Ekspresi Logaritma, memecahkan contoh. Pada artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menanyakan pertanyaan tentang menemukan makna suatu ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maknanya sangatlah penting. Sedangkan untuk UN Unified State, logaritma digunakan saat menyelesaikan persamaan, in masalah yang diterapkan, juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.
Mari kita berikan contoh untuk memahami arti logaritma:
Identitas logaritma dasar:
Sifat-sifat logaritma yang harus selalu diingat :
*Logaritma produk sama dengan jumlahnya logaritma faktor.
* * *
*Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan perbedaannya logaritma faktor.
* * *
*Logaritma derajat sama dengan produknya eksponen dengan logaritma basisnya.
* * *
*Transisi ke yayasan baru
* * *
Properti lainnya:
* * *
Perhitungan logaritma erat kaitannya dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.
Mari kita daftar beberapa di antaranya:
Intinya dari properti ini terletak pada kenyataan bahwa ketika pembilang dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Misalnya:
Akibat wajar dari properti ini:
* * *
Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.
* * *
Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sendiri sederhana. Yang utama adalah apa yang dibutuhkan praktik yang baik, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja diperlukan pengetahuan tentang rumus. Jika keterampilan mengkonversi logaritma dasar belum berkembang, maka saat menyelesaikannya tugas-tugas sederhana Sangat mudah untuk membuat kesalahan.
Latihan, selesaikan dulu contoh paling sederhana dari mata pelajaran matematika, lalu lanjutkan ke contoh yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "jelek" diselesaikan pada Ujian Negara Bersatu, tetapi ini menarik, jangan sampai ketinggalan!
Itu saja! Semoga beruntung untukmu!
Hormat kami, Alexander Krutitskikh
P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.
Memecahkan persamaan logaritma. Bagian 1.
Persamaan logaritma adalah persamaan yang tidak diketahuinya terdapat di bawah tanda logaritma (khususnya, di basis logaritma).
Yang paling sederhana persamaan logaritma memiliki bentuk:
Memecahkan persamaan logaritma apa pun melibatkan transisi dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma. Namun, tindakan ini memperluas cakupannya nilai-nilai yang dapat diterima persamaan dan dapat menyebabkan munculnya akar asing. Untuk menghindari munculnya akar asing, Anda dapat melakukan salah satu dari tiga cara berikut:
1. Lakukan transisi yang setara dari persamaan awal ke sistem termasuk
tergantung pada ketidaksetaraan mana atau lebih sederhana.
Jika persamaan mengandung sesuatu yang tidak diketahui pada basis logaritmanya:
lalu kita masuk ke sistem:
2. Temukan secara terpisah kisaran nilai persamaan yang dapat diterima, lalu selesaikan persamaan tersebut dan periksa apakah solusi yang ditemukan memenuhi persamaan tersebut.
3. Selesaikan persamaannya, lalu memeriksa: gantikan solusi yang ditemukan ke dalam persamaan asli, dan periksa apakah kita mendapatkan persamaan yang benar.
Persamaan logaritma dengan tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya selalu direduksi menjadi persamaan logaritma yang paling sederhana.
Semua persamaan logaritma dapat dibagi menjadi empat jenis:
1 . Persamaan yang hanya memuat logaritma pangkat satu saja. Dengan bantuan transformasi dan penggunaan, mereka dibawa ke bentuk
Contoh. Mari selesaikan persamaannya:
Mari kita samakan ekspresi di bawah tanda logaritma:
Mari kita periksa apakah akar persamaan kita memenuhi:
Ya, itu memuaskan.
Jawaban: x=5
2 . Persamaan yang mengandung logaritma pangkat selain 1 (khususnya pada penyebut pecahan). Persamaan seperti itu dapat diselesaikan dengan menggunakan memperkenalkan perubahan variabel.
Contoh. Mari selesaikan persamaannya:
Mari kita cari persamaan ODZ:
Persamaan tersebut memuat logaritma kuadrat, sehingga dapat diselesaikan dengan menggunakan perubahan variabel.
