Дериватив нь олон тооны хэрэглээтэй болохыг бид харсан: дериватив нь хөдөлгөөний хурд (эсвэл ерөнхийдөө аливаа үйл явцын хурд); дериватив юм налууфункцийн графиктай шүргэгч; деривативыг ашиглан та функцийг монотон ба экстремумыг шалгаж болно; дериватив нь оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.
Гэхдээ дотор жинхэнэ амьдралшийдэх ёстой ба урвуу асуудлууд: жишээлбэл, мэдэгдэж буй хөдөлгөөний хуулийн дагуу хурдыг олох асуудалтай зэрэгцээд мэдэгдэж буй хурдны дагуу хөдөлгөөний хуулийг сэргээх асуудал бас бий. Эдгээр асуудлын нэгийг авч үзье.
Жишээ 1.Шулуун шугамаар хөдөлдөг материаллаг цэг, t үеийн хөдөлгөөний хурдыг u = tg томъёогоор тодорхойлно. Хөдөлгөөний хуулийг ол.
Шийдэл.Хөдөлгөөний хүссэн хууль s = s(t) байг. s"(t) = u"(t) гэдгийг мэддэг. Энэ нь асуудлыг шийдэхийн тулд сонгох хэрэгтэй гэсэн үг юм функц s = s(t), дериватив нь tg-тэй тэнцүү. Үүнийг таахад хэцүү биш юм
Жишээ нь зөв, гэхдээ бүрэн бус шийдэгдсэн гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Үнэн хэрэгтээ энэ асуудал нь хэлбэрийн аль ч функц гэсэн хязгааргүй олон шийдэлтэй болохыг олж мэдсэн 
дурын тогтмол нь хөдөлгөөний хууль болж чаддаг тул
Даалгаврыг илүү тодорхой болгохын тулд бид анхны нөхцөл байдлыг засах шаардлагатай болсон: хөдөлж буй цэгийн координатыг тодорхой цаг хугацааны хувьд, жишээлбэл, t=0-д зааж өгнө. Хэрэв s(0) = s 0 гэж хэлбэл, тэгшитгэлээс бид s(0) = 0 + C, өөрөөр хэлбэл S 0 = C-ийг олж авна. Одоо хөдөлгөөний хууль өвөрмөц тодорхойлогддог:
Математикийн хувьд харилцан үйлдлүүдийг хуваарилдаг өөр өөр нэрс, тусгай тэмдэглэгээг гаргаж ирээрэй: жишээлбэл, квадрат (x 2) болон задлах квадрат язгуурсинх(синх) ба арксин(arcsin x) гэх мэт. -д хамаарах деривативыг олох үйл явц өгөгдсөн функцялгах гэж нэрлэдэг ба урвуу ажиллагаа, өөрөөр хэлбэл Өгөгдсөн деривативаас функцийг олох үйл явц - интеграл.
"Үүсмэл" гэсэн нэр томъёог "өдөр тутмын хэллэгээр" зөвтгөж болно: y - f(x) функц нь "оршин оршихуйг бий болгодог". шинэ шинж тэмдэг y"= f"(x) y = f(x) функц нь "эцэг эх"-ийн үүргийг гүйцэтгэдэг боловч математикчид угаасаа үүнийг "эцэг эх" эсвэл "үйлдвэрлэгч" гэж нэрлэдэггүй, тэд үүнийг "эцэг эх" гэж нэрлэдэггүй. y"=f"(x) функц, үндсэн дүрс, эсвэл товчхондоо эсрэг дериватив.
Тодорхойлолт 1.Хэрэв X-ээс бүх x-ийн хувьд F"(x)=f(x) тэгш байдал хангагдсан бол y = F(x) функцийг өгөгдсөн X интервал дээрх у = f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэнэ.
Практикт X интервал нь ихэвчлэн тодорхойлогддоггүй, гэхдээ далд байдаг (функцийг тодорхойлох байгалийн домэйн гэх мэт).
Энд зарим жишээ байна:
1) Бүх x-ийн хувьд (x 2)" = 2x тэгш байдал үнэн тул y = x 2 функц нь y = 2x функцийн эсрэг дериватив юм.
2) y - x 3 функц нь y-3x 2 функцийн эсрэг дериватив, учир нь бүх x-ийн хувьд тэгш байдал (x 3)" = 3x 2 нь үнэн юм.
3) Бүх x-ийн хувьд (sinx)" = cosx тэгш байдал үнэн тул y-sinх функц нь y = cosx функцийн эсрэг дериватив юм.
4) Бүх x > 0-д тэгш байдал үнэн тул интервал дээрх функцийн эсрэг дериватив байна.
Ерөнхийдөө дериватив олох томьёо мэддэг учраас эсрэг деривативыг олох томьёоны хүснэгтийг бүрдүүлэх нь тийм ч хэцүү биш юм.
Энэ хүснэгтийг хэрхэн эмхэтгэж байгааг та ойлгосон байх гэж найдаж байна: хоёр дахь баганад бичигдсэн функцийн дериватив нь эхний баганын харгалзах мөрөнд бичигдсэн функцтэй тэнцүү байна (үүнийг шалгаарай, залхуурах хэрэггүй, Энэ нь маш ашигтай). Жишээлбэл, y = x 5 функцийн эсрэг дериватив нь функц юм (хүснэгтийн дөрөв дэх мөрийг үзнэ үү).
Тэмдэглэл: 1. Доор бид y = F(x) нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив бол y = f(x) функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай ба тэдгээр нь бүгд у = хэлбэртэй байна гэсэн теоремыг батлах болно. F(x ) + C. Иймд C нь дурын бодит тоо болох хүснэгтийн 2-р баганын хаа сайгүй С нэр томъёог нэмэх нь илүү зөв байх болно.
2. Товчхон болгох үүднээс заримдаа “y = F(x) функц нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив байна” гэсэн хэллэгийн оронд F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж хэлдэг. .”
2. Эсрэг деривативыг олох дүрэм
Эсрэг деривативыг олох, түүнчлэн деривативыг олохдоо зөвхөн томьёог ашигладаггүй (тэдгээрийг 196-р хуудасны хүснэгтэд жагсаасан), мөн зарим дүрмийг баримталдаг. Эдгээр нь деривативыг тооцоолох холбогдох дүрэмтэй шууд холбоотой.
Нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.
Дүрэм 1.Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Энэхүү найруулгын бага зэрэг "хөнгөн" байдалд бид таны анхаарлыг хандуулж байна. Үнэн хэрэгтээ теоремыг томъёолох хэрэгтэй: хэрэв y = f(x) ба y = g(x) функцууд нь X интервал дээр y-F(x) ба y-G(x) эсрэг деривативтай бол у функцүүдийн нийлбэр болно. = f(x)+g(x) нь X интервал дээр эсрэг деривативтай ба энэ эсрэг дериватив нь y = F(x)+G(x) функц юм. Гэхдээ ихэвчлэн дүрмийг (теорем биш) боловсруулахдаа зөвхөн орхидог түлхүүр үгс- энэ нь дүрмийг практикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой болгодог
Жишээ 2. y = 2x + cos x функцийн эсрэг деривативыг ол.
