Vienas iš patogiausių kvadratinių nelygybių sprendimo būdų yra grafinis metodas. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip išspręsti kvadratines nelygybes grafiškai. Pirmiausia aptarkime, kokia yra šio metodo esmė. Toliau pateiksime algoritmą ir panagrinėsime kvadratinių nelygybių sprendimo pavyzdžius grafiškai.

Puslapio naršymas.

Grafinio metodo esmė

Iš viso grafinis nelygybių sprendimo būdas su vienu kintamuoju naudojamas ne tik kvadratinėms nelygybėms spręsti, bet ir kitoms nelygybėms. Grafinio nelygybių sprendimo metodo esmė kitas: apsvarstykite funkcijas y=f(x) ir y=g(x), kurios atitinka kairįjį ir dešinėje pusėje nelygybes, sudaryti jų grafikus viename stačiakampė sistema koordinates ir sužinokite, kokiais intervalais yra vieno iš jų grafikas žemiau ar virš kito. Tie intervalai, kur

• funkcijos f grafikas virš funkcijos g grafiko yra nelygybės f(x)>g(x) sprendiniai;
• funkcijos f grafikas ne žemesnis už funkcijos g grafiką yra nelygybės f(x)≥g(x) sprendiniai;
• f grafikas žemiau g grafiko yra nelygybės f(x) sprendiniai
• funkcijos f grafikas ne aukštesnis už funkcijos g grafiką yra nelygybės f(x)≤g(x) sprendiniai.

Taip pat sakysime, kad funkcijų f ir g grafikų susikirtimo taškų abscisės yra lygties f(x)=g(x) sprendiniai.

Perkelkime šiuos rezultatus į mūsų atvejį – kad išspręstume kvadratinę nelygybę a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Pristatome dvi funkcijas: pirmoji y=a x 2 +b x+c (su f(x)=a x 2 +b x+c), atitinkanti kairę kvadratinės nelygybės pusę, antroji y=0 (su g ( x)=0 ) atitinka dešinę nelygybės pusę. Tvarkaraštis kvadratinė funkcija f yra parabolė ir grafikas pastovi funkcija g – tiesė, sutampanti su abscisių ašimi Ox.

Toliau, pagal grafinį nelygybių sprendimo būdą, reikia išanalizuoti, kokiais intervalais vienos funkcijos grafikas yra aukščiau ar žemiau kitos, kas leis užrašyti norimą kvadratinės nelygybės sprendinį. Mūsų atveju turime išanalizuoti parabolės padėtį Ox ašies atžvilgiu.

Priklausomai nuo koeficientų a, b ir c reikšmių, galimi šie šeši variantai (mūsų poreikiams pakanka scheminio pavaizdavimo ir mums nereikia vaizduoti Oy ašies, nes jos padėtis neturi įtakos nelygybės sprendimai):

Šiame brėžinyje matome parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų ir kuri kerta Ox ašį dviejuose taškuose, kurių abscisės yra x 1 ir x 2. Šis brėžinys atitinka variantą, kai koeficientas a yra teigiamas (jis yra atsakingas už parabolės šakų kryptį aukštyn), o kai reikšmė yra teigiama kvadratinio trinalio diskriminantas a x 2 +b x+c (šiuo atveju trinaris turi dvi šaknis, kurias pažymėjome kaip x 1 ir x 2, ir padarėme prielaidą, kad x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Aiškumo dėlei raudonai pavaizduokime parabolės dalis, esančias virš x ašies, o mėlynai – tas, kurios yra žemiau x ašies.


Dabar išsiaiškinkime, kurie intervalai atitinka šias dalis. Šis piešinys padės jums juos atpažinti (ateityje mes mintyse darysime panašius pasirinkimus stačiakampių pavidalu):


Taigi abscisių ašyje du intervalai (−∞, x 1) ir (x 2 , +∞) buvo paryškinti raudonai, ant jų parabolė yra virš Ox ašies, jie sudaro kvadratinės nelygybės a x 2 +b x sprendimą. +c>0 , o intervalas (x 1 , x 2) paryškintas mėlyna spalva, po Ox ašimi yra parabolė, kuri reiškia nelygybės a x 2 + b x + c sprendimą<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

O dabar trumpai: a>0 ir D=b 2 −4 a c>0 (arba D"=D/4>0 lyginiam koeficientui b)

• kvadratinės nelygybės a x 2 +b x+c>0 sprendinys yra (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) arba kitu žymėjimu x x2;
• kvadratinės nelygybės a x 2 +b x+c≥0 sprendinys yra (−∞, x 1 ]∪ arba kitu žymėjimu x 1 ≤x≤x 2 ,

kur x 1 ir x 2 yra kvadratinio trinalio a x 2 +b x+c ir x 1 šaknys


Čia matome parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų ir kuri liečia abscisių ašį, tai yra, su ja turi vieną bendrą tašką, šio taško abscisę pažymime kaip x 0. Pateiktas atvejis atitinka a>0 (šakos nukreiptos į viršų) ir D=0 ( kvadratinis trinaris turi vieną šaknį x 0 ). Pavyzdžiui, galite paimti kvadratinę funkciją y=x 2 −4·x+4, čia a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 ir x 0 =2.

Brėžinyje aiškiai matyti, kad parabolė yra virš Ox ašies visur, išskyrus sąlyčio tašką, tai yra intervaluose (-∞, x 0), (x 0, ∞). Aiškumo dėlei paryškinkime sritis brėžinyje pagal analogiją su ankstesne pastraipa.


Darome išvadas: kai a>0 ir D=0

• kvadratinės nelygybės a·x 2 +b·x+c>0 sprendinys yra (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) arba kitu žymėjimu x≠x 0;
• kvadratinės nelygybės a·x 2 +b·x+c≥0 sprendinys yra (−∞, +∞) arba kitu žymėjimu x∈R ;
• kvadratinė nelygybė a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• kvadratinė nelygybė a x 2 +b x+c≤0 turi unikalų sprendinį x=x 0 (jis pateikiamas pagal liesties tašką),

čia x 0 yra kvadratinio trinalio a x 2 + b x + c šaknis.


