Funkcijos y sin x grafikas vadinamas. Pamoka „Funkcija y=sinx, jos savybės ir grafikas“

Funkcijay = nuodėmėx

Funkcijos grafikas yra sinusoidė.

Visa nesikartojanti sinusinės bangos dalis vadinama sinusine banga.

Pusė sinuso banga vadinama pusiau sinusine banga (arba lanku).

Funkcijų savybėsy = nuodėmėx:

Funkcijos grafikas y= nuodėmė x Patogu naudoti šias svarstykles:

Popieriaus lape su kvadratu segmento vienetu laikome dviejų kvadratų ilgį.

Ant ašies x Išmatuokime ilgį π. Tuo pačiu metu, kad būtų patogiau, 3.14 pateikiame 3 pavidalu, tai yra, be trupmenos. Tada popieriaus lape langelyje π bus 6 langeliai (tris kartus po 2 langelius). Ir kiekviena ląstelė gaus savo natūralų pavadinimą (nuo pirmos iki šeštos): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Tai yra reikšmės x.

Y ašyje pažymime 1, kurį sudaro dvi ląstelės.

Sukurkime funkcijų reikšmių lentelę naudodami savo reikšmes x:

Tada sukurkime tvarkaraštį. Tai bus pusė bangos, aukščiausias taškas kuris (π/2; 1). Tai yra funkcijos grafikas y= nuodėmė x segmente. Sukonstruotą grafą pridėkime simetrišką pusbangę (simetrišką prado atžvilgiu, tai yra atkarpoje -π). Šios pusbangos ketera yra po x ašimi su koordinatėmis (-1; -1). Rezultatas bus banga. Tai yra funkcijos grafikas y= nuodėmė x atkarpoje [-π; π].

Galite tęsti bangą sukonstruodami ją atkarpoje [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] ir kt. Visuose šiuose segmentuose funkcijos grafikas atrodys taip pat kaip segmente [-π; π]. Gausite ištisinę banguotą liniją su identiškomis bangomis.

Funkcijay = cosx.

Funkcijos grafikas yra sinusinė banga (kartais vadinama kosinuso banga).

Funkcijų savybėsy = cosx:

Funkcijay = mf(x).

Paimkime ankstesnę funkciją y= cos x. Kaip jau žinote, jo grafikas yra sinusinė banga. Jei šios funkcijos kosinusą padauginsime iš tam tikras skaičius m, tada banga nusidrieks nuo ašies x(arba susitrauks, priklausomai nuo m reikšmės).
Ši nauja banga bus funkcijos y = mf(x) grafikas, kur m yra bet koks realusis skaičius.

Taigi funkcija y = mf(x) yra pažįstama funkcija y = f(x), padauginta iš m.

Jeigum< 1, то синусоида сжимается к оси x pagal koeficientąm. Jeigum > 1, tada sinusoidas ištemptas nuo ašiesx pagal koeficientąm.

Atlikdami tempimą ar suspaudimą, pirmiausia galite nubraižyti tik vieną sinusinės bangos pusę, o tada užbaigti visą grafiką.

Funkcijay = f(kx).

Jei funkcija y =mf(x) veda prie sinusoidės ištempimo nuo ašies x arba suspaudimas link ašies x, tada funkcija y = f(kx) veda į tempimą nuo ašies y arba suspaudimas link ašies y.

Be to, k yra bet koks realusis skaičius.

0 val< k< 1 синусоида растягивается от оси y pagal koeficientąk. Jeiguk > 1, tada sinusoidas suspaudžiamas link ašiesy pagal koeficientąk.

Kurdami šios funkcijos grafiką, pirmiausia galite sukurti vieną sinusinės bangos pusę, o tada panaudoti ją visam grafikui užbaigti.

Funkcijay = tgx.

Funkcijų grafikas y= tg x yra liestinė.

Užtenka dalį grafiko sukonstruoti intervale nuo 0 iki π/2, o tada galima simetriškai tęsti intervale nuo 0 iki 3π/2.

Funkcijų savybėsy = tgx:

Funkcijay = ctgx

Funkcijų grafikas y=ctg x taip pat yra tangentoidas (kartais jis vadinamas kotangentoidu).

