Deret trigonometri dan sifat-sifatnya. Rangkaian angka dengan kompleksitas yang meningkat

Definisi Deret Trigonometri. Fungsi /(x) didefinisikan pada jumlah yang tidak terbatas D disebut periodik jika terdapat bilangan T Ф 0 sehingga untuk setiap x D kondisinya terpenuhi. Bilangan terkecil T disebut periode fungsi f(x). Contoh 1. Suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu interval bersifat periodik, karena terdapat bilangan T = 2* φ O sehingga syaratnya terpenuhi untuk semua x. Dengan demikian, fungsi dosa x mempunyai periode T = 2zh. Hal yang sama berlaku untuk fungsi Contoh 2. Suatu fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan D adalah periodik, karena ada bilangan T 0, yaitu T = sehingga untuk x 6 D kita mempunyai Definisi. Rentang fungsional ketik ao SERI FOURIER Deret trigonometri Ortogonalitas sistem trigonometri Deret Fourier trigonometri Kondisi yang cukup untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Fourier disebut deret trigonometri, dan konstanta a0, a„, bn (n = 1, 2,...) disebut koefisien deret trigonometri (1). Jumlah parsial 5n(g) deret trigonometri (1) merupakan kombinasi fungsi linier dari suatu sistem fungsi yang disebut sistem trigonometri. Karena anggota deret ini merupakan fungsi periodik dengan periode 2π, maka jika deret tersebut konvergensi (I), jumlah S(x) adalah fungsi periodik dengan periode T = 2π: Definisi. Memperluas fungsi periodik f(x) dengan periode T = 2n menjadi deret trigonometri (1) berarti mencari deret trigonometri konvergen yang jumlahnya sama dengan fungsi /(x). . Ortogonalitas definisi sistem trigonometri. Fungsi f(x) dan d(x), kontinu pada interval [a, 6], disebut ortogonal pada interval ini jika kondisinya terpenuhi. sejak Definisi. Sistem fungsi berhingga atau tak terhingga yang dapat diintegralkan pada interval [a, b] disebut sistem ortogonal pada interval [a, 6), jika untuk sembarang bilangan bertipe m Φ n, persamaan Teorema 1. Sistem trigonometri ortogonal pada interval Untuk bilangan bulat n Φ 0 kita mempunyai Menggunakan rumus yang diketahui trigonometri untuk sembarang m dan n, m Ф n, kita menemukan: Akhirnya, berdasarkan rumus untuk semua jenis bilangan bulat kita memperoleh Deret Trigonometri Fourier Mari kita tentukan sendiri tugas menghitung koefisien deret trigonometri (1), dengan mengetahui fungsi Teorema 2. Misalkan persamaan berlaku untuk semua nilai x, dan deret di sisi kanan persamaan tersebut konvergen secara seragam pada interval [-3z, x]. Maka rumus berikut ini valid: konvergensi seragam deret (1) menyiratkan kontinuitas dan, karenanya, keterintegrasian fungsi f(x). Oleh karena itu, persamaan (2) masuk akal. Apalagi seri (1) dapat diintegrasikan term demi term. Kita mendapatkan rumus pertama (2) untuk n = 0. Sekarang mari kita kalikan kedua ruas persamaan (1) dengan fungsi cos mi, di mana m adalah bilangan asli sembarang: Deret (3), seperti deret (1), konvergen secara seragam. Oleh karena itu, dapat diintegrasikan suku demi suku. Semua integral pada ruas kanan, kecuali satu, yang diperoleh untuk n = m, sama dengan nol karena ortogonalitas sistem trigonometri. Oleh karena itu, dari mana Demikian pula, mengalikan kedua ruas persamaan (1) dengan sinmx dan mengintegrasikan dari -m ke m, kita memperoleh dari mana: Misalkan sembarang fungsi periodik f(x) periode 2*, dapat diintegralkan pada interval *]. Tidak diketahui sebelumnya apakah dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari beberapa deret trigonometri konvergen. Namun, dengan menggunakan rumus (2) dimungkinkan untuk menghitung konstanta a„ dan bn. Definisi. Deret trigonometri yang koefisien oq, an, b„ ditentukan melalui fungsi f(x) menurut rumus SERI EMPAT Deret trigonometri Ortogonalitas sistem trigonometri Deret Fourier trigonometri Kondisi yang cukup untuk penguraian suatu fungsi menjadi Fourier deret tersebut disebut deret Fourier trigonometri dari fungsi f(x), dan koefisien a„ , bnt yang ditentukan oleh rumus ini disebut koefisien Fourier dari fungsi /(x). Setiap fungsi f(x) yang dapat diintegralkan pada interval [-тр, -к] dapat diasosiasikan dengan deret Fouriernya, yaitu. deret trigonometri yang koefisiennya ditentukan oleh rumus (2). Namun, jika kita tidak memerlukan apa pun dari fungsi f(x) selain keterintegrasian pada interval [--i*, m], maka tanda korespondensi pada relasi terakhir, secara umum, tidak dapat digantikan dengan tanda sama dengan. Komentar. Seringkali fungsi /(x) perlu diperluas ke dalam deret trigonometri, yang hanya didefinisikan pada interval (-*, n\ dan, oleh karena itu, tidak periodik. Karena dalam rumus (2) untuk koefisien Fourier, integral dihitung atas interval *], maka untuk fungsi tersebut kita juga dapat menulis deret Fourier trigonometri. Pada saat yang sama, jika kita meneruskan fungsi f(x) secara periodik sepanjang sumbu Ox, kita memperoleh fungsi F(x), periodik. dengan periode 2n, bertepatan dengan /(x) pada interval (-ir, l): Fungsi F(x) ini disebut perpanjangan periodik dari fungsi /(x). definisi yang tidak ambigu di titik x = ±n, ±3r, ±5tr,.... Deret Fourier untuk fungsi F(x) identik dengan deret Fourier untuk fungsi /(x). Selain itu, jika deret Fourier untuk fungsi /(x) konvergen padanya, maka penjumlahannya, sebagai fungsi periodik, memberikan kelanjutan periodik fungsi /(x) dari segmen |-jt, n\ ke seluruh Sumbu sapi. Dalam pengertian ini, membicarakan deret Fourier untuk fungsi /(x), yang didefinisikan pada interval (-i-, jt|, sama dengan membicarakan deret Fourier untuk fungsi F(x), yang merupakan kelanjutan periodik dari fungsi /(x) pada seluruh sumbu Ox. Oleh karena itu, cukup untuk merumuskan kriteria konvergensi deret Fourier untuk fungsi periodik. indikasi yang cukup konvergensi deret Fourier, yaitu kita merumuskan kondisi pada fungsi yang diberikan, di mana deret Fourier yang dibangun darinya bertemu, dan kita akan mengetahui bagaimana jumlah deret ini berperilaku. Penting untuk ditekankan bahwa meskipun kelas fungsi monoton sepotong-sepotong yang diberikan di bawah ini cukup luas, fungsi-fungsi yang konvergensi deret Fourier tidak terbatas pada fungsi-fungsi tersebut. Definisi. Suatu fungsi f(x) disebut monotonik sepotong-sepotong pada ruas [a, 6] jika ruas tersebut dapat dibagi menjadi beberapa interval dengan sejumlah titik berhingga, yang masing-masing f(x) monoton, yaitu. baik tidak berkurang atau tidak bertambah (lihat Gambar 1). Contoh 1. Fungsinya monotonik sepotong-sepotong pada interval (-oo,oo), karena interval ini dapat dibagi menjadi dua interval (-co, 0) dan (0, +oo), yang interval pertama berkurang (dan oleh karena itu tidak bertambah), tetapi pada detik itu bertambah (dan karenanya tidak berkurang). Contoh 2. Fungsinya monotonik sepotong-sepotong pada ruas [-зг, jt|, karena ruas ini dapat dibagi menjadi dua interval, interval pertama cos i bertambah dari -I menjadi +1, dan interval kedua berkurang. Teorema 3. Suatu fungsi f(x), monotonik sepotong-sepotong dan dibatasi pada interval (a, b], hanya dapat mempunyai titik diskontinuitas jenis pertama di atasnya. Misalkan, titik diskontinuitas fungsi f(x ). Kemudian, karena fungsi keterbatasan f(x) dan monotonisitas, terdapat limit satu sisi berhingga pada kedua sisi titik c. Artinya, titik c merupakan titik diskontinuitas jenis pertama (Gbr. 2) Teorema 4. Jika suatu fungsi periodik f(x) dengan periode 2m adalah monotonik sepotong-sepotong dan dibatasi pada interval [-m, m), maka deret Fouriernya konvergen di setiap titik x pada interval ini, dan untuk jumlah dari seri ini persamaannya terpenuhi: Prmmer3. Fungsi /(z) periode 2jt, didefinisikan pada interval (-*,*) dengan persamaan (Gbr. 3), memenuhi kondisi teorema. Oleh karena itu, dapat diperluas menjadi deret Fourier. Kami menemukan koefisien Fourier untuknya: Deret Fourier untuk fungsi ini berbentuk Contoh 4. Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier (Gbr. 4) pada interval Fungsi ini memenuhi kondisi teorema. Mari kita cari koefisien Fourier. Menggunakan properti aditif integral tertentu

Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi kita sering kali harus berhadapan dengan fenomena periodik, yaitu fenomena periodik. yang direproduksi setelah jangka waktu tertentu T, disebut periode. Fungsi periodik yang paling sederhana (kecuali konstanta) adalah besaran sinusoidal: Asin(X+ ), osilasi harmonik, dimana terdapat “frekuensi” yang berhubungan dengan periode dengan rasio: . Dari fungsi periodik sederhana seperti itu, dapat disusun fungsi-fungsi periodik yang lebih kompleks. Tentunya besaran sinusoidal komponen harus mempunyai frekuensi yang berbeda, karena penjumlahan besaran sinusoidal yang frekuensinya sama akan menghasilkan besaran sinusoidal yang frekuensinya sama. Jika Anda menjumlahkan beberapa jumlah formulir

Sebagai contoh, di sini kita mereproduksi penjumlahan tiga besaran sinusoidal: . Mari kita lihat grafik fungsi ini

Grafik ini sangat berbeda dengan gelombang sinus. Kembali masuk ke tingkat yang lebih besar ini terjadi untuk jumlah deret tak hingga yang terdiri dari suku-suku jenis ini. Mari kita ajukan pertanyaan: apakah fungsi periodik periode ini dapat terjadi T direpresentasikan sebagai jumlah yang terbatas atau setidaknya jumlah yang tak terbatas besaran sinusoidal? Ternyata dalam kaitannya dengan kelas fungsi yang besar, pertanyaan ini dapat dijawab dengan ya, tetapi ini hanya jika kita melibatkan seluruh barisan tak hingga dari suku-suku tersebut. Secara geometris, grafik fungsi periodik diperoleh dengan melapiskan serangkaian sinusoidal. Jika kita mempertimbangkan masing-masing besaran sinusoidal seperti harmonik gerak osilasi, maka kita dapat mengatakan bahwa ini adalah osilasi kompleks yang dicirikan oleh suatu fungsi atau sekadar harmoniknya (pertama, kedua, dst.). Proses penguraian fungsi periodik menjadi harmonik disebut analisis harmonik.

Penting untuk dicatat bahwa ekspansi seperti itu sering kali berguna dalam mempelajari fungsi yang ditentukan hanya dalam interval terbatas tertentu dan tidak dihasilkan oleh fenomena osilasi apa pun.

Definisi. Deret trigonometri adalah deret yang bentuknya:

Atau (1).

Bilangan nyata disebut koefisien deret trigonometri. Seri ini juga bisa ditulis seperti ini:

Jika suatu deret bertipe di atas konvergen, maka jumlahnya merupakan fungsi periodik dengan periode 2p.

Definisi. Koefisien Fourier suatu deret trigonometri disebut: (2)

(3)

(4)

Definisi. Fourier di dekatnya untuk fungsi f(x) disebut deret trigonometri yang koefisiennya merupakan koefisien Fourier.

Jika deret Fourier suatu fungsi f(x) konvergen padanya di semua titik kontinuitasnya, maka kita katakan fungsi tersebut f(x) berkembang menjadi deret Fourier.

Dalil.(Teorema Dirichlet) Jika suatu fungsi mempunyai periode 2p dan kontinu pada suatu interval atau mempunyai nomor akhir titik diskontinuitas jenis pertama, segmen tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah segmen berhingga sehingga di dalam masing-masing segmen tersebut fungsinya monotonik, maka deret Fourier untuk fungsi tersebut konvergen untuk semua nilai X, dan pada titik kontinuitas fungsi jumlahnya S(x) sama dengan , dan pada titik diskontinuitas jumlahnya sama dengan , yaitu. mean aritmatika dari nilai limit di kiri dan kanan.

Dalam hal ini, fungsi deret Fourier f(x) konvergen secara seragam pada setiap segmen yang termasuk dalam interval kontinuitas fungsi.

Suatu fungsi yang memenuhi syarat teorema ini disebut mulus sedikit demi sedikit pada suatu segmen.

Mari kita perhatikan contoh perluasan fungsi dalam deret Fourier.

Contoh 1. Perluas fungsinya menjadi deret Fourier f(x)=1-x, sedang menstruasi 2p dan diberikan pada segmen tersebut.

Larutan. Mari kita plot fungsi ini

Fungsi ini kontinu pada ruas tersebut , yaitu pada suatu ruas yang panjangnya suatu periode, oleh karena itu dapat diperluas menjadi deret Fourier yang konvergen padanya di setiap titik pada ruas tersebut. Dengan menggunakan rumus (2) kita mencari koefisien deret ini: .

Mari kita terapkan rumus integrasi per bagian dan temukan masing-masing dari rumus (3) dan (4):

Mengganti koefisien ke dalam rumus (1), kita memperoleh atau .

