Дөрвөлжин муруй трапецтоон хувьд тодорхой интегралтай тэнцүү

Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр би тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо дахиад нэгийг хэлэх цаг болжээ ашигтай баримт. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Энэ нь, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь хавтгай дээрх тодорхой муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг үргэлж зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө тоогоор илэрхийлэгддэг. талбайтай тэнцүүхаргалзах муруй трапец.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Эхлээд ба хамгийн чухал мөчшийдэл - зураг. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна. эхэндээбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь– парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгээр, технологитой нэг цэгийн барилга байгууламж-ээс олж болно лавлах материал.

Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Би муруй трапецийг гаргахгүй, энд ямар талбай байгаа нь тодорхой байна бид ярьж байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс , лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. IN энэ тохиолдолд"нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 гэсэн хариулт авсан бол энэ нь тодорхой байна квадрат нэгж, дараа нь хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

Зургийн талбайг тооцоолох, шугамаар хязгаарлагдана, , болон тэнхлэг

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн дор?

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец бол тэнхлэгийн доор бүрэн байрладаг, дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв танаас тодорхой интегралыг ямар ч тоогүйгээр шийдэхийг хүсэх юм бол геометрийн утга, тэгвэл энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул хамгийн энгийнээс сургуулийн асуудалИлүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье.

Жишээ 4

Талбайг олох хавтгай дүрс, шугамаар хязгаарлагдсан , .

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар нь гэсэн үг юм дээд хязгааринтеграци
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр.

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Төрөл бүрийн графикуудын нэг цэгийн барилгын техникийг тусламжид нарийвчлан авч үзсэн болно График ба шинж чанарууд үндсэн функцууд . Гэсэн хэдий ч, аналитик аргаЖишээлбэл, график нь нэлээд том эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох шаардлагатай хэвээр байна. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн шугам барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг би давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо:Хэрэв сегмент дээр тасралтгүй функц байгаа бол -аас их буюу тэнцүүзарим нь тасралтгүй функц, дараа нь дараах томъёог ашиглан харгалзах зургийн талбайг олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
дагуу сегмент дээр тохирох томъёо:

Хариулт:

Үнэндээ сургуулийн томъёодоод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн хувьд (энгийн жишээ №3-ыг үзнэ үү) - онцгой тохиолдолтомъёо . Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул функцийн график нь тэнхлэгийн доор байрладаг тул

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

, шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүйгээс... буруу зургийн талбай олдсон, таны даруухан үйлчлэгч яг ингэж хэд хэдэн удаа завхруулсан. Энд бодит хэрэгамьдралаас:

Жишээ 7

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбай нь цэнхэр өнгийн сүүдэртэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ихэвчлэн сүүдэрлэсэн дүрсийн талбайг олох шаардлагатай болдог. ногоон!

Энэ жишээ нь хоёрыг ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм тодорхой интеграл. Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулж, цэг тус бүрээр нь зурцгаая.

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн": .
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь магадгүй ... Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та зарцуулах хэрэгтэй нэмэлт цагмөн аналитик байдлаар интеграцийн хязгаарыг тодорхой болгох.

Шулуун ба параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

Тиймээс, .

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн, гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй;

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

За, хичээлээ дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Дүрсэлж үзье энэ тоозураг дээр.

Цэг цэгээр зурахын тулд та мэдэх хэрэгтэй гадаад төрхсинусоидууд (мөн ерөнхийдөө мэдэх нь ашигтай бүх энгийн функцүүдийн графикууд), түүнчлэн зарим синус утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт . Зарим тохиолдолд (энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүн дээр график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэд "x" нь тэгээс "pi" хүртэл өөрчлөгддөг. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

(1) Та хичээлээс синус болон косинусууд сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэгдэж байгааг харж болно -аас интеграл тригонометрийн функцууд . Энэ бол ердийн арга бөгөөд бид нэг синусыг хавчих.

