Ini bukanlah tanda nilai rata-rata. Nilai rata-rata

Badan federal oleh pendidikan

Institusi pendidikan negeri pendidikan profesional tinggi "Universitas Ekonomi Negeri Ural"

Pusat Pendidikan Jarak Jauh

TES

dengan disiplin: " Statistik"

Pelaksana:

siswa kelompok: ETR-09 SR

Trosheva Natalya Yurievna

Yekaterinburg

2009

Perkenalan

1.1 Jenis nilai rata-rata dan metode perhitungannya

1.2 Rata-rata struktural

2. Tugas praktek

Kesimpulan

Referensi

Perkenalan

Ini tes terdiri dari dua bagian – teoritis dan praktis.

Pada bagian teoretis, kategori statistik penting seperti nilai rata-rata akan diperiksa secara rinci untuk mengidentifikasi esensi dan kondisi penerapannya, serta menyoroti jenis rata-rata dan metode penghitungannya.

Bagian praktisnya dikhususkan untuk perhitungan dan analisis indikator kinerja paling penting dari setiap perusahaan - tingkat perkembangan fenomena yang direncanakan dan indeks harga umum untuk mengidentifikasi faktor-faktor utama yang mempengaruhi perubahan indikator-indikator ini.

1. Nilai rata-rata: jenis, properti, ruang lingkup

Nilai rata-rata adalah nilai generalisasi dari sifat-sifat yang diteliti pada populasi yang diteliti, yang mencerminkan tingkat khasnya per unit populasi dalam kondisi tempat dan waktu tertentu.

Nilai rata-rata mengacu pada indikator statistik umum yang memberikan ringkasan karakteristik massa fenomena sosial, karena mereka dibangun atas dasar sejumlah besar nilai individu dengan karakteristik yang berbeda-beda.

Nilai rata-rata mencerminkan kesamaan semua unit populasi yang diteliti. Pada saat yang sama, ia menyeimbangkan pengaruh semua faktor yang mempengaruhi nilai karakteristik masing-masing unit populasi, seolah-olah saling memadamkannya. Tingkat suatu fenomena sosial ditentukan oleh tindakan dua kelompok faktor. Beberapa di antaranya bersifat umum dan utama, terus-menerus beroperasi, berkaitan erat dengan sifat fenomena atau proses yang diteliti, dan membentuk ciri khas semua unit populasi yang diteliti, yang tercermin dalam nilai rata-rata. Lainnya bersifat individual, tindakannya kurang jelas dan bersifat episodik dan acak. Oleh karena itu, nilai rata-rata bertindak sebagai nilai “impersonal”, yang dapat menyimpang dari nilai-nilai karakteristik individu tanpa secara kuantitatif sesuai dengan nilai-nilai tersebut. Nilai rata-rata mencerminkan umum, karakteristik dan tipikal untuk seluruh populasi karena saling menghilangkan perbedaan acak dan atipikal antara karakteristik unit-unit individualnya, karena nilainya ditentukan seolah-olah oleh resultan umum dari semua sebab.

Agar nilai rata-rata mencerminkan nilai paling khas dari suatu karakteristik, nilai tersebut harus ditentukan hanya untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang secara kualitatif homogen. Persyaratan ini merupakan syarat utama bagi penggunaan rata-rata yang berbasis ilmiah dan menyiratkan adanya hubungan erat antara metode rata-rata dan metode pengelompokan dalam analisis fenomena sosial ekonomi.

Harus ditekankan bahwa perhitungan yang benar dari setiap nilai rata-rata memerlukan pemenuhan persyaratan berikut:

homogenitas kualitatif populasi yang menjadi dasar penghitungan nilai rata-rata.

menghilangkan pengaruh penyebab dan faktor acak, murni individual pada perhitungan nilai rata-rata

Saat menghitung nilai rata-rata, penting untuk menetapkan tujuan penghitungannya dan apa yang disebut indikator penentu yang harus menjadi fokusnya.

Nilai rata-rata yang dihitung untuk populasi secara keseluruhan disebut rata-rata keseluruhan - nilai ini mencerminkan ciri-ciri umum dari fenomena yang sedang dipelajari; nilai rata-rata yang dihitung untuk setiap kelompok rata-rata kelompok memberikan karakteristik dari fenomena yang berkembang dalam kondisi spesifik suatu kelompok tertentu.

1.1 Metode perhitungan mungkin berbeda-beda, oleh karena itu dalam statistik terdapat beberapa jenis nilai rata-rata

Nilai rata-rata dibagi menjadi 2 jenis besar:

sarana pangkat (rata-rata harmonik, rata-rata geometri, rata-rata aritmatika, dll.). Untuk menghitung rata-rata daya, perlu menggunakan semua nilai karakteristik yang tersedia. Jika Anda menghitung semua jenis rata-rata daya untuk data yang sama, maka nilainya akan sama. Kemudian berlaku aturan mayoritas rata-rata: dengan peningkatan eksponen rata-rata, nilai rata-rata itu sendiri meningkat ().

sarana struktural (mode, median). Modus dan median hanya ditentukan oleh struktur distribusinya. Oleh karena itu, angka tersebut disebut “rata-rata posisi struktural”. Median dan modus sering digunakan sebagai karakteristik rata-rata pada populasi yang tidak mungkin atau tidak praktis untuk menghitung rata-rata daya.

Untuk lebih jelasnya, rumus yang paling umum digunakan untuk menghitung berbagai jenis rata-rata pangkat dalam penelitian praktis disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1 Jenis sarana kekuasaan

Rata-rata aritmatika adalah nilai rata-rata suatu karakteristik, yang selama perhitungannya volume total karakteristik dalam agregatnya tetap tidak berubah. Untuk menghitung mean aritmatika, jumlah semua nilai fitur perlu dibagi dengan jumlahnya. Ini digunakan dalam kasus di mana volume karakteristik yang bervariasi untuk seluruh populasi adalah jumlah dari nilai karakteristik dari masing-masing unitnya. Contoh rata-rata aritmatika adalah total dana upah.

Rata-rata sederhana aritmatika sama dengan jumlah sederhana dari nilai-nilai individu dari karakteristik yang dirata-ratakan, dibagi jumlah total nilai-nilai ini. Ini digunakan dalam kasus di mana terdapat nilai karakteristik individu yang tidak dikelompokkan.

Rata-rata tertimbang aritmatika adalah rata-rata variannya yang diulang nomor yang berbeda kali atau mempunyai bobot yang berbeda.

Sifat dasar mean aritmatika:

Jika nilai-nilai individu dari suatu karakteristik, mis. pilihan, berkurang atau bertambah sebanyak i kali, maka nilai rata-rata atribut baru tersebut juga akan berkurang atau bertambah sebanyak i kali.

Jika semua varian dari karakteristik yang dirata-ratakan dikurangi atau ditambah dengan angka A, maka mean aritmatika juga akan berkurang atau bertambah dengan angka yang sama.