Persamaan ini berlaku di semua titik kecuali titik dan (titik-titik di mana grafik-grafik tersebut digabungkan). Pada masing-masing titik tersebut, jumlah deret tersebut sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai pembatasnya di kanan dan kiri, yaitu.

Mari kita sajikan algoritma untuk mendekomposisi fungsi tersebut dalam deret Fourier.

Prosedur umum Solusi untuk masalah yang ada adalah sebagai berikut.

Dengan cosinus dan sinus dari beberapa busur, yaitu serangkaian bentuk

atau di bentuk yang kompleks

Di mana sebuah k,bk atau, karenanya, ck ditelepon Koefisien T.r
Untuk pertama kalinya T.r. ditemukan di L. Euler (L. Euler, 1744). Dia mendapat dekomposisi

Di pertengahan. abad ke-18 Sehubungan dengan studi tentang masalah getaran bebas suatu dawai, timbul pertanyaan tentang kemungkinan merepresentasikan suatu fungsi yang mencirikan posisi awal string, berupa jumlah T. r. Masalah ini menimbulkan perdebatan sengit yang berlangsung selama beberapa dekade, di antara para analis terbaik saat itu - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Eu1er). Perselisihan tersebut berkaitan dengan isi konsep fungsi. Pada saat itu, fungsi biasanya dikaitkan dengan fungsi analitiknya. penugasan, yang mengarah pada pertimbangan hanya analitis atau sepotong-sepotong fungsi analitis. Dan di sini menjadi perlu bagi suatu fungsi yang grafiknya berubah-ubah untuk membuat TR yang mewakili fungsi ini. Namun arti penting dari perselisihan ini lebih besar. Bahkan, mereka membahas atau muncul sehubungan dengan isu-isu yang berkaitan dengan banyak hal secara fundamental konsep-konsep penting dan gagasan matematika. analisis secara umum - representasi fungsi dengan deret Taylor dan analitis. kelanjutan fungsi, penggunaan deret divergen, limit, sistem persamaan tak hingga, fungsi polinomial, dll.
Dan kedepannya, seperti pada periode awal ini, teori tr. berfungsi sebagai sumber ide-ide baru dalam matematika.
Integral Fourier, fungsi hampir periodik, deret ortogonal umum, abstrak. Penelitian tentang T.r. berfungsi sebagai titik awal penciptaan teori himpunan. T.r. adalah alat yang ampuh untuk merepresentasikan dan mengeksplorasi fungsi.

Pertanyaan yang menimbulkan perselisihan di kalangan ahli matematika abad ke-18 ini diselesaikan pada tahun 1807 oleh J. Fourier, yang menunjukkan rumus untuk menghitung koefisien termodinamika. (1), yang seharusnya. mewakili fungsi f(x): dan menerapkannya dalam memecahkan masalah konduktivitas termal. Rumus (2) disebut rumus Fourier, meskipun rumus tersebut ditemukan sebelumnya dalam A. Clairaut (1754), dan L. Euler (1777) sampai pada rumus tersebut menggunakan integrasi suku demi suku. T.r. (1), yang koefisiennya ditentukan oleh rumus (2), disebut. Deret Fourier dari fungsi f, dan bilangan ak, bk
- Koefisien Fourier. Sifat hasil yang diperoleh bergantung pada bagaimana representasi fungsi suatu deret dipahami, bagaimana integral dalam rumus (2) dipahami. Teori modern
T.r. diperoleh setelah munculnya integral Lebesgue. Teori T.r. dapat dibagi menjadi dua bagian besar - teori, Seri Fourier
dimana diasumsikan bahwa deret (1) merupakan deret Fourier suatu fungsi tertentu, dan teori termodinamika umum tidak membuat asumsi seperti itu. Di bawah ini adalah hasil utama yang diperoleh dalam teori termodinamika umum. (dalam hal ini, himpunan dan keterukuran fungsi dipahami menurut Lebesgue).
Sistematika pertama Kajian TR yang tidak mengasumsikan deret tersebut merupakan deret Fourier adalah disertasi W. Riemann (W. Riemann, 1853). Oleh karena itu, teori umum T. r. ditelepon terkadang teori Riemann tentang T. r. Untuk mempelajari sifat-sifat TR sembarang. (1) dengan koefisien yang cenderung nol fungsi berkelanjutan , F(x)

