Улирал

Тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанар, тэдгээрийн геометрийн утга ГэрҮл хөдлөх хөрөнгө 2.12. Грам матрицыг шугаман аргаар тодорхойлогч

хамааралтай системвекторууд нь 0. Баталгаа.Векторуудын систем шугаман хамааралтай байг. Дараа нь, аль нэг систем агуулсан
тэг вектор , мөн энэ тохиолдолд илэрхийлэл нь ойлгомжтой, эсвэл системийн өмнөх векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдэх вектор байдаг. Грам матрицад-аас хасах
би , мөн энэ тохиолдолд илэрхийлэл нь ойлгомжтой, эсвэл системийн өмнөх векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдэх вектор байдаг. Грам матрицад--р эгнээ, коэффициент бүхий өмнөх мөрүүд . Грам матрицын тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй, гэхдээ 2-р эгнээ тэг болно. Тэг эгнээний матрицын тодорхойлогч

тэгтэй тэнцүү , улмаар Грам матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна. Рхарцгаая
геометрийн утга Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд. Хэрэв
к Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд=1, тэгвэл
- вектор уртын квадрат. Хэрэв >1, тэгвэл бид үүнийг векторуудын системд хэрэглэнэортогоналчлалын үйл явц ба бүтээц
ортогональ систем векторууд. -ээр тэмдэглэе
П
системээс шилжилтийн матриц систем рүү. Энэ матрицад байна
гурвалжин үзэмж , ба түүний үндсэн диагональ дээр 1 байх ба тодорхойлогч нь 1-тэй тэнцүү байна. Үүнээс гадна Грам матрицуудын тодорхойлогч нь тэнцүү байна. Вектор системээс хойшнь ортогональ бол энэ векторын системийн Грам матриц нь диагональ ба түүний тодорхойлогч Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицуудбүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна
Энэ системийн векторуудын квадрат урт. Тиймээс тэгш байдал тогтоогддог. Хэргийг авч үзье =2. Дараа нь
хажуу тийш буулгасан параллелограммын өндрийн урттай тэнцүү
(Алдаа: Лавлагааны эх сурвалж олдсонгүй). Тиймээс бүтээгдэхүүн
вектороор хүрээлэгдсэн параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, мөн Грам матрицын тодорхойлогч Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицуудквадраттай тэнцүү энэ параллелограммын талбай. Хэрэв
=3, дараа нь вектор
векторуудаар тархсан хавтгайд

. Иймд гурван векторын Грам матрицын тодорхойлогч нь векторуудаар дамжсан параллелепипедийн эзэлхүүний квадраттай тэнцүү байна. Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд. Бүх үндэслэлийг дурын хэмжигдэхүүн болгон ерөнхийд нь нэгтгэсэн тул өмчийг бий болгодог.
Өмч 2.13 Векторын системийн Грам матрицын тодорхойлогч нь систем шугаман хамааралтай бол 0, эзэлхүүний квадраттай тэнцүү байна.

-хэмжээт параллелепипед векторуудаар тархсан

өөрөөр.

хамааралтай системОдоо Хадамардын тэгш бус байдлыг харуулъя.
шугаман хамааралтай бол тэгш бус байдал тодорхой болно. Энэ векторын систем шугаман бие даасан байг. Үүнд ортогоналчлах процессыг хэрэглэж, векторуудын ортогональ системийг байгуулъя
. Вектор нь векторын ортогональ бүрэлдэхүүн хэсэг юм дээр шугаман бүрхүүлвекторууд
, улмаар,
Бесселийн тэгш бус байдалаар (Теорем 2.2). Цаашилбал, үүнийг батлах шаардлагатай байсан.

Хадамардын тэгш бус байдал нь зөвхөн векторуудын анхны систем ортогональ байвал тэгш бус байдал болж хувирдаг. Бусад тохиолдолд тэгш бус байдал нь хатуу байдаг.

Дүгнэлт 2.5 Тэгш бус байдал хүчинтэй байна
Тэгээд
.