Penting! Sebelum memperkenalkan penggantinya, Anda perlu “memisahkan” logaritma yang merupakan bagian dari persamaan menjadi “batu bata”, menggunakan sifat-sifat logaritma.
Saat “memisahkan” logaritma, penting untuk menggunakan properti logaritma dengan sangat hati-hati:
Selain itu, ada satu poin halus lagi di sini, dan untuk menghindari kesalahan umum, kita akan menggunakan persamaan perantara: kita akan menulis derajat logaritma dalam bentuk ini:
Juga,
Mari kita substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan aslinya. Kami mendapatkan:
Sekarang kita melihat bahwa hal yang tidak diketahui terkandung dalam persamaan sebagai bagian dari . Mari kita perkenalkan penggantinya: . Karena dapat mengambil nilai riil apa pun, kami tidak menerapkan batasan apa pun pada variabel tersebut.
Aljabar kelas 11
Topik: “Metode penyelesaian persamaan logaritma”
Tujuan pelajaran:
pendidikan: pembentukan pengetahuan tentang dengan cara yang berbeda memecahkan persamaan logaritma, keterampilan untuk menerapkannya di masing-masing persamaan situasi tertentu dan pilih metode apa pun untuk menyelesaikannya;
perkembangan: pengembangan keterampilan mengamati, membandingkan, menerapkan pengetahuan situasi baru, mengidentifikasi pola, menggeneralisasi; mengembangkan keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri;
pendidikan: menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, persepsi yang cermat terhadap materi dalam pelajaran, pencatatan yang cermat.
Jenis pelajaran: pelajaran memperkenalkan materi baru.
“Penemuan logaritma, sekaligus mengurangi pekerjaan para astronom, juga memperpanjang umurnya.”
Matematikawan Perancis dan astronom P.S. Laplace
Kemajuan pelajaran
I. Menetapkan tujuan pelajaran
Definisi logaritma yang dipelajari, sifat-sifat logaritma, dan fungsi logaritma akan memungkinkan kita menyelesaikan persamaan logaritma. Semua persamaan logaritma, betapapun rumitnya, diselesaikan menggunakan algoritma yang seragam. Kita akan melihat algoritma ini dalam pelajaran hari ini. Jumlahnya tidak banyak. Jika Anda menguasainya, maka persamaan apa pun dengan logaritma dapat dilakukan oleh Anda masing-masing.
Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda: “Metode penyelesaian persamaan logaritma.” Saya mengundang semua orang untuk bekerja sama.
II. Memperbarui pengetahuan latar belakang
Mari bersiap untuk mempelajari topik pelajaran. Anda menyelesaikan setiap tugas dan menuliskan jawabannya; Anda tidak perlu menulis kondisinya. Bekerja berpasangan.
1) Untuk nilai x berapakah fungsi tersebut masuk akal:
(Jawaban diperiksa untuk setiap slide dan kesalahan diselesaikan)
2) Apakah grafik fungsinya bertepatan?
3) Tulis ulang persamaan tersebut sebagai persamaan logaritma:
4) Tuliskan bilangan-bilangan tersebut sebagai logaritma dengan basis 2:
5) Hitung:
6) Cobalah untuk memulihkan atau menambah unsur-unsur yang hilang dalam persamaan ini.
AKU AKU AKU. Pengenalan materi baru
Pernyataan berikut ditampilkan di layar:
“Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika.”
Matematikawan Polandia modern S. Kowal
Cobalah merumuskan definisi persamaan logaritma. (Persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma).
Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana:mencatatAx = b(di mana a>0, a ≠ 1). Karena fungsi logaritma bertambah (atau berkurang) di set angka positif dan menerima semuanya nilai-nilai nyata, maka dengan teorema akar maka untuk sembarang b persamaan yang diberikan memiliki, dan terlebih lagi, hanya satu, solusi, dan solusi positif.
Ingat definisi logaritma. (Logaritma suatu bilangan x dengan basis a merupakan indikator pangkat yang harus dipangkatkan dengan basis a untuk memperoleh bilangan x). Dari definisi logaritma langsung berikut ini AV adalah solusi seperti itu.
