Дээд талын функц болох тодорхой интеграл. Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх

Одоогоор ажлын HTML хувилбар байхгүй байна.

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлтодорхой интеграл байгаа эсэх. Хоёр функцийн алгебрийн нийлбэрийн (ялгаа) тодорхой интегралын тэгш байдал. Дундаж утгын теорем - үр дүн ба нотолгоо. Геометрийн утгатодорхой интеграл.

танилцуулга, 2013 оны 09-р сарын 18-нд нэмэгдсэн


Интеграл нийлбэрийн тухай ойлголтыг судлах. Интеграцийн дээд ба доод хязгаар. Тодорхой интегралын шинж чанарын шинжилгээ. Дундаж утгын теоремын баталгаа. Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Хувьсагчийн дээд хязгаарт хамаарах интегралын дериватив.

танилцуулга, 04/11/2013 нэмэгдсэн


Тодорхой интегралын тухай ойлголт, үндсэн шинж чанаруудын танилцуулга. [a, b] сегмент дээрх y=f(x) функцийн интеграл нийлбэрийг тооцоолох томьёоны танилцуулга. Интегралын доод ба дээд хязгаар тэнцүү байх тохиолдолд интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна.

танилцуулга, 2013 оны 09-р сарын 18-нд нэмэгдсэн


Тодорхой интегралын тухай ойлголтод хүргэдэг асуудлууд. Тодорхой интеграл, интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж. Тодорхой ба тодорхойгүй интеграл хоорондын хамаарал. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Геометр ба механик мэдрэмжтодорхой интеграл.

хураангуй, 2010/10/30 нэмэгдсэн


Эрт дээр үед интеграцийн аргууд. Эсрэг дериватив функцийн тухай ойлголт. Үндсэн теорем интеграл тооцоо. Тодорхой бус ба тодорхой интегралын шинж чанар, тэдгээрийг тооцоолох арга, дурын тогтмолууд. Энгийн функцүүдийн интегралын хүснэгт.

танилцуулга, 2011 оны 09-р сарын 11-нд нэмэгдсэн


Эсрэг дериватив функцийн тухай ойлголт, эсрэг деривативын тухай теорем. Тодорхой бус интеграл, түүний шинж чанар, хүснэгт. Тодорхой интегралын тухай ойлголт, түүний геометрийн утга, үндсэн шинж чанарууд. Тодорхой интеграл ба Ньютон-Лейбницийн томъёоны дериватив.

курсын ажил, 2011/10/21 нэмэгдсэн


Тусгалын функцийн тухай ойлголт ба шинж чанарууд. Дифференциал системийн анхны интеграл ба оршин тогтнох нөхцөл. Эвдрэлийн нөхцөл байдал дифференциал системүүд, энэ нь цагийн тэгш хэмийг өөрчилдөггүй. Эхний интеграл ба эквивалент системүүдийн хоорондын холбоог тодорхойлох.

курсын ажил, 2009-08-21 нэмэгдсэн


Тэгш, сондгой, тэгш хэмтэй харьцангуй тэнхлэгийн тухай ойлголт, судалгаа. Тогтмол тэмдгийн интервалын тухай ойлголт. Гүдгэр ба хотгор, гулзайлтын цэг. Босоо ба ташуу асимптотууд. Хамгийн бага ба хамгийн өндөр үнэ цэнэфункц ба интеграл.

практик ажил, 2011 оны 03-р сарын 25-нд нэмэгдсэн


Нэг бие даасан хувьсагчийн функц. Хязгаарлалтын шинж чанарууд. Дериватив ба дифференциал функцууд, тэдгээрийг асуудал шийдвэрлэхэд ашиглах. Эсрэг деривативын тухай ойлголт. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Тодорхой интегралыг тооцоолох ойролцоо аргууд. Дундаж утгын теорем.

