Funkcijos gradiento taške radimas. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas

GRADIENTO FUNKCIJA u = f(x, y, z), pateikta tam tikrame regione. erdvė (X Y Z), Yra vektorius su projekcijomis, pažymėtomis simboliais: grad Kur i, j, k- koordinačių vienetų vektoriai. G. f. - yra taško funkcija (x, y, z), ty sudaro vektorinį lauką. Išvestinė kryptimi G. f. šiuo tašku pasiekia didžiausia vertė ir yra lygus: Gradiento kryptis yra sparčiausio funkcijos padidėjimo kryptis. G. f. tam tikrame taške yra statmenas lygiam paviršiui, einančiam per šį tašką. Naudojimo efektyvumas G. f. litologinių tyrimų metu buvo parodyta tiriant eolinius eksk. Centrinis Karakumas.

Geologijos žodynas: 2 tomai. - M.: Nedra. Redagavo K. N. Paffengoltz ir kt.. 1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „GRADIENTO FUNKCIJA“ kituose žodynuose:

Šis straipsnis yra apie matematinė charakteristika; apie užpildymo būdą žr.: Gradientas (kompiuterinė grafika) ... Vikipedija

- (lot.). Barometrinių ir termometrinių rodmenų skirtumai įvairiose srityse. Žodynas svetimžodžiai, įtraukta į rusų kalbą. Chudinov A.N., 1910. GRADIENTAS – tai barometro ir termometro rodmenų skirtumas tuo pačiu momentu... ... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

gradientas- Tam tikro dydžio vertės keitimas atstumo vienetui tam tikra kryptimi. Topografinis gradientas yra reljefo aukščio pokytis horizontaliai išmatuotu atstumu. Temos: relės apsauga EN diferencialo apsaugos suveikimo charakteristikos gradientas …

Techninis vertėjo vadovas Gradientas - vektorius, nukreiptas greičiausio funkcijos didėjimo kryptimi ir dydžiu lygus jos išvestinei šia kryptimi: kur simboliai ei žymi vienetiniai vektoriai koordinačių ašys (ortas) ...

Ekonomikos ir matematikos žodynas Viena iš pagrindinių vektorinės analizės ir netiesinių atvaizdų teorijos koncepcijų. Gradientas skaliarinė funkcija vektorinis argumentas iš Euklido erdvės E n vadinamas. funkcijos f(t) išvestinė vektoriaus argumento t atžvilgiu, tai yra, n matmenų vektorius su... ...

Matematinė enciklopedija- – reikšmė, atspindinti funkcijos pokytį arba indikatorių priklausomai nuo kitos reikšmės; pvz., dalinio slėgio gradientas – dalinių slėgių skirtumas, lemiantis dujų difuziją iš alveolių (accini) į kraują ir iš kraujo į ... ... Ūkinių gyvūnų fiziologijos terminų žodynas

I Gradientas (iš lot. gradiens, gender gradientis walking) Vektorius, rodantis kokio nors dydžio sparčiausio kitimo kryptį, kurio reikšmė kinta iš vieno erdvės taško į kitą (žr. Lauko teorija). Jei vertė ...... Didžioji sovietinė enciklopedija

Techninis vertėjo vadovas- (iš lot. gradiens vaikščiojimas, ėjimas) (matematikoje) vektorius, rodantis tam tikros funkcijos sparčiausio didėjimo kryptį; (fizikoje) erdvės arba bet kokios rūšies plokštumos padidėjimo arba sumažėjimo matas fizinis kiekis už vienetą...... Šiuolaikinio gamtos mokslo pradžia

Knygos

• Kai kurių uždavinių sprendimo būdai pasirinktuose aukštosios matematikos skyriuose. Seminaras, Konstantinas Grigorjevičius Klimenko, Galina Vasiljevna Levitskaya, Jevgenijus Aleksandrovičius Kozlovskis. IN šis seminaras nagrinėjami tam tikrų tipų problemų sprendimo būdai iš tokių visuotinai priimto kurso dalių matematinė analizė, kaip funkcijos, gradiento ir išvestinės riba ir ekstremumas...

Iš mokyklinio matematikos kurso žinome, kad vektorius plokštumoje yra nukreipta atkarpa. Jo pradžia ir pabaiga turi dvi koordinates. Vektoriaus koordinatės apskaičiuojamos iš galinių koordinačių atėmus pradžios koordinates.

Vektoriaus sąvoką galima išplėsti iki n-matės erdvės (vietoj dviejų koordinačių bus n koordinačių).

