- -
Ер нь тэд АЙМШИГТАЙ МАТЕМАТИК-тэй хүнийг айлгах гэхээр янз бүрийн синус, косинусуудыг жишээ болгон, маш ээдрээтэй, жигшүүртэй зүйлээр хэлдэг. Гэхдээ үнэндээ энэ бол ойлгож, шийдэж болохуйц сайхан, сонирхолтой хэсэг юм.
Энэ сэдэв нь 9-р ангиас эхэлдэг бөгөөд бүх зүйл анх удаагаа үргэлж тодорхой байдаггүй, олон нарийн, заль мэх байдаг. Би энэ сэдвээр ямар нэг зүйл хэлэхийг оролдсон.
Тригонометрийн ертөнцийн танилцуулга:
Томъёо руу яарахаасаа өмнө геометрээс синус, косинус гэх мэтийг ойлгох хэрэгтэй.
Өнцгийн синус- эсрэг талын (өнцгийн) гипотенузын харьцаа.
Косинус- зэргэлдээх ба гипотенузын харьцаа.
Тангенс- зэргэлдээ талын эсрэг тал
Котангенс- эсрэг талын зэргэлдээ.
Одоо нэгж радиустай тойргийг авч үзье координатын хавтгайүүн дээр альфа өнцгийг тэмдэглээд: (зураг дээр товших боломжтой, ядаж зарим нь)
- 
-
Нимгэн улаан шугамууд нь тойргийн огтлолцлын цэгээс перпендикуляр, үхэр ба ой тэнхлэг дээрх зөв өнцгийг хэлнэ. Улаан x ба y нь тэнхлэг дээрх x ба y координатын утга (саарал x ба y нь эдгээр нь зөвхөн шугам биш координатын тэнхлэг гэдгийг илтгэх зорилготой).
Үхрийн тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс цагийн зүүний эсрэг өнцгийг тооцоолсон гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Үүний синус, косинус гэх мэтийг олъё.
sin a: эсрэг тал нь у, гипотенуз нь 1-тэй тэнцүү.
sin a = y / 1 = y
Би y ба 1-ийг хаанаас авснаа бүрэн тодорхой болгохын тулд үсгүүдийг цэгцэлж гурвалжинг харцгаая.
- -
AF = AE = 1 - тойргийн радиус.
Тиймээс радиус нь AB = 1 байна. AB - гипотенуз.
BD = CA = y - oh утгын хувьд.
AD = CB = x - oh-ийн дагуу утгын хувьд.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Дараа нь косинус:
учир нь: зэргэлдээ тал- AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Бид бас гаргана тангенс ба котангенс.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Гэнэт бид тангенс ба котангенсийн томъёог олж авлаа.
За, үүнийг хэрхэн шийдэж байгааг тодорхой харцгаая.
Жишээлбэл, a = 45 градус.
Бид авдаг зөв гурвалжиннэг өнцгөөр 45 градус. Энэ нь тэгш талт гурвалжин гэдэг нь зарим хүмүүст шууд ойлгомжтой боловч би үүнийг ямар ч байсан тайлбарлах болно.
Гурвалжны гурав дахь өнцгийг олъё (эхнийх нь 90, хоёр дахь нь 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Хэрэв хоёр өнцөг тэнцүү бол талууд нь тэнцүү байна, энэ нь иймэрхүү сонсогдож байв.
Тэгэхээр эдгээр гурвалжнуудын хоёрыг давхарлан нэмбэл диагональтай дөрвөлжин гарна. радиустай тэнцүү= 1. Пифагорын теоремын дагуу а талтай квадратын диагональ нь хоёр язгууртай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ.