Šiuo atveju parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jos neturi bendrų taškų su abscisių ašimi. Čia turime sąlygas a> 0 (šakos nukreiptos aukštyn) ir D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Akivaizdu, kad parabolė yra virš Ox ašies per visą savo ilgį (nėra intervalų, kuriais ji būtų žemiau Ox ašies, nėra liesties taško).


Taigi, jei a> 0 ir D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 ir a x 2 +b x+c≥0 yra visų aibė realūs skaičiai, o nelygybės a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Ir lieka trys parabolės vietos variantai, kai šakos nukreiptos žemyn, o ne aukštyn, atsižvelgiant į Jaučio ašį. Iš esmės į juos nereikia atsižvelgti, nes padauginus abi nelygybės puses iš −1, galime pereiti prie lygiavertės nelygybės su teigiamu koeficientu x 2. Bet vis tiek nepakenks susidaryti supratimą apie šiuos atvejus. Argumentai čia panašūs, todėl surašysime tik pagrindinius rezultatus.

Sprendimo algoritmas

Visų ankstesnių skaičiavimų rezultatas yra kvadratinių nelygybių grafinio sprendimo algoritmas:

Koordinačių plokštumoje daromas schematinis brėžinys, kuriame pavaizduota Ox ašis (Oy ašies vaizduoti nebūtina) ir kvadratinę funkciją y=a·x 2 +b·x+c atitinkančios parabolės eskizas. Norint nupiešti parabolės eskizą, pakanka išsiaiškinti du dalykus:

• Pirma, pagal koeficiento a reikšmę nustatoma, kur nukreiptos jo šakos (a>0 - aukštyn, a<0 – вниз).
• Antra, pagal kvadratinio trinalio a x 2 + b x + c diskriminanto reikšmę nustatoma, ar parabolė kerta abscisių ašį dviejuose taškuose (kai D>0), ar liečia ją viename taške (kai D=0) , arba neturi bendrų taškų su Jaučio ašimi (D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении griežta nelygybė, arba įprasta sprendžiant negriežtas nelygybes.

• Kai piešinys bus paruoštas, naudokite jį antrame algoritmo žingsnyje

  • sprendžiant kvadratinę nelygybę a·x 2 +b·x+c>0, nustatomi intervalai, kuriuose parabolė yra virš abscisės;
  • sprendžiant nelygybę a·x 2 +b·x+c≥0, nustatomi intervalai, kuriais parabolė yra virš abscisių ašies, ir susikirtimo taškų abscisės (arba liestinės taško abscisės) pridedamos prie juos;
  • sprendžiant nelygybę a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • galiausiai, sprendžiant kvadratinę nelygybę formos a·x 2 +b·x+c≤0, randami intervalai, kuriuose parabolė yra žemiau Ox ašies ir susikirtimo taškų abscisės (arba liestinės taško abscisės). ) pridedamas prie jų;

  jie sudaro norimą kvadratinės nelygybės sprendimą, o jei tokių intervalų ir liesties taškų nėra, tada pradinė kvadratinė nelygybė sprendinių neturi.

Belieka išspręsti kelias kvadratines nelygybes naudojant šį algoritmą.

Pavyzdžiai su sprendimais

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę .

Sprendimas.

Turime išspręsti kvadratinę nelygybę, panaudokime ankstesnės pastraipos algoritmą. Pirmame žingsnyje turime nubraižyti kvadratinės funkcijos grafiką . Koeficientas x 2 lygus 2, jis yra teigiamas, todėl parabolės šakos nukreiptos aukštyn. Taip pat išsiaiškinkime, ar parabolė turi bendrų taškų su x ašimi, kad tai padarytume, apskaičiuosime kvadratinio trinalio diskriminantą . Turime . Diskriminantas pasirodė esąs didesnis už nulį Todėl trinaris turi dvi realias šaknis: Ir , tai yra, x 1 =−3 ir x 2 =1/3.

Iš to aišku, kad parabolė kerta Ox ašį dviejuose taškuose su abscisėmis −3 ir 1/3. Šiuos taškus brėžinyje pavaizduosime kaip paprastus taškus, nes sprendžiame negriežtą nelygybę. Remdamiesi patikslintais duomenimis, gauname tokį brėžinį (jis atitinka pirmąjį šabloną iš pirmos straipsnio pastraipos):

Pereikime prie antrojo algoritmo žingsnio. Kadangi sprendžiame negriežtą kvadratinę nelygybę su ženklu ≤, turime nustatyti intervalus, kuriais parabolė yra žemiau abscisių ašies, ir prie jų pridėti susikirtimo taškų abscises.

Iš brėžinio aišku, kad parabolė yra žemiau abscisių ašies intervale (-3, 1/3) ir prie jo pridedame susikirtimo taškų abscises, tai yra skaičius -3 ir 1/3. Dėl to gauname skaitinį intervalą [−3, 1/3] . Tai yra sprendimas, kurio mes ieškome. Ją galima parašyti kaip dvigubą nelygybę −3≤x≤1/3.

Atsakymas:

[−3, 1/3] arba −3≤x≤1/3 .

Pavyzdys.

Raskite kvadratinės nelygybės −x 2 +16 x −63 sprendinį<0 .

Sprendimas.

Kaip įprasta, pradedame nuo piešinio. Skaitinis kintamojo kvadrato koeficientas yra neigiamas –1, todėl parabolės šakos nukreiptos žemyn. Apskaičiuokime diskriminantą, o dar geriau – ketvirtąją jo dalį: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Jo reikšmė teigiama, apskaičiuokime kvadratinio trinalio šaknis: Ir , x 1 =7 ir x 2 =9. Taigi parabolė kerta Jaučio ašį dviejuose taškuose su abscisėmis 7 ir 9 (pradinė nelygybė yra griežta, todėl šiuos taškus pavaizduosime tuščiu centru. Dabar galime padaryti scheminį brėžinį:

Kadangi mes sprendžiame griežtą kvadratinę nelygybę su ženklu<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Brėžinyje parodyta, kad pradinės kvadratinės nelygybės sprendiniai yra du intervalai (−∞, 7) , (9, +∞) .