Funkcijų savybėsy = ctgx:

Šioje pamokoje išsamiai apžvelgsime funkciją y = sin x, jos pagrindines savybes ir grafiką. Pamokos pradžioje pateiksime apibrėžimą trigonometrinė funkcija y = sin t on koordinačių ratas ir apsvarstykite funkcijos grafiką apskritime ir tiesėje. Parodykime šios funkcijos periodiškumą grafike ir apsvarstykime pagrindines funkcijos savybes. Pamokos pabaigoje išspręsime keletą nesudėtingų uždavinių, naudodami funkcijos grafiką ir jos savybes.

Tema: Trigonometrinės funkcijos

Pamoka: Funkcija y=sinx, jos pagrindinės savybės ir grafikas

Svarstant apie funkciją, svarbu kiekvieną argumento reikšmę susieti su viena funkcijos reikšme. Tai korespondencijos įstatymas ir vadinama funkcija.

Apibrėžkime korespondencijos dėsnį .

Bet koks tikrasis skaičius atitinka vieną tašką vieneto ratas Taškas turi vieną ordinatę, kuri vadinama skaičiaus sinusu (1 pav.).

Kiekviena argumento reikšmė yra susieta su viena funkcijos reikšme.

Akivaizdžios savybės išplaukia iš sinuso apibrėžimo.

Paveikslas tai rodo nes yra vienetinio apskritimo taško ordinatė.

Apsvarstykite funkcijos grafiką. Prisiminkime geometrinė interpretacija argumentas. Argumentas yra centrinis kampas, matuojamas radianais. Išilgai ašies braižysime realūs skaičiai arba kampai radianais, išilgai ašies atitinkamos funkcijos reikšmės.

Pavyzdžiui, vienetinio apskritimo kampas atitinka grafiko tašką (2 pav.)

Gavome funkcijos grafiką srityje, bet žinodami sinuso periodą, galime pavaizduoti funkcijos grafiką visoje apibrėžimo srityje (3 pav.).

Pagrindinis funkcijos laikotarpis yra Tai reiškia, kad grafiką galima gauti segmente ir tada tęsti visoje apibrėžimo srityje.

Apsvarstykite funkcijos savybes:

1) Apibrėžimo sritis:

2) reikšmių diapazonas:

3) Nelyginė funkcija:

4) Mažiausias teigiamas laikotarpis:

5) Grafo susikirtimo su abscisių ašimi taškų koordinatės:

6) Grafiko susikirtimo su ordinačių ašimi taško koordinatės:

7) Intervalai, kuriais funkcija įgauna teigiamas reikšmes:

8) Intervalai, kuriais funkcija įgauna neigiamas reikšmes:

9) Didėjantys intervalai:

10) Mažėjantys intervalai:

11) Minimalus taškų skaičius:

12) Minimalios funkcijos:

13) Maksimalus taškų skaičius:

14) Maksimalios funkcijos:

Mes pažvelgėme į funkcijos ir jos grafiko savybes. Savybės bus pakartotinai naudojamos sprendžiant problemas.

Nuorodos

1. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Pamoka skirta švietimo įstaigų (profilio lygis) red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ir matematinė analizė 10 klasei ( mokymo vadovas mokyklų ir klasių mokiniams, kurie gilinasi į matematiką).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas.-M.: Edukacija, 1997 m.

5. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redagavo M.I. Skanavi - M.: Aukštoji mokykla, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrinis simuliatorius.-K.: A.S.K., 1997 m.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebros uždaviniai ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10-11 klasių mokiniams - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karpas A.P. Algebros ir analizės principų uždavinių rinkinys: vadovėlis. priedą už 10-11 klases. su gyliu studijavo Matematika.-M.: Edukacija, 2006 m.

Namų darbai

Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red.

A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildomi žiniatinklio ištekliai

3. Mokomasis portalas pasiruošti egzaminams ().

Išsiaiškinome, kad trigonometrinių funkcijų elgsena ir funkcijos y = sin x ypač visoje skaičių eilutėje (arba visoms argumento reikšmėms X) yra visiškai nulemtas jo elgesio intervale 0 < X < π / 2 .

Todėl pirmiausia nubraižysime funkciją y = sin x tiksliai šiame intervale.

Padarykime šią mūsų funkcijos verčių lentelę;

Pažymėję atitinkamus taškus koordinačių plokštumoje ir sujungę juos lygia linija, gauname kreivę, parodytą paveikslėlyje

Gauta kreivė taip pat gali būti sudaryta geometriškai, nesudarant funkcijų reikšmių lentelės y = sin x .