Одоо бид бодож байна. Хэрэв 1 (гипотенуз буюу диагональ) нь квадратын талыг хоёрын язгууртай тэнцүү бол квадратын тал нь 1/sqrt(2)-тэй тэнцүү байх ёстой бөгөөд хэрэв бид энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлбэл. хоёрын язгуураар бид sqrt(2)/2-г авна. Гурвалжин нь ижил өнцөгт тул AD = AC => x = y болно
Бидний тригонометрийн функцуудыг олох нь:
sin 45 = sqrt(2)/2/1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Та өнцгийн үлдсэн утгуудтай ижил аргаар ажиллах хэрэгтэй. Зөвхөн гурвалжин нь ижил өнцөгт биш, харин талуудыг Пифагорын теоремыг ашиглан хялбархан олох боломжтой.
Ингэснээр бид утгын хүснэгтийг олж авдаг тригонометрийн функцуудөөр өөр өнцгөөс:
- 
-
Түүнээс гадна, энэ хүснэгт нь хууран мэхлэх бөгөөд маш тохиромжтой.
Ямар ч төвөггүйгээр өөрөө хэрхэн зохиох вэ:Ийм хүснэгтийг зурж, нүднүүдэд 1 2 3 тоог бич.
- 
-
Одоо эдгээр 1 2 3-аас үндсийг нь аваад 2-т хуваа. Энэ нь дараах байдалтай байна.
- 
-
Одоо бид синусыг гаталж, косинусыг бичнэ. Үүний утга нь толин тусгалтай синус юм:
- 
-
Шүргэгчийг гаргахад хялбар байдаг - та синус шугамын утгыг косинусын шугамын утгад хуваах хэрэгтэй.
- 
-
Котангентын утга нь шүргэгчийн урвуу утга юм. Үүний үр дүнд бид дараах зүйлийг олж авна.
- 
-
Анхаарна уужишээ нь P/2-д тэр шүргэгч байхгүй. Яагаад гэдгийг нь бод. (Та тэгээр хувааж болохгүй.)
Энд та юу санах хэрэгтэй вэ:синус нь у утга, косинус нь x утга юм. Тангенс нь у ба х харьцаа, котангенс нь эсрэгээрээ. Тиймээс синус/косинусын утгыг тодорхойлохын тулд дээр дурдсан хүснэгт болон координатын тэнхлэг бүхий тойрог зурахад хангалттай (0, 90 өнцгөөр утгыг харахад тохиромжтой, 180, 360).
- 
-
За, та ялгаж чадна гэж найдаж байна улирал:
- 
-
Түүний синус, косинус гэх мэтийн тэмдэг нь аль дөрөвний нэг өнцөгт байгаагаас хамаарна. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та хоёр, гуравдугаар улиралд x сөрөг, y нь гурав, дөрөвдүгээр улиралд сөрөг байгааг харгалзан үзвэл туйлын анхдагч логик сэтгэлгээ таныг зөв хариулт руу хөтөлнө. Аймшигтай, аймшигтай зүйл байхгүй.
Үүнийг дурдахад буруудахгүй байх гэж бодож байна бууруулах томъёохүн бүр сонсдог ала сүнснүүд үнэний ширхэгтэй. Шаардлагагүй тул ийм томьёо байдаггүй. Энэ бүх үйл ажиллагааны утга нь: Бид зөвхөн эхний улиралд (30 градус, 45, 60) өнцгийн утгыг амархан олдог. Тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг тул бид ямар ч том өнцгийг эхний улиралд чирж болно. Дараа нь бид түүний утгыг шууд олох болно. Гэхдээ зүгээр л чирэх нь хангалтгүй - та тэмдгийн талаар санах хэрэгтэй. Үүнийг багасгах томъёо нь үүнд зориулагдсан юм.
Тиймээс бид том өнцөгтэй, эсвэл 90 градусаас илүү: a = 120. Мөн бид түүний синус ба косинусыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид 120 өнцгөөр ажиллах боломжтой өнцгүүдийг задлах болно.
нүгэл а = нүгэл 120 = нүгэл (90 + 30)
Энэ өнцөг нь хоёрдугаар улиралд оршдог, синус эерэг байдаг тул синусын урд байрлах + тэмдэг хадгалагдаж байгааг бид харж байна.
