Apskritimas ir įbrėžtas kampas. Vizualus vadovas (2019)

Pagrindiniai terminai.

Kaip gerai prisimeni visus su ratu susijusius vardus? Tik tuo atveju, priminsime – pažiūrėkite į paveikslėlius – atnaujinkite žinias.

Na, visų pirma - Apskritimo centras yra taškas, nuo kurio atstumai nuo visų apskritimo taškų yra vienodi.

Antra - spindulys - linijos atkarpa, jungianti centrą ir apskritimo tašką.

Spindulių yra daug (tiek, kiek apskritime yra taškų), bet Visi spinduliai yra vienodo ilgio.

Kartais trumpai spindulys jie tai vadina tiksliai segmento ilgis„Centras yra apskritimo taškas“, o ne pati atkarpa.

Ir štai kas atsitinka jei sujungsite du apskritimo taškus? Taip pat segmentas?

Taigi šis segmentas vadinamas "akordas".

Kaip ir spindulio atveju, skersmuo dažnai yra atkarpos, jungiančios du apskritimo taškus ir einančios per centrą, ilgis. Beje, kaip yra susiję skersmuo ir spindulys? Atidžiai pažiūrėk. Žinoma spindulys lygus pusei skersmuo

Be akordų, taip pat yra sekantai.

Prisimeni paprasčiausią dalyką?

Centrinis kampas yra kampas tarp dviejų spindulių.

O dabar – įrašytas kampas

Įrašytas kampas – kampas tarp dviejų stygų, susikertančių apskritimo taške.

Šiuo atveju jie sako, kad įrašytas kampas remiasi lanku (arba styga).

Pažiūrėkite į paveikslėlį:

Lankų ir kampų matavimai.

Apimtis. Lankai ir kampai matuojami laipsniais ir radianais. Pirma, apie laipsnius. Dėl kampų problemų nėra – reikia išmokti matuoti lanką laipsniais.

Laipsnio matas (lanko dydis) yra atitinkamo centrinio kampo vertė (laipsniais).

Ką čia reiškia žodis „tinkamas“? Pažiūrėkime atidžiai:

Ar matote du lankus ir du centrinius kampus? Na, tai atitinka didesnį lanką didesnis kampas(ir gerai, kad jis didesnis), o mažesnis lankas atitinka mažesnį kampą.

Taigi, sutarėme: lankas turi tiek pat laipsnių, kiek ir atitinkamas centrinis kampas.

O dabar apie baisų dalyką – apie radianus!

Koks žvėris yra šis „radianas“?

Įsivaizduokite: Radianai yra kampų matavimo būdas... spinduliais!

Radianus matuojantis kampas yra toks centrinis kampas, kurio lanko ilgis lygus apskritimo spinduliui.

Tada kyla klausimas – kiek radianų yra tiesiame kampe?

Kitaip tariant: kiek spindulių „telpa“ į pusę apskritimo? Arba kitaip: kiek kartų yra pusės apskritimo ilgis? didesnis už spindulį?

Senovės Graikijoje mokslininkai uždavė šį klausimą.

Ir taip po ilgų paieškų jie išsiaiškino, kad apskritimo ir spindulio santykis nenori būti išreikštas „žmogaus“ skaičiais, kaip ir pan.

Ir net neįmanoma išreikšti šio požiūrio per šaknis. Tai yra, paaiškėja, kad neįmanoma pasakyti, kad pusė apskritimo yra kartų ar kartų didesnis už spindulį! Ar galite įsivaizduoti, kaip nuostabu buvo žmonėms tai atrasti pirmą kartą?! Pusės apskritimo ilgio ir spindulio santykiui „įprastų“ skaičių nepakako. Turėjau įvesti laišką.

Taigi, - tai skaičius, išreiškiantis puslankio ilgio ir spindulio santykį.

Dabar galime atsakyti į klausimą: kiek radianų yra tiesiame kampe? Jame yra radianų. Būtent todėl, kad pusė apskritimo yra kartų didesnė už spindulį.

