, di bawah kosinus kita bagi pembilangnya dengan penyebut suku demi suku.

(4) Karena keanehan sinusnya, kita hilangkan “minusnya”. Di bawah kosinus kami menunjukkan istilah itu .

(5) Kita melakukan perkalian buatan pada penyebutnya agar dapat digunakan batas indah pertama. Dengan demikian, ketidakpastian dihilangkan, mari kita rapikan hasilnya.

Menjawab: menurut definisi

Seperti yang Anda lihat, kesulitan utama dari masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada kompleksitas batas itu sendiri + sedikit keunikan pada kemasannya. Dalam praktiknya, kedua metode desain tersebut terjadi, jadi saya menjelaskan kedua pendekatan tersebut sedetail mungkin. Mereka setara, tapi tetap saja, menurut kesan subjektif saya, lebih disarankan bagi orang bodoh untuk tetap menggunakan opsi 1 dengan “X-zero”.

Contoh 8

Dengan menggunakan definisi tersebut, carilah turunan dari fungsi tersebut

Contoh 8:Larutan : pertimbangkan titik sewenang-wenang , milik , mari kita atur kenaikannya dan buat kenaikan fungsi:

Mari kita cari turunannya:

Kami menggunakan rumus trigonometri dan batas luar biasa pertama:

Menjawab : menurut definisi

Mari kita lihat versi masalahnya yang lebih jarang:

Contoh 9

Temukan turunan fungsi di suatu titik menggunakan definisi turunan.

Pertama, apa yang harus menjadi intinya? Nomor

Mari kita hitung jawabannya dengan cara standar:

Larutan: dari sudut pandang kejelasan, tugas ini jauh lebih sederhana, karena rumusnya mempertimbangkan nilai tertentu.

Mari kita atur kenaikan pada titik dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita hitung turunannya di titik:

Kami menggunakan rumus selisih tangen yang sangat langka dan sekali lagi kita kurangi solusinya menjadi batas indah pertama:

Menjawab: menurut definisi turunan pada suatu titik.

Masalahnya tidak begitu sulit untuk dipecahkan dan “dalam pandangan umum" - cukup diganti dengan atau tergantung metode desain saja. Dalam hal ini jelas bahwa hasilnya bukanlah bilangan, melainkan fungsi turunan.

Contoh 10

Dengan menggunakan definisi tersebut, carilah turunan dari fungsi tersebut pada suatu titik (yang salah satunya mungkin tak terhingga), yang sedang saya bicarakan garis besar umum sudah diceritakan pelajaran teori tentang turunan.

Beberapa fungsi yang ditentukan sedikit demi sedikit juga terdiferensiasi pada titik-titik “persimpangan” pada grafik, misalnya catdog mempunyai turunan persekutuan dan garis singgung persekutuan (sumbu x) di titik tersebut. Kurva, tetapi terdiferensiasi oleh ! Mereka yang tertarik dapat memverifikasinya sendiri menggunakan contoh yang baru saja diselesaikan.

©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepenulisan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 11-06-2017

Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:

Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Itu relatif ekspresi sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dicantumkan dalam tabel. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.

Jadi, turunan fungsi dasar:

Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:

(C · F)’ = C · F ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan dari jumlah dan selisih

Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:

F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;

Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Turunan dari produk

Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (−dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)

Fungsi G(X) faktor pertama sedikit lebih rumit, tapi skema umum ini tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kami memiliki:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Perlu diketahui bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.

Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:

Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seterusnya! Ini adalah salah satu yang paling banyak rumus yang rumit- Kamu tidak bisa mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya di contoh spesifik.

Tugas. Temukan turunan fungsi:

Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.

Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti itu, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).

Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik juga menjelaskannya dengan contoh spesifik, dengan deskripsi rinci setiap langkah.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka kita mendapatkan fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kami memiliki:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’

Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:

G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh permasalahan direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.

Menjawab:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).

Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, bilangan prima dari jumlah tersebut sama dengan jumlahnya pukulan. Apakah itu lebih jelas? Ya, itu bagus.

Jadi, menghitung turunannya berarti menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir Mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(X N)’ = N · X N − 1

Hanya sedikit orang yang mengetahui peran tersebut N mungkin berkinerja baik bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu tes dan ujian.

Tugas. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Pertama, mari kita tulis ulang akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Sekarang kita buat penggantinya: biarkan X 2 + 8X − 7 = T. Kami menemukan turunannya menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Mari lakukan penggantian terbalik: T = X 2 + 8X− 7. Kita mempunyai:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Terakhir, kembali ke akar:

Apa itu turunan?