Atsakymas:

(−∞, 7)∪(9, +∞) arba kitu žymėjimu x<7 , x>9 .

Sprendžiant kvadratines nelygybes, kai kvadratinio trinalio diskriminantas kairėje pusėje yra lygus nuliui, turite būti atsargūs, įtraukdami arba neįtraukdami į atsakymą liestinės taško abscises. Tai priklauso nuo nelygybės ženklo: jei nelygybė yra griežta, tai nėra nelygybės sprendimas, o jei ji nėra griežta, tai yra.

Pavyzdys.

Ar kvadratinė nelygybė 10 x 2 −14 x+4,9≤0 turi bent vieną sprendinį?

Sprendimas.

Nubraižykime funkciją y=10 x 2 −14 x+4,9. Jo šakos nukreiptos į viršų, nes koeficientas x 2 yra teigiamas, o abscisių ašį jis liečia taške, kurio abscisė yra 0,7, nes D"=(−7) 2 −10 4,9=0, iš kur arba 0,7 formoje iš dešimtainės trupmenos schematiškai atrodo taip:

Kadangi sprendžiame kvadratinę nelygybę su ženklu ≤, jos sprendimas bus intervalai, kuriuose parabolė yra žemiau Ox ašies, taip pat liestinės taško abscisė. Iš brėžinio aišku, kad nėra nė vieno tarpelio, kur parabolė būtų žemiau Ox ašies, todėl jos sprendimas bus tik liestinės taško abscisė, tai yra 0,7.

Atsakymas:

ši nelygybė turi unikalų sprendimą 0.7.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę nelygybę –x 2 +8 x−16<0 .

Sprendimas.

Vadovaujamės kvadratinių nelygybių sprendimo algoritmu ir pradedame nuo grafiko sudarymo. Parabolės šakos nukreiptos žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas, −1. Raskime kvadratinio trinalio diskriminantą –x 2 +8 x−16, turime D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 ir tada x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Taigi, parabolė paliečia Jaučio ašį 4 abscisių taške. Padarykime piešinį:

Žiūrime į pradinės nelygybės ženklą, jis yra<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Mūsų atveju tai atviri spinduliai (−∞, 4) , (4, +∞) . Atskirai pažymime, kad 4 - sąlyčio taško abscisė - nėra sprendimas, nes sąlyčio taške parabolė nėra žemesnė už Ox ašį.

Atsakymas:

(−∞, 4)∪(4, +∞) arba kitu žymėjimu x≠4 .

Ypatingą dėmesį atkreipkite į atvejus, kai kvadratinio trinalio diskriminantas kairėje kvadratinės nelygybės pusėje mažiau nei nulis. Nereikia čia skubėti ir sakyti, kad nelygybė neturi sprendinių (tokią išvadą esame įpratę daryti kvadratinėms lygtims su neigiamu diskriminantu). Esmė ta, kad kvadratinė nelygybė D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Pavyzdys.

Raskite kvadratinės nelygybės 3 x 2 +1>0 sprendinį.

Sprendimas.

Kaip įprasta, mes pradedame nuo piešinio. Koeficientas a yra 3, jis yra teigiamas, todėl parabolės šakos nukreiptos aukštyn. Apskaičiuojame diskriminantą: D=0 2 −4·3·1=−12 . Kadangi diskriminantas yra neigiamas, parabolė neturi bendrų taškų su Ox ašimi. Gautos informacijos pakanka scheminiam grafikui:

Griežtą kvadratinę nelygybę išsprendžiame su > ženklu. Jo sprendimas bus visi intervalai, kuriuose parabolė yra virš Ox ašies. Mūsų atveju parabolė yra virš x ašies per visą ilgį, todėl norimas sprendimas bus visų realiųjų skaičių aibė.

Jautis , taip pat prie jų reikia pridėti susikirtimo taškų abscises arba liestinės abscises. Bet iš brėžinio aiškiai matyti, kad tokių intervalų nėra (kadangi parabolė yra visur žemiau abscisių ašies), lygiai taip pat nėra susikirtimo taškų, kaip nėra ir lietimo taškų. Todėl pradinė kvadratinė nelygybė sprendinių neturi.

Atsakymas:

sprendinių nėra arba kitame įraše ∅.

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Vidutinis lygis

Kvadratinės nelygybės. „The Ultimate Guide“ (2019 m.)

Norėdami išsiaiškinti, kaip išspręsti kvadratines lygtis, turime suprasti, kas yra kvadratinė funkcija ir kokias savybes ji turi.

Tikriausiai susimąstėte, kam iš viso reikalinga kvadratinė funkcija? Kur taikomas jo grafikas (parabolė)? Taip, tereikia apsidairyti aplinkui ir pastebėsite, kad kasdien su tuo susiduriate kasdien. Ar pastebėjote, kaip mestas kamuolys skrenda kūno kultūros pamokose? „Ilgai lanką“? Teisingiausias atsakymas būtų „parabolė“! O kokia trajektorija fontane juda srovė? Taip, taip pat ir parabolėje! Kaip skrenda kulka ar sviedinys? Teisingai, taip pat ir parabolėje! Taigi, žinant kvadratinės funkcijos savybes, bus galima išspręsti daugybę praktinių uždavinių. Pavyzdžiui, kokiu kampu reikia mesti kamuolį, kad būtų užtikrintas didžiausias atstumas? Arba kur atsidurs sviedinys, jei paleisite jį tam tikru kampu? ir tt

Kvadratinė funkcija

Taigi, išsiaiškinkime.

Pavyzdžiui,. Kas čia yra lygūs ir? Na, žinoma!

