Memecahkan sistem persamaan linear yang arbitrer dan homogen. Bagaimana menemukan solusi nontrivial dan mendasar dari sistem persamaan linier homogen

Sistem M persamaan linier c N disebut tidak diketahui sistem linier homogen persamaan jika semua suku bebasnya sama dengan nol. Sistem seperti itu terlihat seperti:

Di mana dan ij (saya = 1, 2, …, M; J = 1, 2, …, N) - nomor yang diberikan; x saya- tidak dikenal.

Sistem linier persamaan homogen selalu bersama, karena R(A) = R(). Itu selalu memiliki setidaknya nol ( remeh) solusi (0; 0; …; 0).

Mari kita pertimbangkan dalam kondisi apa sistem homogen memiliki solusi bukan nol.

Teorema 1. Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika pangkat matriks utamanya adalah R angka yang lebih sedikit tidak dikenal N, yaitu. R < N.

□ 1). Misalkan suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian yang tidak nol. Karena pangkat tidak boleh melebihi ukuran matriks, maka tentu saja, R ≤ N. Membiarkan R = N. Kemudian salah satu ukuran minor tidak berbeda dari nol. Oleh karena itu, sistem persamaan linear yang sesuai memiliki satu-satunya solusi: . Artinya tidak ada solusi lain selain solusi sepele. Jadi jika ada solusi yang tidak sepele, Itu R < N.

2). Membiarkan R < N. Maka sistem yang homogen, karena konsisten, tidak pasti. Jadi dia punya himpunan tak terbatas keputusan, yaitu mempunyai solusi bukan nol. ■

Pertimbangkan sistem yang homogen N persamaan linier c N tidak dikenal:

(2)

Teorema 2. Sistem homogen N persamaan linier c N yang tidak diketahui (2) mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya sama dengan nol: = 0.

□ Jika sistem (2) mempunyai solusi bukan nol, maka = 0. Karena sistem hanya mempunyai satu solusi nol. Jika = 0 maka pangkatnya R matriks utama sistem lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, mis. R < N. Dan, oleh karena itu, sistem tersebut memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, yaitu. mempunyai solusi bukan nol. ■

Mari kita nyatakan solusi sistem (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, xn = k n sebagai string .

Solusi dari sistem persamaan linear homogen memiliki properti berikut:

1. Jika garis merupakan solusi sistem (1), maka garis tersebut merupakan solusi sistem (1).

2. Jika garis Dan - solusi sistem (1), maka untuk nilai apa pun Dengan 1 dan Dengan 2 kombinasi liniernya juga merupakan solusi untuk sistem (1).

Validitas sifat-sifat ini dapat diverifikasi dengan mensubstitusikannya secara langsung ke dalam persamaan sistem.

Dari sifat-sifat yang dirumuskan dapat disimpulkan bahwa setiap kombinasi linier dari solusi suatu sistem persamaan linier homogen juga merupakan solusi dari sistem tersebut.

Sistem solusi bebas linier e 1 , e 2 , …, e r ditelepon mendasar, jika setiap solusi sistem (1) merupakan kombinasi linier dari solusi-solusi tersebut e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Jika peringkat R matriks koefisien untuk variabel sistem persamaan homogen linier (1) lebih sedikit dari jumlah variabelnya N, lalu apa saja sistem mendasar solusi untuk sistem (1) terdiri dari n–r keputusan.

Itu sebabnya solusi umum sistem persamaan linier homogen (1) berbentuk:

Di mana e 1 , e 2 , …, e r– setiap sistem dasar solusi sistem (9), Dengan 1 , Dengan 2 , …, dengan hal – angka sewenang-wenang, R = n–r.

Teorema 4. Solusi umum sistem M persamaan linier c N yang tidak diketahui sama dengan jumlah solusi umum dari sistem persamaan linear homogen (1) dan solusi partikular sembarang dari sistem ini (1).

Contoh. Selesaikan sistem

Larutan. Untuk sistem ini M = N= 3. Penentu

berdasarkan Teorema 2, sistem hanya mempunyai solusi sepele: X = kamu = z = 0.

Contoh. 1) Temukan solusi umum dan khusus dari sistem

2) Temukan sistem solusi fundamental.

