Šiame straipsnyje kalbėsiu apie didžiausios ir mažiausios reikšmės paieškos algoritmas funkcijos, minimalūs ir didžiausi taškai.
Teoriškai tai mums tikrai bus naudinga išvestinė lentelė Ir diferenciacijos taisyklės. Viskas šioje plokštelėje:
Algoritmas ieškant didžiausios ir mažiausios reikšmės.
Man patogiau paaiškinti konkretus pavyzdys. Apsvarstykite:
Pavyzdys: Rasti didžiausia vertė funkcijos y=x^5+20x^3–65x intervale [–4;0].
1 veiksmas. Imame išvestinę.
Y" = (x^5 + 20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
2 veiksmas. Ekstremalumo taškų paieška.
Ekstremalus taškas vadiname tuos taškus, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę.
Norėdami rasti ekstremumo taškus, funkcijos išvestinę turite prilyginti nuliui (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Dabar išspręskime tai bikvadratinė lygtis o rastos šaknys yra mūsų ekstremumo taškai.
Tokias lygtis išsprendžiu pakeisdamas t = x^2, tada 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Sumažinkime lygtį 5, gausime: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 – 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + kvadratas (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 – kvadratas (196))/2 = (-12 – 14)/2 = –13
Atliekame atvirkštinį pakeitimą x^2 = t:
X_(1 ir 2) = ± kvadratas (1) = ±1
x_(3 ir 4) = ±sqrt(-13) (atmetame, negali būti neigiami skaičiai, nebent, žinoma, kalbame apie kompleksinius skaičius)
Iš viso: x_(1) = 1 ir x_(2) = -1 – tai mūsų ekstremumo taškai.
3 veiksmas. Nustatykite didžiausią ir labiausiai mažesnė vertė.
Pakeitimo metodas.
Esant sąlygai, mums buvo suteiktas segmentas [b][–4;0]. Taškas x=1 į šį segmentą neįtrauktas. Taigi mes to nesvarstome. Tačiau be taško x=-1, mes taip pat turime atsižvelgti į kairiąją ir dešiniąją mūsų atkarpos ribas, ty taškus -4 ir 0. Norėdami tai padaryti, visus šiuos tris taškus pakeičiame pradine funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad pirminis yra tas, kuris pateiktas sąlygoje (y=x^5+20x^3–65x), kai kurie žmonės pradeda jį pakeisti išvestine...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044
Tai reiškia, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra [b]44 ir ji pasiekiama taške [b]-1, kuris vadinamas maksimaliu funkcijos tašku atkarpoje [-4; 0].
Nusprendėme ir gavome atsakymą, mes puikūs, galite atsipalaiduoti. Bet sustok! Ar nemanote, kad apskaičiuoti y(-4) yra kažkaip per sunku? Riboto laiko sąlygomis geriau naudoti kitą metodą, aš jį vadinu taip:
Per ženklų pastovumo intervalus.
Šie intervalai randami funkcijos išvestinei, tai yra mūsų bikvadratinei lygčiai.
Aš tai darau taip. Nupiešiu nukreiptą segmentą. Aš dedu taškus: -4, -1, 0, 1. Nepaisant to, kad 1 nėra įtrauktas į pateiktą segmentą, vis tiek reikia įsidėmėti, kad būtų galima teisingai nustatyti ženklo pastovumo intervalus. Paimkime kokį nors skaičių, daug kartų didesnį už 1, tarkime 100, ir mintyse pakeiskime jį į mūsų bikvadratinę lygtį 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Net ir nieko neskaičiuojant tampa akivaizdu, kad 100 taške funkcija turi pliuso ženklą. Tai reiškia, kad intervalams nuo 1 iki 100 jis turi pliuso ženklą. Eidami per 1 (einame iš dešinės į kairę), funkcija pakeis ženklą į minusą. Einant per tašką 0, funkcija išsaugos savo ženklą, nes tai tik atkarpos riba, o ne lygties šaknis. Perėjus per -1, funkcija vėl pakeis ženklą į pliusą.
Iš teorijos žinome, kad kur yra funkcijos išvestinė (ir mes tai nubrėžėme būtent jai) pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (mūsų atveju taškas -1) funkcija pasiekia jo vietinis maksimumas (y(-1) = 44, kaip apskaičiuota anksčiau)įjungta šis segmentas(tai logiškai labai suprantama, funkcija nustojo didėti, nes pasiekė maksimumą ir pradėjo mažėti).