Tuliskan judulnya: Metode penyelesaian persamaan logaritma
1. Menurut definisi logaritma.
Beginilah cara persamaan bentuk paling sederhana diselesaikan.
Mari kita pertimbangkan No.514(a)): Selesaikan persamaannya
Bagaimana Anda mengusulkan untuk menyelesaikannya? (Menurut definisi logaritma)
Larutan. , Jadi 2x - 4 = 4; x = 4.
Dalam tugas ini, 2x - 4 > 0, karena > 0, sehingga tidak ada akar asing yang muncul, dan tidak perlu dilakukan pengecekan. Kondisi 2x - 4 > 0 tidak perlu dituliskan dalam tugas ini.
2. Potensiasi(transisi dari logaritma ekspresi yang diberikan untuk ekspresi ini sendiri).
Mari kita pertimbangkan Nomor 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Fitur apa yang Anda perhatikan? (Basisnya sama dan logaritma kedua ekspresi tersebut sama.) Apa yang bisa dilakukan? (Potensi).
Perlu diingat bahwa solusi apa pun terdapat di antara semua x yang ekspresi logaritmanya positif.
Solusi: ODZ:
X2+8>0 adalah pertidaksamaan yang tidak perlu
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
Mari kita potensikan persamaan aslinya
kita mendapatkan persamaan x2+8= 8x+8
Mari kita selesaikan: x2-8x=0
Jawaban: 0; 8
DI DALAM pandangan umum transisi ke sistem yang setara:
Persamaan
(Sistem berisi kondisi yang berlebihan - salah satu ketidaksetaraan tidak perlu dipertimbangkan).
Pertanyaan untuk kelas: Manakah dari tiga solusi berikut yang paling Anda sukai? (Diskusi metode).
Anda berhak memutuskan dengan cara apa pun.
3. Pengenalan variabel baru.
Mari kita pertimbangkan No.520(g). .
Apa yang kamu perhatikan? (Ini persamaan kuadrat mengenai log3x) Saran Anda? (Perkenalkan variabel baru)
Larutan. ODZ: x > 0.
Misalkan , maka persamaannya berbentuk :. Diskriminan D > 0. Akar menurut teorema Vieta :.
Mari kita kembali ke penggantinya: atau.
Setelah menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, kita mendapatkan:
Jawaban: 27;
4. Logaritma kedua ruas persamaan.
Selesaikan persamaan :.
Penyelesaian: ODZ: x>0, ambil logaritma kedua ruas persamaan dengan basis 10:
Mari kita terapkan properti logaritma suatu pangkat:
(logx + 3) logx = 4
Misal logx = y, maka (y + 3)y = 4
, (D > 0) akar menurut teorema Vieta: y1 = -4 dan y2 = 1.
Mari kita kembali ke penggantinya, kita mendapatkan: lgx = -4,; lgx = 1, .
Jawaban: 0,0001; 10.
5. Pengurangan menjadi satu basis.
Nomor 523(c). Selesaikan persamaan:
Solusi: ODZ: x>0. Mari kita beralih ke basis 3.
6. Metode grafis fungsional.
№ 509(d). Selesaikan persamaan secara grafis: = 3 - x.
Bagaimana Anda mengusulkan penyelesaiannya? (Buatlah grafik dua fungsi y = log2x dan y = 3 - x menggunakan titik dan cari absis titik potong grafik tersebut).
Lihatlah solusi Anda pada slide.
Ada cara untuk menghindari pembuatan grafik . Ini adalah sebagai berikut : jika salah satu fungsinya kamu = f(x) meningkat, dan lainnya kamu = g(x) berkurang pada interval X, maka persamaannya f(x)= g(x) mempunyai paling banyak satu akar pada interval X.
Jika ada root maka bisa ditebak.
Dalam kasus kita, fungsinya meningkat untuk x>0, dan fungsi y = 3 - x menurun untuk semua nilai x, termasuk untuk x>0, yang berarti persamaan tersebut tidak memiliki lebih dari satu akar. Perhatikan bahwa pada x = 2 persamaan tersebut berubah menjadi persamaan sejati, karena .
« Penggunaan yang benar metode dapat dipelajari
hanya dengan menerapkannya berbagai contoh».