Larutan. 1) Untuk sistem ini M = N= 3. Penentu

menurut Teorema 2, sistem mempunyai solusi bukan nol.

Karena hanya ada satu persamaan independen dalam sistem

X + kamu – 4z = 0,

maka dari situ kita akan mengungkapkannya X =4z- kamu. Dimana kita mendapatkan solusi yang jumlahnya tak terhingga: (4 z- kamu, kamu, z) – ini adalah solusi umum sistem.

Pada z= 1, kamu= -1, kita mendapatkan satu solusi tertentu: (5, -1, 1). Menempatkan z= 3, kamu= 2, kita mendapatkan solusi khusus kedua: (10, 2, 3), dst.

2) Dalam solusi umum (4 z- kamu, kamu, z) variabel kamu Dan z bebas, dan variabel X- bergantung pada mereka. Untuk menemukan sistem solusi mendasar, kami menetapkan gratis nilai variabel: pada awalnya kamu = 1, z= 0, maka kamu = 0, z= 1. Kita memperoleh solusi parsial (-1, 1, 0), (4, 0, 1), yang membentuk sistem solusi fundamental.

Ilustrasi:

Beras. 1 Klasifikasi sistem persamaan linear

Beras. 2 Studi sistem persamaan linear

Presentasi:

· Solusi metode SLAE_matrix

· Solusi metode SLAE_Cramer

· Solusi metode SLAE_Gauss

· Paket solusi masalah matematika Matematika, MathCad: mencari analitis dan solusi numerik sistem persamaan linear

Pertanyaan keamanan :

1. Definisikan persamaan linear

2. Seperti apa sistemnya? M persamaan linear dengan N tidak dikenal?

3. Apa yang disebut penyelesaian sistem persamaan linear?

4. Sistem apa yang disebut ekuivalen?

5. Sistem manakah yang disebut tidak kompatibel?

6. Sistem apa yang disebut gabungan?

7. Sistem manakah yang disebut pasti?

8. Sistem manakah yang disebut tidak terbatas

9. Sebutkan transformasi dasar sistem persamaan linear

10. Sebutkan transformasi dasar matriks

11. Merumuskan teorema penerapan transformasi elementer pada sistem persamaan linear

12. Sistem apa yang bisa diselesaikan metode matriks?

13. Sistem apa yang dapat diselesaikan dengan metode Cramer?

14. Sistem apa yang dapat diselesaikan dengan metode Gauss?

15. Daftar 3 kasus yang mungkin terjadi, timbul ketika menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

16. Mendeskripsikan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

17. Jelaskan metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

18. Jelaskan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

19. Sistem apa yang dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks terbalik?

20. Sebutkan 3 kemungkinan kasus yang timbul ketika menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer

Literatur:

1. Matematika yang lebih tinggi untuk ekonom: Buku teks untuk universitas / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, MN Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 hal.

2. Kursus umum Matematika yang lebih tinggi untuk ekonom: Buku Teks. / Ed. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 hal.

3. Kumpulan soal matematika tingkat tinggi bagi para ekonom: tutorial/ Diedit oleh V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 hal.

4. Gmurman V. E. Panduan untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas dan statistik magmatik. - M.: sekolah pascasarjana, 2005. – 400 hal.

5.Gmurman. V.E Teori probabilitas dan statistik matematika. - M.: Sekolah Tinggi, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematika yang lebih tinggi dalam latihan dan masalah. Bagian 1, 2. – M.: Onyx Abad ke-21: Perdamaian dan Pendidikan, 2005. – 304 hal. Bagian 1; – 416 hal. Bagian 2.

7. Matematika Ekonomi: Buku Ajar: Dalam 2 bagian / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Keuangan dan Statistik, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematika tingkat tinggi: Buku teks untuk siswa. universitas - M.: Sekolah Tinggi, 2007. - 479 hal.

Informasi terkait.

Untuk memahami apa itu sistem keputusan mendasar Anda dapat menonton video tutorial untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih ke deskripsi keseluruhan pekerjaan yang diperlukan. Ini akan membantu Anda memahami inti masalah ini secara lebih rinci.

Bagaimana cara mencari sistem dasar penyelesaian persamaan linear?

Mari kita ambil contoh sistem persamaan linear berikut:

Mari kita cari solusi untuk hal ini sistem linier persamaan Untuk memulainya, kita Anda perlu menuliskan matriks koefisien sistem.