(2) Үндсэн зүйлийг ашигла тригонометрийн ижилсэлхэлбэрээр

(3) Хувьсагчийг өөрчилье, тэгвэл:

Интеграцийн шинэ чиглэлүүд:

Сэлгээнд үнэхээр муу хүн байвал хичээлээ аваарай. Орлуулах арга тодорхойгүй интеграл . Тодорхой интегралд орлуулах алгоритмыг сайн ойлгодоггүй хүмүүс энэ хуудсанд зочилно уу. Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Функц нь сөрөг биш ба интервал дээр тасралтгүй байг. Дараа нь тодорхой интегралын геометрийн утгын дагуу муруйн трапецын талбайг дээрх функцийн графикаар, доороос нь тэнхлэгээр, зүүн, баруун талд нь шулуун шугамаар хязгаарласан ба (2-р зургийг үз) байна. томъёогоор тооцоолно

Жишээ 9.Шугаман ба тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг ол.

Шийдэл. Функцийн график мөчрүүд нь доош чиглэсэн парабол юм. Үүнийг бүтээцгээе (Зураг 3). Интеграцийн хязгаарыг тодорхойлохын тулд бид тэнхлэгтэй (шулуун шугам) шугамын (парабол) огтлолцох цэгүүдийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг

Бид авах: , хаана , ; иймээс, , .

Цагаан будаа. 3

Бид (5) томъёог ашиглан зургийн талбайг олно.

Хэрэв функц нь сегмент дээр эерэг биш бөгөөд тасралтгүй байвал муруй шугаман трапецын талбайг доороос энэ функцийн графикаар, дээр нь тэнхлэгээр, зүүн ба баруун талд шулуун шугамаар хязгаарлагдана. томъёо

. (6)

Хэрэв функц сегмент дээр тасралтгүй ажиллаж, өөрчилсөн бол нэвтэрнэ үү хязгаарлагдмал тооцэгүүд байвал сүүдэрлэсэн зургийн талбай (Зураг 4) тэнцүү байна алгебрийн нийлбэрхаргалзах тодорхой интегралууд:

Цагаан будаа. 4

Жишээ 10.Тэнхлэг болон функцийн графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Цагаан будаа. 5

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 5). Шаардлагатай талбай нь талбайн нийлбэр ба . Эдгээр талбар бүрийг олцгооё. Нэгдүгээрт, бид системийг шийдэх замаар интеграцийн хязгаарыг тодорхойлдог Бид авдаг, . Тиймээс:

;

.

Тиймээс сүүдэрлэсэн зургийн талбай нь байна

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. 6

Төгсгөлд нь муруйн трапецийг сегмент дээр тасралтгүй функцүүдийн графикаар дээд ба доор хязгаарлая.
мөн зүүн ба баруун талд - шулуун шугамууд ба (Зураг 6). Дараа нь түүний талбайг томъёогоор тооцоолно

. (8)

Жишээ 11.ба шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл.Энэ зургийг Зураг дээр үзүүлэв. 7. Түүний талбайг (8) томъёогоор тооцоолъё. Тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ бид олдог, ; иймээс, , . Бид сегмент дээр: . Энэ нь (8) томъёонд бид дараах байдлаар авна гэсэн үг юм x, мөн чанарын хувьд – . Бид авах:

(кв. нэгж).

Илүү нарийн төвөгтэй даалгаварТалбайн тооцоог дүрсийг огтлолцдоггүй хэсгүүдэд хувааж, бүх зургийн талбайг эдгээр хэсгүүдийн талбайн нийлбэрээр тооцоолох замаар шийддэг.

Цагаан будаа. 7

Жишээ 12., , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 8). Энэ зургийг доороос тэнхлэгээр, зүүн ба баруун тийш шулуун шугамаар, дээрээс нь функцийн графикаар хязгаарласан муруйн трапец гэж үзэж болно. Зураг нь дээрээс хоёр функцийн графикаар хязгаарлагддаг тул түүний талбайг тооцоолохын тулд бид энэ шулуун шугамын дүрсийг хоёр хэсэгт хуваана (1 нь шугамын огтлолцох цэгийн абсцисса ба ). Эдгээр хэсэг бүрийн талбайг (4) томъёогоор олно.

