Funkcijos grafiko išgaubimo ir įgaubimo intervalai. Funkcijos išgaubtumo intervalų radimas

Naudodami internetinį skaičiuotuvą galite rasti funkcijos grafiko vingio taškai ir išgaubtumo intervalai su sprendimo dizainu Word. Ar dviejų kintamųjų f(x1,x2) funkcija yra išgaubta, sprendžiama naudojant Heseno matricą.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Funkcijos grafiko išgaubtumo kryptis. Posūkio taškai

Apibrėžimas: Sakoma, kad kreivė y=f(x) yra išgaubta aukštyn intervale (a; b), jei ji yra žemiau liestinės bet kuriame šio intervalo taške.

Apibrėžimas: Intervalai, kuriuose funkcijos grafikas yra išgaubtas aukštyn arba žemyn, vadinami funkcijos grafiko išgaubimo intervalais.

Kreivės, kuri yra funkcijos y=f(x) grafikas, išgaubimas žemyn arba aukštyn apibūdinamas jos antrosios išvestinės ženklu: jei tam tikrame intervale f''(x) > 0, tai kreivė yra išgaubta žemyn šiuo intervalu; jei f’’(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Apibrėžimas: funkcijos y=f(x) grafiko taškas, skiriantis išgaubimo intervalus priešingomis kryptimisšio grafiko vadinamas vingio tašku.

Posūkio taškai gali tarnauti tik kritinius taškus II rūšies, t.y. taškai, priklausantys funkcijos y = f(x) apibrėžimo sričiai, kurioje antroji išvestinė f’’(x) išnyksta arba turi netolydumą.

Funkcijos y = f(x) grafiko vingio taškų radimo taisyklė

1. Raskite antrąją išvestinę f’’(x) .
2. Raskite funkcijos y=f(x) antrojo tipo kritinius taškus, t.y. taškas, kuriame f''(x) išnyksta arba patiria nenuoseklumą.
3. Ištirkite antrosios išvestinės f’’(x) ženklą intervale, į kurį rasti kritiniai taškai padalija funkcijos f(x) apibrėžimo sritį. Jei kritinis taškas x 0 skiria priešingų krypčių išgaubtumo intervalus, tai x 0 yra funkcijos grafiko vingio taško abscisė.
4. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes vingio taškuose.

1 pavyzdys. Raskite šios kreivės išgaubtumo intervalus ir vingio taškus: f(x) = 6x 2 –x 3.
Sprendimas: Raskite f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Raskime antrosios išvestinės kritinius taškus išsprendę lygtį 12-6x=0. x=2 .


f(2) = 6*2 2 – 23 = 16
Atsakymas: Funkcija yra išgaubta į viršų x∈(2; +∞) ; funkcija yra išgaubta žemyn ties x∈(-∞; 2) ; vingio taškas (2;16) .

2 pavyzdys. Ar funkcija turi vingio taškus: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

3 pavyzdys. Raskite intervalus, kuriuose funkcijos grafikas yra išgaubtas ir išlenktas: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Tirdami funkciją ir sudarydami jos grafiką, viename etape nustatome vingio taškus ir išgaubimo intervalus. Šie duomenys kartu su didėjimo ir mažėjimo intervalais leidžia schematiškai pavaizduoti tiriamos funkcijos grafiką.

Tolesniame pristatyme daroma prielaida, kad galite atlikti tam tikrą užsakymą ir skirtingus tipus.

Pradėkime studijuoti medžiagą būtinus apibrėžimus ir sąvokas. Toliau išsakysime ryšį tarp funkcijos antrosios išvestinės reikšmės tam tikrame intervale ir jos išgaubtumo krypties. Po to pereisime prie sąlygų, leidžiančių nustatyti funkcijos grafiko vingio taškus. Pagal tekstą duosime tipinių pavyzdžių su išsamiais sprendimais.

Puslapio naršymas.

Funkcijos išgaubtumas, įgaubtumas, vingio taškas.