90 градусаас салахын тулд бид синусыг косинус болгон өөрчилдөг. За, энэ бол та санаж байх ёстой дүрэм юм:
нүгэл (90 + 30) = cos 30 = sqrt (3) / 2
Эсвэл та үүнийг өөр байдлаар төсөөлж болно:
нүгэл 120 = нүгэл (180 - 60)
180 градусаас салахын тулд бид функцийг өөрчилдөггүй.
нүгэл (180 - 60) = нүгэл 60 = sqrt (3) / 2
Бид ижил утгыг авсан тул бүх зүйл зөв байна. Одоо косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Хоёрдугаар улиралд косинус сөрөг байна, тиймээс бид хасах тэмдэг тавьдаг. Мөн бид 90 градусыг арилгах шаардлагатай тул функцийг эсрэгээр нь өөрчилдөг.
cos (90 + 30) = - нүгэл 30 = - 1/2
Эсвэл:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Эхний улирал руу өнцгүүдийг шилжүүлэхийн тулд юу мэдэх, хийх, хийх чадвартай байх шаардлагатай:
- өнцгийг шингэцтэй нэр томъёонд задлах;
-өнцөг аль улиралд байгааг харгалзан үзэж, энэ улирлын функц сөрөг эсвэл эерэг байвал тохирох тэмдгийг тавих;
- шаардлагагүй зүйлсээс салах:
*хэрэв та 90, 270, 450 болон үлдсэн 90+180n-ээс салах шаардлагатай бол n нь дурын бүхэл тоо бол функц нь эсрэгээрээ (синус косинус, тангенс котангенс ба эсрэгээр);
*хэрэв та 180, үлдсэн 180+180n-ийг арилгах шаардлагатай бол n нь дурын бүхэл тоо бол функц өөрчлөгдөхгүй. (Энд нэг онцлог байна, гэхдээ үүнийг үгээр тайлбарлахад хэцүү, гэхдээ өө).
Ингээд л болоо. Хэд хэдэн дүрмийг санаж, амархан ашиглах боломжтой бол томъёог өөрөө цээжлэх шаардлагагүй гэж би бодож байна. Дашрамд хэлэхэд эдгээр томъёог батлахад маш хялбар байдаг:
- 
-
Тэд бас төвөгтэй хүснэгтүүдийг эмхэтгэдэг, тэгвэл бид мэднэ:
- 
-
Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлүүд:чи тэднийг маш, маш сайн, цээжээр мэдэх хэрэгтэй.
Үндсэн мэдээлэл тригонометрийн ижилсэл
(тэгш байдал):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Хэрэв та итгэхгүй байгаа бол өөрөө шалгаж, өөрөө үзсэн нь дээр. Янз бүрийн өнцгийн утгыг орлуулах.
Энэ томъёо нь маш их хэрэгтэй, үргэлж санаж байх хэрэгтэй. Үүнийг ашигласнаар та синусыг косинусаар болон эсрэгээр илэрхийлэх боломжтой бөгөөд энэ нь заримдаа маш хэрэгтэй байдаг. Гэхдээ бусад томъёоны нэгэн адил та үүнийг хэрхэн зохицуулахаа мэдэх хэрэгтэй. Тригонометрийн функцийн тэмдэг нь өнцөг байрлах квадратаас хамаарна гэдгийг үргэлж санаарай. Тийм ч учраас үндсийг задлахдаа дөрөвний нэгийг мэдэх хэрэгтэй.
Тангенс ба котангенс:Бид эдгээр томъёог эхэндээ аль хэдийн гаргаж авсан.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a
Тангенс ба котангенсын бүтээгдэхүүн:
tg a * ctg a = 1
Учир нь:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - бутархайг цуцалсан.
Таны харж байгаагаар бүх томъёо нь тоглоом ба хослол юм.
Эхний томъёоны косинусын квадрат ба синусын квадратад хуваах замаар олж авсан өөр хоёрыг энд харуулав.
- 
-
Сүүлийн хоёр томьёог тэгээр хуваах боломжгүй тул a өнцгийн утгыг хязгаарлаж ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу.