Mari kita ubah matriks ini menjadi matriks segitiga. Kami menulis ulang baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(21)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris kedua, dan menulis selisihnya di baris kedua. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris ketiga dan menulis selisihnya di baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(41)$, Anda perlu mengurangi baris keempat yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris kelima yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris kelima.

Kami menulis ulang baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(32)$, Anda perlu mengurangi baris kedua yang dikalikan 2 dengan baris ketiga dan menulis selisihnya pada baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(42)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 2 dengan baris keempat dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(52)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 3 dengan baris kelima dan menuliskan selisihnya pada baris kelima.

Kami melihatnya tiga baris terakhir sama, jadi jika Anda mengurangkan angka ketiga dari angka keempat dan kelima, maka hasilnya akan menjadi nol.

Menurut matriks ini tuliskan sistem baru persamaan.

Kita melihat bahwa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linier, dan lima persamaan yang tidak diketahui, sehingga sistem penyelesaian fundamental akan terdiri dari dua vektor. Jadi kita kita perlu memindahkan dua hal terakhir yang tidak diketahui ke kanan.

Sekarang, kita mulai mengungkapkan hal-hal yang tidak diketahui yang ada di sisi kiri melalui hal-hal yang tidak diketahui di sisi kanan. Kita mulai dengan persamaan terakhir, pertama kita nyatakan $x_3$, lalu kita substitusikan hasilnya ke persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, lalu ke persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Jadi, kami mengungkapkan semua hal yang tidak diketahui di sisi kiri melalui hal yang tidak diketahui di sisi kanan.

Lalu, alih-alih $x_4$ dan $x_5$, kita dapat mengganti angka apa pun dan mencari $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Masing-masing lima angka ini akan menjadi akar dari sistem persamaan awal kita. Untuk mencari vektor-vektor yang termasuk di dalamnya FSR kita perlu mengganti 1 sebagai ganti $x_4$, dan mengganti 0 sebagai ganti $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, lalu sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.

Solusi sistem linier persamaan aljabar(SLAU) tidak diragukan lagi merupakan topik kursus yang paling penting aljabar linier. Jumlah yang sangat besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sedemikian rupa sehingga dengan bantuannya Anda bisa

• menjemput metode optimal solusi untuk sistem persamaan aljabar linier Anda,
• mempelajari teori metode yang dipilih,
• selesaikan sistem persamaan linear Anda dengan meninjau solusi terperinci contoh yang khas dan tugas.

Deskripsi singkat materi artikel.

Pertama mari kita berikan segalanya definisi yang diperlukan, konsep dan memperkenalkan notasi.

Selanjutnya, kita akan membahas metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Pertama, kita akan fokus pada metode Cramer, kedua, kita akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kita akan menganalisis metode Gauss (metode eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara berbeda.

Setelah ini, kita akan melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier pandangan umum, yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, atau matriks utama sistemnya berbentuk tunggal. Mari kita merumuskan teorema Kronecker-Capelli, yang memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (jika kompatibel) menggunakan konsep basis minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.

Kami pasti akan memikirkan struktur solusi umum homogen dan sistem yang heterogen persamaan aljabar linier. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan linier, juga berbagai tugas, dalam solusi yang menimbulkan SLAE.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kita akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n) dalam bentuk

Variabel yang tidak diketahui - koefisien (sebagian nyata atau bilangan kompleks), - suku bebas (juga bilangan real atau kompleks).

Bentuk pencatatan SLAE ini disebut koordinat.

DI DALAM bentuk matriks Sistem persamaan ini mempunyai bentuk,
Di mana - matriks utama sistem, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks kolom anggota gratis.

Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu,

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier disebut himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai tertentu dari variabel yang tidak diketahui juga menjadi identitas.

Jika suatu sistem persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, maka disebut persendian.

Jika suatu sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka disebut non-bersama.

Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka – tidak pasti.

Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier.

Jika banyaknya persamaan suatu sistem sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka SLAE tersebut disebut dasar. Sistem persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.