Gradientas gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) – funkcijos dalinių išvestinių vektorius taške, t.y. vektorius su koordinatėmis.

Galima įrodyti, kad funkcijos gradientas apibūdina sparčiausio funkcijos lygio augimo taške kryptį.

Pavyzdžiui, funkcijai z = 2x 1 + x 2 (žr. 5.8 pav.), gradientas bet kuriame taške turės koordinates (2; 1). Jį plokštumoje galite sukonstruoti įvairiais būdais, bet kurį tašką pasirinkdami kaip vektoriaus pradžią. Pavyzdžiui, galite sujungti tašką (0; 0) su tašku (2; 1) arba tašką (1; 0) su tašku (3; 1) arba tašką (0; 3) su tašku (2; 4), arba taip toliau. (žr. 5.8 pav.). Visi tokiu būdu sukonstruoti vektoriai turės koordinates (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Iš 5.8 paveikslo aiškiai matyti, kad funkcijos lygis didėja gradiento kryptimi, nes sudarytos lygio linijos atitinka lygio reikšmes 4 > 3 > 2.

5.8 pav. – funkcijos z= 2x 1 + x 2 gradientas

Panagrinėkime kitą pavyzdį – funkciją z = 1/(x 1 x 2). Šios funkcijos gradientas skirtinguose taškuose nebe visada bus vienodas, nes jos koordinatės nustatomos pagal formules (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

5.9 paveiksle pavaizduotos funkcijos z = 1/(x 1 x 2) lygio linijos 2 ir 10 lygiams (tiesė 1/(x 1 x 2) = 2 pažymėta punktyrine linija, o tiesi linija 1 /(x 1 x 2) = 10 yra ištisinė linija).

5.9 pav. Funkcijos z= 1/(x 1 x 2) gradientai įvairiuose taškuose

Paimkite, pavyzdžiui, tašką (0,5; 1) ir apskaičiuokite gradientą šiame taške: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Atkreipkite dėmesį, kad taškas (0,5; 1) yra ant lygio linijos 1/(x 1 x 2) = 2, nes z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Norėdami nubrėžti vektorių ( -4; -2) 5.9 paveiksle tašką (0,5; 1) sujunkite su tašku (-3,5; -1), nes (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Paimkime kitą tašką toje pačioje lygio tiesėje, pavyzdžiui, tašką (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Apskaičiuokime gradientą šiame taške (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Norėdami jį pavaizduoti 5.9 paveiksle, tašką (1; 0,5) sujungiame su tašku (-1; -3,5), nes (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Paimkime kitą tašką toje pačioje lygio tiesėje, bet tik dabar ne teigiamų koordinačių ketvirtyje. Pavyzdžiui, taškas (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradientas šiame taške bus lygus (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Pavaizduokime 5.9 paveiksle, sujungdami tašką (-0,5; -1) su tašku (3,5; 1), nes (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Pažymėtina, kad visais trimis nagrinėjamais atvejais gradientas rodo funkcijos lygio augimo kryptį (link lygio linijos 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Galima įrodyti, kad gradientas visada yra statmenas lygiai linijai (lygio paviršiui), einančiai per tam tikrą tašką.

Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas

Apibrėžkime sąvoką ekstremumas daugelio kintamųjų funkcijai.

Daugelio kintamųjų f(X) funkcija taške X (0) maksimalus (minimalus), jei šio taško kaimynystė yra tokia, kad visiems taškams X iš šios kaimynystės tenkinamos nelygybės f(X)f(X(0)) ().

Jei šios nelygybės tenkinamos kaip griežtos, tada vadinamas ekstremumas stiprus, o jei ne, tada silpnas.

Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu apibrėžtas ekstremumas yra vietinis charakterį, nes šios nelygybės tenkinamos tik tam tikroje ekstremumo taško kaimynystėje.

Būtina diferenciuojamosios funkcijos z=f(x 1, . . ., x n) lokalaus ekstremumo sąlyga taške yra visų pirmos eilės dalinių išvestinių lygybė nuliui šiame taške:
.

Taškai, kuriuose galioja šios lygybės, vadinami stacionarus.

Kitu būdu būtiną ekstremumo sąlygą galima suformuluoti taip: ekstremumo taške gradientas lygus nuliui. Galima įrodyti ir bendresnį teiginį: ekstremumo taške funkcijos išvestinės visomis kryptimis išnyksta.