Jika bobot semua pilihan rata-rata dikurangi atau ditambah sebanyak k kali, maka mean aritmatika tidak akan berubah.

Jumlah deviasi nilai individu suatu karakteristik (varian) dari mean aritmatika sama dengan nol.

Sebelum menghitung nilai rata-rata, perlu dilakukan konversi deret interval menjadi deret diskrit. Untuk melakukan ini, carilah titik tengah interval di setiap kelompok. Hal ini ditentukan dengan membagi jumlah batas atas dan batas bawah menjadi dua.

Rumus rata-rata tertimbang harmonik digunakan bila informasi tidak mengandung frekuensi untuk opsi individu x dari totalitas, dan disajikan sebagai produk
. Untuk menghitung rata-rata, perlu ditentukan
, Di mana
. Sekarang kita ubah rumus mean aritmatika sedemikian rupa sehingga dari data yang tersedia x dan m kita dapat menghitung meannya. Dalam rumus rata-rata tertimbang aritmatika, kita mengganti m, dan sebagai ganti f, rasio , sehingga diperoleh rumus rata-rata tertimbang harmonik.

Nilai rata-rata harmonik sederhana digunakan dalam kasus di mana bobot setiap opsi sama dengan satu, yaitu. ,

Nilai rata-rata geometrik digunakan dalam kasus di mana nilai individu suatu karakteristik adalah nilai dinamika relatif, dikonstruksikan dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio terhadap level sebelumnya dari setiap level dalam deret dinamika, yaitu. mencirikan tingkat pertumbuhan rata-rata.

Nilai rata-rata adalah jenis nilai turunan kedua yang banyak digunakan dalam statistik medis. Nilai rata-rata adalah ringkasan, karakteristik umum dari suatu populasi statistik untuk karakteristik kuantitatif tertentu yang berubah (rata-rata tinggi badan, berat rata-rata, usia paruh baya almarhum). Nilai rata-rata mencerminkan properti penentu umum dari seluruh populasi statistik secara keseluruhan, menggantikannya dengan satu angka dengan nilai tipikal dari karakteristik ini. Nilai rata-rata mendatar, melemah penyimpangan acak pengamatan individu dalam satu arah atau lainnya dan mencirikannya properti permanen fenomena.

Dalam kedokteran, nilai rata-rata dapat digunakan untuk mengkarakterisasi perkembangan fisik, ciri-ciri dasar antropometri (morfologi dan fungsional: tinggi badan, berat badan, dinamometri, dll) dan dinamikanya (nilai rata-rata kenaikan atau penurunan suatu sifat). Pengembangan indikator-indikator ini dan kombinasinya dalam bentuk standar sangatlah penting signifikansi praktis untuk menganalisis kesehatan masyarakat (terutama anak-anak dan atlet). Ahli epidemiologi menghitung jumlah rata-rata penyakit dalam suatu wabah, distribusi wabah berdasarkan waktu, dan waktu rata-rata untuk disinfeksi.

Dalam studi demografi dan medis-sosial berikut ini dihitung: durasi rata-rata kehidupan masa depan, usia rata-rata orang yang meninggal, rata-rata populasi, dll.

Dalam studi laboratorium eksperimental, nilai rata-rata juga digunakan: suhu, jumlah denyut nadi per menit, level tekanan darah, kecepatan rata-rata atau waktu reaksi rata-rata terhadap rangsangan tertentu, rata-rata kadar unsur biokimia dalam darah, dll.

Baik koefisien statistik maupun rata-rata merupakan nilai probabilistik, namun terdapat perbedaan yang signifikan di antara keduanya:

• 1) Koefisien statistik mencirikan suatu ciri yang hanya terjadi pada sebagian populasi tertentu (yang disebut ciri alternatif), yang mungkin terjadi atau tidak terjadi (kelahiran, kematian, penyakit). Nilai rata-rata mencirikan ciri-ciri yang melekat pada seluruh populasi, tetapi dalam derajat yang berbeda-beda(berat badan, tinggi badan, hari pengobatan).
• 2) Koefisien statistik digunakan untuk mengukur karakteristik kualitatif (atributif atau deskriptif), dan koefisien rata-rata digunakan untuk memvariasikan karakteristik kuantitatif, dimana yang sedang kita bicarakan tentang perbedaan dimensi numerik suatu fitur, dan bukan tentang fakta ada atau tidaknya fitur tersebut.

Keuntungan utama dari nilai rata-rata adalah kekhasannya - rata-rata langsung memberi karakteristik umum fenomena. Dalam hal ini, dua persyaratan utama untuk menghitung nilai rata-rata dapat dibedakan:

• - homogenitas penduduk;
• - jumlah pengamatan yang cukup.

Distribusi apa pun variabel acak, tidak harus tunduk pada hukum distribusi probabilitas tertentu, dicirikan oleh parameter distribusi: nilai rata-rata (M), simpangan baku (), koefisien variasi (Cv), dll.

Misalnya, ketika mempelajari distribusi 10 pasien menurut periode pengobatan, kita mendapatkan serangkaian nilai numerik: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - rangkaian tidak berurutan.

Parameter distribusi dapat dihitung menggunakan rangkaian ini. Namun, mengkarakterisasi suatu deret dengan beberapa parameter saja tidak cukup; seri statistik pola stabil apa pun. Namun dengan menggunakan deret tak berurutan, sulit untuk mendeteksi pola yang mungkin terjadi, sehingga dibuatlah deret berperingkat.

Deret yang memberikan sebaran satuan-satuan populasi yang diteliti menurut nilai-nilai suatu sifat yang bervariasi disebut variasional. Dengan kata lain - seri variasi- serangkaian besaran homogen yang disusun dalam urutan menaik atau menurun, dimana pilihan (kelompok pilihan) berbeda satu sama lain dengan jumlah tertentu yang disebut interval (i).

Dengan demikian, distribusi pasien berdasarkan masa pengobatan dapat disajikan sebagai berikut:

Tanda yang berubah-ubah dan bervariasi dari fenomena yang diteliti (tinggi badan, berat badan, dll), nya nilai numerik disebut opsi (V).

Banyaknya kasus observasi suatu karakteristik tertentu, yang menunjukkan berapa kali varian tertentu muncul, disebut frekuensi (p).

Seri variasi dapat berupa:

• 1) tergantung pada fenomena yang diteliti:
  • - diskrit (terputus-putus) - dibentuk berdasarkan karakteristik yang terus berubah, yang nilainya hanya dinyatakan dalam bilangan bulat (denyut nadi, jumlah siswa dalam kelompok, dll.);
  • - interval (kontinu) - biasanya dibentuk berdasarkan karakteristik yang dapat mengambil nilai berapa pun dan dinyatakan dengan angka berapa pun (tinggi, berat, dll.)
• 2) tergantung pada jumlah observasi:
  • - sederhana - opsi diwakili oleh satu nilai numerik;
  • - dikelompokkan - opsi dikelompokkan menurut karakteristik tertentu. Misalnya, ketika mempelajari perkembangan fisik, pengelompokan dapat dilakukan berdasarkan berat: 40-44 kg; 45-49kg. dll.
• 3) tergantung pada urutan pengaturannya, pilihannya:
  • - menaik - opsi disusun dalam urutan menaik;
  • - menurun - opsi disusun dalam urutan menurun.