Senovės (ir ne tokie senovės) žmonės per šimtmečius (!) bandė jį tiksliau apskaičiuoti paslaptingas skaičius, geriau jį (bent apytiksliai) išreikšti „paprastais“ skaičiais. O dabar esame nepaprastai tingūs – mums užtenka dviejų ženklų po įtemptos dienos, esame įpratę

Pagalvokite apie tai, pavyzdžiui, tai reiškia, kad apskritimo, kurio spindulys yra vienas, ilgis yra maždaug lygus, tačiau tokio tikslaus ilgio tiesiog neįmanoma užrašyti naudojant „žmogišką“ skaičių - jums reikia raidės. Ir tada ši apimtis bus lygi. Ir, žinoma, spindulio perimetras yra lygus.

Grįžkime prie radianų.

Mes jau išsiaiškinome, kad tiesiame kampe yra radianų.

Ką mes turime:

Tai reiškia, kad aš džiaugiuosi, tai yra, aš džiaugiuosi. Tokiu pat būdu gaunama plokštelė su populiariausiais kampais.

Ryšys tarp įrašyto ir centrinio kampo verčių.

Yra nuostabus faktas:

Įrašytas kampas yra perpus mažesnis už atitinkamą centrinį kampą.

Pažiūrėkite, kaip šis teiginys atrodo paveikslėlyje. "Atitinkamas" centrinis kampas yra tas, kurio galai sutampa su įbrėžto kampo galais, o viršūnė yra centre. Ir tuo pačiu metu „atitinkamas“ centrinis kampas turi „žiūrėti“ į tą patį stygą () kaip ir įrašytas kampas.

Kodėl taip yra? Pirmiausia išsiaiškinkime paprastas atvejis. Tegul vienas iš akordų praeina per centrą. Kartais taip nutinka, tiesa?

Kas čia vyksta? Pasvarstykime. Tai lygiašonis – juk ir – spinduliai. Taigi, (juos pažymėjo).

Dabar pažiūrėkime. Tai išorinis kampas! Atminkite, kad išorinis kampas lygios sumoms du vidinius, ne šalia jo, ir parašykite:

Tai yra! Netikėtas efektas. Tačiau taip pat yra centrinis užrašo kampas.

Tai reiškia, kad šiuo atveju jie įrodė, kad centrinis kampas yra du kartus didesnis už įrašytą kampą. Bet per daug skauda ypatingas atvejis: Ar ne tiesa, kad akordas ne visada eina tiesiai per centrą? Bet viskas gerai, dabar šis konkretus atvejis mums labai padės. Pažiūrėkite: antrasis atvejis: tegul centras guli viduje.

Padarykime taip: nubrėžkite skersmenį. Ir tada... matome dvi nuotraukas, kurios jau buvo analizuojamos pirmuoju atveju. Todėl mes tai jau turime

Tai reiškia (brėžinyje a)

Na, aš pasilikau paskutinis atvejis: centras už kampo.

Mes darome tą patį: nubrėžkite skersmenį per tašką. Viskas tas pats, bet vietoj sumos yra skirtumas.

tai viskas!

Dabar suformuokime du pagrindinius ir labai svarbias pasekmes iš teiginio, kad įbrėžtasis kampas yra pusė centrinio kampo.

1 išvada

Visi įrašyti kampai, pagrįsti vienu lanku, yra lygūs vienas kitam.

Mes iliustruojame:

Yra nesuskaičiuojama daugybė įbrėžtų kampų, pagrįstų tuo pačiu lanku (turime šį lanką), jie gali atrodyti visiškai skirtingai, tačiau visi turi tą patį centrinį kampą (), o tai reiškia, kad visi šie įbrėžti kampai yra lygūs.

2 išvada

Kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu.

Pažiūrėkite: koks kampas yra centrinis?

Be abejo,. Bet jis lygus! Na, todėl (taip pat ir daug daugiau įbrėžtų kampų remiasi) ir yra lygus.

Kampas tarp dviejų stygų ir sekantų

O kas, jei mus dominantis kampas NE įrašytas ir NE centrinis, o, pavyzdžiui, toks:

ar taip?

Ar įmanoma tai kažkaip išreikšti per kai kuriuos centrinius kampus? Pasirodo, tai įmanoma. Žiūrėk: mus domina.

a) (kaip išorinis kampas). Bet - įrašyta, remiasi į lanką -. - įrašytas, remiasi į lanką - .

Dėl grožio jie sako:

Kampas tarp stygų yra lygus pusei šiame kampe esančių lankų kampinių verčių sumos.

