Kaip išspręsti funkciją y ax2 bx c. Algebros pamokos santrauka tema „Funkcija y=ax2, jos grafikas ir savybės“ (9 klasė)

/3. Ir tada mes „pamatysime“ keletą modelių: Apibrėžimas . Jeigu skaičių apskritimo taškas M atitinka skaičių t, tai taško M abscisė vadinama skaičiaus t kosinusu ir žymimaсos t , o taško M ordinatė vadinama skaičiaus t sinusu ir žymima.
sint

Skaičių apskritimo ketvirčių sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ženklų lentelė: Koordinačių plokštumos apskritimo lygtis (1 apibrėžimas. Skaičių ašis skaičių eilutė, koordinačių eilutė) Ox yra tiesi linija, kurioje pasirinktas taškas O

kilmė (koordinačių pradžia) → x

(1 pav.), kryptis O išvardyti kaip teigiama kryptimi.

ir pažymimas atkarpa, kurios ilgis laikomas

ilgio vienetas 2 apibrėžimas. Atkarpa, kurios ilgis laikomas ilgio vienetu, vadinamas masteliu. Kiekvienas skaičių ašies taškas turi koordinatę, kuri yra

realus skaičius . Taško O koordinatė lygi nuliui. Savavališko taško A, gulinčio ant spindulio Ox, koordinatė yra lygi atkarpos OA ilgiui. Savavališko skaitinės ašies taško A, kuris nėra ant spindulio Ox, koordinatė yra neigiama ir absoliučia reikšme lygi atkarpos OA ilgiui. 3 apibrėžimas. Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema Oxy plokštumoje skambinkite abiem Ir statmenai skaitinės ašys Ox ir Oy su ta pati skalė bendra pradžia atgalinis skaičiavimas

Pastaba. Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema Oxy, parodyta 2 paveiksle, vadinama teisinga sistema koordinates, skirtingai nei kairiosios koordinačių sistemos, kuriame sijos Ox sukimas 90° kampu į siją Oy atliekamas pagal laikrodžio rodyklę. Šiame vadove mes laikome tik dešiniarankes koordinačių sistemas, konkrečiai to nenurodant.

Jei plokštumoje įvesime kokią nors stačiakampių Dekarto koordinačių sistemą Oxy, tai kiekvienas plokštumos taškas įgis dvi koordinates – abscisė Ir ordinatės, kurios apskaičiuojamos taip. Tegu A yra savavališkas plokštumos taškas. Iš taško A numeskime statmenis A.A. 1 ir A.A. 2 į tiesias linijas Ox ir Oy, atitinkamai (3 pav.).

4 apibrėžimas. Taško A abscisė yra taško koordinatė A 1 skaičių ašyje Ox, taško A ordinatė yra taško koordinatė A 2 skaičių ašyje Oy.

Paskyrimas Taško koordinatės (abscisės ir ordinatės). A stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy (4 pav.) dažniausiai žymimas A(x;y) arba A = (x; y).

Pastaba. Taškas O, vadinamas kilmės, turi koordinates kilmė (koordinačių pradžia)(0 ; 0) .

5 apibrėžimas. Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy skaičių ašis Ox vadinama abscisių ašimi, o skaitinė ašis Oy – ordinačių ašimi (5 pav.).

6 apibrėžimas. Kiekvienas yra stačiakampis Dekarto sistema koordinatės padalija plokštumą į 4 ketvirčius (kvadrantus), kurių numeracija parodyta 5 pav.

7 apibrėžimas. Plokštuma, kurioje pateikta stačiakampė Dekarto koordinačių sistema, vadinama koordinačių plokštuma.

Pastaba. Abscisių ašis koordinačių plokštumoje nurodoma lygtimi y= 0, ordinačių ašis koordinačių plokštumoje nurodoma lygtimi x = 0.

1 teiginys. Atstumas tarp dviejų taškų koordinačių plokštuma

A 1 (x 1 ;y 1) Ir A 2 (x 2 ;y 2)

apskaičiuotas pagal formulę

Įrodymas . Apsvarstykite 6 pav.

Vadinasi,

Q.E.D.