хамааралтай систем IN n- хэмжээст арифметик орон зайтодорхойлъё цэгийн бүтээгдэхүүнтомъёоны дагуу
. Матрицын баганаас үүссэн векторуудын системийг авч үзье А. Энэ вектор системийн Грам матриц нь тэнцүү байна
Хадамардын тэгш бус байдалаар
. Түүнээс хойш
, дараа нь тэгш бус байдал
суулгасан. Үүссэн тэгш бус байдлыг шилжүүлсэн матрицад ашигласнаар бид гаргана
.

Үр дүн 2.6
. Дараа нь
.

Баталгааойлгомжтой.

тавья
цаашлаад индукцаар
. Матриц захиалгатай , түүний тодорхойлогч тэнцүү байна
ба түүний бүх элементүүд тэнцүү байна
. Энэ матриц дээр тэгш бус байдал (Үндэслэл 2.6) тэгш байдал болж хувирч байгааг шалгахад хялбар байдаг.

1. Дурын векторуудыг авч үзье. Эхлээд эдгээр векторууд шугаман бие даасан байна гэж үзье. Энэ тохиолдолд эдгээр векторуудын аль нэгэнд эмхэтгэсэн Грам тодорхойлогч тэгээс өөр байх болно. Дараа нь (22)-ын дагуу гэж үзвэл

(23)

мөн эдгээр тэгш бус байдал ба тэгш бус байдлыг гишүүнээр нь үржүүлэх

, (24)

.

Тиймээс шугаман хувьд Грам тодорхойлогч бие даасан векторуудэерэг, шугаман хамааралтай хүмүүсийн хувьд тэг байна. Грам тодорхойлогч хэзээ ч сөрөг байдаггүй.

Товчлолын хувьд тэмдэглэе . Дараа нь (23) ба (24)

ба дээр баригдсан параллелограммын талбай хаана байна. Дараа нь,

,

векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүн хаана байна. Үргэлжлүүлбэл бид дараахь зүйлийг олж мэднэ.

,

тэгээд эцэст нь

. (25)

Үүнийг векторууд дээр ирмэг дээр барьсан хэмжээст параллелепипедийн эзэлхүүн гэж нэрлэх нь зүйн хэрэг.

Зарим ортонормаль суурь дээрх векторын координатыг , -ээр тэмдэглэе

Дараа нь (14) дээр үндэслэсэн.

тиймээс [харна уу томъёо (25)]

. (26)

Энэ тэгшитгэл нь дараах геометрийн утгыг агуулна.

Параллелепипедийн квадрат эзэлхүүн нийлбэртэй тэнцүү байнабүх координат хэмжээст дэд орон зайн дээрх проекцуудын квадрат эзэлхүүн. Тодруулбал, (26)-аас дараах тохиолдолд:

. (26)

Томъёо (20), (21), (22), (26), (26") ашиглан хэмжээст нэгдмэл болон Евклидийн аналитик геометрийн хэд хэдэн үндсэн хэмжүүрийн асуудлыг шийддэг.

2. Өргөтгөл рүү буцъя (15). Үүнээс шууд гарч байна:

Энэ нь (22) -тай хослуулан тэгш бус байдлыг өгдөг (дурын векторуудын хувьд )

Энэ тохиолдолд вектор нь векторуудад ортогональ байвал тэнцүү тэмдэг нь биелнэ.

Эндээс Хадамардын тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авахад хялбар байдаг

Энд зөвхөн векторууд хос ортогональ байвал тэнцүү тэмдэг биелнэ. Тэгш бус байдал (29) нь дараах геометрийн тодорхой баримтыг илэрхийлнэ.

Параллелепипедийн эзэлхүүн нь түүний ирмэгийн уртын үржвэрээс хэтрэхгүй бөгөөд параллелепипед нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх үед л энэ бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Хадамардын тэгш бус байдлыг өгч болно хэвийн харагдах байдал, (28)-ыг оруулж, зарим ортонормаль суурь дахь векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг харгалзан үзэх:

.

Дараа нь (26") ба (28) -аас дараах болно

. (28)

3. Одоо тэгш бус байдал (27) ба тэгш бус байдал (28) хоёуланг нь хамарсан ерөнхий Хадамард тэгш бус байдлыг байгуулъя:

вектор тус бүр нь аль нэг вектор эсвэл тодорхойлогчдын аль нэгэнд ортогональ байвал тэнцүү тэмдэг биелнэ. тэгтэй тэнцүү.