Tabel turunan.

Derivatif adalah salah satu konsep utama matematika yang lebih tinggi. Dalam pelajaran ini kami akan memperkenalkan konsep ini. Mari berkenalan saja, tanpa tegas formulasi matematika dan bukti.

Kenalan ini akan memungkinkan Anda untuk:

Memahami esensi tugas sederhana dengan turunan;

Berhasil memecahkan masalah-masalah ini tugas-tugas sulit;

Bersiaplah untuk pelajaran yang lebih serius tentang derivatif.

Pertama - kejutan yang menyenangkan.)

Definisi ketat dari turunan didasarkan pada teori limit dan hal tersebut cukup rumit. Ini menjengkelkan. Namun penerapan praktis turunan, pada umumnya, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!

Untuk berhasil menyelesaikan sebagian besar tugas di sekolah dan universitas, pengetahuan saja sudah cukup beberapa istilah saja- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa aturan- untuk mengatasinya. Itu saja. Ini membuatku bahagia.

Mari kita mulai berkenalan?)

Syarat dan sebutan.

Ada banyak operasi matematika yang berbeda dalam matematika dasar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial, logaritma, dll. Jika Anda menambahkan operasi lain ke operasi ini, matematika dasar menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini disebut diferensiasi. Definisi dan makna operasi ini akan dibahas dalam pelajaran tersendiri.

Penting untuk dipahami di sini bahwa diferensiasi itu sederhana operasi matematika atas fungsinya. Kami mengambil fungsi apa pun dan, menurut aturan tertentu, ubahlah. Hasilnya adalah fitur baru. Fungsi baru ini disebut: turunan.

Diferensiasi- tindakan pada suatu fungsi.

Turunan- hasil dari tindakan ini.

Sama seperti, misalnya, jumlah- hasil penjumlahan. Atau pribadi- hasil pembagian.

Mengetahui istilah-istilahnya, setidaknya Anda dapat memahami tugasnya.) Rumusannya adalah sebagai berikut: temukan turunan suatu fungsi; ambil turunannya; membedakan fungsinya; menghitung turunan dll. Ini semua satu dan sama. Tentu saja, ada juga tugas yang lebih kompleks, di mana mencari turunan (diferensiasi) hanyalah salah satu langkah dalam menyelesaikan masalah.

Turunan ditunjukkan dengan tanda hubung di kanan atas fungsi. Seperti ini: kamu" atau f"(x) atau S"(t) dan sebagainya.

Membaca guratan igrek, guratan ef dari x, guratan es dari te, baiklah, kamu mengerti...)

Bilangan prima juga dapat menunjukkan turunan suatu fungsi tertentu, misalnya: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" dll. Seringkali turunan dilambangkan dengan menggunakan diferensial, namun kita tidak akan membahas notasi tersebut dalam pelajaran ini.

Anggaplah kita telah belajar memahami tugas-tugas. Yang tersisa hanyalah mempelajari cara menyelesaikannya.) Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi: mencari turunannya adalah transformasi suatu fungsi menurut aturan tertentu. Anehnya, aturan-aturan ini sangat sedikit.

Untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda hanya perlu mengetahui tiga hal. Tiga pilar yang menjadi landasan semua diferensiasi. Inilah ketiga pilar tersebut:

1. Tabel turunan (rumus diferensiasi).

3. Turunan dari fungsi kompleks.

Mari kita mulai secara berurutan. Dalam pelajaran ini kita akan melihat tabel turunan.

Tabel turunan.

Di dunia - himpunan tak terbatas fungsi. Di antara keragaman tersebut, ada fungsi yang paling penting aplikasi praktis. Fungsi-fungsi ini ditemukan dalam semua hukum alam. Dari fungsi-fungsi ini, seperti dari batu bata, Anda dapat membuat fungsi lainnya. Kelas fungsi ini disebut fungsi dasar. Fungsi-fungsi inilah yang dipelajari di sekolah - linier, kuadrat, hiperbola, dll.

Diferensiasi fungsi "dari awal", mis. Berdasarkan definisi turunan dan teori limit, ini merupakan hal yang memakan banyak tenaga. Dan matematikawan juga manusia, ya, ya!) Jadi mereka menyederhanakan kehidupan mereka (dan kita). Mereka menghitung turunan fungsi dasar sebelum kita. Hasilnya adalah tabel turunan, dimana semuanya sudah siap.)