(кв. нэгж); (кв. нэгж). Тиймээс:

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. 8

Цагаан будаа. 9

Дүгнэж хэлэхэд, хэрэв муруйн трапец нь шулуун шугамаар хязгаарлагдмал ба , тэнхлэг ба муруй дээр тасралтгүй үргэлжилдэг (Зураг 9) бол түүний талбайг томъёогоор олно гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Биеийн эргэлтийн хэмжээ

Сегмент, тэнхлэг, шулуун ба тэнхлэг дээр тасралтгүй функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийг тэнхлэгийг тойрон эргэцгээе (Зураг 10). Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно

. (9)

Жишээ 13.Гипербол, шулуун шугам, тэнхлэгээр хязгаарлагдсан муруйн трапецын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 11).

Асуудлын нөхцөл байдлаас үзэхэд , . Томъёо (9) -ээс бид олж авна

.

Цагаан будаа. 10

Цагаан будаа. 11

Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүн Өөшулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец у = вТэгээд y = d, тэнхлэг Өөба томьёогоор тодорхойлогддог сегмент дэх тасралтгүй функцийн график (Зураг 12).

. (10)

Цагаан будаа. 12

Жишээ 14. Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол Өөшугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец X 2 = 4цагт, у = 4, x = 0 (Зураг 13).

Шийдэл. Асуудлын нөхцөлийн дагуу бид интеграцийн хязгаарыг олно: , . Томъёо (10) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Цагаан будаа. 13

Хавтгай муруйны нумын урт

Муруй байг тэгшитгэлээр өгөгдсөн, хаана , хавтгайд байрладаг (Зураг 14).

Цагаан будаа. 14

Тодорхойлолт. Нумын урт гэж энэ нуманд сийлсэн тасархай шугамын урт нь хязгааргүй, харин хамгийн том холбоосын урт тэг болох хандлагатай байгаа хязгаарыг ойлгодог.

Хэрэв функц ба түүний дериватив сегмент дээр тасралтгүй байвал муруйн нумын уртыг томъёогоор тооцоолно.

. (11)

Жишээ 15. Цэгүүдийн хооронд бэхлэгдсэн муруйны нумын уртыг тооцоол .

Шийдэл. Бидэнд байгаа асуудлын нөхцөл байдлаас . Томъёо (11) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

4. Буруу интеграл
-тай хязгааргүй хязгааринтеграци

Тодорхой интегралын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхдээ дараахь хоёр нөхцөл хангагдсан гэж үзсэн.

a) интеграцийн хязгаар Амөн хязгаарлагдмал;

б) интеграл нь интервал дээр хязгаарлагддаг.

Хэрэв эдгээр нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол интегралыг дуудна чинийх биш.

Эхлээд интегралын хязгааргүй хязгаартай буруу интегралуудыг авч үзье.

Тодорхойлолт. Функц нь интервал дээр тодорхойлогддог ба тасралтгүй байгбаруун талд нь хязгааргүй (Зураг 15).

Хэрэв буруу интегралнийлдэг, тэгвэл энэ талбай нь төгсгөлтэй; хэрэв буруу интеграл ялгарах юм бол энэ талбай хязгааргүй болно.

Цагаан будаа. 15

Интегралын хязгааргүй доод хязгаартай буруу интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

. (13)

Хэрэв тэгш байдлын баруун талын хязгаар (13) байгаа бөгөөд төгсгөлтэй байвал энэ интеграл нийлдэг; эс бөгөөс интегралыг дивергент гэнэ.

Интегралын хоёр хязгааргүй хязгаартай буруу интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

, (14)

Энд c нь интервалын дурын цэг юм. Тэгш байдлын баруун талын (14) интеграл хоёулаа нийлсэн тохиолдолд л интеграл нийлнэ.

G) = [хүлээгчийн хэсгийг сонгоно уу төгс дөрвөлжин: ] = [солих:

] =

Энэ нь буруу интеграл нийлж, утга нь -тэй тэнцүү байна гэсэн үг.