Тэгш бус байдал (28") нь дараах геометрийн утгыг агуулна.

Параллелепипедийн эзэлхүүн нь нэмэлт хоёр нүүрний эзэлхүүний үржвэрээс хэтрэхгүй бөгөөд хэрэв эдгээр нүүрүүд хоорондоо ортогональ эсвэл тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тэг эзэлхүүнтэй байвал энэ бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Бид векторын тоогоор (29) тэгш бус байдлын үнэн зөвийг индуктив аргаар тогтооно. Энэ тоо 1 байхад тэгш бус байдал үнэн болно [харна уу томъёо (27)].

Хоёр дэд орон зайг тус тус оруулъя, суурь ба . Мэдээжийн хэрэг, . Ортогональ тэлэлтүүдийг авч үзье

.

Параллелепипедийн эзэлхүүний квадратыг суурийн эзэлхүүний квадрат ба өндрийн квадратын үржвэрээр солих [үзнэ үү. томъёо (22)], бид олдог

Энэ тохиолдолд вектор задралаас дараах байдалтай байна.

, (31)

ба энд тэмдэг нь зөвхөн үед л явагдана.

Одоо харьцаа (30), (30"), (31) ба индукцийн таамаглалыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Бид тэгш бус байдлыг олж авлаа (29). Энэ тэгш бус байдалд тэмдэг хэзээ тохиолдохыг тодруулах руу шилжиж, бид үүнийг таамаглаж байна Тэгээд . Дараа нь (30") дагуу Мөн . (32) харилцаанд тэгш тэмдэг хаа сайгүй явагддаг тул индукцийн таамаглалаар вектор бүр нь вектор тус бүрд ортогональ байна. Мэдээжийн хэрэг, вектор ч гэсэн ийм шинж чанартай байдаг

Ийнхүү Хадамардын ерөнхий тэгш бус байдал бүрэн тогтоогдсон байна.

4. Ерөнхийжүүлсэн Хадамард тэгш бус байдлыг (29) мөн аналитик хэлбэрийг өгч болно.

Дурын эерэг тодорхой Гермит хэлбэр байцгаая. Суурьтай хэмжээст орон зай дахь векторын координат гэж үзвэл бид хэлбэрийг үндсэн хэмжигдэхүүн хэлбэрээр авдаг (224-р хуудсыг үз). Тэгвэл нэгдмэл орон зай болно. Хадамард ерөнхий тэгш бус байдлыг суурь векторуудад хэрэглэцгээе: - эерэг тодорхой коэффициентийн бодит матриц. квадрат хэлбэрба векторуудын хоорондын хамаарлаас тодорхойлсны дараа

.

Буняковскийн тэгш бус байдлаас харахад энэ нь бодит үнэ цэнэтэй юм.

20-иод жилийн өмнө би их сургуульд дээд математикийн чиглэлээр суралцах боломж олдсон бөгөөд бид матрицаас эхэлсэн (магадгүй тэр үеийн бүх оюутнууд шиг). Зарим шалтгааны улмаас матрицууд хамгийн их байдаг гэж үздэг хялбар сэдэвмэдсээр байж дээд математик. Магадгүй матрицтай хийсэн бүх үйлдлүүд нь тодорхойлогчийг тооцоолох аргууд ба хэд хэдэн томьёогоор бүтээгдсэний талаархи мэдлэгээс үүдэлтэй байж болох юм - дахин тодорхойлогч дээр. Бүх зүйл энгийн юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ... Тодорхойлогч гэж юу вэ, юу вэ гэсэн үндсэн асуултанд хариулахыг хичээгээрэй гэсэн үг Та үүнийг тооцоолоход гарах тоо? (санамж: "Тодорхойлогч нь олсон тоо юм тодорхой дүрэм" гэдэг нь тодорхойлогчийн мөн чанарын тухай биш харин олж авах аргын тухай ярьдаг тул зөв хариулт биш юм). Та бууж өгч байна уу? - Дараа нь уншина уу ...

Би боловсрол, албан тушаалын хувьд математикч биш гэдгээ шууд хэлмээр байна. Түүнээс биш би аливаа зүйлийн мөн чанарыг сонирхдог, заримдаа би түүний "үндэнд нь хүрэх" гэж оролддог. Тодорхойлогчийн хувьд ч мөн адил байсан: олон тооны регрессийг шийдвэрлэх шаардлагатай байсан бөгөөд эконометрикийн энэ хэсэгт бараг бүх зүйл ... матрицаар хийгддэг, хараал ид. "Тодорхойлогч гэж юу вэ" гэсэн шиг сонсогдож байсан асуултад миний мэддэг математикчдаас хэн нь ч тодорхой хариулт өгөөгүй тул би өөрөө бага зэрэг судалгаа хийх шаардлагатай болсон. Тодорхойлогч гэдэг нь тусгай арга замаар тооцдог тоо, тэгтэй тэнцүү бол... Ер нь шугаман алгебрийн ямар ч сурах бичигт гардаг шиг. Баярлалаа, бид өнгөрлөө.

Хэрэв нэг хүн санаа гаргасан бол өөр хүн үүнийг ойлгох чадвартай байх ёстой (хэдийгээр заримдаа үүнийг хийхийн тулд нэмэлт мэдлэгээр өөрийгөө зэвсэглэх шаардлагатай болдог). "Агуу, хүчирхэг" хайлтын системд хандахад "параллелограммын талбай нь векторуудын үүсгэсэн матрицын тодорхойлогчийн модуль буюу параллелограммын талуудтай тэнцүү байна" гэдгийг харуулсан. Ярьж байна энгийн хэлээрХэрэв матриц нь тэгшитгэлийн системийг бичих арга юм бол тэгшитгэл бүр нь векторыг тус тусад нь тодорхойлдог. Матрицад заасан векторуудыг гарал үүслийн цэгээс байгуулснаар бид орон зайд тодорхой дүрсийг тодорхойлно. Хэрэв бидний орон зай нэг хэмжээст бол зураг нь сегмент юм; хэрэв энэ нь хоёр хэмжээст бол зураг нь параллелограмм гэх мэт.

Нэг хэмжээст орон зайн хувьд тодорхойлогч нь сегментийн урт, хавтгайд - зургийн талбай, гурван хэмжээст дүрсийн хувьд - түүний эзэлхүүн юм ... тэд үргэлжилсээр байна. n хэмжээст орон зай, бидний төсөөлж ч чадахгүй. Хэрэв зургийн эзэлхүүн (өөрөөр хэлбэл 3*3 матрицын тодорхойлогч) тэгтэй тэнцүү бол энэ нь зураг өөрөө гурван хэмжээст биш (хоёр хэмжээст, нэг хэмжээст эсвэл бүр байж болно) гэсэн үг юм. цэг). Матрицын зэрэглэл нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш орон зайн жинхэнэ (хамгийн их) хэмжээс юм.

Тиймээс тодорхойлогчийн хувьд бараг бүх зүйл тодорхой байна: энэ нь тэгшитгэлийн системээр тодорхойлсон векторуудын үүсгэсэн зургийн "эзлэхүүн" -ийг тодорхойлдог (гэхдээ түүний үнэ цэнэ нь бид анхны матрицтай харьцаж байгаа эсэхээс яагаад хамаардаггүй нь тодорхойгүй байна. эсвэл шилжүүлсэн нэг - магадгүй шилжүүлэн суулгах нь төрөл юм аффины хувирал?). Одоо бид матрицууд дээрх үйлдлүүдийг ойлгох хэрэгтэй ...

Хэрэв матриц бол тэгшитгэлийн систем юм бол (эсвэл бидэнд бодит байдалтай ямар ч холбоогүй зарим тоонуудын хүснэгт яагаад хэрэгтэй байна вэ?) Хэрэв бид үүнтэй өөр зүйл хийж болно. Жишээлбэл, бид ижил матрицын хоёр мөрийг нэмж эсвэл нэг мөрийг тоогоор үржүүлж болно (өөрөөр хэлбэл бид мөрийн коэффициент бүрийг ижил тоогоор үржүүлнэ). Хэрэв бид ижил хэмжээтэй хоёр матрицтай бол бид тэдгээрийг нэмж болно (хамгийн гол нь бид хирстэй бульдог нэмдэггүй - гэхдээ математикчид матрицын онолыг боловсруулахдаа энэ хувилбарын талаар бодож байсан уу?). Энэ нь маш ойлгомжтой, ялангуяа шугаман алгебрт ийм үйлдлийг тэгшитгэлийн системээр дүрсэлсэн байдаг.