хичээлийн тэмдэглэл, 2013 оны 10-р сарын 23-нд нэмэгдсэн


Ерөнхий ойлголт тооны дараалал. Нэг цэг дэх функцийн хязгаар. Хязгааргүй том, жижиг функц. Функц, түүний хязгаар ба хязгааргүй байдлын хоорондын холбоо жижиг функц. Хязгаарлалт байгаагийн шинж тэмдэг. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд: товч тайлбар.

Функцийг зөвшөөр е(т) нь тухайн цэгийг агуулсан зарим интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилдэг а.Дараа нь тоо бүр xэнэ интервалаас та тоотой таарч болно ,

Ингэснээр интервал дээр функцийг тодорхойлно I(x), үүнийг ихэвчлэн хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг. Энэ үед анхаарна уу x = aЭнэ функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ функцийн деривативыг цэг дээр тооцоод үзье x. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тухайн цэг дээрх функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй xаргументыг нэмэгдүүлэх үед D x:

Д I(x) = I(x+Д x) – I(x) =

.

Зурагт үзүүлсэн шиг. 4, өсөлтийн томьёоны сүүлчийн интегралын утга D I(x) ангаахайгаар тэмдэглэгдсэн муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна. Д-ийн бага утгуудад x(энд, энэ хичээлийн бусад хэсэгт, аргумент эсвэл функцийн жижиг өсөлтийн талаар ярихдаа бид үүнийг хэлж байна. үнэмлэхүй утгуудөсөлтүүд нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болох тул энэ талбай нь давхар ангаахайгаар зурган дээр тэмдэглэсэн тэгш өнцөгтийн талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Тэгш өнцөгтийн талбайг томъёогоор тодорхойлно е(x)D x. Эндээс бид хамаарлыг олж авдаг

.

Сүүлчийн ойролцоо тэгшитгэлд ойролцоолсон нарийвчлал өндөр байх тусам D-ийн утга бага байна. x.

Дээрхээс энэ нь функцийн деривативын томъёог дагаж мөрддөг I(x):

.

x цэгийн дээд хязгаарт хамаарах тодорхой интегралын дериватив нь х цэг дэх интегралын утгатай тэнцүү байна.. Үүнээс үзэхэд функц байна функцийн эсрэг дериватив юм е(x), мөн цэг дээр авдаг ийм эсрэг дериватив x = aутга, тэгтэй тэнцүү. Энэ баримт нь тодорхой интегралыг хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог

. (1)

Болъё Ф(x)нь мөн функцийн эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь тухай теоремоор ерөнхий үзэлфункцүүдийн бүх эсрэг деривативууд I(x) = Ф(x) + C, Хаана C- тоо биш. Хаана баруун хэсэгтомъёо (1) хэлбэрийг авна

I(x) – I(а) = Ф(x) + C– (Ф(а) +C) = Ф(x) – Ф(а). (2)

Оруулсаны дараа (1) ба (2) томъёоноос xдээр бфункцийн тодорхой интегралыг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг е(т) интервалын дагуу [ а;б]:

,

Үүнийг ихэвчлэн томъёо гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбниц. Энд Ф(x)- ямар ч функцийн эсрэг дериватив е(x).

Функцийн тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд е(x) интервалын дагуу [ а;б], та зарим эсрэг дериватив олох хэрэгтэй Ф(x) функцууд е(x) ба цэг дээрх эсрэг деривативын утгын зөрүүг тооцоол бТэгээд а. Эдгээр эсрэг дериватив утгуудын хоорондох ялгааг ихэвчлэн ᴛ.ᴇ тэмдгээр тэмдэглэдэг. .

Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох жишээг өгье.

Жишээ 1. .

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо та ашиглаж болно Хувьсах орлуулалтын томъёо:

.

Энд аТэгээд бтэгшитгэлээс тус тус тодорхойлогддог j(а) = а; j(б) = б, функцууд е,j, j¢зохих интервалаар тасралтгүй байх ёстой.