Koordinačių plokštumos apskritimo lygtis

Nagrinėkime koordinačių plokštumoje Oxy (7 pav.) R spindulio apskritimą, kurio centras yra taške A 0 (x 0 ;y 0) .

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Skaičių ratui 10 klasėje skiriama gana daug laiko. Taip yra dėl šio matematinio objekto reikšmės visam matematikos kursui.

Norint gerai įsisavinti medžiagą, didelę reikšmę turi teisingas mokymo priemonių pasirinkimas. Veiksmingiausios tokios priemonės yra vaizdo pamokos. IN pastaruoju metu jie pasiekia populiarumo viršūnę. Todėl autorius neatsiliko nuo laiko ir sukūrė tokį nuostabų vadovą, kuris padėtų matematikos mokytojams - vaizdo pamoką tema „Skaičių ratas koordinačių plokštumoje“.

Šios pamokos trukmė 15:22 min. Tai praktiškai didžiausias laikas, kurį mokytojas gali skirti savarankiškai aiškindamas medžiagą tam tikra tema. Kadangi naujos medžiagos paaiškinimas užima tiek daug laiko, būtina atrinkti tinkamiausias konsolidacijai. efektyvios užduotys ir pratimus, taip pat išryškinti dar vieną pamoką, kurioje mokiniai spręs užduotis šia tema.

Pamoka pradedama skaičių apskritimo atvaizdu koordinačių sistemoje. Autorius sukuria šį ratą ir paaiškina savo veiksmus. Tada autorius įvardija skaičių apskritimo susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Toliau paaiškinama, kokias koordinates turės apskritimo taškai skirtinguose ketvirčiuose.

Po to autorius primena, kaip atrodo apskritimo lygtis. O klausytojams pateikiami du modeliai, vaizduojantys kai kuriuos apskritimo taškus. Dėl šios priežasties kitame žingsnyje autorius parodo, kaip rasti atitinkamo apskritimo taškų koordinates tam tikrus skaičius pažymėta šablonuose. Taip gaunama apskritimo lygties kintamųjų x ir y verčių lentelė.

Toliau siūlome apsvarstyti pavyzdį, kai reikia nustatyti apskritimo taškų koordinates. Prieš pradedant spręsti pavyzdį, pateikiama pastaba, kuri padeda jį išspręsti. Ir tada ekrane pasirodo pilnas, aiškiai struktūrizuotas ir iliustruotas sprendimas. Čia taip pat yra lentelių, kurios padeda lengviau suprasti pavyzdžio esmę.

Tada svarstomi dar šeši pavyzdžiai, kurie yra mažiau darbo reikalaujantys nei pirmasis, bet ne mažiau svarbūs ir atspindintys pagrindinė idėja pamoka. Čia sprendimai pateikiami visiškai, su detali istorija ir su aiškumo elementais. Būtent sprendime yra brėžiniai, iliustruojantys sprendimo eigą, ir matematinis žymėjimas, formuojantis matematinis raštingumas studentai.

Mokytojas gali apsiriboti pamokoje aptartais pavyzdžiais, tačiau to gali nepakakti kokybiškam medžiagos mokymuisi. Todėl pasirinkti užduotis, kurias reikia sustiprinti, yra tiesiog be galo svarbu.

Pamoka gali būti naudinga ne tik mokytojams, kurių laikas nuolat ribojamas, bet ir mokiniams. Ypač tie, kurie gauna šeimos ugdymas arba užsiima savišvieta. Medžiaga gali naudotis tie mokiniai, kurie praleido pamoką šia tema.

TEKSTO IŠKODAVIMAS:

Mūsų pamokos tema „SKAIČIUS RATUMAS KOORDINAČIŲ PLOKTUTUJE“

Mes jau žinome Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą xOy (x o y). Šioje koordinačių sistemoje skaičių apskritimą nustatysime taip, kad apskritimo centras būtų sulygiuotas su koordinačių pradžia, o jo spindulys bus laikomas mastelio segmentu.

Skaičių apskritimo pradžios taškas A derinamas su tašku, kurio koordinatės (1;0), B - su tašku (0;1), C - su (-1;0) (minus vienas, nulis), o D - su (0; - 1) (nulis, minus vienas).

(žr. 1 pav.)