Rangkaian variasi yang terpisah dapat mencakup beberapa karakteristik secara bersamaan. Misalnya sederhana, menurun, terputus-putus; atau - dikelompokkan, meningkat, berkelanjutan.

Jenis rata-rata yang umum digunakan dalam statistik medis adalah median, modus, dan mean aritmatika. Jenis rata-rata lainnya: rata-rata harmonik, rata-rata kuadrat, rata-rata kubik, rata-rata geometrik dan lain-lain - hanya digunakan dalam studi khusus.

Median (Me) adalah pilihan tengah, tengah, yang membagi rangkaian variasi menjadi dua bagian yang sama besar.

Misalnya, jika jumlah observasinya 33, maka mediannya adalah opsi yang menempati peringkat ke-17, karena ada 16 observasi di kedua sisinya.

Pada baris dengan jumlah pengamatan genap, terdapat dua nilai di tengahnya. Jika nilainya sama, tidak ada kesulitan dalam memperkirakan mediannya, tetapi jika nilai numerik dari dua besaran berbeda, maka jumlah setengahnya diambil sebagai median.

Modus (Mo) adalah nilai suatu karakteristik yang paling sering muncul atau paling sering diulang. Jika suatu modus kira-kira ditemukan dalam rangkaian sederhana (tidak dikelompokkan), maka modus tersebut didefinisikan sebagai varian dengan jumlah terbesar frekuensi

Perbedaan antara median dan modus dengan mean aritmatika adalah dengan definisi aproksimasi yang disederhanakan, besaran-besaran tersebut dapat dengan mudah dan cepat dicari berdasarkan posisinya dalam deret variasi (rata-rata posisi), selain itu tidak bergantung pada nilai. varian ekstrim atau pada tingkat penyebaran deret.

Rata-rata aritmatika (M - dari bahasa Latin Media) paling sering digunakan dalam statistik medis. Rata-rata aritmatika bisa sederhana atau tertimbang.

Contoh rata-rata aritmatika sederhana adalah hasil pengukuran berat badan misalnya 6 orang:

Jadi, mean sederhana aritmatika diperoleh sebagai jumlah kuantitas (pilihan) dibagi dengan jumlahnya. Rata-rata aritmatika sederhana hanya dapat dihitung dalam kasus di mana setiap nilai (varian) diwakili oleh satu observasi, yaitu ketika frekuensinya sama dengan satu.

Jika frekuensi varian lebih besar dari satu, rata-rata sederhana tidak berlaku - di sini perlu menghitung rata-rata tertimbang aritmatika, yang diperoleh sebagai jumlah produk varian dengan frekuensi yang sesuai, dibagi dengan total sejumlah observasi.

Contoh: denyut nadi (denyut per menit) pada 18 siswa setelah tes atropin adalah: 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

Rata-rata aritmatika sederhananya adalah kasus khusus rata-rata tertimbang aritmatika, oleh karena itu rumus tertimbang rata-rata aritmatika juga dapat digunakan untuk menghitung rata-rata aritmatika sederhana. DI DALAM kasus terakhir frekuensi sama dengan satu dan perkalian tidak diperlukan.

Ketiga nilai rata-rata (Mo, Me, M) bertepatan (atau praktis sangat dekat) dalam deret variasi simetris: mean aritmatika sesuai dengan bagian tengah deret (dalam deret simetris, deviasi ke arah kenaikan dan ke arah a penurunannya masing-masing seimbang); median (sebagai nilai pusat) juga sesuai dengan bagian tengah deret; mode (sebagai nilai paling jenuh) jatuh titik tertinggi baris, juga terletak di tengahnya. Oleh karena itu, untuk semua deret simetris tidak perlu menghitung rata-rata selain mean aritmatika.

Sifat-sifat mean aritmatika:

• 1. Nilai rata-rata adalah suatu sifat umum dari suatu populasi statistik untuk suatu karakteristik kuantitatif tertentu yang berubah-ubah; nilai ini mencerminkan sifat penentu umum dari seluruh populasi statistik secara keseluruhan, menggantikannya dengan satu angka dengan nilai khas dari suatu karakteristik tertentu. Nilai rata-rata mendatar, melemahkan penyimpangan acak dari pengamatan individu dalam satu arah atau lainnya dan mencirikan sifat konstan dari fenomena.
• 2. Jumlah deviasi dari mean aritmatika adalah 0.
• 3. Pada deret variasi simetris ketat, mean aritmatika menempati posisi tengah dan sama dengan Mo, Me.

Rata-rata aritmatika diambil sendiri tanpa teknik tambahan penilaian sering kali terjadi nilai terbatas, karena tidak mencerminkan derajat dispersi (keanekaragaman) deret tersebut. Nilai rata-rata dengan ukuran yang sama dapat diperoleh dari deret dengan derajat hamburan yang berbeda-beda. Rata-rata adalah nilai di mana berbagai pilihan tersebar, dan semakin dekat masing-masing pilihan satu sama lain, semakin kecil penyebaran rangkaiannya, semakin khas nilai rata-ratanya.

Metode perkiraan untuk menilai keragaman suatu rangkaian dapat dilakukan dengan menentukan amplitudo. Amplitudo - perbedaan antara yang terbesar dan nilai terendah pilihan:

A = Vmaks - Vmin

Tetapi amplitudo tidak memperhitungkan nilai perantara dalam rangkaian tersebut; selain itu, dimensinya mungkin juga bergantung pada jumlah pengamatan.

Ukuran utama untuk menilai keragaman suatu deret adalah simpangan baku ().

Untuk menghitung sigma yang Anda butuhkan:

menentukan penyimpangan (d) dari rata-rata (V - M);

kuadratkan simpangannya (d 2);

• 3) kalikan kuadrat simpangan dengan frekuensi (d 2p);
• 4) menjumlahkan hasil kali kuadrat deviasi dan frekuensi;
• 5) membagi jumlah ini dengan jumlah observasi;
• 6) ekstrak akar kuadrat dari hasil bagi.

Dengan menggunakan sigma, Anda dapat menentukan derajat kekhasan rata-rata, batas hamburan suatu deret, batas fluktuasi di sekitar rata-rata varian individu. Semakin kecil sigmanya, semakin kecil hamburan deretnya, semakin akurat dan tipikal nilai rata-rata yang dihitung untuk deret tersebut.

