Интегралын дээд хязгаарын функц болох интеграл. Дээд хязгаарын функц болох тодорхой интеграл

Функцийг зөвшөөр е(т) нь тухайн цэгийг агуулсан зарим интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилдэг а.Дараа нь тоо бүр xэнэ интервалаас та тоотой таарч болно

Ингэснээр интервал дээр функцийг тодорхойлно I(x), хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг. Үүнийг цэг дээр анхаарна уу x = aЭнэ функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ функцийн деривативыг цэг дээр тооцоод үзье x. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тухайн цэг дэх функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй xаргументыг нэмэгдүүлэх үед  x:

I(x) = I(x+x) – I(x) =

Зураг 23-т үзүүлснээр өсөлтийн томъёоны сүүлчийн интегралын утга  I(x) талбайтай тэнцүү байна муруй трапец, сүүдэрлэж тэмдэглэсэн. Жижиг утгууд дээр  x(энд, энэ хичээлийн бусад хэсэгт, аргумент эсвэл функцийн жижиг өсөлтийн талаар ярихдаа бид үүнийг хэлж байна. үнэмлэхүй утгуудөсөлтүүд, учир нь өсөлт нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно) энэ хэсэг нь ойролцоогоор болж хувирдаг тэнцүү талбайтэгш өнцөгт, зураг дээр давхар ангаахайгаар тэмдэглэгдсэн. Тэгш өнцөгтийн талбайг томъёогоор тодорхойлно е(x)x. Эндээс бид хамаарлыг олж авдаг

Сүүлчийн ойролцоо тэгшитгэлд ойртсон тооцооллын нарийвчлал өндөр байх тусам утга бага байх болно  x.

Дээрхээс энэ нь функцийн деривативын томъёог дагаж мөрддөг I(x):

Цэг дэх дээд хязгаарт хамаарах тодорхой интегралын деривативx цэг дээрх интегралын утгатай тэнцүү байнаx. Үүнээс үзэхэд функц байна
функцийн эсрэг дериватив юм е(x), мөн цэг дээр авдаг ийм эсрэг дериватив x = aутга, тэгтэй тэнцүү. Энэ баримт нь тодорхой интегралыг хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог

. (9)

Болъё Ф(x)нь мөн функцийн эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь тухай теоремоор ерөнхий үзэлфункцийн бүх эсрэг деривативууд I(x) = Ф(x) + C, Хаана C- хэдэн тоо. Үүний зэрэгцээ баруун талтомъёо (9) хэлбэрийг авна

I(x) – I(а) = Ф(x) + C– (Ф(а) +C) = Ф(x) – Ф(а). (10)

Орлуулсны дараа (9) ба (10) томъёоноос xдээр бфункцийн тодорхой интегралыг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг е(т) интервалын дагуу [ а;б]:

үүнийг томъёо гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбниц. Энд Ф(x)- ямар ч функцийн эсрэг дериватив е(x).

Функцийн тодорхой интегралыг тооцоолох е(x) интервалын дагуу [ а;б], та зарим эсрэг дериватив олох хэрэгтэй Ф(x) функцууд е(x) ба цэг дээрх эсрэг деривативын утгуудын зөрүүг тооцоол бТэгээд а. Эдгээр эсрэг дериватив утгуудын хоорондох ялгааг ихэвчлэн тэмдгээр тэмдэглэдэг .

Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох жишээг өгье.

Жишээ. 1.
.

2.
.

Эхлээд тооцоолъё тодорхойгүй интегралфункцээс е(x) = xe x. Хэсэгээр нь нэгтгэх аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
. Эсрэг дериватив функцийн хувьд е(x) функц сонгох д x (x– 1) Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ.

I = e x (x – 1)= 1.

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо та ашиглаж болно тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх томъёо:

Энд  Тэгээд  тэгшитгэлээс тус тус тодорхойлогддог  ( ) = а;  ( ) = б, болон функцууд е,  ,  зохих интервалаар тасралтгүй байх ёстой.

Жишээ:
.

Сэлгээ хийцгээе: ln x = tэсвэл x = e т, дараа нь хэрэв x = 1, тэгвэл t = 0 ба хэрэв x = e, Тэр t = 1. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.

Хувьсагчийг тодорхой интегралд орлуулахдаа эх хувь руу буцах шаардлагагүй интеграцийн хувьсагч.

Одоогоор ажлын HTML хувилбар байхгүй байна.

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлтодорхой интеграл байгаа эсэх. -ийн тодорхой интегралын тэгш байдал алгебрийн нийлбэрХоёр функцийн (ялгаа). Дундаж утгын теорем - үр дүн ба нотолгоо. Тодорхой интегралын геометрийн утга.