Жишээ 2..

Сэлгээ хийцгээе: ln x = tэсвэл x = e t, дараа нь хэрэв x = 1, тэгвэл t = 0 ба хэрэв x = e, Тэр t = 1. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Гэсэн хэдий ч хувьсагчдын өөрчлөлтийг ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолохдоо өмнөх интеграцийн хувьсагч руу буцах нь онц чухал биш юм. Интеграцийн шинэ хязгаарыг нэвтрүүлэхэд л хангалттай.

Функцийг зөвшөөр е(т) нь тухайн цэгийг агуулсан зарим интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилдэг а.Дараа нь тоо бүр xэнэ интервалаас та тоотой таарч болно

I(x) = I(x+x) – I(x) =

Зураг 23-т үзүүлснээр өсөлтийн томъёоны сүүлчийн интегралын утга  I(x) талбайтай тэнцүү байна муруй трапец, сүүдэрлэж тэмдэглэсэн. Жижиг утгууд дээр  x(энд, энэ хичээлийн бусад хэсэгт, аргумент эсвэл функцийн жижиг өсөлтийн талаар ярихдаа бид өсөлтийн үнэмлэхүй хэмжээг хэлж байна, учир нь өсөлт нь эерэг ба сөрөг байж болно) энэ талбай нь талбайтай ойролцоогоор тэнцүү болж хувирдаг. зурагт тэмдэглэсэн тэгш өнцөгтийн давхар ангаахай. Тэгш өнцөгтийн талбайг томъёогоор тодорхойлно е(x)x. Эндээс бид хамаарлыг олж авдаг

.

Сүүлчийн ойролцоо тэгшитгэлд ойртсон тооцооллын нарийвчлал өндөр байх тусам утга бага байх болно  x.

Дээрхээс энэ нь функцийн деривативын томъёог дагаж мөрддөг I(x):

.

Цэг дэх дээд хязгаарт хамаарах тодорхой интегралын деривативx цэг дээрх интегралын утгатай тэнцүү байнаx. Үүнээс үзэхэд функц байна
функцийн эсрэг дериватив юм е(x), мөн цэг дээр авдаг ийм эсрэг дериватив x = aутга нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ баримт нь тодорхой интегралыг хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог

. (9)

Болъё Ф(x)нь мөн функцийн эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь функцийн бүх эсрэг деривативуудын ерөнхий хэлбэрийн тухай теоремоор I(x) = Ф(x) + C, Хаана C- хэдэн тоо. Энэ тохиолдолд (9) томъёоны баруун тал нь хэлбэрийг авна

I(x) – I(а) = Ф(x) + C– (Ф(а) +C) = Ф(x) – Ф(а). (10)

Оруулсаны дараа (9) ба (10) томъёоноос xдээр бфункцийн тодорхой интегралыг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг е(т) интервалын дагуу [ а;б]:

,

үүнийг томъёо гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбниц. Энд Ф(x)- функцийн аливаа эсрэг дериватив е(x).

Функцийн тодорхой интегралыг тооцоолох е(x) интервалын дагуу [ а;б], та зарим эсрэг дериватив олох хэрэгтэй Ф(x) функцууд е(x) ба цэг дээрх эсрэг деривативын утгын зөрүүг тооцоол бТэгээд а. Эдгээр эсрэг дериватив утгуудын хоорондох ялгааг ихэвчлэн тэмдгээр тэмдэглэдэг .

Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох жишээг өгье.

Жишээ. 1.
.

2.
.

Эхлээд функцийн тодорхойгүй интегралыг бодъё е(x) = xe x. Хэсэгээр нь нэгтгэх аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
. Эсрэг дериватив функцийн хувьд е(x) функц сонгох д x (x– 1) Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ.

I = e x (x – 1)= 1.

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо та ашиглаж болно тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх томъёо:

.

