4 Maksvelo lygtis tai sako. Maksvelo lygtys

Maksvelui įvedus poslinkio srovės sąvoką, buvo užbaigta jo sukurta makroskopinė teorija. elektromagnetinis laukas, kuri leidžia vieningu požiūriu paaiškinti ne tik elektros ir magnetiniai reiškiniai, bet ir numatyti naujus, kurių egzistavimas vėliau buvo patvirtintas.

Maksvelo teorija remiasi 4 lygtimis:

1. Elektrinis laukas gali būti potencialus arba sūkurinis, todėl susidariusio lauko stiprumas yra lygus:

Ši lygtis parodo kad magnetiniai laukai gali būti sužadinami arba judančiais krūviais (elektros srovėmis) arba kintančiais elektriniais laukais.

3. Gauso lauko teorema:

Mes gauname

Taigi, visa Maksvelo lygčių sistema integralia forma:

	1),
	2),

Į Maksvelo lygtis įtraukti dydžiai nėra nepriklausomi ir tarp jų yra ryšys.

Izotropinėms, neferoelektrinėms ir neferomagnetinėms terpėms rašome ryšio formules:


	b) ,
	V),

kur yra elektrinė konstanta, yra magnetinė konstanta,

Terpės dielektrinė konstanta, m - terpės magnetinė skvarba,

r – specifinis elektrinė varža, - savitasis elektros laidumas.

Iš Maksvelo lygčių išplaukia, kad Kas:

šaltinis elektrinis laukas gali būti ir elektros krūviai, arba laikui bėgant kintantys magnetiniai laukai, kuriuos galima sužadinti arba judančiais elektros krūviais (srovėmis) arba kintančiais elektriniais laukais.

Maksvelo lygtys nėra simetriškos elektrinių ir magnetinių laukų atžvilgiu. Taip yra dėl to, kad gamtoje nėra magnetinių krūvių.

Jei ir (stacionarūs laukai), tada Maksvelo lygtys yra tokios formos:

Elektros šaltiniai stacionarus laukas yra tik elektros krūviai, stacionaraus magnetinio lauko šaltiniai yra tik laidumo srovės .

Elektrinis ir magnetinis laukas šiuo atveju nepriklausomi vienas nuo kito, o tai leidžia atskirai tirti pastovius elektrinius ir magnetinius laukus.

Diferencinė Maksvelo lygčių rašymo forma:



	3) ,

Integrali forma Maksvelo lygčių rašymas yra bendresnis, jei yra netolydumo paviršių. Diferencinė Maksvelo lygties rašymo forma daro prielaidą, kad visi dydžiai erdvėje ir laike nuolat kinta.

Maksvelo lygtys yra labiausiai bendrosios lygtys elektriniams ir magnetiniams laukams ramybės būsenoje. Jie atlieka tą patį vaidmenį elektromagnetizmo doktrinoje. svarbus vaidmuo, kaip ir Niutono dėsniai mechanikoje. Iš Maksvelo lygčių išplaukia, kad kintamasis magnetinis laukas visada siejamas su kintamu elektriniu lauku, o kintamasis – su jo generuojamu magnetiniu lauku, t.y. Elektrinis ir magnetinis laukai yra neatsiejamai susiję vienas su kitu – jie sudaro vieną elektromagnetinį lauką.

Maksvelo lygčių savybės

Maksvelo lygtys yra tiesinės. Juose yra tik pirmosios E ir B laukų išvestinės laiko ir erdvinių koordinačių atžvilgiu bei pirmieji elektros krūvių ir srovių tankio laipsniai j. Maksvelo lygčių tiesiškumo savybė siejama su superpozicijos principu, jei bet kurie du laukai tenkina Maksvelo lygtis, tai galioja ir šių laukų sumai.