O jeigu, t.y. mažiau nei nulis? Na, žinoma, mes esame „liūdni“, o tai reiškia, kad šakos bus nukreiptos žemyn! Pažiūrėkime į grafiką.

Šiame paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas. Kadangi, t.y. mažesnė už nulį, parabolės šakos nukreiptos žemyn. Be to, tikriausiai jau pastebėjote, kad šios parabolės šakos susikerta su ašimi, o tai reiškia, kad lygtis turi 2 šaknis, o funkcija įgauna ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes!

Pačioje pradžioje, kai pateikėme kvadratinės funkcijos apibrėžimą, buvo pasakyta, kad ir yra kai kurie skaičiai. Ar jie gali būti lygūs nuliui? Na, žinoma, jie gali! Atskleisiu net dar didesnę paslaptį (kuri nėra paslaptis, bet verta paminėti): šiems skaičiams (ir) apskritai nėra taikomi jokie apribojimai!

Na, pažiūrėkime, kas atsitiks su grafikais, jei ir yra lygūs nuliui.

Kaip matote, nagrinėjamų funkcijų (ir) grafikai pasislinko taip, kad jų viršūnės dabar yra taške su koordinatėmis, ty ašių susikirtimo taške ir tai neturi įtakos šakų krypčiai. . Taigi galime daryti išvadą, kad jie yra atsakingi už parabolės grafiko „judėjimą“ išilgai koordinačių sistemos.

Funkcijos grafikas paliečia ašį taške. Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį. Taigi funkcija įgauna reikšmes, didesnes arba lygias nuliui.

Su funkcijos grafiku vadovaujamės ta pačia logika. Jis paliečia x ašį taške. Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį. Taigi funkcija įgauna reikšmes, mažesnes arba lygias nuliui, tai yra.

Taigi, norint nustatyti išraiškos ženklą, pirmiausia reikia rasti lygties šaknis. Tai mums bus labai naudinga.

Kvadratinė nelygybė

Sprendžiant tokias nelygybes, mums reikės galimybės nustatyti, kur kvadratinė funkcija yra didesnė, mažesnė ar lygi nuliui. Tai yra:

• jei turime formos nelygybę, tai iš tikrųjų užduotis tenka nustatyti skaitinis intervalas vertės, kurioms esant parabolė yra virš ašies.
• jei turime formos nelygybę, tada iš tikrųjų užduotis yra nustatyti skaitinį x reikšmių intervalą, kurio parabolė yra žemiau ašies.

Jei nelygybės nėra griežtos, tada šaknys (parabolės susikirtimo su ašimi koordinatės) įtraukiamos į norimą skaitinį intervalą esant griežtoms nelygybėms, jos neįtraukiamos.

Visa tai gana formalizuota, tačiau nenusiminkite ir neišsigąskite! Dabar pažiūrėkime į pavyzdžius ir viskas stos į savo vietas.

Spręsdami kvadratines nelygybes laikysimės pateikto algoritmo ir mūsų laukia neišvengiama sėkmė!

Algoritmas	Pavyzdys:
1) Parašykime kvadratinę lygtį, atitinkančią nelygybę (tiesiog pakeiskite nelygybės ženklą į lygybės ženklą „=“).
2) Raskime šios lygties šaknis.
3) Pažymėkite šaknis ant ašies ir schematiškai parodykite parabolės šakų orientaciją („aukštyn“ arba „žemyn“)
4) Ant ašies, atitinkančios kvadratinės funkcijos ženklą, pastatykime ženklus: kur parabolė yra virš ašies, dedame „ “, o kur žemiau – „ “.
5) Atsižvelgdami į nelygybės ženklą, užrašykite intervalą (-us), atitinkantį „ ” arba „ “. Jei nelygybė nėra griežta, šaknys įtraukiamos į intervalą, jei ji griežta, jos nėra.

Supratai? Tada pirmyn ir prisekite!

Pavyzdys:

Na, ar pavyko? Jei turite kokių nors sunkumų, ieškokite sprendimų.

Sprendimas:

Užrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Nelygybė nėra griežta, todėl šaknys įtraukiamos į intervalus:

Parašykime atitinkamą kvadratinę lygtį:

Raskime to šaknis kvadratinė lygtis:

Gautas šaknis schematiškai pažymime ant ašies ir išdėstykime ženklus:

Užrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Nelygybė yra griežta, todėl šaknys neįtraukiamos į intervalus:

Parašykime atitinkamą kvadratinę lygtį:

Raskime šios kvadratinės lygties šaknis:

ši lygtis turi vieną šaknį

Gautas šaknis schematiškai pažymime ant ašies ir išdėstykime ženklus:

Užrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Bet kuriai funkcijai taikomos neneigiamos reikšmės. Kadangi nelygybė nėra griežta, atsakymas bus.

Parašykime atitinkamą kvadratinę lygtį:

Raskime šios kvadratinės lygties šaknis:

Schematiškai nubraižykime parabolės grafiką ir išdėstykime ženklus:

Užrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Bet kuriai funkcijai priklauso teigiamos reikšmės, todėl nelygybės sprendimas bus intervalas:

KVARTŲ NETOLYGUMAI. VIDURIO LYGIS

Kvadratinė funkcija.

Prieš kalbėdami apie temą „kvadratinės nelygybės“, prisiminkime, kas yra kvadratinė funkcija ir koks yra jos grafikas.

Kitaip tariant, tai antrojo laipsnio daugianario.

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė (prisiminkite, kas tai yra?). Jos šakos nukreiptos į viršų, jei "a) funkcija visoms užima tik teigiamas reikšmes, o antroje () - tik neigiamas:

Tuo atveju, kai lygtis () turi tiksliai vieną šaknį (pavyzdžiui, jei diskriminantas yra nulis), tai reiškia, kad grafikas liečia ašį:

Tada, panašiai kaip ir ankstesniu atveju, „ .