Энд  Тэгээд  тэгшитгэлээс тус тус тодорхойлогддог  ( ) = а;  ( ) = б, болон функцууд е,  ,  зохих интервалаар тасралтгүй байх ёстой.

Жишээ:
.

Сэлгээ хийцгээе: ln x = tэсвэл x = e т, дараа нь хэрэв x = 1, тэгвэл t = 0 ба хэрэв x = e, Тэр t = 1. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөхдөө анхны интеграл хувьсагч руу буцах шаардлагагүй.

Хувьсах дээд хязгаартай интеграл.Тодорхой интегралын утга нь интеграл хувьсагчийг ямар үсгээр тэмдэглэснээс хамаарахгүй: (үүнийг шалгахын тулд интеграл нийлбэрийг бичихэд хангалттай; тэдгээр нь давхцаж байна). Энэ хэсэгт интеграцийн хувьсагчбид үсгээр тэмдэглэнэ т , мөн захидал x Интеграцийн дээд хязгаарыг тэмдэглэе. Интегралын дээд хязгаар өөрчлөгдөж болно гэж бид таамаглах болно, өөрөөр хэлбэл. Юу x - хувьсагч, үр дүнд нь интеграл нь Ф( функц байх болно. x ) түүний дээд хязгаар: . Үүнийг батлахад амархан е (т ) интегралдах боломжтой бол Ф( x ) тасралтгүй боловч дараах үндсэн теорем нь бидний хувьд илүү чухал юм.
Хувьсах дээд хязгаартай интеграл теорем. Хэрэв функц е (т ) цэгийн ойролцоо үргэлжилдэг т = x , дараа нь энэ үед функц Ф( x ) ялгах боломжтой, ба .
Өөрөөр хэлбэл, тасралтгүй функцийн тодорхой интегралын дээд хязгаарт хамаарах дериватив нь энэ хязгаар дахь интегралын утгатай тэнцүү байна.
Баримт бичиг. Дээд хязгаараа өгье x өсөлт. Дараа нь , Хаана в - хооронд байрлах цэг x ба (ийм цэг байгаа нь дундаж утгын теоремоор тодорхойлогддог; тэнцүү тэмдгийн дээрх тоонууд нь тодорхой интегралын хэрэглэгдэх шинж чанарын тоо юм). . Яарцгаая. Үүнд ( в - хооронд байрлах цэг x Мөн ). Учир нь е (т ) цэг дээр тасралтгүй байна т = x , Тэр . Тиймээс бий , Мөн . Теорем нь батлагдсан.

Эхнийхийг нь тэмдэглэе чухал үр дагаварэнэ теорем. Үндсэндээ бид ямар ч гэдгийг нотолсон тасралтгүй функц е (x ) эсрэг деривативтай бөгөөд энэ эсрэг деривативыг томъёогоор тодорхойлно

36. Ньютон-Лейбницийн томъёо.

Хэрэв е (x ) [ интервал дээр тасралтгүй байна а , б ], Мөн Ф (x ) нь функцийн эсрэг дериватив юм, тэгвэл .
Док.Бид функцийг тогтоосон - тасралтгүйгийн эсрэг дериватив е (x ). Учир нь Ф (x ) нь мөн эсрэг дериватив бол Ф( x ) = Ф (x ) + C . Энэ тэгш байдлыг оруулъя x = а . Учир нь , Тэр . Тэгш байдлаар хувьсагчдыг дахин нэрлэе: интеграцийн хувьсагчийн хувьд т Тэмдэглэгээ рүү буцъя x , дээд хязгаар x гэж тэмдэглэе б . Эцэст нь, .
Ньютон-Лейбницийн томъёоны баруун талд байгаа ялгааг тусгай тэмдгээр тэмдэглэв. (энд "-аас орлуулах" гэж уншина а өмнө б "), тиймээс Ньютон-Лейбницийн томъёог ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг. .

37. Тодорхой интегралд хувьсагчийн өөрчлөлт, хэсэгчилсэн интеграл.