Jie tai rašo dėl trumpumo, tačiau, žinoma, naudojant šią formulę reikia nepamiršti centrinių kampų

b) O dabar - „lauke“! Kaip tai gali būti? Taip, beveik tas pats! Tik dabar (vėl taikome išorinio kampo savybę). Tai yra dabar.

O tai reiškia... Suteikime pastaboms ir formuluotėms grožio ir trumpumo:

Kampas tarp sekantų yra lygus pusei šiame kampe esančių lankų kampinių verčių skirtumo.

Na, dabar jūs turite visas pagrindines žinias apie kampus, susijusius su apskritimu. Pirmyn, priimk iššūkius!

RATUMAS IR ĮVEŽTASIS KAMPAS. VIDURIO LYGIS

Net penkerių metų vaikas žino, kas yra ratas, tiesa? Matematikai, kaip visada, šiuo klausimu turi abstraktų apibrėžimą, tačiau mes jo nepateiksime (žr.), o prisiminkime, kaip vadinami taškai, linijos ir kampai, susiję su apskritimu.

Svarbios sąlygos

Na, visų pirma:

apskritimo centras- taškas, nuo kurio visi apskritimo taškai yra vienodu atstumu.

Antra:

Yra dar vienas priimtas posakis: „styga susitraukia lanką“. Pavyzdžiui, paveikslėlyje styga sulenkia lanką. Ir jei akordas staiga praeina per centrą, tada jis turi specialus vardas: "skersmuo".

Beje, kaip yra susiję skersmuo ir spindulys? Atidžiai žiūrėkite. Žinoma

O dabar – kampų pavadinimai.

Natūralu, ar ne? Kampo šonai tęsiasi nuo centro – tai reiškia, kad kampas yra centrinis.

Čia kartais iškyla sunkumų. Atkreipkite dėmesį - NĖRA įrašytas joks kampas apskritimo viduje, bet tik tas, kurio viršūnė „sėdi“ ant paties apskritimo.

Pažiūrėkime, kuo skiriasi nuotraukos:

Kitaip jie sako:

Čia yra vienas sudėtingas dalykas. Kas yra „atitinkantis“ arba „savas“ centrinis kampas? Tik kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre, o galai yra lanko galuose? Tikrai ne. Pažiūrėkite į piešinį.

Tačiau vienas iš jų net neatrodo kaip kampas – jis didesnis. Tačiau trikampis negali turėti daugiau kampų, bet apskritimas gali būti geras! Taigi: mažesnis lankas AB atitinka mažesnį kampą (oranžinį), o didesnis lankas – didesnį. Tiesiog taip, ar ne?

Ryšys tarp įbrėžtųjų ir centrinių kampų dydžių

Prisiminkite šį labai svarbų teiginį:

Vadovėliuose jie mėgsta tą patį faktą rašyti taip:

Ar ne tiesa, kad formuluotė yra paprastesnė su centriniu kampu?

Bet vis tiek suraskime atitiktį tarp dviejų formuluočių ir tuo pačiu išmokime brėžiniuose rasti „atitinkantį“ centrinį kampą ir lanką, ant kurio „remias“ įrašytas kampas.

Žiūrėkite: čia yra apskritimas ir įbrėžtas kampas:

Kur yra jo „atitinkamas“ centrinis kampas?

Pažiūrėkime dar kartą:

Kokia yra taisyklė?

Bet! Šiuo atveju svarbu, kad įrašytas ir centrinis kampai „žiūrėtų“ į lanką iš vienos pusės. Štai, pavyzdžiui:

Kaip bebūtų keista, mėlyna! Nes lankas ilgas, ilgesnis nei pusė apskritimo! Taigi niekada nesusipainiokite!

Kokią pasekmę galima padaryti iš įbrėžto kampo „pusės“?

Bet, pavyzdžiui:

Kampas, nulemtas skersmens

Jau pastebėjote, kad matematikai mėgsta kalbėti apie tuos pačius dalykus. skirtingais žodžiais? Kodėl jiems to reikia? Matote, matematikos kalba, nors ir formali, yra gyva, todėl kaip ir įprasta kalba, kiekvieną kartą noriu pasakyti taip, kaip patogiau. Na, mes jau matėme, ką reiškia „kampas remiasi lanku“. Ir įsivaizduokite, tas pats paveikslas vadinamas „kampas remiasi styga“. Kurią? Taip, žinoma, tam, kuris sugriežtina šį lanką!

