Skema guci

Ada sebuah guci (yaitu sebuah kotak) yang berisi N benda bernomor, yang kita sebut bola. Kami memilih dari guci ini k bola. Kami tertarik pada berapa banyak cara yang dapat kami pilih k bola dari N, atau berapa banyak hasil yang berbeda(yaitu, himpunan yang terdiri dari k bola) itu akan berhasil.

Tidak mungkin memberikan jawaban pasti atas pertanyaan ini sampai kita memutuskannya

– dengan cara pemilihannya diatur (misalnya, apakah bola dapat dikembalikan ke guci), dan

- dengan apa yang dimaksud bermacam-macam hasil seleksi.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan berikut ini skema seleksi:

1. Pilihan Selamat Datang kembali: setiap bola yang dipilih dikembalikan ke guci, yaitu masing-masing k bola dipilih dari guci penuh. Di set yang dihasilkan, terdiri dari k jumlah bola, angka yang sama dapat muncul ( pengambilan sampel dengan pengulangan).

2. Seleksi tanpa pengembalian: bola yang dipilih tidak dikembalikan ke guci, dan nomor yang sama tidak dapat muncul di set yang dihasilkan ( pengambilan sampel tanpa pengulangan).

Dalam kedua kasus tersebut, hasil pilihannya adalah himpunan k nomor bola. Mudah untuk mengasumsikan bahwa bola selalu dipilih secara berurutan, satu per satu (dengan atau tanpa pengembalian).

Ada dua kemungkinan:

1. Pemilihan berdasarkan urutan: dua set nomor bola dianggap berbeda jika berbeda komposisi atau urutan nomornya. Jadi, ketika memilih tiga bola dari sebuah guci yang berisi 5 bola, himpunan (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) berbeda jika pilihan berdasarkan pesanan.

2. Pemilihan tanpa memperhatikan urutan: dua set nomor bola dianggap berbeda jika berbeda komposisinya. Himpunan yang hanya berbeda urutan nomornya saja dianggap sama. Jadi, pada contoh di atas, dua himpunan pertama (1,2,5), (2,5,1) merupakan hasil pilihan yang sama, dan himpunan (4,4,5) merupakan hasil pilihan yang berbeda.

Sekarang mari kita hitung berapa banyak hasil berbeda yang mungkin untuk masing-masing dari empat skema (pilihan dengan dan tanpa pengembalian, dan dalam masing-masing kasus apakah kita memperhitungkan urutannya atau tidak).

Desain guci: pemilihan tanpa pengembalian, dengan mempertimbangkan pesanan

Desain guci: pilihan dengan pengembalian dan mempertimbangkan pesanan

Jumlah total sampel dalam skema seleksi k elemen dari N dengan pengembalian dan dengan mempertimbangkan urutan ditentukan oleh jumlah permutasi elemen:

Desain guci: pemilihan dengan pengembalian dan tanpa memperhatikan pesanan

Pertimbangkan sebuah guci dengan dua bola dan daftarkan hasil pemilihan dua bola dari guci ini ketika memilih dengan pengembalian:

Pada skema “tanpa memperhitungkan urutan” diperoleh 3 hasil berbeda, berbeda dengan empat hasil pada skema “mempertimbangkan urutan”. Kemudian jumlah sampel dalam skema seleksi k elemen dari N dengan pengembalian dan tanpa memperhatikan urutan ditentukan oleh banyaknya kombinasi dengan pengulangan

Perlu diketahui bahwa jumlah sampelnya juga berbeda-beda dalam urutan, V k! kali lebih besar dari jumlah sampel yang berbeda hanya berdasarkan komposisi.

11. Guci tersebut berisi bola-bola bernomor dengan nomor 1 sampai 9. Bola-bola tersebut dikeluarkan satu per satu tanpa diganti. Peristiwa-peristiwa berikut ini dipertimbangkan:
A– banyaknya bola menurut urutan kedatangannya membentuk barisan 1,2,...,M.
DI DALAM
DENGAN– tidak ada satu pun kecocokan antara nomor bola dan urutan ekstraksi.
Tentukan probabilitas kejadian A, B, C. Temukan nilai batas probabilitas di .
Larutan:
1) Mari kita cari peluang kejadiannya A.
Peluang terambilnya bola bernomor 1 terlebih dahulu adalah sama (karena hanya satu bola bernomor 1 yang cocok, dan totalnya ada 9 bola).
Peluang terambilnya bola kedua dari No. 2 adalah , karena Hanya tersisa 8 bola, namun yang muat hanya 1.
Dll.
Dengan menggunakan teorema perkalian probabilitas kita memperoleh:

2) Mari kita cari peluang kejadiannya DI DALAM.
DI DALAM– nomor bola dan nomor seri ekstraksi bertepatan setidaknya satu kali.
— kejadian sebaliknya, yaitu tidak pernah sekalipun nomor bolanya bertepatan nomor seri ekstraksi.
— peluang terambilnya bola pertama yang bukan bola bernomor 1, yaitu Total ada 9 bola, dan muat 8 buah.

Mari kita hitung peluang terambilnya bola nomor 2 kedua.
Itu. itu tidak boleh dihapus terlebih dahulu dan dihapus kedua.
.
Maka menurut teorema peluang kejadian sebaliknya, peluang terambilnya bukan bola nomor 2 kedua adalah:
.
Mari kita cari peluang terambilnya bola ketiga dengan nomor 3 (yaitu bola tersebut tidak boleh diambil pada pengambilan pertama dan kedua dan harus dikeluarkan pada pengambilan ketiga):

Dan peluang terambilnya bola dengan no. 3 pada bola ketiga:

Sama dengan bola lainnya. Kami menemukan bahwa peluang terambilnya sebuah bola dengan urutan yang tidak sesuai dengan nomornya adalah: .
Maka peluang banyaknya bola tidak akan pernah sama dengan bilangan urut ekstraksi:

Ini berarti:
3)
Mari kita cari peluang kejadian C - tidak ada satu pun kebetulan antara jumlah bola dan urutan ekstraksi.
Peristiwa C dan bertepatan, yaitu.
4) Mari kita temukan nilainya membatasi probabilitas pada .

Contoh 1. Di guci pertama: tiga merah, satu bola putih A. Di guci kedua: satu bola merah, tiga bola putih. Sebuah koin dilempar secara acak: jika itu adalah lambang, koin itu dipilih dari guci pertama, jika tidak, dari guci kedua.
Larutan:
a) peluang terambilnya bola merah
A – mendapat bola merah
P 1 – lambang jatuh, P 2 - sebaliknya

b) Bola merah dipilih. Tentukan peluang terambilnya guci pertama dari guci kedua.
B 1 – dari guci pertama, B 2 – dari guci kedua
,

Contoh 2. Ada 4 bola di dalam sebuah kotak. Bisa: hanya putih, hitam saja atau putih dan hitam. (Komposisi tidak diketahui).
Larutan:
A – peluang munculnya bola putih
a) Semuanya berwarna putih:
(kemungkinan Anda mendapatkan salah satu dari tiga pilihan yang ada warna putih)
(probabilitas munculnya bola putih di tempat yang semua orang berkulit putih)

b) Ditarik keluar di tempat yang semua orang berkulit hitam



c) mengeluarkan opsi di mana setiap orang berkulit putih dan/atau berkulit hitam

- setidaknya salah satunya berwarna putih

P a +P b +P c =

Contoh 3. Ada 5 bola putih dan 4 bola hitam dalam sebuah guci. 2 bola diambil berturut-turut. Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna putih.
Larutan:
5 bola putih, 4 bola hitam
P(A 1) – bola putih dikeluarkan

P(A 2) – probabilitas terambilnya bola kedua juga berwarna putih

P(A) – bola putih dipilih berturut-turut

Contoh 3a. Paket berisi 2 uang kertas palsu dan 8 uang kertas asli. 2 lembar uang kertas dikeluarkan dari bungkusnya secara berurutan. Temukan kemungkinan keduanya palsu.
Larutan:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Contoh 4. Ada 10 tempat sampah. Terdapat 9 guci dengan 2 bola hitam dan 2 bola putih. Ada 5 putih dan 1 hitam dalam 1 guci. Sebuah bola diambil dari sebuah guci yang diambil secara acak.
Larutan:
P(A) - ? sebuah bola putih diambil dari sebuah guci yang berisi 5 bola putih
B – peluang terambil dari guci berisi 5 putih
, - diambil dari orang lain
C 1 – probabilitas munculnya bola putih di level 9.