Penggunaan sigma memungkinkan untuk mengevaluasi dan membandingkan keragaman beberapa seri homogen distribusi, karena merupakan besaran nominal dan dinyatakan angka absolut dalam satuan populasi yang diteliti (cm, kg, mg/l, dll). Dalam hal ini, ukuran absolut dari sigma diperhitungkan. Misalnya, ketika membandingkan dua baris distribusi berdasarkan berat, asalkan rata-ratanya dekat, tetapi sigma di satu baris adalah ± 5,6 kg, dan di baris lainnya ± 2,1 kg. - baris kedua kurang tersebar, dan bagian tengahnya lebih khas.

Saat menilai keragaman rangkaian heterogen (misalnya, karakteristik seperti berat dan tinggi badan), perbandingan langsung ukuran sigma tidak mungkin dilakukan. Dalam hal ini, untuk menentukan derajat keragaman relatif suatu deret, mereka menggunakan nilai turunan - koefisien variabilitas (variasi), yang merupakan nilai relatif, dinyatakan dalam % dan dilambangkan dengan huruf Cv (V).

Misalnya pada saat mempelajari perkembangan fisik siswa laki-laki tahun pertama diperoleh indikator sebagai berikut: M (berat badan) = 67,5 kg; M (tinggi) = 178,1 cm. Dengan demikian = ± 2,8 kg. dan ± 6,2 cm. Standar deviasi tinggi badan lebih dari 2 kali sigma berat.

Koefisien variasi tinggi badan lebih kecil daripada berat badan, artinya tinggi badan ternyata merupakan sifat yang lebih stabil daripada berat badan.

Ada tiga derajat keragaman dalam koefisien variasi:

hingga 10% - keanekaragaman yang lemah;

10 - 20% - keanekaragaman rata-rata;

lebih dari 20% - keragaman yang kuat.

Metode penghitungan koefisien keragaman yang sama juga cocok untuk menganalisis deret homogen, yang nilai rata-ratanya sangat bervariasi, serta untuk memperkirakan deret tunggal yang terisolasi.

Contoh penghitungan mean aritmatika (M); deviasi standar(); koefisien variasi (Cv).

Durasi pengobatan angina pada 45 pasien adalah: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12 , 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14 , dan 15 hari.

Tahap pertama: Kami membuat rangkaian variasi, dengan mempertimbangkan frekuensi kemunculan setiap opsi; berikan deskripsi seri tersebut; kita menemukan produk varian dengan frekuensi yang sesuai, menjumlahkan produk yang dihasilkan dan menghitung mean aritmatika:

Tahap kedua: hitung d (V-M); hari 2; d 2p.

Kesimpulan: Rata-rata durasi pengobatan angina di klinik adalah 11 hari. Rata-ratanya kurang khas untuk deret ini, terbukti dengan koefisien variasi sebesar 36,5% ( derajat tinggi keragaman sifat).

Dalam statistik, nilai rata-rata merupakan indikator generalisasi dari sekumpulan sosial atau yang homogen fenomena alam, yang menunjukkan tingkat khas dari suatu karakteristik yang bervariasi per unit populasi pada titik waktu tertentu.

Menemukan rata-rata adalah salah satu teknik generalisasi yang umum. Nilai rata-rata mencerminkan kesamaan (khas) untuk semua unit populasi yang diteliti, tetapi sekaligus mengabaikan perbedaan antar unit individu. Kami telah mengatakan bahwa dengan peningkatan jumlah pengamatan yang tidak terbatas (n ​​-» oo), nilai rata-rata, menurut hukum bilangan besar, akan mendekati ekspektasi matematisnya tanpa batas, yaitu dengan n - > oo bisa dituliskan X ~ M[X], Di Sini X- nilai rata-rata. Artinya, nilai rata-rata merupakan perkiraan harapan matematis.

Mari kita membuat penyimpangan kecil dan memberi informasi singkat pada estimasi parameter yang diperoleh sebagai hasil dari n percobaan. Misalkan kita perlu menentukan parameter d tertentu berdasarkan hasil n percobaan. Kami akan menyebut nilai perkiraan parameter ini sebagai estimasi dan menunjukkannya D. Estimasi d harus memenuhi sejumlah persyaratan agar bisa menjadi estimasi yang “baik”.

Nilai D dengan peningkatan jumlah percobaan, probabilitasnya harus konvergen ke parameter yang diinginkan, yaitu.

Perkiraan dengan sifat ini disebut konsisten.

Apalagi menggunakan perkiraan D alih-alih parameter d itu sendiri, disarankan untuk tidak melakukannya kesalahan sistematik, yaitu ekspektasi matematis dari estimasi harus sama dengan parameter itu sendiri:

Perkiraan yang mempunyai sifat ini disebut tidak bias.

Alangkah baiknya jika perkiraan yang dipilih tidak bias D adalah acak mungkin, yaitu memiliki varian minimal dibandingkan yang lain:

Estimasi yang mempunyai sifat ini disebut efektif.

DI DALAM kondisi nyata Tidak selalu mungkin untuk memenuhi semua persyaratan di atas. Namun demikian, ketika memilih estimasi untuk parameter apa pun, disarankan untuk mempertimbangkan estimasi ini dari semua sudut pandang yang tercantum.

Mari kita kembali ke rata-rata. Saat menghitungnya di dalam jumlah besar pengamatan, keacakan dihilangkan (ini mengikuti hukum bilangan besar), oleh karena itu, dimungkinkan untuk mengabstraksikan ciri-ciri yang tidak penting dari fenomena yang sedang dipelajari dan dari nilai kuantitatif masuk setiap eksperimen tertentu.

A. Quetelet memberikan kontribusi besar terhadap pembuktian dan pengembangan teori rata-rata. Menurut ajarannya, proses massa terbentuk di bawah pengaruh dua kelompok sebab. Kelompok penyebab pertama yang umum bagi semua unit agregat massa mencakup penyebab yang menentukan keadaan proses massal. Mereka membentuk tingkat tipikal untuk unit-unit populasi homogen tertentu.

Kelompok alasan kedua terbentuk fitur tertentu unit individu dari populasi massal dan, oleh karena itu, penyebarannya dari tingkat tipikal.

Penyebab-penyebab tersebut tidak berhubungan dengan sifat fenomena yang diteliti, oleh karena itu disebut penyebab acak.

Nilai rata-rata yang diperoleh untuk seluruh populasi disebut total, dan nilai rata-rata yang dihitung untuk setiap kelompok disebut rata-rata kelompok. Ada dua jenis rata-rata: rata-rata daya (rata-rata aritmatika, dll.), rata-rata struktural (mode, median).

Mari kita pertimbangkan rata-rata daya. Rata-rata daya ditentukan berdasarkan rumus

Di mana X- nilai rata-rata;

X ( - nilai saat ini karakteristik yang sedang dipelajari;

T- indikator derajat rata-rata;

n - jumlah fitur (opsi).

