Mediana yra atkarpa, nubrėžta nuo trikampio viršūnės iki priešingos kraštinės vidurio, tai yra, susikirtimo taške dalija ją pusiau. Taškas, kuriame susikerta mediana priešais viršų ta pusė, iš kurios jis atsiranda, vadinama pagrindu. Kiekviena trikampio mediana eina per vieną tašką, vadinamą susikirtimo tašku. Jo ilgio formulė gali būti išreikšta keliais būdais.

Medianos ilgio išreiškimo formulės

Dažnai geometrijos uždaviniuose studentai turi susidoroti su segmentu, pavyzdžiui, trikampio mediana. Jo ilgio formulė išreiškiama kraštinėmis:

kur a, b ir c yra kraštinės. Be to, c yra pusė, į kurią patenka mediana. Štai kaip atrodo paprasta formule. Pagalbiniams skaičiavimams kartais reikalingos trikampio medianos. Yra ir kitų formulių.

Jei skaičiavimo metu žinomos dvi trikampio kraštinės ir tam tikras kampas α, esantis tarp jų, tada trikampio vidurio ilgis, nuleistas į trečiąją kraštinę, bus išreikštas taip.

Pagrindinės savybės

Visos medianos turi vieną bendras taškas O ir jo sankirtos dalijamos santykiu du su vienu, jei skaičiuosime nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas trikampio svorio centru.
Mediana padalija trikampį į du kitus, kurių plotai yra lygūs. Tokie trikampiai vadinami lygaus ploto.
Jei nubrėžsite visas medianas, trikampis bus padalintas į 6 vienodo dydžio figūros, kurie taip pat bus trikampiai.
Jei visos trys trikampio kraštinės yra lygios, tada kiekviena mediana taip pat bus aukštinė ir pusiaukampinė, tai yra, statmena kraštinei, į kurią jis nubrėžtas, ir padalija kampą, iš kurio jis iškyla, pusiau.
IN lygiašonis trikampis mediana, nukritusi iš viršūnės, esančios priešingoje pusėje, kuri nėra lygi jokiai kitai, taip pat bus aukštis ir pusiausvyra. Iš kitų viršūnių nukritusios medianos yra lygios. Tai taip pat būtina ir pakankama būklė lygiašoniai.
Jei trikampis yra pagrindas taisyklinga piramidė, tada aukštis, nuleistas iki nurodyto pagrindo, projektuojamas iki visų medianų susikirtimo taško.

Stačiakampiame trikampyje mediana nubrėžta iki didžiausia pusė, lygus pusei jo ilgio.
Tegu O yra trikampio medianų susikirtimo taškas. Žemiau pateikta formulė bus teisinga bet kuriam taškui M.

Trikampio mediana turi kitą savybę. Jo ilgio kvadrato per kraštinių kvadratus formulė pateikta žemiau.

Kraštinių, į kuriuos brėžiama mediana, savybės

Jei bet kuriuos du medianų susikirtimo taškus sujungsite su kraštinėmis, kuriose jie nukrito, tada gauta atkarpa bus trikampio vidurio linija ir bus pusė trikampio kraštinės, su kuria jis neturi bendrų taškų.
Trikampio aukščių ir medianų pagrindai, taip pat atkarpų, jungiančių trikampio viršūnes su aukščių susikirtimo tašku, vidurio taškai yra tame pačiame apskritime.

Apibendrinant logiška teigti, kad vienas iš svarbiausių segmentų yra trikampio mediana. Pagal jo formulę galima rasti kitų kraštinių ilgius.

Trikampis – daugiakampis su trimis kraštinėmis arba uždaras nutrūkusi linija su trimis grandimis, arba figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, jungiančių tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje (žr. 1 pav.).

Pagrindiniai trikampio abc elementai

Viršūnės – taškai A, B ir C;

Vakarėliai – viršūnes jungiančios atkarpos a = BC, b = AC ir c = AB;

Kampai – α, β, γ suformuotos iš trijų kraštinių porų. Kampai dažnai žymimi taip pat, kaip ir viršūnės, raidėmis A, B ir C.

Kampas, sudarytas iš trikampio kraštinių ir esantis jo vidinėje srityje, vadinamas vidiniu kampu, o esantis greta jo – gretimu trikampio kampu (2, p. 534).

Trikampio aukščiai, medianos, pusiausvyros ir vidurio linijos

Be pagrindinių trikampio elementų, taip pat atsižvelgiama į kitus segmentus su įdomiomis savybėmis: aukščius, medianas, pusiausvyras ir vidurio linijas.

Aukštis

Trikampio aukščiai- tai statmenai, nuleisti iš trikampio viršūnių į priešingas puses.

Norėdami nubrėžti aukštį, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) nubrėžkite tiesią liniją, kurioje yra viena iš trikampio kraštinių (jei aukštis nubrėžtas iš viršūnės aštrus kampas bukas trikampis);

2) iš viršūnės, esančios priešais nubrėžtą liniją, nubrėžkite atkarpą nuo taško iki šios linijos, sudarydami su ja 90 laipsnių kampą.

