Bangos lygties tipas fizinę sistemą yra nulemtas jo Hamiltono, kuris taip įgyja esminę reikšmę visame matematiniame aparate Kvantinė mechanika.

Laisvosios dalelės Hamiltono forma jau nustatyta Bendrieji reikalavimai, susijęs su erdvės homogeniškumu ir izotropija bei Galilėjaus reliatyvumo principu. IN klasikinė mechanikašie reikalavimai lemia kvadratinę dalelės energijos priklausomybę nuo jos impulso: kur konstanta vadinama dalelės mase (žr. I, § 4). Kvantinėje mechanikoje tie patys reikalavimai lemia tą patį ryšį savąsias reikšmes energija ir impulsas yra vienu metu išmatuojami išsaugoti (laisvajai dalelei) dydžiai.

Tačiau norint, kad ryšys galiotų visoms energijos ir impulso savinėms vertėms, jis turi galioti ir jų operatoriams:

Pakeitę (15.2) čia, gauname laisvai judančios dalelės Hamiltono formą

kur yra Laplaso operatorius.

Nesąveikaujančių dalelių sistemos Hamiltono lygi sumai Kiekvieno iš jų hamiltoniečiai:

kur indeksas a sunumeruoja daleles; - Laplaso operatorius, kuriame diferencijavimas atliekamas atsižvelgiant į dalelės koordinates.

Klasikinėje (nereliatyvistinėje) mechanikoje dalelių sąveika Hamiltono funkcijoje apibūdinama adityviu terminu – potencialia sąveikos energija, kuri yra dalelių koordinačių funkcija.

Pridėjus tą pačią funkciją prie sistemos Hamiltono, aprašoma dalelių sąveika kvantinėje mechanikoje:

pirmasis terminas gali būti laikomas operatoriumi kinetinė energija, o antrasis – kaip potencialus energijos operatorius. Visų pirma, Hamiltono vienai dalelei, esančiai išoriniame lauke, yra

kur U(x, y, z) - potencinė energija dalelės išoriniame lauke.

Pakeičiant išraiškas (17.2)-(17.5) į bendroji lygtis(8.1) pateikia atitinkamų sistemų bangų lygtis. Užrašykime čia išoriniame lauke esančios dalelės bangos lygtį

Nejudančias būsenas apibrėžianti lygtis (10.2) įgauna formą

Lygtis (17.6), (17.7) sukūrė Schrödingeris 1926 m. ir jos vadinamos Šriodingerio lygtimis.

Laisvosios dalelės (17.7) lygtis turi tokią formą

Ši lygtis turi sprendinius, kurie yra baigtiniai visoje erdvėje bet kuriai teigiama vertė energija E. Būsenoms su tam tikromis judėjimo kryptimis šie sprendiniai yra impulso operatoriaus savosios funkcijos ir . Pilnos (nuo laiko priklausomos) banginės funkcijos tokių stacionarios būsenos atrodyti kaip

(17,9)

Kiekviena tokia funkcija – plokštuminė banga – apibūdina būseną, kurioje dalelė turi tam tikrą energiją E ir impulsą. Šios bangos dažnis yra lygus, o jos bangos vektorius atitinkamas bangos ilgis vadinamas de Broglie dalelės bangos ilgiu.

Taigi laisvai judančios dalelės energijos spektras yra tolydis, besitęsiantis nuo nulio iki Kiekviena iš šių savųjų reikšmių (išskyrus atvejus, kai tik vertė yra išsigimusi, o išsigimimas yra begalinis. Iš tiesų, kiekviena nenulinė E reikšmė atitinka begalinis rinkinys savosios funkcijos(17.9), besiskiriantis vektoriaus kryptimis su ta pačia absoliučia verte.

Leiskite atsekti, kaip Šriodingerio lygtyje vyksta ribinis perėjimas prie klasikinės mechanikos, paprastumo dėlei įvertinant tik vieną dalelę išoriniame lauke. Pakeitę banginės funkcijos ribinę išraišką (6.1) į Šriodingerio lygtį (17.6), diferencijuodami gauname,

Ši lygtis turi grynai realius ir grynai įsivaizduojamus terminus (prisiminkime, kad S ir a yra tikri); abu jas atskirai prilyginus nuliui, gauname dvi lygtis:

Nepaisydami termino, esančio pirmojoje iš šių lygčių, gauname

(17,10)

y., kaip ir tikėtasi, klasikinė Hamiltono-Jacobi lygtis S dalelės veikimui. Beje, matome, kad klasikinėje mechanikoje galioja iki pirmos (o ne nulinės) eilės dydžių imtinai.

Antrąją iš gautų lygčių po padauginimo iš 2a galima perrašyti į formą

Ši lygtis turi vizualinį vaizdą fizinę reikšmę: yra dalelės radimo tam tikroje erdvės vietoje tikimybės tankis, yra klasikinis dalelės greitis v. Todėl (17.11) lygtis yra ne kas kita, kaip tęstinumo lygtis, rodanti, kad tikimybių tankis „juda“ pagal klasikinės mechanikos dėsnius su klasikinis greitis v kiekviename taške.

Užduotis

Raskite banginės funkcijos transformacijos dėsnį pagal Galilėjos transformaciją.

Sprendimas. Atlikime laisvo dalelės judėjimo (plokštumos bangos) transformaciją per banginę funkciją. Kadangi bet kurią funkciją galima išplėsti į plokštumines bangas, transformacijos dėsnis bus rastas savavališkai banginei funkcijai.