Apibrėžimas.

išgaubtas žemyn intervale X, jei jo grafikas yra ne žemiau nei jo liestinė bet kuriame intervalo X taške.

Apibrėžimas.

Funkcija, kurią reikia diferencijuoti, vadinama išgaubtas aukštyn intervale X, jei jo grafikas yra ne aukščiau už jo liestinę bet kuriame intervalo X taške.

Dažnai vadinama aukštyn išgaubta funkcija išgaubtas, ir išgaubtas žemyn – įgaubtas.

Pažiūrėkite į brėžinį, iliustruojantį šiuos apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Taškas vadinamas funkcijos grafiko vingio taškas y=f(x), jei tam tikrame taške yra funkcijos grafiko liestinė (ji gali būti lygiagreti Oy ašiai) ir yra taško kaimynystė, kurioje yra taško M kairėje ir dešinėje funkcijos grafikas turi skirtingas išgaubimo kryptis.

Kitaip tariant, taškas M vadinamas funkcijos grafiko vingio tašku, jei šiame taške yra liestinė ir funkcijos grafikas keičia išgaubimo kryptį, eidamas per ją.

Jei reikia, skaitykite skyrių, kad prisimintumėte ne vertikalios ir vertikalios liestinės egzistavimo sąlygas.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pateikti keli vingio taškų pavyzdžiai (pažymėti raudonais taškais). Atkreipkite dėmesį, kad kai kurios funkcijos gali neturėti vingio taškų, o kitos gali turėti vieną, kelis arba be galo daug vingio taškų.

Funkcijos išgaubtumo intervalų radimas.

Suformuluokime teoremą, leidžiančią nustatyti funkcijos išgaubtumo intervalus.

Teorema.

Jei funkcija y=f(x) turi baigtinę antrąją išvestinę intervale X ir jei galioja nelygybė (), tada funkcijos grafikas turi išgaubimą, nukreiptą žemyn (aukštyn) X.

Ši teorema leidžia rasti funkcijos įgaubimo ir išgaubimo intervalus, jums tereikia išspręsti nelygybes ir, atitinkamai, pradinės funkcijos apibrėžimo srityje.

Reikėtų pažymėti, kad taškai, kuriuose funkcija y=f(x) yra apibrėžta, o antroji išvestinė neegzistuoja, bus įtraukti į įgaubimo ir išgaubimo intervalus.

Supraskime tai pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Išsiaiškinkite intervalus, kuriuose funkcijos grafikas turi išgaubimą, nukreiptą į viršų, ir išgaubimą, nukreiptą žemyn.

Sprendimas.

Funkcijos sritis yra visa rinkinys realūs skaičiai.

Raskime antrąją išvestinę.

Antrosios išvestinės apibrėžimo sritis sutampa su pradinės funkcijos apibrėžimo sritimi, todėl norint išsiaiškinti įdubimo ir išgaubimo intervalus, pakanka išspręsti ir atitinkamai.

Vadinasi, funkcija yra išgaubta žemyn intervale ir išgaubta aukštyn intervale .

Grafinė iliustracija.

Funkcijų grafiko dalis išgaubtame intervale pavaizduota mėlyna spalva, įdubimo intervale – raudona spalva.

Dabar panagrinėkime pavyzdį, kai antrosios išvestinės apibrėžimo sritis nesutampa su funkcijos apibrėžimo sritimi. Šiuo atveju, kaip jau pažymėjome, apibrėžimo srities taškai, kuriuose nėra baigtinės antrosios išvestinės, turėtų būti įtraukti į išgaubimo ir (arba) įgaubimo intervalus.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos grafiko išgaubimo ir įgaubimo intervalus.

Sprendimas.

Pradėkime nuo funkcijos srities:

Raskime antrąją išvestinę:

Antrosios išvestinės apibrėžimo sritis yra aibė . Kaip matote, x=0 priklauso pradinės funkcijos sričiai, bet nepriklauso antrosios išvestinės sričiai. Nepamirškite apie šį tašką, jis turi būti įtrauktas į išgaubimo ir (arba) įdubimo intervalą.