Stacionariems taškams reikia atlikti papildomus tyrimus, siekiant nustatyti, ar yra pakankamai sąlygų vietiniam ekstremumui egzistuoti. Norėdami tai padaryti, nustatykite antros eilės diferencialo ženklą. Jei bet kuris , kuris tuo pačiu metu nėra lygus nuliui, jis visada yra neigiamas (teigiamas), tada funkcija turi maksimumą (minimumą). Jei jis gali nukristi iki nulio ne tik nuliniais žingsniais, tada ekstremumo klausimas lieka atviras. Jei jis gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas vertes, tada stacionariame taške ekstremumo nėra.

Bendruoju atveju diferencialo ženklo nustatymas yra gana sudėtinga problema, kurios čia nenagrinėsime. Dviejų kintamųjų funkcijai galima įrodyti, kad jei stacionariame taške
, tada yra ekstremumas. Šiuo atveju antrojo diferencialo ženklas sutampa su ženklu
, t.y. Jeigu
, tada tai yra maksimumas, o jei
, tada tai yra minimumas. Jeigu
, tada šioje vietoje nėra ekstremumo, o jei
, tada ekstremumo klausimas lieka atviras.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos kraštutinumą
.

Raskime dalines išvestines logaritminės diferenciacijos metodu.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Taip pat
.

Raskime stacionarius taškus iš lygčių sistemos:

Taigi rasti keturi stacionarūs taškai (1; 1), (1; -1), (-1; 1) ir (-1; -1).

Raskime antros eilės dalinius išvestinius:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Taip pat
;
.

Nes
, išraiškos ženklas
priklauso tik nuo
. Atkreipkite dėmesį, kad abiejose šiose išvestinėse vardiklis visada yra teigiamas, todėl galite atsižvelgti tik į skaitiklio ženklą arba net reiškinių x(x 2 – 3) ir y(y 2 – 3) ženklą. Apibrėžkime jį kiekviename kritiniame taške ir patikrinkime, ar tenkinama pakankama ekstremumo sąlyga.

Taškui (1; 1) gauname 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух neigiamus skaičius
> 0 ir
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Taškui (1; -1) gauname 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Nes šių skaičių sandauga
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Taškui (-1; -1) gauname (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. dviejų teigiamų skaičių sandauga
> 0 ir
> 0, taške (-1; -1) galima rasti minimumą. Jis lygus 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Rasti globalus didžiausia arba mažiausia (didžiausia arba mažiausia funkcijos reikšmė) yra šiek tiek sudėtingesnė nei vietinis ekstremumas, nes šias vertes galima pasiekti ne tik stacionarūs taškai, bet ir ant apibrėžimo srities ribos. Ne visada lengva ištirti funkcijos elgesį ties šio regiono riba.

Kai kurios sąvokos ir terminai vartojami visiškai siauroje sistemoje. Kiti apibrėžimai yra labai priešingi. Pavyzdžiui, „gradiento“ sąvoką vartoja fizikas, matematikas ir manikiūrininkas arba „Photoshop“ specialistas. Kas yra gradientas kaip sąvoka? Išsiaiškinkime.

Ką sako žodynai?

Kuo ypatingas „gradientas“. dalykiniai žodynai aiškinamos atsižvelgiant į jų specifiką. Išversta iš lotynų kalbašis žodis reiškia „kas eina, tas auga“. O Vikipedija šią sąvoką apibrėžia kaip „vektorių, nurodantį kiekio didėjimo kryptį“. IN aiškinamieji žodynai mes matome šio žodžio reikšmę kaip „bet kokio kiekio pasikeitimą viena verte“. Sąvoka gali turėti tiek kiekybinę, tiek kokybinę reikšmę.

Trumpai tariant, tai sklandus laipsniškas bet kokios reikšmės perėjimas viena verte, laipsniškas ir nuolatinis kiekio ar krypties pokytis. Vektorių skaičiuoja matematikai ir meteorologai. Ši sąvoka naudojama astronomijoje, medicinoje, mene, kompiuterinė grafika. Panašus terminas apibrėžia visiškai skirtingas veiklos rūšis.

Matematinės funkcijos

Koks yra funkcijos gradientas matematikoje? Tai rodo funkcijos augimo kryptį skaliariniame lauke nuo vienos reikšmės iki kitos. Gradiento dydis apskaičiuojamas naudojant dalines išvestines. Norint nustatyti greičiausią funkcijos augimo kryptį, grafike parenkami du taškai. Jie apibrėžia vektoriaus pradžią ir pabaigą. Greitis, kuriuo vertė auga iš vieno taško į kitą, yra gradiento dydis. Matematinės funkcijos, remiantis šio rodiklio skaičiavimais, naudojami vektorinėje kompiuterinėje grafikoje, kurios objektai yra grafiniai vaizdai matematiniai objektai.