Maksvelo lygtyse yra tęstinumo lygtys, išreiškiančios elektros krūvio tvermės dėsnį. Norint gauti tęstinumo lygtį, reikia paimti skirtumą iš abiejų pirmosios Maksvelo lygties pusių diferencine forma:

Maksvelo lygtys tenkinamos visose inercinėse atskaitos sistemose. Jie yra reliatyvistiškai nekintami. Tai yra reliatyvumo principo, pagal kurį visos inercinės atskaitos sistemos yra fiziškai lygiavertės viena kitai, pasekmė. Maksvelo lygčių forma pereinant iš vienos inercinė sistema nuoroda į kitą nesikeičia, tačiau į juos įtraukti kiekiai perskaičiuojami pagal tam tikros taisyklės. Tie. Maksvelo lygtys yra teisingos reliatyvistinės lygtys, skirtingai nei, pavyzdžiui, Niutono mechanikos lygtys.

Maksvelo lygtys yra asimetrinės elektrinių ir magnetinių laukų atžvilgiu. Taip yra dėl to, kad gamtoje egzistuoja elektros krūviai ir magnetiniai krūviai Nr.

Iš Maksvelo lygčių išplaukia svarbi išvada apie iš esmės naujo reiškinio egzistavimą: elektromagnetinis laukas gali egzistuoti savarankiškai – be elektros krūvių ir srovių. Be to, jo pokytis būtinai turi banginį pobūdį. Tokio pobūdžio laukai vadinami elektromagnetinėmis bangomis. Vakuume jie visada sklinda dideliu greičiu vienodas greitis Sveta. Maksvelo teorija numatė elektromagnetinių bangų egzistavimą ir leido nustatyti visas pagrindines jų savybes.

Stacionarių (ty laike nekintamų) elektrinių ir magnetinių laukų, kurių kilmė yra susijusi su stacionariais elektrinio lauko krūviais ir su stacionariomis magnetinio lauko srovėmis, atveju šie laukai yra nepriklausomi vienas nuo kito, o tai leidžia vertinti juos atskirai vienas nuo kito.

Maksvelo lygtys yra lygčių sistema, nusakanti elektrinių ir magnetinių laukų kilmę ir savybes.

Maksvelo lygtys stacionariems laukams:

Taigi, Maksvelo lygtys stacionariems laukams:

I.; II. ;

III.; IV. .

Elektrostatinio lauko vektorinės charakteristikos Ir yra susiję vienas su kitu šiais santykiais:

Kur - elektros konstanta,  – terpės dielektrinė konstanta.

Magnetinio lauko vektorinės charakteristikos Ir yra susiję vienas su kitu šiais santykiais:

Kur - magnetinė konstanta, – terpės magnetinis pralaidumas.

8 tema. Maksvelo lygtys elektromagnetiniam laukui

Pagal Maksvelo teorijos apie elektromagnetinį lauką nestacionarių (ty laike kintančių) elektrinių ir magnetinių laukų atveju elektrinio lauko šaltiniai gali būti elektros krūviai arba laikui bėgant kintantis magnetinis laukas, o magnetinio lauko šaltiniai gali būti arba judantys. elektros krūviai (elektros srovės) arba kintamasis elektrinis laukas.

Skirtingai nuo stacionarių laukų, kintamieji elektriniai ir magnetiniai laukai nepriklauso vienas nuo kito ir yra laikomi elektromagnetiniu lauku.

Maksvelo lygtys, kaip lygčių sistema, nusakanti elektrinių ir magnetinių laukų kilmę ir savybes tuo atveju elektromagnetinis laukas turi formą:

aš.
ty elektrinio lauko stiprumo vektoriaus cirkuliaciją lemia magnetinio lauko indukcijos vektoriaus kitimo greitis ( indukcijos vektoriaus kitimo greitis ).

Ši lygtis rodo, kad elektrinio lauko šaltiniais gali būti ne tik elektros krūviai, bet ir laikui bėgant kintantys magnetiniai laukai.

II.
, tai yra vektoriaus srautas elektrinis poslinkis per savavališką uždarą paviršių S, yra lygus algebrinė suma tomo viduje esantys mokesčiai V, ribojamas tam tikro uždaro paviršiaus S ( - tūrinio krūvio tankis).

III.
, tai yra įtempimo vektoriaus cirkuliacija palei savavališką uždarą kontūrą L nustatoma pagal bendrą srovę aš pilnas pradurti paviršių S, ribojamas šio kontūro L.

bendra srovė aš pilnas, susidedantis iš laidumo srovės aš Ir poslinkio srovė aš cm., tai yra aš pilnas = aš + aš cm. .