Dabar išsprendžiame nelygybes pradinės funkcijos apibrėžimo srityje. Kreipkimės. Išraiškos skaitiklis eina į nulį arba , vardiklis – kai x = 0 arba x = 1. Šiuos taškus schematiškai pavaizduojame skaičių eilutėje ir išsiaiškiname išraiškos ženklą kiekviename intervale, įtrauktame į pradinės funkcijos apibrėžimo sritį (jis rodomas kaip tamsintas plotas apatinėje skaičių eilutėje). Teigiamai reikšmei dedame pliuso ženklą, neigiamai – minuso ženklą.

Taigi,

Ir

Todėl įtraukę tašką x=0, gauname atsakymą.

At funkcijos grafikas turi išgaubtą, nukreiptą žemyn, su - išgaubimas nukreiptas į viršų.

Grafinė iliustracija.

Funkcijos grafiko dalis ant išgaubimo intervalo pavaizduota mėlyna spalva, ant įgaubtų intervalų - raudona, juoda punktyrinė linija yra vertikali asimptota.

Būtinos ir pakankamos sąlygos linksniuoti.

Būtina sąlyga linksniui.

Suformuluokime būtina linksniavimo sąlyga funkcinė grafika.

Tegul funkcijos y=f(x) grafikas turi vingį taške ir turi ištisinę antrąją išvestinę, tada galioja lygybė.

Iš šios sąlygos išplaukia, kad vingio taškų abscisių reikia ieškoti tarp tų, kuriuose išnyksta antroji funkcijos išvestinė. BET šios sąlygos nepakanka, tai yra, ne visos reikšmės, kuriose antroji išvestinė lygi nuliui, yra vingio taškų abscisės.

Taip pat reikia pažymėti, kad vingio taško apibrėžimas reikalauja liestinės arba vertikalios linijos. Ką tai reiškia? O tai reiškia štai ką: vingio taškų abscisės gali būti viskas nuo funkcijos apibrėžimo srities, kuriai Ir . Paprastai tai yra taškai, kuriuose pirmosios išvestinės vardiklis išnyksta.

Pirmoji pakankama linksniavimo sąlyga.

Suradus vingio taškų abscises, reikėtų naudoti pirmoji pakankama linksniavimo sąlyga funkcinė grafika.

Tegul funkcija y=f(x) taške yra tolydi, jame turi liestinę (galbūt vertikalią) ir tegul ši funkcija turi antrą išvestinę kurioje nors taško kaimynystėje. Tada, jei šioje kaimynystėje kairėje ir dešinėje , antra išvestinė turi skirtingi ženklai, tada yra funkcijos grafiko vingio taškas.

Kaip matote, pirmoji pakankama sąlyga nereikalauja antrosios išvestinės egzistavimo pačiame taške, bet reikalauja jos egzistavimo taško kaimynystėje.

Dabar apibendrinkime visą informaciją algoritmo forma.

Funkcijos vingio taškų radimo algoritmas.

Randame visas funkcijų grafiko galimų vingio taškų abscises (arba Ir ) ir sužinokite, per kurią antroji išvestinė keičia ženklą. Tokios reikšmės bus vingio taškų abscisės, o atitinkami taškai – funkcijos grafiko vingio taškai.

Pažvelkime į du vingio taškų paieškos pavyzdžius, kad būtų paaiškinta.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos grafiko vingio taškus ir išgaubtų bei įgaubtų intervalus .

Sprendimas.

Funkcijos sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys.

Raskime pirmąjį išvestinį:

Pirmosios išvestinės apibrėžimo sritis taip pat yra visa realiųjų skaičių aibė, taigi ir lygybės Ir nėra įvykdytas nė vienam .

Raskime antrąją išvestinę:

Išsiaiškinkime, kokiomis argumento x reikšmėmis antroji išvestinė tampa nuliu:

Taigi galimų vingio taškų abscisės yra x=-2 ir x=3.

