Sebuah guci berisi 10 bola putih, 5 bola merah, dan 5 bola hijau. Tentukan peluang terambilnya bola secara acak berwarna (bukan putih).
Larutan:
Jumlah hasil yang menguntungkan acara tersebut A, sama dengan jumlah bola merah dan hijau: t = 10. Jumlah total hasil-hasil yang sama-sama mungkin tidak sesuai adalah sama dengan jumlah total bola di dalam guci: n = 20. Kemudian:
Saat menentukan peluang suatu kejadian, menurut definisi klasiknya, kondisi tertentu harus dipenuhi. Kondisi ini terdiri dari persamaan kemungkinan dan ketidaksesuaian peristiwa-peristiwa yang termasuk di dalamnya kelompok penuh kejadian yang probabilitasnya harus ditentukan. Dalam praktiknya, tidak selalu mungkin untuk menentukan segalanya pilihan yang memungkinkan hasil, dan terlebih lagi untuk membenarkan kemungkinan yang sama. Oleh karena itu, jika tidak mungkin memenuhi persyaratan definisi klasik tentang probabilitas, gunakan penilaian statistik kemungkinan suatu peristiwa. Ini memperkenalkan konsep tersebut frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa A, sama dengan rasio , Di mana T- jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi A; P - jumlah total percobaan.
J. Bernoulli membuktikannya dengan peningkatan jumlah tes yang tidak terbatas frekuensi relatif acara A akan berbeda sedikit saja dari kemungkinan kejadiannya A: .
Persamaan ini berlaku jika kondisi di mana percobaan dilakukan tetap.
Validitas teorema Bernoulli juga dibuktikan dalam berbagai eksperimen yang membandingkan probabilitas yang dihitung dengan metode klasik dan metode statistik. Jadi, dalam eksperimen Pearson, untuk menentukan kemungkinan jatuhnya “lambang” saat melakukan 12.000 lemparan, probabilitas statistik sama dengan 0,5016, dan dengan 24.000 lemparan - 0,5005, yang menunjukkan pendekatan nilai probabilitas 0,5 seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen. Kedekatan nilai probabilitas ditentukan dalam berbagai cara, menunjukkan objektivitas kemungkinan terjadinya peristiwa ini.
4. Teorema penjumlahan probabilitas
Mengetahui probabilitas suatu peristiwa, Anda dapat menghitung probabilitas peristiwa lain jika peristiwa tersebut terkait. Teorema penjumlahan probabilitas memungkinkan Anda menentukan probabilitas terjadinya salah satu dari beberapa kejadian acak.
Dalil.Kemungkinan jumlah dua kejadian yang tidak kompatibel A dan B sama dengan jumlah peluang kejadian berikut:
P(A+B) = P(A) + P(B).(2)
Bukti. Membiarkan N- jumlah total ketidaksesuaian yang mungkin sama hasil dasar; m 1 - sejumlah hasil yang menguntungkan acara tersebut A; t 2 - sejumlah hasil yang menguntungkan acara tersebut DI DALAM. Karena A Dan DI DALAM peristiwa yang tidak kompatibel, maka peristiwa tersebut A+B akan menguntungkan m 1 +m 2 hasil. Kemudian, menurut definisi klasik tentang probabilitas:
Memperluas bukti ini ke N kejadian, kita dapat membuktikan teorema berikut.
Dalil.Kemungkinan jumlahnya nomor terbatas kejadian-kejadian yang tidak kompatibel berpasangan A 1, A 2,..., A n sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian ini, yaitu.
P(A 1 + A 2 +…+A p) = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) (3)
Dua akibat wajar dapat disimpulkan dari teorema ini:
Akibat wajar 1.Jika kejadian A 1, A 2,..., A n membentuk grup lengkap, maka jumlah peluangnya sama dengan satu, yaitu. = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) = 1.(4)
Akibat wajar 2.Jumlah peluang kejadian yang berlawanan sama dengan satu, yaitu.
Bukti. Kejadian-kejadian yang berlawanan tidak kompatibel dan membentuk kelompok yang lengkap, dan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut sama dengan 1.
Contoh 3.
Tentukan peluang terambilnya angka 2 atau 3 pada pelemparan sebuah dadu.
Larutan:
Peristiwa A - angka 2 digulirkan, kemungkinan kejadian ini P(A)= . Peristiwa DI DALAM- nomor 3 digulirkan, kemungkinan kejadian ini P(B) = . Oleh karena itu, peristiwa-peristiwa tersebut tidak sejalan
Contoh 4.
Sejumlah 40 pakaian telah diterima. Dari jumlah tersebut, 20 set pakaian pria, 6 - wanita dan 14 - anak-anak. Tentukan peluang terambilnya pakaian secara acak bukan milik wanita.
