Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох. Интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ

Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?

Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба минимум юм.

Урьдчилсан нөхцөлФункцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, эсвэл хязгааргүй, эсвэл байхгүй байна.

Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэг дээрх дериватив нь энэ цэгт экстремум байхгүйгээр тэг, хязгааргүй эсвэл байхгүй байж болно.

Ямар байна хангалттай нөхцөлфункцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага)?

Эхний нөхцөл:

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. дээд тал нь

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. хамгийн багаЭнд f(x) функц тасралтгүй байх нөхцөлд.

Үүний оронд та функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглаж болно:

x = a цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёрдахь дериватив f??(a) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимумтай, эерэг бол минимумтай байна.

Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцын график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгууд болон график тасалдсан утгуудыг бид сонирхож байна.

Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.

y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.

Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2

Тэгшитгэлийг шийд: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN энэ тохиолдолдэгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Энэ аргументын утга нь функцэд байна экстремум. Түүнд олох, "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна уу:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн том ба хамгийн бага үнэ цэнэ?

Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөх үед деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.

Үзсэн жишээний хувьд:

Бид чухал цэгийн зүүн талд байгаа аргументийн дурын утгыг авна: x = -1

x = -1 үед деривативын утга нь y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "хасах").

Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1

x = 1 үед деривативын утга нь y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "нэмэх").

Таны харж байгаагаар дериватив нь эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхдөө тэмдэгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчилсөн. Энэ нь x0 чухал утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.

Хамгийн агуу ба үгүй бага утгафункцууд интервал дээр(сегмент дээр) ижил процедурыг ашиглан олно, зөвхөн бүх чухал цэгүүд заасан интервалд багтахгүй байж магадгүй гэдгийг харгалзан үзнэ. Интервалаас гадуур байгаа чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байгаа бол энэ нь хамгийн их эсвэл минимумтай байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгыг харгалзан үзнэ.

Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

интервалаар:

Тэгэхээр функцийн дериватив нь байна

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (интервалд ороогүй)

x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (интервалд ороогүй)

Бид функцийн утгыг олдог чухал үнэ цэнэаргумент:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Эндээс харахад [-9; 9] хамгийн өндөр үнэ цэнэфункц нь x = -4.88 байна:

x = -4.88, y = 5.398,

ба хамгийн бага нь - x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганцхан чухал цэг бий: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398-тай тэнцүү байна.

Интервалын төгсгөлд функцийн утгыг ол:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Интервал дээр [-6; -3] функцийн хамгийн их утга нь бидэнд байна

x = -4.88 үед y = 5.398

хамгийн бага утга -

x = -3 үед y = 1.077

Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хотгор талыг тодорхойлох вэ?

y = f(x) шугамын бүх гулзайлтын цэгийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлттай байна. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөхгүй бол нугалах зүйл байхгүй болно.

f тэгшитгэлийн язгуурууд? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн тодорхойлолтын мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун дээшээ хонхойж, сөрөг байвал доошоо чиглэсэн байна.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?

Тодорхойлолтын мужид ялгах боломжтой f(x,y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1) чухал цэгүүдийг олох, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийднэ

фх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.

бүх цэгийн хувьд (x;y) P0-д хангалттай ойр. Хэрэв ялгаа хэвээр байвал эерэг тэмдэг, тэгвэл P0 цэг дээр бид хамгийн багатай, сөрөг байвал хамгийн их нь байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол P0 цэгт экстремум байхгүй болно.

Функцийн экстремумыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно илүүаргументууд.

Аль хийжүүлсэн ундаа нь гадаргууг цэвэрлэдэг вэ?
Coca-Cola хийжүүлсэн ундаа нь махыг уусгаж чаддаг гэсэн ойлголт байдаг. Гэвч харамсалтай нь үүнийг шууд нотлох баримт байхгүй. Харин ч Кока-Кола ундаанд хоёр өдрийн турш үлдсэн мах нь хэрэглээний шинж чанараа өөрчилж, хаана ч алга болдоггүйг нотлох баримтууд байдаг.

Стандарт орон сууцны зураг төсөл, байшингийн тодорхойлолт, гэрэл зургийг дараахь вэбсайтаас үзэх боломжтой: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Неврозыг хэрхэн эмчлэх вэ
Мэдрэлийн эмгэг (Новолат. neurosis, эртний Грек хэлнээс гаралтай νε?ρον - мэдрэл; синонимууд - психоневроз, мэдрэлийн эмгэг) - клиникт: удаан үргэлжлэх хандлагатай байдаг функциональ сэтгэцийн эмгэгийн бүлгийн хамтын нэр.

Афелион гэж юу вэ
Апоцентр гэдэг нь өөр биеийг тойрон зууван тойрог замд эргэлдэж байгаа бие нь сүүлчийнхээс хамгийн их зайд хүрэх тойрог зам дахь цэг юм. Үүний зэрэгцээ Кеплерийн хоёр дахь хуулийн дагуу хурд тойрог замын хөдөлгөөнхамгийн бага болдог. Апоцентр нь периапсисын диаметрийн эсрэг цэг дээр байрладаг. Онцгой тохиолдолд тусгай нэр томъёог ашиглах нь заншилтай байдаг.