Ini dia, pelat ini untuk fungsi paling populer. Di sebelah kiri adalah fungsi dasar, di sebelah kanan adalah turunannya.

	Fungsi kamu	Turunan dari fungsi y kamu"
1	C ( konstan)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - nomor berapa pun)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	dosa x	(dosa x)" = cosx
	karena x	(karena x)" = - dosa x
	terima kasih
	ctg x
5	busur x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	mencatat A X
	dalam x ( sebuah = e)

Saya sarankan untuk memperhatikan kelompok fungsi ketiga dalam tabel turunan ini. Turunan fungsi pangkat adalah salah satu rumus yang paling umum, bahkan paling umum! Apakah Anda mengerti petunjuknya?) Ya, disarankan untuk hafal tabel turunannya. Ngomong-ngomong, ini tidak sesulit kelihatannya. Cobalah untuk memutuskan lebih banyak contoh, tabel itu sendiri akan diingat!)

Menemukan nilai tabel turunannya, seperti yang Anda pahami, bukanlah tugas yang paling sulit. Oleh karena itu, sangat sering ada chip tambahan dalam tugas seperti itu. Entah dalam kata-kata tugasnya, atau dalam fungsi aslinya, yang sepertinya tidak ada di tabel...

Mari kita lihat beberapa contoh:

1. Tentukan turunan dari fungsi y = x 3

Tidak ada fungsi seperti itu di tabel. Namun terdapat turunan fungsi pangkat dalam bentuk umum (golongan ketiga). Dalam kasus kami n=3. Jadi kita gantikan tiga, bukan n, dan tuliskan hasilnya dengan hati-hati:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Itu saja.

Menjawab: kamu" = 3x 2

2. Tentukan nilai turunan fungsi y = sinx di titik x = 0.

Tugas ini berarti Anda harus mencari turunan sinus terlebih dahulu, lalu mensubstitusikan nilainya x = 0 ke dalam turunan yang sama ini. Tepat dalam urutan itu! Jika tidak, kebetulan mereka segera mengganti nol ke dalam fungsi aslinya... Kita diminta untuk mencari bukan nilai dari fungsi aslinya, tetapi nilainya turunannya. Turunannya, izinkan saya mengingatkan Anda, adalah fungsi baru.

Dengan menggunakan tablet kita menemukan sinus dan turunannya yang sesuai:

y" = (dosa x)" = cosx

Kami mengganti nol ke dalam turunannya:

kamu"(0) = cos 0 = 1

Ini akan menjadi jawabannya.

3. Bedakan fungsinya:

Apa, menginspirasi?) Tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk membedakan suatu fungsi berarti mencari turunan dari fungsi tersebut. Jika kita lupa trigonometri dasar, mencari turunan fungsi kita cukup merepotkan. Tabel tidak membantu...

Namun jika kita lihat fungsi kita adalah kosinus sudut ganda , maka semuanya akan segera menjadi lebih baik!

Ya ya! Ingatlah bahwa mengubah fungsi aslinya sebelum diferensiasi cukup bisa diterima! Dan hal itu membuat hidup jauh lebih mudah. Menggunakan rumus kosinus sudut ganda:

Itu. fungsi rumit kami tidak lebih dari itu y = karenax. Dan ini - fungsi tabel. Kami segera mendapatkan:

Menjawab: kamu" = - dosa x.

Contoh untuk lulusan dan mahasiswa tingkat lanjut:

4. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Tentu saja, tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan. Tapi jika Anda ingat matematika dasar, tindakan dengan derajat... Maka sangat mungkin untuk menyederhanakan fungsi ini. Seperti ini:

Dan x pangkat sepersepuluh sudah merupakan fungsi tabel! Kelompok ketiga, n=1/10. Kita tulis langsung sesuai rumus:

Itu saja. Ini akan menjadi jawabannya.

Saya harap semuanya jelas dengan pilar diferensiasi pertama - tabel turunan. Masih berurusan dengan dua paus yang tersisa. Pada pelajaran selanjutnya kita akan mempelajari aturan diferensiasi.

(\large\bf Turunan dari suatu fungsi)

Pertimbangkan fungsinya kamu=f(x), ditentukan pada interval (a,b). Membiarkan X- titik tetap mana pun dalam interval (a,b), A Δx - nomor sewenang-wenang, sedemikian rupa sehingga nilainya x+Δx juga termasuk dalam interval (a,b). Nomor ini Δx disebut kenaikan argumen.