C 2 – peluang munculnya bola putih yang jumlahnya 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Contoh 5. 20 rol silinder dan 15 rol berbentuk kerucut. Pemetik mengambil 1 rol, lalu rol lainnya.
Larutan:
a) kedua rol berbentuk silinder
P(C 1)=; P(Ts 2)=
C 1 – silinder pertama, C 2 – silinder kedua
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Setidaknya satu silinder
K 1 – pertama berbentuk kerucut.
K 2 - berbentuk kerucut kedua.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

c) silinder pertama, tetapi bukan silinder kedua
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Tidak ada satu silinder pun.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Tepat 1 silinder
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Contoh 6. Ada 10 suku cadang standar dan 5 suku cadang cacat dalam sebuah kotak.
Tiga bagian diambil secara acak
a) Salah satunya rusak
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – kemungkinan produk cacat

q – probabilitas bagian standar

n=3, tiga bagian


b) dua dari tiga bagian rusak P(2)
c) setidaknya satu standar
P(0) - tidak ada cacat

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - probabilitas bahwa setidaknya satu bagian akan menjadi standar

Contoh 7. Guci pertama berisi 3 bola putih dan hitam, dan guci kedua berisi 3 bola putih dan 4 bola hitam. 2 bola dipindahkan dari guci pertama ke guci ke-2 tanpa melihat, lalu diambil 2 bola dari guci ke-2. Berapa peluang terambilnya warna yang berbeda?
Larutan:
Saat memindahkan bola dari guci pertama, opsi berikut mungkin dilakukan:
a) mengeluarkan 2 bola putih berturut-turut
P BB 1 =
Pada langkah kedua akan selalu ada satu bola yang berkurang, karena pada langkah pertama sudah ada satu bola yang dikeluarkan.
b) mengeluarkan satu bola putih dan satu bola hitam
Situasi ketika bola putih diambil terlebih dahulu, baru kemudian bola hitam
P hulu ledak =
Situasi ketika bola hitam diambil terlebih dahulu, baru kemudian bola putih
P BW =
Jumlah: P hulu ledak 1 =
c) mengeluarkan 2 bola hitam berturut-turut
P HH 1 =
Karena 2 bola dipindahkan dari guci pertama ke guci kedua, maka jumlah total Akan ada 9 bola di guci kedua (7 + 2). Oleh karena itu, kami akan mencari semua opsi yang memungkinkan:
a) mula-mula diambil bola putih lalu bola hitam dari guci kedua

P BB 2 P BB 1 - berarti peluang terambilnya bola putih terlebih dahulu, kemudian bola hitam, dengan syarat terambil 2 bola putih dari guci pertama berturut-turut. Oleh karena itu banyaknya bola putih pada kasus ini adalah 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - berarti peluang terambilnya bola putih terlebih dahulu, kemudian bola hitam, dengan syarat terambilnya bola putih dan hitam dari guci pertama. Oleh karena itu, banyaknya bola putih dalam kasus ini adalah 4 (3+1), dan banyaknya bola hitam adalah lima (4+1).
P BC 2 P BC 1 - berarti peluang terambilnya bola putih terlebih dahulu, kemudian bola hitam, dengan syarat terambil kedua bola hitam dari guci pertama berturut-turut. Oleh karena itu banyaknya bola hitam pada kasus ini adalah 6 (4+2).

Peluang terambilnya 2 bola berbeda warna adalah:

Jawaban : P = 0,54

Contoh 7a. Dari guci pertama berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam, 2 bola dipindahkan secara acak ke guci kedua berisi 2 bola putih dan 6 bola hitam. Kemudian diambil 1 bola secara acak dari guci ke 2.
1) Berapa peluang terambilnya bola dari guci ke-2 berwarna putih?
2) Bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih. Hitung peluang terambilnya bola dari guci pertama ke guci kedua warna berbeda.
Larutan.
1) Peristiwa A - bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih. Mari kita perhatikan opsi-opsi berikut untuk terjadinya peristiwa ini.
a) Dua bola putih ditempatkan dari guci pertama ke guci kedua: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Ada total 4 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Bola putih dan hitam ditempatkan dari guci pertama ke guci kedua: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Ada total 3 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Dua bola hitam ditempatkan dari guci pertama ke guci kedua: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Ada total 2 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Maka peluang terambilnya bola dari guci ke-2 berwarna putih adalah:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih yaitu. probabilitas totalnya adalah P(A)=13/32.
Peluang terambilnya bola-bola berbeda warna (hitam dan putih) pada guci kedua dan putih terpilih: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Contoh 7b. Guci pertama berisi 8 bola putih dan 3 bola hitam, guci kedua berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam. Satu bola dipilih secara acak dari bola pertama, dan dua bola dari bola kedua. Setelah itu, diambil satu bola secara acak dari tiga bola terpilih. Bola terakhir ini ternyata berwarna hitam. Tentukan peluang terambilnya bola putih dari guci pertama.
Larutan.
Mari kita perhatikan semua varian kejadian A - dari tiga bola, bola yang ditarik ternyata berwarna hitam. Bagaimana bisa di antara ketiga bola itu ada yang berwarna hitam?
a) Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, dan dua bola putih diambil dari guci kedua.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, dua bola hitam diambil dari guci kedua.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, satu bola putih dan satu bola hitam diambil dari guci kedua.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Sebuah bola putih diambil dari guci pertama, dan dua bola hitam diambil dari guci kedua.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Sebuah bola putih diambil dari guci pertama, satu bola putih dan satu bola hitam diambil dari guci kedua.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Peluang totalnya adalah: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Peluang terambilnya bola putih dari guci putih adalah:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Maka peluang terambilnya bola putih dari guci pertama, jika diambil bola hitam dari tiga bola, adalah sama dengan:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Contoh 7c. Guci pertama berisi 12 bola putih dan 16 bola hitam, guci kedua berisi 8 bola putih dan 10 bola hitam. Pada saat yang sama, sebuah bola diambil dari guci ke-1 dan ke-2, dicampur dan dikembalikan satu ke setiap guci. Kemudian sebuah bola diambil dari setiap guci. Ternyata warnanya sama. Tentukan peluang banyaknya bola putih yang tersisa di guci pertama sama banyaknya dengan jumlah bola putih di awal.

Larutan.
Peristiwa A - sebuah bola diambil secara bersamaan dari guci ke-1 dan ke-2.
Peluang terambilnya bola putih dari guci pertama: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Peluang terambilnya bola hitam dari guci pertama: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Peluang terambilnya bola putih dari guci kedua: P2(B) = 8/18 = 4/9
Peluang terambilnya bola hitam dari guci kedua: P2(H) = 10/18 = 5/9

Peristiwa A terjadi. Acara B - sebuah bola diambil dari setiap guci. Setelah dikocok, peluang terambilnya bola putih atau hitam kembali ke guci adalah ½.
Mari kita pertimbangkan opsi untuk acara B - ternyata warnanya sama.

Untuk guci pertama
1) bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan diambil bola putih, dengan syarat diambil terlebih dahulu bola putih, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan dikeluarkan bola putih, dengan syarat dikeluarkan terlebih dahulu bola hitam, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) Sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan yang hitam dikeluarkan, dengan syarat bola putih dikeluarkan terlebih dahulu, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) Sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan yang hitam dikeluarkan, dengan syarat bola hitam ditarik terlebih dahulu, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) dimasukkan bola hitam ke dalam guci pertama dan diambil bola putih, dengan syarat diambil terlebih dahulu bola putih, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) dimasukkan bola hitam ke dalam guci pertama dan dikeluarkan bola putih, dengan syarat dikeluarkan terlebih dahulu bola hitam, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) Sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama dan yang hitam dikeluarkan, dengan syarat bola putih ditarik terlebih dahulu, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) Sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama, dan diambil bola hitam, dengan syarat diambil sebelumnya bola hitam, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/ 49

Untuk guci kedua
1) dimasukkan bola putih ke dalam guci pertama dan diambil bola putih, dengan syarat diambil terlebih dahulu bola putih, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan dikeluarkan bola putih, dengan syarat dikeluarkan terlebih dahulu bola hitam, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan yang hitam dikeluarkan, dengan syarat bola putih dikeluarkan terlebih dahulu, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) Sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan yang hitam dikeluarkan, dengan syarat bola hitam ditarik keluar terlebih dahulu, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) dimasukkan bola hitam ke dalam guci pertama dan dikeluarkan bola putih, dengan syarat dikeluarkan terlebih dahulu bola putih, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) dimasukkan bola hitam ke dalam guci pertama dan dikeluarkan bola putih, dengan syarat dikeluarkan terlebih dahulu bola hitam, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) Sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama dan yang hitam dikeluarkan, dengan syarat bola putih ditarik terlebih dahulu, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) Sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama dan diambil bola hitam, dengan syarat sebelumnya diambil bola hitam, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Bola-bola itu ternyata memiliki warna yang sama:
putih
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) hitam
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Contoh 7d. Kotak pertama berisi 5 bola putih dan 4 bola biru, kotak kedua berisi 3 dan 1, dan kotak ketiga masing-masing berisi 4 dan 5. Sebuah kotak dipilih secara acak dan sebuah bola yang ditarik keluar ternyata berwarna biru. Berapa peluang terambilnya bola tersebut dari kotak kedua?

Larutan.
A - acara pengambilan bola biru. Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan hasil dari peristiwa semacam itu.
H1 - bola diambil dari kotak pertama,
H2 - bola ditarik keluar dari kotak kedua,
H3 - bola diambil dari kotak ketiga.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Menurut kondisi soal, peluang bersyarat kejadian A adalah:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Peluang terambilnya bola dari kotak kedua adalah:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Contoh 8. Lima kotak berisi 30 bola masing-masing berisi 5 bola merah (ini kotak komposisi H1), enam kotak lainnya berisi 20 bola masing-masing berisi 4 bola merah (ini kotak komposisi H2). Tentukan peluang terambilnya bola merah secara acak di salah satu dari lima kotak pertama.
Solusi: Masalah penerapan rumus kemungkinan penuh.

Contoh 9. Guci tersebut berisi 2 bola putih, 3 hitam, dan 4 bola merah. Tiga bola diambil secara acak. Berapa peluang terambilnya paling sedikit dua bola berwarna sama?
Larutan. Ada tiga kemungkinan hasil:
a) di antara tiga bola yang diambil paling sedikit ada dua bola putih.
P b (2) = P 2b
Jumlah total yang mungkin hasil dasar karena pengujian ini sama dengan banyaknya cara untuk mengambil 3 bola dari 9:

Mari kita cari peluang terambilnya 3 bola, 2 bola berwarna putih.

Jumlah opsi untuk dipilih dari 2 bola putih:

Jumlah pilihan untuk dipilih dari 7 bola lainnya Bola ketiga:

b) di antara tiga bola yang ditarik paling sedikit terdapat dua bola berwarna hitam (yaitu 2 bola hitam atau 3 bola hitam).
Mari kita cari peluang terambilnya 3 bola, 2 bola berwarna hitam.

Jumlah opsi untuk dipilih dari 3 bola hitam:

Jumlah pilihan untuk dipilih dari 6 bola lain dari satu bola:


P 2 jam = 0,214
Mari kita cari peluang terambilnya semua bola berwarna hitam.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) di antara tiga bola yang diambil paling sedikit ada dua bola merah (yaitu 2 merah atau 3 merah).
Mari kita cari peluang terambilnya 3 bola, 2 bola berwarna merah.

Jumlah opsi untuk dipilih dari 4 bola hitam:

Jumlah pilihan yang dapat dipilih: 5 bola putih, tersisa 1 bola putih:


Mari kita cari peluang terambilnya semua bola berwarna merah.

P sampai (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Maka peluang terambilnya paling sedikit dua bola berwarna sama adalah: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Contoh 10. Guci pertama berisi 10 bola, 7 diantaranya berwarna putih; Guci kedua berisi 20 bola, 5 diantaranya berwarna putih. Satu bola diambil secara acak dari masing-masing guci, kemudian satu bola diambil secara acak dari dua bola tersebut. Tentukan peluang terambilnya bola putih.
Larutan. Peluang terambilnya bola putih dari guci pertama adalah P(b)1 = 7/10. Jadi peluang terambilnya bola hitam adalah P(h)1 = 3/10.
Peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P(b)2 = 5/20 = 1/4. Jadi peluang terambilnya bola hitam adalah P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Peristiwa A - diambil sebuah bola putih dari dua bola
Mari kita pertimbangkan kemungkinan hasil dari kejadian A.

1. Sebuah bola putih diambil dari guci pertama, dan bola putih diambil dari guci kedua. Kemudian diambil sebuah bola putih dari kedua bola tersebut. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. Bola putih diambil dari guci pertama dan bola hitam diambil dari guci kedua. Kemudian diambil sebuah bola putih dari kedua bola tersebut. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, dan bola putih diambil dari guci kedua. Kemudian diambil sebuah bola putih dari kedua bola tersebut. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Contoh 11. Ada n bola tenis di dalam kotak. Dari jumlah tersebut, m dimainkan. Untuk permainan pertama, dua bola diambil secara acak dan dimasukkan kembali setelah permainan. Untuk permainan kedua kami juga mengambil dua bola secara acak. Berapa peluang permainan kedua dimainkan dengan bola baru?
Larutan. Pertimbangkan peristiwa A - permainan dimainkan untuk kedua kalinya dengan bola baru. Mari kita lihat peristiwa apa yang dapat menyebabkan hal ini.
Mari kita nyatakan dengan g = n-m jumlah bola baru sebelum ditarik keluar.
a) untuk permainan pertama diambil dua bola baru.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) pada permainan pertama, mereka mengeluarkan satu bola baru dan satu bola sudah dimainkan.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) untuk permainan pertama, dua bola yang dimainkan ditarik keluar.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Mari kita lihat kejadian di game kedua.
a) Diambil dua bola baru, dengan syarat P1: karena pada permainan pertama sudah diambil bola baru, maka pada permainan kedua jumlahnya berkurang 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Diambil dua bola baru, dengan syarat P2: karena satu bola baru telah diambil untuk permainan pertama, maka untuk permainan kedua jumlahnya berkurang 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Diambil dua bola baru, dengan syarat P3: karena sebelumnya tidak ada bola baru yang digunakan pada permainan pertama, maka nomornya tidak berubah untuk permainan kedua g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Peluang total P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Jawaban: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Contoh 12. Kotak pertama, kedua dan ketiga berisi 2 bola putih dan 3 bola hitam, kotak keempat dan kelima berisi 1 bola putih dan 1 bola hitam. Sebuah kotak dipilih secara acak dan sebuah bola diambil darinya. Apa probabilitas bersyarat Kotak keempat atau kelima manakah yang dipilih jika bola yang diambil berwarna putih?
Larutan.
Peluang terambilnya setiap kotak adalah P(H) = 1/5.
Mari kita perhatikan probabilitas bersyarat dari kejadian A - terambilnya bola putih.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Peluang total terambilnya bola putih:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Probabilitas bersyarat bahwa kotak keempat terpilih
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Probabilitas bersyarat bahwa kotak kelima terpilih
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Secara total, peluang bersyarat terpilihnya kotak keempat atau kelima adalah
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Contoh 13. Ada 7 bola putih dan 4 bola merah di dalam guci. Kemudian bola lain yang berwarna putih atau merah atau hitam dimasukkan ke dalam guci dan setelah tercampur satu bola dikeluarkan. Ternyata warnanya merah. Berapa peluang terambilnya a) bola merah? b) bola hitam?
Larutan.
a) bola merah
Acara A - bola merah diambil. Acara H - bola merah ditempatkan. Peluang terambilnya bola merah di dalam guci P(H=K) = 1 / 3
Maka P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) bola hitam
Acara A - bola merah diambil. Acara H - bola hitam ditempatkan.
Peluang terambilnya bola hitam di dalam guci P(H=H) = 1/3
Maka P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111

Contoh 14. Ada dua guci berisi bola. Yang satu mempunyai 10 bola merah dan 5 bola biru, yang kedua mempunyai 5 bola merah dan 7 bola biru. Berapa peluang terambilnya bola merah secara acak dari guci pertama dan bola biru dari guci kedua?
Larutan. Misalkan kejadian A1 berupa bola merah yang diambil dari guci pertama; A2 - bola biru diambil dari guci kedua:
,
Kejadian A1 dan A2 saling bebas. Peluang terjadinya gabungan kejadian A1 dan A2 adalah sama

Contoh 15. Ada setumpuk kartu (36 buah). Dua kartu diambil secara acak berturut-turut. Berapa peluang terambilnya kedua kartu berwarna merah?
Larutan. Misalkan kejadian A 1 menjadi kartu merah pertama yang diambil. Peristiwa A 2 - kartu merah kedua diambil. B - kedua kartu yang dikeluarkan berwarna merah. Karena kejadian A 1 dan kejadian A 2 harus terjadi, maka B = A 1 · A 2 . Kejadian A 1 dan A 2 saling bergantung, maka P(B) :
,
Dari sini

Contoh 16. Dua guci berisi bola-bola yang hanya berbeda warnanya saja, guci pertama berisi 5 bola putih, 11 bola hitam, dan 8 bola merah, dan guci kedua masing-masing berisi 10, 8, 6 bola. Satu bola diambil secara acak dari kedua guci. Berapa peluang terambilnya kedua bola berwarna sama?
Larutan. Misalkan indeks 1 berarti warna putih, indeks 2 - hitam; 3 - warna merah. Misalkan kejadian A i adalah diambilnya sebuah bola berwarna ke-i dari guci pertama; acara B j - bola berwarna j diambil dari guci kedua; kejadian A - kedua bola mempunyai warna yang sama.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Kejadian A i dan B j saling bebas, dan A i · B i dan A j · B j tidak kompatibel untuk i ≠ j. Karena itu,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Contoh 17. Dari sebuah guci yang berisi 3 bola putih dan 2 bola hitam, diambil bola satu per satu hingga muncul bola hitam. Tentukan peluang terambilnya 3 bola dari guci? 5 bola?
Larutan.
1) peluang terambilnya 3 bola dari guci (yaitu bola ketiga berwarna hitam, dan dua bola pertama berwarna putih).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) peluang terambilnya 5 bola dari guci
Situasi ini tidak mungkin terjadi, karena hanya 3 bola putih.
P = 0

Dari guci pertama berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam, 2 bola dipindahkan secara acak ke guci kedua berisi 2 bola putih dan 6 bola hitam. Kemudian diambil 1 bola secara acak dari guci ke 2.
1) Berapa peluang terambilnya bola dari guci ke-2 berwarna putih?
2) Bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih. Hitung peluang terambilnya bola-bola berbeda warna dari guci pertama ke guci kedua.

Jawaban:

Solusi.1) Peristiwa A - bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih. Mari kita perhatikan pilihan terjadinya kejadian berikut ini. a) Dua bola putih ditempatkan dari guci pertama ke guci kedua: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah sama dengan P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448b) Bola putih dan hitam ditempatkan dari guci pertama ke dalam guci kedua: P1(bh) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56. Ada 3 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448c) Dua bola hitam ditempatkan dari guci pertama ke dalam guci kedua. yang kedua: P1(hh) = 3 /8*2/7 = 6/56. Ada 2 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 Maka peluang terambilnya bola dari guci kedua berwarna putih adalah: P( A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/322) Bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih yaitu. peluang totalnya adalah P(A) = 13/32. Peluang terambilnya bola berbeda warna (hitam dan putih) pada guci kedua dan putih: P2(3) = 30/56*(2+1) /( 6+2) = 90/448P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Teorema perkalian

disebut teorema perkalian.

Teorema ini menggeneralisasi kasus ini N acara:

Tugas 1. Dari sebuah guci yang berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam, diambil satu bola secara acak dan berurutan hingga muncul bola hitam. Tentukan peluang ekstraksi keempat harus dilakukan jika pemilihan dilakukan tanpa pengembalian.

Larutan. Mari perkenalkan acara berikut: A 1 = (bola putih diambil terlebih dahulu), A 2 = (bola putih diambil kedua), A 3 = (bola putih diambil ketiga). Kemudian acara yang kita minati A = (harus melakukan pengundian keempat) = (tiga bola pertama berwarna putih) =
. Dengan teorema perkalian probabilitas

P(A 1) = 5/8;
, karena satu bola putih telah diambil, dan sebelum pengundian kedua, terdapat 7 bola tersisa di dalam guci, 4 di antaranya berwarna putih; , karena dua bola putih telah dikeluarkan dan sebelum pengambilan ketiga terdapat 6 bola tersisa di dalam guci, 3 diantaranya berwarna putih. Karena itu,

Menjawab. 5/28.
Dari aksioma probabilitas, seperti yang telah kami sebutkan, dapat disimpulkan bahwa untuk dua kejadian yang berubah-ubah A Dan DI DALAM kemungkinan

Kesetaraan ini disebut teorema penjumlahan.

di mana jumlah tersebut berlaku untuk semuanya kemungkinan kombinasi berbagai indeks, diambil 1, 2, 3, dst. masing-masing.

Rumus Probabilitas Total

Menurut definisi hipotesis
dan , dan menurut aksioma probabilitas kedua
, Itu sebabnya:

yaitu, untuk kelompok kejadian lengkap persamaannya benar:

Untuk acara apa pun A dan serangkaian acara lengkap H 1 , H 2 ,..., H N adil rumus probabilitas total:

Masuk akal untuk menerapkan rumus probabilitas total jika terdapat dua elemen peluang, dan hasil dari elemen kedua. peristiwa acak tergantung pada implementasi kejadian acak pertama.

Larutan. Mari kita simak kejadiannya:

A = (produk diambil secara acak dan lulus pemeriksaan);

N 1 = (standar produk diterima), R(N 1)=0,99;

N 2 = (produk yang diambil tidak standar), R(N 2)=0,01;

A|N 1 = (produk diambil secara acak, lulus pemeriksaan asalkan standar), R(A|N 1) = 0,995;

A|N 2 = (produk yang diambil secara acak lulus pemeriksaan, asalkan tidak standar), R(A|N 2) = 0,001;

Tugas. 3. Ada bola putih dan hitam dalam dua guci: guci pertama ada 8 putih dan 2 hitam, guci kedua 6 putih dan 2 hitam. Sebuah bola yang diambil secara acak dari guci pertama dipindahkan ke guci kedua, setelah itu sebuah bola dipilih secara acak dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya bola hitam dari guci kedua.

Larutan. Mari kita nyatakan: A= (diambil bola hitam dari guci kedua). Perlu menemukan P(A)

Cara-cara pengembangan peristiwa berikut ini dimungkinkan:

atau dengan peluang 2/10 sebuah bola hitam diambil dari guci pertama dan dipindahkan ke guci kedua, setelah itu ada 9 bola di guci kedua (3 di antaranya berwarna hitam), dan peluang terambilnya bola hitam. dari itu adalah 3/9;

atau dengan peluang 8/10 sebuah bola putih diambil dari guci pertama dan dipindahkan ke guci kedua, setelah itu set kedua berisi 9 bola (2 diantaranya berwarna hitam), dan peluang terambilnya bola hitam dari guci tersebut adalah 2/9.

Mari kita perkenalkan hipotesis:

H 1 = (diambil bola hitam dari guci pertama), P(H 1) = 2/10 = 0,2;

H 2 = (diambil bola putih dari guci pertama), P(H 2) = 8/10 = 0,8;

P(H 1) + P(H 2) = 1.

Kemudian R(A|N 1) = (diambil bola hitam dari guci kedua, dengan syarat diambil bola hitam dari guci pertama), P(A|H 1) = 3/9 = 1/3. Juga, P(A|H 2) = 2/9.

Menurut rumus probabilitas total:

Menjawab. 11/45.

rumus Bayes

.

Rumus terakhir disebut rumus Bayes.

.
Tugas 4. Pada kondisi soal 3, tentukan peluang terambilnya bola hitam dari guci pertama jika bola hitam juga diambil dari guci kedua.

Larutan. Dalam notasi yang diperkenalkan saat menyelesaikan Soal 3. diperlukan untuk menemukan P(H 1 |A). Menurut rumus Bayes

Menjawab. 3/11.
Tugas 5. Pesan tersebut terdiri dari sinyal "1" dan "0". Sifat interferensi sedemikian rupa sehingga rata-rata 5% sinyal “0” dan 3% sinyal “1” terdistorsi. Jika terjadi distorsi, alih-alih sinyal “0”, sinyal “1” diterima dan sebaliknya. Diketahui bahwa di antara sinyal yang ditransmisikan “0” dan “1” muncul dengan perbandingan 3:2. Tentukan probabilitas terkirimnya sinyal “0” jika sinyal “1” diterima.

Larutan. Percobaan telah dilakukan dan peristiwa itu terjadi A =(sinyal “1” diterima).

Hipotesis: H 1 = (sinyal “0” terkirim), H 2 = (sinyal “1” terkirim).

Dengan syarat: P(H 1) = 3/5 = 0,6, P(H 2) = 2/5 = 0,4, yaitu P(H 1) + P(H 2) = 1.

Mari kita simak kejadiannya:

A|H 1 = (sinyal “1” diterima, asalkan sinyal “0” dikirim) = (sinyal “0” terdistorsi), oleh karena itu, dengan syarat P(A|H 1)=0,05;

A|H 2 = (sinyal “1” diterima, asalkan sinyal “1” dikirim) = (sinyal “1” tidak terdistorsi), oleh karena itu, dengan syarat P(A|H 2)=1–0,03=0,97;

H 1 | A = (sinyal “0” dikirimkan jika sinyal “1” diterima).

Menurut rumus Bayes