Шийдэл. 2x-ийн эсрэг дериватив нь x"; cox-ийн эсрэг дериватив нь sin x юм. Энэ нь y = 2x + cos x функцийн эсрэг дериватив нь y = x 2 + sin x функц (мөн ерөнхийдөө хэлбэрийн аль ч функц) болно гэсэн үг юм. Y = x 1 + sinx + C) .
Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж болно гэдгийг бид мэднэ. Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.
Дүрэм 2.Тогтмол хүчин зүйлийг эсрэг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно.
Жишээ 3.
Шийдэл. a) Sin x-ийн эсрэг дериватив нь -soz x; Энэ нь y = 5 sin x функцийн эсрэг дериватив функц нь у = -5 cos x функц болно гэсэн үг юм.
b) cos x-ийн эсрэг дериватив нь sin x; Энэ нь функцийн эсрэг дериватив нь функц гэсэн үг юм
в) x 3-ын эсрэг дериватив нь х-ийн эсрэг дериватив, у = 1 функцийн эсрэг дериватив нь у = х функц юм. Эсрэг деривативыг олох эхний ба хоёр дахь дүрмийг ашигласнаар y = 12x 3 + 8x-1 функцийн эсрэг дериватив нь функц болохыг олж мэдэв.
Сэтгэгдэл.Мэдэгдэж байгаагаар, бүтээгдэхүүний дериватив нь деривативын үржвэртэй тэнцүү биш (бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрэм нь илүү төвөгтэй байдаг) ба хуваалтын дериватив нь деривативын үржвэртэй тэнцүү биш юм. Тиймээс бүтээгдэхүүний эсрэг дериватив эсвэл хоёр функцийн категоритын эсрэг деривативыг олох дүрэм байдаггүй. Болгоомжтой байгаарай!
Эсрэг деривативыг олох өөр нэг дүрмийг авч үзье. y = f(kx+m) функцийн деривативыг томъёогоор тооцдог гэдгийг бид мэднэ
Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.
Дүрэм 3.Хэрэв y = F(x) нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив бол y=f(kx+m) функцийн эсрэг дериватив нь функц болно.
Үнэхээр,
Энэ нь y = f(kx+m) функцийн эсрэг дериватив гэсэн үг юм.
Гурав дахь дүрмийн утга нь дараах байдалтай байна. Хэрэв та y = f(x) функцийн эсрэг дериватив нь y = F(x) функц болохыг мэдэж байгаа бөгөөд y = f(kx+m) функцийн эсрэг деривативыг олох шаардлагатай бол дараах байдлаар үргэлжлүүлнэ үү: авна. ижил функц F, гэхдээ х аргументийн оронд kx+m илэрхийллийг орлуулна; Үүнээс гадна функцийн тэмдгийн өмнө "засварлах хүчин зүйл" гэж бичихээ бүү мартаарай
Жишээ 4.Өгөгдсөн функцүүдийн эсрэг деривативуудыг ол:
Шийдэл, a) Sin x-ийн эсрэг дериватив нь -soz x; Энэ нь y = sin2x функцийн эсрэг дериватив нь функц болно гэсэн үг юм
b) cos x-ийн эсрэг дериватив нь sin x; Энэ нь функцийн эсрэг дериватив нь функц гэсэн үг юм
в) x 7-ийн эсрэг дериватив нь y = (4-5x) 7 функцийн эсрэг дериватив нь функц болно гэсэн үг юм.
3. Тодорхой бус интеграл
Өгөгдсөн y = f(x) функцийн эсрэг деривативыг олох асуудал нэгээс олон шийдэлтэй гэдгийг бид дээр дурдсан. Энэ асуудлыг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.
Баталгаа. 1. X интервал дээрх y = f(x) функцийн эсрэг дериватив нь y = F(x) байг. Энэ нь X-ийн бүх x-ийн хувьд x"(x) = f(x) тэгшитгэл биелнэ гэсэн үг юм. y = F(x)+C хэлбэрийн дурын функцийн уламжлалыг ол:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Тэгэхээр (F(x)+C) = f(x). Энэ нь y = F(x) + C нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив гэсэн үг юм.
Ингээд бид y = f(x) функц нь y=F(x) эсрэг деривативтай бол (f = f(x) функц нь хязгааргүй олон эсрэг дериватив, тухайлбал у = хэлбэрийн дурын функцтэй болохыг бид нотолсон. F(x) +C нь эсрэг дериватив юм.
2. Одоо үүнийг баталъя заасан төрөлфункцууд, эсрэг деривативуудын бүхэл бүтэн багц дууссан.
X интервал дээрх Y = f(x) функцийн хувьд y=F 1 (x) ба y=F(x) хоёр эсрэг дериватив байя. Энэ нь X интервалаас бүх x-ийн хувьд дараах хамаарал явагдана гэсэн үг: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
y = F 1 (x) -.F(x) функцийг авч үзээд түүний уламжлалыг олъё: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Хэрэв X интервал дээрх функцийн дериватив нь тэгтэй ижил тэнцүү бол функц X интервал дээр тогтмол байна (§ 35-аас Теорем 3-ыг үзнэ үү). Энэ нь F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.
Теорем нь батлагдсан.
Жишээ 5.Цаг хугацааны хувьд хурд өөрчлөгдөх хууль өгөгдсөн: v = -5sin2t. Хэрэв t=0 үед тухайн цэгийн координат нь 1.5 тоотой (өөрөөр хэлбэл s(t) = 1.5) тэнцүү байсан нь мэдэгдэж байвал хөдөлгөөний хуулийг ол s = s(t).
Шийдэл.Хурд нь цаг хугацааны функц болох координатын дериватив учраас бид эхлээд хурдны эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. v = -5sin2t функцийн эсрэг дериватив. Ийм антидеривативуудын нэг нь функц бөгөөд бүх эсрэг деривативуудын багц нь дараах хэлбэртэй байна.
Олох тодорхой утгатогтмол C, бид эхний нөхцлүүдийг ашигладаг бөгөөд үүний дагуу s(0) = 1.5. Томъёо (1) -д t = 0, S = 1.5 утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
С-ийн олсон утгыг томьёо (1)-д орлуулснаар бид сонирхсон хөдөлгөөний хуулийг олж авна.
Тодорхойлолт 2.Хэрэв y = f(x) функц нь X интервал дээр y = F(x) эсрэг деривативтай бол бүх эсрэг деривативын олонлог, өөрөөр хэлбэл. y = F(x) + C хэлбэрийн функцын багцыг y = f(x) функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэх ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
(унш: " тодорхойгүй интеграл ef from x de x").