Kas yra gradientas fizikoje?

Gradiento sąvoka paplitusi daugelyje fizikos šakų: optikos gradientas, temperatūra, greitis, slėgis ir tt Šioje šakoje sąvoka reiškia vertės padidėjimo arba sumažėjimo vienetu matą. Jis apskaičiuojamas skaičiavimais kaip dviejų rodiklių skirtumas. Pažvelkime į kai kurias vertybes išsamiau.

Kas yra potencialus gradientas? Dirbant su elektrostatinis laukas nustatomos dvi charakteristikos: įtempimas (galia) ir potencialas (energija). Šios skirtingų dydžių susijusi su aplinka. Ir nors jie nustato skirtingos savybės, vis dar palaiko ryšį vienas su kitu.

Norėdami nustatyti įtampą jėgos laukas naudojamas potencialo gradientas – dydis, nulemiantis potencialo kitimo kryptimi greitį elektros linija. Kaip skaičiuoti? Galimas skirtumas tarp dviejų taškų elektrinis laukas apskaičiuojamas pagal žinomą įtampą naudojant įtampos vektorių, kuri yra lygi potencialo gradientui.

Meteorologų ir geografų terminai

Pirmą kartą gradiento sąvoką meteorologai panaudojo norėdami nustatyti įvairių meteorologinių rodiklių – temperatūros, slėgio, vėjo greičio ir stiprumo – dydžio ir krypties pokyčius. Jis yra matas kiekybinis pokytis įvairių dydžių. Maxwellas šį terminą į matematiką įvedė daug vėliau. Pagal apibrėžimą oro sąlygos Yra vertikalių ir horizontalių gradientų sąvokos. Pažvelkime į juos atidžiau.

Kas yra vertikalus temperatūros gradientas? Tai vertė, rodanti rodiklių pokytį, apskaičiuotą 100 m aukštyje. Jis gali būti teigiamas arba neigiamas, priešingai nei horizontalus, kuris visada yra teigiamas.

Gradientas rodo nuolydžio dydį arba kampą ant žemės. Jis apskaičiuojamas kaip kelio projekcijos aukščio ir ilgio santykis tam tikroje atkarpoje. Išreiškiamas procentais.

Medicininiai rodikliai

„Temperatūros gradiento“ apibrėžimą taip pat galima rasti tarp medicinos terminai. Tai rodo atitinkamų rodiklių skirtumą vidaus organai ir kūno paviršiai. Biologijoje fiziologinis gradientas registruoja bet kurio organo ar viso organizmo fiziologijos pokyčius bet kuriame jo vystymosi etape. Medicinoje medžiagų apykaitos rodiklis yra medžiagų apykaitos intensyvumas.

Šį terminą savo darbe vartoja ne tik fizikai, bet ir gydytojai. Kas yra slėgio gradientas kardiologijoje? Ši sąvoka apibrėžia kraujospūdžio skirtumą visose tarpusavyje susijusiose širdies ir kraujagyslių sistemos dalyse.

Mažėjantis automatiškumo gradientas rodo, kad automatiškai sumažėja širdies sužadinimo dažnis nuo pagrindo iki viršaus. Be to, kardiologai nustato arterijų pažeidimo vietą ir laipsnį, stebėdami sistolinių bangų amplitudės skirtumą. Kitaip tariant, naudojant impulso amplitudės gradientą.

Kas yra greičio gradientas?

Kalbėdami apie tam tikro dydžio kitimo greitį, jie turi omenyje pasikeitimo laike ir erdvėje greitį. Kitaip tariant, greičio gradientas lemia erdvinių koordinačių pokytį laiko rodiklių atžvilgiu. Šį rodiklį skaičiuoja meteorologai, astronomai ir chemikai. Skysčių sluoksnių šlyties greičio gradientas nustatomas naftos ir dujų pramonė, apskaičiuoti skysčio kilimo per vamzdį greitį. Šis indikatorius tektoniniai judesiai- tai seismologų skaičiavimų sritis.