танилцуулга, 2013 оны 09-р сарын 18-нд нэмэгдсэн

Интеграл нийлбэрийн тухай ойлголтыг судлах. Интеграцийн дээд ба доод хязгаар. Тодорхой интегралын шинж чанарын шинжилгээ. Дундаж утгын теоремын баталгаа. Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Хувьсагчийн дээд хязгаарт хамаарах интегралын дериватив.

танилцуулга, 2013 оны 4-р сарын 11-нд нэмэгдсэн

Тодорхой интегралын тухай ойлголт, үндсэн шинж чанаруудын танилцуулга. [a, b] сегмент дээрх y=f(x) функцийн интеграл нийлбэрийг тооцоолох томьёоны танилцуулга. Интегралын доод ба дээд хязгаар тэнцүү байх тохиолдолд интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна.

танилцуулга, 2013 оны 09-р сарын 18-нд нэмэгдсэн

Тодорхой интегралын тухай ойлголтод хүргэдэг асуудлууд. Тодорхой интеграл, интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж. Тодорхой ба тодорхойгүй интеграл хоорондын хамаарал. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Геометр ба механик мэдрэмжтодорхой интеграл.

хураангуй, 2010/10/30 нэмэгдсэн

Эрт дээр үед интеграцийн аргууд. Эсрэг дериватив функцийн тухай ойлголт. Үндсэн теорем интеграл тооцоо. Тодорхой бус ба тодорхой интегралын шинж чанар, тэдгээрийг тооцоолох арга, дурын тогтмолууд. Энгийн функцүүдийн интегралын хүснэгт.

танилцуулга, 2011 оны 09-р сарын 11-нд нэмэгдсэн

Эсрэг дериватив функцийн тухай ойлголт, эсрэг деривативын тухай теорем. Тодорхой бус интеграл, түүний шинж чанар, хүснэгт. Тодорхой интегралын тухай ойлголт, түүний геометрийн утгаба үндсэн шинж чанарууд. Тодорхой интеграл ба Ньютон-Лейбницийн томъёоны дериватив.

курсын ажил, 2011/10/21 нэмэгдсэн

Тусгалын функцийн тухай ойлголт ба шинж чанарууд. Дифференциал системийн анхны интеграл ба оршин тогтнох нөхцөл. Эвдрэлийн нөхцөл байдал дифференциал системүүд, энэ нь цагийн тэгш хэмийг өөрчилдөггүй. Эхний интеграл ба эквивалент системүүдийн хоорондын холбоог тодорхойлох.

курсын ажил, 2009-08-21 нэмэгдсэн

Тэгш, сондгой, тэгш хэмтэй харьцангуй тэнхлэгүүдийн тухай ойлголт, судалгаа. Тогтмол тэмдгийн интервалын тухай ойлголт. Гүдгэр ба хотгор, гулзайлтын цэг. Босоо ба ташуу асимптотууд. Хамгийн бага ба хамгийн өндөр үнэ цэнэфункц ба интеграл.

практик ажил, 2011 оны 03-р сарын 25-нд нэмэгдсэн

Нэг бие даасан хувьсагчийн функц. Хязгаарлалтын шинж чанарууд. Дериватив ба дифференциал функцууд, тэдгээрийг асуудал шийдвэрлэхэд ашиглах. Эсрэг деривативын тухай ойлголт. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Тодорхой интегралыг тооцоолох ойролцоо аргууд. Дундаж утгын теорем.

хичээлийн тэмдэглэл, 2013 оны 10-р сарын 23-нд нэмэгдсэн

Ерөнхий ойлголт тооны дараалал. Нэг цэг дэх функцийн хязгаар. Хязгааргүй том, жижиг функц. Функц, түүний хязгаар ба хязгааргүй байдлын хоорондын холбоо жижиг функц. Хязгаарлалт байгаагийн шинж тэмдэг. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд: товч тайлбар.