Tergantung pada indikatornya T derajat rata-rata kita memperoleh jenis rata-rata daya berikut:

• - rata-rata harmonik xgar, Jika T = -1;
• - rata-rata geometris itu geom, Jika T = 0;
• - rata-rata aritmatika x ar, Jika T = 1;
• - berarti persegi x segi empat, Jika t = 2;
• - rata-rata kubik x kubik, Jika t = 3,
• - DIA. D.

Bila menggunakan data yang sama, semakin banyak T dalam rumus (6.4), jadi nilai lebih rata-rata, yaitu

Kami menyajikan rumus khusus untuk menghitung beberapa jenis rata-rata daya.

Pada T= -1 kita mendapatkan mean harmonik:

Jika data awal dikelompokkan, rata-rata tertimbang digunakan. Frekuensi p (jumlah percobaan di mana peristiwa yang menarik bagi kita muncul) atau frekuensi relatif dapat digunakan sebagai bobot

Mari kita tuliskan rumus rata-rata harmonik tertimbang:

Pada T= 0 kita mendapatkan mean geometrik:

artinya, mereka menerima ketidakpastian.

Untuk memperluasnya, mari kita ambil logaritma dari kedua sisi rumus (6.4.)

lalu gantikan T= 0 dan kita dapatkan

yaitu kita mempunyai ketidakpastian bentuk. Untuk mengungkap ketidakpastian ini, kita menerapkan aturan L'Hopital. Hasil yang didapat dipotensiasi, dan akhirnya kita dapatkan

Rata-rata geometrik telah banyak digunakan untuk mencari rata-rata laju perubahan deret dinamika dan deret distribusi.

Mari kita tuliskan rumus rata-rata geometri tertimbang.

Mari kita memberi contoh konkrit mencari rata-rata geometri tertimbang menggunakan rumus (6.11).

Contoh 6.1

Data observasi awal diberikan dalam tabel. 6.1.

Tabel 6.1

Dalam tabel 6.1 X.- hasil yang diterima oleh beberapa variabel acak X di pengalaman gm; R. - frekuensi peristiwa - menunjukkan berapa kali peristiwa yang menarik bagi kita muncul sebagai hasil dari semua eksperimen. Misalnya, X= 2 muncul 5 kali dalam 24 percobaan.

Frekuensi relatif suatu peristiwa (frekuensi).

Dengan menggunakan rumus (6.11) kita memperoleh:

Menurut rumus (6.12) yang kita miliki

Pada t = 1 kita mendapatkan mean aritmatika:

Rata-rata aritmatika adalah jenis yang paling terdistribusi di antara semua jenis sarana pangkat. Ini digunakan dalam kasus di mana volume karakteristik yang bervariasi untuk seluruh populasi adalah jumlah dari nilai karakteristik unit individu.

Berikut rumus mencari mean aritmatika tertimbang:

Dengan jumlah observasi yang banyak, menurut hukum bilangan besar, rumus (6.15) menentukan estimasi ekspektasi matematis, yaitu.

Pada t = 2 kita mendapatkan kuadrat rata-rata:

Ini digunakan untuk menghitung ukuran fitur rata-rata yang dinyatakan dalam satuan persegi.

Rumus untuk mencari kuadrat rata-rata tertimbang berbentuk:

Dengan ga = 3 kita mendapatkan rata-rata kubik:

Ini digunakan untuk mencari ukuran rata-rata suatu fitur, yang dinyatakan dalam satuan kubik.

Rumus untuk menghitung rata-rata kubik tertimbang adalah:

Sekarang mari kita pertimbangkan rata-rata struktural: modus dan median. Dalam statistik, tidak seperti teori probabilitas, kita berurusan dengan perkiraan besaran-besaran ini. Kami akan menunjukkannya dengan huruf yang sama seperti pada Bab 2, tetapi dengan tanda gelombang.

Modus dalam statistik (Mo) adalah nilai suatu variabel acak yang paling sering muncul dalam suatu rangkaian distribusi statistik, yaitu memiliki frekuensi tertinggi atau frekuensi relatif (frekuensi).

Misalnya dalam tabel. 6.1 frekuensi relatif tertinggi adalah / = 0,33, sehingga modusnya sama dengan Mo = 5.

Jika kita mempunyai deret distribusi berkelompok dengan interval yang sama, maka modusnya dapat dicari dengan menggunakan rumus

dimana M o bawah- batas bawah interval modal;

g Mo - panjang interval modal;

Pmo - frekuensi interval modal;

M-mo_, - frekuensi interval sebelum modal;

M-mo +1 -- frekuensi interval mengikuti modal.

Perhatikan bahwa frekuensi relatif juga dapat digunakan untuk perhitungan.

Median dalam statistika adalah suatu pilihan yang berada di tengah-tengah rangkaian distribusi yang diurutkan, yaitu nilai median terletak berdasarkan bilangan urutnya.

Jika seri distribusi memiliki angka ganjil unsur, bilangan median dicari menurut rumus

Misalnya dalam tabel. Tabel 6.2 menunjukkan gaji staf pengajar Departemen Tinggi Matematika.

Tabel 6.2

Banyaknya unsur deret tersebut adalah 5, maka dengan menggunakan rumus (6.23) kita mencari jumlah mediannya, maka tembaga

masuk dalam hal ini sama dengan

Jika suatu baris berisi elemen yang jumlahnya genap, maka opsi tersebut ditemukan sebagai rata-rata dari dua opsi yang terletak di tengah baris.

Dalam deret distribusi berkelompok, median (karena membagi seluruh populasi menjadi dua bagian yang sama besar) terletak pada salah satu interval.

Frekuensi kumulatif (akumulasi) (atau frekuensi relatif) sama dengan atau lebih besar dari setengah jumlah semua frekuensi rangkaian (untuk frekuensi relatif itu sama dengan 1/2 atau lebih besar dari 1/2).

Dalam hal ini, nilai median dihitung menggunakan rumus

dimana adalah batas bawah interval median;

Panjang interval median;

Setengah jumlah frekuensi;

Jumlah frekuensi yang terakumulasi sebelum dimulainya interval median;

Frekuensi interval median.

Dalam proses pengolahan dan pengikhtisaran data statistik, timbul kebutuhan untuk menentukan nilai rata-rata. Sebagai aturan, nilai-nilai individu dari karakteristik yang sama tidak sama di berbagai unit populasi.

Nilai rata-rata – suatu ciri yang menggeneralisasi dari ciri yang sedang dipelajari pada populasi yang diteliti. Hal ini mencerminkan tingkat khas per unit populasi dalam kondisi tempat dan waktu tertentu.