Kadangi kiekvienas skaičių apskritimo taškas turi savo koordinates xOy (x o y) sistemoje, tai pirmojo ketvirčio taškams ikx didesnis už nulį ir žaidimas yra didesnis nei nulis;

Antrasis ketvirtis ICH mažiau nei nulis ir žaidimas yra didesnis nei nulis,

trečiojo ketvirčio taškų ikx yra mažesnis už nulį, o yk yra mažesnis už nulį,

ir ketvirtąjį ketvirtį ikx yra didesnis už nulį, o yk yra mažesnis už nulį

Bet kurio skaičių apskritimo taško E (x;y) (su koordinatėmis x, y) nelygybės -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x yra didesnė arba lygi atėmus vieną, bet mažesnė už arba lygus vienetui, y yra didesnis arba lygus minus vienetui, bet mažesnis arba lygus vienam).

Prisiminkite, kad R spindulio apskritimo, kurio centras yra ištakoje, lygtis yra x 2 + y 2 = R 2 (x kvadratas plius y kvadratas lygus er kvadratui). Ir už vieneto ratas R = 1, taigi gauname x 2 + y 2 = 1

(x kvadratas plius y kvadratas lygus vienetui).

Suraskime skaičių apskritimo taškų koordinates, kurios pateiktos dviem maketais (žr. 2, 3 pav.)

Tegul taškas E, kuris atitinka

(pi iš keturių) - pirmojo ketvirčio vidurys, parodytas paveikslėlyje. Iš taško E nuleidžiame statmeną EK iki tiesės OA ir laikome trikampį OEK. Kampas AOE =45 0, nes lankas AE yra pusė lanko AB. Todėl trikampis OEK yra lygiašonis stačiakampis trikampis, kuriam OK = EC. Tai reiškia, kad taško E abscisės ir ordinatės yra lygios, t.y. x lygus žaidimui. Norėdami rasti taško E koordinates, išsprendžiame lygčių sistemą: (x lygus yrek - pirmoji sistemos lygtis ir x kvadratas plius yrek kvadratas lygus vienetui - antroji sistemos lygtis). , vietoj x pakeičiame y, gauname 2y 2 = 1 (du yyrek kvadratas yra lygus vienetui), iš kur y = = (y yra lygus vienetui, padalintam iš dviejų šaknies, yra lygus dviejų šaknims padalintas iš dviejų) (ordinatė yra teigiama). stačiakampė sistema koordinatės turi koordinates (,) (šaknis iš dviejų, padalintų iš dviejų, šaknis iš dviejų, padalytų iš dviejų).

Argumentuodami panašiai, randame kitų pirmojo išdėstymo skaičių atitinkančių taškų koordinates ir gauname: atitinkamas taškas yra su koordinatėmis (- ,) (atėmus šaknį iš dviejų, padalytą iš dviejų, šaknis iš dviejų, padalytą iš dviejų) ; for - (- ,-) (atėmus šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų, atėmus šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų); for (septyni pi virš keturių) (,) (šaknis du padalytas iš dviejų, minus šaknis du padalytas iš dviejų).

Tegul taškas D atitinka (5 pav.). Numeskime statmeną iš DP(de pe) į OA ir apsvarstykime trikampį ODP. Šio trikampio OD hipotenuzė lygi vienetinio apskritimo spinduliui, tai yra vienetui, o kampas DOP lygus trisdešimčiai laipsnių, nes lankas AD = skaitmuo AB (a de yra lygus trečdaliui a be), ir lankas AB lygus devyniasdešimčiai laipsnių. Todėl DP = (de pe yra lygi pusei O de yra lygi pusei) Kadangi koja yra priešais trisdešimties laipsnių kampą lygus pusei hipotenuzė, tai yra, y = (y lygus pusei). Taikydami Pitagoro teoremą gauname OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe kvadratas lygus o de kvadratas atėmus de pe kvadratą), bet ARBA = x (o pe lygus x). Tai reiškia, kad x 2 = OD 2 – DP 2 =

tai reiškia, kad x 2 = (x kvadratas yra lygus trims ketvirčiams) ir x = (x yra lygus trijų kartų dviejų šaknei).