Нэмэлт томъёо:вектор алгебр ашиглан батлагдсан.
- 
-
Ховор хэрэглэгддэг, гэхдээ үнэн зөв. Сканнерт томьёо байдаг, гэхдээ тэдгээр нь унших боломжгүй эсвэл дижитал хэлбэрийг ойлгоход хялбар байдаг:
- -
Томъёо давхар өнцөг:
Тэдгээрийг нэмэлт томъёонд үндэслэн олж авдаг, жишээлбэл: давхар өнцгийн косинус нь cos 2a = cos (a + a) - энэ нь танд ямар нэгэн зүйлийг сануулж байна уу? Тэд зүгээр л беттаг альфагаар сольсон.
- 
-
Дараагийн хоёр томьёо нь sin^2(a) = 1 - cos^2(a) ба cos^2(a) = 1 - sin^2(a) гэсэн эхний орлуулалтаас үүсэлтэй.
Давхар өнцгийн синус нь илүү энгийн бөгөөд ихэвчлэн ашиглагддаг:
- 
-
Мөн тусгай гажуудлууд tan a = sin a / cos a гэх мэтийг харгалзан давхар өнцгийн тангенс ба котангенсыг гаргаж авах боломжтой.
- 
-
Дээр дурдсан хүмүүсийн хувьд Гурвалсан өнцгийн томъёо:Бид давхар өнцгийн томьёог аль хэдийн мэддэг тул тэдгээр нь 2а ба а өнцгийг нэмэх замаар гаргаж авдаг.
- 
-
Хагас өнцгийн томъёо:
- 
-
Тэдгээрийг хэрхэн гаргаж авсан, эсвэл илүү нарийвчлалтай тайлбарлахыг мэдэхгүй байна ... Хэрэв бид эдгээр томьёог тригонометрийн үндсэн ижилтүүлэгчийг a/2-оор орлуулж бичвэл хариулт нийлэх болно.
Тригонометрийн функцийг нэмэх, хасах томъёо:
- 
-
Тэдгээрийг нэмэлт томъёоноос олж авдаг боловч хэн ч тоодоггүй. Тэд ихэвчлэн тохиолддоггүй.
Таны ойлгож байгаагаар олон тооны томъёо байсаар байгаа бөгөөд жагсаах нь утгагүй юм, учир нь би тэдгээрийн талаар хангалттай зүйл бичиж чадахгүй, хуурай томъёог хаанаас ч олж болно, тэдгээр нь өмнөх томьёотой тоглоом юм. Бүх зүйл аймшигтай логик бөгөөд нарийн юм. Би чамд хамгийн сүүлд хэлье аргын тухай туслах өнцөг:
a cosx + b sinx илэрхийллийг Acos(x+) эсвэл Asin(x+) хэлбэрт шилжүүлэхийг туслах өнцөг (эсвэл нэмэлт аргумент) оруулах арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг шийдвэрлэхэд ашигладаг тригонометрийн тэгшитгэл, Функцийн утгыг тооцоолохдоо экстремум асуудлуудад анхаарах ёстой зүйл бол зарим асуудлыг туслах өнцөг оруулахгүйгээр шийдвэрлэх боломжгүй юм.
Та энэ аргыг хэрхэн тайлбарлахыг оролдсон ч үр дүнд хүрээгүй тул та үүнийг өөрөө хийх хэрэгтэй болно.
- 
-
Аймшигтай зүйл, гэхдээ ашигтай. Хэрэв та асуудлаа шийдвэл бүтэх ёстой.
Эндээс, жишээ нь: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Дараах нь тригонометрийн функцүүдийн графикууд юм. Гэхдээ энэ нь нэг хичээлд хангалттай. Сургуульд зургаан сарын турш үүнийг заадаг гэдгийг харгалзан үздэг.
Асуултаа бичиж, асуудлыг шийдэж, зарим даалгаврын сканнерийг асууж, олж мэд, туршаад үзээрэй.