Kada patogiau pasikliauti styga nei lanku?

Na, ypač, kai ši styga yra skersmens.

Yra stebėtinai paprastas, gražus ir naudingas teiginys tokiai situacijai!

Pažiūrėkite: čia yra apskritimas, skersmuo ir kampas, kuris remiasi į jį.

RATUMAS IR ĮVEŽTASIS KAMPAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

1. Pagrindinės sąvokos.

3. Lankų ir kampų matavimai.

Radianų kampas yra centrinis kampas, kurio lanko ilgis yra lygus apskritimo spinduliui.

Tai skaičius, išreiškiantis puslankio ilgio ir jo spindulio santykį.

Spindulio perimetras lygus.

4. Ryšys tarp įbrėžtųjų ir centrinių kampų verčių.

Įbrėžto ir centrinio kampo samprata

Pirmiausia pristatykime centrinio kampo sąvoką.

1 pastaba

Atkreipkite dėmesį, kad centrinio kampo laipsnio matas yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio mastui.

Dabar pristatykime įbrėžto kampo sąvoką.

2 apibrėžimas

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta tą patį apskritimą, vadinamas įbrėžtuoju kampu (2 pav.).

2 pav. Įbrėžtas kampas

Įbrėžto kampo teorema

1 teorema

Įbrėžto kampo laipsnio matas yra lygus pusei laipsnio matas lankas, ant kurio jis remiasi.

Įrodymas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras yra taške $O$. Pažymėkime įbrėžtinį kampą $ACB$ (2 pav.). Galimi šie trys atvejai:

Spindulys $CO$ sutampa su bet kuria kampo puse. Tegul tai yra $CB$ pusė (3 pav.).

3 pav.

Šiuo atveju lankas $AB$ yra mažesnis už $(180)^(()^\circ )$, todėl centrinis kampas $AOB$ lygus lankui $AB$. Kadangi $AO=OC=r$, tai trikampis $AOC$ yra lygiašonis. Tai reiškia, kad baziniai kampai $CAO$ ir $ACO$ yra lygūs vienas kitam. Pagal teoremą apie išorinis kampas trikampis, mes turime:

Sija $CO$ dalijasi vidinis kampas dviem kampais. Tegul jis kerta apskritimą taške $D$ (4 pav.).

4 pav.

Mes gauname

Spindulys $CO$ neskaido vidinio kampo į du kampus ir nesutampa su jokia jo puse (5 pav.).

5 pav.

Apsvarstykime kampus $ACD$ ir $DCB$ atskirai. Pagal tai, kas buvo įrodyta 1 punkte, gauname

Mes gauname

Teorema įrodyta.

Duokim pasekmes iš šios teoremos.

1 išvada:Įrašyti kampai, esantys ant to paties lanko, yra lygūs vienas kitam.

2 išvada:Įbrėžtasis kampas, kuris apriboja skersmenį, yra stačiakampis.

Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Įrašytas kampas- kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo ir kurio kraštinės jį kerta.

Paveiksle pavaizduoti centriniai ir įrašyti kampai bei svarbiausios jų savybės.

Taigi, centrinio kampo dydis yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, kampiniam dydžiui. Tai reiškia, kad centrinis 90 laipsnių kampas remsis į lanką, lygų 90°, tai yra, apskritimą. Centrinis kampas, lygus 60°, remiasi į 60 laipsnių lanką, tai yra į šeštąją apskritimo dalį.

Įbrėžto kampo dydis yra du kartus mažesnis nei centrinis kampas, pagrįstas tuo pačiu lanku.

Be to, norint išspręsti problemas, mums reikės „akordo“ sąvokos.

Lygi centriniai kampai sujungia lygias stygas.

1. Koks yra įbrėžtasis kampas, kurį sudaro apskritimo skersmuo? Atsakymą pateikite laipsniais.

Įbrėžtas kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu.

2. Centrinis kampas yra 36° didesnis už smailųjį įbrėžtą kampą, kurį sudaro tas pats apskritimo lankas. Raskite įbrėžtą kampą. Atsakymą pateikite laipsniais.