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байвал энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Түлхүүр үгс:салшгүй, муруйн трапец, сараана цэцгүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсүүдийн талбай

Тоног төхөөрөмж: тэмдэглэгээний самбар, компьютер, мультимедиа проектор

Хичээлийн төрөл: хичээл-лекц

Хичээлийн зорилго:

• боловсролын:оюуны хөдөлмөрийн соёлыг төлөвшүүлэх, оюутан бүрийн амжилтын нөхцөлийг бүрдүүлэх, суралцах эерэг сэдлийг бий болгох; ярих, бусдыг сонсох чадварыг хөгжүүлэх.
• хөгжиж буй:Оюутны мэдлэгийг ашиглах бие даасан сэтгэлгээг бий болгох өөр өөр нөхцөл байдал, дүн шинжилгээ хийх, дүгнэлт гаргах чадвар, логикийн хөгжил, асуултуудыг зөв тавьж, түүнд хариулт олох чадварыг хөгжүүлэх. Тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх, санал болгож буй даалгаврыг биелүүлэх явцад сурагчдын сэтгэлгээг хөгжүүлэх, алгоритмын соёлыг хөгжүүлэх.
• боловсролын: муруйн трапецын тухай, интегралын тухай ойлголтыг төлөвшүүлэх, хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох чадварыг эзэмших.

Сургалтын арга:тайлбарлах, тайлбарлах.

Хичээлийн явц

Өмнөх хичээлүүд дээр бид хил хязгаар нь тасархай шугамтай дүрсүүдийн талбайг тооцоолж сурсан. Математикийн хувьд муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолох боломжийг олгодог аргууд байдаг. Ийм дүрсийг муруй шугаман трапец гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн талбайг антидериватив ашиглан тооцоолдог.

Муруй шугаман трапец ( слайд 1)

Муруй трапец гэдэг нь функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрс юм, ( sh.m.), шулуун x = aТэгээд x = bба x тэнхлэг

Төрөл бүрийн муруй трапецын хэлбэрүүд ( слайд 2)

Бид авч үзэж байна янз бүрийн төрөлмуруй шугаман трапец ба тэмдэглэгээ: шугамын аль нэг нь цэг болж доройтож, шугам нь хязгаарлах функцийг гүйцэтгэдэг.

Муруй трапецын талбай (слайд 3)

Интервалын зүүн төгсгөлийг засах А,мөн зөв нь Xбид өөрчлөгдөх болно, өөрөөр хэлбэл, бид муруйн трапецын баруун ханыг хөдөлгөж, өөрчлөгдөж буй дүрсийг авна. Функцийн графикаар хязгаарлагдсан хувьсах муруйн трапецын талбай нь эсрэг дериватив юм. Ффункцийн хувьд е

Мөн сегмент дээр [ a; б] муруй трапецын талбай, функцээр үүсгэгддэг е,Энэ функцийн эсрэг деривативын өсөлттэй тэнцүү байна:

Даалгавар 1:

Функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбайг ол. f(x) = x 2ба шулуун y = 0, x = 1, x = 2.

Шийдэл: ( 3-р слайдын алгоритмын дагуу)

Функц ба шугамын графикийг зуръя

Аль нэгийг нь олъё эсрэг дериватив функцууд f(x) = x 2 :

Өөрийгөө слайдаар шалгах

Интеграл

Функцээр тодорхойлогдсон муруй шугаман трапецийг авч үзье есегмент дээр [ a; б]. Энэ сегментийг хэд хэдэн хэсэгт хувааж үзье. Бүх трапецын талбайг жижиг муруй трапецын талбайн нийлбэрт хуваана. ( слайд 5). Ийм трапец бүрийг ойролцоогоор тэгш өнцөгт гэж үзэж болно. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр нь муруй трапецын бүх талбайн ойролцоо санааг өгдөг. Бид жижиг байх тусмаа сегментийг хуваадаг [ a; б], бид талбайг илүү нарийвчлалтай тооцоолох болно.

Эдгээр аргументуудыг томъёо хэлбэрээр бичье.