Kami mulai mempelajari SLAE tersebut di sekolah menengah atas. Saat menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui ke dalam variabel lain dan mensubstitusikannya ke persamaan yang tersisa, lalu mengambil persamaan berikut, menyatakan variabel yang tidak diketahui berikutnya dan mensubstitusikannya ke persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu menambahkan dua persamaan atau lebih untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena metode ini pada dasarnya merupakan modifikasi dari metode Gauss.

Metode utama penyelesaian sistem persamaan linier dasar adalah metode Cramer, metode matriks, dan metode Gauss. Mari kita selesaikan.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier

yang banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem bukan nol, yaitu .

Misalkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan - determinan matriks yang diperoleh dari A dengan penggantian 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas:

Dengan notasi ini, variabel yang tidak diketahui dihitung menggunakan rumus metode Cramer sebagai . Beginilah cara menemukan solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.

Contoh.

metode Cramer .

Larutan.

Matriks utama sistem berbentuk . Mari kita hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel):

Karena determinan matriks utama sistem bukan nol, sistem mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode Cramer.

Mari kita menyusun dan menghitung determinan yang diperlukan (kita memperoleh determinan dengan mengganti kolom pertama matriks A dengan kolom suku bebas, determinan dengan mengganti kolom kedua dengan kolom suku bebas, dan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom suku bebas) :

Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus :

Menjawab:

Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya penghitungan determinan ketika jumlah persamaan dalam sistem lebih dari tiga.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks (menggunakan matriks invers).

Misalkan suatu sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks, dimana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.

Karena matriks A dapat dibalik, maka terdapat matriks invers. Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan kiri, kita memperoleh rumus untuk mencari kolom matriks dari variabel yang tidak diketahui. Beginilah cara kami memperoleh solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode matriks.

Larutan.

Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Karena

maka SLAE dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks. Dengan menggunakan matriks invers, solusi sistem ini dapat dicari sebagai .

Mari kita buat matriks invers menggunakan matriks dari penjumlahan aljabar elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Tetap menghitung matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks invers ke kolom matriks anggota bebas (jika perlu, lihat artikel):

Menjawab:

atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan menggunakan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks persegi memesan lebih tinggi dari ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss.

Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linear dengan n variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utamanya bukan nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari pengecualian berurutan dari variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui x n tetap dalam persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut menggunakan metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju metode Gaussian, x n dicari dari persamaan terakhir, dengan menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang, x n-1 dihitung, dan seterusnya, x 1 dicari dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapai hal ini dengan menukarkan persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana, dan .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukan ini, ke persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , ke persamaan keempat mari tambahkan bilangan kedua dikalikan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan bilangan kedua dikalikan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana, dan . Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.

Larutan.

Mari kita kecualikan variabel x 1 yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, pada kedua ruas persamaan kedua dan ketiga kita tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Sekarang kita hilangkan x 2 dari persamaan ketiga dengan menambahkan ke kiri dan sisi kanan ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan:

Ini melengkapi gerakan maju dari metode Gauss; kita memulai gerakan mundur.

Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan kita temukan x 3:

Dari persamaan kedua kita peroleh.

Dari persamaan pertama kita menemukan sisa variabel yang tidak diketahui dan dengan demikian menyelesaikan kebalikan dari metode Gauss.

Menjawab:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

DI DALAM kasus umum banyaknya persamaan sistem p tidak sesuai dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui n:

SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya berbentuk persegi dan tunggal.

Teorema Kronecker – Capelli.

Sebelum menemukan solusi suatu sistem persamaan linear, perlu ditetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan kapan SLAE kompatibel dan kapan tidak konsisten diberikan oleh Teorema Kronecker – Capelli:
Agar suatu sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n) konsisten, maka pangkat matriks utama sistem harus sama dengan pangkat matriks yang diperluas, yaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).

Mari kita perhatikan, sebagai contoh, penerapan teorema Kronecker – Capelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier.

Contoh.

Cari tahu apakah sistem persamaan linier memiliki solusi.

Larutan.

. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Kecil dari urutan kedua berbeda dari nol. Mari kita lihat anak di bawah umur urutan ketiga yang berbatasan dengannya:

Karena semua minor yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks utama sama dengan dua.

Pada gilirannya, peringkat matriks yang diperluas sama dengan tiga, karena minornya berada pada orde ketiga

berbeda dari nol.