Plokštumos bangos atskaitos sistemose K ir K" (K" juda K atžvilgiu V greičiu):

Be to, abiejų sistemų dalelių momentai ir energijos yra tarpusavyje susiję pagal formules

(žr. I, § 8), Pakeitę šiuos posakius gauname

Šioje formoje šioje formulėje nebėra charakterizuojančių dydžių laisvas judėjimas dalelių, ir nustato norimą bendroji teisė savavališkos dalelės būsenos banginės funkcijos transformacija. Dalelių sistemoje (1) esantis eksponentas turėtų apimti dalelių sumą.

Bendroji Schrödingerio lygtis. Šriodingerio lygtis stacionarioms būsenoms

Statistinis de Broglie bangų aiškinimas (žr. § 216) ir Heizenbergo neapibrėžtumo ryšį (žr. 5 215) leido padaryti išvadą, kad kvantinės mechanikos judėjimo lygtis, apibūdinanti mikrodalelių judėjimą įvairiose jėgos laukai, turi būti lygtis, iš kurios sektų eksperimentiškai stebimos vertės bangų savybės dalelės. Pagrindinė lygtis turi būti lygtis banginės funkcijos Ψ (x, y, z, t) atžvilgiu, nes būtent tai, tiksliau, dydis |Ψ| 2, nustato tikimybę, kad dalelė bus momentu t tūryje dV, t.y. srityje su koordinatėmis x ir x+dx, y ir y+dy, z ir z+dz. Kadangi reikalaujama lygtis turi atsižvelgti į dalelių bangines savybes, ji turi būti bangos lygtis, panašiai kaip lygtis, apibūdinanti elektromagnetines bangas.

Pagrindinę nereliatyvistinės kvantinės mechanikos lygtį 1926 metais suformulavo E. Schrödingeris. Schrödingerio lygtis, kaip ir visos pagrindinės fizikos lygtys (pavyzdžiui, Niutono lygtys klasikinėje mechanikoje ir Maksvelo lygtys elektromagnetinis laukas), nėra išvestinė, o postuluojama. Šios lygties teisingumą patvirtina sutapimas su jos pagalba gautų rezultatų patirtimi, o tai savo ruožtu suteikia jai gamtos dėsnio pobūdį. Šriodingerio lygtis turi formą

čia h=h/(2π), m – dalelės masė, ∆ – Laplaso operatorius ( ),

aš- įsivaizduojamas vienetas, U (x, y, z, t) - potenciali funkcija dalelė jėgos lauke, kuriame ji juda, Ψ (x, y, z, t ) - ieškomas bangos funkcija dalelės.

(217.1) lygtis galioja bet kuriai dalelei (kurios sukimasis lygus 0; žr. § 225), judančioms mažu greičiu (palyginti su šviesos greičiu), t.y. greičiu υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

turi būti nuolatinis; 3) funkcija |Ψ| 2 turi būti integruojamas; ši sąlyga paprasčiausiais atvejais redukuojasi į tikimybių normalizavimo sąlygą (216.3).

Norėdami pasiekti Šriodingerio lygtį, apsvarstykite laisvai judančią dalelę, kuri, remiantis de Broglie idėja, yra susijusi su plokštuma. Paprastumo dėlei mes svarstome vienmatį atvejį. Plokštumos bangos, sklindančios išilgai x ašies, lygtis turi formą (žr. § 154)

Arba sudėtingame įraše . Todėl plokštuma de Broglie banga turi formą

(217.2)

(atsižvelgiama į tai, kad ω = E/h, k=p/h). Kvantinėje mechanikoje eksponentas imamas su minuso ženklu, tačiau tik |Ψ| turi fizinę reikšmę. 2 , tada tai (žr. (217.2)) nesvarbu. Tada

,

; (217.3)

Naudodami ryšį tarp energijos E ir impulso p (E = p 2 /(2m)) ir pakeitimo išraiškas (217.3), gauname diferencialinę lygtį

kuri sutampa su (217.1) lygtimi, kai U = 0 (laikėme laisvąją dalelę).

Jei dalelė juda jėgos lauke, kuriai būdinga potenciali energija U, tai bendra energija E yra kinetinės ir potencialios energijos suma. Atlikdami panašius samprotavimus naudodami ryšį tarp E ir p (šiuo atveju p 2 /(2m)=E -U), gauname diferencialinę lygtį, sutampančią su (217.1).

Aukščiau pateiktas samprotavimas neturėtų būti laikomas Schrödingerio lygties išvedimu. Jie tik paaiškina, kaip galima pasiekti šią lygtį. Šriodingerio lygties teisingumo įrodymas yra išvadų, prie kurių ji veda, sutapimas su patirtimi.

Lygtis (217.1) yra bendroji Šriodingerio lygtis. Ji taip pat vadinama nuo laiko priklausoma Schrödingerio lygtimi. Daugeliui fizinių reiškinių, vykstančių mikropasaulyje, (217.1) lygtį galima supaprastinti pašalinus Ψ priklausomybę nuo laiko, kitaip tariant, rasti Šriodingerio lygtį stacionarioms būsenoms – būsenoms su fiksuotomis energijos reikšmėmis. Tai įmanoma, jei jėgos laukas, kuriame dalelė juda, yra stacionarus, t.y. funkcija U = U(x, y, z ) nėra tiesiogiai priklausomas nuo laiko ir turi potencialios energijos reikšmę. Šiuo atveju Schrödingerio lygties sprendimas gali būti pavaizduotas kaip dviejų funkcijų sandauga, iš kurių viena yra tik koordinačių funkcija, kita - tik laiko funkcija, o priklausomybė nuo laiko išreiškiama daugikliu.