Дараагийн догол мөрөнд бид юу болохыг олж мэдэх болно далд утгазаасан тэмдэглэгээ.
Энэ хэсэгт байгаа антидеривативуудын хүснэгтэд үндэслэн бид үндсэн тодорхойгүй интегралуудын хүснэгтийг эмхэтгэх болно.
Эсрэг деривативыг олох дээрх гурван дүрэмд үндэслэн бид холбогдох интеграцийн дүрмийг боловсруулж болно.
Дүрэм 1.Функцийн нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр функцүүдийн интегралууд:
Дүрэм 2.Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.
Дүрэм 3.Хэрэв
Жишээ 6.Тодорхой бус интегралуудыг ол:
Шийдэл, a) Интеграцийн эхний болон хоёр дахь дүрмийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Одоо 3 ба 4-р интеграцийн томъёог ашиглая:
Үүний үр дүнд бид:
б) Интеграцийн гурав дахь дүрэм ба 8-р томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
в) Өгөгдсөн интегралыг шууд олохын тулд бидэнд аль нь ч байхгүй тохирох томъёо, холбогдох дүрэм байхгүй. IN ижил төстэй тохиолдлуудзаримдаа урьдчилан гүйцэтгэсэн хүмүүс тусалдаг таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдинтеграл тэмдгийн дор агуулагдсан илэрхийлэл.
Давуу талыг ашиглацгаая тригонометрийн томъёоЗэрэг бууруулах:
Дараа нь бид дарааллаар нь олдог:
А.Г. Мордкович алгебр 10-р анги
Математикийн хуанли-сэдэвчилсэн төлөвлөлт, видеоматематикийн онлайн, сургуулийн математикийн
Эсрэг дериватив функцийг олох гурван үндсэн дүрэм байдаг. Эдгээр нь харгалзах ялгах дүрэмтэй маш төстэй юм.
Дүрэм 1
Хэрэв F нь зарим f функцийн эсрэг дериватив, G нь зарим g функцийн эсрэг дериватив бол F + G нь f + g функцийн эсрэг дериватив болно.
Эсрэг деривативын тодорхойлолтоор F’ = f. G' = g. Эдгээр нөхцөл хангагдсан тул функцүүдийн нийлбэрийн деривативыг тооцоолох дүрмийн дагуу бид дараахь зүйлийг авна.
(F + G)’ = F' + G' = f + g.
Дүрэм 2
Хэрэв F нь зарим f функцийн эсрэг дериватив бол k нь зарим тогтмол байна. Тэгвэл k*F нь k*f функцийн эсрэг дериватив болно. Энэ дүрэм нь деривативыг тооцоолох дүрмийн дагуу явагдана нарийн төвөгтэй функц.
Бидэнд: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Дүрэм 3
Хэрэв F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив бөгөөд k ба b нь тогтмол бөгөөд k нь тэгтэй тэнцүү биш бол (1/k)*F*(k*x+b) болно. f (k*x+b) функцийн эсрэг дериватив.
Энэ дүрэм нь нийлмэл функцийн деривативыг тооцоолох дүрмээс хамаарна.
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Эдгээр дүрмүүд хэрхэн хэрэгждэг тухай хэдэн жишээг харцгаая:
Жишээ 1. Хай ерөнхий хэлбэр f(x) = x^3 +1/x^2 функцийн эсрэг деривативууд. x^3 функцийн эсрэг деривативын нэг нь (x^4)/4 функц байх ба 1/x^2 функцийн эсрэг деривативын нэг нь -1/x функц байна. Эхний дүрмийг ашиглан бид:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Жишээ 2. f(x) = 5*cos(x) функцийн эсрэг деривативын ерөнхий хэлбэрийг олъё. cos(x) функцийн хувьд эсрэг деривативуудын нэг нь sin(x) функц байх болно. Хэрэв бид одоо хоёр дахь дүрмийг ашиглавал бид дараах байдалтай болно.
F(x) = 5*sin(x).
Жишээ 3. y = sin(3*x-2) функцийн эсрэг деривативуудын аль нэгийг ол. sin(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг нь -cos(x) функц байх болно. Хэрэв бид одоо гурав дахь дүрмийг ашиглавал эсрэг деривативын илэрхийлэлийг олж авна.
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Жишээ 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 функцийн эсрэг деривативыг ол
1/x^5 функцийн эсрэг дериватив нь (-1/(4*x^4)) функц байх болно. Одоо гурав дахь дүрмийг ашиглан бид олж авна.
Энэ хуудсан дээр та дараах зүйлсийг олох болно:
1. Үнэндээ антидеривативуудын хүснэгт - үүнийг PDF форматаар татаж аваад хэвлэх боломжтой;
2. Энэ хүснэгтийг хэрхэн ашиглах тухай видео;
3. Төрөл бүрийн сурах бичиг, тестийн эсрэг деривативыг тооцоолох олон жишээ.
Видео бичлэг дээр бид функцүүдийн эсрэг деривативуудыг тооцоолох шаардлагатай олон асуудлыг шинжлэх болно, ихэвчлэн нэлээд төвөгтэй боловч хамгийн чухал нь эдгээр нь хүч чадал биш юм. Дээр санал болгож буй хүснэгтэд нэгтгэсэн бүх функцууд нь дериватив шиг цээжээр мэддэг байх ёстой. Тэдгээргүйгээр интегралуудыг цаашид судлах, практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах боломжгүй юм.
Өнөөдөр бид антидеривативуудыг үргэлжлүүлэн судалж, бага зэрэг ахиж байна нарийн төвөгтэй сэдэв. Хэрэв орвол сүүлийн удааБид эсрэг деривативуудыг зөвхөн хүч чадлын функцууд болон арай илүү төвөгтэй барилга байгууламжуудаас авч үзсэн боловч өнөөдөр бид тригонометр болон бусад олон зүйлийг шинжлэх болно.
Сүүлийн хичээл дээр хэлсэнчлэн антидериватив нь деривативаас ялгаатай нь ямар ч стандарт дүрмийг ашиглан хэзээ ч "нэн даруй" шийдэгддэггүй. Түүнээс гадна муу мэдээ гэвэл деривативаас ялгаатай нь эсрэг деривативыг огт авч үзэхгүй байж магадгүй юм. Хэрэв бид үнэхээр бичвэл санамсаргүй функцмөн түүний деривативыг олохыг хичээ, тэгвэл энэ нь маш их юм өндөр магадлалтайбид амжилтанд хүрэх болно, гэхдээ энэ тохиолдолд эсрэг деривативыг бараг хэзээ ч тооцохгүй. Гэхдээ сайн мэдээ байна: үндсэн функц гэж нэрлэгддэг нэлээд том функцүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийн эсрэг деривативуудыг тооцоолоход маш хялбар байдаг. Бүх төрлийн туршилт, бие даасан шалгалт, шалгалтууд дээр өгөгдсөн бусад бүх нарийн төвөгтэй байгууламжууд нь эдгээрээс бүрддэг. үндсэн функцууднэмэх, хасах болон бусад энгийн үйлдлүүдийн тусламжтайгаар. Ийм функцүүдийн прототипүүдийг удаан хугацаанд тооцоолж, тусгай хүснэгтэд нэгтгэсэн. Өнөөдөр бид эдгээр функцууд болон хүснэгтүүдтэй ажиллах болно.