Хэрэв у(x) Мөн v(x) - [ интервал дээр тодорхойлсон хоёр функц а, б] ба тэнд үргэлжилсэн деривативууд байх, тэгвэл

Формула (24) байна тодорхой интегралын хэсгүүдээр интегралдах томъёо.

Нотолгоо нь маш энгийн. Яг,

Хэсгийн томъёогоор интеграцийн дагуу ийм байх болно

Дараа нь (24) энд байна.

Болъё е(zх, q], А φ (x) нь [ интервал дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц юм. а, б], тэнд тасралтгүй дериватив байна φ "(x) ба тэгш бус байдлыг хангах х ≤ φ (x) ≤ q.

Энэ тохиолдолд

Томъёо (22) нь тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх дүрмийг илэрхийлдэг. Энэ нь тодорхойгүй интеграл дахь хувьсагчийг орлуулах дүрэмтэй төстэй боловч (22) томъёо нь хоёр тогтмол тооны тэгш байдлыг илэрхийлдэг тул хуучин хувьсагч руу буцах шаардлагагүй гэдгээрээ ялгаатай. Тодорхой интегралын хувьд энэ томъёо нь тодорхойгүй интегралд орлуулах дүрмийг хоёуланг нь орлуулдаг гэдгийг мөн тэмдэглэе; Зөвхөн үүнийг практикт хэрэгжүүлэхдээ заримдаа зүүнээс баруун тийш, заримдаа баруунаас зүүн тийш унших хэрэгтэй болдог.

Теоремын нотолгоо руу шилжихдээ (22) томъёоны зүүн ба баруун талд орсон интегралуудыг тус тус тэмдэглэнэ. Iарслан ба Iзөв

Болъё Ф(z) нь эсрэг дериватив функц юм е(z). Дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёо/p>-ийн дагуу

Iэрх = Ф[φ (б)] - Ф[φ (а)]. (23)

Хувьд Iтэгээд арслан

Гэхдээ теоремын дагуу ийм байх болно

Iарслан = Ф[φ (б)] - Ф[φ (а)].

Эндээс ба (23)-аас ийм зүйл гарч ирнэ Iарслан = Iзөв

38. Тэгш, сондгой, үечилсэн функцийн интеграл.

Онол 1. f(x) нь [-a,a] интервал дээр интегралч байг. жигд функц:

Үүнийг батлахын тулд анхны интегралыг хоёр интегралын нийлбэр хэлбэрээр үзүүлье.

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Онол 2. f(x) нь [-a,a] интервал дээр интегралдах сондгой функц байг:

Теорем нь үүнтэй төстэй байдлаар батлагдсан:

λ-аас хамаарахгүй. Тухайлбал,

Энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа илэрхийллээс λ-тэй холбоотой деривативыг тооцоолъё.

Буруу интеграл

Интегралын хязгааргүй хязгаартай буруу интеграл

Заримдаа ийм зохисгүй интеграл гэж нэрлэдэг эхний төрлийн буруу интеграл. Ерөнхийдөө хязгааргүй хязгаартай буруу интеграл нь ихэвчлэн иймэрхүү харагддаг: . Энэ нь тодорхой интегралаас юугаараа ялгаатай вэ? Дээд хязгаарт. Энэ нь төгсгөлгүй юм: .

Хязгааргүй доод хязгаартай эсвэл хоёр интеграл нь бага түгээмэл байдаг хязгааргүй хязгаар: .

Бид хамгийн алдартай тохиолдлыг авч үзэх болно. Бусад сортуудтай ажиллах техник нь ижил төстэй бөгөөд догол мөрний төгсгөлд ийм жишээнүүдийн холбоос байх болно.