Taigi, neseniai sužinojome, kaip nustatyti, kur kvadratinė funkcija yra didesnė už nulį, o kur mažesnė:

Jei kvadratinė nelygybė nėra griežta, tada šaknys įtraukiamos į skaitinį intervalą, jei ji griežta, jos nėra.

Jei yra tik viena šaknis, viskas gerai, visur bus tas pats ženklas. Jei šaknų nėra, viskas priklauso tik nuo koeficiento: jei "25((x)^(2))-30x+9

Atsakymai:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Šaknų nėra, todėl visa išraiška kairėje pusėje užima koeficiento ženklą prieš:

• Jei norite rasti skaitinį intervalą, kurio kvadratinis trinaris yra didesnis už nulį, tai yra skaitinis intervalas, kuriame parabolė yra virš ašies.
• Jei norite rasti skaitinį intervalą, kuriame kvadratinis trinaris yra mažesnis už nulį, tai yra skaitinis intervalas, kuriame parabolė yra žemiau ašies.

KVARTŲ NETOLYGUMAI. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė funkcija yra formos funkcija: ,

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Jo šakos nukreiptos aukštyn, jei ir žemyn, jei:

Kvadratinių nelygybių tipai:

Visos kvadratinės nelygybės sumažinamos iki šių keturių tipų:

Sprendimo algoritmas:

Algoritmas	Pavyzdys:
1) Parašykime kvadratinę lygtį, atitinkančią nelygybę (tiesiog pakeiskite nelygybės ženklą į lygybės ženklą " ").
2) Raskime šios lygties šaknis.
3) Pažymėkite šaknis ant ašies ir schematiškai parodykite parabolės šakų orientaciją („aukštyn“ arba „žemyn“)
4) Ant ašies, atitinkančios kvadratinės funkcijos ženklą, pastatykime ženklus: kur parabolė yra virš ašies, dedame „ “, o kur žemiau – „ “.
5) Užrašykite intervalą (-us), atitinkantį " " arba " ", priklausomai nuo nelygybės ženklo. Jei nelygybė nėra griežta, šaknys įtraukiamos į intervalą, jei ji griežta, jos nėra.

Šiame straipsnyje yra medžiagos, apimančios temą " sprendžiant kvadratines nelygybes“ Pirmiausia parodome, kas yra kvadratinės nelygybės su vienu kintamuoju, ir pateikiame jas bendras vaizdas. Ir tada mes išsamiai apsvarstysime, kaip išspręsti kvadratines nelygybes. Pateikiami pagrindiniai sprendimo būdai: grafinis metodas, intervalo metodas ir išskirdami dvinario kvadratą kairėje nelygybės pusėje. Pateikiami tipinių pavyzdžių sprendimai.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė nelygybė?

Natūralu, kad prieš kalbėdami apie kvadratinių nelygybių sprendimą, turime aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė nelygybė. Kitaip tariant, turite mokėti atskirti kvadratines nelygybes nuo kitų tipų nelygybių pagal įrašo tipą.

Apibrėžimas.

Kvadratinė nelygybė yra a x 2 +b x+c formos nelygybė<0 (вместо знака >gali būti bet koks kitas nelygybės ženklas ≤, >, ≥), kur a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a≠0, o x yra kintamasis (kintamasis gali būti žymimas bet kuria kita raide).

Iškart duokime kvadratinėms nelygybėms kitą pavadinimą - antrojo laipsnio nelygybės. Šis pavadinimas paaiškinamas tuo, kad kairėje nelygybių pusėje x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Taip pat kartais galite išgirsti kvadratines nelygybes, vadinamas kvadratinėmis nelygybėmis. Tai nėra visiškai teisinga: „kvadratinės“ apibrėžimas reiškia funkcijas, apibrėžtas y=a·x 2 +b·x+c formos lygtimis. Taigi, yra kvadratinės nelygybės ir kvadratines funkcijas, bet ne kvadratinės nelygybės.

Parodykime keletą kvadratinių nelygybių pavyzdžių: 5 x 2 −3 x+1>0, čia a=5, b=−3 ir c=1; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0, šios kvadratinės nelygybės koeficientai yra a=−2,2, b=−0,5 ir c=−11; , šiuo atveju .

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės nelygybės apibrėžime x 2 koeficientas a yra nelygus nuliui. Tai suprantama, koeficiento a lygybė nuliui iš tikrųjų „pašalins“ kvadratą, ir mes susidursime su b x+c>0 formos tiesine nelygybe be kintamojo kvadrato. Bet koeficientai b ir c gali būti lygus nuliui, tiek atskirai, tiek vienu metu. Štai tokių kvadratinių nelygybių pavyzdžiai: x 2 −5≥0, čia kintamojo x koeficientas b lygus nuliui; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 ir b, ir c yra nuliai.

Kaip išspręsti kvadratines nelygybes?

Dabar jus glumina klausimas, kaip išspręsti kvadratines nelygybes. Iš esmės naudojami trys pagrindiniai sprendimo būdai:

• grafinis metodas (arba, kaip pas A. G. Mordkovičių, funkcinis-grafinis),
• intervalo metodas,
• ir kvadratines nelygybes sprendžiant išskiriant kairėje pusėje esančio dvinalio kvadratą.

Grafiškai

Iš karto padarykime išlygą, kad kvadratinių nelygybių sprendimo metodas, kurį dabar svarstome, mokykliniai vadovėliai algebra nevadinama grafine. Tačiau iš esmės jis toks ir yra. Be to, pirmoji pažintis su grafinis nelygybių sprendimo būdas paprastai prasideda tada, kai iškyla klausimas, kaip išspręsti kvadratines nelygybes.

Grafinis kvadratinių nelygybių a x 2 +b x+c sprendimo metodas<0 (≤, >, ≥) susideda iš kvadratinės funkcijos y=a x 2 +b x+c grafiko analizės, siekiant rasti intervalus, kuriuose nurodytą funkciją ima neigiamas, teigiamas, neteigiamas arba neneigiamas vertes. Šie intervalai sudaro kvadratinių nelygybių a x 2 +b x+c sprendinius<0 , a·x 2 +b·x+c>0, atitinkamai a x 2 +b x+c≤0 ir a x 2 +b x+c≥0.