Мамон гэж юу вэ
Мамон (м.р.), маммон (f.r.) - Грек хэлнээс гаралтай үг. маммон ба эд баялаг, дэлхийн эрдэнэс, адислал гэсэн утгатай. Эртний паган шашинтнуудын дунд тэрээр эд баялаг, ашгийн бурхан байв. -д дурдсан Ариун сударСайн мэдээний номлогч Матай, Лук нараас: "Хэн ч хоёр эзэнд үйлчилж чадахгүй, учир нь тэр нэгийг нь үзэн ядах бөгөөд нөгөөг нь үзэн ядах болно.

2049 онд Ортодокс Улаан өндөгний баяр хэзээ болох вэ?
2015 онд Ортодокс Улаан өндөгний баяр 4-р сарын 12-нд, Католик Христийн Амилалтын баяр 4-р сарын 5-нд болно. IN сүмийн хуанлиОртодокс Улаан өндөгний баярын огноог дагуу өгсөн болно Жулиан хуанли (хуучин хэв маяг), Католик Улаан өндөгний баярыг орчин үеийн Григорийн хуанлийн дагуу тооцдог ( шинэ хэв маяг), тиймээс огноог харьцуулах нь оюуны хүчин чармайлт шаарддаг

Рубль гэж юу вэ
Рубль нь Орос, Беларусь (Беларусийн рубль), Приднестровийн (Транснестровийн рубль) орчин үеийн мөнгөн тэмдэгтүүдийн нэр юм. ОХУ-ын рубль мөн гүйлгээнд байна Өмнөд Осетболон Абхаз. Өнгөрсөнд - валютын нэгжОросын бүгд найрамдах улс, ноёдууд, Москвагийн Их Гүнт Улс, Оросын Хаант Улс, Литвийн Их Гүнт Улс, Оросын эзэнт гүрэнболон янз бүрийн

Ариэль Шарон комд хэр удаан байсан бэ?
Ариэль Арик Шарон (Шейнерман) - Израилийн цэрэг, улс төрийн болон төрийн зүтгэлтэн, 2001-2006 онд Израилийн Ерөнхий сайд. Төрсөн огноо: 1928 оны 2-р сарын 26 Төрсөн газар: Израилийн Кфар Савагийн ойролцоох Кфар Малал суурин Нас барсан огноо: 2014 оны 1-р сарын 11 Нас барсан газар: Рамат Ган, Гуш Дан, Из.

Неандертальчууд хэн байсан бэ?
Неандертал, Неандерталь хүн (лат. Хомо неандерталенсисэсвэл Хомо сапиенснеандерталин) - чулуужсан зүйл 300-24 мянган жилийн өмнө амьдарч байсан хүмүүс. Нэрийн гарал үүсэл Неандерталь гавлын ясыг анх 1856 онд олсон гэж үздэг.

Жеффри Раш хэдэн настай вэ
Жеффри Раш бол Австралийн кино, тайзны жүжигчин юм. Оскар (1997), BAFTA (1996, 1999), Алтан бөмбөрцөг (1997, 2005) шагналын эзэн. Ихэнх алдартай кинонуудтүүний оролцоотойгоор - "Гялалзах"

Функцийн графикийн гүдгэр ба хотгор интервалыг хэрхэн тодорхойлох вэ
Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ? Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба минимум юм. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) байх шаардлагатай нөхцөл нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, төгсгөлгүй эсвэл үгүй ​​болно. байдаг. Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. t дахь дериватив

Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь авч үзсэн интервал дахь ордны хүлээн зөвшөөрөгдсөн хамгийн том (хамгийн бага) утга юм.

Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. Өгөгдсөн сегментэд ямар хөдөлгөөнгүй цэгүүд багтаж байгааг шалгана уу.
2. 3-р алхамаас эхлэн сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол
3. Хүлээн авсан үр дүнгээс хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно уу.

Хамгийн их буюу хамгийн бага оноог олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1. $f"(x)$ функцийн уламжлалыг ол
2. $f"(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдэж хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол
3. Функцийн деривативыг хүчин зүйл болгох.
4. 3-р алхам дахь тэмдэглэгээг ашиглан координатын шугамыг зурж, суурин цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
5. Дүрмийн дагуу хамгийн их буюу хамгийн бага оноог ол: хэрэв тухайн үед дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг болно (хэрэв хасахаас нэмэх бол энэ нь хамгийн бага цэг болно). Практикт сумны дүрсийг интервалаар ашиглах нь тохиромжтой байдаг: дериватив эерэг байх интервал дээр сумыг дээш, эсрэгээр зурдаг.

Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт:

Ялгаварлах үндсэн дүрмүүд

1. Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$(f(x) ± g(x))'= f'(x)± g'(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Бүтээгдэхүүний дериватив.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ деривативыг ол

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Хэсгийн дериватив

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Дериватив нарийн төвөгтэй функцгадаад функцын дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ функцийн хамгийн бага цэгийг ол

1. Олъё ODZ функцууд: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ функцийн уламжлалыг ол.

3. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол

$(2x+21)/(x+11)=0$

Хэрэв тоологч бол бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна тэгтэй тэнцүү, мөн хуваагч нь тэг биш байна

$2x+21=0; x≠-11$

4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хамгийн баруун талын мужаас дурын тоог дериватив болгон орлуулаарай, жишээлбэл, тэг.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Минимум цэг дээр дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул $-10.5$ цэг нь хамгийн бага цэг болно.

Хариулт: -10.5 доллар

$[-5;1]$ сегмент дээрх $y=6x^5-90x^3-5$ функцийн хамгийн их утгыг ол.

1. $y′=30x^4-270x^2$ функцийн деривативыг ол.

2. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, суурин цэгүүдийг ол

$30x^4-270x^2=0$

Бид үүнийг гаргана нийтлэг үржүүлэгч$30x^2$ хаалтанд

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүү болгоё

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Харъяалагдах хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг сонгоно энэ сегмент $[-5;1]$

$x=0$ ба $x=-3$ хөдөлгөөнгүй цэгүүд бидэнд тохирно

4. 3-р алхамаас эхлэн сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоол

Үүнийг шийдэхийн тулд та сэдвийн талаар хамгийн бага мэдлэгтэй байх хэрэгтэй. Дараагийнх нь дуусна хичээлийн жил, хүн бүр амралтаараа явахыг хүсдэг бөгөөд энэ мөчийг ойртуулахын тулд би тэр даруйд нь хүрэх болно.

Бүс нутгаас эхэлье. Нөхцөл байдалд дурдсан талбай нь хязгаарлагдмал хаалттай хавтгай дээрх цэгүүдийн багц. Жишээлбэл, БҮХЭЛ гурвалжинг оруулаад гурвалжингаар хүрээлэгдсэн цэгүүдийн багц (хэрэвээс хил хязгаарДор хаяж нэг цэгийг "хатгавал" бүс хаагдахаа болино). Практикт тэгш өнцөгт, дугуй хэлбэртэй, арай том талбайнууд бас байдаг. нарийн төвөгтэй хэлбэрүүд. Үүнийг онолын хувьд тэмдэглэх нь зүйтэй математик шинжилгээхатуу тодорхойлолтуудыг өгсөн хязгаарлалт, тусгаарлалт, хил хязгаар гэх мэт., гэхдээ хүн бүр эдгээр ойлголтуудыг зөн совингийн түвшинд мэддэг гэж би бодож байна, одоо өөр юу ч хэрэггүй.

Хавтгай бүсийг стандарт үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд дүрмээр бол аналитик байдлаар хэд хэдэн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. (заавал шугаман биш); тэгш бус байдал бага тохиолддог. Ердийн хэллэгийн эргэлт: "хаалттай газар, шугамаар хязгаарлагдсан ».

Харж буй ажлын салшгүй хэсэг бол зураг дээрх талбайг барих явдал юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Та жагсаасан бүх шугамыг зурах хэрэгтэй (энэ тохиолдолд 3 Чигээрээ) болон юу болсныг шинжлэх. Хайж буй хэсэг нь ихэвчлэн бага зэрэг сүүдэрлэдэг бөгөөд түүний хил нь зузаан шугамаар тэмдэглэгдсэн байдаг.


Үүнтэй ижил талбайг тохируулж болно шугаман тэгш бус байдал: , ямар нэг шалтгааны улмаас бус харин тоологдсон жагсаалт хэлбэрээр бичигдсэн байдаг систем.
Хил нь тухайн бүс нутагт хамаарах тул бүх тэгш бус байдал нь мэдээжийн хэрэг, сул.

Одоо даалгаврын мөн чанар. Тэнхлэг нь гарал үүслээсээ шууд өөр рүүгээ гарч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. гэсэн функцийг авч үзье Үргэлжилсэн бүртбүсийн цэг. Энэ функцийн график нь заримыг харуулж байна гадаргуу, Мөн бага зэрэг аз жаргалӨнөөдрийн асуудлыг шийдэхийн тулд бид энэ гадаргуу ямар харагддагийг мэдэх шаардлагагүй юм. Энэ нь илүү өндөр, доогуур байрлаж, онгоцыг огтолж болно - энэ бүхэн хамаагүй. Дараах нь чухал юм: дагуу Вейерштрассын теоремууд, ҮргэлжилсэнВ хязгаарлагдмал хаалттайталбарт функц хамгийн их утгад хүрнэ (хамгийн их")ба хамгийн бага ("хамгийн бага")олох шаардлагатай үнэт зүйлс. Ийм үнэт зүйлд хүрдэг эсвэлВ суурин цэгүүд, бүс нутагт харьяалагддагД , эсвэлэнэ хэсгийн хил дээр байрлах цэгүүдэд. Энэ нь энгийн бөгөөд ил тод шийдлийн алгоритмд хүргэдэг:

Жишээ 1

Хязгаарлагдмал хаалттай талбай

Шийдэл: Юуны өмнө та зураг дээрх талбайг дүрслэх хэрэгтэй. Харамсалтай нь техникийн хувьд үүнийг хийхэд хэцүү байна интерактив загвардаалгавар, тиймээс би судалгааны явцад олдсон бүх "сэжигтэй" цэгүүдийг дүрсэлсэн эцсийн дүрслэлийг нэн даруй танилцуулах болно. Тэдгээрийг ихэвчлэн илрүүлсний дараа дараалан жагсаадаг.