Функцийг зөвшөөр е(т) нь тухайн цэгийг агуулсан зарим интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилдэг а.Дараа нь тоо бүр xэнэ интервалаас та тоотой таарч болно ,

Ингэснээр интервал дээр функцийг тодорхойлно I(x), үүнийг ихэвчлэн хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг. Үүнийг цэг дээр анхаарна уу x = aЭнэ функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ функцийн деривативыг цэг дээр тооцоод үзье x. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тухайн цэг дэх функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй xаргументыг нэмэгдүүлэх үед D x:

Д I(x) = I(x+Д x) – I(x) =

Зурагт үзүүлсэн шиг. 4, өсөлтийн томьёоны сүүлчийн интегралын утга D I(x) ангаахайгаар тэмдэглэгдсэн муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна. Д-ийн бага утгуудад x(энд, энэ хичээлийн бусад хэсэгт, аргумент эсвэл функцийн жижиг өсөлтийн талаар ярихдаа бид өсөлтийн үнэмлэхүй хэмжээг хэлж байна, учир нь өсөлт нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно) энэ талбар нь ойролцоогоор тэнцүү байна. зурагт тэмдэглэсэн тэгш өнцөгтийн талбай давхар ангаахай. Тэгш өнцөгтийн талбайг томъёогоор тодорхойлно е(x)D x. Эндээс бид хамаарлыг олж авдаг

Сүүлчийн ойролцоо тэгшитгэлд ойролцоолсон нарийвчлал өндөр байх тусам D-ийн утга бага байна. x.

Дээрхээс энэ нь функцийн деривативын томъёог дагаж мөрддөг I(x):

x цэгийн дээд хязгаарт хамаарах тодорхой интегралын дериватив нь х цэг дэх интегралын утгатай тэнцүү байна.. Үүнээс үзэхэд функц байна функцийн эсрэг дериватив юм е(x), мөн цэг дээр авдаг ийм эсрэг дериватив x = aутга нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ баримт нь тодорхой интегралыг хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог

. (1)

Болъё Ф(x)нь мөн функцийн эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь функцийн бүх эсрэг деривативуудын ерөнхий хэлбэрийн тухай теоремоор I(x) = Ф(x) + C, Хаана C- тоо биш. Энэ тохиолдолд (1) томъёоны баруун тал нь хэлбэрийг авна

I(x) – I(а) = Ф(x) + C– (Ф(а) +C) = Ф(x) – Ф(а). (2)

Оруулсаны дараа (1) ба (2) томъёоноос xдээр бфункцийн тодорхой интегралыг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг е(т) интервалын дагуу [ а;б]:

Үүнийг ихэвчлэн томъёо гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбниц. Энд Ф(x)- функцийн аливаа эсрэг дериватив е(x).

Функцийн тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд е(x) интервалын дагуу [ а;б], та зарим эсрэг дериватив олох хэрэгтэй Ф(x) функцууд е(x) ба цэг дээрх эсрэг деривативын утгуудын зөрүүг тооцоол бТэгээд а. Эдгээр эсрэг дериватив утгуудын хоорондох ялгааг ихэвчлэн ᴛ.ᴇ тэмдгээр тэмдэглэдэг. .

Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох жишээг өгье.

Жишээ 1. .

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо та ашиглаж болно Хувьсах орлуулалтын томъёо:

Энд аТэгээд бтэгшитгэлээс тус тус тодорхойлогддог j(а) = а; j(б) = б, болон функцууд е,j, j¢зохих интервалаар тасралтгүй байх ёстой.

Жишээ 2..

Сэлгээ хийцгээе: ln x = tэсвэл x = e t, дараа нь хэрэв x = 1, тэгвэл t = 0 ба хэрэв x = e, Тэр t = 1. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.

Гэсэн хэдий ч хувьсагчдын өөрчлөлтийг ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолохдоо өмнөх интеграцийн хувьсагч руу буцах нь онц чухал биш юм. Интеграцийн шинэ хязгаарыг нэвтрүүлэхэд л хангалттай.

Функцийг зөвшөөр е(т) нь тухайн цэгийг агуулсан зарим интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилдэг а.Дараа нь тоо бүр xЭнэ интервалаас бид тоотой таарч болно,

Ингэснээр интервал дээр функцийг тодорхойлно I(x), хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг. Энэ үед анхаарна уу x = aЭнэ функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ функцийн деривативыг цэг дээр тооцоод үзье x. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тухайн цэг дээрх функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй xаргументыг нэмэгдүүлэх үед D x:

Д I(x) = I(x+Д x) – I(x) =

Зурагт үзүүлсэн шиг. 4, өсөлтийн томьёоны сүүлчийн интегралын утга D I(x) нь сүүдэрлэж тэмдэглэсэн муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна. Д-ийн бага утгуудад x(энд, энэ хичээлийн бусад хэсэгт, аргумент эсвэл функцийн жижиг өсөлтийн талаар ярихдаа бид өсөлтийн үнэмлэхүй хэмжээг хэлж байна, учир нь өсөлт нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно) энэ талбар нь ойролцоогоор тэнцүү байна. тэгш өнцөгтийн талбайг давхар зураасан дээр тэмдэглэсэн. Тэгш өнцөгтийн талбайг томъёогоор тодорхойлно е(x)D x. Эндээс бид хамаарлыг олж авдаг

Сүүлчийн ойролцоо тэгшитгэлд ойролцоолсон нарийвчлал өндөр байх тусам D-ийн утга бага байна. x.