Definisi. Peningkatan fungsi kamu=f(x) pada intinya X, sesuai dengan kenaikan argumen Δx, ayo hubungi nomornya

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Kami percaya itu Δx ≠ 0. Pertimbangkan pada titik tetap tertentu X rasio kenaikan fungsi pada titik ini dengan kenaikan argumen yang sesuai Δx

Kita akan menyebut relasi ini sebagai relasi perbedaan. Sejak nilainya X kami anggap tetap, rasio perbedaan adalah fungsi dari argumen Δx. Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai argumen Δx, termasuk dalam lingkungan yang cukup kecil pada titik tersebut x=0, kecuali poin itu sendiri x=0. Oleh karena itu, kita berhak mempertimbangkan pertanyaan tentang adanya suatu batas fungsi yang ditentukan pada Δx → 0.

Definisi. Turunan dari suatu fungsi kamu=f(x) pada suatu titik tetap tertentu X disebut batas di Δx → 0 rasio perbedaan, yaitu

Asalkan batasan ini ada.

Penamaan. kamu′(x) atau f′(x).

Arti geometris dari turunan: Turunan dari suatu fungsi f(x) pada titik ini X sama dengan garis singgung sudut antara sumbu Sapi dan garis singgung grafik fungsi ini pada titik yang bersesuaian:

f′(x 0) = \tgα.

Arti mekanis dari turunan: Turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus poin:

Persamaan garis singgung suatu garis kamu=f(x) pada intinya M 0 (x 0 ,y 0) mengambil formulir

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Garis normal suatu kurva di suatu titik adalah garis tegak lurus garis singgung di titik yang sama. Jika f′(x 0)≠ 0, maka persamaan normal garis tersebut kamu=f(x) pada intinya M 0 (x 0 ,y 0) ditulis seperti ini:

Konsep diferensiasi suatu fungsi

Biarkan fungsinya kamu=f(x) ditentukan dalam interval tertentu (a,b), X- beberapa nilai argumen tetap dari interval ini, Δx- setiap kenaikan argumen sedemikian rupa sehingga nilai argumennya x+Δx ∈ (a, b).

Definisi. Fungsi kamu=f(x) disebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, jika bertambah Δy fungsi ini pada intinya X, sesuai dengan kenaikan argumen Δx, dapat direpresentasikan dalam bentuk

Δy = A Δx +αΔx,

Di mana A- nomor tertentu yang tidak bergantung pada Δx, A α - fungsi argumen Δx, yang sangat kecil di Δx→ 0.

Karena hasil kali dua fungsi yang sangat kecil αΔx sangat kecil lagi pesanan tinggi, Bagaimana Δx(properti dari 3 fungsi yang sangat kecil), maka kita dapat menulis:

Δy = A Δx +o(Δx).

Dalil. Agar fungsinya kamu=f(x) dapat terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, perlu dan cukup bahwa ia memiliki turunan berhingga pada titik ini. Pada saat yang sama SEBUAH=f′(x), itu

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operasi mencari turunan biasa disebut diferensiasi.

Dalil. Jika fungsinya kamu=f(x) X, maka kontinu pada saat ini.

Komentar. Dari kelangsungan fungsinya kamu=f(x) pada titik ini X, secara umum, diferensiasi fungsi tidak mengikuti f(x) pada titik ini. Misalnya saja fungsinya kamu=|x|- terus menerus pada suatu titik x=0, tetapi tidak memiliki turunan.

Konsep fungsi diferensial

Definisi. Diferensial fungsi kamu=f(x) hasil kali turunan fungsi ini dan pertambahan variabel bebas disebut X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Untuk fungsi kamu=x kita dapatkan dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, itu dx=Δx- diferensial suatu variabel bebas sama dengan kenaikan variabel tersebut.

Dengan demikian, kita bisa menulis

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferensial mati dan kenaikan Δy fungsi kamu=f(x) pada titik ini X, keduanya sesuai dengan kenaikan argumen yang sama Δx, secara umum, tidak sama satu sama lain.

Arti geometris dari diferensial: Diferensial suatu fungsi sama dengan pertambahan ordinat garis singgung grafik fungsi tersebut ketika argumennya bertambah Δx.