Буруу интеграл үргэлж байдаг уу? Үгүй, үргэлж биш интеграл интервал дээр тасралтгүй байх ёстой

Тусламж: хатуу хэлэхэд, мэдэгдэл худал: хэрэв функцэд тасалдал байгаа бол зарим тохиолдолд хагас интервалыг хэд хэдэн хэсэгт хувааж, хэд хэдэн буруу интегралыг тооцоолох боломжтой байдаг. Энгийн байхын тулд цаашид би зохисгүй интеграл байхгүй гэж хэлье.

Интеграл функцийн графикийг зурган дээр дүрсэлцгээе. Ердийн график ба муруй трапецын хувьд Энэ тохиолдолдиймэрхүү харагдаж байна:

Энд бүх зүйл хэвийн, интеграл нь хагас интервал дээр үргэлжилдэг, тиймээс буруу интеграл байдаг. Манай муруй трапец байна гэдгийг анхаарна уу эцэс төгсгөлгүй(баруун талд хязгаарлагдахгүй) зураг.
Тоон хувьд буруу интеграл талбайтай тэнцүүсүүдэртэй зураг, хоёр тохиолдол боломжтой:

1) Эхлээд толгойд орж ирсэн бодол: "Зураг нь хязгааргүй тул ", өөрөөр хэлбэл, талбай нь бас хязгааргүй юм. Тийм байж магадгүй. Энэ тохиолдолд тэд буруу интеграл хуваагддаг гэж хэлдэг.

2) Гэхдээ. Хэдий хачирхалтай сонсогдож байгаа ч хязгааргүй дүрсийн талбай нь төгсгөлтэй тоотой тэнцүү байж болно! Жишээлбэл: . Ийм байж болох уу? Амархан. Хоёр дахь тохиолдолд буруу интеграл нийлдэг.

Буруу интеграл ямар тохиолдолд ялгарах, ямар тохиолдолд нийлэх вэ? Энэ нь интегралаас хамаарна, ба тодорхой жишээнүүдБид тун удахгүй судлах болно.

Хэрэв тэнхлэгийн доор хязгааргүй муруй трапец байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд буруу интеграл (зөрнө) эсвэл төгсгөлтэй сөрөг тоотой тэнцүү байна.

Буруу интеграл нь сөрөг байж болно.

Чухал! Ямар ч зохисгүй интегралыг шийдэхийн тулд танд санал болговол ерөнхийдөө ямар ч талбайн талаар ярихгүй бөгөөд зураг зурах шаардлагагүй болно. Таны даалгавар бол ДУГААР олох эсвэл буруу интеграл салж байгааг батлах явдал юм. Би зөвхөн материалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс зохисгүй интегралын геометрийн утгыг тайлбарласан.

Буруу интеграл нь тодорхой интегралтай маш төстэй тул томъёог эргэн сана. Ньютон-Лейбниц: . Үнэн хэрэгтээ, томъёо нь бас хамаарна буруу интегралууд, үүнийг бага зэрэг өөрчлөх хэрэгтэй. Ялгаа нь юу вэ? Интегралын хязгааргүй дээд хязгаарт: . Магадгүй энэ нь хязгаарын онолын хэрэглээг аль хэдийн нотолсон гэж олон хүн таамаглаж байсан бөгөөд томъёог дараах байдлаар бичих болно. .

Өнөөдрийн лекцээр бид тодорхой интегралыг үргэлжлүүлэн судалж, түүнийг тооцоолох томъёог олж авах болно. Бид дараа нь харах болно, тодорхой интеграл нь эсрэг деривативын өсөлттэй тэнцүү бөгөөд илэрхийлнэ. тогтмол тоо, талбайтай тэнцүүмуруй шугаман трапец. Иймд тодорхойгүй интегралыг тооцоолох бүх аргууд нь тодорхой интегралд мөн хүчинтэй байна.

Асуулт 1. Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд

Интеграл

А тохиолдолд танилцуулсан< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. .

Бүх Δx i = 0 байх нөхцөлд энэ томьёог (1)-ээс авна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. .