Bendra laidumo srovė aš apibrėžta bendras atvejis per paviršiaus srovės tankį j (
) integracija, tai yra

Poslinkio srovė aš cm pradurti paviršių S, apibrėžiamas bendrai

atvejis per paviršiaus poslinkio srovės tankį
(
) integracija, tai yra:
.

Maksvelo pristatyta „poslinkio srovės“ sąvoka, kurios dydį lemia elektrinio poslinkio vektoriaus kitimo greitis. , tai yra, vertė , rodo, kad magnetiniai laukai gali būti sužadinami ne tik judančiais krūviais (elektros laidumo srovėmis), bet ir kintančiais elektriniais laukais.

IV.
, tai yra indukcijos vektoriaus srautas magnetinis laukas per savavališką uždarą paviršių S lygus nuliui.

Maksvelo teorija remiasi keturiomis aukščiau aptartomis lygtimis:

1. Elektrinis laukas gali būti bet kurio potencialo ( EK), ir sūkurys ( EB), todėl bendras lauko stiprumas E=EK +EB. Kadangi vektoriaus cirkuliacija EK yra lygus nuliui (žr. (137.3)), ir vektoriaus cirkuliacija EB nustatomas pagal išraišką (137,2), tada suminio lauko stiprumo vektoriaus cirkuliacija

Ši lygtis rodo, kad elektrinio lauko šaltiniais gali būti ne tik elektros krūviai, bet ir laikui bėgant kintantys magnetiniai laukai.

2. Apibendrinta vektorių cirkuliacijos teorema N(žr. (138.4)):

Ši lygtis rodo, kad magnetiniai laukai gali būti sužadinami arba judančiais krūviais (elektros srovėmis) arba kintančiais elektriniais laukais.

3. Gauso lauko teorema D(žr. (89.3)):

Jei krūvis paskirstomas uždaro paviršiaus viduje nuolat su tūrinis tankis r, tada formulė (139.1) bus parašyta formoje

4. Gauso lauko teorema IN(žr. (120.3)):

Taigi, visa Maksvelo lygčių sistema integralia forma:

Į Maksvelo lygtis įtraukti dydžiai nėra nepriklausomi ir tarp jų yra toks ryšys (izotropinė neferoelektrinė ir neferomagnetinė terpė):

Kur e 0 ir m 0 - atitinkamai elektrinės ir magnetinės konstantos, e Ir m- atitinkamai dielektrinis ir magnetinis pralaidumas, g - laidumas medžiagų.

Iš Maksvelo lygčių išplaukia, kad elektrinio lauko šaltiniai gali būti arba elektros krūviai, arba laikui bėgant kintantys magnetiniai laukai, o magnetiniai laukai gali būti sužadinami arba judančiais elektros krūviais (elektros srovėmis), arba kintamaisiais elektriniais laukais. Maksvelo lygtys nėra simetriškos elektrinių ir magnetinių laukų atžvilgiu. Taip yra dėl to, kad gamtoje yra elektros krūvių, bet nėra magnetinių.

Stacionariems laukams (E= konst ir B= konst ) Maksvelo lygtysįgaus formą

tie. Šiuo atveju elektrinio lauko šaltiniai yra tik elektros krūviai, magnetinio lauko šaltiniai – tik laidumo srovės. Šiuo atveju elektrinis ir magnetinis laukai yra nepriklausomi vienas nuo kito, todėl galima mokytis atskirai nuolatinis elektriniai ir magnetiniai laukai.

Naudojant Stokso ir Gauso teoremas, žinomas iš vektorinės analizės

galima įsivaizduoti visa Maksvelo lygčių sistema diferencine forma(apibūdinant lauką kiekviename erdvės taške):

Jeigu krūviai ir srovės erdvėje pasiskirsto nepertraukiamai, tai abi Maksvelo lygčių formos – integralinė ir diferencialinė – yra lygiavertės. Tačiau jei yra netolydumo paviršiai – paviršiai, ant kurių staigiai keičiasi terpės ar laukų savybės, tai lygčių integralinė forma yra bendresnė.

Maksvelo lygtys diferencine forma daro prielaidą, kad visi dydžiai erdvėje ir laike nuolat kinta. Kad būtų pasiektas abiejų Maksvelo lygčių formų matematinis ekvivalentiškumas, diferencialinė forma papildyta ribines sąlygas, kurį turi tenkinti dviejų terpių sąsajos elektromagnetinis laukas. Maksvelo lygčių integralinėje formoje yra šios sąlygos. Tai buvo aptarta anksčiau:

(pirmoji ir paskutinė lygtys atitinka atvejus, kai nėra nemokami mokesčiai, nėra laidumo srovių).

Maksvelo lygtys yra bendriausios elektrinių ir magnetinių laukų lygtys ramioje aplinkoje. Jie atlieka tą patį vaidmenį elektromagnetizmo doktrinoje kaip ir Niutono dėsniai mechanikoje. Iš Maksvelo lygčių išplaukia, kad kintamasis magnetinis laukas visada yra susietas su jo generuojamu elektriniu lauku, o kintamasis – su jo generuojamu magnetiniu lauku, t.y. elektrinis ir magnetinis laukai yra neatsiejamai susiję vienas su kitu. - jie sudaro vieną elektromagnetinis laukas.

Poslinkio srovė arba sugerties srovė- vertė, tiesiogiai proporcinga elektrinės indukcijos kitimo greičiui. Ši sąvoka naudojama klasikinėje elektrodinamikoje

J.C. Maxwellas pristatė kurdamas elektromagnetinio lauko teoriją.

Poslinkio srovės įvedimas leido pašalinti prieštaravimą Ampero formulėje magnetinio lauko cirkuliacijai, kuri, pridėjus poslinkio srovę, tapo nuosekli ir sudarė paskutinę lygtį, kuri leido teisingai uždaryti sistemą. (klasikinės) elektrodinamikos lygčių.

Griežtai kalbant, poslinkio srovė nėra elektros šokas, bet matuojamas tais pačiais vienetais kaip ir elektros srovė.

koeficientas) vadinamas elektrinio lauko kitimo greičio vektoriaus srautu per tam tikrą paviršių:

(SI)

Poslinkio srovė. Apibendrinti elektromagnetinio lauko vakuume lygtis į kintamieji laukai reikia pakeisti tik vieną iš anksčiau parašytų lygčių (žr. 3.4, 3.12 skyrius); trys lygtys bendruoju atveju pasirodo teisingos. Tačiau magnetinio lauko suminės srovės dėsnis kintamų laukų ir srovių atveju pasirodo neteisingas. Pagal šį įstatymą srovė turi būti vienoda bet kuriems dviem paviršiams, ištemptiems išilgai kontūro; jei pasikeičia krūvis tūryje tarp pasirinktų paviršių, tai šis teiginys prieštarauja krūvio tvermės dėsniui. Pavyzdžiui, įkraunant kondensatorių (45 pav.), srovė per vieną iš nurodytų paviršių yra lygi, o per kitą (praeinanti tarp plokščių) - nulis. Norėdami pašalinti šį prieštaravimą, Maxwell į šią lygtį įvedė poslinkio srovę, proporcingas greičiui elektrinio lauko pokyčiai:

Dielektrinėje terpėje poslinkio srovės išraiška yra tokia:

Pirmasis terminas reiškia poslinkio srovės tankį vakuume, antrasis - tikroji srovė, kurį sukelia surištų krūvių judėjimas, kai pasikeičia poliarizacija. Poslinkio srovė per paviršių yra lygi, kur Ф yra vektoriaus srautas per paviršių. Poslinkio srovės įvedimas pašalina prieštaravimą krūvio tvermės dėsniui. Pavyzdžiui, įkraunant plokščias kondensatorius poslinkio srovė per paviršių, einantį tarp plokščių, lygus srovei palei maitinimo laidus.

Maksvelo lygčių sistema vakuume.Įvedus poslinkio srovę, Maksvelo lygčių sistema diferencine forma įgyja tokią formą:

Maksvelo lygčių sistema integralia forma:

Taip pat pateikiame Maksvelo lygčių vaizdavimą diferencine forma CGS sistemoje:

Įkrovos ir srovės tankiai yra susiję ryšiu

išreiškiantis krūvio tvermės dėsnį (ši lygtis yra Maksvelo lygčių pasekmė).