Оршил хэсэгт үндэслэн шийдвэрийг хоёр хэсэгт хувааж болно.

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол. Энэ бол бидний хичээл дээр олон удаа хийдэг стандарт үйлдэл юм. хэд хэдэн хувьсагчийн экстремумуудын тухай:

Хөдөлгөөнгүй цэгийг оллоо харьяалагддагбүс нутаг: (зураг дээр тэмдэглэнэ үү), энэ нь өгөгдсөн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолох ёстой гэсэн үг юм.

- нийтлэлд байгаа шиг Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд, чухал үр дүнБи үүнийг тодоор бичнэ. Тэднийг дэвтэрт харандаагаар зурах нь тохиромжтой.

Бидний хоёр дахь аз жаргалд анхаарлаа хандуулаарай - шалгах нь утгагүй юм экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Яагаад? Тухайн үед функц хүрч байсан ч, жишээлбэл, орон нутгийн доод хэмжээ , тэгвэл энэ нь үр дүнгийн утга болно гэсэн үг биш хамгийн багабүс нутаг даяар (хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү болзолгүй туйлшралын тухай) .

Хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй бол яах вэ? Бараг юу ч биш! Үүнийг тэмдэглээд дараагийн цэг рүү шилжих хэрэгтэй.

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна.

Хил нь гурвалжингийн талуудаас бүрддэг тул судалгааг 3 дэд хэсэгт хуваахад тохиромжтой. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг хийхгүй байх нь дээр. Миний бодлоор эхлээд параллель сегментүүдийг авч үзэх нь илүү ашигтай юм координатын тэнхлэгүүд, юуны түрүүнд сүх дээр хэвтэж байгаа хүмүүс өөрсдөө. Үйлдлүүдийн бүх дараалал, логикийг ойлгохын тулд "нэг амьсгалаар" төгсгөлийг судлахыг хичээ.

1) Гурвалжны доод талыг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд функц руу шууд орлуулна уу:

Эсвэл та үүнийг дараах байдлаар хийж болно.

Геометрийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм координатын хавтгай (энэ нь мөн тэгшитгэлээр өгөгдсөн)-аас "сийлдэг" гадаргуу"орон зайн" парабол, түүний орой нь тэр даруй сэжиглэгдэж байна. Үүнийг олж мэдье тэр хаана байрладаг вэ:

- үүссэн утга нь тухайн хэсэгт "унасан" бөгөөд энэ нь тухайн үед гарч ирж магадгүй юм (зураг дээр тэмдэглэгдсэн)функц нь бүх бүс нутгийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгад хүрдэг. Ямар нэг байдлаар тооцооллыг хийцгээе:

Бусад "нэр дэвшигчид" нь мэдээжийн хэрэг сегментийн төгсгөлүүд юм. Функцийн утгыг цэгүүдээр тооцоолъё (зураг дээр тэмдэглэгдсэн):

Энд, дашрамд хэлэхэд, та "хуулагдсан" хувилбарыг ашиглан аман мини шалгалт хийж болно.

2) Судалгааны зорилгоор баруун талБид гурвалжинг функцэд орлуулж, "юмыг эмх цэгцтэй болгоно":

Энд бид нэн даруй бүдүүлэг шалгалт хийж, сегментийн аль хэдийн боловсруулсан төгсгөлийг "дуугана":
, Агуу их.

Геометрийн нөхцөл байдал нь өмнөх цэгтэй холбоотой:

- үүссэн утга нь "бидний ашиг сонирхлын хүрээнд орж ирсэн" бөгөөд энэ нь гарч ирсэн цэг дээрх функц нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Сегментийн хоёр дахь төгсгөлийг авч үзье:

Функцийг ашиглах , хяналтын шалгалт хийцгээе:

3) Үлдсэн талыг хэрхэн судлахыг хүн бүр тааж магадгүй юм. Бид үүнийг функцэд орлуулж, хялбаршуулж байна:

Сегментийн төгсгөлүүд аль хэдийн судлагдсан боловч ноорог дээр бид функцийг зөв олсон эсэхийг шалгасаар байна :
- 1-р дэд хэсгийн үр дүнтэй давхцсан;
– 2-р заалтын үр дүнтэй давхцсан.

Сегмент дотор ямар нэгэн сонирхолтой зүйл байгаа эсэхийг олж мэдэхэд л үлдлээ.

- Байгаа! Шулуун шугамыг тэгшитгэлд орлуулснаар бид энэхүү "сонирхолтой байдлын" ординатыг олж авна.

Бид зураг дээрх цэгийг тэмдэглээд функцийн харгалзах утгыг олно.

"Төсөв" хувилбарыг ашиглан тооцооллыг шалгацгаая :
, захиалга.