Larutan:
Peristiwa A- pakaian pria, kemungkinan 
Peristiwa DI DALAM- pakaian wanita, 
Kemungkinan acara disebut rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan acara ini, dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa ini mungkin muncul. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A) (di sini P adalah huruf pertama kata Perancis probabilitas - probabilitas). Menurut definisinya
(1.2.1)
di mana banyaknya hasil dasar yang mendukung kejadian A; - jumlah semua kemungkinan hasil dasar percobaan yang sama, yang membentuk kelompok kejadian yang lengkap.
Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul tahap awal pengembangan teori probabilitas.
Peluang suatu kejadian mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Probabilitas acara yang dapat diandalkan sama dengan satu. Mari kita nyatakan peristiwa yang dapat dipercaya dengan surat itu . Oleh karena itu, untuk acara tertentu
(1.2.2)
2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Mari kita nyatakan peristiwa yang mustahil dengan huruf . Oleh karena itu, untuk peristiwa yang mustahil
(1.2.3)
3. Kemungkinan peristiwa acak diungkapkan angka positif, kurang dari satu. Karena untuk kejadian acak pertidaksamaan , atau , terpenuhi, maka
(1.2.4)
4. Probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
(1.2.5)
Ini mengikuti relasi (1.2.2) - (1.2.4).
Contoh 1. Sebuah guci berisi 10 bola dengan ukuran dan berat yang sama, 4 bola berwarna merah dan 6 bola biru. Satu bola diambil dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna biru?
Larutan. Peristiwa “bola yang ditarik ternyata berwarna biru” dilambangkan dengan huruf A. Tes ini mempunyai 10 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana 6 diantaranya menguntungkan kejadian A. Sesuai dengan rumus (1.2.1), kita memperoleh 
Contoh 2. Semua bilangan asli dari 1 sampai 30 ditulis pada kartu yang sama dan ditempatkan dalam sebuah guci. Setelah kartu dikocok seluruhnya, satu kartu dikeluarkan dari guci. Berapa peluang terambilnya angka pada kartu yang merupakan kelipatan 5?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan A kejadian “angka pada kartu yang diambil adalah kelipatan 5”. Dalam tes ini terdapat 30 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana kejadian A disukai oleh 6 hasil (angka 5, 10, 15, 20, 25, 30). Karena itu, 
Contoh 3. Dua dadu dilempar dan total poin dihitung. wajah bagian atas. Tentukan peluang kejadian B sehingga permukaan atas dadu berjumlah 9 buah.
Larutan. Dalam tes ini hanya terdapat 6 2 = 36 kemungkinan hasil dasar yang sama. Peristiwa B disukai oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), oleh karena itu 
Contoh 4. Dipilih secara acak bilangan asli, tidak melebihi 10. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
Larutan. Mari kita nyatakan kejadian “bilangan yang dipilih adalah bilangan prima” dengan huruf C. DI DALAM dalam hal ini n = 10, m = 4 ( bilangan prima 2, 3, 5, 7). Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan 
Contoh 5. Dua buah uang logam simetris dilempar. Berapa peluang terdapat angka pada sisi atas kedua koin?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf D kejadian “ada angka di sisi atas setiap koin”. Dalam tes ini terdapat 4 kemungkinan hasil dasar yang sama: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) artinya uang logam pertama mempunyai lambang, uang logam kedua mempunyai nomor). Peristiwa D disukai oleh satu hasil dasar (C, C). Karena m = 1, n = 4, maka 
Contoh 6. Berapa peluang terambilnya dua angka yang dipilih secara acak mempunyai angka yang sama?
Larutan. Angka dua digit adalah angka dari 10 sampai 99; Total ada 90 angka seperti itu. 9 angka yang angkanya sama (yaitu angka 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Karena dalam hal ini m = 9, n = 90, maka 
,
dimana A adalah kejadian “bilangan dengan digit yang identik”.
Contoh 7. Dari huruf kata diferensial Satu huruf dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya huruf tersebut: a) vokal, b) konsonan, c) huruf H?
Larutan. Kata diferensial mempunyai 12 huruf, 5 diantaranya vokal dan 7 konsonan. Surat H tidak ada dalam kata ini. Mari kita nyatakan peristiwanya: A - "huruf vokal", B - "huruf konsonan", C - "huruf H". Banyaknya hasil dasar yang menguntungkan: - untuk kejadian A, - untuk kejadian B, - untuk kejadian C. Karena n = 12, maka
, Dan .
Contoh 8. Dua buah dadu dilempar dan dicatat banyaknya titik pada puncak masing-masing dadu. Tentukan peluang terambilnya kedua dadu nomor yang sama poin.
Larutan. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan huruf A. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Banyaknya kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk sekelompok kejadian lengkap, dalam hal ini n=6 2 =36. Artinya probabilitas yang diperlukan 
Contoh 9. Buku ini memiliki 300 halaman. Berapa probabilitas halaman yang dibuka secara acak nomor seri, kelipatan 5?