Sejarawan matematika Denmark G.G. Zeiten
SAYAV. Pekerjaan rumah
P. 39 perhatikan contoh 3, selesaikan No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)
V. Menyimpulkan pelajaran
Metode penyelesaian persamaan logaritma apa yang kita pelajari di kelas?
Dalam pelajaran berikutnya kita akan melihat lebih banyak persamaan kompleks. Untuk mengatasinya, metode yang dipelajari akan bermanfaat.
Slide terakhir ditampilkan:
“Apa yang lebih dari apapun di dunia ini?
Ruang angkasa.
Apa hal yang paling bijaksana?
Waktu.
Apa bagian terbaiknya?
Raih apa yang kamu inginkan."
Thales
Saya berharap semua orang mencapai apa yang mereka inginkan. Terima kasih atas kerja sama dan pengertian Anda.
Kita semua akrab dengan persamaan kelas dasar. Di sana kami juga belajar memecahkan contoh-contoh paling sederhana, dan kami harus mengakui bahwa contoh-contoh tersebut dapat diterapkan bahkan di dalamnya matematika yang lebih tinggi. Semuanya sederhana dengan persamaan, termasuk persamaan kuadrat. Jika Anda mengalami masalah dengan topik ini, kami sangat menyarankan Anda meninjaunya.
Anda mungkin sudah mempelajari logaritma juga. Namun, kami menganggap penting untuk memberi tahu apa itu bagi mereka yang belum mengetahuinya. Logaritma disamakan dengan pangkat yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan di sebelah kanan tanda logaritma. Mari kita beri contoh yang berdasarkan itu semuanya akan menjadi jelas bagi Anda.
Jika Anda menaikkan 3 ke pangkat empat, Anda mendapatkan 81. Sekarang substitusikan angka-angka tersebut dengan analogi, dan Anda akhirnya akan memahami bagaimana logaritma diselesaikan. Sekarang tinggal menggabungkan dua konsep yang dibahas. Pada awalnya, situasinya tampak sangat rumit, tetapi setelah diperiksa lebih dekat, bebannya akan terasa berat. Kami yakin setelah artikel singkat ini Anda tidak akan mengalami masalah pada bagian Ujian Negara Bersatu ini.
Saat ini ada banyak cara untuk menyelesaikan struktur seperti itu. Kami akan memberi tahu Anda tentang tugas yang paling sederhana, paling efektif, dan paling dapat diterapkan dalam kasus Unified State Examination. Penyelesaian persamaan logaritma harus dimulai dari awal. contoh sederhana. Persamaan logaritma paling sederhana terdiri dari sebuah fungsi dan satu variabel di dalamnya.
Penting untuk dicatat bahwa x ada di dalam argumen. A dan b harus berupa angka. Dalam hal ini, Anda cukup menyatakan fungsi dalam bentuk bilangan pangkat. Ini terlihat seperti ini.
Tentu saja menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan metode ini akan membawa Anda pada jawaban yang benar. Permasalahan yang dihadapi sebagian besar siswa dalam hal ini adalah mereka tidak memahami apa yang berasal dan dari mana asalnya. Akibatnya, Anda harus menerima kesalahan dan tidak mendapatkan poin yang diinginkan. Kesalahan yang paling menyinggung adalah jika Anda mencampurkan huruf-hurufnya. Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, Anda perlu menghafal standar ini rumus sekolah karena sulit untuk dipahami.
Untuk mempermudah, Anda dapat menggunakan metode lain - bentuk kanonik. Idenya sangat sederhana. Alihkan perhatian Anda kembali ke masalahnya. Ingatlah bahwa huruf a adalah angka, bukan fungsi atau variabel. A tidak sama dengan satu dan lebih besar dari nol. Tidak ada batasan pada b. Sekarang, dari semua rumus, mari kita ingat satu rumus. B dapat diungkapkan sebagai berikut.
Oleh karena itu, semua persamaan asli dengan logaritma dapat direpresentasikan sebagai:
Sekarang kita bisa menghilangkan logaritmanya. Ini akan berhasil desain sederhana, yang telah kita lihat sebelumnya.