Гэсэн хэдий ч матрицыг үржүүлэх нь юу вэ? Би нэг тэгшитгэлийн системийг нөгөө системээр хэрхэн үржүүлэх вэ? Энэ тохиолдолд миний олж авсан зүйл юу гэсэн үг вэ? Яагаад солих дүрмийг матрицыг үржүүлэхэд ашигладаггүй вэ (өөрөөр хэлбэл B * A матрицын үржвэр нь зөвхөн A * B бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү биш, гэхдээ үргэлж хэрэгжих боломжгүй байдаг)? Яагаад матрицыг баганын вектороор үржүүлбэл баганын вектор, харин мөрийн векторыг матрицаар үржүүлбэл мөр вектор гарах вэ?

За, энэ нь Википедиа шиг биш, бүр ч гэсэн орчин үеийн сурах бичигШугаман алгебрийн хувьд тодорхой тайлбар өгөх чадваргүй байдаг. “Эхлээд итгэ, дараа нь ойлго” гэсэн зарчмаар аливаа зүйлийг судлах нь надад зориулагдаагүй тул олон зууны гүнд (илүү нарийн яривал 20-р зууны эхний хагасын сурах бичгүүдийг уншсан) би сонирхолтой хэллэг…

Хэрэв энгийн векторуудын цуглуулга, i.e. чиглэсэн геометрийн сегментүүд, нь гурван хэмжээст орон зай бол энэ орон зайн тодорхой хавтгайтай параллель векторуудаас бүрдэх хэсэг нь хоёр хэмжээст орон зай бөгөөд тодорхой шулуунтай параллель бүх векторууд нэг хэмжээст вектор орон зайг үүсгэдэг.

Аливаа нийтлэл зохиогч бичихээс залхах тэр мөчид дуусдаг. Ат. Би асар их агуулгыг хүлээн авах зорилго тавиагүй, харин матрицууд дээр тайлбарласан үйлдлүүдийн мөн чанар, матрицууд нь миний шийдэж буй тэгшитгэлийн системтэй яг ямар холбоотой болохыг ойлгохыг хүссэн тул би илүү гүнзгийрүүлсэнгүй. шугаман алгебр, гэхдээ эконометрик руу буцсан ба олон регресс, гэхдээ үүнийг илүү ухамсартайгаар хийсэн. Би юу хийж, яагаад хийж байгаагаа, яагаад зөвхөн ингэж, өөрөөр биш гэдгийг ойлгох. Энэ материалаас миний олж авсан зүйлийг "Ямар нэг шалтгааны улмаас сурах бичигт хэвлэхээ мартсан шугаман алгебрийн үндсэн үйлдлүүдийн мөн чанарын тухай бүлэг" гэж нэрлэж болно. Гэхдээ бид сурах бичиг уншдаггүй, тийм үү? Үнэнийг хэлэхэд би их сургуульд байхдаа үнэхээр их санаж байсан ойлголтЭнд хөндсөн асуудлууд тулгарсан тул энэ хүнд хэцүү материалыг аль болох танилцуулна гэж найдаж байна энгийн үгээр, Би сайн үйлс хийж, хэн нэгэнд юмны ёроолд хүрэхэд нь тусалж байна матриц алгебр, матриц дээрх үйлдлүүдийг "хэнгэрэгтэй камлани" хэсгээс "" хэсэг рүү шилжүүлэх. практик хэрэгсэл, ухамсартайгаар хэрэгжүүлсэн."

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.7. Шугаман хамааралтай векторуудын системийн Грам матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү байна.

