Tęsiame pokalbį apie dažniausiai naudojamas trigonometrijos formules. Svarbiausios iš jų – sudėjimo formulės.
1 apibrėžimas
Sudėjimo formulės leidžia išreikšti dviejų kampų skirtumo arba sumos funkcijas naudojant trigonometrinės funkcijosšie kampai.
Norėdami pradėti, mes duosime visas sąrašas sudėjimo formules, tada jas įrodysime ir išanalizuosime kelis iliustruojančius pavyzdžius.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pagrindinės sudėjimo formulės trigonometrijoje
Yra aštuoni pagrindinės formulės: dviejų kampų sumos ir skirtumo sinusas, sumos ir skirtumo kosinusai, atitinkamai sumos ir skirtumo liestinės ir kotangentai. Žemiau pateikiamos jų standartinės formulės ir skaičiavimai.
1. Dviejų kampų sumos sinusą galima gauti taip:
Apskaičiuojame pirmojo kampo sinuso ir antrojo kosinuso sandaugą;
Pirmojo kampo kosinusą padauginkite iš pirmojo kampo sinuso;
Sudėkite gautas vertes.
Grafinis formulės užrašymas atrodo taip: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Skirtumo sinusas apskaičiuojamas beveik taip pat, tik gautus produktus reikia ne sudėti, o atimti vieną iš kito. Taigi apskaičiuojame pirmojo kampo sinuso ir antrojo kosinuso bei pirmojo kampo sinuso ir antrojo sinuso sandaugas ir randame jų skirtumą. Formulė parašyta taip: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Sumos kosinusas. Jai pirmojo kampo kosinuso sandaugas randame atitinkamai antrojo kosinusu ir pirmojo kampo sinuso sandaugą antrojo sinusu ir randame jų skirtumą: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Skirtumo kosinusas: apskaičiuokite šių kampų sinusų ir kosinusų sandaugas, kaip ir anksčiau, ir sudėkite. Formulė: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Sumos tangentas. Ši formulė išreiškiama trupmena, kurios skaitiklis yra reikalingų kampų liestinių suma, o vardiklis – vienetas, iš kurio atimama norimų kampų liestinių sandauga. Viskas aišku iš jo grafinio žymėjimo: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Skirtumo liestinė. Apskaičiuojame šių kampų liestinių skirtumo ir sandaugos vertes ir tęsiame panašiu būdu. Vardiklyje pridedame prie vieneto, o ne atvirkščiai: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Sumos kotangentas. Norėdami apskaičiuoti pagal šią formulę, mums reikės šių kampų sandaugos ir kotangentų sumos, kurią atliekame taip: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Skirtumo kotangentas . Formulė panaši į ankstesnę, tačiau skaitiklis ir vardiklis yra minusas, o ne plius c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Tikriausiai pastebėjote, kad šios formulės yra panašios poromis. Naudodami ženklus ± (pliusas-minusas) ir ∓ (minusas-pliusas), galime juos sugrupuoti, kad būtų lengviau įrašyti:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± 1 t g β t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Atitinkamai turime vieną įrašymo formulę kiekvienos reikšmės sumai ir skirtumui, tiesiog vienu atveju atkreipiame dėmesį į viršutinį ženklą, kitu – į apatinį.
2 apibrėžimas
Galime paimti bet kokius kampus α ir β, jiems tiks kosinuso ir sinuso sudėjimo formulės. Jei galime teisingai nustatyti šių kampų liestinių ir kotangentų vertes, tada jiems taip pat galios tangento ir kotangento pridėjimo formulės.
Kaip ir dauguma algebros sąvokų, sudėjimo formules galima įrodyti. Pirmoji formulė, kurią įrodysime, yra skirtumo kosinuso formulė. Tada iš jo galima nesunkiai nustatyti likusius įrodymus.
Paaiškinkime pagrindines sąvokas. Mums prireiks vieneto ratas. Tai pavyks, jei paimsime tam tikrą tašką A ir pasuksime kampus α ir β aplink centrą (tašką O). Tada kampas tarp vektorių O A 1 → ir O A → 2 bus lygus (α - β) + 2 π · z arba 2 π - (α - β) + 2 π · z (z yra bet koks sveikasis skaičius). Gauti vektoriai sudaro kampą, lygų α - β arba 2 π - (α - β), arba jis gali skirtis nuo šių verčių sveikuoju skaičiumi pilnos revoliucijos. Pažvelkite į paveikslėlį:
Mes panaudojome redukcijos formules ir gavome tokius rezultatus:
cos ((α – β) + 2 π z) = cos (α – β) cos (2 π – (α – β) + 2 π z) = cos (α – β)
Rezultatas: kampo tarp vektorių O A 1 → ir O A 2 → kosinusas lygus kampo α - β kosinusui, todėl cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Prisiminkime sinuso ir kosinuso apibrėžimus: sinusas yra kampo funkcija, lygus santykiui koja priešingo kampo hipotenuzei, kosinusas yra sinusas papildomas kampas. Todėl taškai A 1 Ir A 2 turi koordinates (cos α, sin α) ir (cos β, sin β).