Aturan diferensiasi

Dalil. Jika masing-masing fungsinya kamu(x) Dan v(x) terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, maka jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi tersebut (hasil bagi dengan syarat v(x)≠ 0) juga dapat terdiferensiasi pada saat ini, dan rumusnya berlaku:

Pertimbangkan fungsi kompleksnya y=f(φ(x))≡ F(x), Di mana kamu=f(kamu), kamu=φ(x). Dalam hal ini kamu ditelepon argumen perantara, X - variabel independen.

Dalil. Jika kamu=f(kamu) Dan kamu=φ(x) adalah fungsi terdiferensiasi dari argumennya, maka turunan dari fungsi kompleks kamu=f(φ(x)) ada dan sama dengan produk dari fungsi ini terhadap argumen perantara dan turunan dari argumen perantara terhadap variabel bebas, yaitu.

Komentar. Untuk fungsi kompleks yang merupakan superposisi dari tiga fungsi kamu=F(f(φ(x))), aturan diferensiasi memiliki bentuk

y′ x = y′ kamu u′ v v′ x,

dimana fungsinya v=φ(x), kamu=f(v) Dan kamu=F(kamu)- fungsi argumen mereka yang dapat dibedakan.

Dalil. Biarkan fungsinya kamu=f(x) bertambah (atau berkurang) dan kontinu di lingkungan suatu titik x 0. Misalkan fungsi ini terdiferensialkan pada titik yang ditunjukkan x 0 dan turunannya pada saat ini f′(x 0) ≠ 0. Kemudian di beberapa lingkungan dari titik yang sesuai kamu 0 =f(x 0) kebalikannya didefinisikan untuk kamu=f(x) fungsi x=f -1 (kamu), dan yang ditunjukkan fungsi terbalik terdiferensiasi pada titik yang bersesuaian kamu 0 =f(x 0) dan untuk turunannya pada saat ini kamu rumusnya valid

Tabel derivatif

Invarian bentuk diferensial pertama

Mari kita perhatikan diferensial suatu fungsi kompleks. Jika kamu=f(x), x=φ(t)- fungsi argumennya dapat terdiferensiasi, maka turunan dari fungsi tersebut kamu=f(φ(t)) dinyatakan dengan rumus

kamu′ t = kamu′ x x′ t.

Menurut definisi dy=y′ t dt, lalu kita dapatkan

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Jadi, kami sudah membuktikannya

Sifat invarian berupa diferensial pertama suatu fungsi: seperti dalam kasus ketika argumen X adalah variabel independen, dan dalam kasus ketika argumen X itu sendiri merupakan fungsi terdiferensiasi dari variabel baru, diferensial mati fungsi kamu=f(x) sama dengan turunan fungsi ini dikalikan dengan diferensial argumen dx.

Penerapan diferensial dalam perhitungan perkiraan

Kami telah menunjukkan bahwa perbedaannya mati fungsi kamu=f(x), secara umum, tidak sama dengan kenaikan Δy fungsi ini. Namun dengan akurasi hingga tak terhingga fungsi kecil tingkat kekecilan yang lebih tinggi dari Δx, perkiraan persamaannya valid

Δy ≈ dy.

Rasio ini disebut kesalahan relatif dari persamaan persamaan ini. Karena Δy-dy=o(Δx), Itu kesalahan relatif kesetaraan ini menjadi kecil seiring dengan penurunan kita |Δх|.

Mengingat bahwa Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, kita dapatkan f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx atau

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Perkiraan persamaan ini memungkinkan adanya kesalahan Hai(Δx) ganti fungsi f(x) di lingkungan kecil intinya X(yaitu untuk nilai kecil Δx) fungsi linier argumen Δx, berdiri di sisi kanan.

Derivatif tingkat tinggi

Definisi. Turunan kedua (atau turunan orde kedua) suatu fungsi kamu=f(x) disebut turunan dari turunan pertamanya.

Notasi turunan kedua suatu fungsi kamu=f(x):

Arti mekanis dari turunan kedua. Jika fungsinya kamu=f(x) menjelaskan hukum gerak poin materi dalam garis lurus, maka turunan keduanya f″(x) sama dengan percepatan suatu titik bergerak pada waktu tertentu X.

Turunan ketiga dan keempat ditentukan dengan cara yang sama.

Definisi. N turunan ke (atau turunan N-urutan ke-) fungsi kamu=f(x) disebut turunannya n-1 turunan ke-th:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Sebutan: kamu″′, kamu IV, kamu V dll.