Tegul centrinis kampas lygus x, o įbrėžtasis to paties lanko kampas lygus y.

Žinome, kad x = 2y.
Taigi 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Apskritimo spindulys lygus 1. Raskite stygos įbrėžto bukojo kampo reikšmę, lygią . Atsakymą pateikite laipsniais.

Tegul styga AB lygi . Bukas įbrėžtas kampas, pagrįstas šia styga, bus pažymėtas α.
Trikampyje AOB kraštinės AO ir OB lygios 1, kraštinės AB lygios . Su tokiais trikampiais jau susidūrėme. Akivaizdu, kad trikampis AOB yra stačiakampis ir lygiašonis, tai yra, kampas AOB yra 90°.
Tada lankas ACB lygus 90°, o lankas AKB lygus 360° – 90° = 270°.
Įbrėžtasis kampas α pagrįstas lanku AKB ir yra lygus pusei kampinis dydisšio lanko, tai yra 135°.

Atsakymas: 135.

4. Styga AB padalija apskritimą į dvi dalis, kurių laipsnių reikšmės yra santykiu 5:7. Kokiu kampu ši styga matoma iš taško C, kuris priklauso mažesniajam apskritimo lankui? Atsakymą pateikite laipsniais.

Svarbiausia šioje užduotyje yra teisingas brėžinys ir sąlygų supratimas. Kaip suprantate klausimą: „Kokiu kampu styga matoma iš taško C?
Įsivaizduokite, kad sėdite taške C ir jums reikia matyti viską, kas vyksta styga AB. Lyg akordas AB būtų ekranas kino teatre :-)
Akivaizdu, kad reikia rasti kampą ACB.
Dviejų lankų, į kuriuos styga AB dalija apskritimą, suma yra lygi 360°, tai yra
5x + 7x = 360°
Taigi x = 30°, o įbrėžtasis kampas ACB remiasi į lanką, lygų 210°.
Įbrėžto kampo dydis yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi, kampinio dydžio, o tai reiškia, kad kampas ACB yra lygus 105°.

Planimetrija yra geometrijos šaka, tirianti savybes plokščios figūros. Tai apima ne tik visus garsieji trikampiai, kvadratai, stačiakampiai, bet ir tiesios linijos bei kampai. Planimetrijoje taip pat yra tokių sąvokų kaip kampai apskritime: centrinis ir įbrėžtasis. Bet ką jie reiškia?

Kas yra centrinis kampas?

Norėdami suprasti, kas yra centrinis kampas, turite apibrėžti apskritimą. Apskritimas yra visų taškų, esančių vienodu atstumu nuo nurodyto taško (apskritimo centro), rinkinys.

Labai svarbu jį atskirti nuo apskritimo. Reikia atsiminti, kad apskritimas yra uždara linija, o apskritimas yra jos apribota plokštumos dalis. Į apskritimą galima įrašyti daugiakampį arba kampą.

Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė sutampa su apskritimo centru ir kurio kraštinės kerta apskritimą dviejuose taškuose. Lankas, kurį kampas riboja jo susikirtimo taškais, vadinamas lanku, ant kurio remiasi nurodytas kampas.

Pažiūrėkime į pavyzdį Nr. 1.

Paveiksle kampas AOB yra centrinis, nes kampo viršūnė ir apskritimo centras yra vienas taškas O. Jis remiasi į lanką AB, kuriame nėra taško C.

Kuo įbrėžtasis kampas skiriasi nuo centrinio kampo?

Tačiau, be centrinių kampų, yra ir užrašytų kampų. Kuo jie skiriasi? Kaip ir centrinis kampas, taip ir į apskritimą įrašytas kampas remiasi į tam tikrą lanką. Bet jo viršūnė nesutampa su apskritimo centru, o guli ant jo.

Duokim sekantis pavyzdys.

Kampu ACB vadinamas kampas, įrašytas į apskritimą, kurio centras yra taške O. Taškas C priklauso apskritimui, tai yra, yra ant jo. Kampas remiasi į lanką AB.

Norint sėkmingai susidoroti su geometrijos problemomis, neužtenka mokėti atskirti įbrėžtuosius ir centrinius kampus. Paprastai norėdami juos išspręsti, turite tiksliai žinoti, kaip rasti centrinį kampą apskritime ir mokėti apskaičiuoti jo vertę laipsniais.