Гэхдээ бид урьдын адил давталтаар эхлэх болно: эсрэг дериватив гэж юу болох, яагаад тэд хязгааргүй олон байдаг, тэдгээрийн ерөнхий дүр төрхийг хэрхэн тодорхойлох талаар санацгаая. Үүнийг хийхийн тулд би хоёр энгийн асуудлыг сонгов.
Хялбар жишээнүүдийг шийдвэрлэх
Жишээ №1
$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ болон ерөнхийдөө $\text( )\!\!\pi\ байгааг нэн даруй тэмдэглэе. !\!\ text( )$ нь функцийн шаардлагатай эсрэг дериватив нь тригонометртэй холбоотой болохыг бидэнд шууд сануулж байна. Хэрэв бид хүснэгтийг харвал $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ нь $\text(arctg)x$-аас өөр зүйл биш гэдгийг олж мэдэх болно. Тиймээс үүнийг бичье:
Үүнийг олохын тулд та дараахь зүйлийг бичих хэрэгтэй.
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Жишээ №2
Энд бас бид ярьж байнаО тригонометрийн функцууд. Хэрэв бид хүснэгтийг харвал үнэхээр ийм зүйл тохиолддог.
Бид бүхэл бүтэн антидеривативуудын дотроос заасан цэгээр дамждагийг олох хэрэгтэй.
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Эцэст нь бичье:
Ийм энгийн. Ганц асуудалэсрэг деривативуудыг тоолох явдал юм энгийн функцууд, та эсрэг деривативуудын хүснэгтийг сурах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч, танд зориулж дериватив хүснэгтийг судалсны дараа энэ нь асуудалгүй байх болно гэж би бодож байна.
Экспоненциал функц агуулсан асуудлыг шийдвэрлэх
Эхлэхийн тулд дараах томьёог бичье.
\[((e)^(x))\((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Энэ бүхэн практикт хэрхэн хэрэгжиж байгааг харцгаая.
Жишээ №1
Хэрэв бид хаалтны агуулгыг харвал эсрэг деривативуудын хүснэгтэд $((e)^(x))$ квадрат дотор байхын тулд ийм илэрхийлэл байхгүй тул энэ квадратыг томруулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид үржүүлэх товчилсон томъёог ашигладаг.
Нэр томьёо бүрийн эсрэг деривативыг олцгооё.
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \баруун))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \баруун))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left((((e)^(-2)) \баруун))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \баруун))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Одоо бүх нэр томъёог нэг илэрхийлэл болгон цуглуулж, ерөнхий эсрэг деривативыг олж авцгаая:
Жишээ №2
Энэ удаад зэрэг нь илүү том тул товчилсон үржүүлэх томъёо нь нэлээд төвөгтэй байх болно. Тиймээс хаалтуудыг нээцгээе:
Одоо энэ бүтцээс томъёоныхоо эсрэг деривативыг авахыг хичээцгээе.
Таны харж байгаагаар экспоненциал функцийн эсрэг деривативуудад төвөгтэй, ер бусын зүйл байдаггүй. Эдгээрийг бүгдийг нь хүснэгтээр тооцсон боловч анхааралтай суралцагчид $((e)^(2x))$ эсрэг дериватив нь $((a)-аас энгийн $((e)^(x))$-тэй ойрхон байгааг анзаарах байх. )^(x ))$. Тиймээс магадгүй өөр зүйл байгаа байх тусгай дүрэм, $((e)^(x))$ эсрэг деривативыг мэдсэнээр $((e)^(2x))$ олох боломжтой юу? Тиймээ, ийм дүрэм байдаг. Түүнээс гадна энэ нь антидеривативуудын хүснэгттэй ажиллах салшгүй хэсэг юм. Одоо бид жишээ болгон ажиллаж байсан ижил илэрхийлэлүүдийг ашиглан дүн шинжилгээ хийх болно.
Антидеривативуудын хүснэгттэй ажиллах дүрэм
Функцээ дахин бичье:
Өмнөх тохиолдолд бид шийдвэрлэхийн тулд дараах томъёог ашигласан.
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Харин одоо үүнийг арай өөрөөр хийцгээе: ямар үндэслэлээр $((e)^(x))\((e)^(x))$ гэдгийг санацгаая. Миний хэлсэнчлэн $((e)^(x))$ дериватив нь $((e)^(x))$-с өөр зүйл биш тул түүний эсрэг дериватив нь ижил $((e) ^-тэй тэнцүү байх болно. (x))$. Гэхдээ асуудал нь бидэнд $((e)^(2x))$ болон $((e)^(-2x))$ байгаа явдал юм. Одоо $((e)^(2x))$-ийн деривативыг олохыг хичээцгээе:
\[((\left(((e)^(2x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \баруун))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Бүтээн байгуулалтаа дахин бичье:
\[((\left(((e)^(2x)) \баруун))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)(2) \баруун))^(\prime ))\]
Энэ нь $((e)^(2x))$ эсрэг деривативыг олох үед бид дараах зүйлийг олж авна гэсэн үг юм.
\[((e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]
Таны харж байгаагаар бид өмнөхтэй ижил үр дүнд хүрсэн боловч $((a)^(x))$-г олохдоо томьёог ашиглаагүй. Одоо энэ нь тэнэг юм шиг санагдаж магадгүй юм: стандарт томъёо байхад яагаад тооцооллыг хүндрүүлдэг вэ? Гэсэн хэдий ч арай илүү нарийн төвөгтэй илэрхийллүүдЭнэ техник нь маш үр дүнтэй гэдгийг та харах болно, i.e. эсрэг деривативыг олохын тулд дериватив ашиглах.
Бэлтгэлийн хувьд $((e)^(2x))$-ын эсрэг деривативыг ижил төстэй аргаар олъё.
\[((\left(((e)^(-2x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \баруун)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \баруун))^(\prime ))\]
Тооцоолохдоо бидний барилгын ажлыг дараах байдлаар бичнэ.
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Бид яг ижил үр дүнд хүрсэн ч өөр замаар явсан. Энэ зам нь одоо бидэнд арай илүү төвөгтэй мэт санагдаж байгаа бөгөөд ирээдүйд илүү төвөгтэй антидеривативуудыг тооцоолох, хүснэгтүүдийг ашиглахад илүү үр дүнтэй байх болно.