Dabar belieka patikrinti, naudojant pakankamą linksniavimo ženklą, kuriame iš šių taškų antroji išvestinė keičia ženklą. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite taškus x=-2 ir x=3 skaičių ašis ir, kaip ir apibendrintas intervalų metodas, ant kiekvieno intervalo dedame antrosios išvestinės ženklus. Po kiekvienu intervalu funkcijos grafiko išgaubtumo kryptis pavaizduota schematiškai su lankais.

Antroji išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, eidama per tašką x=-2 iš kairės į dešinę, ir keičia ženklą iš minuso į pliusą, eidama per x=3. Todėl ir x=-2, ir x=3 yra funkcijos grafiko vingio taškų abscisės. Jie atitinka grafiko taškus ir .

Dar kartą pažvelgę ​​į skaičių tiesę ir antrosios išvestinės jos intervalų požymius, galime padaryti išvadą apie išgaubto ir įgaubto intervalus. Funkcijos grafikas yra išgaubtas intervale ir įgaubtas intervalais ir .

Grafinė iliustracija.

Funkcijų grafiko dalis ant išgaubto intervalo rodoma mėlyna spalva, ant įgaubto intervalo – raudona, o vingio taškai – juodais taškais.

Pavyzdys.

Raskite visų funkcijų grafiko vingio taškų abscises .

Sprendimas.

Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys.

Raskime išvestinę.

Pirmoji išvestinė, skirtingai nei pradinė funkcija, nėra apibrėžta ties x=3. Bet Ir . Todėl taške, kurio abscisė x=3, yra pradinės funkcijos grafiko vertikali liestinė. Taigi x=3 gali būti funkcijos grafiko vingio taško abscisė.

Randame antrąją išvestinę, jos apibrėžimo sritį ir taškus, kuriuose ji išnyksta:

Gavome dar dvi galimas vingio taškų abscises. Skaičių tiesėje pažymime visus tris taškus ir kiekviename gautame intervale nustatome antrosios išvestinės ženklą.

Antroji išvestinė keičia ženklą eidama per kiekvieną tašką, todėl jie visi yra vingio taškų abscisės.

Instrukcijos

Taškai linksniavimas funkcijas turi priklausyti jo apibrėžimo sričiai, kurią reikia surasti pirmiausia. Tvarkaraštis funkcijas yra linija, kuri gali būti ištisinė arba su pertraukomis, monotoniškai mažėti arba didėti, turėti minimumą arba maksimumą taškų(asimptotai), būti išgaubti arba įgaubti. Staigus dviejų pasikeitimas naujausios valstijos ir vadinamas linksniu.

Būtina sąlyga egzistavimą linksniavimas funkcijas susideda iš antrosios lygybės nuliui. Taigi du kartus diferencijuodami funkciją ir gautą išraišką prilyginę nuliui, galime rasti galimų taškų abscises linksniavimas.

Ši sąlyga išplaukia iš grafiko išgaubimo ir įgaubimo savybių apibrėžimo funkcijas, t.y. neigiamas ir teigiama vertė antrasis darinys. Taške linksniavimas staigus pasikeitimasšias savybes, o tai reiškia, kad išvestinė peržengia nulio ženklą. Tačiau to, kad būtų lygus nuliui, dar nepakanka, kad būtų nurodyta linksniuotė.

Yra dvi pakankamos sąlygos, kad ankstesniame etape rasta abscisė priklauso taškui linksniavimas:Per šį tašką galite nubrėžti liestinę funkcijas. Antrasis vedinys turi skirtingus ženklus dešinėje ir kairėje nuo laukiamo taškų linksniavimas. Taigi jo egzistavimas pačiame taške nėra būtinas, kad būtų nustatyta, kad jame jis keičia ženklą funkcijas yra lygus nuliui, o trečiasis – ne.