Taigi, centrinis kampas yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio matui.

Paveikslėlyje kampas AOB remiasi į AB lanką, lygų 66°. Tai reiškia, kad kampas AOB taip pat yra 66°.

Taigi, centriniai kampai apriboti vienodi lankai, yra lygūs.

Paveiksle lankas DC lygus lankui AB. Taigi kampas AOB lygus kampui DOC.

Gali atrodyti, kad į apskritimą įrašytas kampas yra lygus centriniam kampui, kuris remiasi į tą patį lanką. Tačiau tai yra rimta klaida. Tiesą sakant, net pažvelgę į brėžinį ir palyginę šiuos kampus vienas su kitu, galite pamatyti, kad jų laipsniai turės skirtingos reikšmės. Taigi koks yra įbrėžtasis apskritimo kampas?

Įbrėžto kampo laipsnio matas yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi, arba pusei centrinio kampo, jei jie remiasi į tą patį lanką.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Kampas ASV remiasi į lanką, lygų 66°.

Tai reiškia, kad kampas ACB = 66°: 2 = 33°

Panagrinėkime kai kurias šios teoremos pasekmes.

Įbrėžti kampai, jei jie pagrįsti tuo pačiu lanku, styga arba lygiais lankais, yra lygūs.
Jei įrašyti kampai remiasi į vieną stygą, bet jų viršūnės yra išilgai skirtingos pusės nuo jo tokių kampų laipsnio matų suma yra 180°, nes šiuo atveju abu kampai remiasi į lankus, kurių bendras laipsnio matas yra 360° (visas apskritimas), 360°: 2 = 180°
Jei įbrėžtasis kampas pagrįstas tam tikro apskritimo skersmeniu, jo laipsnio matas yra 90°, nes skersmuo sudaro lanką, lygų 180°, 180°: 2 = 90°
Jei centrinis ir įbrėžtasis apskritimo kampai remiasi į tą patį lanką arba stygą, tai įbrėžtasis kampas yra lygus pusei centrinio.

Kur galima rasti problemų šia tema? Jų rūšys ir sprendimai

Kadangi apskritimas ir jo savybės yra viena iš svarbiausių geometrijos, ypač planimetrijos, dalių, įbrėžiniai ir centriniai apskritimo kampai yra tema, kuri yra plačiai ir išsamiai nagrinėjama. mokyklos kursas. Daugiausia randama problemų, susijusių su jų savybėmis valstybinis egzaminas(OGE) ir vieningą valstybinį egzaminą (USE). Paprastai norint išspręsti šias problemas, reikia rasti apskritimo kampus laipsniais.

Kampai, pagrįsti vienu lanku

Šio tipo problemos turbūt yra viena iš lengviausių, nes norint ją išspręsti, reikia žinoti tik dvi paprastos savybės: jei abu kampai yra įbrėžti ir remiasi į tą pačią stygą, jie yra lygūs, jei vienas iš jų yra centrinis, tai atitinkamas įbrėžtas kampas yra lygus jo pusei; Tačiau sprendžiant jas reikia būti itin atidiems: kartais sunku pastebėti šią savybę, o mokiniai spręsdami tokius paprastus uždavinius patenka į aklavietę. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Užduotis Nr.1

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške O. Kampas AOB yra 54°. Raskite kampo ASV laipsnį.

Ši užduotis išspręsta vienu veiksmu. Vienintelis dalykas, kurį reikia greitai rasti atsakymą, yra pastebėti, kad lankas, ant kurio remiasi abu kampai, yra bendras. Tai pamatę galite pritaikyti jau pažįstamą nuosavybę. Kampas ACB lygus pusei kampo AOB. Reiškia,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Atsakymas: 54°.

Kampai, sudaryti iš skirtingų to paties apskritimo lankų

Kartais problemos sąlygos tiesiogiai nenurodo lanko, ant kurio remiasi norimas kampas, dydžio. Norėdami jį apskaičiuoti, turite išanalizuoti šių kampų dydį ir palyginti juos su žinomos savybės apskritimai.

2 problema

Apskritime, kurio centras yra taške O, kampas AOC yra 120°, o kampas AOB yra 30°. Raskite savo kampą.