Анхаар! Энэ их чухал цэг: деривативын нэгэн адил эсрэг деривативуудыг багц гэж үзэж болно янз бүрийн арга замууд. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бүх тооцоо, тооцоолол тэнцүү байвал хариулт нь ижил байх болно. Үүнийг бид сая $((e)^(-2x))$ жишээн дээр харлаа - нэг талаас бид энэ эсрэг деривативыг "зөв дамжин" тооцоолж, тодорхойлолтыг ашиглан хувиргах замаар тооцоолсон, нөгөө талаас, Бид $ ((e)^(-2x))$-г $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ хэлбэрээр төлөөлж болохыг санаж, зөвхөн дараа нь ашигласан. $( (a)^(x))$ функцийн эсрэг дериватив. Гэсэн хэдий ч бүх өөрчлөлтүүдийн дараа үр дүн нь хүлээгдэж байсан шигээ байв.
Одоо бид энэ бүхнийг ойлгосон тул илүү чухал зүйл рүү шилжих цаг болжээ. Одоо бид хоёр энгийн бүтцийг шинжлэх болно, гэхдээ тэдгээрийг шийдвэрлэхэд ашиглах техник нь хүснэгтээс хөрш антидеривативуудын хооронд зүгээр л "гүйх"-ээс илүү хүчирхэг, ашигтай хэрэгсэл юм.
Асуудлыг шийдвэрлэх: функцийн эсрэг деривативыг олох
Жишээ №1
Тоолуурт байгаа дүнг гурван тусдаа бутархай болгон хувааж үзье.
Энэ бол нэлээд байгалийн бөгөөд ойлгомжтой шилжилт юм - ихэнх оюутнууд үүнтэй холбоотой асуудалгүй байдаг. Илэрхийлэлээ дараах байдлаар дахин бичье.
Одоо энэ томъёог санацгаая:
Манай тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авах болно.
Эдгээр бүх гурван давхар бутархайг арилгахын тулд би дараахь зүйлийг хийхийг санал болгож байна.
Жишээ №2
Өмнөх бутархайгаас ялгаатай нь хуваагч нь үржвэр биш, харин нийлбэр юм. Энэ тохиолдолд бид бутархайгаа хэд хэдэн нийлбэр болгон хувааж чадахгүй энгийн бутархай, гэхдээ та ямар нэгэн байдлаар тоологч нь хуваагчтай ойролцоогоор ижил илэрхийллийг агуулж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. IN энэ тохиолдолдҮүнийг хийх нь маш энгийн:
Математикийн хэлээр "тэг нэмэх" гэж нэрлэгддэг энэхүү тэмдэглэгээ нь бутархайг дахин хоёр хэсэгт хуваах боломжийг олгоно.
Одоо хайж байсан зүйлээ олцгооё:
Энэ бол бүх тооцоо юм. Хэдийгээр өмнөхөөсөө илүү төвөгтэй мэт харагдаж байна өмнөх даалгавар, тооцооны хэмжээ бүр ч бага болсон.
Шийдлийн нюансууд
Хүснэгтийн эсрэг деривативуудтай ажиллахад тулгарч буй гол бэрхшээл нь энд байгаа бөгөөд энэ нь ялангуяа хоёрдугаар даалгаварт мэдэгдэхүйц юм. Баримт нь хүснэгтээр хялбархан тооцоолж болох зарим элементүүдийг сонгохын тулд бид яг юу хайж байгаагаа мэдэх хэрэгтэй бөгөөд эдгээр элементүүдийг хайхад антидеривативын бүх тооцоо багтдаг.
Өөрөөр хэлбэл, антидеривативын хүснэгтийг цээжлэх нь хангалттай биш - та хараахан байхгүй байгаа зүйлийг олж харах чадвартай байх ёстой, гэхдээ энэ асуудлыг зохиогч, эмхэтгэгч юу гэсэн үг болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Тийм ч учраас олон математикч, багш, профессорууд: "Антидериватив эсвэл интеграци гэж юу вэ - энэ нь зүгээр л нэг хэрэгсэл юм уу эсвэл жинхэнэ урлаг юм уу?" гэж байнга маргаж байдаг. Үнэн хэрэгтээ, миний хувийн бодлоор, интеграци бол урлаг биш юм - үүнд ямар ч агуу зүйл байхгүй, энэ бол зүгээр л дадлага, илүү дадлага юм. Дадлага хийхийн тулд өөр гурван ноцтой жишээг шийдье.
Бид практик дээр интеграцид сургадаг
Даалгавар №1
Дараах томьёог бичье.
\[((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\text(arctg)x\]
Дараахыг бичье.
Асуудал №2
Үүнийг дараах байдлаар дахин бичье.
Нийт эсрэг дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
Даалгавар №3
Энэ даалгаврын хүндрэл нь өмнөх функцүүдээс ялгаатай нь $x$ хувьсагч огт байхгүй, i.e. дор хаяж ижил төстэй зүйлийг авахын тулд юу нэмэх, хасах нь бидэнд тодорхойгүй байна. Гэсэн хэдий ч үнэн хэрэгтээ энэ илэрхийлэл нь өмнөх бүтээн байгуулалтын бүх илэрхийллээс илүү энгийн гэж тооцогддог, учир нь энэ функцдараах байдлаар дахин бичиж болно.
Та одоо асууж магадгүй: яагаад эдгээр функцүүд тэнцүү байна вэ? Шалгацгаая:
Үүнийг дахин бичье:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг бага зэрэг өөрчилье:
Би энэ бүгдийг оюутнууддаа тайлбарлахад бараг үргэлж ижил асуудал гарч ирдэг: эхний функцээр бүх зүйл бага эсвэл тодорхой байна, хоёрдугаарт та үүнийг азаар эсвэл дадлага хийж болно, гэхдээ та ямар өөр ухамсартай вэ? Гурав дахь жишээг шийдэхийн тулд заавал байх шаардлагатай юу? Үнэндээ, бүү ай. Сүүлчийн эсрэг деривативыг тооцоолохдоо бидний ашигласан техникийг "функцийг хамгийн энгийн болгон задлах" гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь маш ноцтой арга бөгөөд тусдаа видео хичээлийг үүнд зориулах болно.
Энэ хооронд би саяхан судалсан зүйлдээ, тухайлбал экспоненциал функцууд руу буцаж, тэдгээрийн агуулгын талаархи асуудлуудыг зарим талаар хүндрүүлэхийг санал болгож байна.
Эсрэг дериватив экспоненциал функцийг шийдвэрлэх илүү төвөгтэй асуудлууд
Даалгавар №1
Дараахь зүйлийг тэмдэглэе.