Intervalinis metodas

Norėdami išspręsti kvadratines nelygybes su vienu kintamuoju be grafinis metodas gana patogus intervalų metodas, kuris pats savaime yra labai universalus ir tinkamas spręsti įvairios nelygybės, o ne tik kvadratinius. Jo teorinė pusė nepatenka į 8 ir 9 klasių algebros kurso taikymo sritį, kai jie mokosi spręsti kvadratines nelygybes. Todėl mes čia nesigilinsime teorinis pagrindas intervalų metodą, bet sutelkime dėmesį į tai, kaip jis išsprendžia kvadratines nelygybes.

Intervallinio metodo esmė sprendžiant kvadratines nelygybes a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥), nustatomas ženklų, turinčių kvadratinio trinalio a x 2 +b x+c reikšmes intervaluose, į kuriuos jis yra padalintas, nustatymas. koordinačių ašisšio trinalio nuliai (jei yra). Intervalai su minuso ženklais sudaro kvadratinės nelygybės a x 2 +b x+c sprendinius<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, o sprendžiant negriežtas nelygybes, prie nurodytų intervalų pridedami trinalio nulius atitinkantys taškai.

Susipažinkite su visomis šio metodo detalėmis, jo algoritmu, ženklų išdėstymo tarpuose taisyklėmis ir apsvarstykite paruoštus sprendimus tipinių pavyzdžių Su pateiktomis iliustracijomis galite remtis straipsnyje esančia medžiaga kvadratinėms nelygybėms spręsti naudojant intervalų metodą.

Padalijus dvinarį kvadratu

Be grafinio metodo ir intervalo metodo, yra ir kitų būdų, leidžiančių išspręsti kvadratines nelygybes. Ir mes prieiname prie vieno iš jų, kuris yra pagrįstas dvinario kvadratas kairėje kvadratinės nelygybės pusėje.

Šio kvadratinių nelygybių sprendimo būdo principas yra atlikti ekvivalentines nelygybės transformacijas, leidžiančias pereiti prie (x−p) 2 formos ekvivalentinės nelygybės sprendimo. , ≥), kur p ir q yra kai kurie skaičiai.

Ir kaip vyksta perėjimas prie nelygybės (x−p) 2? , ≥) ir kaip ją išspręsti, straipsnyje paaiškinamas kvadratinių nelygybių sprendimas, išskiriant dvinario kvadratą. Taip pat yra kvadratinių nelygybių sprendimo šiuo metodu pavyzdžių ir reikiamų grafinių iliustracijų.

Nelygybės, kurios mažėja iki kvadratinės

Praktikoje labai dažnai susiduriama su nelygybėmis, pateiktomis naudojant lygiavertės transformacijosį kvadratines nelygybes formos a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Pradėkime nuo paprasčiausių nelygybių, kurios redukuojasi į kvadratines nelygybes, pavyzdžių. Kartais, norint pereiti prie kvadratinės nelygybės, pakanka šios nelygybės terminus pertvarkyti arba perkelti iš vienos dalies į kitą. Pavyzdžiui, jei visus narius perkelsime iš dešinės nelygybės 5≤2·x−3·x 2 pusės į kairę, gausime kvadratinę nelygybę tokia forma, kokia nurodyta aukščiau 3·x 2 −2·x+5≤ 0. Kitas pavyzdys: nelygybės 5+0.6 x 2 −x kairės pusės pertvarkymas<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

Mokykloje per algebros pamokas, kai mokosi spręsti kvadratines nelygybes, jie taip pat susiduria su sprendžiant racionalias nelygybes, sumažinant iki kvadratinių. Jų sprendimas apima visų terminų perkėlimą į kairę pusę ir ten suformuotos išraiškos transformavimą į formą a·x 2 +b·x+c, vykdant . Pažiūrėkime į pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite daugybę nelygybės sprendimų 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 neracionali nelygybė lygi kvadratinei nelygybei x 2 −6 x−9<0 , а logaritminė nelygybė – nelygybė x 2 +x−2≥0.

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Lyginti kiekius ir kiekius sprendžiant praktinius uždavinius reikėjo nuo seno. Tuo pat metu atsirado tokie žodžiai kaip daugiau ir mažiau, aukščiau ir žemiau, lengvesni ir sunkesni, tyliau ir garsiau, pigiau ir brangiau ir kt., reiškiantys vienarūšių dydžių palyginimo rezultatus.

Sąvokos „daugiau ir mažiau“ atsirado skaičiuojant objektus, matuojant ir lyginant dydžius. Pavyzdžiui, Senovės Graikijos matematikai žinojo, kad bet kurio trikampio kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą ir kad didesnė trikampio kraštinė yra priešais didesnį kampą. Archimedas, skaičiuodamas apskritimą, nustatė, kad bet kurio apskritimo perimetras yra lygus tris kartus skersmeniui, o perteklius yra mažesnis nei septintoji skersmens, bet daugiau nei dešimt septyniasdešimt kartų didesnis už skersmenį.

Simboliškai parašykite ryšius tarp skaičių ir dydžių, naudodami ženklus > ir b. Įrašai, kuriuose du skaičiai sujungti vienu iš ženklų: > (didesnis nei), Su skaitine nelygybe susidūrėte ir žemesnėse klasėse. Jūs žinote, kad nelygybė gali būti tiesa arba klaidinga. Pavyzdžiui, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) yra teisinga skaitinė nelygybė, 0,23 > 0,235 yra neteisinga skaitinė nelygybė.