Үргэлж чинийх, Дэн Фарадей.
\(\blacktrianglerright\) Үүнийг анхаарч үзээрэй тэгш өнцөгт системкоординатууд ба үүн дотор нэгж радиустай тойрог ба эх цэг дээр төвтэй.
\(1^\circ\) дахь өнцөг- энэ бол ийм юм төв өнцөг, урт нь бүх тойргийн урттай \(\dfrac1(360)\) тэнцүү нуман дээр тулгуурладаг.
\(\blacktrianglerright\) Орой нь тойргийн төвд байх ба нэг тал нь \(Ox\) тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үргэлж давхцаж байгаа тойргийн өнцгүүдийг авч үзэх болно (зураг дээр улаанаар тодруулсан) .
Булангууд нь ийм байдлаар тэмдэглэгдсэн байдаг \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):
\(0^\circ\) өнцөг нь хоёр тал нь \(Ox\) тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцах өнцөг гэдгийг анхаарна уу.
Ийм өнцгийн хоёр дахь тал нь \(\альфа\) тойрогтой огтлолцох цэгийг \(P_(\alpha)\) гэж нэрлэнэ.
\(P_(0)\) цэгийн байрлалыг анхны байрлал гэж нэрлэнэ.
Тиймээс бид тойрог дотор эргэлт хийж байна гэж хэлж болно анхны байрлал\(P_0\) өнцгөөр \(\альфа\) \(P_(\alpha)\) байрлал руу шилжүүлнэ.
\(\blacktrianglerright\) Тойрог цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх нь by эргүүлэх юм эерэг өнцөг. Цагийн зүүний дагуу эргүүлэх нь сөрөг эргэлт юм.
Жишээлбэл, зураг дээр булангуудыг тэмдэглэсэн болно \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):
\(\blacktrianglerright\) Тойрог дээрх \(P_(30^\circ)\) цэгийг авч үзье. Анхны байрлалаас \(P_(30^\circ)\) цэг хүртэл тойрог хэлбэрээр эргүүлэхийн тулд та \(30^\circ\) өнцгөөр (улбар шар) эргүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв бид бүрэн эргэлт (өөрөөр хэлбэл \(360^\circ\)) хийгээд дахин \(30^\circ\) эргэлт хийвэл бид аль хэдийн эргэлт хийсэн хэдий ч дахин энэ цэгт хүрнэ. өнцөг \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(цэнхэр). Бид мөн \(-330^\circ\) (ногоон) руу эргэх замаар энэ цэгт хүрч чадна. \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\)гэх мэт.
Тиймээс тойрог дээрх цэг бүр нь тохирч байна хязгааргүй олонлогөнцөг ба эдгээр өнцөг нь бие биенээсээ бүхэл тоогоор ялгаатай бүрэн хувьсгалууд (\(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
Жишээлбэл, \(30^\circ\) өнцөг нь \(-330^\circ\) өнцгөөс \(360^\circ\) их, \(2\cdot 360^\circ\) өнцгөөс бага байна. \(750^\circ\) .
\(P_(30^\circ)\) цэг дээр байрлах бүх өнцгийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. \(\альфа=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \n\in\mathbb(Z)\).
\(\blacktriangleright\) \(1\) радиан дахь өнцөг- энэ нь урт нь тойргийн радиустай тэнцүү нуман дээр тулгуурласан төв өнцөг юм. 
Учир нь \(R\) радиустай бүх тойргийн урт нь \(2\pi R\)-тэй тэнцүү бөгөөд градусын хэмжүүрээр - \(360^\circ\), тэгвэл бид байна. \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf(rad)\), хаана \ Энэ үндсэн томъёо, үүний тусламжтайгаар та градусыг радиан болон эсрэгээр хөрвүүлж болно.
Жишээ 1.\(60^\circ\) өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнийг ол.
Учир нь \(180^\circ = \pi \Баруун сум 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Баруун сум 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)
Жишээ 2.Хай градусын хэмжүүрөнцөг \(\dfrac34 \pi\) .