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \баруун))^(x))=((10)^(x) )\]
Энэ илэрхийллийн эсрэг деривативыг олохын тулд энгийн томъёог ашиглана уу - $((a)^(x))\frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Манай тохиолдолд эсрэг дериватив нь дараах байдалтай байна.
Мэдээжийн хэрэг, бидний саяхан шийдсэн загвартай харьцуулахад энэ нь илүү энгийн харагдаж байна.
Асуудал №2
Дахин хэлэхэд, энэ функцийг хоёр тусдаа нэр томъёонд хялбархан хувааж болно - хоёр тусдаа бутархай. Дахин бичье:
Дээр тайлбарласан томъёог ашиглан эдгээр нэр томъёо тус бүрийн эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй.
Хэдийгээр маш нарийн төвөгтэй байдал харагдаж байна экспоненциал функцуудХүч чадалтай харьцуулахад тооцоолол, тооцооны нийт хэмжээ илүү хялбар болсон.
Мэдээжийн хэрэг мэдлэгтэй оюутнуудБидний дөнгөж сая хэлэлцсэн зүйл (ялангуяа өнөөг хүртэл хэлэлцсэн зүйлийн цаана) энгийн илэрхийлэл мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч өнөөдрийн видео хичээлд зориулж эдгээр хоёр бодлогыг сонгохдоо би өөр нэг нарийн төвөгтэй, боловсронгуй техникийг танд хэлэх зорилго тавиагүй - миний танд үзүүлэхийг хүссэн зүйл бол та анхны функцийг өөрчлөхийн тулд стандарт алгебрийн техникийг ашиглахаас айх хэрэггүй юм. .
"Нууц" техникийг ашиглах
Эцэст нь хэлэхэд би өөр нэг сонирхолтой техникийг авч үзэхийг хүсч байна, энэ нь нэг талаараа өнөөдрийн бидний ярилцсан зүйлээс давж гардаг, гэхдээ нөгөө талаас, энэ нь нэгдүгээрт, огт төвөгтэй биш юм. Тэр ч байтугай анхан шатны оюутнууд ч үүнийг эзэмшиж чаддаг, хоёрдугаарт, энэ нь ихэвчлэн бүх төрлийн тест, тестүүдээс олддог. бие даасан ажил, өөрөөр хэлбэл Үүний талаархи мэдлэг нь эсрэг деривативуудын хүснэгтийн талаархи мэдлэгээс гадна маш их хэрэгтэй болно.
Даалгавар №1
Бидэнд чадлын функцтэй маш төстэй зүйл байгаа нь ойлгомжтой. Энэ тохиолдолд бид юу хийх ёстой вэ? Бодоод үз дээ: $x-5$ нь $x$-ээс тийм ч их ялгаатай биш - тэд зүгээр л $-5$ нэмсэн. Үүнийг ингэж бичье.
\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \баруун))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
$((\left(x-5 \right))^(5))$-ын деривативыг олохыг хичээцгээе:
\[((\left(((\left(x-5 \баруун))^(5)) \баруун))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \баруун)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \баруун))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \баруун))^(4))\]
Энэ нь:
\[((\зүүн(x-5 \баруун))^(4))=((\зүүн(\frac(((\зүүн(x-5 \баруун))^(5)))(5) \ баруун))^(\prime ))\]
Хүснэгтэнд ийм утга байхгүй тул бид одоо энэ томъёог ашиглан өөрсдөө гаргаж авсан стандарт томъёоэсрэг дериватив эрчим хүчний функц. Хариултаа ингэж бичье.
Асуудал №2
Эхний шийдлийг харсан олон оюутнууд бүх зүйл маш энгийн гэж бодож магадгүй: хүчний функц дэх $x$-г шугаман илэрхийллээр солиход л бүх зүйл байрандаа орно. Харамсалтай нь бүх зүйл тийм ч энгийн биш, одоо бид үүнийг харах болно.
Эхний илэрхийлэлтэй зүйрлэснээр бид дараах зүйлийг бичнэ.
\[((x)^(9))\frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \баруун))^(10)) \баруун))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \баруун)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \баруун))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \баруун))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \баруун)) ^(9))\]
Бидний дериватив руу буцаж очоод бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
\[((\left((\left(4-3x \баруун))^(10)) \баруун))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \баруун)) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \баруун))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \баруун)))^(10)))(-30) \баруун))^(\prime ))\]
Энэ нь нэн даруй дараах байдалтай байна:
Шийдлийн нюансууд
Анхаарна уу: хэрэв өнгөрсөн удаад юу ч өөрчлөгдөөгүй бол хоёр дахь тохиолдолд $-10$-ын оронд $-30$ гарч ирсэн. -10$ ба -30$ хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, -3 доллараар. Асуулт: Энэ хаанаас ирсэн бэ? Хэрэв та анхааралтай ажиглавал нийлмэл функцийн деривативыг тооцоолсны үр дүнд авсан болохыг харж болно - $ x $ байсан коэффициент нь доорх эсрэг дериватив дээр гарч ирнэ. Энэ их чухал дүрэм, Би өнөөдрийн видео заавар дээр анх хэлэлцэхээр төлөвлөөгүй байсан ч үүнгүйгээр хүснэгтийн эсрэг деривативуудын танилцуулга бүрэн бус байх болно.
Тиймээс дахин хийцгээе. Бидний гол чадлын функц байгаасай:
\[((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Одоо $x$-ийн оронд $kx+b$ илэрхийллийг орлъё. Дараа нь юу болох вэ? Бид дараахь зүйлийг олох хэрэгтэй.
\[((\left(kx+b \баруун))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \right)\cdot k)\]
Үүнийг бид ямар үндэслэлээр баталж байна вэ? Маш энгийн. Дээр бичсэн барилгын деривативыг олъё:
\[((\left(\frac((\left(kx+b \баруун)))^(n+1)))(\left(n+1 \баруун)\cdot k) \баруун))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \баруун)\cdot k)\cdot \left(n+1 \баруун)\cdot ((\left(kx+b \баруун))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \баруун))^(n))\]
Энэ бол анх байсан илэрхийлэл юм. Тиймээс энэ томъёо нь бас зөв бөгөөд үүнийг антидеривативуудын хүснэгтийг нөхөхөд ашиглаж болно, эсвэл хүснэгтийг бүхэлд нь цээжлэх нь дээр.
"Нууц: техник:"-ийн дүгнэлт:
- Бидний саяхан шалгасан функцуудыг хоёуланг нь хүснэгтэд заасан эсрэг дериватив болгон бууруулж болох боловч хэрвээ бид дөрөвдүгээр зэрэглэлийг ямар нэгэн байдлаар даван туулж чадвал би есдүгээр зэрэглэлийг зоригтой гэж үзэхгүй байх болно. илчлэх.
- Хэрэв бид эрх мэдлээ өргөтгөх юм бол ийм хэмжээний тооцоо гарах байсан энгийн даалгаварбиднээс хангалтгүй зээлэх болно олон тооныцаг.