Nelygybė, apimanti nežinomus dalykus, gali būti teisinga kai kurioms nežinomųjų vertybėms ir klaidinga kitoms. Pavyzdžiui, nelygybė 2x+1>5 yra teisinga, kai x = 3, bet klaidinga, kai x = -3. Nelygybei su vienu nežinomuoju galite nustatyti užduotį: išspręskite nelygybę. Nelygybių sprendimo problemos praktikoje keliamos ir sprendžiamos ne rečiau nei lygčių sprendimo problemos. Pavyzdžiui, daugelis ekonomines problemas yra susiaurintos iki sistemų tyrimo ir sprendimo tiesinės nelygybės. Daugelyje matematikos šakų nelygybės yra labiau paplitusios nei lygtys.

Kai kurios nelygybės yra vienintelės pagalbinis, leidžiantis įrodyti arba paneigti tam tikro objekto egzistavimą, pavyzdžiui, lygties šaknį.

Skaitmeninės nelygybės

Ar galite palyginti sveikuosius skaičius? po kablelio. Ar žinai palyginimo taisykles? paprastosios trupmenos su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais; su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingus vardiklius. Čia sužinosite, kaip palyginti bet kuriuos du skaičius, surasdami jų skirtumo ženklą.

Praktikoje plačiai naudojamas skaičių lyginimas. Pavyzdžiui, ekonomistas lygina planinius rodiklius su faktiniais, gydytojas – paciento temperatūrą su normalia, tekintojas – apdirbtos detalės matmenis su standartu. Visais tokiais atvejais lyginami kai kurie skaičiai. Dėl skaičių palyginimo susidaro skaitinės nelygybės.

Apibrėžimas. Skaičius a daugiau numerio b, jei skirtumas a-b teigiamas. Skaičius a mažesnis skaičius b, jei skirtumas a-b yra neigiamas.

Jei a yra didesnis už b, tada jie rašo: a > b; jei a yra mažesnis už b, tai jie rašo: a Taigi nelygybė a > b reiškia, kad skirtumas a - b yra teigiamas, t.y. a - b > 0. Nelygybė a Bet kokiems dviem skaičiams a ir b iš kiti trys ryšiai a > b, a = b, a Palyginti skaičius a ir b reiškia išsiaiškinti, kuris iš ženklų >, = arba Teorema. Jei a > b ir b > c, tai a > c.

Teorema. Jei prie abiejų nelygybės pusių pridėsite tą patį skaičių, nelygybės ženklas nepasikeis.
Pasekmė. Bet kuris terminas gali būti perkeltas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeitus šio termino ženklą į priešingą.

Teorema. Jei abi nelygybės pusės padauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės pusės bus padaugintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Pasekmė. Jei abi nelygybės puses padalinsime iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nepasikeis. Jei abi nelygybės pusės bus padalintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.

Jūs žinote, kad skaitines lygybes galima sudėti ir padauginti iš termino. Toliau sužinosite, kaip atlikti panašius veiksmus su nelygybėmis. Praktikoje dažnai naudojama galimybė sudėti ir dauginti nelygybes. Šie veiksmai padeda išspręsti posakių reikšmių vertinimo ir palyginimo problemas.

Sprendžiant įvairios užduotys Dažnai jūs turite pridėti arba padauginti kairę ir dešinę nelygybių puses. Kartu kartais sakoma, kad nelygybės sumuojasi arba dauginasi. Pavyzdžiui, jei pirmą dieną turistas nuėjo daugiau nei 20 km, o antrą – daugiau nei 25 km, tai galime sakyti, kad per dvi dienas jis nuėjo daugiau nei 45 km. Panašiai, jei stačiakampio ilgis yra mažesnis nei 13 cm, o plotis yra mažesnis nei 5 cm, tada galime sakyti, kad šio stačiakampio plotas yra mažesnis nei 65 cm2.

Nagrinėjant šiuos pavyzdžius buvo naudojami šie pavyzdžiai: nelygybių sudėties ir daugybos teoremos:

Teorema. Sudėjus to paties ženklo nelygybes, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d.

Teorema. Dauginant to paties ženklo nelygybes, kurių kairioji ir dešinė pusės yra teigiamos, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b, c > d ir a, b, c, d - teigiami skaičiai, tada ac > bd.

Nelygybės su ženklu > (didesnis nei) ir 1/2, 3/4 b, c Kartu su griežtų nelygybių ženklais > ir Lygiai taip pat nelygybė \(a \geq b \) reiškia, kad skaičius a yra didesnis arba lygus b, ty .ir ne mažesnis b.

Nelygybės, turinčios ženklą \(\geq \) arba ženklą \(\leq \), vadinamos negriežtomis. Pavyzdžiui, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nėra griežtos nelygybės.

Visos griežtųjų nelygybių savybės galioja ir negriežtoms nelygybėms. Be to, jei griežtoms nelygybėms ženklai > buvo laikomi priešingais ir žinote, kad išspręstumėte seriją taikomų problemų turite sukurti matematinį modelį lygties arba lygčių sistemos pavidalu. Toliau tai sužinosite matematiniai modeliai Sprendžiant daugelį problemų, yra nelygybės su nežinomaisiais. Supažindinsime su nelygybės sprendimo samprata ir parodysime, kaip patikrinti, ar duotas numeris sprendžiant konkrečią nelygybę.

Formos nelygybės
\(ax > b, \quad ax, kurioje yra a ir b duotus skaičius, o x nežinomas, vadinamas tiesinės nelygybės su vienu nežinomuoju.

Apibrėžimas. Nelygybės su vienu nežinomuoju sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai esant ši nelygybė tampa tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.

Jūs išsprendėte lygtis, sumažindami jas iki paprasčiausių lygčių. Panašiai, sprendžiant nelygybes, jas, naudojant savybes, stengiamasi redukuoti iki paprastų nelygybių.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas

Formos nelygybės
\(ax^2+bx+c >0 \) ir \(ax^2+bx+c kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \), vadinamas antrojo laipsnio nelygybės su vienu kintamuoju.