Сегментийг эсрэг чиглэлд (b-ээс a хүртэл) ажиллуулах тохиолдолд энэ томьёог (1) -ээс авна. бүгд Δx i< 0.

Property 3. (нэмэлт шинж чанар)

Хэрэв f(x) функц нь интервал болон a< c < b, то

. (2)

Тэгш байдал (2) нь a, b, c цэгүүдийн аль ч байршилд хүчинтэй байна (бид f(x) функцийг үр дүнгийн хэрчмүүдийн том хэсэгт интегралдах боломжтой гэж үздэг).

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.

Тогтмол үржүүлэгчтодорхой интегралын тэмдэг болгон авч болно, i.e.

,

Энд k = const.

Эд хөрөнгө 5.

Хоёр функцийн алгебрийн нийлбэрийн тодорхой интеграл нь тэнцүү байна алгебрийн нийлбэрэдгээр функцүүдийн интегралууд, i.e.

.

Сэтгэгдэл

1. Үл хөдлөх хөрөнгө 5 нь ямар нэгэн хэмжээгээр хамаарна хязгаарлагдмал тоонөхцөл.
2. 4 ба 5-р шинж чанарууд нь хамтдаа илэрхийлэгддэг шугаман шинж чанартодорхой интеграл.

Асуулт 2. Интегралын тооцоо. Дундаж утгын теорем

1. Хэрэв f(x) функц интервалын хаа сайгүй ≥ 0 байвал .

2. Хэрэв интервалын хаа сайгүй f(x) ≥ g(x) байвал .

3. Интервал дээр тодорхойлсон f(x) функцийн хувьд тэгш бус байдал биелнэ .

Ялангуяа интервал дээр хаа сайгүй бол Мөн .

4. Хэрэв m ба M нь сегмент дээрх f(x) функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгууд юм. .

T.2.1. (дундаж утгын теорем))

Хэрэв f(x) функц нь хэрчим дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээр ийм c цэг байна

. (3)

Тэгш байдлыг (3) гэж нэрлэдэг дундаж утгын томъёо, мөн f(c) утгыг дуудна функцийн дундаж утга f(x) сегмент дээр .

Асуулт 3: Дээд хязгаарын функц болох тодорхой интеграл

Хэрэв y = f(x) функц нь интервал дээр интегралдах боломжтой бол аль ч жижиг интервал дээр интегралдах боломжтой, өөрөөр хэлбэл. "xО"-ийн хувьд интеграл байна

Хязгаар ба интеграл хувьсагчийн тэмдэглэгээг төөрөгдүүлэхгүйн тулд бид интеграцийн хувьсагчийг t гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь (4) интегралыг дараах хэлбэрээр бичнэ. Энэ интегралын утга нь х дээд хязгаарын функц бөгөөд Ф(х)-ээр тэмдэглэнэ.

. (5)

Ф(х) функцийг дуудна хувьсах дээд хязгаартай интеграл.

Ф(х) функцийн зарим шинж чанарыг авч үзье.

Т.3.1.(Ф(х) функцын тасралтгүй байдал)

Хэрэв f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байвал Ф(x) функц мөн интервал дээр тасралтгүй байх болно.

Т.3.2.(Ф(х) функцийг ялгах)

Хэрэв f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байвал Ф(x) функц аль ч үед дифференциалагдах боломжтой дотоод цэгЭнэ сегментийн x ба тэгш байдал нь үнэн юм

.

Үр дагавар

Хэрэв f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байвал энэ функцийн хувьд эсрэг дериватив on байна энэ сегмент, мөн Ф(х) функц - хувьсах дээд хязгаартай интеграл - f(x) функцийн эсрэг дериватив юм.

f(x) функцийн бусад эсрэг дериватив бүхэн Ф(x)-ээс зөвхөн тогтмол гишүүнээр ялгаатай тул бид үүнийг тогтоож болно.