Мөн эцсийн алхам: Бид бүх "том" тоонуудыг анхааралтай ажиглаж байгаа тул эхлэгчдэд нэг жагсаалт гаргахыг зөвлөж байна.

үүнээс бид хамгийн том ба хамгийн бага утгыг сонгоно. ХариултОлж буй бодлогын хэв маягаар бичье сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:

Ямар ч тохиолдолд би дахин тайлбар хийх болно геометрийн утгаүр дүн:
- энд хамгийн их байна өндөр онооталбайн гадаргуу;
- энд хамгийн их байна доод цэгталбайн гадаргуу.

Шинжилгээнд хамрагдсан даалгаварт бид 7 "сэжигтэй" цэгийг тодорхойлсон боловч тэдгээрийн тоо ажил бүрд өөр өөр байдаг. Гурвалжин бүсийн хувьд хамгийн бага "судалгааны багц" -аас бүрдэнэ гурван оноо. Энэ нь функц, жишээлбэл, зааж өгөх үед тохиолддог онгоц- Тогтвортой цэгүүд байхгүй нь тодорхой бөгөөд функц нь зөвхөн гурвалжны оройд хамгийн их / хамгийн бага утгуудад хүрч чаддаг. Гэхдээ үүнтэй төстэй ганц эсвэл хоёр жишээ байдаг - ихэвчлэн та ямар нэгэн зүйлтэй тулгардаг 2-р эрэмбийн гадаргуу.

Хэрэв та ийм даалгавруудыг бага зэрэг шийдэх гэж оролдвол гурвалжин таны толгойг эргүүлж чаддаг тул би танд зориулж бэлдсэн. ер бусын жишээнүүдингэснээр дөрвөлжин болно :))

Жишээ 2

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол шугамаар хязгаарлагдсан битүү талбайд

Жишээ 3

Хязгаарлагдмал хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Онцгой анхааралБүс нутгийн хил хязгаарыг судлах оновчтой дараалал, техник, түүнчлэн завсрын шалгалтын гинжин хэлхээнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ нь тооцооллын алдаанаас бараг бүрэн зайлсхийх болно. Ерөнхийдөө та үүнийг хүссэнээрээ шийдэж болно, гэхдээ зарим асуудалд, жишээлбэл, 2-р жишээнд таны амьдралыг илүү хэцүү болгох бүх боломж бий. Ойролцоогоор дээжхичээлийн төгсгөлд даалгавраа дуусгах.

Шийдлийн алгоритмыг системчилье, эс тэгвээс аалз шиг хичээнгүйлэн ажилласнаар энэ нь 1-р жишээний тайлбарын урт хэлхээнд ямар нэгэн байдлаар төөрсөн:

– Эхний шатанд бид талбайг барьж байгаа тул түүнийг сүүдэрлэж, хилийг тод зураасаар тодруулахыг зөвлөж байна. Шийдэл хийх явцад зураг дээр тэмдэглэх шаардлагатай цэгүүд гарч ирнэ.

– Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олж, функцийн утгыг тооцоол зөвхөн тэдний доторбүс нутагт харьяалагддаг. Бид текст дэх үр дүнгийн утгыг тодруулна (жишээлбэл, харандаагаар дугуйлна уу). Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй бол бид энэ баримтыг дүрс эсвэл аман хэлбэрээр тэмдэглэнэ. Хэрэв суурин цэгүүдогт биш, тэгвэл бид тэд байхгүй байна гэсэн бичгээр дүгнэлт гаргадаг. Ямар ч тохиолдолд энэ цэгийг алгасах боломжгүй юм!

– Бүс нутгийн хилийг судалж байна. Нэгдүгээрт, координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг ойлгох нь ашигтай байдаг (хэрэв байгаа бол). Бид мөн "сэжигтэй" цэгүүдэд тооцоолсон функцийн утгыг онцлон тэмдэглэв. Уусмалын аргын талаар дээр маш их зүйлийг хэлсэн бөгөөд доор өөр зүйлийг хэлэх болно - унш, дахин унш, гүнзгийрээрэй!

– Сонгосон тоонуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгоод хариултаа өгнө үү. Заримдаа функц нь нэг дор хэд хэдэн цэг дээр ийм утгуудад хүрдэг - энэ тохиолдолд эдгээр бүх цэгүүдийг хариултанд тусгах ёстой. Жишээлбэл, Энэ нь хамгийн бага үнэ цэнэ болох нь тогтоогдсон. Дараа нь бид үүнийг бичнэ

Эцсийн жишээнүүд нь бусад хүмүүст зориулагдсан болно ашигтай санаануудЭнэ нь практикт ашигтай байх болно:

Жишээ 4

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол .

Талбайг давхар тэгш бус хэлбэрээр өгсөн зохиогчийн томъёоллыг би хэвээр үлдээсэн. Энэ нөхцлийг бичиж болно эквивалент системэсвэл энэ даалгаварт илүү уламжлалт хэлбэрээр:

Би үүнийг танд сануулж байна шугаман бусдээр бид тэгш бус байдалтай тулгарсан бөгөөд хэрэв та тэмдэглэгээний геометрийн утгыг ойлгохгүй байгаа бол хойшлуулж болохгүй бөгөөд нөхцөл байдлыг яг одоо тодруулна уу;-)

Шийдэл, урьдын адил нэг төрлийн "ул"-ыг төлөөлөх талбайг барьж эхэлдэг:

Хмм, заримдаа зөвхөн шинжлэх ухааны боржин чулууг зажлах хэрэгтэй ...