Maksvelo lygtys terpėje turėti formą: diferencialinė forma integralinė forma

ir padeda nustatyti keturis kiekius. Prie Maksvelo lygčių terpėje reikia pridėti materialias ryšio lygtis, apibūdinančias elektros ir magnetines savybes aplinką. Izotropinėms linijinėms terpėms šios lygtys yra tokios formos:

Iš Maksvelo lygčių galima gauti ribines sąlygas už (žr. 3.6, 3.13 skyrius).

Elektromagnetinio lauko energijos tvermės dėsnis.

Iš Maksvelo lygčių galime išvesti sekančią lygtį bet kuriam tūriui V, kurį riboja paviršius

Pirmasis terminas apibūdina elektromagnetinio lauko energijos kitimą nagrinėjamame tūryje. Galima pastebėti, kad bendru atveju elektromagnetinio lauko energijos tankis pasirodo esantis tikrosios formulės, gautas anksčiau pastoviems elektriniams ir magnetiniams laukams. Antrasis terminas reiškia lauko darbą su nagrinėjamo tūrio dalelėmis. Galiausiai, trečiasis terminas apibūdina elektromagnetinės energijos srautą per uždarą paviršių, gaubiantį tūrį. Energijos srauto tankis tam tikrame erdvės taške (Poyntingo vektorius) nustatomas vektorių E ir B tame pačiame taške:

Paskutinė išraiška galioja ir elektromagnetinės energijos srauto tankiui medžiagoje. Energijos tankis terpėje turi tokią formą:

1 pavyzdys. Apsvarstykite galimybę įkrauti plokščią kondensatorių su apvaliomis plokštelėmis, esančiomis atstumu. Energijos kitimo greitis spindulio cilindre ( mažesni dydžiai plokštės) yra lygus

Magnetinio lauko stiprumą randame iš antrosios Maksvelo lygties: (dešinėje yra poslinkio srovė). Pastebime, kad energijos tekėjimo greitis šoninis paviršius cilindras: lygus energijos kitimo greičiui tūryje.

Reliatyvistinės laukų savybės. Pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą, keičiasi ir elektromagnetinio lauko šaltiniai (krūvio ir srovės tankiai), ir patys laukai, tačiau Maksvelo lygtys išlaiko savo formą. Paprasčiausios šaltinių perskaičiavimo formulės yra judančio krūvio tankis). Jei įkrovos tankį žymėsime ISO, kuriame tada, atsižvelgiant į išilginių matmenų sumažėjimą (žr. 1.11 skyrių), gautume

Lyginant su energijos impulso vektoriumi, matome, kad jie sudaro -vektorių, t.y. yra transformuojami vienas per kitą taip pat, kaip ir pagal Lorenco transformacijos formules. Žinodami, kaip konvertuojami lauko šaltiniai, galite rasti E, B konvertavimo formules. Jos atrodo taip:

Čia yra atskaitos kadro K greitis K kadro atžvilgiu, lauko komponentų transformacijos parašytos lygiagrečiai ir statmenai Šių transformacijų invariantai yra skaliariniai dydžiai

Naudojant c, lauko konvertavimo formulės yra tokios supaprastintos formos:

2 pavyzdys. Nereliatyvistinės dalelės magnetinis laukas. Panagrinėkime dalelę, kuri juda ISO K atžvilgiu su konstanta reliatyvistinis greitis V. Su judančia dalele susijusiame ISO yra tik elektrinis laukas Norint pereiti prie ISO K, reikia parašyti formules

transformacijos Atsižvelgdami į tai, kad nereliatyvistinėje riboje atkarpų ilgiai nesikeičia, gauname (tam momentui, kai dalelė eina per koordinačių pradžią K):

Išvesdami šias formules naudojome lygybę

3 pavyzdys. Dielektriko poliarizacija judant magnetiniame lauke. Kai dielektrikas juda nereliatyvistiniu greičiu statmenai magnetinio lauko indukcijos linijoms, įvyksta jo poliarizacija. IFR, susijusiame su dielektriku, yra skersinis elektrinis laukas. Dielektriko poliarizacijos pobūdis priklauso nuo jo formos.