Kemudahan rumus ini terletak pada kenyataan bahwa rumus ini dapat digunakan secara maksimal kasus yang berbeda, dan bukan hanya untuk desain yang paling sederhana.
Jangan khawatir tentang OOF!
Banyak ahli matematika berpengalaman akan menyadari bahwa kita belum memperhatikan domain definisi. Aturannya bermuara pada fakta bahwa F(x) tentu lebih besar dari 0. Tidak, kami tidak melewatkan poin ini. Sekarang kita berbicara tentang keuntungan serius lainnya dari bentuk kanonik.
Tidak akan ada akar tambahan di sini. Jika suatu variabel hanya akan muncul di satu tempat, maka cakupan tidak diperlukan. Hal ini dilakukan secara otomatis. Untuk memverifikasi penilaian ini, cobalah memecahkan beberapa contoh sederhana.
Cara menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis berbeda
Ini sudah merupakan persamaan logaritma yang kompleks, dan pendekatan untuk menyelesaikannya harus khusus. Di sini jarang sekali kita bisa membatasi diri pada bentuk kanonik yang terkenal buruk itu. Mari kita mulai cerita rinci. Kami memiliki konstruksi berikut.
Perhatikan pecahannya. Ini berisi logaritma. Jika Anda melihat ini dalam sebuah tugas, ada baiknya mengingat satu trik menarik.
Apa maksudnya? Setiap logaritma dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua logaritma dengan basis yang sesuai. Dan formula ini punya kasus khusus, yang dapat diterapkan dengan contoh ini (artinya jika c=b).
Ini adalah pecahan yang kita lihat dalam contoh kita. Dengan demikian.
Intinya, kami membalikkan pecahan dan mendapatkan ekspresi yang lebih sesuai. Ingat algoritma ini!
Sekarang kita membutuhkan persamaan logaritma yang tidak mengandung alasan yang berbeda. Mari kita nyatakan basis sebagai pecahan.
Dalam matematika, ada aturan yang dengannya Anda dapat memperoleh gelar dari suatu basis. Berikut hasil konstruksinya.
Tampaknya itulah yang menghentikan kita untuk mengubah ekspresi kita sekarang bentuk kanonik dan selesaikan saja? Tidak sesederhana itu. Tidak boleh ada pecahan sebelum logaritma. Mari kita perbaiki situasi ini! Pecahan diperbolehkan untuk digunakan sebagai derajat.
Masing-masing.
Jika basisnya sama, kita dapat menghilangkan logaritmanya dan menyamakan ekspresi itu sendiri. Dengan cara ini situasinya akan menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. Akan tetap ada persamaan dasar, yang masing-masing dari kita tahu cara menyelesaikannya di kelas 8 atau bahkan 7. Anda bisa melakukan perhitungan sendiri.
Kami telah memperoleh satu-satunya akar sejati dari persamaan logaritma ini. Contoh penyelesaian persamaan logaritma cukup sederhana bukan? Sekarang Anda akan mampu mengatasi sendiri masalah yang paling sulit sekalipun. tugas yang kompleks untuk mempersiapkan dan lulus Ujian Negara Bersatu.
Apa hasilnya?
Dalam kasus persamaan logaritma apa pun, kita mulai dari satu persamaan aturan penting. Penting untuk bertindak sedemikian rupa untuk memaksimalkan ekspresi tampilan sederhana. Dalam hal ini Anda akan memilikinya lebih banyak peluang tidak hanya menyelesaikan tugas dengan benar, tetapi juga melakukannya dengan cara yang paling sederhana dan logis. Ini adalah cara kerja matematikawan.
Kami sangat tidak menyarankan Anda mencari jalan yang sulit, terutama dalam hal ini. Ingat beberapa aturan sederhana, yang memungkinkan Anda mengubah ekspresi apa pun. Misalnya, kurangi dua atau tiga logaritma ke basis yang sama atau turunkan pangkat dari basis tersebut dan menangkan hal ini.