Pirmiausia verta pasakyti, kad šią problemą galima išspręsti naudojant savybes lygiašoniai trikampiai tačiau tam reikės paleisti daugiau matematines operacijas. Todėl čia pateiksime sprendimo analizę, pasitelkę centrinių ir įbrėžtųjų kampų apskritime savybes.

Taigi, kampas AOS remiasi lanku AC ir yra centrinis, o tai reiškia, kad lankas AC yra lygus kampui AOS.

Lygiai taip pat kampas AOB remiasi į lanką AB.

Žinodami tai ir viso apskritimo laipsnio matą (360°), galite lengvai rasti lanko BC dydį.

BC = 360° – AC – AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

Kampo CAB viršūnė, taškas A, yra ant apskritimo. Tai reiškia, kad kampas CAB yra įrašytas kampas ir yra lygus pusei lanko NE.

Kampas CAB = 210°: 2 = 110°

Atsakymas: 110°

Problemos, pagrįstos lankų ryšiu

Kai kuriose problemose apskritai nėra duomenų apie kampų vertes, todėl jų reikia ieškoti tik remiantis garsiosios teoremos ir apskritimo savybes.

1 problema

Raskite kampą, įrašytą į apskritimą, kuris sujungia stygą, lygus spinduliui duotas ratas.

Jei mintyse nubrėžiate linijas, jungiančias segmento galus su apskritimo centru, gausite trikampį. Ištyrę matote, kad šios linijos yra apskritimo spinduliai, o tai reiškia, kad visos trikampio kraštinės yra lygios. Yra žinoma, kad visi kampai lygiakraštis trikampis lygus 60°. Tai reiškia, kad lankas AB, kuriame yra trikampio viršūnė, yra lygus 60°. Iš čia randame lanką AB, ant kurio remiasi norimas kampas.

AB = 360° - 60° = 300°

Kampas ABC = 300°: 2 = 150°

Atsakymas: 150°

2 problema

Apskritime, kurio centras yra taške O, lankai yra santykiu 3:7. Raskite mažiausią įbrėžtą kampą.

Norėdami išspręsti, pažymime vieną dalį kaip X, tada vienas lankas yra lygus 3X, o antrasis atitinkamai yra 7X. Žinodami, kad apskritimo laipsnio matas yra 360°, sukurkime lygtį.

3X + 7X = 360°

Pagal būklę reikia rasti mažesnį kampą. Akivaizdu, kad jei kampo dydis yra tiesiogiai proporcingas lankui, ant kurio jis remiasi, tada norimas (mažesnis) kampas atitinka lanką, lygų 3X.

Tai reiškia, kad mažesnis kampas yra (36° * 3): 2 = 108°: 2 = 54°

Atsakymas: 54°

Apskritime, kurio centras yra taške O, kampas AOB lygus 60°, o mažesniojo lanko ilgis lygus 50. Apskaičiuokite didesnio lanko ilgį.

Norint apskaičiuoti didesnio lanko ilgį, reikia sukurti proporciją – kaip mažesnis lankas susijęs su didesniu. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame abiejų lankų dydį laipsniais. Mažesnis lankas yra lygus kampui, kuris remiasi į jį. Jo laipsnio matas bus 60°. Didysis lankas yra lygus skirtumui tarp apskritimo laipsnio mato (jis lygus 360° nepriklausomai nuo kitų duomenų) ir mažojo lanko.

Pagrindinis lankas yra 360° - 60° = 300°.

Kadangi 300°: 60° = 5, didesnis lankas yra 5 kartus didesnis nei mažesnis.

Didelis lankas = 50 * 5 = 250

Taigi, žinoma, yra ir kitų sprendimo būdų panašias užduotis, bet visi jie vienaip ar kitaip pagrįsti centrinių ir įbrėžtųjų kampų, trikampių ir apskritimų savybėmis. Norėdami juos sėkmingai išspręsti, turite atidžiai išstudijuoti brėžinį ir palyginti jį su problemos duomenimis, taip pat mokėti pritaikyti savo teorinių žinių praktikoje.

RAETAS IR RAETAS. CILINDRAS.

§ 76. UŽRAŠAS IR KAI KITI KAMPAI.

1. Įbrėžtas kampas.