Nelygybės sprendimas
\(ax^2+bx+c >0 \) arba \(ax^2+bx+c) gali būti laikomi intervalų, kuriuose funkcija \(y= ax^2+bx+c \) įgyja teigiamą arba neigiamą reikšmės Tam pakanka išanalizuoti, kaip funkcijos \(y= ax^2+bx+c\) grafikas yra koordinačių plokštumoje: kur nukreiptos parabolės šakos – aukštyn ar žemyn, ar parabolė kerta x ašį ir jei kerta, tai kokiuose taškuose.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo algoritmas:
1) raskite kvadratinio trinalio \(ax^2+bx+c\) diskriminantą ir išsiaiškinkite, ar trinaris turi šaknis;
2) jei trinaris turi šaknis, pažymėkite jas x ašyje ir per pažymėtus taškus nubrėžkite scheminę parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų, jei > 0 arba žemyn, jei 0, arba į apačią, jei yra 3) raskite x ašyje intervalus, kurių taškų parabolės yra virš x ašies (jei jos išsprendžia nelygybę \(ax^2+bx+c >0\)) arba žemiau x ašies (jei jos išsprendžia nelygybė
\(ax^2+bx+c Nelygybių sprendimas naudojant intervalų metodą

Apsvarstykite funkciją
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Šios funkcijos sritis yra visų skaičių rinkinys. Funkcijos nuliai yra skaičiai -2, 3, 5. Jie padalina funkcijos apibrėžimo sritį į intervalus \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) ir \( (5; +\infty)\)

Išsiaiškinkime, kokie yra šios funkcijos ženklai kiekviename iš nurodytų intervalų.

Išraiška (x + 2)(x - 3)(x - 5) yra trijų veiksnių sandauga. Kiekvieno iš šių veiksnių ženklas nagrinėjamais intervalais nurodytas lentelėje:

Apibendrinant, tegul funkcija pateikiama formule
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x yra kintamasis, o x 1, x 2, ..., x n yra skaičiai, kurie nėra lygūs vienas kitam. Skaičiai x 1 , x 2 , ..., x n yra funkcijos nuliai. Kiekviename iš intervalų, į kuriuos apibrėžimo sritis padalinta iš funkcijos nulių, funkcijos ženklas išsaugomas, o pereinant per nulį jo ženklas keičiasi.

Ši savybė naudojama formos nelygybėms spręsti
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kur x 1, x 2, ..., x n yra skaičiai, nelygūs vienas kitam

Apsvarstytas metodas nelygybių sprendimas vadinamas intervalų metodu.

Pateiksime nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžius.

Išspręskite nelygybę:

Taikyti į skaičių ašis funkcijos nulius ir apskaičiuokite kiekvieno intervalo ženklą:

Parenkame tuos intervalus, kuriais funkcija yra mažesnė arba lygi nuliui ir užrašome atsakymą.

Atsakymas:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Pamoka ir pristatymas tema: „Kvadratinės nelygybės, sprendimų pavyzdžiai“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Elektroninis vadovėlis „Suprantama geometrija“ 7-9 kl
Mokomasis kompleksas 1C: „Geometrija, 9 klasė“

Vaikinai, mes jau žinome, kaip išspręsti kvadratines lygtis. Dabar išmokime išspręsti kvadratines nelygybes.
Kvadratinė nelygybėŠis nelygybės tipas vadinamas:

$ax^2+bx+c>0$.

Nelygybės ženklas gali būti bet koks, koeficientai a, b, c gali būti bet kokie skaičiai ($a≠0$).
Čia taip pat veikia visos taisyklės, kurias nustatėme tiesinėms nelygybėms. Pakartokite šias taisykles patys!

Pristatykime dar vieną svarbią taisyklę:
Jei trinalyje yra $ax^2+bx+c$ neigiamas diskriminatorius, tada jei pakeisite bet kurią x reikšmę, trinalio ženklas bus toks pat kaip koeficiento a ženklas.

Kvadratinių nelygybių sprendimo pavyzdžiai

Pavyzdžiai.
1. Išspręskite nelygybę: $x^2-2x-8
Sprendimas:
Raskime lygties $x^2-2x-8=0$ šaknis.
$x_1=4$ ir $x_2=-2$.

Nubraižykime kvadratinę lygtį. X ašis susikerta taškuose 4 ir -2.
Mūsų kvadratinis trinaris įgyja reikšmes, mažesnes už nulį, kai funkcijos grafikas yra žemiau x ašies.
Žvelgdami į funkcijos grafiką, gauname atsakymą: $x^2-2x-8 Atsakymas: $-2

2. Išspręskite nelygybę: $5x-6

Sprendimas:
Transformuokime nelygybę: $-x^2+5x-6 Padalinkime nelygybę iš minus vieneto. Nepamirškime pakeisti ženklo: $x^2-5x+6>0$.
Raskime trinalio šaknis: $x_1=2$ ir $x_2=3$.

Sukurkime kvadratinės lygties grafiką, x ašis susikerta taškuose 2 ir 3.


Mūsų kvadratinis trinaris įgyja reikšmes, didesnes už nulį, kai funkcijos grafikas yra virš x ašies. Žvelgdami į funkcijos grafiką, gauname atsakymą: $5x-6 Atsakymas: $ x 3 $.

3. Išspręskite nelygybę: $2^2+2x+1≥0$.

Sprendimas:
Raskime savo trinalio šaknis, tam apskaičiuojame diskriminantą: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminantas mažesnis už nulį. Naudokime taisyklę, kurią įvedėme pradžioje. Nelygybės ženklas bus toks pat kaip kvadrato koeficiento ženklas. Mūsų atveju koeficientas yra teigiamas, o tai reiškia, kad mūsų lygtis bus teigiama bet kuriai x reikšmei.
Atsakymas: Visų x nelygybė yra didesnė už nulį.

4. Išspręskite nelygybę: $x^2+x-2
Sprendimas:
Raskime trinalio šaknis ir pastatykime jas į koordinačių tiesę: $x_1=-2$ ir $x_2=1$.

Jei $x>1$ ir $x Jei $x>-2$ ir $x Atsakymas: $x>-2$ ir $x

Kvadratinių nelygybių sprendimo uždaviniai