Perlu juga diingat bahwa menyelesaikan persamaan logaritma memerlukan latihan terus-menerus. Secara bertahap Anda akan beralih ke struktur yang lebih kompleks, dan ini akan mengarahkan Anda untuk menyelesaikan semua varian masalah pada Ujian Negara Terpadu dengan percaya diri. Persiapkan jauh-jauh hari untuk ujian Anda dan semoga berhasil!
Aljabar kelas 11
Topik: “Metode penyelesaian persamaan logaritma”
Tujuan pelajaran:
pendidikan: mengembangkan pengetahuan tentang berbagai cara menyelesaikan persamaan logaritma, kemampuan untuk menerapkannya dalam setiap situasi tertentu dan memilih metode penyelesaian apa pun;
berkembang: pengembangan keterampilan mengamati, membandingkan, menerapkan pengetahuan dalam situasi baru, mengidentifikasi pola, menggeneralisasi; mengembangkan keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri;
pendidikan: menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, persepsi yang cermat terhadap materi dalam pelajaran, dan pencatatan yang cermat.
Jenis pelajaran : pelajaran memperkenalkan materi baru.
“Penemuan logaritma, sekaligus mengurangi pekerjaan para astronom, juga memperpanjang umurnya.”
Matematikawan dan astronom Prancis P.S. Laplace
Kemajuan pelajaran
I. Menetapkan tujuan pelajaran
Definisi logaritma yang dipelajari, sifat-sifat logaritma, dan fungsi logaritma akan memungkinkan kita menyelesaikan persamaan logaritma. Semua persamaan logaritma, betapapun rumitnya, diselesaikan menggunakan algoritma yang seragam. Kita akan melihat algoritma ini dalam pelajaran hari ini. Jumlahnya tidak banyak. Jika Anda menguasainya, maka persamaan apa pun dengan logaritma dapat dilakukan oleh Anda masing-masing.
Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda: “Metode penyelesaian persamaan logaritma.” Saya mengundang semua orang untuk bekerja sama.
II. Memperbarui pengetahuan referensi
Mari bersiap untuk mempelajari topik pelajaran. Anda menyelesaikan setiap tugas dan menuliskan jawabannya; Anda tidak perlu menulis kondisinya. Bekerja berpasangan.
1) Untuk nilai x berapakah fungsi tersebut masuk akal:
A)
B)
V)
D)
(Jawaban diperiksa untuk setiap slide dan kesalahan diselesaikan)
2) Apakah grafik fungsinya bertepatan?
a) y = x dan
B)Dan
3) Tulis ulang persamaan tersebut sebagai persamaan logaritma:
4) Tuliskan bilangan-bilangan tersebut sebagai logaritma dengan basis 2:
4 =
2 =
0,5 =
1 =
5) Hitung :
6) Cobalah untuk memulihkan atau menambah unsur-unsur yang hilang dalam persamaan ini.
AKU AKU AKU. Pengenalan materi baru
Pernyataan berikut ditampilkan di layar:
“Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika.”
Matematikawan Polandia modern S. Kowal
Cobalah merumuskan definisi persamaan logaritma. (Persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma ).
Mari kita pertimbangkanpersamaan logaritma paling sederhana: mencatat A x = b (di mana a>0, a ≠ 1). Karena fungsi logaritma bertambah (atau berkurang) pada himpunan bilangan positif dan mengambil semua nilai real, maka berdasarkan teorema akar, maka untuk sembarang b persamaan ini hanya mempunyai satu solusi, yaitu solusi positif.
Ingat definisi logaritma. (Logaritma suatu bilangan x ke basis a merupakan indikator pangkat yang harus dipangkatkan dari bilangan a untuk memperoleh bilangan x ). Dari definisi logaritma langsung berikut iniA V adalah solusi seperti itu.
Tuliskan judulnya:Metode penyelesaian persamaan logaritma
1. Menurut definisi logaritma .
Beginilah cara persamaan bentuk paling sederhana diselesaikan.
Mari kita pertimbangkanNo.514(a)
): Selesaikan persamaannya
Bagaimana Anda mengusulkan untuk menyelesaikannya? (Menurut definisi logaritma )
Larutan
.
, Jadi 2x – 4 = 4; x = 4.