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime, o kraštinės yra stygos, vadinamas įbrėžtuoju kampu.

Kampas ABC yra įbrėžtasis kampas. Jis remiasi į lanką AC, uždarą tarp jo šonų (330 pav.).

Teorema. Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra.

Tai turėtų būti suprantama taip: įrašytame kampe yra tiek kampo laipsnių, minučių ir sekundžių, kiek yra lanko laipsnių, minučių ir sekundžių, esančių lanko pusėje, ant kurios jis remiasi.

Įrodant šią teoremą reikia atsižvelgti į tris atvejus.

Pirmas atvejis. Apskritimo centras yra įbrėžto kampo pusėje (331 pav.).

Leiskite / ABC yra įbrėžtas kampas, o apskritimo O centras yra kraštinėje BC. Reikia įrodyti, kad jis matuojamas puse lanko AC.

Sujungkime tašką A su apskritimo centru. Gauname lygiašonį /\ AOB, kuriame
AO = OB, kaip to paties apskritimo spinduliai. Vadinasi, / A = / IN. / Todėl AOC yra trikampio AOB išorėje / AOC = / A+ / B (§ 39, 2 pastraipa), o kadangi kampai A ir B yra lygūs, tai / B yra 1/2 / AOC.

Bet / AOC matuojamas lanku AC, todėl / B matuojamas puse lanko AC.

Pavyzdžiui, jei kintamojoje srovėje yra 60° 18", tada / B yra 30°9".

Antras atvejis. Apskritimo centras yra tarp įbrėžto kampo kraštinių (332 pav.).

Leiskite / ABD – įrašytas kampas. Apskritimo O centras yra tarp jo kraštinių. Tai būtina įrodyti / ABD matuojamas puse lanko AD.

Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime saulės skersmenį. Kampas ABD yra padalintas į du kampus: / 1 ir / 2.

/ 1 matuojamas puse lanko AC, ir / 2 matuojamas puse lanko CD, taigi ir visa / ABD matuojamas 1/2 AC + 1/2 CD, t.y. pusė AD lanko.
Pavyzdžiui, jei AD yra 124°, tada / B yra 62°.

Trečias atvejis. Apskritimo centras yra už įbrėžto kampo ribų (333 pav.).

Leiskite / MAD – įrašytas kampas. Apskritimo O centras yra už kampo. Tai būtina įrodyti / MAD matuojamas puse lanko MD.

Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime skersmenį AB. / MAD = / MAV- / DAB. Bet / MAV matuojamas 1/2 MV ir / DAB matuojamas kaip 1/2 DB. Vadinasi, / MAD matuojamas
1/2 (MB – DB), ty 1/2 MD.
Pavyzdžiui, jei MD yra 48° 38"16", tada / MAD yra 24° 19" 8".

Pasekmės. 1. Visi įbrėžtieji kampai, esantys tą patį lanką, yra lygūs vienas kitam, nes jie matuojami puse to paties lanko (334 pav., a).

2. Įbrėžtas kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu, nes jis sudaro pusę apskritimo. Pusėje apskritimo yra 180 lanko laipsnių, o tai reiškia, kad kampas pagal skersmenį yra 90 lanko laipsnių (334 pav., b).

2. Kampas, sudarytas iš liestinės ir stygos.

Teorema. Kampas, sudarytas iš liestinės ir stygos, matuojamas puse lanko, esančio tarp jo kraštų.

Leiskite / CAB sudaro styga CA ir liestinė AB (335 pav.). Reikia įrodyti, kad jis matuojamas puse SA. Nubrėžkime tiesę CD per tašką C || AB. Užrašyta / ACD matuojamas puse lanko AD, bet AD = CA, nes jie yra tarp liestinės ir jai lygiagrečios stygos. Vadinasi, / DCA matuojamas puse CA lanko. Nuo šio / CAB = / DCA, tada jis matuojamas puse lanko CA.

Pratimai.

1. 336 brėžinyje raskite blokų apskritimo liestines.

2. Pagal 337 brėžinį įrodykite, kad kampas ADC matuojamas puse lankų AC ir BC sumos.

3. Naudodamiesi 337, b brėžiniu, įrodykite, kad kampas AMB matuojamas lankų AB ir CE pusiau skirtumu.