,

kur E - bendroji dalelės energija, pastovi esant nejudančiam laukui. Pakeitę (217.4) į (217.1), gauname

iš kur padalijus iš bendro koeficiento e – i (E/ h) t ir atitinkamas transformacijas, gauname lygtį, apibrėžiančią funkciją ψ:

(217.5)

Lygtis (217.5) vadinama nejudančių būsenų Šriodingerio lygtimi.

Į šią lygtį kaip parametras įtraukta bendra dalelės energija E. Diferencialinių lygčių teorijoje įrodyta, kad tokios lygtys turi be galo daug sprendinių, iš kurių, nustatant ribines sąlygas, atrenkami fizikinę reikšmę turintys sprendiniai. Šriodingerio lygčiai tokios sąlygos yra banginių funkcijų reguliarumo sąlygos: banginės funkcijos turi būti baigtinės, vienareikšmės ir tolydžios kartu su jų pirmosiomis išvestinėmis. Taigi realią fizinę reikšmę turi tik tie sprendiniai, kurie išreiškiami reguliariosiomis funkcijomis ψ . Tačiau įprasti sprendimai nevyksta jokioms parametro E reikšmėms, o tik tam tikram jų rinkiniui, būdingam konkrečiai problemai. Šios energijos vertės vadinamos savosiomis vertėmis. Sprendimai, atitinkantys energijos savąsias reikšmes, vadinami savosiomis funkcijomis. E savosios reikšmės gali sudaryti ištisinę arba diskrečiąją eilutę. Pirmuoju atveju jie kalba apie ištisinį arba kietąjį spektrą, antruoju - apie atskirą spektrą.

Pagal fizikų taip plačiai paplitusią tautosaką, atsitiko taip: 1926 m. Ciuricho universiteto moksliniame seminare pasisakė fizikas teoretikas. Jis kalbėjo apie keistas naujas idėjas ore, apie tai, kaip mikroskopiniai objektai dažnai elgiasi kaip bangos, o ne kaip dalelės. Tada pagyvenęs mokytojas paprašė pasikalbėti ir pasakė: „Schrödingeri, ar nematai, kad visa tai yra nesąmonė? O gal mes visi nežinome, kad bangos yra tik bangos, kurias reikia apibūdinti bangų lygtimis? Schrödingeris tai priėmė kaip asmeninį įžeidimą ir nusprendė sukurti bangų lygtį dalelėms apibūdinti pagal kvantinę mechaniką – ir puikiai susidorojo su šia užduotimi.

Čia reikia pateikti paaiškinimą. Mūsų kasdieniame pasaulyje energija perduodama dviem būdais: materija judant iš vietos į vietą (pavyzdžiui, važiuojantis lokomotyvas ar vėjas) – tokiame energijos perdavime dalyvauja dalelės – arba bangomis (pavyzdžiui, radijo bangomis, yra perduodami galingais siųstuvais ir gaudomi mūsų televizorių antenų). Tai yra, makrokosme, kuriame gyvename tu ir aš, visi energijos nešėjai yra griežtai suskirstyti į du tipus – korpuskulinius (sudarytus iš materialių dalelių) arba banginius. Be to, bet kuri banga apibūdinama specialiu lygčių tipu - bangų lygtimis. Be išimties visos bangos – vandenyno bangos, seisminės uolienų bangos, radijo bangos iš tolimų galaktikų – apibūdinamos to paties tipo bangų lygtimis. Šis paaiškinimas reikalingas tam, kad būtų aišku, jog jei norime subatominio pasaulio reiškinius pavaizduoti tikimybių pasiskirstymo bangomis (žr. Kvantinė mechanika), šios bangos taip pat turi būti aprašytos atitinkama bangų lygtimi.

Schrödingeris pritaikė klasikinę banginės funkcijos diferencialinę lygtį tikimybių bangų sąvokai ir gavo garsiąją lygtį, pavadintą jo vardu. Kaip įprasta bangų funkcijos lygtis apibūdina, pavyzdžiui, bangavimo vandens paviršiuje plitimą, Schrödingerio lygtis apibūdina bangos, kuri yra tikimybė rasti dalelę tam tikrame erdvės taške, sklidimą. Šios bangos smailės (didžiausios tikimybės taškai) parodo, kurioje erdvėje dalelė greičiausiai atsidurs. Nors Šriodingerio lygtis priklauso aukštosios matematikos sričiai, ji tokia svarbi šiuolaikinės fizikos supratimui, kad vis dėlto pateiksiu ją čia – paprasčiausia forma (vadinamoji „vienmatė stacionari Schrödingerio lygtis“). Aukščiau pateikta tikimybių pasiskirstymo bangos funkcija, pažymėta graikiška raide (psi), yra šios diferencialinės lygties sprendimas (gerai, jei jos nesuprantate; tiesiog įsitikinkite, kad ši lygtis rodo, kad tikimybė elgiasi kaip banga ): :

Kvantinių įvykių vaizdas, kurį mums pateikia Schrödingerio lygtis, yra toks, kad elektronai ir kitos elementarios dalelės vandenyno paviršiuje elgiasi kaip bangos. Laikui bėgant bangos smailė (atitinka vietą, kurioje greičiausiai yra elektronas) juda erdvėje pagal lygtį, apibūdinančią šią bangą. Tai yra, tai, ką mes tradiciškai laikėme dalele, kvantiniame pasaulyje elgiasi panašiai kaip banga.