X yra teigiamas, nes yra pirmame ketvirtyje. Mes nustatėme, kad taškas D stačiakampėje koordinačių sistemoje turi koordinates (,) šaknį iš trijų, padalytų iš dviejų, vienos pusės.

Panašiai samprotaudami surasime taškų koordinates, atitinkančias kitus antrojo išdėstymo skaičius, ir visus gautus duomenis surašysime į lenteles:

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 PAVYZDYS. Raskite skaičių apskritimo taškų koordinates: a) C 1 ();

b) C2(); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse vienas atitinka trisdešimt penkis pi iš keturių, tse du atitinka minus keturiasdešimt devynis pi iš trijų, tse trys atitinka keturiasdešimt vieną pi, tse keturi atitinka minus dvidešimt šešis pi).

Sprendimas. Pasinaudokime anksčiau gautu teiginiu: jei skaičių apskritimo taškas D atitinka skaičių t, tai jis atitinka bet kurį t + 2πk(te plius dvi smailės) formos skaičių, kur ka yra bet koks sveikasis skaičius, t.y. kϵZ (ka priklauso z).

a) Gauname = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trisdešimt penki pi padauginus keturi yra lygu trisdešimt penkis kartus keturi, padauginta iš pi yra aštuonių ir trijų ketvirčių suma, padauginta iš pi lygus trys pi kartojami keturi plius dviejų pi ir keturių sandauga. Tai reiškia, kad skaičius trisdešimt penki pi iš keturių atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką, kaip ir skaičius trys pi iš keturių. Naudodamiesi 1 lentele, gauname C 1 () = C 1 (- ;) .

b) Panašus į koordinates C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Tai reiškia, kad skaičius

atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius. Ir skaičius atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius

(rodyti antrąjį maketą ir 2 lentelę). Taškui turime x = , y =.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Tai reiškia, kad skaičius 41π atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius π – tai taškas su koordinatėmis (-1; 0).

d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), tai yra, skaičius - 26π atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius nulis - tai taškas su koordinatėmis (1; 0).

2 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo, kurio ordinatė y =, taškus

Sprendimas. Tiesė y = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Vienas taškas atitinka skaičių, antras taškas atitinka skaičių,

Todėl visus taškus gauname pridėję pilną posūkį 2πk, kur k parodo kiek pilnos revoliucijos deda tašką, t.y. gauname

o bet kuriam skaičiui visi + 2πk formos skaičiai. Dažnai tokiais atvejais jie sako, kad gavo dvi verčių serijas: + 2πk, + 2πk.

PAVYZDYS 3. Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis x = ir užrašykite, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Sprendimas. Tiesiai X= kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Vienas taškas atitinka skaičių (žr. antrąjį išdėstymą),

ir todėl bet koks skaičius formos + 2πk. O antrasis taškas atitinka skaičių, taigi ir bet kurį skaičių + 2πk. Šias dvi verčių serijas galima aprėpti viename įraše: ± + 2πk (plius minus du pi iš trijų plius du pi).

4 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo taškus su ordinatėmis adresu> ir užsirašykite, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Tiesė y = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. O nelygybė y > atitinka atvirojo lanko taškus MR, tai reiškia lankus be galų (tai yra be u), judant aplink apskritimą prieš laikrodžio rodyklę. , pradedant nuo taško M ir baigiant tašku P. Tai reiškia, kad lanko MR analitinio žymėjimo šerdis yra nelygybė< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

5 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo ordinatės taškus adresu < и записать, каким числам t они соответствуют.

Tiesė y = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Ir nelygybė y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

6 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis X> ir užsirašykite, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Tiesė x = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Nelygybė x > atitinka atvirojo lanko taškus PM judant išilgai apskritimo prieš laikrodžio rodyklę su pradžia taške P, kuris atitinka, o pabaiga taške M, kuris atitinka. Tai reiškia, kad PM lanko analitinio žymėjimo esmė yra nelygybė< t <

(te yra didesnis nei atėmus du pi iš trijų, bet mažesnis nei du pi iš trijų), o pats lanko analitinis žymėjimas yra + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

7 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritime taškus su abscisėmis X < и записать, каким числам t они соответствуют.