Taškas, kuriame aukštis kerta trikampio kraštinę, vadinamas aukščio pagrindas (žr. 2 pav.).

Trikampio aukščių savybės

Stačiakampiame trikampyje aukštis, nubrėžtas iš viršūnės stačiu kampu, padalija jį į du trikampius, panašius į pradinį trikampį.

Smailiame trikampyje jo du aukščiai atskiria panašius trikampius.

Jei trikampis yra smailus, tada visi aukščių pagrindai priklauso trikampio kraštinėms ir bukas trikampis ant šonų tęsinio krenta du aukščiai.

Trys aukščiai aštrus trikampis susikerta viename taške ir šis taškas vadinamas ortocentras trikampis.

Mediana

Medianos(iš lot. mediana – „viduris“) – tai atkarpos, jungiančios trikampio viršūnes su priešingų kraštinių vidurio taškais (žr. 3 pav.).

Norėdami sukurti medianą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) rasti šono vidurį;

2) tašką, kuris yra trikampio kraštinės vidurys su priešinga viršūne, sujunkite atkarpa.

Trikampio medianų savybės

Mediana padalija trikampį į du vienodo ploto trikampius.

Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas svorio centras trikampis.

Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.

Bisektorius

Bisektoriai(iš lot. bis – du kartus ir seko – pjūvis) yra tiesios linijos atkarpos, uždarytos trikampio viduje, dalijančios jo kampus (žr. 4 pav.).

Norėdami sukurti pusiausvyrą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) sukonstruoti spindulį, išeinantį iš kampo viršūnės ir padalijantį jį į dvi lygias dalis (kampo pusiausvyrą);

2) raskite trikampio kampo su priešinga kraštine susikirtimo tašką;

3) pasirinkite atkarpą, jungiančią trikampio viršūnę su susikirtimo tašku priešingoje pusėje.

Trikampių bisektorių savybės

Trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę santykiu lygus santykiui dvi gretimos pusės.

Trikampio vidinių kampų pusiausvyros susikerta viename taške. Šis taškas vadinamas įbrėžto apskritimo centru.

Vidinių ir išorinių kampų pusiausvyros yra statmenos.

Jei trikampio išorinio kampo bisektorius kerta priešingos kraštinės tęsinį, tai ADBD=ACBC.

Vieno vidinio ir dviejų pusiausvyros išoriniai kampai trikampiai susikerta viename taške. Šis taškas yra vieno iš trijų šio trikampio apskritimų centras.

Dviejų trikampio vidinių ir vieno išorinių kampų pusiaukampių pagrindai yra toje pačioje tiesėje, jei išorinio kampo pusiausvyra nėra lygiagreti priešingai trikampio kraštinei.

Jei trikampio išorinių kampų pusiausvyros nėra lygiagrečios priešingoms kraštinėms, tada jų pagrindai yra toje pačioje tiesėje.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninė informacija bet kada susisiekus su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

1. Mediana padalija trikampį į du vienodo ploto trikampius.

2. Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas svorio centras trikampis.

3. Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.

Trikampių bisektorių savybės

1. Kampo pusiausvyra yra lokusas taškai, esantys vienodu atstumu nuo šio kampo kraštinių.

2. Bisektorius vidinis kampas trikampis padalija priešingą kraštinę į atkarpas, proporcingas gretimoms kraštinėms: .

3. Trikampio pusiaukampių susikirtimo taškas yra įbrėžto į šį trikampį apskritimo centras.

Trikampio aukščių savybės

1. Stačiakampį trikampį aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, padalija jį į du trikampius, panašius į pradinį.

2. Smailiame trikampyje du jo aukščiai atkerta iš jo panašius trikampiai.

Savybės statmenos pusiausvyros trikampis

1. Kiekvienas atkarpai statmenos pusės taškas yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų. Taip pat yra atvirkščiai: kiekvienas taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant jai statmenos pusės.

2. Į trikampio kraštines nubrėžtų statmenų bisektorių susikirtimo taškas yra apie šį trikampį apibrėžto apskritimo centras.

Trikampio vidurio linijos savybė

Trikampio vidurio linija lygiagreti vienai iš jo kraštinių ir lygi pusei tos kraštinės.

Trikampių panašumas

Du trikampiai panašus jei vienas iš šių dalykų yra teisingas šias sąlygas, paskambino panašumo požymiai:

· du vieno trikampio kampai yra lygūs dviem kito trikampio kampams;

· dvi vieno trikampio kraštinės yra proporcingos kito trikampio dviem kraštinėms, o šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs;

· trys vieno trikampio kraštinės yra atitinkamai proporcingos kito trikampio trims kraštinėms.

IN panašūs trikampiai atitinkamos tiesės (aukštys, medianos, pusiausvyros ir kt.) yra proporcingos.

Sinusų teorema

Kosinuso teorema

a 2= b 2+ c 2- 2bc cos

Trikampio ploto formules

1. Nemokamas trikampis

a, b, c -šonai; - kampas tarp šonų a Ir b; - pusiau perimetras; R- apibrėžto apskritimo spindulys; r-įbrėžto apskritimo spindulys; S- kvadratas; h a - traukiamas aukštis pusėje a.