Misalnya, ketika mempelajari pendapatan pekerja di suatu perusahaan, ciri umumnya adalah pendapatan rata-rata satu pekerja. Untuk menentukannya, jumlah total dana yang dialokasikan untuk konsumsi berupa upah, tunjangan sosial dan tenaga kerja, bantuan keuangan, dividen atas saham dan bunga simpanan dalam kekayaan perusahaan untuk masa yang ditinjau (tahun, triwulan, bulan) dibagi dengan jumlah pekerja di perusahaan itu. Pendapatan rata-rata mencirikan kesamaan seluruh populasi pekerja di suatu perusahaan, yaitu. tingkat pendapatan massa pekerja dalam kondisi khusus operasi suatu perusahaan tertentu pada periode yang ditinjau.

Rata-rata yang dihitung untuk seluruh penduduk disebut rata-rata umum.

Rata-rata yang dihitung untuk setiap kelompok disebut rata-rata kelompok.

Semakin banyak unit populasi yang rata-ratanya dihitung, semakin stabil populasi tersebut, yaitu. lebih tepatnya. Perhitungan nilai rata-rata mencakup dua operasi:

I – penjumlahan data untuk semua unit (generalisasi data);

II – membagi data yang diringkas dengan jumlah unit dalam populasi.

– nilai rata-rata suatu sifat ; N– jumlah unit populasi;

XSaya – nilai individu dari karakteristik setiap unit populasi.

Inti dari nilai rata-rata menentukan signifikansi khususnya dalam ekonomi pasar. Nilai rata-rata, melalui individu dan acak, memungkinkan kita untuk mengidentifikasi yang umum dan perlu, untuk mengidentifikasi tren pola pembangunan ekonomi.

Rata-rata kekuatan:

ü rata-rata aritmatika;

ü rata-rata geometrik;

ü rata-rata harmonik;

ü berarti persegi;

ü kronologis rata-rata.

Rata-rata struktural: modus dan median.

Pilihan satu atau beberapa jenis rata-rata dibuat tergantung pada tujuan penelitian, esensi ekonomi indikator rata-rata dan sifat sumber data yang tersedia. Hanya jika rata-rata diterapkan dengan benar barulah diperoleh nilai yang memiliki arti ekonomi nyata.

Rata-rata aritmatika – jenis rata-rata yang paling umum.

Yang kami maksud dengan mean aritmatika nilai suatu sifat yang dimiliki setiap satuan populasi jika jumlah seluruh nilai suatu sifat tersebar merata kepada semua satuan populasi.

Ini dihitung dalam kasus di mana volume karakteristik rata-rata dibentuk sebagai jumlah nilainya untuk masing-masing unit populasi statistik yang diteliti. Bergantung pada sifat data awal, mean aritmatika ditentukan sebagai berikut:

Rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan membagi jumlah nilai dengan jumlahnya.

Contoh: Gaji bulan Januari untuk 3 pekerja di satu bengkel adalah: 6500, 4955, 5323 rubel. Gaji rata-rata per bulan adalah:
menggosok.

Contoh: Hitung rata-rata masa kerja sepuluh karyawan suatu perusahaan dagang. Nilai atribut tunggal (tahun): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 tahun.

Seperti yang bisa kita lihat, mean aritmatikanya mungkin seperti itu bilangan pecahan, meskipun nilai individual atribut ditentukan hanya sebagai bilangan bulat. Hal ini mengikuti hakikat mean aritmatika, yaitu besaran abstrak (teoritis), yaitu. itu dapat mengambil nilai numerik yang tidak ditemukan dalam kumpulan nilai atribut individual yang disajikan.

Rata-rata aritmatika tertimbang

Seringkali diperlukan untuk menghitung nilai rata-rata suatu karakteristik pada suatu deret distribusi ketika nilai karakteristik yang sama muncul beberapa kali. Dengan menggabungkan data berdasarkan nilai karakteristik (yaitu mengelompokkannya) dan menghitung jumlah kasus pengulangan masing-masing karakteristik, kita memperoleh rangkaian variasi berikut.

Oleh karena itu, untuk menghitung rata-rata tertimbang, operasi berurutan berikut dilakukan: mengalikan setiap opsi dengan frekuensinya, menjumlahkan produk yang dihasilkan, membagi jumlah yang dihasilkan dengan jumlah frekuensi.

Rata-rata aritmatika tertimbang memperhitungkan arti yang berbeda pilihan individu dalam totalitas. Oleh karena itu, ini harus digunakan dalam semua kasus di mana pilihannya memiliki nomor yang berbeda. Penggunaan rata-rata sederhana dalam kasus ini tidak dapat diterima, karena hal ini pasti menyebabkan distorsi indikator statistik.

Rata-rata aritmatika tampaknya terdistribusi secara merata objek yang terpisah nilai keseluruhan suatu sifat yang sebenarnya berbeda-beda untuk masing-masingnya.

Kadang-kadang penghitungan nilai rata-rata harus dilakukan dengan menggunakan data yang dikelompokkan dalam bentuk deret distribusi interval, bila varian karakteristik yang digunakan untuk menghitung rata-rata disajikan dalam bentuk interval (dari - ke). Untuk menghitung nilai rata-rata, perlu ditentukan nilai rata-rata x pada setiap pilihan, kemudian ditimbang dengan urutan biasa x y

Dalam interval tertutup, nilai tengah didefinisikan sebagai setengah dari jumlah nilai batas bawah dan atas.

Masalah menghitung nilai rata-rata seri interval diperumit oleh kenyataan bahwa batas ekstrim dari interval awal dan akhir tidak diketahui. Dalam hal ini diasumsikan bahwa jarak antara batas-batas interval ini sama dengan jarak antara batas-batas interval yang berdekatan.

Perlu dicatat bahwa, meskipun kita menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika untuk menghitung rata-rata dari suatu deret interval, rata-rata yang dihitung bukanlah nilai pasti, karena sebagai hasil mengalikan nilai rata-rata kelompok dengan jumlahnya, kita tidak akan mendapatkan nilai sebenarnya. Tingkat perbedaan tergantung pada sejumlah alasan: 1 – jumlah pilihan. Bagaimana jumlah yang lebih besar pilihan, semakin besar kemungkinan bahwa titik tengah interval akan sedikit berbeda dari rata-rata kelompok. Jika setiap kelompok mempunyai jumlah unit yang sedikit, rata-rata kelompok tidak hanya berada di tengah, tetapi juga mendekati batas atas atau bawah interval.

Contoh, Diperlukan untuk menghitung rata-rata masa kerja 12 karyawan sebuah biro iklan. Pada saat yang sama, nilai individu dari atribut (pengalaman) dalam beberapa tahun diketahui: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Setelah menggabungkan data nilai atribut dan menghitung jumlah kasus pengulangan masing-masing atribut, kita akan menghitung rata-rata masa kerja berdasarkan data yang dikelompokkan menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 tahun.

Dalam praktek pengolahan materi secara statistik, timbul permasalahan berbagai tugas, yang memiliki kekhasan dalam mempelajari fenomena dan memerlukan penggunaan berbagai rata-rata dalam penyelesaiannya. Mengingat rata-rata statistik selalu menyatakan properti berkualitas dipelajari proses sosial dan fenomena, penting untuk memilih bentuk rata-rata yang tepat, berdasarkan hubungan fenomena dan karakteristiknya.