Gauname šiuos dalykus:
O A 1 → = (cos α, sin α) ir O A 2 → = (cos β, sin β)
Jei neaišku, pažiūrėkite į vektorių pradžioje ir pabaigoje esančių taškų koordinates.
Vektorių ilgiai lygūs 1, nes Mes turime vienetų ratą.
Pažiūrėkime dabar taškinis produktas vektoriai O A 1 → ir O A 2 → . Koordinatėse tai atrodo taip:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Iš to galime išvesti lygybę:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Taigi įrodyta skirtumo kosinuso formulė.
Dabar mes įrodysime tokią formulę– sumos kosinusas. Tai lengviau, nes galime naudoti ankstesnius skaičiavimus. Paimkime vaizdavimą α + β = α - (- β) . Turime:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Tai kosinuso sumos formulės įrodymas. Paskutinėje eilutėje naudojama sinuso ir kosinuso savybė priešingi kampai.
Sumos sinuso formulę galima išvesti iš skirtumo kosinuso formulės. Paimkime redukcijos formulę:
tipo nuodėmė(α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Taigi
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Ir čia yra skirtumo sinuso formulės įrodymas:
nuodėmė (α - β) = nuodėmė (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Atkreipkite dėmesį į priešingų kampų sinuso ir kosinuso savybių naudojimą paskutiniame skaičiavime.
Toliau mums reikia tangento ir kotangento pridėjimo formulių įrodymų. Prisiminkime pagrindinius apibrėžimus (liestinė – sinuso ir kosinuso santykis, o kotangentas – atvirkščiai) ir paimkime iš anksto jau išvestas formules. Mes gavome tai:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Mes tai padarėme kompleksinė trupmena. Toliau jo skaitiklį ir vardiklį turime padalyti iš cos α · cos β, atsižvelgiant į tai, kad cos α ≠ 0 ir cos β ≠ 0, gauname:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Dabar sumažiname trupmenas ir gauname tokią formulę: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Gavome t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Tai yra liestinės pridėjimo formulės įrodymas.
Kita formulė, kurią įrodysime, yra skirtumo formulės liestinė. Viskas aiškiai parodyta skaičiavimuose:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Kotangento formulės įrodomos panašiai:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Kitas:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t g
Nebandysiu tavęs įtikinti, kad nerašytum sukčiavimo lapų. Rašyk! Įskaitant trigonometrijos sukčiavimo lapus. Vėliau planuoju paaiškinti, kam reikalingi cheat sheets ir kodėl cheat sheets yra naudingi. Ir čia yra informacija, kaip ne mokytis, bet kai ką prisiminti trigonometrines formules. Taigi - trigonometrija be cheat sheet Mes naudojame asociacijas įsiminimui!
1. Sudėjimo formulės:
Kosinusai visada „eina poromis“: kosinusas-kosinusas, sinusas-sinusas.
Ir dar vienas dalykas: kosinusai yra „neadekvatūs“. Jiems „viskas ne taip“, todėl ženklus „-“ keičia į „+“ ir atvirkščiai.
Sinusai - „mišinys“: sinusas-kosinusas, kosinusas-sinusas.
2. Sumos ir skirtumo formulės:
kosinusai visada „eina poromis“. Sudėjus du kosinusus - „koloboks“, gauname porą kosinusų - „koloboks“. O atėmus tikrai negausime kolobokų. Gauname porą sinusų. Taip pat su minusu į priekį.
Sinusai - „mišinys“ :
3. Produkto pavertimo suma ir skirtumu formulės.
Kada gauname kosinusų porą? Kai pridedame kosinusus. Štai kodėl
Kada gausime porą sinusų? Atimant kosinusus. Iš čia:
„Sumaišymas“ gaunamas tiek sudedant, tiek atimant sinusus. Kas smagiau: pridėti ar atimti? Teisingai, sulenkite. O formulei jie prideda:
Pirmoje ir trečioje formulėse suma yra skliausteliuose. Pakeitus terminų vietas, suma nekeičiama. Tvarka svarbi tik antrajai formulei. Tačiau, kad nesusipainiotumėte, kad būtų lengviau atsiminti, visose trijose formulėse pirmuosiuose skliaustuose imame skirtumą
ir antra – suma
Sukčiavimo lapai kišenėje suteikia jums ramybės: jei pamiršite formulę, galite ją nukopijuoti. Ir jie suteikia jums pasitikėjimo: jei nepasinaudosite cheat sheet, galite lengvai prisiminti formules.