Atitinkamai, kur funkcijos išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, yra pasiektas funkcijos lokalus minimumas. Taip, taip, mes taip pat radome esmę vietinis minimumas yra 1, o y(1) yra minimali vertė veikia segmente, tarkime, nuo -1 iki +∞. Atminkite, kad tai tik VIETINIS MINIMALUMAS, ty minimumas tam tikrame segmente. Kadangi realusis (pasaulinis) funkcijos minimumas pasieks kažkur ten, ties -∞.
Mano nuomone, pirmasis metodas yra paprastesnis teoriškai, o antrasis – paprastesnis iš požiūrio taško aritmetinės operacijos, bet teoriniu požiūriu daug sudėtingesnis. Juk kartais pasitaiko atvejų, kai eidama pro lygties šaknį funkcija nekeičia ženklo ir apskritai gali susipainioti su šiomis vietinėmis, globaliomis maksimumomis ir minimumais, nors vis tiek teks tai gerai įsisavinti, jei planuoja registruotis technikos universitetas(kodėl dar imtum? profilis Vieningas valstybinis egzaminas ir išspręsti šią problemą). Tačiau praktika ir tik praktika išmokys tokias problemas išspręsti kartą ir visiems laikams. Ir jūs galite treniruotis mūsų svetainėje. čia .
Jei turite klausimų ar kažkas neaišku, būtinai klauskite. Mielai jums atsakysiu ir pakeisiu bei papildysiu straipsnį. Atminkite, kad šią svetainę kuriame kartu!
Tegul funkcija y =f(X) yra nuolatinis intervale [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija šiame segmente pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes. Funkcija gali priimti ir šias reikšmes vidinis taškas segmentas [ a, b] arba ant atkarpos ribos.
Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente [ a, b] būtina:
1) rasti kritinius taškus funkcijos intervale ( a, b);
2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;
3) apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, tai yra, kada x=A ir x = b;
4) iš visų apskaičiuotų funkcijos reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.
Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes
segmente.
Kritinių taškų paieška:
Šie taškai yra segmento viduje; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
taške x= 3 ir taške x= 0.
Išgaubtumo ir vingio taško funkcijos tyrimas.
Funkcija y = f (x) paskambino išgaubtas tarpais (a, b) , jei jo grafikas yra po liestine, nubrėžta bet kuriame šio intervalo taške, ir yra vadinamas išgaubtas žemyn (įgaubtas), jei jo grafikas yra virš liestinės.
Taškas, per kurį išgaubtumas pakeičiamas įdubimu arba atvirkščiai, vadinamas vingio taškas.
Išgaubtumo ir vingio taško tyrimo algoritmas:
1. Raskite antrosios rūšies kritinius taškus, ty taškus, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
2. Nubrėžkite kritinius taškus skaičių tiesėje, padalydami jį intervalais. Kiekviename intervale raskite antrosios išvestinės ženklą; jei , tada funkcija yra išgaubta į viršų, jei, tada funkcija yra išgaubta žemyn.
3. Jei, einant per antrosios rūšies kritinį tašką, ženklas pasikeičia ir šioje vietoje antroji išvestinė lygi nuliui, tai šis taškas yra vingio taško abscisė. Raskite jo ordinates.
Funkcijos grafiko asimptotės. Asimptotų funkcijos tyrimas.
Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo bet kurio grafiko taško iki šios linijos linkęs į nulį, nes taškas grafike neribotai juda nuo pradžios.
Yra trys asimptotų tipai: vertikaliai, horizontaliai ir nuožulniai.
Apibrėžimas. Tiesi linija vadinama vertikali asimptota funkcinė grafika y = f(x), jei bent viena iš funkcijos vienpusių ribų šiame taške yra lygi begalybei, tai yra
kur yra funkcijos nepertraukiamumo taškas, tai yra, ji nepriklauso apibrėžimo sričiai.
Pavyzdys.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – lūžio taškas.
Apibrėžimas. Tiesiai y =A paskambino horizontalioji asimptote funkcinė grafika y = f(x) prie , jei
Pavyzdys.
|
x | |||
|
y |
Apibrėžimas. Tiesiai y =kx +b (k≠ 0) vadinamas įstrižinė asimptotė funkcinė grafika y = f(x) adresu , kur
Bendra funkcijų tyrimo ir grafikų sudarymo schema.
Funkcijų tyrimo algoritmasy = f(x) :
1. Raskite funkcijos sritį D (y).
2. Raskite (jei įmanoma) grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (jei x= 0 ir at y = 0).
3. Patikrinkite funkcijos lygumą ir nelygumą ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritetas; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nelyginis).
4. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.
5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus.
6. Raskite funkcijos kraštutinumą.
7. Raskite funkcijos grafiko išgaubimo (įgaubtumo) ir vingio taškų intervalus.
8. Remdamiesi atliktais tyrimais, sukonstruokite funkcijos grafiką.
Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką.