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол:

Систем бол тэнэг хүний ​​мөрөөдөл :)

Хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүс нутагт хамаардаг, тухайлбал түүний хил дээр байрладаг.

За тэгэхээр... хичээл амжилттай боллоо - зөв цай ууна гэдэг энэ л гэсэн үг =)

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна. Захиалахгүйгээр x тэнхлэгээс эхэлье.

1) Хэрэв бол

Параболагийн орой хаана байгааг олъё.
- ийм мөчүүдийг үнэлээрэй - та бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болох хүртэл "цохисон". Гэхдээ бид шалгахаа мартдаггүй:

Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё.

2) "Нэг суултаар" "ул" -ын доод хэсгийг авч үзье - ямар ч цогцолборгүйгээр бид үүнийг функцэд орлуулж, зөвхөн сегментийг сонирхох болно.

Хяналт:

Энэ нь дугуйтай зам дагуу нэгэн хэвийн жолоодлого хийхэд аль хэдийн сэтгэлийн хөөрлийг авчирдаг. Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Шийдье квадрат тэгшитгэл, та энэ талаар өөр зүйл санаж байна уу? ...Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, тэгэхгүй бол та эдгээр мөрүүдийг уншихгүй байх байсан гэдгийг санаарай =) Хэрэв өмнөх хоёр жишээнд тооцооллыг аравтын бутархай(Дашрамд хэлэхэд энэ нь ховор тохиолддог), ердийнх нь биднийг энд хүлээж байна энгийн бутархай. Бид "X" үндсийг олж, "нэр дэвшигч" цэгүүдийн харгалзах "тоглоомын" координатыг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийг ашиглана.


Олдсон цэгүүд дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Функцийг өөрөө шалгана уу.

Одоо бид хожсон цомуудыг сайтар судалж, бичиж байна хариулах:

Эдгээр нь "нэр дэвшигчид", эдгээр нь "нэр дэвшигчид"!

Учир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 5

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол хаалттай газар

Бичлэг хийж байна буржгар хаалт"Тийм цэгүүдийн багц" гэж ингэж уншина.

Заримдаа ордог ижил төстэй жишээнүүдашиглах Лагранжийн үржүүлэгчийн арга, гэхдээ үүнийг ашиглах бодит шаардлага байхгүй байх магадлалтай. Жишээлбэл, хэрэв "de" талбайтай ижил функц өгөгдсөн бол түүнийг орлуулсны дараа - ямар ч бэрхшээлээс үүссэн дериватив; Түүнээс гадна дээд ба доод хагас тойргийг тусад нь авч үзэх шаардлагагүйгээр бүх зүйлийг "нэг мөрөнд" (тэмдэглэгээтэй) зурдаг. Гэхдээ мэдээж илүү олон зүйл бий нарийн төвөгтэй тохиолдлууд, хаана Лагранж функц байхгүй байна (жишээлбэл, тойрогтой ижил тэгшитгэл байна)Сайн амрахгүйгээр явахад хэцүү байдаг шиг үүнийг даван туулахад хэцүү байдаг!

Бүгдээрээ сайхан амраарай, дараа улирал удахгүй уулзацгаая!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл: Зураг дээрх талбайг дүрсэлцгээе:

Бяцхан бас хөөрхөн энгийн даалгавархөвөгч оюутны амь насыг хамгаалах үүрэг гүйцэтгэдэг ангиллаас. Байгаль дээр 7-р сарын дунд үе тул далайн эрэг дээр зөөврийн компьютерээ ашиглах цаг болжээ. Өглөө эрттоглож эхлэв нарлаг туулайТун удахгүй практикт анхаарлаа төвлөрүүлэхийн тулд онол нь хялбар гэж мэдэгдээд байгаа хэдий ч элсэнд шилний хэлтэрхий агуулсан байдаг. Үүнтэй холбогдуулан би энэ хуудасны цөөн хэдэн жишээг ухамсартайгаар авч үзэхийг зөвлөж байна. Шийдлийн хувьд практик даалгаварчадвартай байх ёстой деривативуудыг олохмөн нийтлэлийн материалыг ойлгох Функцийн монотоникийн интервал ба экстремум.

Нэгдүгээрт, гол зүйлийн талаар товчхон хэлье. тухай хичээл дээр функцийн тасралтгүй байдалБи нэг цэгийн тасралтгүй байдал, завсарлагааны тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгсөн. Сегмент дээрх функцын үлгэр жишээ зан төлөвийг ижил төстэй байдлаар томъёолсон болно. Функц нь интервал дээр тасралтгүй байна, хэрэв:

1) интервал дээр тасралтгүй байна;
2) нэг цэг дээр тасралтгүй баруун талдмөн цэг дээр зүүн.

Хоёр дахь догол мөрөнд бид гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар ярьсан нэг талын тасралтгүй байдалцэг дээр ажилладаг. Үүнийг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг, гэхдээ би өмнө нь эхлүүлсэн шугамаа баримтална:

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байна баруун талд, хэрэв энэ нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд түүний баруун гар талын хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай давхцаж байвал: . Энэ нь цэг дээр үргэлжилдэг зүүн, хэрэв өгөгдсөн цэг болон түүний зүүн талын хязгаарт тодорхойлогдсон бол утгатай тэнцүү байнаэнэ үед:

Төсөөлдөө ногоон цэгүүд- эдгээр нь шидэт уян туузыг бэхэлсэн хадаас юм.

Оюун санааны хувьд улаан шугамыг гартаа аваарай. Мэдээжийн хэрэг, бид графикийг дээш доош (тэнхлэгийн дагуу) хичнээн хол сунгасан ч функц хэвээр байх болно. хязгаарлагдмал– дээд талд нь хашаа, доод талд нь хашаа, хашаанд манай бүтээгдэхүүн бэлчдэг. Тиймээс, интервал дээр үргэлжилсэн функц үүн дээр хязгаарлагддаг. Математикийн шинжилгээний явцад энэ энгийн мэт санагдах баримтыг хэлж, хатуу нотолсон болно. Вейерштрассын анхны теорем....Математикт энгийн хэллэгүүд уйтгартай үндэслэлтэй байдаг нь олон хүн бухимддаг ч энэ нь чухал ач холбогдолтой юм. Дундад зууны Терригийн тодорхой оршин суугч тэнгэрт харагдахуйц хэмжээнээс хэтэрсэн график татсан гэж бодъё. Телескопыг зохион бүтээхээс өмнө сансар огторгуй дахь хязгаарлагдмал функц нь огт тодорхойгүй байсан! Үнэхээр биднийг тэнгэрийн хаяанд юу хүлээж байгааг та яаж мэдэх вэ? Эцсийн эцэст, дэлхийг нэгэн цагт хавтгай гэж үздэг байсан тул өнөөдөр энгийн телепортац хүртэл нотлох баримт шаарддаг =)

дагуу Вейерштрассын хоёр дахь теорем, сегмент дээр тасралтгүйфункц түүндээ хүрнэ үнэн зөв дээд ирмэг Харин таных яг доод ирмэг .

Энэ дугаарыг бас дууддаг сегмент дээрх функцийн хамгийн их утгаба -аар тэмдэглэгдсэн, тоо нь байна сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгатэмдэглэгдсэн.

Манай тохиолдолд:

Анхаарна уу : онолын хувьд бичлэгүүд нийтлэг байдаг .

Товчоор хэлбэл, хамгийн том утга нь график дээрх хамгийн өндөр цэг байх ба хамгийн бага утга нь хамгийн бага цэг байх явдал юм.

Чухал!Энэ тухай нийтлэлд аль хэдийн онцолсон функцийн экстремум, хамгийн их функцийн утгаТэгээд функцийн хамгийн бага утга – АДИЛХАН БИШ, Юу хамгийн их функцТэгээд хамгийн бага функц. Тиймээс авч үзэж буй жишээн дээр тоо нь функцийн хамгийн бага утга боловч хамгийн бага утга биш юм.

Дашрамд хэлэхэд сегментээс гадуур юу болдог вэ? Тийм ээ, үер ч гэсэн авч үзэж буй асуудлын хүрээнд энэ нь биднийг огт сонирхдоггүй. Даалгавар нь зөвхөн хоёр тоог олох явдал юм тэгээд л болоо!

Түүнээс гадна шийдэл нь зөвхөн аналитик шинж чанартай байдаг зураг зурах шаардлагагүй!

Алгоритм нь гадаргуу дээр байрладаг бөгөөд дээрх зургаас өөрийгөө харуулж байна.

1) Функцийн утгыг ол чухал цэгүүд, Энэ сегментэд хамаарах.

Өөр нэг урамшуулал аваарай: энд экстремумын хангалттай нөхцөлийг шалгах шаардлагагүй, учир нь зүгээр л харуулсанчлан хамгийн бага эсвэл дээд хэмжээ байгаа эсэх. хараахан баталгаа өгөхгүй байна, хамгийн бага нь хэд вэ эсвэл хамгийн их утга. Үзүүлэн харуулах функц нь дээд талдаа хүрч, хувь заяаны хүслээр ижил тоо нь сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга юм. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, ийм давхцал үргэлж тохиолддоггүй.

Тиймээс эхний алхамд сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох нь илүү хурдан бөгөөд хялбар бөгөөд тэдгээрт экстремум байгаа эсэхээс үл хамаарна.

2) Бид сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолно.

3) 1, 2-р догол мөрөнд байгаа функцүүдийн утгуудаас хамгийн жижиг, хамгийн ихийг сонгоно уу. том тоо, хариултыг бичнэ үү.

Бид эрэг дээр сууна цэнхэр далайГүехэн ус руу өсгийгөөрөө цохив:

Жишээ 1

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

Шийдэл:
1) Энэ сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолъё.

Хоёр дахь функцийн утгыг тооцоолъё чухал цэг:

2) Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё.

3) Экспонент ба логарифмын тусламжтайгаар "Бод" үр дүнг олж авсан нь тэдгээрийн харьцуулалтыг ихээхэн хүндрүүлдэг. Энэ шалтгааны улмаас тооцоолуур эсвэл Excel-ээр өөрийгөө зэвсэглэж, ойролцоо утгыг тооцоолъё, үүнийг мартаж болохгүй.

Одоо бүх зүйл тодорхой боллоо.

Хариулт:

Бие даасан шийдлийн бутархай-рационал жишээ:

Жишээ 6

Хамгийн ихийг олох ба хамгийн бага утгаинтервал дээрх функцууд

Энэ нийтлэлд би функцийг судлахдаа олох чадварыг хэрхэн ашиглах талаар ярих болно: түүний хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олох. Дараа нь бид B15 даалгавраас хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно Банк нээх-д зориулсан даалгавар.

Ердийнх шигээ эхлээд онолыг санацгаая.

Функцийн аливаа судалгааны эхэнд бид үүнийг олдог

Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд функц аль интервалд нэмэгдэж, аль үед буурч байгааг шалгах хэрэгтэй.

Үүнийг хийхийн тулд функцийн деривативыг олж, түүний тогтмол тэмдэгтийн интервалууд, өөрөөр хэлбэл үүсмэл шинж тэмдэгээ хадгалах интервалуудыг шалгах хэрэгтэй.

Функцийн дериватив эерэг байх интервалууд нь функцийн өсөлтийн интервалууд юм.

Функцийн дериватив сөрөг байх интервалууд нь буурах функцийн интервалууд юм.

1 . В15 даалгаврыг шийдье (No 245184)

Үүнийг шийдэхийн тулд бид дараах алгоритмыг баримтална.

a) Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол

б) Функцийн деривативыг олъё.

в) Үүнийг тэгтэй тэнцүүлье.

г) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олъё.

e) Функц хамгийн их утгыг авах цэгийг ол.

f) Энэ цэг дэх функцийн утгыг ол.

Би энэ даалгаврын нарийвчилсан шийдлийг ВИДЕО СУРГАЛТ дээр тайлбарлав.

Таны хөтөч дэмжигдээгүй байж магадгүй. Дасгалжуулагч ашиглахын тулд " Улсын нэгдсэн шалгалтын цаг", татаж аваад үзээрэй
Firefox

2. В15 даалгаврыг шийдье (No 282862)

Функцийн хамгийн том утгыг ол сегмент дээр

Функц нь х=2-ийн хамгийн их цэг дээр сегмент дээрх хамгийн их утгыг авдаг нь тодорхой байна. Энэ үед функцийн утгыг олъё:

Хариулт: 5

3. В15 (No245180) даалгаврыг шийдье:

Функцийн хамгийн том утгыг ол

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Учир нь анхны функцийн тодорхойлолтын домэйны дагуу title="4-2x-x^2>0)">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Үед тоологч нь тэгтэй тэнцүү байна. ODZ нь функцэд хамаарах эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд нөхцөлийн title="4-2x-x^2>0) эсэхийг шалгая."> при .!}

Гарчиг="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

Энэ нь цэг нь ODZ функцэд хамаарна гэсэн үг юм

Цэгийн баруун ба зүүн талд байгаа деривативын тэмдгийг шалгая:

Функц тухайн цэг дээр хамгийн их утгыг авч байгааг бид харж байна. Одоо дараах функцийн утгыг олъё:

Тайлбар 1. Энэ асуудалд бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олоогүй болохыг анхаарна уу: бид зөвхөн хязгаарлалтуудыг засч, үүсмэл нь тэгтэй тэнцүү байх цэг нь функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах эсэхийг шалгасан. Энэ нь энэ даалгаварт хангалттай байсан. Гэсэн хэдий ч энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Энэ нь даалгавараас хамаарна.

Тайлбар 2. Нарийн төвөгтэй функцийн зан төлөвийг судлахдаа дараах дүрмийг ашиглаж болно.

• Хэрэв нийлмэл функцийн гадаад функц нэмэгдэж байвал тухайн үед функц хамгийн их утгыг авна дотоод функцхамгийн их үнэ цэнийг авдаг. Энэ нь өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй: хэрэв функц I интервал дээр нэмэгддэг илүү өндөр үнэ цэнээнэ интервалын аргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна.
• Хэрэв нийлмэл функцийн гадаад функц буурч байвал дотоод функц хамгийн бага утгыг авах үед функц хамгийн том утгыг авна. . Энэ нь буурах функцийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй: хэрэв энэ интервал дахь аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байвал функц I интервал дээр буурдаг.

Бидний жишээн дээр гадаад функц нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд нэмэгддэг. Логарифмын тэмдгийн дор илэрхийлэл байна - квадрат гурвалжин, сөрөг тэргүүлэх коэффициенттэй тухайн цэг дээр хамгийн их утгыг авна . Дараа нь бид х-ийн энэ утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулна мөн түүний хамгийн том үнэ цэнийг олох.