- Ийм учраас шугаман илэрхийлэл агуулсан ийм бодлогуудыг “толгойгоор” шийдэх шаардлагагүй. Хүснэгтээс зөвхөн $kx+b$ илэрхийлэл байгаагаараа ялгаатай эсрэг деривативтай тааралдмагц дээр бичсэн томъёог санаж, хүснэгтийнхээ эсрэг дериватив дээр орлуулаарай, тэгвэл бүх зүйл сайн болно. илүү хурдан бөгөөд хялбар.
Мэдээжийн хэрэг, энэ техникийн нарийн төвөгтэй байдал, ноцтой байдлаас шалтгаалан бид дараагийн видео хичээлүүдэд үүнийг олон удаа авч үзэх болно, гэхдээ энэ нь өнөөдрийн хувьд юм. Энэ хичээл нь антидериватив болон интеграцчлалыг ойлгохыг хүсдэг оюутнуудад үнэхээр тусална гэж найдаж байна.
"Эсрэг дериватив функц. Функцийн график" сэдэвт хичээл, танилцуулга.
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.
11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
Параметртэй алгебрийн бодлого, 9-11-р анги
"10, 11-р ангийн сансарт барих интерактив даалгавар"
Эсрэг дериватив функц. Оршил
Залуус аа, та функцүүдийн деривативыг хэрхэн олохыг мэддэг янз бүрийн томъёоболон дүрэм. Өнөөдөр бид деривативыг тооцоолох урвуу үйлдлийг судлах болно. Дериватив гэдэг ойлголтыг амьдралд ихэвчлэн ашигладаг. Танд сануулъя: дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурд юм тодорхой цэг. Хөдөлгөөн ба хурдтай холбоотой үйл явцыг эдгээр нэр томъёонд маш сайн дүрсэлсэн байдаг.Энэ асуудлыг авч үзье: “Шулуун замаар хөдөлж буй биетийн хурдыг $V=gt$ томьёогоор тодорхойлно.Хөдөлгөөний хуулийг сэргээх шаардлагатай.
Шийдэл.
Бид томьёог сайн мэднэ: $S"=v(t)$, S нь хөдөлгөөний хууль.
Бидний даалгавар бол уламжлал нь $gt$-тэй тэнцүү $S=S(t)$ функцийг олох явдал юм. Анхааралтай ажиглавал $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$ гэдгийг тааж болно.
Энэ асуудлын шийдлийн зөв эсэхийг шалгая: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Функцийн деривативыг мэдсэнээр бид функцийг өөрөө олсон, өөрөөр хэлбэл урвуу үйлдлийг гүйцэтгэсэн.
Гэхдээ энэ мөчид анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Бидний асуудлыг шийдэхийн тулд олсон функцэд ямар нэгэн тоо (тогтмол) нэмбэл деривативын утга өөрчлөгдөхгүй: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Залуус аа, анхаарна уу: бидний даалгавар хязгааргүй олонлогшийдлүүд!
Хэрэв асуудал нь эхний эсвэл өөр нөхцөлийг заагаагүй бол шийдэлд тогтмол нэмэхээ бүү мартаарай. Жишээлбэл, бидний даалгавар нь хөдөлгөөний хамгийн эхэнд бидний биеийн байрлалыг зааж өгч болно. Дараа нь үүссэн тэгшитгэлд тэгийг орлуулах замаар тогтмолыг тооцоолоход хэцүү биш бөгөөд бид тогтмолын утгыг авна.
Энэ ажиллагааг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Дифференциалын урвуу үйлдлийг интеграл гэж нэрлэдэг.
Өгөгдсөн деривативаас функцийг олох - интеграл.
Функцийг өөрөө эсрэг дериватив, өөрөөр хэлбэл функцийн деривативыг олж авсан дүрс гэж нэрлэнэ.
Эсрэг деривативыг бичих нь заншилтай байдаг том үсэг$y=F"(x)=f(x)$.
Тодорхойлолт. $y=F(x)$ функцийг дуудна эсрэг дериватив функц X интервал дээр $у=f(x)$, хэрэв ямар нэгэн $хϵХ$-ийн хувьд $F’(x)=f(x)$ тэнцүү байна.
Анти деривативуудын хүснэгтийг хийцгээе янз бүрийн функцууд. Үүнийг сануулах хэлбэрээр хэвлэж, цээжлэх хэрэгтэй.
Манай ширээнд нэг ч байхгүй анхны нөхцөлгэж асуугаагүй. Энэ нь хүснэгтийн баруун талд байгаа илэрхийлэл бүр дээр тогтмол нэмэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Бид энэ дүрмийг дараа нь тодруулах болно.
Эсрэг деривативыг олох дүрэм
Антидеривативуудыг олоход туслах хэдэн дүрмийг бичье. Тэд бүгдээрээ ялгах дүрэмтэй төстэй.Дүрэм 1. Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Жишээ.
$y=4x^3+cos(x)$ функцийн эсрэг деривативыг ол.
Шийдэл.
Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү бол бид танилцуулсан функц бүрийн эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Тэгвэл анхны функцийн эсрэг дериватив нь: $y=x^4+sin(x)$ эсвэл $y=x^4+sin(x)+C$ хэлбэрийн аль нэг функц болно.
Дүрэм 2. Хэрэв $F(x)$ нь $f(x)$-ын эсрэг дериватив бол $k*F(x)$ нь $k*f(x)$ функцийн эсрэг дериватив болно.(Бид коэффициентийг функц болгон хялбархан авч болно).
Жишээ.
Функцийн эсрэг деривативуудыг ол:
a) $y=8sin(x)$.
б) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
в) $y=(3x)^2+4x+5$.
Шийдэл.
a) $sin(x)$-ын эсрэг дериватив нь $cos(x)$-ийг хасна. Дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив нь дараах хэлбэртэй болно: $y=-8cos(x)$.
B) $cos(x)$-ын эсрэг дериватив нь $sin(x)$ байна. Дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив нь дараах хэлбэртэй болно: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
C) $x^2$-ын эсрэг дериватив нь $\frac(x^3)(3)$ байна. x-ийн эсрэг дериватив нь $\frac(x^2)(2)$ байна. 1-ийн эсрэг дериватив нь x юм. Дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив нь дараах хэлбэртэй болно: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.
Дүрэм 3. Хэрэв $у=F(x)$ нь $y=f(x)$ функцийн эсрэг дериватив бол $y=f(kx+m)$ функцийн эсрэг дериватив нь $y=\frac(1) функц болно. )(k)* F(kx+m)$.
Жишээ.
Дараах функцүүдийн эсрэг деривативуудыг ол.
a) $y=cos(7x)$.
б) $y=sin(\frac(x)(2))$.
в) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Шийдэл.
a) $cos(x)$-ийн эсрэг дериватив нь $sin(x)$ байна. Тэгвэл $y=cos(7x)$ функцийн эсрэг дериватив нь $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ функц болно.
B) $sin(x)$-ын эсрэг дериватив нь $cos(x)$-ийг хасна. Тэгвэл $y=sin(\frac(x)(2))$ функцийн эсрэг дериватив нь $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) функц болно. )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) $x^3$-ын эсрэг дериватив нь $\frac(x^4)(4)$, дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив $y=-\frac(1)(2)*\frac((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.
D) Илэрхийлэлийг $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ зэрэгт бага зэрэг хялбарчил.
Экспоненциал функцийн эсрэг дериватив нь экспоненциал функц өөрөө юм. Анхны функцийн эсрэг дериватив нь $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac байх болно. (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Теорем. Хэрэв $y=F(x)$ нь X интервал дээрх $y=f(x)$ функцийн эсрэг дериватив бол $y=f(x)$ функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд $y=F( x)+С$ хэлбэр.
Хэрэв дээр дурдсан бүх жишээн дээр бүх эсрэг деривативуудын багцыг олох шаардлагатай байсан бол тогтмол C-г хаа сайгүй нэмэх хэрэгтэй.
$y=cos(7x)$ функцийн хувьд бүх эсрэг деривативууд дараах хэлбэртэй байна: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
$y=(-2x+3)^3$ функцийн хувьд бүх эсрэг деривативууд дараах хэлбэртэй байна: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.
Жишээ.
By өгсөн хуульЦаг хугацааны явцад биеийн хурд өөрчлөгдөх $v=-3sin(4t)$ хөдөлгөөний хуулийг ол $S=S(t)$, хэрэв -д байвал. эхлэх мөчбие нь 1.75-тай тэнцэх координаттай байсан цаг.
Шийдэл.
$v=S’(t)$ тул өгөгдсөн хурдны эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Энэ асуудалд үүнийг өгсөн болно нэмэлт нөхцөл- анхны цаг мөч. Энэ нь $t=0$ гэсэн үг.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Дараа нь хөдөлгөөний хуулийг $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$ томъёогоор тодорхойлно.
Бие даан шийдвэрлэх асуудал
1. Функцийн эсрэг деривативуудыг ол:a) $y=-10sin(x)$.
б) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
в) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Дараах функцүүдийн эсрэг деривативуудыг ол.
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
б) $y=sin(8x)$.
в) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДСЭН ХУУЛЬД ОРУУЛАЛТЫН НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДҮГЭЭР НЭГДСЭН ХУУЛЬД ОРУУЛАЛТЫН НЭГДСЭН ХУУЛЬД ОРУУЛАХ БОЛОМЖТОЙ координат 2-той тэнцүү.
Эсрэг дериватив
Эсрэг дериватив функцийн тодорхойлолт
- Чиг үүрэг y=F(x)функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг y=f(x)өгөгдсөн интервалд X,хэрэв хүн бүрт X ∈Xтэгш байдлыг хангана: F′(x) = f(x)
Хоёр аргаар уншиж болно:
- е функцийн дериватив Ф
- Ф функцийн эсрэг дериватив е
Эсрэг деривативуудын өмч
- Хэрэв F(x)- функцийн эсрэг дериватив f(x)өгөгдсөн интервал дээр f(x) функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай бөгөөд эдгээр бүх эсрэг деривативуудыг хэлбэрээр бичиж болно. F(x) + C, энд C нь дурын тогтмол юм.
Геометрийн тайлбар
- Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын графикууд f(x)аль нэг эсрэг деривативын графикаас олж авна зэрэгцээ шилжүүлэг O тэнхлэгийн дагуу цагт.
Антидеривативыг тооцоолох дүрэм
- Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв F(x)- эсрэг дериватив f(x), мөн G(x) нь эсрэг дериватив юм g(x), Тэр F(x) + G(x)- эсрэг дериватив f(x) + g(x).
- Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно. Хэрэв F(x)- эсрэг дериватив f(x), Мөн к- тогтмол, тэгвэл k·F(x)- эсрэг дериватив k f(x).
- Хэрэв F(x)- эсрэг дериватив f(x), Мөн к, б- тогтмол, ба k ≠ 0, Тэр 1/k F(kx + b)- эсрэг дериватив f(kx + b).
Санаж байна уу!
Аливаа функц F(x) = x 2 + C , энд C нь дурын тогтмол бөгөөд зөвхөн ийм функц нь функцийн эсрэг дериватив юм f(x) = 2x.
- Жишээлбэл:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x,учир нь F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x,учир нь F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
Функцийн график ба түүний эсрэг дериватив хоорондын хамаарал:
- Хэрэв функцийн график бол f(x)>0 F(x)Энэ интервалд нэмэгддэг.
- Хэрэв функцийн график бол f(x)<0 интервал дээр, дараа нь түүний эсрэг деривативын график F(x)Энэ интервалд буурдаг.
- Хэрэв f(x)=0, дараа нь түүний эсрэг деривативын график F(x)Энэ үед нэмэгдэхээс буурах хүртэл (эсвэл эсрэгээр) өөрчлөгддөг.
Эсрэг деривативыг тэмдэглэхийн тулд тодорхойгүй интегралын тэмдгийг, өөрөөр хэлбэл интегралын хязгаарыг заагаагүй интегралыг ашигладаг.
Тодорхой бус интеграл
Тодорхойлолт:
- f(x) функцийн тодорхойгүй интеграл нь F(x) + C илэрхийлэл, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог юм. Тодорхой бус интегралыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- интеграл функц гэж нэрлэдэг;
- f(x) dx- интеграл гэж нэрлэдэг;
- x- интеграцийн хувьсагч гэж нэрлэдэг;
- F(x)- f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг;
- ХАМТ- дурын тогтмол.
Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд
- Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Интегралын тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно. \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) интеграл нь эдгээр функцүүдийн интегралуудын нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна. \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Хэрэв к, бтогтмолууд ба k ≠ 0, тэгвэл \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интегралын хүснэгт
| Чиг үүрэг f(x) | Эсрэг дериватив F(x) + C | Тодорхой бус интегралууд \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\биш =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Ньютон-Лейбницийн томъёо
Болъё f(x)энэ функц Фтүүний дурын эсрэг дериватив.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
Хаана F(x)- эсрэг дериватив f(x)
Энэ нь функцийн интеграл юм f(x)интервал дээрх цэгүүдийн эсрэг деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байна бТэгээд а.
Муруй трапецын талбай
Муруй шугаман трапец интервал дээр сөрөг бус, тасралтгүй байх функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрс юм е, Үхрийн тэнхлэг ба шулуун шугамууд x = aТэгээд x = b.
Муруй трапецын талбайг Ньютон-Лейбницийн томъёогоор олно.
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