Kai Schrödingeris pirmą kartą paskelbė savo rezultatus, teorinės fizikos pasaulyje arbatos puodelyje kilo audra. Faktas yra tas, kad beveik tuo pačiu metu pasirodė Schrödingerio amžininko Wernerio Heisenbergo darbas (žr. Heisenbergo neapibrėžtumo principą), kuriame autorius iškėlė „matricinės mechanikos“ koncepciją, kurioje buvo išspręstos tos pačios kvantinės mechanikos problemos. kitoje, sudėtingesnėje matematinės matricos formoje. Šurmulį sukėlė tai, kad mokslininkai tiesiog baiminosi, kad du vienodai įtikinami mikropasaulio aprašymo būdai gali prieštarauti vienas kitam. Nerimas buvo bergždžias. Tais pačiais metais pats Schrödingeris įrodė visišką dviejų teorijų lygiavertiškumą – tai yra, iš banginės lygties išplaukia matricinė lygtis, ir atvirkščiai; rezultatai identiški. Šiandien pirmiausia naudojama Schrödingerio versija (kartais vadinama „bangų mechanika“), nes jo lygtis yra ne tokia sudėtinga ir ją lengviau išmokyti.

Tačiau ne taip lengva įsivaizduoti ir priimti, kad kažkas panašaus į elektroną elgiasi kaip banga. Kasdieniame gyvenime susiduriame arba su dalele, arba su banga. Kamuolys yra dalelė, garsas yra banga, ir viskas. Kvantinės mechanikos pasaulyje viskas nėra taip paprasta. Tiesą sakant, ir eksperimentai netrukus tai parodė, kvantiniame pasaulyje esybės skiriasi nuo mums pažįstamų objektų ir turi skirtingas savybes. Šviesa, kurią mes laikome banga, kartais elgiasi kaip dalelė (vadinama fotonu), o tokios dalelės kaip elektronai ir protonai gali elgtis kaip bangos (žr. Komplementarumo principą).

Ši problema paprastai vadinama dviguba arba dviguba kvantinių dalelių banga ir būdinga, matyt, visiems subatominio pasaulio objektams (žr. Bello teoremą). Turime suprasti, kad mikropasaulyje mūsų įprastos intuityvios idėjos apie tai, kokias formas gali turėti materija ir kaip ji gali elgtis, tiesiog negalioja. Pats faktas, kad mes naudojame bangų lygtį, kad apibūdintume judėjimą to, ką esame įpratę manyti kaip apie daleles, yra aiškus to įrodymas. Kaip pažymėta įvade, tame nėra ypatingo prieštaravimo. Juk neturime įtikinamų priežasčių manyti, kad tai, ką stebime makrokosmose, turėtų būti tiksliai atkartota mikrokosmoso lygmenyje. Vis dėlto dviguba elementariųjų dalelių prigimtis daugeliui žmonių tebėra vienas mįslingiausių ir labiausiai nerimą keliančių kvantinės mechanikos aspektų, ir neperdedant galima teigti, kad visos bėdos prasidėjo nuo Erwino Schrödingerio.

Jameso Trefilio enciklopedija „Mokslo prigimtis. 200 visatos dėsnių“.

Jamesas Trefilis yra George'o Masono universiteto (JAV) fizikos profesorius, vienas žymiausių Vakarų mokslo populiarinimo knygų autorių.

Vienas iš kvantinės mechanikos įkūrėjų Maxas Planckas sugalvojo energijos kvantavimo idėjas, bandydamas teoriškai paaiškinti neseniai atrastų elektromagnetinių bangų ir atomų sąveiką ir taip išspręsti juodojo kūno spinduliuotės problemą. Jis suprato, kad norint paaiškinti stebimą atomų emisijos spektrą, reikia laikyti savaime suprantamu dalyku, kad atomai energiją išspinduliuoja ir sugeria dalimis (kurias mokslininkas vadino kvantais) ir tik atskirais bangų dažniais.

Visiškai juodas kūnas, visiškai sugeriantis bet kokio dažnio elektromagnetinę spinduliuotę, kai šildomas, skleidžia energiją bangų pavidalu, tolygiai paskirstytų visame dažnių spektre.

Žodis „quantum“ kilęs iš lotynų kalbos „quantum“ („kiek, kiek“) ir iš angliško „quantum“ („kiekis, dalis, kvantas“). „Mechanika“ ilgą laiką buvo vadinamas materijos judėjimo mokslu. Atitinkamai, terminas „kvantinė mechanika“ reiškia mokslą apie medžiagos judėjimą dalimis (arba, šiuolaikine moksline kalba, mokslą apie kvantuotos medžiagos judėjimą). Terminą „kvantas“ sukūrė vokiečių fizikas Maxas Planckas, norėdamas apibūdinti šviesos sąveiką su atomais.

Vienas iš subatominio pasaulio faktų yra tas, kad jo objektai – tokie kaip elektronai ar fotonai – visai nepanašūs į įprastus makropasaulio objektus. Jie elgiasi ne kaip dalelės ar bangos, o kaip visiškai ypatingi dariniai, kurie, priklausomai nuo aplinkybių, pasižymi ir banginėmis, ir korpuskulinėmis savybėmis. Viena yra pareikšti teiginį, bet visai kas kita – sujungti kvantinių dalelių elgsenos bangos ir dalelių aspektus, apibūdinant juos tikslia lygtimi. Būtent tai buvo padaryta de Broglie santykiuose.

Kasdieniame gyvenime yra du būdai perduoti energiją erdvėje – per daleles arba bangas. Kasdieniame gyvenime nėra matomų prieštaravimų tarp dviejų energijos perdavimo mechanizmų. Taigi, krepšinio kamuolys yra dalelė, o garsas – banga, ir viskas aišku. Tačiau kvantinėje mechanikoje viskas nėra taip paprasta. Net iš paprasčiausių eksperimentų su kvantiniais objektais labai greitai paaiškėja, kad mikropasaulyje mums žinomi makropasaulio principai ir dėsniai negalioja. Šviesa, kurią esame įpratę manyti kaip bangą, kartais elgiasi taip, lyg būtų sudaryta iš dalelių (fotonų) srauto, o elementariosios dalelės, tokios kaip elektronas ar net masyvus protonas, dažnai pasižymi bangos savybėmis.