Dengan demikian, Rang(A), oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Kronecker–Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.

Menjawab:

Sistem tidak memiliki solusi.

Jadi, kita telah belajar menentukan inkonsistensi suatu sistem menggunakan teorema Kronecker–Capelli.

Tetapi bagaimana menemukan solusi untuk SLAE jika kompatibilitasnya telah ditetapkan?

Untuk itu diperlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema rank suatu matriks.

Minor dari orde tertinggi matriks A, selain nol, disebut dasar.

Dari definisi basis minor maka ordenya sama dengan rank matriks. Untuk matriks A yang bukan nol, terdapat beberapa basis minor; selalu ada satu basis minor.

Misalnya, perhatikan matriks .

Semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama dan kedua.

Anak di bawah umur orde kedua berikut ini adalah bilangan dasar, karena bukan nol

Anak di bawah umur tidak mendasar, karena sama dengan nol.

Teorema pangkat matriks.

Jika pangkat suatu matriks berorde p kali n sama dengan r, maka semua elemen baris (dan kolom) matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih dinyatakan secara linier dalam bentuk elemen-elemen pembentuk baris (dan kolom) yang bersesuaian. dasar kecil.

Apa yang disampaikan oleh teorema pangkat matriks kepada kita?

Jika, menurut teorema Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kita memilih basis minor mana pun dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang sesuai. tidak membentuk basis minor yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya, karena persamaan yang dibuang masih mubazir (menurut teorema rank matriks, persamaan tersebut merupakan kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).

Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang tidak perlu, ada dua kasus yang mungkin terjadi.

Jika banyaknya persamaan r pada sistem yang dihasilkan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka persamaan tersebut pasti dan solusi satu-satunya dapat dicari dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Contoh.

.

Larutan.

Peringkat matriks utama sistem sama dengan dua, karena minornya berada pada orde kedua berbeda dari nol. Peringkat Matriks yang Diperluas juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor orde ketiga adalah nol

dan minor orde kedua yang dibahas di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker – Capelli, kita dapat menegaskan kompatibilitas sistem persamaan linear asli, karena Rank(A)=Rank(T)=2.

Kami mengambil minor sebagai dasarnya . Dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua:


Persamaan ketiga sistem tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema pangkat matriks:


Jadi kita dapat sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:


Menjawab:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jika banyaknya persamaan r pada SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari banyaknya variabel yang tidak diketahui n, maka pada ruas kiri persamaan kita tinggalkan suku-suku yang membentuk basis minor, dan pindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan persamaan. persamaan sistem yang bertanda berlawanan.

Variabel yang tidak diketahui (r diantaranya) yang tersisa di ruas kiri persamaan disebut utama.

Variabel yang tidak diketahui (ada n – r buah) yang berada di ruas kanan disebut bebas.

Sekarang kami percaya bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai sewenang-wenang, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan diekspresikan melalui variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan menggunakan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Mari kita lihat dengan sebuah contoh.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier .

Larutan.

Mari kita cari rank matriks utama sistem dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan nol pada orde pertama. Mari kita mulai mencari minor bukan nol dari orde kedua yang berbatasan dengan minor ini:


Beginilah cara kami menemukan minor bukan nol pada orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan dengan nol dari orde ketiga:


Jadi, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperluas juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.

Kami mengambil minor bukan nol dari orde ketiga sebagai basisnya.

Untuk lebih jelasnya, kami tunjukkan unsur-unsur yang membentuk basis minor:


Kita tinggalkan suku-suku yang terlibat dalam basis minor di sisi kiri persamaan sistem, dan pindahkan sisanya dari tanda-tanda yang berlawanan ke sisi kanan:


Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5, yaitu kita terima , di mana angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE akan mengambil formulir tersebut


Mari kita selesaikan sistem dasar persamaan aljabar linier yang dihasilkan menggunakan metode Cramer:


Karena itu, .

Dalam jawaban Anda, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.

Menjawab:

Dimana angka sembarang.

Mari kita rangkum.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier umum, pertama-tama kita menentukan kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker–Capelli. Jika rank matriks utama tidak sama dengan rank matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel.

Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih basis minor dan membuang persamaan sistem yang tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor yang dipilih.