Sifat-sifat mean aritmatika:

Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah sifat, yang pengetahuannya diperlukan untuk memahami esensi rata-rata, serta untuk menyederhanakan perhitungannya.

1. Sedang jumlah aritmatika kuantitas yang bervariasi sama dengan jumlah rata-rata besaran aritmatika:

Jika x i = y i + z i maka

Aturan ini menunjukkan dalam hal apa nilai rata-rata dapat dijumlahkan. Jika misalnya produk manufaktur terdiri dari dua bagian kamu Dan z dan biaya produksi masing-masingnya rata-rata pada= 3 jam z = 5 jam, maka rata-rata waktu yang dihabiskan untuk pembuatan satu produk ( X), akan sama dengan: 3+5 = 8 jam, mis. X= kamu + z..

2. Jumlah deviasi aljabar nilai-nilai individu dari suatu karakteristik yang bervariasi dari rata-rata sama dengan nol, karena jumlah deviasi dalam satu arah dikurangi dengan jumlah deviasi dalam arah lain, yaitu.

Karena

Aturan ini menunjukkan bahwa rata-rata adalah resultannya.

3. Jika semua pilihan dalam suatu rangkaian dikurangi atau ditambah dengan angka yang sama A, maka rata-ratanya akan berkurang atau bertambah dengan jumlah yang sama A:

4. Jika semua pilihan suatu rangkaian dikurangi atau ditambah sebesar A kali, maka rata-ratanya juga akan menurun atau meningkat A sekali:

5. Jika semua frekuensi suatu rangkaian dibagi atau dikalikan dengan bilangan yang sama D, maka rata-ratanya tidak akan berubah:

Sifat ini menunjukkan bahwa rata-rata tidak bergantung pada besarnya skala, namun pada hubungan antar skala. Oleh karena itu, tidak hanya nilai absolut, tetapi juga nilai relatif dapat berperan sebagai skala.

Kronologis rata-rata

Terkadang, ketika menganalisis indikator sosial ekonomi, perlu ditentukan nilai rata-rata jika terdapat data dari rangkaian dinamika momen yang sama. Misalnya rata-rata persediaan barang setiap bulannya; rata-rata jumlah penjual pada triwulan, selama setengah tahun, jika diketahui jumlah penjual pada awal bulan; atau tentukan rata-rata jumlah penduduk tahunan suatu wilayah, lalu gunakan rata-rata kronologisnya.

X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)

X – nilai individual dari atribut setiap unit populasi;

n – jumlah unit populasi.

Arti harmonik

Rata-rata harmonik adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika. Kapan informasi statistik tidak memuat frekuensi untuk varian individu dari populasi, tetapi disajikan sebagai produknya menggunakan rumus rata-rata harmonik tertimbang;

Rata-rata dalam bentuk ini disebut rata-rata harmonik tertimbang Dan dilambangkan dengan xgar M. vzvz . Akibatnya, mean harmonik identik dengan mean aritmatika. Ini digunakan ketika bobot sebenarnya tidak diketahui, tetapi produknya diketahui f x = z

Dalam kasus dimana berhasil fx identik atau sama dengan satu (m=1), berlaku arti harmonik sederhana, dihitung dengan rumus

Di mana X- opsi terpisah; N- nomor mereka.

Rata-rata geometris

Rata-rata ini nyaman digunakan ketika perhatian tidak diberikan pada perbedaan absolut, tetapi pada rasio dua angka. Oleh karena itu, rata-rata geometrik digunakan dalam menghitung tingkat pertumbuhan tahunan rata-rata

atau

Berikut adalah rumus rata-rata geometrik yang dapat dirumuskan sebagai berikut:

Rata-rata geometrik sama dengan akar pangkat N dari produk koefisien pertumbuhan yang mencirikan rasio nilai setiap periode berikutnya dengan nilai periode sebelumnya.

Nilai rata-rata geometrik memberikan jawaban yang paling benar dari segi isi, hasil rata-rata, jika tugasnya adalah mencari nilai atribut yang secara kualitatif berjarak sama dari maksimum dan maksimum. nilai minimal tanda.

Contoh: Akibat inflasi, pada tahun pertama harga suatu produk menjadi dua kali lipat dibandingkan tahun sebelumnya; untuk tahun kedua – tiga kali lipat dibandingkan tahun sebelumnya. Yang jelas dalam dua tahun harganya naik 6 kali lipat. Hitung rata-rata tingkat pertumbuhan harga per tahun?

Dalam menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata, rata-rata aritmatika tidak cocok. Rata-rata geometrik memberikan jawaban yang benar.

X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 kali.

Berarti persegi

Informasi terkait.

Ukuran relatif suatu struktur adalah hubungan antara ukuran bagian dan keseluruhan. Mereka mencirikan komposisi dan struktur agregat. Formulir presentasi - berat jenis atau minat. Jumlah nilai relatif struktur sama dengan 1 atau 100%. Perbedaan antara bagian yang bersesuaian dari dua populasi disebut poin persentase.

Nilai mutlak dalam statistika adalah banyaknya satuan dan penjumlahan menurut kelompok dan secara keseluruhan, yang merupakan akibat langsung dari penjumlahan dan pengelompokan data.

Besaran mutlak diberi nama angka, yaitu mempunyai satuan pengukurannya sendiri (misalnya, satuan, ton, hryvnia). Termasuk indikator absolut indikator ukuran populasi (jumlah perusahaan) dan volume karakteristik (produk, keuntungan) dibedakan. Ada tiga kelompok pengukur fitur - alam, tenaga kerja dan biaya.

Meter alami mencerminkan fenomena yang melekat sifat fisik(ukuran berat, panjang, waktu). Terkadang satuan pengukuran gabungan digunakan, yang merupakan produk kuantitas ukuran yang berbeda(produksi listrik dalam kWh).

Tidak selalu mungkin untuk memperoleh nilai absolut dengan menjumlahkan secara langsung nilai karakteristik masing-masing unit. Dalam hal ini, suku-suku individual yang termasuk dalam nilai absolut menghasilkan ekspresi yang sepadan. Untuk ini mereka sering menggunakan meter alami bersyarat. Jadi, misalnya saat menghitung jumlah bahan bakar yang dikonsumsi, berbagai jenis bahan bakar sesuai dengan nilai kalornya dinyatakan dalam satuan bahan bakar standar yang nilai kalornya adalah 7000 cal/kg.

Meteran tenaga kerja (man-hour, man-shift) digunakan saat mengukur biaya tenaga kerja untuk produksi atau pelaksanaan karya individu, untuk menentukan produktivitas tenaga kerja, serta untuk mengukur sumber daya tenaga kerja.