Labiausiai Einšteinas protestavo prieš būtinybę mikropasaulio reiškinius apibūdinti tikimybių ir bangų funkcijomis, o ne iš įprastos koordinačių ir dalelių greičių padėties. Būtent tai jis turėjo omenyje sakydamas „mėtyti kauliukus“. Jis pripažino, kad elektronų judėjimo apibūdinimas pagal jų greitį ir koordinates prieštarauja neapibrėžtumo principui. Tačiau Einšteinas teigė, kad turi būti keletas kitų kintamųjų ar parametrų, į kuriuos atsižvelgiant kvantinis mechaninis mikropasaulio vaizdas grįš į vientisumo ir determinizmo kelią. Tai yra, tvirtino jis, tik mums atrodo, kad Dievas su mumis žaidžia kauliukais, nes mes ne viską suprantame. Taigi jis pirmasis kvantinės mechanikos lygtyse suformulavo paslėptą kintamojo hipotezę. Taip yra dėl to, kad iš tikrųjų elektronai turi fiksuotas koordinates ir greitį, kaip ir Niutono biliardo rutuliai, o neapibrėžtumo principas ir tikimybinis požiūris į jų nustatymą kvantinės mechanikos rėmuose yra pačios teorijos neišsamumo rezultatas. kodėl neleidžia jiems tam tikros apibrėžti.

Julija Zotova

Sužinosite: Kokios technologijos vadinamos kvantinėmis ir kodėl. Kuo kvantinės technologijos pranašesnės prieš klasikines? Ką gali ir ko negali padaryti kvantinis kompiuteris. Kaip fizikai sukuria kvantinį kompiuterį. Kada jis bus sukurtas.

Prancūzų fizikas Pierre'as Simonas Laplasas iškėlė svarbų klausimą, ar viskas pasaulyje yra nulemta ankstesnės pasaulio būklės, ar priežastis gali sukelti keletą pasekmių. Kaip ir tikėjosi filosofinė tradicija, pats Laplasas savo knygoje „Pasaulio sistemos ekspozicija“ nekėlė jokių klausimų, o pasakė paruoštą atsakymą, kad taip, viskas pasaulyje yra iš anksto nustatyta, tačiau, kaip dažnai nutinka filosofijoje, Laplaso pasiūlytas pasaulio vaizdas neįtikino visų, todėl jo atsakymas sukėlė diskusiją šia tema, kuri tęsiasi iki šiol. Nepaisant kai kurių filosofų nuomonės, kad kvantinė mechanika išsprendė šį klausimą tikimybinio požiūrio naudai, Laplaso visiško išankstinio apsisprendimo teorija arba, kaip ji kitaip vadinama, Laplaso determinizmo teorija, vis dar diskutuojama ir šiandien.

Gordėjus Lesovikas

Prieš kurį laiką su grupe bendraautorių pradėjome išvesti antrąjį termodinamikos dėsnį kvantinės mechanikos požiūriu. Pavyzdžiui, vienoje iš jo formuluočių, kuriose teigiama, kad uždaros sistemos entropija nemažėja, paprastai didėja, o kartais išlieka pastovi, jei sistema energetiškai izoliuota. Naudodami žinomus kvantinės informacijos teorijos rezultatus, nustatėme kai kurias sąlygas, kurioms esant šis teiginys yra teisingas. Netikėtai paaiškėjo, kad šios sąlygos nesutampa su sistemų energetinės izoliacijos sąlyga.

Fizikos profesorius Jimas Al-Khalilis tyrinėja tiksliausią ir vieną painiausių mokslinių teorijų – kvantinę fiziką. XX amžiaus pradžioje mokslininkai išskleidė paslėptas materijos gelmes – subatominius mus supančio pasaulio blokus. Jie atrado reiškinius, kurie skyrėsi nuo anksčiau matytų dalykų. Pasaulis, kuriame viskas gali būti daugelyje vietų vienu metu, kur tikrovė iš tikrųjų egzistuoja tik tada, kai ją stebime. Albertas Einšteinas priešinosi vien minčiai, kad atsitiktinumas yra gamtos esmė. Kvantinė fizika reiškia, kad subatominės dalelės gali sąveikauti greičiau nei šviesos greitis, o tai prieštarauja jo reliatyvumo teorijai.

Įvadas

Yra žinoma, kad kvantinės mechanikos kursas yra vienas iš sunkiausiai suprantamų. Taip yra ne tiek dėl naujos ir „neįprastos“ matematinio aparato, kiek dėl to, kad klasikinės fizikos požiūriu sunku suprasti revoliucionierių, kvantinės mechanikos idėjas ir rezultatų interpretavimo sudėtingumą.

Daugumoje kvantinės mechanikos vadovėlių medžiagos pateikimas paprastai grindžiamas stacionarių Šriodingerio lygčių sprendinių analize. Tačiau stacionarus metodas neleidžia tiesiogiai palyginti kvantinės mechaninės problemos sprendimo rezultatų su panašiais klasikiniais rezultatais. Be to, daugelis kvantinės mechanikos metu tiriamų procesų (pavyzdžiui, dalelės perėjimas per potencialų barjerą, beveik stacionarios būsenos skilimas ir kt.) iš esmės yra nestacionaraus pobūdžio ir todėl gali visapusiškai suprantami tik remiantis nestacionarios Schrödingerio lygties sprendiniais. Kadangi analitiškai išsprendžiamų uždavinių skaičius yra nedidelis, kompiuterio panaudojimas kvantinės mechanikos studijų procese yra ypač aktualus.

Šriodingerio lygtis ir jos sprendinių fizikinė reikšmė

Šriodingerio bangos lygtis

Viena iš pagrindinių kvantinės mechanikos lygčių yra Šriodingerio lygtis, kuri lemia kvantinių sistemų būsenų kitimą laikui bėgant. Tai parašyta formoje

kur H yra sistemos Hamiltono operatorius, sutampantis su energijos operatoriumi, jei jis nepriklauso nuo laiko. Operatoriaus tipas nustatomas pagal sistemos savybes. Masės dalelės nereliatyvistiniam judėjimui potencialiame lauke U(r) operatorius yra tikras ir yra pavaizduotas dalelės kinetinės ir potencialios energijos operatorių suma.

Jei dalelė juda elektromagnetiniame lauke, Hamiltono operatorius bus sudėtingas.

Nors (1.1) lygtis yra pirmos eilės lygtis laike, dėl įsivaizduojamo vieneto buvimo ji turi ir periodinius sprendinius. Todėl Šriodingerio lygtis (1.1) dažnai vadinama Šredingerio bangų lygtimi, o jos sprendimas – nuo ​​laiko priklausoma bangų funkcija. (1.1) lygtis su žinoma operatoriaus H forma leidžia nustatyti banginės funkcijos reikšmę bet kuriuo vėlesniu momentu, jei ši reikšmė yra žinoma pradiniu momentu. Taigi Šriodingerio bangų lygtis išreiškia priežastingumo principą kvantinėje mechanikoje.

Schrödingerio bangos lygtį galima gauti remiantis šiais formaliais svarstymais. Klasikinėje mechanikoje žinoma, kad jei energija pateikiama kaip koordinačių ir impulso funkcija

tada veiksmo funkcijos S perėjimas prie klasikinės Hamiltono-Jacobi lygties

galima gauti iš (1.3) formaliąja transformacija

Lygiai taip pat lygtis (1.1) gaunama iš (1.3), pereinant iš (1.3) į operatoriaus lygtį formalia transformacija

jei (1.3) nėra koordinačių ir momentų sandaugų arba yra jų sandaugų, kurios, perduotos operatoriams (1.4), važinėja tarpusavyje. Sulyginę po šios transformacijos gautos operatorių lygybės dešinės ir kairės pusės operatorių funkcijos veiksmo rezultatus, gauname banginę lygtį (1.1). Tačiau šios formalios transformacijos neturėtų būti laikomos Šriodingerio lygties išvestiniais. Šriodingerio lygtis yra eksperimentinių duomenų apibendrinimas. Jis nėra išvestas kvantinėje mechanikoje, kaip ir Maksvelo lygtys nėra išvestos elektrodinamikoje, mažiausio veikimo principu (arba Niutono lygtyse) klasikinėje mechanikoje.

Nesunku patikrinti, ar (1.1) lygtis tenkinama banginei funkcijai

apibūdinantis laisvą tam tikrą impulso reikšmę turinčios dalelės judėjimą. Bendruoju atveju (1.1) lygties pagrįstumas įrodomas visų išvadų, gautų naudojant šią lygtį, patirtimi.

Parodykime, kad (1.1) lygtis reiškia svarbią lygybę

tai rodo, kad bangos funkcijos normalizavimas laikui bėgant išlieka. Padauginkime (1.1) kairėje iš funkcijos *, lygties kompleksą, susietą su (1.1), iš funkcijos ir atimkime antrąją iš pirmosios gautos lygties; tada randame

Integravę šį ryšį į visas kintamųjų reikšmes ir atsižvelgdami į operatoriaus savarankiškumą, gauname (1.5).

Jei į santykį (1.6) pakeisime Hamiltono operatoriaus (1.2) aiškią išraišką dalelės judėjimui potencialo lauke, tada gauname diferencialinę lygtį (tęstinumo lygtį)

kur yra tikimybės tankis ir vektorius

galima vadinti tikimybiniu srovės tankio vektoriumi.

Sudėtinga bangų funkcija visada gali būti pavaizduota kaip

kur ir yra realios laiko ir koordinačių funkcijos. Taigi tikimybės tankis

ir tikimybinis srovės tankis

Iš (1.9) seka, kad j = 0 visoms funkcijoms, kurių funkcija Φ nepriklauso nuo koordinačių. Visų pirma, j = 0 visoms realioms funkcijoms.

Šriodingerio lygties (1.1) sprendiniai bendruoju atveju vaizduojami kompleksinėmis funkcijomis. Naudoti sudėtingas funkcijas yra gana patogu, nors ir nebūtina. Vietoj vienos sudėtingos funkcijos sistemos būseną galima apibūdinti dviem realiomis funkcijomis ir, tenkinant dvi susijusias lygtis. Pavyzdžiui, jei operatorius H yra tikras, tai funkciją pakeitę į (1.1) ir atskirdami realiąją ir įsivaizduojamą dalis, gauname dviejų lygčių sistemą.

šiuo atveju tikimybės tankis ir tikimybės srovės tankis įgaus formą

Banginės funkcijos impulsų atvaizdavime.

Banginės funkcijos Furjė transformacija apibūdina impulso pasiskirstymą kvantinėje būsenoje. Reikia išvesti integralią potencialo lygtį su Furjė transformacija kaip branduoliu.

Sprendimas. Yra du tarpusavyje atvirkštiniai ryšiai tarp funkcijų ir.

Jei santykis (2.1) naudojamas kaip apibrėžimas ir jam taikoma operacija, tai atsižvelgiant į 3 dimensijos funkcijos apibrėžimą,

dėl to, kaip nesunku pastebėti, gauname atvirkštinį ryšį (2.2). Panašūs svarstymai naudojami toliau nustatant ryšį (2.8).

tada mūsų turimo potencialo Furjė transformacijai

Darant prielaidą, kad banginė funkcija tenkina Šriodingerio lygtį

Čia vietoj ir atitinkamai pakeičiant išraiškas (2.1) ir (2.3), gauname

Dvigubu integralu pereiname nuo integravimo per kintamąjį prie integravimo per kintamąjį ir vėl pažymime šį naują kintamąjį. Integralas virš išnyksta bet kuriai reikšmei tik tuo atveju, kai pats integrandas yra lygus nuliui, bet tada

Tai yra norima integralinė lygtis su Furjė potencialo, kaip branduolio, transformacija. Žinoma, integralinę lygtį (2.6) galima gauti tik su sąlyga, kad egzistuoja potencialo (2.4) Furjė transformacija; tam, pavyzdžiui, potencialas turi mažėti dideliais atstumais bent kiek, kur.

Reikėtų pažymėti, kad iš normalizavimo sąlygos

seka lygybė

Tai galima parodyti funkcijos išraišką (2.1) pakeičiant į (2.7):

Jei pirmiausia atliksime integraciją čia, galime lengvai gauti ryšį (2.8).

Heisenbergas priėjo prie išvados, kad kvantinės mechanikos judėjimo lygtis, nusakanti mikrodalelių judėjimą įvairiuose jėgos laukuose, turėtų būti lygtis, iš kurios sektųsi eksperimentiškai stebimos dalelių banginės savybės. Valdymo lygtis turi būti banginės funkcijos Ψ lygtis (x, y, z, t), kadangi būtent tai, tiksliau, kiekis |Ψ| 2, nustato dalelės buvimo tikimybę laiko momentu t tūryje Δ V, y., srityje su koordinatėmis X Ir x + dx, y Ir y + dу, z Ir z+ dz.

Pagrindinę nereliatyvistinės kvantinės mechanikos lygtį 1926 metais suformulavo E. Schrödingeris. Šriodingerio lygtis, kaip ir visos pagrindinės fizikos lygtys (pavyzdžiui, Niutono lygtys klasikinėje mechanikoje ir Maksvelo lygtys elektromagnetiniam laukui), yra ne išvestinė, o postuluojama. Šios lygties teisingumą patvirtina sutapimas su jos pagalba gautų rezultatų patirtimi, o tai savo ruožtu suteikia jai gamtos dėsnio pobūdį.

Bendroji Schrödingerio lygtis yra tokia:

Kur ? =h/(2π), m- dalelių masė, Δ - Laplaso operatorius , i- įsivaizduojamas vienetas, U(x, y, z, t) yra potenciali dalelės funkcija jėgos lauke, kuriame ji juda, Ψ( x, y, z, t) yra norima dalelės banginė funkcija.

(1) lygtis galioja bet kuriai dalelei (kurios sukinys lygus 0), judančiai mažu (lyginant su šviesos greičiu) greičiu, t.y. υ "Su.

Ją papildo sąlygos, ant bangos funkcijos:

1) banginė funkcija turi būti baigtinė, vienareikšmė ir tolydi;

2) dariniai turi būti nuolatinis;

3) funkcija |Ψ| 2 turi būti integruojamas (ši sąlyga paprasčiausiais atvejais redukuojasi į tikimybių normalizavimo sąlygą).

Lygtis (1) vadinama nuo laiko priklausoma Šriodingerio lygtis.

Daugeliui mikropasaulyje vykstančių fizikinių reiškinių (1) lygtį galima supaprastinti pašalinus Ψ priklausomybę nuo laiko, t.y. Raskite Šriodingerio lygtį stacionarioms būsenoms – būsenoms su fiksuotomis energijos reikšmėmis. Tai įmanoma, jei jėgos laukas, kuriame dalelė juda, yra nejudantis, ty funkcija U = U(x, y,z) tiesiogiai nepriklauso nuo laiko ir turi potencialios energijos reikšmę. Šiuo atveju Schrödingerio lygties sprendimas gali būti pavaizduotas forma

. (2)

2 lygtis vadinama stacionarių būsenų Šriodingerio lygtimi.

Ši lygtis apima bendrą energiją kaip parametrą E dalelės. Diferencialinių lygčių teorijoje įrodyta, kad tokios lygtys turi be galo daug sprendinių, iš kurių, nustatant ribines sąlygas, atrenkami fizikinę reikšmę turintys sprendiniai. Šriodingerio lygčiai tokios sąlygos yra banginių funkcijų reguliarumo sąlygos: Naujos funkcijos turi būti baigtinės, nedviprasmiškos ir tęstinės kartu su pirmaisiais jų išvestiniais.

Taigi realią fizinę reikšmę turi tik tie sprendiniai, kurie išreiškiami reguliariosiomis funkcijomis Ψ. Tačiau įprastiniai sprendimai netaikomi jokioms parametrų reikšmėms E, bet tik tam tikram jų rinkiniui, būdingam duotai užduočiai. Šios energijos vertės vadinamos savosiomis vertėmis . Sprendimai, atitinkantys energijos savąsias reikšmes, vadinami savosiomis funkcijomis . Savosios vertybės E gali sudaryti ištisinę arba atskirą seką. Pirmuoju atveju jie kalba apie ištisinį arba kietąjį spektrą, antruoju - apie atskirą spektrą.