хамааралтай системВекторын систем нь шугаман хамааралтай байг. Дараа нь нэг бол систем нь тэг векторыг агуулж байгаа бөгөөд энэ тохиолдолд мэдэгдэл нь тодорхой байна, эсвэл системийн өмнөх векторуудын хувьд шугаман байдлаар илэрхийлж болох вектор байна. Грам матрицаас хасна , мөн энэ тохиолдолд илэрхийлэл нь ойлгомжтой, эсвэл системийн өмнөх векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдэх вектор байдаг. Грам матрицад-р эгнээ, коэффициент бүхий өмнөх мөрүүд . Грам матрицын тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй, гэхдээ , мөн энэ тохиолдолд илэрхийлэл нь ойлгомжтой, эсвэл системийн өмнөх векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдэх вектор байдаг. Грам матрицад 2-р эгнээ тэг болно. Тэг эгнээ бүхий матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү тул Грам матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Шугаман бие даасан вектор системийн Грам матрицын геометрийн утгыг авч үзье. Хэрэв Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд=1, тэгвэл векторын уртын квадрат болно. Хэрэв Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд>1, дараа нь векторуудын системд ортогоналчлалын процессыг хэрэглэж, векторуудын ортогональ системийг байгуулна. -ээр тэмдэглэе векторуудсистемээс системд шилжих матриц. Энэ матриц нь гурвалжин хэлбэртэй бөгөөд гол диагональ нь 1, тодорхойлогч нь 1. Түүнээс гадна Грам матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү байна. Векторын систем нь ортогональ тул энэ векторын системийн Грам матриц нь диагональ бөгөөд тодорхойлогч нь энэ системийн векторуудын уртын квадратуудын үржвэртэй тэнцүү байна. Тиймээс тэгш байдал тогтоогддог. Хэргийг авч үзье Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд=2. Дараа нь хажуу тийшээ доошлуулсан параллелограммын өндрийн урттай тэнцүү байна (1-р зургийг үз). Үүний үр дүнд бүтээгдэхүүн нь векторуудаар дамжсан параллелограммын талбайтай тэнцүү бөгөөд Грам матрицын тодорхойлогч нь энэ параллелограммын талбайн квадраттай тэнцүү байна. Хэрэв Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд=3, тэгвэл вектор нь векторуудаар тархсан хавтгайд чиглэсэн векторын ортогональ бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Иймээс гурван векторын Грам матрицын тодорхойлогч нь векторуудаар дамжсан параллелепипедийн эзэлхүүний квадраттай тэнцүү байна. Бүх үндэслэлийг дурын хэмжигдэхүүн болгон ерөнхийд нь нэгтгэсэн тул өмчийг бий болгодог.

Өмч 2.8 Векторын системийн Грам матрицын тодорхойлогч нь систем шугаман хамааралтай бол 0, эзэлхүүний квадраттай тэнцүү байна. Шугаман бие даасан векторын системийн грам матрицууд-хэмжээт параллелепипед нь вектороор өөр өөр тархсан.

Одоо Хадамардын тэгш бус байдлыг харуулъя.

Теорем 2.4.

хамааралтай системХэрэв векторын систем нь шугаман хамааралтай бол тэгш бус байдал тодорхой байна. Энэ векторын систем шугаман бие даасан байг. Үүнд ортогоналчлах процессыг хэрэглэж, векторуудын ортогональ системийг байгуулъя. Вектор нь векторуудын шугаман их бие дээрх векторын ортогональ бүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд Бесселийн тэгш бус байдлын дагуу (Теорем 2.2). Цаашилбал, энэ бол нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Хадамардын тэгш бус байдал нь зөвхөн векторуудын анхны систем ортогональ байвал тэгш бус байдал болж хувирдаг. Бусад тохиолдолд тэгш бус байдал нь хатуу байдаг.

Дүгнэлт 2.5 Тэгш бус байдал хүчинтэй байна Тэгээд .

хамааралтай систем IN n-хэмжээт арифметик орон зайд бид скаляр үржвэрийг томъёогоор тодорхойлно . Матрицын баганаас үүссэн векторуудын системийг авч үзье А.Энэ векторын системийн Грам матриц нь Хадамард тэгш бус байдлаар тэнцүү байна . Түүнээс хойш , дараа нь тэгш бус байдал суулгасан. Үүссэн тэгш бус байдлыг шилжүүлсэн матрицад ашигласнаар бид гаргана .