1. Pirmąjį 1 spindulio apskritimo ketvirtį padalinkite į 8 lygias dalis.

2.Pirmasis apskritimo ketvirtis atitinka kampus nuo 0 iki π / 2 . Todėl ant ašies X Paimkime atkarpą ir padalinkime ją į 8 lygias dalis.

3. Nubrėžkime tiesias linijas, lygiagrečias ašims X, o iš padalijimo taškų konstruojame statmenus tol, kol jie susikerta su horizontaliomis linijomis.

4. Sujunkite sankirtos taškus lygia linija.

Dabar pažiūrėkime į intervalą π / 2 < X < π .
Kiekviena argumento reikšmė X iš šio intervalo galima pavaizduoti kaip

x = π / 2 + φ

Kur 0 < φ < π / 2 . Pagal redukcijos formules

nuodėmė ( π / 2 + φ ) = cos φ = nuodėmė ( π / 2 - φ ).

Ašies taškai X su abscisėmis π / 2 + φ Ir π / 2 - φ simetriški vienas kitam apie ašies tašką X su abscisėmis π / 2 , o sinusai šiuose taškuose yra vienodi. Tai leidžia mums gauti funkcijos grafiką y = sin x intervale [ π / 2 , π ] tiesiog simetriškai rodant šios funkcijos grafiką intervale tiesės atžvilgiu X = π / 2 .

Dabar naudojasi turtu nelyginio pariteto funkcija y = sin x,

nuodėmė (- X) = - nuodėmė X,

šią funkciją lengva nubraižyti intervale [- π , 0].

Funkcija y = sin x yra periodinė, kurios periodas yra 2π ;. Todėl norint sudaryti visą šios funkcijos grafiką, pakanka periodiškai tęsti paveikslėlyje parodytą kreivę į kairę ir į dešinę su tašku 2π .

Gauta kreivė vadinama sinusoidinė . Tai reiškia funkcijos grafiką y = sin x.

Paveiksle gerai pavaizduotos visos funkcijos savybės y = sin x , ką jau įrodėme anksčiau. Prisiminkime šias savybes.

1) Funkcija y = sin x apibrėžtos visoms vertėms X , todėl jo domenas yra visų realiųjų skaičių rinkinys.

2) Funkcija y = sin x ribotas. Visos priimtinos reikšmės yra nuo -1 iki 1, įskaitant šiuos du skaičius. Vadinasi, šios funkcijos kitimo diapazoną lemia nelygybė -1 < adresu < 1. Kada X = π / 2 + 2k π funkcija užima aukščiausios vertės, lygus 1, o jei x = - π / 2 + 2k π - mažiausios vertės, lygus - 1.

3) Funkcija y = sin x yra nelyginis (sinusoidas yra simetriškas kilmei).

4) Funkcija y = sin x periodinis su 2 periodu π .

5) 2n intervalais π < x < π + 2n π (n yra bet koks sveikasis skaičius) jis yra teigiamas ir intervalais π + 2k π < X < 2π + 2k π (k yra bet koks sveikasis skaičius) jis yra neigiamas. Esant x = k π funkcija pereina į nulį. Todėl šios argumento x reikšmės (0; ± π ; ±2 π ; ...) vadinami funkcijos nuliais y = sin x

6) intervalais - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcija y = nuodėmė x didėja monotoniškai ir intervalais π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π jis mažėja monotoniškai.

Ypatingą dėmesį turėtumėte skirti funkcijos veikimui y = sin x netoli taško X = 0 .

Pavyzdžiui, nuodėmė 0,012 ≈ 0,012; nuodėmė (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = nuodėmė π 2 / 180 = nuodėmė π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Tuo pačiu metu reikia pažymėti, kad bet kurioms x reikšmėms

| nuodėmė x| < | x | . (1)

Iš tiesų, tegul paveikslėlyje parodyto apskritimo spindulys yra lygus 1,
a / AOB = X.

Tada nuodėmė x= AC. Bet AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Šio lanko ilgis akivaizdžiai lygus X, nes apskritimo spindulys lygus 1. Taigi, esant 0< X < π / 2

nuodėmė x< х.

Vadinasi, dėl funkcijos keistumo y = sin x lengva parodyti, kad kai - π / 2 < X < 0

| nuodėmė x| < | x | .

Galiausiai, kada x = 0

| nuodėmė x | = | x |.

Taigi, už | X | < π / 2 nelygybė (1) buvo įrodyta. Tiesą sakant, ši nelygybė galioja ir | x | > π / 2 dėl to, kad | nuodėmė X | < 1, a π / 2 > 1

Pratimai

1.Pagal funkcijos grafiką y = sin x nustatyti: a) nuodėmė 2; b) nuodėmė 4; c) nuodėmė (-3).

2.Pagal funkcijų grafiką y = sin x nustatyti, kuris skaičius iš intervalo
[ - π / 2 , π / 2 ] turi sinusą, lygų: a) 0,6; b) -0,8.

3. Pagal funkcijos grafiką y = sin x nustatyti, kurie skaičiai turi sinusą,
lygus 1/2.

4. Raskite apytiksliai (nenaudodami lentelių): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) nuodėmė (-0,015); d) nuodėmė (-2°30").

Šioje pamokoje išsamiai apžvelgsime funkciją y = sin x, jos pagrindines savybes ir grafiką. Pamokos pradžioje pateiksime trigonometrinės funkcijos y = sin t apibrėžimą koordinačių apskritime ir apsvarstysime funkcijos grafiką apskritime ir tiesėje. Parodykime šios funkcijos periodiškumą grafike ir apsvarstykime pagrindines funkcijos savybes. Pamokos pabaigoje išspręsime keletą nesudėtingų uždavinių, naudodami funkcijos grafiką ir jos savybes.

Tema: Trigonometrinės funkcijos

Pamoka: Funkcija y=sinx, jos pagrindinės savybės ir grafikas

Svarstant apie funkciją, svarbu kiekvieną argumento reikšmę susieti su viena funkcijos reikšme. Tai korespondencijos įstatymas ir vadinama funkcija.

Apibrėžkime korespondencijos dėsnį .

Bet kuris realusis skaičius atitinka vieną vienetinio apskritimo tašką. Taškas turi vieną ordinatę, kuri vadinama skaičiaus sinusu (1 pav.).

Kiekviena argumento reikšmė yra susieta su viena funkcijos reikšme.

Akivaizdžios savybės išplaukia iš sinuso apibrėžimo.

Paveikslas tai rodo nes yra vienetinio apskritimo taško ordinatė.

Apsvarstykite funkcijos grafiką. Prisiminkime geometrinę argumento interpretaciją. Argumentas yra centrinis kampas, matuojamas radianais. Išilgai ašies nubraižysime realius skaičius arba kampus radianais, išilgai ašies – atitinkamas funkcijos reikšmes.

Pavyzdžiui, vienetinio apskritimo kampas atitinka grafiko tašką (2 pav.)

Gavome funkcijos grafiką srityje, bet žinodami sinuso periodą, galime pavaizduoti funkcijos grafiką visoje apibrėžimo srityje (3 pav.).

Pagrindinis funkcijos laikotarpis yra Tai reiškia, kad grafiką galima gauti segmente ir tada tęsti visoje apibrėžimo srityje.

Apsvarstykite funkcijos savybes:

1) Apibrėžimo sritis:

2) reikšmių diapazonas:

3) Nelyginė funkcija:

4) Mažiausias teigiamas laikotarpis:

5) Grafo susikirtimo su abscisių ašimi taškų koordinatės:

6) Grafiko susikirtimo su ordinačių ašimi taško koordinatės:

7) Intervalai, kuriais funkcija įgauna teigiamas reikšmes:

8) Intervalai, kuriais funkcija įgauna neigiamas reikšmes:

9) Didėjantys intervalai:

10) Mažėjantys intervalai:

11) Minimalus taškų skaičius:

12) Minimalios funkcijos:

13) Maksimalus taškų skaičius:

14) Maksimalios funkcijos:

Mes pažvelgėme į funkcijos ir jos grafiko savybes. Savybės bus pakartotinai naudojamos sprendžiant problemas.

Nuorodos

1. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ir matematinė analizė 10 klasei (mokyklų ir klasių mokiniams su nuodugniais matematikos mokiniais - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas.-M.: Edukacija, 1997 m.

5. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redagavo M.I. Skanavi - M.: Aukštoji mokykla, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrinis simuliatorius.-K.: A.S.K., 1997 m.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebros uždaviniai ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10-11 klasių mokiniams - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karpas A.P. Algebros ir analizės principų uždavinių rinkinys: vadovėlis. priedą už 10-11 klases. su gyliu studijavo Matematika.-M.: Edukacija, 2006 m.

Namų darbai

Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red.

A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildomi žiniatinklio ištekliai

3. Mokomasis pasiruošimo egzaminui portalas ().

Šioje pamokoje išsamiai apžvelgsime funkciją y = sin x, jos pagrindines savybes ir grafiką. Pamokos pradžioje pateiksime trigonometrinės funkcijos y = sin t apibrėžimą koordinačių apskritime ir apsvarstysime funkcijos grafiką apskritime ir tiesėje. Parodykime šios funkcijos periodiškumą grafike ir apsvarstykime pagrindines funkcijos savybes. Pamokos pabaigoje išspręsime keletą nesudėtingų uždavinių, naudodami funkcijos grafiką ir jos savybes.

Tema: Trigonometrinės funkcijos

Pamoka: Funkcija y=sinx, jos pagrindinės savybės ir grafikas

Svarstant apie funkciją, svarbu kiekvieną argumento reikšmę susieti su viena funkcijos reikšme. Tai korespondencijos įstatymas ir vadinama funkcija.

Apibrėžkime korespondencijos dėsnį .

Bet kuris realusis skaičius atitinka vieną vienetinio apskritimo tašką. Taškas turi vieną ordinatę, kuri vadinama skaičiaus sinusu (1 pav.).

Kiekviena argumento reikšmė yra susieta su viena funkcijos reikšme.

Akivaizdžios savybės išplaukia iš sinuso apibrėžimo.

Paveikslas tai rodo nes yra vienetinio apskritimo taško ordinatė.

Apsvarstykite funkcijos grafiką. Prisiminkime geometrinę argumento interpretaciją. Argumentas yra centrinis kampas, matuojamas radianais. Išilgai ašies nubraižysime realius skaičius arba kampus radianais, išilgai ašies – atitinkamas funkcijos reikšmes.

Pavyzdžiui, vienetinio apskritimo kampas atitinka grafiko tašką (2 pav.)

Gavome funkcijos grafiką srityje, bet žinodami sinuso periodą, galime pavaizduoti funkcijos grafiką visoje apibrėžimo srityje (3 pav.).

Pagrindinis funkcijos laikotarpis yra Tai reiškia, kad grafiką galima gauti segmente ir tada tęsti visoje apibrėžimo srityje.

Apsvarstykite funkcijos savybes:

1) Apibrėžimo sritis:

2) reikšmių diapazonas:

3) Nelyginė funkcija:

4) Mažiausias teigiamas laikotarpis:

5) Grafo susikirtimo su abscisių ašimi taškų koordinatės:

6) Grafiko susikirtimo su ordinačių ašimi taško koordinatės:

7) Intervalai, kuriais funkcija įgauna teigiamas reikšmes:

8) Intervalai, kuriais funkcija įgauna neigiamas reikšmes:

9) Didėjantys intervalai:

10) Mažėjantys intervalai:

11) Minimalus taškų skaičius:

12) Minimalios funkcijos:

13) Maksimalus taškų skaičius:

14) Maksimalios funkcijos:

Mes pažvelgėme į funkcijos ir jos grafiko savybes. Savybės bus pakartotinai naudojamos sprendžiant problemas.

Nuorodos

1. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ir matematinė analizė 10 klasei (mokyklų ir klasių mokiniams su nuodugniais matematikos mokiniais - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas.-M.: Edukacija, 1997 m.

5. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redagavo M.I. Skanavi - M.: Aukštoji mokykla, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrinis simuliatorius.-K.: A.S.K., 1997 m.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebros uždaviniai ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10-11 klasių mokiniams - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karpas A.P. Algebros ir analizės principų uždavinių rinkinys: vadovėlis. priedą už 10-11 klases. su gyliu studijavo Matematika.-M.: Edukacija, 2006 m.

Namų darbai

Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red.

A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildomi žiniatinklio ištekliai

3. Mokomasis pasiruošimo egzaminui portalas ().