Sprendimas: Raskite. IN šiuo atveju nėra jokių apribojimų, todėl tai yra visa realiųjų skaičių erdvė. Apskaičiuokite pirmąją išvestinę: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Atkreipkite dėmesį. Iš to išplaukia, kad išvestinės apibrėžimo sritis yra ribota. Taškas x = 5 yra pradurtas, o tai reiškia, kad per jį gali praeiti liestinė, kuri iš dalies atitinka pirmąjį pakankamumo ženklą linksniavimas.

Nustatykite gautą x → 5 – 0 ir x → 5 + 0 išraišką. Jie lygūs -∞ ir +∞. Jūs įrodėte, kad vertikali liestinė eina per tašką x=5. Šis taškas gali tapti tašku linksniavimas, bet pirmiausia apskaičiuokite antrąją išvestinę: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² - 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x – 5)^5.

Praleiskite vardiklį, nes jau atsižvelgėte į tašką x = 5. Išspręskite lygtį 2 x – 22 = 0. Ji turi vieną šaknį x = 11. Paskutinis žingsnis yra patvirtinti, kad taškų x=5 ir x=11 yra taškai linksniavimas. Išanalizuoti antrojo darinio elgesį jų apylinkėse. Akivaizdu, kad taške x = 5 jis keičia ženklą iš „+“ į „-“, o taške x = 11 – atvirkščiai. Išvada: abu taškų yra taškai linksniavimas. Pirmoji pakankama sąlyga įvykdyta.

Funkcijos grafikas y=f(x) paskambino išgaubtas ant intervalo (a; b), jei jis yra žemiau bet kurios jo liestinės šiame intervale.

Funkcijos grafikas y=f(x) paskambino įgaubtas ant intervalo (a; b), jei jis yra virš bet kurios jo liestinės šiame intervale.

Paveikslėlyje parodyta kreivė, kuri yra išgaubta ties (a; b) ir įgaubtas (b;c).

Pavyzdžiai.

Panagrinėkime pakankamą kriterijų, leidžiantį nustatyti, ar funkcijos grafikas tam tikrame intervale bus išgaubtas ar įgaubtas.

Teorema. Leiskite y=f(x) skiriasi pagal (a; b). Jei visuose intervalo taškuose (a; b) antroji funkcijos išvestinė y = f(x) neigiamas, t.y. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – įgaubtas.

Įrodymas. Tikslumo dėlei darykime prielaidą, kad f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Paimkime grafiko funkcijas y = f(x) savavališkas taškas M0 su abscisėmis x 0 Î ( a; b) ir nubrėžkite per tašką M0 liestinė. Jos lygtis. Turime parodyti, kad funkcijos grafikas yra (a; b) yra žemiau šios liestinės, t.y. ta pačia verte x kreivės ordinatės y = f(x) bus mažesnė už liestinės ordinatę.

Taigi, kreivės lygtis yra y = f(x). Pažymime abscisę atitinkančios liestinės ordinates x. Tada . Vadinasi, skirtumas tarp tos pačios vertės kreivės ordinačių ir liestinės x bus .

Skirtumas f(x) – f(x 0) transformuoti pagal Lagranžo teoremą, kur c tarp x Ir x 0.

Taigi,

Lagranžo teoremą vėl pritaikome laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškai: , kur c 1 tarp c 0 Ir x 0. Pagal teoremos sąlygas f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Taigi bet kuris kreivės taškas yra žemiau visų verčių kreivės liestinės x Ir x 0 Î ( a; b), tai reiškia, kad kreivė yra išgaubta. Antroji teoremos dalis įrodyta panašiai.

Pavyzdžiai.

Grafiko taškas nuolatinė funkcija, atskiriantis jos išgaubtą dalį nuo įgaubtos, vadinamas vingio taškas.

Akivaizdu, kad vingio taške liestinė, jei ji yra, kerta kreivę, nes vienoje šio taško pusėje kreivė yra po liestine, o kitoje - virš jos.

Nustatykime pakankamas sąlygas tam duotas taškas kreivė yra vingio taškas.