yang merupakan jumlah deret konvergen seragam

maka ini mengarah pada penjumlahan deret (1) yang dihasilkan oleh faktor-faktor tersebut ditelepon Metode penjumlahan Riemann. Dengan menggunakan fungsi F, prinsip lokalisasi Riemann dirumuskan, yang menyatakan bahwa perilaku deret (1) di titik x hanya bergantung pada perilaku fungsi F di lingkungan kecil yang sewenang-wenang di titik ini.
Jika T.r. konvergen pada himpunan ukuran positif, maka koefisiennya cenderung nol (Cantor-Lebesgue). Berusaha untuk nol koefisien TR. juga mengikuti konvergensinya pada himpunan kategori kedua (W. Young, W. Young, 1909).
Salah satu permasalahan sentral teori umum T. r. adalah masalah merepresentasikan fungsi arbitrer dari TR. Memperkuat hasil N. N. Luzin (1915) tentang representasi fungsi T. R., yang dirangkum dengan metode Abel-Poisson dan Riemann, D. E. Menshov membuktikan (1940) teorema berikut mengenai kasus paling penting, ketika representasi fungsi f dipahami sebagai T.r. Ke F(x)hampir dimana-mana. Untuk setiap fungsi f yang dapat diukur dan berhingga hampir di semua tempat, terdapat persamaan linier yang konvergen ke sana hampir di semua tempat (teorema Menshov). Perlu dicatat bahwa meskipun f dapat diintegralkan, maka, secara umum, tidak mungkin untuk menganggap deret Fourier dari suatu fungsi f sebagai deret tersebut, karena ada deret Fourier yang menyimpang di mana-mana.
Teorema Menshov di atas memungkinkan klarifikasi berikut: jika suatu fungsi f dapat diukur dan terbatas hampir di semua tempat, maka terdapat fungsi yang hampir di semua tempat dan deret Fourier yang terdiferensiasi dari fungsi j konvergen ke f(x) hampir di semua tempat (N.K. Bari, 1952).
Tidak diketahui (1984) apakah dalam teorema Menshov dimungkinkan untuk menghilangkan kondisi bahwa fungsi f berhingga hampir di semua tempat. Secara khusus, tidak diketahui (1984) apakah T. r. berkumpul hampir di mana-mana
Oleh karena itu, masalah merepresentasikan fungsi yang dapat mengambil nilai tak terhingga pada himpunan ukuran positif dipertimbangkan untuk kasus ketika fungsi tersebut digantikan oleh persyaratan yang lebih lemah - . Konvergensi ukuran ke fungsi yang dapat mengambil nilai tak terhingga didefinisikan sebagai berikut: jumlah parsial T. p. s n(x) konvergen ke fungsi f(x) . jika di mana fn(x) konvergen ke / (x) hampir di semua tempat, dan barisan tersebut konvergen ke nol. Dalam rumusan ini, pertanyaan tentang representasi fungsi terselesaikan sepenuhnya: untuk setiap fungsi terukur terdapat TR yang konvergen ke fungsi tersebut dalam ukuran (D. E. Menshov, 1948).
Banyak penelitian telah dikhususkan untuk masalah keunikan TR: apakah dua TR yang berbeda dapat menyimpang ke fungsi yang sama; dalam rumusan lain: jika T. r. konvergen ke nol, maka semua koefisien deret tersebut sama dengan nol. Di sini yang dapat kita maksud adalah konvergensi di semua titik atau di semua titik di luar himpunan tertentu. Jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini pada dasarnya bergantung pada sifat-sifat himpunan tersebut, yang di luarnya tidak diasumsikan konvergensi.
Terminologi berikut telah ditetapkan. Banyak nama keunikan oleh banyak orang atau kamu- himpunan, jika dari konvergensi T. r. ke nol di mana pun, kecuali, mungkin, titik-titik himpunan E, maka semua koefisien deret ini sama dengan nol. Kalau tidak, Yenaz. M-set.
Seperti yang ditunjukkan oleh G. Cantor (G. Cantor, 1872), serta himpunan berhingga apa pun adalah himpunan-U. Yang sewenang-wenang juga merupakan U-set (W. Jung, 1909). Sebaliknya, setiap himpunan ukuran positif adalah himpunan M.
Keberadaan himpunan ukuran M didirikan oleh D. E. Menshov (1916), yang membuat contoh pertama himpunan sempurna yang memiliki sifat-sifat ini. Hasil ini sangat penting dalam masalah keunikan. Dari keberadaan himpunan M yang berukuran nol, dapat disimpulkan bahwa ketika fungsi deret segitiga direpresentasikan sebagai konvergen hampir di semua tempat, deret tersebut ditentukan dengan cara yang jelas unik.
Himpunan sempurna juga bisa berupa himpunan U (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Peran yang sangat penting dimainkan dalam masalah keunikan karakteristik halus set ukuran nol. Pertanyaan umum tentang klasifikasi himpunan ukuran nol menjadi M- dan U-set tetap (1984) terbuka. Itu tidak terpecahkan bahkan untuk set sempurna.
Masalah berikut berkaitan dengan masalah keunikan. Jika T.r. konvergen ke suatu fungsi maka deret tersebut harus merupakan deret Fourier dari fungsi /. P. Du Bois-Reymond (1877) memberikan jawaban positif terhadap pertanyaan ini jika f merupakan integral Riemannian dan deret tersebut konvergen ke f(x) di semua titik. Dari hasil III. J. La Vallee Poussin (Bab J. La Vallee Poussin, 1912) menyatakan bahwa jawabannya adalah positif meskipun di mana pun, kecuali himpunan titik yang dapat dihitung, deret tersebut konvergen dan jumlahnya berhingga.
Jika suatu deret konvergen mutlak pada titik tertentu x 0, maka titik-titik konvergensi deret tersebut, serta titik-titik konvergensi absolutnya, terletak simetris terhadap titik x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Menurut Denjoy - Teorema Luzin dari konvergensi absolut TR. (1) pada himpunan ukuran positif deret tersebut konvergen dan karena itu konvergensi absolut baris (1) untuk semua X. Himpunan kategori kedua, serta himpunan ukuran nol tertentu, juga memiliki sifat ini.
Tinjauan ini hanya mencakup TR satu dimensi. (1). Ada hasil terpisah terkait dengan T. r. dari beberapa variabel. Di sini, dalam banyak kasus, masih perlu menemukan rumusan masalah yang alami.

menyala.: Bari N.K., Deret trigonometri, M., 1961; Zygmund A., Deret trigonometri, trans. dari bahasa Inggris, jilid 1-2, M., 1965; Luzin N.N., Deret integral dan trigonometri, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., terjemahan. dari Jerman, M.-L., 1948, hal. 225-61.
S.A.Telyakovsky.

Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet.

I.M.Vinogradov.

1977-1985. Lihat apa itu "SERI TRIGONOMETRI" di kamus lain:

Deret yang koefisien a0, a1, b1, a2, b2… tidak bergantung pada variabel x…

Kamus Ensiklopedis Besar Ensiklopedia Besar Soviet

Dalam matematika, deret trigonometri adalah deret apa pun yang bentuknya: Deret trigonometri disebut deret Fourier suatu fungsi jika koefisien dan didefinisikan sebagai berikut... Wikipedia Deret fungsional berbentuk, (1) yaitu deret yang terletak sepanjang sinus dan kosinus beberapa busur. Seringkali T.r. ditulis dalam bentuk kompleks. Bilangan an, bn atau cn disebut koefisien T.... ...

Deret berbentuk koefisien a0, a1, b1, a2, b2,… tidak bergantung pada variabel x. * * * Deret TRIGONOMETRI SERI TRIGONOMETRI, suatu deret yang bentuk koefisiennya a0, a1, b1, a2, b2… tidak bergantung pada variabel x… Kamus Ensiklopedis Deret Fourier trigonometri representasi suatu fungsi sembarang dengan periode berbentuk deret (1) atau menggunakan

entri yang rumit, dalam bentuk rangkaian: . Isi... Wikipedia deret Fourier trigonometri tak hingga

- - Topik telekomunikasi, konsep dasar seri EN Fourier ...

Kita akan membahas ekspresi deret Fourier dalam bentuk trigonometri dan kompleks, serta memperhatikan kondisi Dirichlet untuk konvergensi deret Fourier. Selain itu, kita akan membahas secara rinci penjelasan konsep frekuensi negatif spektrum sinyal, yang seringkali menimbulkan kesulitan ketika memahami teori analisis spektral.

Sinyal periodik. Deret Fourier trigonometri

Sebagai contoh, Gambar 1 menunjukkan rangkaian pulsa persegi panjang berdurasi c, diulang dengan periode c.

Gambar 1. Urutan periodik

Pulsa persegi panjang

Dari kursus analisis matematis diketahui sistem fungsi trigonometri

Kondisi Dirichlet untuk konvergensi deret Fourier mengharuskan sinyal periodik ditentukan pada segmen tersebut dan memenuhi kondisi berikut:

Misalnya fungsi periodik tidak memenuhi kondisi Dirichlet karena fungsinya memiliki diskontinuitas jenis kedua dan mengambil nilai tak terhingga pada , di mana merupakan bilangan bulat sembarang. Jadi fungsinya tidak dapat diwakili oleh deret Fourier. Anda juga bisa memberikan contoh fungsinya , yang terbatas, tetapi juga tidak memenuhi kondisi Dirichlet, karena ia memiliki jumlah titik ekstrem yang tak terhingga saat mendekati nol. Grafik suatu fungsi ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Grafik fungsi :

A - dua periode pengulangan; b - di sekitarnya

Gambar 2a menunjukkan dua periode pengulangan fungsi , dan pada Gambar 2b - area di sekitar . Terlihat bahwa ketika mendekati nol, frekuensi osilasi meningkat tanpa batas, dan fungsi tersebut tidak dapat direpresentasikan oleh deret Fourier, karena tidak monotonik sedikit demi sedikit.

Perlu dicatat bahwa dalam praktiknya tidak ada sinyal dengan nilai arus atau tegangan tak terbatas. Berfungsi dengan jumlah yang tak terbatas tipe ekstrim juga di masalah yang diterapkan tidak bertemu. Semua sinyal periodik nyata memenuhi kondisi Dirichlet dan dapat diwakili oleh deret Fourier trigonometri tak hingga dalam bentuk:

Dalam ekspresi (2), koefisien menentukan komponen konstan dari sinyal periodik.

Di semua titik di mana sinyal kontinu, deret Fourier (2) menyatu dengan nilai sinyal yang diberikan, dan pada titik diskontinuitas jenis pertama - ke nilai rata-rata , di mana dan adalah batas ke kiri dan masing-masing di sebelah kanan titik diskontinuitas.

Diketahui juga dari analisis matematis bahwa penggunaan deret Fourier terpotong, yang hanya berisi suku pertama, bukan jumlah tak terhingga, menghasilkan perkiraan representasi sinyal:

Gambar 3. Perkiraan sinyal menggunakan deret Fourier terpotong:

A - pulsa persegi panjang; b - sinyal gigi gergaji

Deret Fourier dalam bentuk kompleks

Dengan demikian, sinyal periodik dapat direpresentasikan dengan jumlah komponen konstan dan eksponensial kompleks yang berputar pada frekuensi dengan koefisien untuk frekuensi positif, dan untuk eksponensial kompleks yang berputar pada frekuensi negatif.

Mari kita perhatikan koefisien eksponensial kompleks yang berputar dengan frekuensi positif:

Ekspresi (6) dan (7) bertepatan; selain itu, komponen konstan juga dapat dituliskan melalui eksponensial kompleks pada frekuensi nol:

Jadi, (5) dengan memperhitungkan (6)-(8) dapat direpresentasikan sebagai jumlah tunggal jika diindeks dari minus tak terhingga hingga tak terhingga:

Ekspresi (9) adalah deret Fourier dalam bentuk kompleks. Koefisien deret Fourier dalam bentuk kompleks berhubungan dengan koefisien deret in bentuk trigonometri, dan ditentukan untuk frekuensi positif dan negatif. Subskrip dalam penunjukan frekuensi menunjukkan jumlah harmonik diskrit, dengan subskrip negatif sesuai dengan frekuensi negatif.

Dari persamaan (2) dapat disimpulkan bahwa untuk sinyal nyata, koefisien seri (2) juga nyata. Namun, (9) mengaitkan sinyal nyata dengan sekumpulan koefisien konjugasi kompleks yang terkait dengan frekuensi positif dan negatif.

Beberapa penjelasan deret Fourier dalam bentuk kompleks

Pertama, bekerja dengan eksponen kompleks dalam banyak kasus lebih mudah daripada bekerja dengan fungsi trigonometri. Misalnya, saat mengalikan dan membagi eksponen kompleks, cukup menjumlahkan (mengurangi) eksponennya saja, sedangkan rumus mengalikan dan membagi fungsi trigonometri lebih rumit.

Membedakan dan mengintegrasikan eksponensial, bahkan eksponensial kompleks, juga lebih mudah fungsi trigonometri, yang terus berubah selama diferensiasi dan integrasi (sinus berubah menjadi kosinus dan sebaliknya).

Jika sinyalnya periodik dan nyata, maka deret trigonometri Fourier (2) tampak lebih jelas, karena semua koefisien muai, dan tetap nyata. Namun, sering kali kita harus berurusan dengan sinyal periodik yang kompleks (misalnya, ketika memodulasi dan demodulasi, representasi kuadratur dari selubung kompleks digunakan). Dalam hal ini, ketika menggunakan deret Fourier trigonometri, semua koefisien , dan ekspansi (2) akan menjadi kompleks, sedangkan ketika menggunakan deret Fourier dalam bentuk kompleks (9), koefisien ekspansi yang sama akan digunakan untuk sinyal input nyata dan kompleks. .

Dan terakhir, perlu dipikirkan penjelasan frekuensi negatif yang muncul pada (9). Pertanyaan ini seringkali menimbulkan kesalahpahaman. DI DALAM kehidupan sehari-hari kita tidak menemukan frekuensi negatif. Misalnya, kita tidak pernah menyetel radio ke frekuensi negatif. Mari kita perhatikan analogi mekanika berikut ini. Misalkan ada pendulum pegas mekanis yang berosilasi bebas dengan frekuensi tertentu. Dapatkah pendulum berosilasi dengan frekuensi negatif? Tentu saja tidak. Sama seperti tidak ada stasiun radio yang mengudara pada frekuensi negatif, frekuensi osilasi pendulum tidak boleh negatif. Tetapi pendulum pegas adalah benda satu dimensi (pendulum berosilasi sepanjang satu garis lurus).

Kita juga dapat memberikan analogi lain dari mekanika: sebuah roda berputar dengan frekuensi . Roda, tidak seperti pendulum, berputar, mis. suatu titik pada permukaan roda bergerak pada bidang datar, dan tidak sekadar berosilasi sepanjang satu garis lurus. Oleh karena itu, untuk mengatur putaran roda secara unik, pengaturan kecepatan putaran saja tidak cukup, karena perlu juga pengaturan arah putaran. Inilah tepatnya mengapa kita dapat menggunakan tanda frekuensi.

Jadi, jika roda berputar dengan frekuensi rad/s berlawanan arah jarum jam, maka dianggap roda berputar dengan frekuensi positif, dan jika searah jarum jam maka frekuensi putarannya negatif. Jadi, untuk perintah rotasi, frekuensi negatif tidak lagi menjadi omong kosong dan menunjukkan arah rotasi.

Dan sekarang hal terpenting yang harus kita pahami. Getaran objek satu dimensi (misalnya, pendulum pegas) dapat direpresentasikan sebagai jumlah rotasi dua vektor yang ditunjukkan pada Gambar 4.

Gambar 4. Osilasi pendulum pegas

Sebagai jumlah rotasi dua vektor

pada bidang kompleks

Pendulum berosilasi sepanjang sumbu nyata bidang kompleks dengan frekuensi hukum harmonik. Pergerakan pendulum ditampilkan sebagai vektor horizontal. Vektor atas berputar pada bidang kompleks dengan frekuensi positif (berlawanan arah jarum jam), dan vektor bawah berputar dengan frekuensi negatif (searah jarum jam). Gambar 4 dengan jelas mengilustrasikan hubungan terkenal dari mata kuliah trigonometri:

Jadi, deret Fourier dalam bentuk kompleks (9) merepresentasikan sinyal satu dimensi periodik sebagai jumlah vektor pada bidang kompleks yang berputar dengan frekuensi positif dan negatif. Pada saat yang sama, perhatikan bahwa dalam kasus sinyal nyata, menurut (9), koefisien ekspansi untuk frekuensi negatif adalah konjugasi kompleks dengan koefisien yang sesuai untuk frekuensi positif. Dalam kasus sinyal kompleks, sifat koefisien ini tidak berlaku karena fakta bahwa dan juga kompleks.

Spektrum sinyal periodik

Karena sinyal periodik disusun dalam satu baris hanya pada jaringan frekuensi tetap, spektrum sinyal periodik adalah garis (diskrit).

Gambar 5. Spektrum barisan periodik

Pulsa persegi panjang:

A - spektrum amplitudo; b - spektrum fase

Gambar 5 menunjukkan contoh amplitudo dan spektrum fasa rangkaian periodik pulsa persegi panjang (lihat Gambar 1) di c, durasi pulsa c, dan amplitudo pulsa B.

Spektrum amplitudo sinyal nyata asli adalah simetris terhadap frekuensi nol, dan spektrum fase antisimetris. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa nilai spektrum fase dan bersesuaian dengan titik yang sama pada bidang kompleks.

Kita dapat menyimpulkan bahwa semua koefisien ekspansi dari sinyal tereduksi adalah murni nyata, dan spektrum fase sesuai dengan koefisien negatif.

Harap dicatat bahwa dimensi spektrum amplitudo bertepatan dengan dimensi sinyal. Jika menggambarkan perubahan tegangan terhadap waktu, diukur dalam volt, maka amplitudo spektrum harmonik juga akan berdimensi volt.

Kesimpulan

Kami membahas secara rinci ekspresi deret Fourier dalam bentuk kompleks dan menunjukkan bahwa sinyal periodik, baik nyata maupun kompleks, diwakili oleh serangkaian eksponensial kompleks dengan frekuensi positif dan negatif. Dalam hal ini, koefisien ekspansi juga kompleks dan mencirikan amplitudo dan spektrum fase sinyal periodik.

DI DALAM bagian selanjutnya Kami akan mempertimbangkan secara lebih rinci sifat-sifat spektrum sinyal periodik.

Implementasi perangkat lunak di perpustakaan DSPL