1) D (y) =
x= 4 – lūžio taškas.
2) Kada x = 0,
(0; ‒ 5) – susikirtimo taškas su oi.
At y = 0,
3)
y(‒
x)=
funkcija bendras vaizdas(nei lyginis, nei nelyginis).
4) Mes tiriame asimptotus.
a) vertikaliai
b) horizontaliai
c) suraskite pasvirusius asimptotus kur
‒pasviroji asimptotės lygtis
5) B duota lygtis nereikia rasti funkcijos monotoniškumo intervalų.
6)
Šie kritiniai taškai padalija visą funkcijos apibrėžimo sritį į intervalą (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; +∞). Patogu gautus rezultatus pateikti šios lentelės forma.
2 problemos teiginys:
Duota funkcija, kuri yra apibrėžta ir tęstinė tam tikru intervalu. Šiame intervale turite rasti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę.
Teoriniai pagrindai.
Teorema (antroji Weierstrasso teorema):
Jei funkcija yra apibrėžta ir tęstinė uždarame intervale, tai šiame intervale ji pasiekia maksimalią ir mažiausią reikšmes.
Funkcija gali pasiekti didžiausias ir mažiausias vertes arba vidiniuose intervalo taškuose, arba jo ribose. Iliustruojame visus galimus variantus. 
Paaiškinimas:
1) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę kairėje intervalo riboje taške, o mažiausią – dešinėje intervalo riboje taške .
2) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške (tai yra didžiausias taškas), o mažiausią reikšmę taško intervalo dešinėje.
3) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę kairėje intervalo riboje taške ir mažiausią reikšmę taške (tai yra mažiausias taškas).
4) Funkcija yra pastovi intervale, t.y. jis pasiekia minimalias ir didžiausias vertes bet kuriame intervalo taške, o minimalios ir didžiausios vertės yra lygios viena kitai.
5) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške ir mažiausią reikšmę taške (nepaisant to, kad funkcija šiame intervale turi ir didžiausią, ir mažiausią vertę).
6) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške (tai yra didžiausias taškas), o mažiausią reikšmę taške (tai yra mažiausias taškas).
komentaras:
„Maksimalus“ ir „ maksimali vertė“ – skirtingi dalykai. Tai išplaukia iš maksimumo apibrėžimo ir intuityvaus frazės „didžiausia vertė“ supratimo.
2 uždavinio sprendimo algoritmas.
4) Iš gautų reikšmių pasirinkite didžiausią (mažiausią) ir užrašykite atsakymą.
4 pavyzdys:
Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę 
segmente.
Sprendimas:
1) Raskite funkcijos išvestinę. 
2) Išspręsdami lygtį, raskite stacionarius taškus (ir taškus, kuriems įtariamas ekstremumas). Atkreipkite dėmesį į taškus, kuriuose nėra dvipusės baigtinės išvestinės. 
3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmes stacionarūs taškai ir intervalo ribose.
4) Iš gautų reikšmių pasirinkite didžiausią (mažiausią) ir užrašykite atsakymą.
Funkcija šioje atkarpoje pasiekia didžiausią reikšmę taške su koordinatėmis .
Funkcija šioje atkarpoje pasiekia mažiausią reikšmę taške su koordinatėmis .
Skaičiavimų teisingumą galite patikrinti žiūrėdami į tiriamos funkcijos grafiką. 
komentaras: Funkcija didžiausią reikšmę pasiekia didžiausiame taške, o mažiausią – atkarpos riboje.
Ypatingas atvejis.
Tarkime, kad jums reikia rasti didžiausią ir mažiausią tam tikros segmento funkcijos reikšmes. Atlikus pirmąjį algoritmo tašką, t.y. išvestinį skaičiavimą, tampa aišku, kad, pavyzdžiui, reikia tik neigiamos reikšmės per visą nagrinėjamą segmentą. Atminkite, kad jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja. Mes nustatėme, kad funkcija mažėja visame segmente. Ši situacija parodyta grafike Nr.1 straipsnio pradžioje.
Funkcija segmente mažėja, t.y. jis neturi ekstremalių taškų. Paveikslėlyje matote, kad funkcija užims mažiausią reikšmę dešinėje atkarpos riboje, o didžiausią – kairėje. jei segmento išvestinė visur yra teigiama, tada funkcija didėja. Mažiausia reikšmė yra kairėje segmento kraštinėje, didžiausia – dešinėje.
segmente
. Tada šią x reikšmę pakeičiame funkcijos lygtimi 