4 pavyzdys. Reliatyvistinės dalelės elektrinis laukas. Panagrinėkime dalelę, kuri juda ISO K atžvilgiu pastoviu reliatyvistiniu greičiu V. Su judančia dalele susijusiame ISO K yra tik elektrinis laukas ) su Rašome atsakymą laiko momentui, kai dalelė yra ISO K eina per koordinačių pradžią, taškui, esančiam plokštumoje Pereinant nuo koordinačių prie koordinačių, reikia atsižvelgti į tai, kad (. taško koordinatės matuojamos K tuo pačiu metu, kai dalelė praeina per koordinačių pradžią). Kaip rezultatas, mes gauname

Galima pastebėti, kad vektorius E yra kolinerinis vektoriui Tačiau tokiu pat atstumu nuo krūvio laukas taške, esančiame jo judėjimo linijoje, yra mažesnis nei taške, esančiame statmenai greičiui. Magnetinis laukas tame pačiame taške nustatomas pagal išraišką:

Atkreipkite dėmesį, kad nagrinėjamas elektrinis laukas nėra potencialus.

Maksvelo lygčių sistema apima keturias pagrindines lygtis

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Šią sistemą papildo trys medžiagų lygtys, apibrėžiantis ryšį tarp fiziniai dydžiai, įtraukta į Maksvelo lygtis:

(3.5)

Prisiminkime fizinę reikšmęšias matematines frazes.

Pirmoji lygtis (3.1) teigia, kad elektrostatinės lauką gali sukurti tik elektros krūviai - elektrinio poslinkio vektorius, ρ - tūrinio krūvio tankis.

Elektrinio poslinkio vektoriaus srautas per bet kurį uždarą paviršių yra lygus tame paviršiuje esančiam krūviui.

Kaip rodo eksperimentas, magnetinės indukcijos vektoriaus srautas per uždarą paviršių visada yra lygus nuliui (3.2).

(3.2) ir (3.1) lygčių palyginimas leidžia daryti išvadą, kad gamtoje magnetinių krūvių nėra.

(3.3) ir (3.4) lygtys yra labai įdomios ir svarbios. Čia nagrinėjame elektros įtampos vektorių cirkuliaciją ( ) ir magnetinis ( ) laukai išilgai uždaro kontūro.

(3.3) lygtis teigia, kad kintamasis magnetinis laukas ( ) yra sūkurio elektrinio lauko šaltinis ( ).Tai ne kas kita, kaip matematinis Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos reiškinio vaizdas.

(3.4) lygtis nustato ryšį tarp magnetinio lauko ir kintamo elektrinio lauko. Pagal šią lygtį magnetinį lauką gali sukurti ne tik laidumo srovė ( ), bet ir kintamu elektriniu lauku .

Šiose lygtyse:

- elektrinio poslinkio vektorius,

H- magnetinio lauko stiprumas,

E- elektrinio lauko stiprumas,

j- laidumo srovės tankis,

μ - terpės magnetinis pralaidumas,

ε – terpės dielektrinė konstanta.

Elektromagnetinės bangos. Elektromagnetinių bangų savybės

Praėjusį semestrą, nagrinėdami Maxwello klasikinės elektrodinamikos lygčių sistemą, nustatėme, kad bendras sprendimas paskutinės dvi lygtys (apie vektorių cirkuliaciją Ir ) veda prie diferencinės bangos lygties.

Taigi gavome bangos lygtis"Y" bangos:

. (3.6)

Elektrinis komponentas y – bangos sklinda teigiama X ašies kryptimi faziniu greičiu

(3.7)

Panaši lygtis apibūdina magnetinio lauko y bangos erdvės ir laiko pokytį:

. (3.8)

Analizuojant gautus rezultatus, galima suformuluoti nemažai elektromagnetinėms bangoms būdingų savybių.

1. Plokščioji "y" banga yra tiesiškai poliarizuota skersinė banga. Elektros intensyvumo vektoriai ( ), magnetinis ( ) lauko ir bangos fazės greitis ( ) yra viena kitai statmenos ir sudaro „dešiniarankių“ sistemą (3.1 pav.).