Tiesė x = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Nelygybė x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te yra daugiau nei du pi iš trijų, bet mažiau nei keturi pi iš trijų), o pats lanko analitinis žymėjimas yra + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Skaičių ratas yra vienetinis apskritimas, kurio taškai atitinka tam tikrus realiuosius skaičius.

Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1.

Bendras skaičių apskritimo vaizdas.

1) Jo spindulys imamas matavimo vienetu.

2) Horizontalus ir vertikalus skersmuo padalija skaičių apskritimą į keturis ketvirčius (žr. pav.). Jie atitinkamai vadinami pirmuoju, antruoju, trečiuoju ir ketvirtuoju ketvirčiu.

3) Horizontalus skersmuo žymimas AC, o A yra dešinysis taškas.
Vertikalus skersmuo žymimas BD, o B yra aukščiausias taškas.
Atitinkamai:

pirmasis ketvirtis yra lankas AB

antrasis ketvirtis – lankas pr

trečiasis ketvirtis – lankinis kompaktinis diskas

ketvirtasis ketvirtis – lankas DA

4) Skaičių apskritimo pradžios taškas yra taškas A.

Skaičiavimas pagal skaičių apskritimą gali būti atliekamas pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę.
Skaičiavimas nuo taško A prieš laikrodžio rodyklę vadinamas teigiama kryptimi.
Skaičiavimas nuo taško A pagal laikrodžio rodyklę vadinamas neigiama kryptis.

Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje.

Skaičių apskritimo spindulio centras atitinka pradžią (skaičius 0).

Horizontalus skersmuo atitinka ašį x, vertikalios – ašys y.

Skaičių apskritimo pradžios taškas A yra ašyje x ir turi koordinates (1; 0).

Vertybėsx Iry skaičių apskritimo ketvirčiais:

Pagrindiniai skaičių apskritimo dydžiai:

Skaičių apskritimo pagrindinių taškų pavadinimai ir vietos:

Kaip atsiminti skaičių ratų pavadinimus.

Yra keletas paprastų modelių, kurie padės lengvai prisiminti pagrindinius skaičių apskritimo pavadinimus.

Prieš pradėdami, priminsime: skaičiavimas atliekamas teigiama kryptimi, tai yra, nuo taško A (2π) prieš laikrodžio rodyklę.

1) Pradėkime nuo kraštutinių taškų koordinačių ašyse.

Pradinis taškas yra 2π (dešinėje esantis ašies taškas X, lygus 1).

Kaip žinote, 2π yra apskritimo perimetras. Tai reiškia, kad pusė apskritimo yra 1π arba π. Ašis X padalija apskritimą lygiai per pusę. Atitinkamai, kairiausias ašies taškas X lygus -1 vadinamas π.

Aukščiausias ašies taškas adresu, lygus 1, padalija viršutinį puslankį per pusę. Tai reiškia, kad jei puslankis yra π, tai pusė puslankio yra π/2.

Tuo pačiu metu π/2 taip pat yra ketvirtis apskritimo. Suskaičiuokime tris tokius ketvirčius nuo pirmo iki trečio – ir pateksime į žemiausią ašies tašką adresu, lygus -1. Bet jei jis apima tris ketvirčius, tada jo pavadinimas yra 3π/2.

2) Dabar pereikime prie likusių punktų. Atkreipkite dėmesį: visi priešingi taškai turi tą patį skaitiklį – ir tai yra priešingi taškai ašies atžvilgiu adresu, tiek ašių centro atžvilgiu, tiek ašies atžvilgiu X. Tai padės mums sužinoti jų taškų reikšmes neįkišant.

Reikia tik atsiminti pirmojo ketvirčio taškų reikšmę: π/6, π/4 ir π/3. Ir tada mes „pamatysime“ keletą modelių:

- y ašies atžvilgiu antrojo ketvirčio taškuose, priešingai nei pirmojo ketvirčio taškuose, skaitikliuose esantys skaičiai yra 1 mažesni už vardiklių dydį. Pavyzdžiui, paimkite tašką π/6. Jam priešingas taškas ašies atžvilgiu adresu taip pat turi 6 vardiklyje ir 5 skaitiklyje (1 mažiau). Tai yra, šio taško pavadinimas yra: 5π/6. Taškas, esantis priešais π/4, taip pat turi 4 vardiklyje ir 3 skaitiklyje (1 mažesnis nei 4) – tai yra, tai yra 3π/4 taškas.
Taškas, esantis priešais π/3, taip pat turi 3 vardiklyje ir 1 mažiau skaitiklyje: 2π/3.

- Koordinačių ašių centro atžvilgiu viskas yra atvirkščiai: priešingų taškų skaitikliuose esantys skaičiai (trečiajame ketvirtyje) yra 1 didesni už vardiklių reikšmę. Vėl paimkime tašką π/6. Jam priešingo taško centro atžvilgiu taip pat yra 6 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra 1 didesnis - tai yra 7π/6.

Taškas, esantis priešais tašką π/4, taip pat turi 4 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra dar 1: 5π/4.
Taškas, esantis priešais tašką π/3, taip pat turi 3 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra dar 1: 4π/3.

- Ašies atžvilgiu X(ketvirtasis ketvirtis) reikalas sudėtingesnis. Čia prie vardiklio vertės reikia pridėti skaičių, kuris yra 1 mažesnis - ši suma bus lygi priešingo taško skaitiklio skaitinei daliai. Vėl pradėkime nuo π/6. Prie vardiklio reikšmės, lygios 6, pridėkime skaičių, kuris yra 1 mažesnis už šį skaičių – tai yra 5. Gauname: 6 + 5 = 11. Tai reiškia, kad jis yra priešingas ašiai X taško vardiklyje bus 6, o skaitiklyje - 11 – tai yra 11π/6.

Taškas π/4. Prie vardiklio reikšmės pridedame skaičių 1 mažesnį: 4 + 3 = 7. Tai reiškia, kad jis yra priešingas ašiai X taško vardiklyje yra 4, o skaitiklyje - 7 – tai yra 7π/4.
Taškas π/3. Vardiklis yra 3. Prie 3 pridedame mažesnį skaičių vienu – tai yra 2. Gauname 5. Tai reiškia, kad jam priešingo taško skaitiklyje yra 5 – ir tai yra taškas 5π/3.

3) Kitas ketvirčių vidurio taškų taškų modelis. Aišku, kad jų vardiklis yra 4. Atkreipkime dėmesį į skaitiklius. Pirmojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 1π (bet nėra įprasta rašyti 1). Antrojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 3π. Trečiojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 5π. Ketvirtojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 7π. Pasirodo, kad vidurinių ketvirčių skaitikliuose yra pirmieji keturi nelyginiai skaičiai didėjančia tvarka:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Tai taip pat labai paprasta. Kadangi visų ketvirčių vidurio taškai vardiklyje turi 4, mes jau žinome jų pilnus pavadinimus: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Skaičių apskritimo ypatybės. Palyginimas su skaičių eilute.

Kaip žinote, skaičių eilutėje kiekvienas taškas atitinka vieną skaičių. Pavyzdžiui, jei tiesės taškas A lygus 3, tai jis nebegali būti lygus jokiam kitam skaičiui.

Skaičių apskritimas skiriasi, nes tai yra apskritimas. Pavyzdžiui, norėdami patekti iš apskritimo taško A į tašką M, galite tai padaryti tarsi tiesia linija (tik eidami lanką) arba galite apeiti visą apskritimą ir tada patekti į tašką M. Išvada:

Tegul taškas M lygus kokiam nors skaičiui t. Kaip žinome, apskritimo perimetras yra 2π. Tai reiškia, kad tašką t ant apskritimo galime užrašyti dviem būdais: t arba t + 2π. Tai lygiavertės vertės.
Tai yra, t = t + 2π. Skirtumas tik tas, kad pirmuoju atveju tu iš karto atėjai į tašką M, nesudarydamas apskritimo, o antruoju atveju apsukai, bet atsidūrei tame pačiame taške M. Tokių galite padaryti du, tris ar du šimtus. apskritimai . Jei apskritimų skaičių pažymėsime raide k, tada gauname naują išraišką:
t = t + 2π k.

Taigi formulė:

Skaičių apskritimo lygtis
(antroji lygtis yra skyriuje „Sine, kosinusas, liestinė, kotangentas“):