Dalelė vienmačio stačiakampio „potencialaus šulinio“su be galo aukštomis "sienomis"

Atlikime kokybinę Šriodingerio lygties sprendinių analizę, taikomą dalelei vienmačio stačiakampio „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienos“. Tokia „skylė“ apibūdinama formos potencine energija (paprastumo dėlei darome prielaidą, kad dalelė juda išilgai ašies X)

Kur l yra „skylės“ plotis, o energija matuojama nuo jos apačios (2 pav.).

Šriodingerio lygtis stacionarioms būsenoms vienmatės problemos atveju bus parašyta tokia forma:

. (1)

Pagal problemos sąlygas (be galo aukštas „sieneles“) dalelė neprasiskverbia už „skylės“, todėl jos aptikimo (taigi ir bangos funkcijos) tikimybė už „skylės“ yra lygi nuliui. Prie „duobės“ ribų (at X= 0 ir x = 1) turi išnykti ir nuolatinės bangos funkcija.

Todėl ribinės sąlygos šiuo atveju yra tokios formos:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

„Duobėje“ (0 ≤ X≤ 0) Schrödingerio lygtis (1) bus sumažinta iki lygties:

arba . (3)

Kur k 2 = 2 mE / ? 2.(4)

Bendrasis diferencialinės lygties (3) sprendimas:

Ψ ( x) = A nuodėmė kx + B cos kx.

Kadangi pagal (2) Ψ (0) = 0, tai B = 0. Tada

Ψ ( x) = A nuodėmė kx. (5)

Sąlyga Ψ ( l) = A nuodėmė kl= 0 (2) įvykdoma tik tada, kai kl = nπ, Kur n- sveikieji skaičiai, t.y. tai būtina

k = nπ/l. (6)

Iš (4) ir (6) išraiškų matyti, kad:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

y., stacionarioji Šriodingerio lygtis, apibūdinanti dalelės judėjimą „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“, tenkinama tik savosioms reikšmėms E p, priklausomai nuo sveikojo skaičiaus P. Todėl energija E p dalelės „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienos“ priima tik tam tikros diskrečios reikšmės, t.y. kvantuotos.

Kvantuotos energijos vertės E p yra vadinami energijos lygiai ir numerį P, kuris lemia dalelės energijos lygius vadinamas pagrindinis kvantinis skaičius. Taigi mikrodalelė „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“ gali būti tik tam tikro energijos lygio E p, arba, kaip sakoma, dalelė yra kvantinėje būsenoje P.

Vertės pakeitimas į (5). k iš (6) randame savąsias funkcijas:

.

Integracijos konstanta A randame iš normalizavimo sąlygos, kuri šiuo atveju bus parašyta tokia forma:

.

Dėl integracijos gauname , o savosios funkcijos turės tokią formą:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Savųjų funkcijų (8) grafikai, atitinkantys energijos lygius (7) at n= 1,2,3, parodyta pav. 3, A. Fig. 3, b parodo dalelės aptikimo įvairiais atstumais nuo skylės „sienelių“ tikimybės tankį, lygų ‌‌‌‌‌‌ Ψ n(x)‌ 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Dėl n = 1, 2 ir 3. Iš paveikslo matyti, kad, pavyzdžiui, kvantinėje būsenoje su n= 2, dalelė negali būti „skylės“ viduryje, tuo tarpu vienodai dažnai ji gali būti kairėje ir dešinėje. Toks dalelių elgesys rodo, kad dalelių trajektorijų sampratos kvantinėje mechanikoje yra nepagrįstos.

Iš (7) išraiškos matyti, kad energijos intervalas tarp dviejų gretimų lygių yra lygus:

Pavyzdžiui, elektronui su šulinio matmenimis l= 10-1 m (laisvieji elektronai metale) , Δ E n ≈ 10–35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, t.y. Energijos lygiai išsidėstę taip arti, kad spektrą praktiškai galima laikyti nuolatiniu. Jei šulinio matmenys yra panašūs į atominius ( l ≈ 10 -10 m), tada elektronui Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, t.y. Akivaizdu, kad gaunamos atskiros energijos vertės (linijų spektras).

Taigi, taikant Schrödingerio lygtį dalelei „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“, gaunamos kvantuotos energijos vertės, o klasikinė mechanika nenustato jokių šios dalelės energijos apribojimų.

Be to, kvantinis mechaninis šios problemos nagrinėjimas leidžia daryti išvadą, kad dalelės „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienos“ energija negali būti mažesnė už mažiausią energiją, lygią π 2 ? 2 /(2t1 2). Nenulinės minimalios energijos buvimas nėra atsitiktinis ir išplaukia iš neapibrėžtumo santykio. Koordinačių neapibrėžtis Δ X dalelės „duobėje“ pločio l lygus Δ X= l.

Tada pagal neapibrėžtumo santykį impulsas negali turėti tikslios, šiuo atveju nulinės, reikšmės. Impulso neapibrėžtis Δ R ≈ h/l. Šis impulso verčių sklaida atitinka kinetinę energiją E min ≈(Δ p) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Visi kiti lygiai ( p> 1) kurių energija viršija šią mažiausią vertę.

Iš (9) ir (7) formulių išplaukia, kad esant dideliems kvantiniams skaičiams ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P„1, t. y. gretimi lygiai išsidėstę arti: kuo arčiau, tuo daugiau P. Jeigu P yra labai didelis, tuomet galime kalbėti apie beveik nenutrūkstamą lygių seką ir kvantiniams procesams būdingas bruožas – diskretiškumas – išlyginamas. Šis rezultatas yra ypatingas Bohro atitikimo principo (1923 m.) atvejis, pagal kurį kvantinės mechanikos dėsniai turėtų virsti klasikinės fizikos dėsniais esant didelėms kvantinių skaičių reikšmėms.