Teorema. Tegul kreivė yra apibrėžta lygtimi y = f(x). Jeigu f ""(x 0) = 0 arba f ""(x 0) neegzistuoja ir kai eina per reikšmę x = x 0 išvestinė f ""(x) keičia ženklą, tada funkcijos grafike esantis taškas su abscisėmis x = x 0 yra vingio taškas.

Įrodymas. Leiskite f ""(x) < 0 при x < x 0 Ir f ""(x) > 0 at x > x 0. Tada val x < x 0 kreivė yra išgaubta, o kada x > x 0– įgaubtas. Todėl taškas A, guli ant kreivės, su abscisėmis x 0 yra vingio taškas. Panašiai galima vertinti ir antrąjį atvejį, kai f ""(x) > 0 at x < x 0 Ir f ""(x) < 0 при x > x 0.

Taigi vingio taškų reikia ieškoti tik tarp tų taškų, kuriuose antroji vedinys išnyksta arba neegzistuoja.

Pavyzdžiai. Raskite vingio taškus ir nustatykite kreivių išgaubimo ir įgaubimo intervalus.

FUNKCIJOS GRAFIKOS ASIMPTOTAI

Tiriant funkciją, svarbu nustatyti jos grafiko formą neribotu atstumu nuo grafiko taško nuo pradžios.

Ypač įdomus atvejis, kai funkcijos grafikas pašalinamas kintamasis taškas iki begalybės artėja prie tam tikros tiesės be apribojimų.

Tiesi linija vadinama asimptotas funkcinė grafika y = f(x), jei atstumas nuo kintamojo taško M grafiką į šią eilutę, kai pašalinamas taškas M iki begalybės linksta į nulį, t.y. funkcijos grafiko taškas, linkęs į begalybę, turi neribotai artėti prie asimptotės.

Kreivė gali priartėti prie savo asimptotės, likdama vienoje jos pusėje arba su skirtingos pusės, begalinis rinkinys kartą peržengęs asimptotą ir judėdamas iš vienos pusės į kitą.

Jei d žymėsime atstumą nuo taško M kreivė iki asimptotės, tada aišku, kad d linkęs į nulį, kai taškas tolsta M iki begalybės.

Toliau skirsime vertikalias ir įstrižas asimptotes.

VERTIKALŪS ASIMPTOTAI

Leiskite prie x→ x 0 iš bet kurios šoninės funkcijos y = f(x) absoliučia verte didėja neribotai, t.y. arba arba . Tada iš asimptotės apibrėžimo išplaukia, kad tiesi linija x = x 0 yra asimptotas. Priešingai taip pat akivaizdu, jei linija x = x 0 yra asimptotas, t.y. .

Taigi funkcijos grafiko vertikali asimptotė y = f(x) vadinama tiesia linija, jei f(x)→ ∞ esant bent vienai iš sąlygų x→ x 0– 0 arba x → x 0 + 0, x = x 0

Todėl norint rasti funkcijos grafiko vertikaliąsias asimptotes y = f(x) reikia surasti tas vertybes x = x 0, kurioje funkcija eina į begalybę (kenčia begalinį nenuoseklumą). Tada vertikali asimptotė turi lygtį x = x 0.

Pavyzdžiai.

SLIENTI ASIMPTOTAI

Kadangi asimptotas yra tiesi linija, tada jei kreivė y = f(x) turi įstrižą asimptotę, tada jos lygtis bus tokia y = kx + b. Mūsų užduotis yra rasti koeficientus k Ir b.

Teorema. Tiesiai y = kx + b tarnauja kaip įstrižas asimptotas ties x→ +∞ funkcijos grafikui y = f(x) tada ir tik tada . Panašus teiginys galioja ir x → –∞.

Įrodymas. Leiskite MP– segmento ilgis, lygus atstumui nuo taško Mį asimptotę. Pagal būklę. φ pažymėkime asimptotės polinkio į ašį kampą Jautis. Tada nuo ΔMNP iš to išplaukia. Kadangi φ yra pastovus kampas (φ ≠ π/2), tada , bet