Ekonominės funkcijos

Ekonomistai plačiai naudoja gradiento sąvoką svarbioms teorinėms išvadoms pagrįsti. Sprendžiant vartotojų problemas, naudojama naudingumo funkcija, kuri padeda pateikti pasirinkimus iš alternatyvų rinkinio. „Biudžeto apribojimo funkcija“ yra terminas, naudojamas apibūdinti vartojimo paketų rinkinį. Šios srities gradientai naudojami optimaliam suvartojimui apskaičiuoti.

Spalvų gradientas

Sąvoka „gradientas“ yra žinoma kūrybingi asmenys. Nors jie toli iki tiksliųjų mokslų. Kas yra dizainerio gradientas? Nuo m tikslieji mokslai- tai laipsniškas vertės padidėjimas vienu, o spalvos šis indikatorius reiškia sklandų, ištemptą vienos spalvos atspalvių perėjimą nuo šviesesnės prie tamsesnės arba atvirkščiai. Menininkai šį procesą vadina „tempimu“. Taip pat galima pereiti prie skirtingų spalvų toje pačioje diapazone.

Gradientiniai atspalvių ruožai dažymo patalpose užėmė tvirtą vietą tarp projektavimo metodų. Naujamadiškas ombre stilius – sklandus atspalvių srautas nuo šviesaus iki tamsaus, nuo šviesaus iki blyškaus – efektyviai pakeičia bet kurį namų ar biuro kambarį.

Akiniuose nuo saulės optikai naudoja specialius lęšius. Kas yra gradientas akiniuose? Tai lęšio gaminimas ypatingu būdu, kai iš viršaus į apačią spalva keičiasi iš tamsesnio į šviesesnį atspalvį. Produktai, pagaminti naudojant šią technologiją, apsaugo akis nuo saulės spinduliuotės ir leidžia žiūrėti objektus net esant labai ryškiai šviesai.

Spalva interneto dizaine

Tiems, kurie užsiima interneto dizainu ir kompiuterinė grafika, gerai žinomas universalus „gradiento“ įrankis, kuriuo galite sukurti įvairiausių efektų. Spalvų perėjimai paverčiami akcentais, keistu fonu ir trimačiais. Manipuliavimas atspalviais ir šviesos bei šešėlių kūrimas suteikia vektoriniams objektams apimties. Šiems tikslams naudojami keli gradientų tipai:

• Linijinis.
• Radialinis.
• Kūgio formos.
• Veidrodis.
• Deimanto formos.
• Triukšmo gradientas.

Gradiento grožis

Grožio salonų lankytojams klausimas, kas yra gradientas, nenustebins. Tiesa, ir šiuo atveju žinios matematinius dėsnius o elementari fizika nebūtina. Tai apie Viskas apie spalvų perėjimus. Gradiento objektai yra plaukai ir nagai. Ombre technika, kuri prancūziškai reiškia „tonas“, atėjo į madą iš banglenčių ir kitų paplūdimio pramogų mėgėjų. Natūraliai šviesinti ir ataugę plaukai tapo hitu. Mada pradėjo specialiai dažyti plaukus su vos pastebimu atspalvių perėjimu.

Ombre technika neaplenkė nagų salonų. Gradientas ant nagų sukuria spalvą, palaipsniui pašviesindamas plokštelę nuo šaknies iki krašto. Meistrai siūlo horizontalias, vertikalias, su perėjimu ir kitas veisles.

Rankdarbiai

Dailininkės yra susipažinusios su „gradiento“ sąvoka dar iš vienos pusės. Panaši technika naudojama kuriant daiktus pačių pagamintas dekupažo stiliaus. Tokiu būdu sukuriami nauji senoviniai daiktai arba restauruojami seni: komodos, kėdės, skrynios ir kt. Dekupažas apima rašto pritaikymą trafaretu, kurio pagrindas yra spalvų gradientas kaip fonas.

Audinių menininkai šį dažymo būdą pritaikė naujiems modeliams. Podiumus užvaldė gradientų spalvų suknelės. Madą pakėlė rankovės – mezgėjos. Populiarūs megzti gaminiai su sklandžiu spalvų perėjimu.

Apibendrinant „gradiento“ apibrėžimą, galime pasakyti apie labai plačią sritį žmogaus veikla, kuriame randamas šis terminas. Pakeitimas sinonimu „vektorius“ ne visada tinkamas, nes vektorius vis dar yra funkcinė, erdvinė sąvoka. Tai, kas lemia sąvokos bendrumą, yra laipsniškas tam tikro kiekio, medžiagos, fizinis parametras už vienetą tam tikrą laikotarpį. Spalvoje tai sklandus tono perėjimas.