Jika urutan basis minor sama dengan nomornya variabel yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai solusi unik, yang kita temukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.

Jika orde basis minor lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di sisi kiri persamaan sistem kita meninggalkan suku-suku dengan variabel utama yang tidak diketahui, memindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai sembarang ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linear yang dihasilkan kita menemukan hal-hal utama yang tidak diketahui variabel berdasarkan metode Cramer, metode matriks atau metode Gaussian.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier apa pun tanpa terlebih dahulu menguji konsistensinya. Proses eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan ketidakcocokan SLAE, dan jika ada solusi, hal ini memungkinkan untuk menemukannya.

Dari sudut pandang komputasi, metode Gaussian lebih disukai.

Perhatikan itu deskripsi rinci dan menganalisis contoh dalam artikel metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Menulis solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor-vektor sistem dasar solusi.

Pada bagian ini kita akan membahas tentang sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen simultan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Mari kita bahas sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem solusi mendasar sistem homogen p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui merupakan himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, dengan r adalah orde basis minor matriks utama sistem.

Jika kita menyatakan secara linear solusi independen SLAE homogen karena X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) adalah matriks kolom berdimensi n kali 1 ), maka solusi umum dari persamaan ini sistem homogen direpresentasikan sebagai kombinasi linier vektor-vektor dari sistem dasar solusi dengan arbitrer koefisien konstan C 1, C 2, ..., C (n-r), yaitu, .

Apa yang dimaksud dengan istilah penyelesaian umum sistem persamaan aljabar linier homogen (oroslau)?

Artinya sederhana: rumus mengatur segalanya solusi yang mungkin SLAE asli, dengan kata lain, mengambil sembarang himpunan nilai konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), dengan menggunakan rumus tersebut kita akan memperoleh salah satu solusi dari SLAE homogen asli.

Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat mendefinisikan semua solusi SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi SLAE homogen.

Kami memilih basis minor dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem dan memindahkan semua suku yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan. Mari kita beri nilai 1,0,0,...,0 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, menggunakan metode Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, kita mendapatkan X (2) . Dan sebagainya. Jika kita menetapkan nilai 0.0,…,0.1 ke variabel bebas yang tidak diketahui dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem dasar solusi SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umum direpresentasikan dalam bentuk , di mana adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian, dan merupakan solusi khusus dari SLAE tidak homogen asli, yang kita peroleh dengan memberikan nilai yang tidak diketahui bebas ​0,0,…,0 dan menghitung nilai-nilai utama yang tidak diketahui.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh.

Temukan sistem solusi dasar dan solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen .

Larutan.

Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari rank matriks utama dengan menggunakan metode border minor. Sebagai minor bukan nol orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Mari kita cari minor bukan nol yang berbatasan dengan orde kedua:

Minor orde kedua, selain nol, telah ditemukan. Mari kita menelusuri anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol:

Semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas sama dengan dua. Ayo ambil. Agar lebih jelas, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asli tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, oleh karena itu dapat dikecualikan:

Kita tinggalkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan pindahkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan:

Mari kita membangun sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan orde basis minornya sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kita berikan nilai x 2 = 1 ke variabel bebas yang tidak diketahui, x 4 = 0, kemudian kita cari hal-hal utama yang tidak diketahui dari sistem persamaan
.

Larutan temukan menggunakan kalkulator. Algoritma penyelesaiannya sama dengan sistem persamaan linier tak homogen.
Hanya beroperasi dengan baris, kita mencari pangkat matriks, basis minor; Kami mendeklarasikan ketidaktahuan dependen dan bebas dan menemukan solusi umum.

Contoh 2. Temukan solusi umum dan sistem dasar solusi sistem
Larutan.



,
maka pangkat matriksnya adalah 3 dan sama dengan banyaknya yang tidak diketahui. Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki hal-hal yang tidak diketahui secara bebas, dan oleh karena itu mempunyai solusi yang unik - solusi yang sepele.

Latihan . Jelajahi dan pecahkan sistem persamaan linear.
Contoh 4

Latihan . Temukan solusi umum dan khusus dari setiap sistem.
Larutan. Mari kita tuliskan matriks utama sistem:

Tugas . Menemukan himpunan mendasar solusi sistem persamaan linear homogen.