Сегментийг хуваах [ a; б] цэгээр n хэсэгт хуваана x 0 = a, x1,…, xn = b.Урт к- th -ээр тэмдэглэнэ xk = xk – xk-1. Нийлбэр гаргая

Геометрийн хувьд энэ нийлбэр нь зураг дээр сүүдэрлэсэн зургийн талбайг илэрхийлнэ ( sh.m.)

Маягтын нийлбэрийг функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг е. (ш.м.)

Интеграл нийлбэр нь талбайн ойролцоо утгыг өгдөг. Яг үнэ цэнэхязгаарт хүрэх замаар олж авдаг. Бид сегментийн хуваалтыг сайжруулж байна гэж төсөөлье. a; б] ингэснээр бүх жижиг сегментүүдийн урт тэг байх хандлагатай байна. Дараа нь зурсан зургийн талбай нь муруй трапецын талбайд ойртох болно. Муруй трапецын талбай нь интеграл нийлбэрийн хязгаартай тэнцүү гэж бид хэлж чадна. Sc.t. (ш.м.)эсвэл интеграл, өөрөөр хэлбэл,

Тодорхойлолт:

Функцийн интеграл f(x)-аас аруу бинтеграл нийлбэрийн хязгаар гэж нэрлэдэг

= (ш.м.)

Ньютон-Лейбницийн томъёо.

Интеграл нийлбэрийн хязгаар нь муруйн трапецын талбайтай тэнцүү гэдгийг бид санаж байгаа бөгөөд энэ нь бид дараах зүйлийг бичиж болно гэсэн үг юм.

Sc.t. = (ш.м.)

Нөгөө талаас муруй трапецын талбайг томъёогоор тооцоолно

С к.т. (ш.м.)

Эдгээр томъёог харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ тэгш байдлыг Ньютон-Лейбницийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Даалгавар: (ш.м.)

1. Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан интегралыг тооцоол: ( 5-р слайдыг шалгана уу)

2. Зургийн дагуу интеграл зохиох ( 6-р слайдыг шалгана уу)

3. y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2 гэсэн шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг ол. ( Слайд 7)

Хавтгайн дүрсүүдийн талбайг олох ( слайд 8)

Муруй трапец биш дүрсүүдийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Графикийг нь слайд дээр харж байгаа хоёр функцийг өгье . (ш.м.)Сүүдэрлэсэн зургийн талбайг ол . (ш.м.). Энэ зураг муруй трапец мөн үү? Талбайн нэмэгдлийн шинж чанарыг ашиглан түүний талбайг хэрхэн олох вэ? Хоёр муруй трапецийг авч үзээд тэдгээрийн аль нэгнийх нь талбайгаас нөгөөгийнх нь талбайг хас. sh.m.)

Слайд дээрх хөдөлгөөнт дүрсийг ашиглан талбайг олох алгоритмыг бүтээцгээе.

1. График функцууд
2. Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг x тэнхлэгт тусга
3. Графикууд огтлолцох үед олж авсан дүрсийг сүүдэрлэнэ
4. Өгөгдсөн дүрс огтлолцол буюу нэгдэл нь муруй шугаман трапецийг ол.
5. Тэд тус бүрийн талбайг тооцоол
6. Талбайн зөрүү буюу нийлбэрийг ол

Аман даалгавар: Сүүдэрлэсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олж авах вэ (хөдөлгөөнт дүрс ашиглан хэлэх, слайд 8 ба 9)

Гэрийн даалгавар: 353 (а), № 364 (а) гэсэн тэмдэглэлүүдээр ажилла.

Лавлагаа

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: оройн (ээлжийн) сургуулийн 9-11-р ангийн сурах бичиг / ред. Г.Д. Глазер. - М: Гэгээрэл, 1983 он.
2. Башмаков М.И. Алгебр ба анализын эхлэл: ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурах бичиг / Башмаков М.И. - М: Гэгээрэл, 1991 он.
3. Башмаков М.И. Математик: анхан шатны байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг. болон Лхагва гараг проф. боловсрол / M.I. Башмаков. - М: Академи, 2010 он.
4. Колмогоров А.Н. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: 10-11-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд / A.N. Kolmogorov. - М: Боловсрол, 2010 он.
5. Островский С.Л. Хичээлдээ хэрхэн илтгэл тавих вэ?/ С.Л. Островский. – М.: 2010 оны 9-р сарын 1.

Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Програмууд руу шилжье интеграл тооцоо. Энэ хичээл дээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно - хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолохдоо тодорхой интегралыг хэрхэн ашиглах. Эцэст нь утгыг хайж байна дээд математик- Тэд түүнийг олох болтугай. Та хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлээ унших ёстой Үгүй.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Та хуудсан дээрх тодорхой интегралуудтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, илүү их сэдэвчилсэн асуудалтаны зурах мэдлэг, ур чадвар байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын тухай санах ойг сэргээх, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, парабол, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг. Үүнийг ашиглан хийж болно (олон хүний ​​хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай). арга зүйн материалГрафикийн геометрийн хувиргалтуудын тухай өгүүллүүд.

Ер нь тодорхой интеграл ашиглан талбайг олох даалгаврыг хүн бүр сургуулиасаа мэддэг байсан бөгөөд бид үүнээс цааш явахгүй. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Энэ нийтлэл огт байгаагүй байж болох ч 100 тохиолдлын 99-д нь оюутан үзэн яддаг сургуульд зовж, дээд математикийн хичээлийг урам зоригтойгоор эзэмшсэн тохиолдолд ийм асуудал гардаг.

Материал энэ семинарынэнгийн, дэлгэрэнгүй, хамгийн бага онолоор танилцуулсан.

Муруй трапецаар эхэлцгээе.

Муруй шугаман трапецнь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй интервал дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү доогуур биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Ангидаа Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБи тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо өөр нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Энэ нь, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна. эхэндээбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь– парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгээр, нэг цэгийн барилгын техникийг лавлах материалаас олж болно Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Би муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс , лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

, , болон тэнхлэгүүдээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн дор?

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөргүйөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Төрөл бүрийн графикуудын нэг цэгийн барилгын техникийг тусламжид нарийвчлан авч үзсэн болно Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн шугам барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг би давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв сегмент дээр тасралтгүй функц байгаа бол -аас их буюу тэнцүүзарим тасралтгүй функц, дараа нь зургийн талбай, хуваарийн дагуу хязгаарлагддагөгөгдсөн функцууд ба шулуун шугамуудыг , , томъёог ашиглан олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (энгийн жишээ № 3-ыг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм. . Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул функцийн график байрладаг өндөргүйтэгвэл тэнхлэгүүд

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

, шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүйгээс... буруу зургийн талбай олдсон, таны даруухан үйлчлэгч яг ингэж хэд хэдэн удаа завхруулсан. Энд бодит амьдрал дээр тохиолдсон тохиолдол байна:

Жишээ 7

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

...Өө, зураг нь онигоо гарсан ч бүх зүйл гаргацтай байх шиг байна.

Бидний олох ёстой талбай нь цэнхэр өнгийн сүүдэртэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн зургийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Өөр нэг утга учиртай ажил руугаа орцгооё.

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулж, цэг тус бүрээр нь зурцгаая.

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн": .
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь магадгүй ... Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Шулуун ба параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.


,

Үнэхээр, .

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн, гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй;

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

За, хичээлээ дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Энэ дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Хараал ид, би хуваарьт гарын үсэг зурахаа мартчихаж, уучлаарай, би зургийг дахин хийхийг хүсээгүй. Зурах өдөр биш товчхондоо өнөөдөр бол өдөр =)

Цэг бүрээр барихын тулд синусоидын дүр төрхийг мэдэх шаардлагатай (мөн ерөнхийдөө үүнийг мэдэх нь ашигтай байдаг. бүх энгийн функцүүдийн графикууд), түүнчлэн зарим синус утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт. Зарим тохиолдолд (энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүн дээр график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэд "x" нь тэгээс "pi" хүртэл өөрчлөгддөг. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул: