Энэ сэдвээр бид тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудын талаар, мөн дурдсан шинж чанаруудыг ашиглан интегралуудыг өөрсдөө олох талаар дэлгэрэнгүй ярих болно. Мөн бид тодорхойгүй интегралын хүснэгттэй ажиллах болно. Энд толилуулж буй материал бол "Тодорхойгүй интеграл. Эхлэл" сэдвийн үргэлжлэл юм. Үнэнийг хэлэхэд, in туршилтуудЕрдийн хүснэгтүүд болон/эсвэл энгийн шинж чанаруудыг ашиглан авч болох интегралууд ховор байдаг. Эдгээр шинж чанаруудыг цагаан толгойтой харьцуулж болох бөгөөд мэдлэг, ойлголт нь бусад сэдвүүдэд интегралыг шийдвэрлэх механизмыг ойлгоход шаардлагатай байдаг. Интегралын хүснэгт, тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглан интеграцийг ихэвчлэн нэрлэдэг шууд интеграци.

Миний олж авсан зүйл: функцүүд өөрчлөгдөж байгаа ч деривативыг олох томъёо нь интегралаас ялгаатай нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд үүний тулд бид хоёр аргыг аль хэдийн жагсаасан байсан.

Үргэлжлүүлье. $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ деривативыг олохын тулд бүх $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ ижил томъёонд хамаарах бөгөөд үүнд та $u=x^(-\frac(1)(2)) гэж орлуулах шаардлагатай болно. $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Харин интегралыг олохын тулд $\int x^(-\frac(1)(). 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ шинэ аргыг ашиглах шаардлагатай болно - Чебышевын орлуулалт.

Эцэст нь: $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ функцийн деривативыг олохын тулд $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" томъёог бичнэ. $ дахин хэрэгжиж байгаа бөгөөд үүнд $u$ ба $v$-ийн оронд $\sin x$ болон $\frac(1)(x)$-г $\int \sin x\cdot\frac(1) гэж орлуулна )(x) dx$-ыг илүү нарийвчлалтайгаар илэрхийлээгүй эцсийн тооүндсэн функцууд.

Дүгнэж хэлье: деривативыг олохын тулд нэг томьёо шаардлагатай байсан бол интегралд дөрөв (мөн энэ нь хязгаар биш) шаардлагатай байв. сүүлчийн тохиолдолинтегралыг байрлуулахаас огт татгалзсан. Функцийг өөрчилсөн - хэрэгтэй шинэ аргаинтеграци. Энд бид лавлах номонд олон хуудастай хүснэгтүүд байдаг. Байхгүй ерөнхий арга("гараар" шийдвэрлэхэд тохиромжтой) нь зөвхөн өөрсдийн, маш хязгаарлагдмал ангиллын функцийг нэгтгэхэд зориулагдсан олон тооны хувийн аргуудыг бий болгодог (цаашид бид эдгээр аргуудыг нарийвчлан авч үзэх болно). Хэдийгээр би Risch алгоритм байгааг анзаарахгүй байхын аргагүй (Би танд Википедиа дээрх тайлбарыг уншихыг зөвлөж байна) энэ нь зөвхөн тодорхой бус интегралыг боловсруулахад тохиромжтой.

Асуулт №3

Гэхдээ ийм олон шинж чанарууд байгаа бол би яаж интеграл авч сурах вэ? Деривативтай бол илүү хялбар байсан!

Хүний хувьд одоохондоо ганц л зам бий: яаж хийхээ шийдэх илүү олон жишээЯнз бүрийн интеграцийн аргуудыг ашиглах, ингэснээр шинэ тодорхойгүй интеграл гарч ирэх үед та өөрийн туршлага дээр үндэслэн түүнийг шийдэх аргыг сонгох боломжтой. Хариулт нь тийм ч тайвшрахгүй гэдгийг ойлгож байна, гэхдээ өөр арга байхгүй.

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Өмч No1

Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү, i.e. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Интеграл ба дериватив нь харилцан хамааралтай тул энэ өмч нь нэлээд байгалийн юм урвуу үйлдлүүд. Жишээ нь, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ гэх мэт.

Өмч No2

Үгүй тодорхой интегралзарим функцийн дифференциал нь энэ функцтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Ихэвчлэн энэ өмчЭнэ нь интеграл дор "юу ч байхгүй" мэт санагддаг тул зарим талаараа хэцүү гэж үздэг. Үүнээс зайлсхийхийн тулд та заасан шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Энэ өмчийг ашиглах жишээ: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ эсвэл хэрэв хүсвэл энэ хэлбэрээр: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Өмч No3

Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно, i.e. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (бид $a\neq 0$ гэж үздэг).

Үл хөдлөх хөрөнгө нь маш энгийн бөгөөд магадгүй тайлбар шаарддаггүй. Жишээ нь: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Өмч No4

Хоёр функцийн нийлбэрийн (ялгаа) интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр функцүүдийн интегралуудын (ялгаанууд):

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Жишээ нь: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

Стандарт туршилтуудад №3 ба 4-р шинж чанаруудыг ихэвчлэн ашигладаг тул бид тэдгээрийг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

Жишээ №3

$\int 3 e^x dx$-г ол.

3-р өмчийг ашиглаад тогтмолыг гаргацгаая, i.e. тоо $3$, салшгүй тэмдгийн хувьд: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Одоо интегралын хүснэгтийг нээж, 4-р томьёонд $u=x$-г орлуулснаар: $\int e^x dx=e^x+C$ гарна. Эндээс $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$ байна. Уншигчид тэр даруй асуулт асуух болно гэж би бодож байна, тиймээс би энэ асуултыг тусад нь томъёолох болно.

Асуулт №4

Хэрэв $\int e^x dx=e^x+C$ бол $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\баруун) =3e^x+3C$! Тэд яагаад $3e^x+3C$-ийн оронд $3e^x+C$ гэж бичсэн юм бэ?

Асуулт нь бүрэн үндэслэлтэй юм. Гол нь интеграл тогтмолыг (жишээ нь, ижил тооны $C$) ямар ч илэрхийлэл хэлбэрээр илэрхийлж болно: гол зүйл бол энэ илэрхийлэл нь бүхэл бүтэн бодит тоонуудыг "дагадаг" явдал юм. $-\infty$-с $+\infty$ хооронд хэлбэлздэг. Жишээ нь $-\infty≤ C ≤ +\infty$ байвал $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$ байх тул $C$ тогтмолыг $\ хэлбэрээр илэрхийлж болно. frac(C)( 3)$. Бид $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$, дараа нь $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left гэж бичиж болно. (e^x+\frac(C)(3)\баруун)=3e^x+C$. Таны харж байгаагаар энд ямар ч зөрчил байхгүй, гэхдээ интеграл тогтмолын хэлбэрийг өөрчлөхдөө болгоомжтой байх хэрэгтэй. Жишээлбэл, $C$ тогтмолыг $C^2$ гэж илэрхийлэх нь алдаа болно. Гол нь $C^2 ≥ 0$, i.e. $C^2$ нь $-\infty$-с $+\infty$ болж өөрчлөгддөггүй, бүх зүйлийг "гүйж" чаддаггүй. бодит тоо. Үүний нэгэн адил тогтмолыг $\sin C$ гэж илэрхийлэх нь алдаа болно, учир нь $-1≤ \sin C ≤ 1$, өөрөөр хэлбэл. $\sin C$ нь бүх утгыг "гүйлгэдэггүй" бодит тэнхлэг. Дараах зүйлд бид энэ асуудлыг нэг бүрчлэн авч үзэхгүй бөгөөд тодорхойгүй интеграл бүрийн хувьд тогтмол $C$-г бичих болно.

Жишээ № 4

$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$-г ол.

4-р өмчийг ашиглая:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \баруун) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Одоо интеграл тэмдгийн гаднах тогтмолуудыг (тоо) авч үзье.

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^) 2+9)-8\int x^3dx$$

Дараа нь бид олж авсан интеграл бүртэй тус тусад нь ажиллах болно. Эхний интеграл, i.e. $\int \sin x dx$-г №5-ийн интегралын хүснэгтээс хялбархан олж болно. №5 томьёонд $u=x$-г орлуулснаар бид: $\int \sin x dx=-\cos x+C$ болно.

$\int\frac(dx)(x^2+9)$ хоёр дахь интегралыг олохын тулд интегралын хүснэгтээс 11-р томьёог хэрэглэх шаардлагатай. Үүнд $u=x$, $a=3$-ийг орлуулснаар бид дараахийг авна: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Эцэст нь, $\int x^3dx$-г олохын тулд хүснэгтээс №1 томьёог ашиглан $u=x$, $\alpha=3$ гэж орлуулна: $\int x^3dx=\frac(x^) (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ илэрхийлэлд орсон бүх интеграл олдсон. Үлдсэн зүйл бол тэдгээрийг орлуулах явдал юм:

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3) )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Асуудал шийдэгдсэн, хариулт нь: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Би энэ асуудалд нэг жижиг тэмдэглэл нэмэх болно:

Жижигхэн тэмдэглэл

Энэ оруулга хэнд ч хэрэггүй байж магадгүй, гэхдээ би $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$ гэдгийг дурдах болно. Тэдгээр. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2) +9)$.

Интегралын хүснэгтээс 1-р томьёог ашиглаж иррациональ (үндэс, өөрөөр хэлбэл) оруулах жишээг авч үзье.

Жишээ №5

$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$-г олоорой.

Эхлэхийн тулд бид №3 жишээн дээрхтэй ижил үйлдлүүдийг хийх болно, тухайлбал: бид интегралыг хоёр болгон задалж, тогтмолуудыг интегралын тэмдгүүдээс цааш шилжүүлнэ.

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

$\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$ тул $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Энэ интегралыг олохын тулд бид №1 томьёог хэрэглэж, $u=x$, $\alpha=\frac(4)(7)$ орлуулна: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Хэрэв та хүсвэл $\sqrt(x^(11))$-г $x\cdot\sqrt(x^(4))$ хэлбэрээр илэрхийлж болно, гэхдээ энэ шаардлагагүй.

Одоо хоёр дахь интеграл руу орцгооё, өөрөөр хэлбэл. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Учир нь $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, тэгвэл авч үзэж буй интегралыг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Үүссэн интегралыг олохын тулд бид интегралын хүснэгтээс №1 томьёог хэрэглэж, түүнд $u=x$, $\alpha=-\frac(6)(11)$ орлуулна: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x) ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)(5)+C$.

Хүлээн авсан үр дүнг орлуулснаар бид дараах хариултыг авна.

$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^() 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Хариулах: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Эцэст нь интегралын хүснэгтийн 9-р томьёонд багтах интегралыг авч үзье. Одоо бидний үргэлжлүүлэх 6-р жишээг өөр аргаар шийдэж болох ч дараагийн сэдвүүдэд үүнийг хэлэлцэх болно. Одоогоор бид хүснэгтийг ашиглах хүрээнд үлдэх болно.

Жишээ № 6

$\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$-г олоорой.

Эхлээд өмнөхтэй ижил үйлдлийг хийцгээе: тогтмолыг ($12$ тоо) интеграл тэмдгийн гадна шилжүүлнэ:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Үүссэн интеграл $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ нь $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) хүснэгтэд аль хэдийн ойрхон байна. )$ (томьёо No9 интегралын хүснэгт). Бидний интегралын ялгаа нь $x^2$-ын өмнө язгуур дор $7$ коэффициент байгаа бөгөөд үүнийг хүснэгтийн интеграл зөвшөөрөхгүй. Иймд бид энэ долоог язгуур тэмдгээс цааш хөдөлгөж арилгах хэрэгтэй.

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\баруун)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Хэрэв бид хүснэгтийн интеграл $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ ба $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ нь ижил бүтэцтэй болох нь тодорхой болно. Зөвхөн $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ интегралд $u$-ын оронд $x$, $a^2$-ын оронд байна. $\frac (15)(7)$ байна. За, хэрэв $a^2=\frac(15)(7)$ бол $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $u=x$ ба $a=\sqrt(\frac(15)(7))$-г $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin томьёонд орлуулж байна. \ frac(u)(a)+C$, бид дараах үр дүнг авна.

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Хэрэв бид $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ гэдгийг харгалзан үзвэл үр дүнг “гурван давхар”гүйгээр дахин бичиж болно. ” бутархай:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Асуудал шийдэгдсэн, хариулт нь хүлээн авсан.

Хариулах: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Жишээ № 7

$\int\tg^2xdx$-г ол.

Интеграцийн хувьд тригонометрийн функцуудБид өөрсдийн гэсэн арга барилтай. Гэсэн хэдий ч, онд энэ тохиолдолдТа энгийн тригонометрийн томъёоны мэдлэгтэй байж болно. $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$ тул $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ баруун)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. $\sin^2x=1-\cos^2x$-г авч үзвэл бид дараахыг авна.

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Тиймээс $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Үүссэн интегралыг интегралын нийлбэр болгон өргөжүүлж, хүснэгтийн томъёог ашигласнаар бид дараах байдалтай болно.

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Хариулах: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Хичээлийн тоног төхөөрөмж: лекцийн тэмдэглэл.

Үнэлгээний шалгуур

Ажлын дараалал

Даалгавар 1.

9-р лекц уншина уу

Даалгавар 2.

Лекц 9.

тодорхойгүй интеграл энэ функцээс:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

20. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функц дээр дурын тогтмолыг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

30. Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж болно.

40. Функцийн алгебрийн нийлбэрийн тодорхойгүй интеграл нь функцүүдийн гишүүний тодорхойгүй интегралын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

50. Хэрэв a тогтмол бол томъёо хүчинтэй байна

Баримт бичгийн агуулгыг үзэх
"Интеграцийн шууд интеграцийн техник"

ПРАКТИК АЖИЛ№ 7

Сэдэв: Интеграцийн техник. Шууд нэгтгэх

Зорилтууд:

тодорхой бус интегралыг тооцоолох томъёо, дүрмийг судлах

жишээнүүдийг шийдэж сурах шууд интеграци

Хичээлийн тоног төхөөрөмж: лекцийн тэмдэглэл.

Үнэлгээний шалгуур

Ажлын бүх даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн тохиолдолд “5” үнэлгээ өгнө

1-р даалгаврыг гүйцэтгэсэн тохиолдолд “4” үнэлгээ өгнө зөв шийдвэр 2-р даалгаврын арван жишээ.

1-р даалгаврыг биелүүлж, 2-р даалгаврын долоон жишээг зөв шийдсэн бол “3” үнэлгээ өгнө.

Ажлын дараалал

Даалгавар 1.

9-р лекц уншина уу

Лекцийг ашиглан асуултуудад хариулж, хариултыг дэвтэртээ бичнэ үү.

1.Тодорхойгүй интегралын ямар шинж чанарыг та мэдэх вэ?

2. Интеграцийн үндсэн томьёог бичнэ үү

3. Шууд интеграцид ямар тохиолдлууд боломжтой вэ?

Даалгавар 2.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэх бие даасан шийдвэр

Лекц 9.

Сэдэв: “Тодорхойгүй интеграл. Шууд нэгтгэх"

Хэрэв F "(x) = f(x) бол F(x) функцийг f(x) функцийн эсрэг дериватив гэнэ.

Ямар ч тасралтгүй функц f(x) байна хязгааргүй олонлогбие биенээсээ тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай эсрэг деривативууд.

Ерөнхий илэрхийлэл F(x) +C f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ тодорхойгүй интеграл энэ функцээс:

dx = F(x) +С, хэрэв d(F(x) +С) = dx

Тодорхой бус интегралын үндсэн шинж чанарууд

1 0 .Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү ба дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна:

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

2 0 . Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функц дээр дурын тогтмолыг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

3 0 . Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно.

4 0 .Функцийн алгебрийн нийлбэрийн тодорхойгүй интеграл нь функцүүдийн гишүүнчлэлийн тодорхойгүй интегралын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

+dx

5 0 . Хэрэв a тогтмол бол томъёо хүчинтэй байна

Үндсэн томъёоинтеграл (хүснэгтийн интеграл)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

Томъёо (3), (10) хэрэглэх үед. (11) тэмдэг үнэмлэхүй үнэ цэнэлогарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл байж болох тохиолдолд л бичигдэнэ сөрөг утга.

Томъёо бүрийг шалгахад хялбар байдаг. Баруун талыг ялгаж салгасны үр дүнд бид олж авдаг интеграл.

Шууд нэгтгэх.

Шууд интеграцчилал нь дээр суурилдаг шууд хэрэглээинтегралын хүснэгтүүд. Энд дараах тохиолдлууд үүсч болно.

1) энэ интегралыг харгалзах хүснэгтийн интегралаас шууд олж болно;

2) энэ интеграл нь 3 0 ба 4 0 шинж чанаруудыг хэрэглэсний дараа нэг буюу хэд хэдэн хүснэгтийн интеграл болгон бууруулна;

3) анхан шатны дараа энэ интеграл таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдИнтеграл дээр 3 0 ба 4 0-ийн шинж чанарыг ашигласнаар нэг буюу хэд хэдэн хүснэгтэн интеграл болгон бууруулна.

Жишээ.

Үл хөдлөх хөрөнгөд тулгуурласан 3 0 тогтмол хүчин зүйл 5-ыг интеграл тэмдгээс гаргаж аваад 1-р томъёог ашиглан бид олж авна

Шийдэл. 3 0 өмч ба томьёо 2-ыг ашиглан бид олж авна

6

Шийдэл. 3 0 ба 4 0 шинж чанарууд болон 1 ба 2 томъёог ашиглан бид байна

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

Интеграл бүр өөрийн дурын тогтмол (C 1 – C 2 + C 3 = C) байдаг тул интеграл бүр нь гурван интегралын тогтмолуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Шийдэл. Нэр томьёо бүрийг квадрат болгож, нэгтгэх нь бидэнд байна

Ашиглаж байна тригонометрийн томъёо 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx – x + C

Шийдэл. Интегралын тоологч дээр 9-ийн тоог хасч, нэмбэл бид олж авна

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Өөрийгөө шийдэх жишээ

Шууд интеграл ашиглан интегралуудыг үнэл.

Сурагчдын мэдлэгийг хянах:

практик ажлыг шалгах;

Бүртгэлд тавигдах шаардлага практик ажил:

Даалгаврыг практик ажилд зориулж дэвтэрт бөглөх ёстой

Хичээлийн дараа ажлаа өгөх

Одооноос бид зөвхөн тодорхойгүй интегралын тухай ярих болно, товч байхын тулд бид "тодорхойгүй" гэсэн нэр томъёог орхих болно.

Интеграл (эсвэл тэдний хэлснээр функцийг нэгтгэх) хэрхэн тооцоолохыг сурахын тулд эхлээд интегралын хүснэгтийг сурах хэрэгтэй.

Хүснэгт 1. Интегралын хүснэгт

Үүнээс гадна та деривативыг тооцоолох чадвар хэрэгтэй болно өгөгдсөн функц, энэ нь та үндсэн үндсэн функцүүдийн ялгах дүрэм, деривативын хүснэгтийг санах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Хүснэгт 2. Дериватив ба ялгах дүрмийн хүснэгт:

6.а .

(нүгэл Тэгээд) = cos Тэгээд  Тэгээд (cos у) = – гэм Тэгээд Тэгээд

Бидэнд функцийн дифференциалыг олох чадвар бас хэрэгтэй. Функцийн дифференциал гэдгийг санаарай
томъёогоор олно
, өөрөөр хэлбэл функцийн дифференциал нь энэ функцийн дериватив ба түүний аргументын дифференциалын үржвэртэй тэнцүү байна. Дараах мэдэгдэж буй харилцаа холбоог санах нь зүйтэй.

Хүснэгт 3. Дифференциал хүснэгт

Түүнээс гадна эдгээр томъёог зүүнээс баруун тийш эсвэл баруунаас зүүн тийш унших замаар ашиглаж болно.

Интегралыг тооцоолох гурван үндсэн аргыг дараалан авч үзье. Тэдний эхнийх нь гэж нэрлэгддэг шууд интеграцийн аргаар.Энэ нь тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглахад суурилдаг бөгөөд үндсэн хоёр аргыг агуулдаг. интегралын өргөтгөл алгебрийн нийлбэр илүү энгийн ба дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэх, эдгээр техникийг бие даан болон хослуулан хэрэглэж болно.

A)Ингээд авч үзье алгебрийн нийлбэр тэлэлт- энэ техник нь интегралын ижил хувиргалт ба тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашиглахыг агуулдаг.
Тэгээд.

Жишээ 1. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;

V)
G)

г)
.

Шийдэл.

A)Тоолуурын гишүүнийг гишүүнд хуваах замаар интегралыг хувиргая:

Эрх мэдлийн өмчийг энд ашигладаг:
.

б) Эхлээд бид бутархайн тоог хувиргаж, дараа нь тоологч гишүүнийг хуваагчаар хуваана.

Зэрэглэлийн шинж чанарыг энд бас ашигладаг:
.

Энд ашигласан өмч нь:
,
.

.

Энд Хүснэгт 1-ийн 2 ба 5-р томъёог ашигласан болно.

Жишээ 2. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;

V)
G)

г)
.

Шийдэл.

A)Тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан интегралыг хувиргацгаая.

.

Энд бид 1-р хүснэгтийн 8 ба 9-р томьёог хуваагч болон хуваагчаар нэр томъёогоор хуваахыг дахин ашигладаг.

б) Бид таних тэмдэг ашиглан ижил төстэй байдлаар хувирдаг
:

.

в) Эхлээд тоологч гишүүнийг хуваагчаар хувааж, интеграл тэмдгээс тогтмолуудыг авч, дараа нь тригонометрийн ижилсэлтийг ашиглана.
:

d) Зэрэг бууруулах томъёог хэрэглэнэ.

,

e) Тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан бид дараахь зүйлийг хувиргана.

B) n гэж нэрлэгддэг интеграцийн техникийг авч үзье дифференциал тэмдгийн доор байрлуулах замаар. Энэ техник нь тодорхойгүй интегралын хувьсах шинж чанар дээр суурилдаг.

Хэрэв
, дараа нь аливаа дифференциалагдах функцийн хувьд Тэгээд=Тэгээд(X) явагдана:
.

Энэ шинж чанар нь энгийн интегралуудын хүснэгтийг ихээхэн өргөжүүлэх боломжийг олгодог, учир нь энэ шинж чанараас шалтгаалан Хүснэгт 1-ийн томъёонууд нь зөвхөн бие даасан хувьсагчийн хувьд хүчинтэй биш юм. Тэгээд, гэхдээ бас хэзээ тохиолдолд Тэгээднь бусад хувьсагчийн ялгах функц юм.

Жишээлбэл,
, гэхдээ бас
, Мөн
, Мөн
.

Эсвэл
Тэгээд
, Мөн
.

Аргын мөн чанар нь өгөгдсөн интеграл дахь тодорхой функцийн дифференциалыг тусгаарлахад оршино, ингэснээр энэ тусгаарлагдсан дифференциал бусад илэрхийллийн хамт энэ функцийн хүснэгтийн томьёог бүрдүүлнэ. Шаардлагатай бол ийм хөрвүүлэлтийн үед тогтмолуудыг зохих хэмжээгээр нэмж болно. Жишээ нь:

(сүүлийн жишээнд ln (3 +) гэж бичсэн x 2) ln|3 +-ийн оронд x 2 | , илэрхийлэл нь 3 + тул x 2 нь үргэлж эерэг байдаг).

Жишээ 3. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;
;

V)
G)
;
;

г)
;
.

Шийдэл.

A).

д)

ба)
;

.

h)

Хүснэгт 1-ийн 2a, 5a, 7a томъёог энд ашигласан бөгөөд сүүлийн хоёрыг нь дифференциал тэмдгийг нэгтгэн гаргаж авна.

.

Харах функцүүдийг нэгтгэх

V)

.

илүү төвөгтэй функцүүдийн интегралыг тооцоолох хүрээнд ихэвчлэн тохиолддог. Дээр дурдсан алхмуудыг давтахгүйн тулд 1-р хүснэгтэд өгөгдсөн харгалзах томъёог санаж байхыг зөвлөж байна.

Энд 1-р хүснэгтийн 3-р томъёог ашигласан болно.

.

в) Үүний нэгэн адил бид үүнийг харгалзан дараахь зүйлийг өөрчилнө.

Хүснэгт 1-д заасан Формула 2c-ийг энд ашигласан болно.

.

г); Интегралуудыг ол:

д)
ба);

V)
.

Шийдэл.

h)

Жишээ 4.

A)
:

б)

a) Хувиргацгаая:
,
.

Энд мөн 1-р хүснэгтийн 3-р томъёог ашигласан болно. Интегралуудыг ол:

A)
; б) Бид градусыг бууруулах томъёог ашигладаг

Хүснэгт 1-ийн 2а ба 7а томъёог энд ашигласан болно.
Энд 1-р хүснэгтийн 2 ба 8-р томьёоны хамт 3-р хүснэгтийн томъёог ашиглана.
.

Шийдэл.

Жишээ 5.
б)
V) ; G) б a) Ажил
функцийн дифференциал дээр нэмж болно (хүснэгт 3-ын 4 ба 5-р томъёог үзнэ үү)
.

, Хаана

.

А
Тэгээд
- аливаа тогтмол,
. Нээрээ хаанаас
Дараа нь бидэнд байна:

б) Хүснэгт 3-ын 6-р томъёог ашиглан бид байна
, мөн түүнчлэн
, энэ нь бүтээгдэхүүний нэгдмэл байдалд байгаа гэсэн үг юм

.

гэсэн санааг илэрхийлнэ: дифференциал тэмдгийн доор та илэрхийллийг оруулах хэрэгтэй

. Тиймээс бид авдаг Интегралуудыг ол:

A)
; в) b)-д заасантай ижил бүтээгдэхүүн
;

дифференциал функцүүдэд өргөтгөж болно
. Дараа нь бид:
.

Шийдэл.

A)d) Эхлээд бид интегралын шугаман шинж чанарыг ашиглана:
Жишээ 6.

б)

V)

; G)

.

Үүнийг харгалзан үзвэл Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;

V)
; V)
.

Шийдэл.

A)Энэ жишээнд үзүүлсэн бүх интеграл нь нийтлэг шинж чанартай байдаг: Интеграл нь квадрат гурвалжин гишүүнийг агуулна. Тиймээс эдгээр интегралуудыг тооцоолох арга нь ижил хувиргалт дээр суурилсан болно - тодруулах бүтэн дөрвөлжинэнэ квадрат гурвалжинд.

.

б)

.

V)

G)

Дифференциал тэмдгийг орлуулах арга нь орлуулах арга буюу хувьсагчийн өөрчлөлт гэж нэрлэгддэг интегралыг тооцоолох илүү ерөнхий аргын аман хэрэгжилт юм. Үнэн хэрэгтээ функцийн дифференциал тэмдгийг оруулсны үр дүнд олж авсан томъёонд тохирох томъёог 1-р хүснэгтээс сонгох бүртээ бид үсгийг оюун ухаанаараа сольсон. Тэгээддифференциал тэмдгийн дор нэвтрүүлсэн функц. Тиймээс хэрэв дифференциал тэмдгийг нэгтгэх замаар интеграл нь тийм ч сайн үр дүнд хүрэхгүй бол та хувьсагчийг шууд өөрчилж болно. Энэ тухай дэлгэрэнгүй мэдээллийг дараагийн догол мөрөнд оруулна.

Шууд интеграцийн арга нь интеграл функцийг хувиргах, тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглах, интеграл илэрхийллийг хүснэгт хэлбэрт оруулахад суурилдаг.

Жишээ нь:

Шалгалт

Шалгалт

2. Орлуулах арга (хувьсагчийн орлуулалт)

Энэ арга нь шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхэд суурилдаг. Интегралд орлуулалт хийцгээе:

;

Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээ нь:

1)

Шалгалт:

2)

Шалгалт(тодорхойгүй интегралын No2 өмч дээр үндэслэсэн):

Хэсэг хэсгээр нь нэгтгэсэн

Болъё у Тэгээд v - ялгах функцууд. Эдгээр функцүүдийн үржвэрийн ялгааг тодруулцгаая.

,

хаана

Үүссэн илэрхийлэлийг нэгтгэж үзье:

Жишээ нь:

Шалгалт(тодорхойгүй интегралын No1 өмч дээр үндэслэсэн):

2)

Шийдье

Шалгалт(тодорхойгүй интегралын No1 өмч дээр үндэслэсэн):

ПРАКТИК ХЭСЭГ

Гэртээ шийдэх асуудал

Интегралыг ол:

A) ; д) ;

дифференциал функцүүдэд өргөтгөж болно ; h)

G) ; Тэгээд)

г); Хэнд)

A); д) ;

V); h) ;

г); Хэнд) .

A); V); г)

б) ; G); д)

Шийдэх асуудлууд практик дасгалууд:

I. Шууд нэгтгэх арга

A) ; ба);

б) ; h);

дифференциал функцүүдэд өргөтгөж болно ; Тэгээд)

G) ; Хэнд)

д) ; м)

II. Орлуулах арга (хувьсагчийн орлуулалт)

G); Хэнд) ;

г) ; л);

III. Хэсэгээр нь нэгтгэх арга

СЭДЭВ No4

ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛ

Математик тооцоололд ихэвчлэн өсөлтийг олох шаардлагатай байдаг эсрэг дериватив функцтүүний аргумент нь заасан хязгаарт өөрчлөгдөх үед. Төрөл бүрийн дүрсийн талбай, эзэлхүүнийг тооцоолох, функцийн дундаж утгыг тодорхойлох, ажлыг тооцоолохдоо энэ асуудлыг шийдэх ёстой. хувьсах хүч. Харгалзах тодорхой интегралуудыг тооцоолох замаар эдгээр асуудлыг шийдэж болно.

Хичээлийн зорилго:

1. Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолж сур.

2. Тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг хэрэглээний бодлого шийдвэрлэхэд ашиглаж чаддаг байх.

ОНОЛЫН ХЭСЭГ

ТОГТООГДСОН ИНТЕГРАЛЫН ТУХАЙ УХААН БА ТҮҮНИЙ ГЕОМЕТРИЙН УТГА

Талбайг олох асуудлыг авч үзье муруй трапец.

Зарим функцийг өгье y=f(x), графикийг зурагт үзүүлэв.

Зураг 1. Геометрийн утгатодорхой интеграл.

Тэнхлэг дээр 0x оноо сонгох “а" Тэгээд "V" ба тэдгээрээс перпендикуляруудыг муруйтай огтлолцох хүртэл сэргээнэ. Муруй, перпендикуляр, тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрс 0x муруй трапец гэж нэрлэдэг. Интервалыг хэд хэдэн жижиг хэсгүүдэд хуваацгаая. Дурын сегментийг сонгоцгооё. Энэ сегментэд тохирох муруй трапецийг тэгш өнцөгт болгон байгуулъя. Ийм тэгш өнцөгтийн талбайг дараах байдлаар тодорхойлно.

Дараа нь интервал дахь бүх дууссан тэгш өнцөгтүүдийн талбай нь дараахтай тэнцүү болно.

;

Хэрэв сегмент тус бүр нь хангалттай жижиг бөгөөд тэг рүү чиглэж байвал тэгш өнцөгтүүдийн нийт талбай нь муруй трапецын талбай руу чиглэнэ.

;

Тиймээс муруйн трапецын талбайг тооцоолох асуудал нь нийлбэрийн хязгаарыг тодорхойлоход хүргэдэг.

Интеграл нийлбэр нь аргументийн өсөлт ба функцийн утгын үржвэрийн нийлбэр юм. f(x) , аргумент өөрчлөгдөх хил доторх интервалын аль нэг цэгт авсан. Математикийн хувьд бие даасан хувьсагчийн өсөлт тэг болох хандлагатай байвал интеграл нийлбэрийн хязгаарыг олох бодлого нь тодорхой интеграл гэсэн ойлголтод хүргэдэг.

Чиг үүрэг f(x ) -аас тодорхой интервалд x=a руу x=b интеграл нийлбэр хандлагатай тоо байвал интегралч Dх®0 . Энэ тохиолдолд тоо Ж дуудсан тодорхой интеграл функцууд f(x) интервалд:

;

Хаана] а, в[ - интеграцийн бүс;

;-доод нэгтгэх хязгаар,

В- интеграцийн дээд хязгаар.

Тиймээс геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь зургийн талбай юм. хуваарийн дагуу хязгаарлагддагтодорхой интервал дахь функцууд] а, в [ ба x тэнхлэг.