Дээрхээс энэ нь функцийн деривативын томъёог дагаж мөрддөг I(x):

. (1)

Болъё Ф(x)нь мөн функцийн эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь функцийн бүх эсрэг деривативуудын ерөнхий хэлбэрийн тухай теоремоор I(x) = Ф(x) + C, Хаана C- хэдэн тоо. Энэ тохиолдолд (1) томъёоны баруун тал нь хэлбэрийг авна

I(x) – I(а) = Ф(x) + C– (Ф(а) +C) = Ф(x) – Ф(а). (2)

гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо. Энд Ф(x)- функцийн аливаа эсрэг дериватив е(x).

Функцийн тодорхой интегралыг тооцоолох е(x) интервалын дагуу [ а;б], та зарим эсрэг дериватив олох хэрэгтэй Ф(x) функцууд е(x) ба цэг дээрх эсрэг деривативын утгуудын зөрүүг тооцоол бТэгээд а. Эдгээр эсрэг дериватив утгуудын хоорондын ялгааг ихэвчлэн тэмдгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл. .

Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт.Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолохдоо асуудлыг шийдвэрлэх үе шатуудыг (интегралын эсрэг деривативыг олох, эсрэг деривативын өсөлтийг олох) хатуу ялгахгүй байхыг илүүд үздэг. Ялангуяа хувьсагчийг өөрчлөх томьёо, тодорхой интегралыг хэсэг хэсгээр нь интеграцчилдаг энэ арга нь ихэвчлэн шийдлийн бичвэрийг хялбарчлах боломжийг олгодог.

ТЕОРЕМ. φ(t) функц нь [α,β], a=φ(α), β=φ(β) интервал дээр тасралтгүй деривативтэй, f(x) функц нь x хэлбэрийн x цэг бүрт тасралтгүй байг. =φ(t), энд t [α,β].

Дараах тэгш байдал үнэн болно.

Энэ томъёог тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх томъёо гэж нэрлэдэг.

Тодорхой бус интегралтай адил хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглах нь интегралыг хялбарчлах боломжийг олгодог бөгөөд үүнийг хүснэгтийн (үүд) рүү ойртуулдаг. Түүнээс гадна, тодорхойгүй интегралаас ялгаатай нь энэ тохиолдолданхны интеграцийн хувьсагч руу буцах шаардлагагүй. φ(t)=a ба φ(t)=b тэгшитгэлийн t хувьсагчийн шийд болох шинэ t хувьсагч дээрх α ба β-ийн интегралчлалын хязгаарыг олоход л хангалттай. Практикт хувьсагчийг орлуулахдаа шинэ хувьсагчийн t=ψ(x) илэрхийллийг хуучин хувьсагчаар нь зааж эхэлдэг. Энэ тохиолдолд t хувьсагч дээрх интегралын хязгаарыг олох нь хялбаршсан: α=ψ(a), β=ψ(b).

Жишээ 19. Тооцоо

t=2-x 2 гэж үзье. Дараа нь dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx ба xdx=- dt. Хэрэв x=0 бол t=2-0 2 =2, хэрэв x=1 байвал t=2-1 2 =1 Иймд:

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх.Хэсэгчилсэн интегралын арга нь анхны тодорхойгүй интегралыг илүү их болгож багасгах боломжийг олгодог энгийн үзэмжэсвэл хүснэгтийн интеграл руу. Хэрэв интеграл нь логарифм, экспоненциал, урвуу тригонометрийг агуулсан бол энэ аргыг ихэвчлэн ашигладаг. тригонометрийн функцууд, түүнчлэн тэдгээрийн хослолууд.

Хэсэгээр нэгтгэх томъёо нь дараах байдалтай байна.

Энэ нь, интеграл f(x)dxфункцийн үржвэр болгон төлөөлнө u(x)дээр d(v(x))- дифференциал функц v(x). Дараа нь бид функцийг олно v(x)(ихэнхдээ аргаар шууд интеграци) Мөн d(u(x))- дифференциал функц u(x). Олсон илэрхийлэлүүдийг интегралд хэсгүүдийн томьёогоор орлуулах ба анхны тодорхойгүй интегралыг зөрүү болгон бууруулна. . Сүүлийн тодорхойгүй интегралыг аль ч интеграцийн аргыг, түүний дотор хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг ашиглан авч болно.