Larutan. Dari kondisi soal dapat disimpulkan bahwa semua kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk kelompok kejadian lengkap adalah n = 300. Dari jumlah tersebut, m = 60 mendukung terjadinya kejadian tertentu. Memang, bilangan yang merupakan kelipatan 5 mempunyai bentuk 5k, dimana k adalah bilangan asli, dan , maka 
. Karena itu, 
, dimana A - kejadian “halaman” mempunyai nomor urut yang merupakan kelipatan 5".
Contoh 10. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Mana yang lebih mungkin – mendapatkan total 7 atau 8?
Larutan. Mari kita nyatakan kejadiannya: A - “7 poin dilempar”, B – “8 poin dilempar”. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan peristiwa B disukai dengan 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Semua kemungkinan hasil dasar yang sama adalah n = 6 2 = 36. Oleh karena itu, Dan .
Jadi, P(A)>P(B), yaitu memperoleh total 7 poin lebih mungkin terjadi dibandingkan memperoleh total 8 poin.
Tugas
1. Sebuah bilangan asli yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut kelipatan 3?
2. Di dalam guci A merah dan B bola biru, ukuran dan beratnya sama. Berapa peluang terambilnya bola secara acak dari guci ini berwarna biru?
3. Sebuah bilangan yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut adalah pembagi 30?
4. Di dalam guci A biru dan B bola merah, ukuran dan beratnya sama. Satu bola diambil dari guci ini dan disisihkan. Bola ini ternyata berwarna merah. Setelah itu, bola lain diambil dari guci. Tentukan peluang terambilnya bola kedua juga berwarna merah.
5. Sebuah bilangan nasional yang tidak melebihi 50 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
6. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah titik pada permukaan atasnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 9 atau 10 poin?
7. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah poinnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 11 (peristiwa A) atau 12 poin (peristiwa B)?
Jawaban
1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - kemungkinan mendapatkan total 9 poin; p 2 = 27/216 - kemungkinan mendapatkan total 10 poin; hal 2 > hal 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Pertanyaan
1. Peluang suatu kejadian disebut?
2. Berapakah probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan?
3. Berapa peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil?
4. Berapakah batas peluang terjadinya suatu kejadian acak?
5. Berapa batas kemungkinan suatu kejadian?
6. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?
Menghitung probabilitas kejadian kompleks
Misalkan ada sebuah guci dengan sepuluh bola, 6 di antaranya berwarna putih dan 4 berwarna hitam. Maka kejadian berikut mungkin terjadi:
A – keluarkan bola putih dari guci
B – keluarkan bola hitam dari guci
Peristiwa A terdiri dari peristiwa A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6. Peristiwa B terdiri dari peristiwa B 1, B 2, B 3, B 4. Kemudian persentase bola putih di dalam guci ditentukan sebagai perbandingannya, dan persentase bola hitam adalah .
Definisi: Peluang kejadian A disebut. nomor, sama dengan rasionya jumlah hasil m yang mendukung terjadinya peristiwa A dengan jumlah semua hasil dasar n.
- rumus cara klasik menghitung probabilitas
Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan antara nol dan satu
Definisi: Permutasi adalah kombinasi yang terdiri dari semuanya N unsur-unsur suatu himpunan dan hanya berbeda dalam urutan susunannya. Jumlah semua kemungkinan permutasi
Rp = hal!
Definisi: Penempatan – kombinasi dari T N berbagai elemen, berbeda dalam komposisi unsur-unsur atau urutannya. Jumlah semuanya kemungkinan penempatan
Definisi: Kombinasi adalah himpunan yang tidak berurutan T elemen himpunan yang mengandung N unsur-unsur yang berbeda (yaitu, himpunan yang hanya berbeda dalam komposisi unsur-unsurnya). Jumlah kombinasi
Contoh 1. 10 orang mengikuti kompetisi kualifikasi, tiga di antaranya mencapai final. Berapa banyak tiga finalis yang berbeda?
Larutan. Berbeda dengan contoh sebelumnya, urutan finalis di sini tidak penting, oleh karena itu kita mencari jumlah kombinasi dari 10 hingga 3:
Contoh 2. Ada 10 bola dalam sebuah guci: 6 putih dan 4 hitam. Dua bola diambil darinya. Berapa peluang terambilnya: a) 2 putih; b) 2 hitam; c) 1 putih, 1 hitam
Larutan:
A) misalkan A – diambil 2 bola putih. Mari kita cari jumlah total semua hasil dasar n.
B) misalkan B – diambil 2 bola hitam
V) misalkan C – diambil 1 bola putih dan 1 bola hitam
-> Teori probabilitas. Peristiwa acak, frekuensi dan probabilitasnya
Peristiwa acak, frekuensi dan probabilitasnya