Jawaban: 4.
Dalam tugas ini 2x – 4 > 0, karena> 0, sehingga tidak ada akar asing yang muncul, dantidak perlu memeriksa . Tidak perlu menuliskan kondisi 2x – 4 > 0 dalam tugas ini.
2. Potensiasi (transisi dari logaritma ekspresi tertentu ke ekspresi itu sendiri).
Mari kita pertimbangkanNomor 519(g): mencatat 5 ( X 2 +8)- mencatat 5 ( X+1)=3 mencatat 5 2
Fitur apa yang Anda perhatikan?(Basisnya sama dan logaritma kedua ekspresi sama) . Apa yang bisa dilakukan?(Potensi).
Perlu diingat bahwa solusi apa pun terdapat di antara semua x yang ekspresi logaritmanya positif.
Larutan: ODZ:
X 2 +8>0 ketimpangan yang tidak perlu
mencatat 5 ( X 2 +8) = mencatat 5 2 3 + mencatat 5 ( X+1)
mencatat 5 ( X 2 +8)= mencatat 5 (8 X+8)
Mari kita potensikan persamaan aslinya
X 2 +8= 8 X+8
kita mendapatkan persamaannyaX 2 +8= 8 X+8
Mari kita selesaikan:X 2 -8 X=0
x=0, x=8
Jawaban: 0; 8
Umumnyatransisi ke sistem yang setara :
Persamaan
(Sistem berisi kondisi yang berlebihan - salah satu ketidaksetaraan tidak perlu dipertimbangkan).
Pertanyaan untuk kelas : Manakah dari tiga solusi berikut yang paling Anda sukai? (Diskusi metode).
Anda berhak memutuskan dengan cara apa pun.
3. Pengenalan variabel baru .
Mari kita pertimbangkanNo.520(g) . .
Apa yang kamu perhatikan? (Ini adalah persamaan kuadrat terhadap log3x) Apa saran Anda? (Perkenalkan variabel baru)
Larutan . ODZ: x > 0.
Membiarkan, maka persamaannya akan berbentuk:
. Diskriminan D > 0. Akar menurut teorema Vieta:
.
Mari kita kembali ke penggantinya:atau.
Setelah menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, kita mendapatkan:
; .
Menjawab : 27;
4. Logaritma kedua ruas persamaan.
Selesaikan persamaan:
.
Larutan : ODZ: x>0, mari kita ambil logaritma kedua ruas persamaan dalam basis 10:
. Mari kita terapkan properti logaritma suatu pangkat:
(lgx + 3) lgx =
(logx + 3) logx = 4
Misal logx = y, maka (y + 3)y = 4
, (D > 0) akar menurut teorema Vieta: y1 = -4 dan y2 = 1.
Mari kita kembali ke penggantian, kita mendapatkan: lgx = -4,
; logx = 1,
.
.
Ini adalah sebagai berikut:
jika salah satu fungsinya
kamu = f(x)
meningkat, dan lainnya
kamu = g(x)
berkurang pada interval X, maka persamaannya
f(x)= g(x)
mempunyai paling banyak satu akar pada interval X
.
Jika ada root maka bisa ditebak. .
Menjawab : 2
“Penerapan metode yang benar dapat dipelajari dengan
hanya dengan menerapkannya pada berbagai contoh.”
Sejarawan matematika Denmark G.G. Zeiten
SAYA V.Pekerjaan Rumah
P. 39 perhatikan contoh 3, selesaikan No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)
V. Menyimpulkan pelajaran
Metode penyelesaian persamaan logaritma apa yang kita pelajari di kelas?
Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat persamaan yang lebih kompleks. Untuk mengatasinya, metode yang dipelajari akan bermanfaat.
Slide terakhir ditampilkan:
“Apa yang lebih dari apapun di dunia ini?
Ruang angkasa.
Apa hal yang paling bijaksana?
Waktu.
Apa bagian terbaiknya?
Raih apa yang kamu inginkan."
Thales
Saya berharap semua orang mencapai apa yang mereka inginkan. Terima kasih atas kerja sama dan pengertian Anda.