Pengukur biaya memungkinkan untuk menggeneralisasi dan membandingkan berbagai fenomena. Mereka digunakan untuk menentukan indikator penting seperti omset, laba, dan investasi modal.

Seringkali nilai absolut suatu indikator dihitung dengan aturan tertentu berdasarkan indikator lainnya. Misalnya, laba kotor dihitung sebagai selisih antara pendapatan kotor dan biaya kotor.

Banyak nilai absolut yang disajikan dalam bentuk neraca, yang memberikan perhitungan indikator dalam dua bagian: berdasarkan sumber pembentukan (bagian penerimaan neraca) dan berdasarkan area penggunaan (bagian pengeluaran). Indikator absolut juga dapat disajikan dalam bentuk neraca dinamis. Misalnya, pertambahan jumlah unit peralatan pada suatu perusahaan selama satu tahun dapat direpresentasikan sebagai selisih jumlah unit peralatan pada akhir dan awal tahun, atau sebagai selisih antara jumlah unit peralatan. peralatan yang baru diperkenalkan dan dihentikan.

Bab 4.3. Nilai relatif.

Nilai relatif mencerminkan hubungan kuantitatif antara fenomena sosial ekonomi. Bentuk aljabar mereka adalah hasil bagi membagi dua besaran yang namanya sama atau berbeda. Penyebut suatu rasio dianggap sebagai dasar perbandingan atau dasar besaran relatif.

Dasar perbandingannya bisa 100, 1000, 10.000 atau 100.000 unit. Kemudian nilai relatifnya akan dinyatakan masing-masing dalam persentase (%), dalam ppm (%o), prodecimille (%oo), prosantimill (%ooo).

Nilai-nilai relatif yang berbeda isi dan sifatnya digunakan.

Hubungan antara nama yang berbeda nilai absolut memberi ukuran relatif intensitas . Ini adalah besaran bernama yang menggabungkan satuan pembilang dan penyebut. Misalnya saja produksi per kapita. Nilai intensitas relatif mencirikan derajat sebaran atau perkembangan suatu fenomena dalam lingkungan tertentu. Ini juga mencakup koefisien demografi (kesuburan, kematian, intensitas arus migrasi), yang dihitung dengan rasio jumlah kejadian (kematian, kelahiran) selama periode waktu tertentu dengan angka rata-rata populasi pada periode yang sama.

Perbandingan senama besaran memungkinkan kita untuk mengidentifikasi jenis besaran relatif berikut: struktur, koordinasi, dinamika, penetapan rencana, pelaksanaan rencana, perbandingan karakteristik objek.

Nilai koordinasi relatif - ini adalah hubungan antara bagian-bagian individu dari keseluruhan atau hubungan bagian individu agregat ke salah satunya, dijadikan dasar perbandingan. Misalnya jumlah penduduk perkotaan per 100 penduduk pedesaan; jumlah perempuan per 100 laki-laki. Nilai-nilai ini dinyatakan dalam persentase, ppm, atau kelipatan rasio (misalnya, untuk setiap 100 laki-laki ada 114 perempuan).

Untuk menilai intensitas perkembangan, gunakan besarnya dinamika yang relatif, yang dihitung dengan rasio tingkat fenomena yang diteliti selama dua periode.

Nilai perbandingan relatif dihitung sebagai rasio indikator dengan nama yang sama yang menjadi cirinya objek yang berbeda atau wilayah dan mempunyai kepastian waktu yang sama.

Beberapa proses telah direncanakan dan target rencana ditetapkan untuk indikator-indikator yang mencerminkan proses tersebut. Dengan membandingkan rencana dan nilai-nilai aktual indikator dihitung dengan nilai relatif: merencanakan penugasan dan merencanakan pelaksanaan.

Jika kita menunjukkan tingkat aktual periode saat ini kamu1, dasar kamu0 dan tingkat yang direncanakan ya, maka nilai relatifnya:

Kd= kamu1 / kamu0,

2) tugas yang direncanakan

Kpz = ypl / y0,

3) pelaksanaan rencana

Kvp =y1 / ypl .

Bab 4.4. Jenis dan bentuk ukuran sedang.

Ukuran rata-rata ditelepon indikator statistik, yang memberikan ciri umum dari ciri-ciri yang bervariasi dari unit-unit homogen suatu populasi dalam kondisi tempat dan waktu tertentu. Nilai rata-rata mencirikan seluruh populasi dan mencirikannya dalam kaitannya dengan satu karakteristik tertentu.

Nilai rata-rata mencerminkan apa yang umum untuk semua unit populasi yang diteliti.

Jadi, misalnya rata-rata upah memberikan gambaran umum dan kuantitatif tentang keadaan upah untuk populasi pekerja yang dipertimbangkan.

Inti dari rata-rata terletak pada kenyataan bahwa ia menghilangkan penyimpangan acak dalam nilai suatu karakteristik dan memperhitungkan perubahan yang disebabkan oleh faktor utama.

Pemrosesan statistik dengan metode nilai rata-rata terdiri dari penggantian nilai individu dari suatu karakteristik yang bervariasi dengan nilai rata-rata seimbang tertentu X.

Misalnya, output individu dari 5 teller bank umum per hari berjumlah 136, 140, 154 dan 162 operasi. Untuk mendapatkan jumlah rata-rata transaksi per hari yang dilakukan oleh satu operator, Anda perlu menjumlahkan masing-masing indikator berikut dan membagi jumlah yang dihasilkan dengan jumlah operator:

Seperti dapat dilihat dari contoh di atas, jumlah rata-rata operasi tidak sama dengan jumlah operasi individual mana pun, karena tidak ada satu operator pun yang melakukan 150 operasi. Tetapi jika kita bayangkan setiap operator melakukan 150 operasi, maka jumlah total tidak akan berubah, tetapi juga akan sama dengan 750. Jadi, kita telah sampai pada sifat utama nilai rata-rata: jumlah nilai individu suatu karakteristik sama dengan jumlah nilai rata-rata.

Sifat ini sekali lagi menekankan bahwa nilai rata-rata merupakan karakteristik generalisasi dari seluruh populasi statistik.

Nilai rata-rata dibagi menjadi dua kelas besar:

Rata-rata daya:

Hitung

Harmonis

Geometris

Kuadrat

Rata-rata struktural:

Mode

median

Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika:

Rata-rata aritmatika sederhana

Rata-rata aritmatika tertimbang

Rata-rata aritmatika untuk deret interval.

Rata-rata aritmatika sederhana mewakili suku rata-rata, ketika menentukan volume total suatu karakteristik tertentu dalam sekumpulan data yang terdistribusi secara merata di antara semua unit yang termasuk dalam karakteristik tertentu.

Jadi, output tahunan rata-rata per pekerja adalah jumlah output yang akan diterima setiap pekerja jika seluruh volume output berada di dalamnya pada tingkat yang sama didistribusikan ke seluruh karyawan organisasi. Nilai rata-rata sederhana aritmatika dihitung menggunakan rumus.