Учир нь \(\pi=180^\circ \Баруун сум \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).
Ихэвчлэн тэд бичдэг, жишээлбэл, үгүй \(\dfrac(\pi)4 \text(rad)\), гэхдээ зүгээр л \(\dfrac(\pi)4\) (өөрөөр хэлбэл хэмжилтийн нэгж “rad”-ыг орхигдуулсан). Өнцөг бичихдээ градусын тэмдэглэгээг анхаарна уу бүү бууруул. Тиймээс “өнцөг нь \(1\)-тэй тэнцүү” гэж бичснээр “өнцөг нь \(1\) градустай тэнцүү” биш харин “өнцөг нь \(1\) радиантай тэнцүү” гэсэн үг юм.
Учир нь \(\pi \thickapprox 3.14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3.14 \textbf(rad) \Rightarrow 1 \textbf(rad) \thickarrow 57^\circ\).
Бодлого дээр ийм ойролцоо орлуулалтыг хийх боломжгүй ч \(1\) радианууд ойролцоогоор хэдэн градустай тэнцүү болохыг мэдэх нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Жишээлбэл, ийм байдлаар тойрог дээрх \(5\) радианы өнцгийг олоход хялбар байдаг: энэ нь ойролцоогоор \(285^\circ\) -тэй тэнцүү байна.
\(\blacktrianglerright\) Планиметрийн хичээлээс (хавтгай дээрх геометр) өнцгийн хувьд \(0 гэдгийг мэднэ.<\alpha< 90^\circ\)
определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
Хэрэв талууд \(a, b, c\) ба өнцөг \(\альфа\) тэгш өнцөгт гурвалжинг өгвөл:
Учир нь нэгж тойрог дээр дурын өнцөг тодорхойлогддог \(\альфа\in(-\infty;+\infty)\), дараа нь та ямар ч өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох хэрэгтэй.
Нэгж тойрог, түүн дээрх өнцөг \(\альфа\) ба харгалзах цэг \(P_(\alpha)\) гэж үзье:
\(P_(\alpha)\) цэгээс \(Ox\) тэнхлэг хүртэлх перпендикуляр \(P_(\alpha)K\)-ийг буулгая. Бид тэгш өнцөгт гурвалжинг \(\triangle OP_(\alpha)K\) авдаг бөгөөд үүнээс бидэнд: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\]\(OK\) сегмент нь \(P_(\alpha)\) цэгийн абсцисса \(x_(\альфа)\) ба \(P_(\alpha)K\) сегментээс өөр зүйл биш гэдгийг анхаарна уу. ординат нь \(y_(\альфа)\) . Түүнээс хойш бас анхаараарай Бид нэгж тойргийг авсан бол \(P_(\alpha)O=1\) нь түүний радиус юм.
Тиймээс, \[\sin\alpha=y_(\alpha), \qquad \cos \alpha=x_(\alpha)\]
Тиймээс хэрэв \(P_(\альфа)\) цэг нь \((x_(\альфа)\,;y_(\альфа))\) координаттай байсан бол харгалзах өнцгөөр дамжуулан түүний координатыг \(() гэж дахин бичиж болно. \ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .
Тодорхойлолт: 1. \(\альфа\) өнцгийн синус нь нэгж тойрог дээрх энэ өнцөгт харгалзах \(P_(\alpha)\) цэгийн ординат юм.
2. \(\альфа\) өнцгийн косинус нь нэгж тойрог дээрх энэ өнцөгт харгалзах \(P_(\alpha)\) цэгийн абсцисса юм.
Тиймээс \(Oy\) тэнхлэгийг синусын тэнхлэг, \(Ox\) тэнхлэгийг косинусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
\(\blacktrianglerright\) Зурагт үзүүлсэн шиг тойргийг \(4\) дөрөвний нэг болгон хувааж болно. 
Учир нь \(I\) улиралд бүх цэгийн абсцисса ба ординат хоёулаа эерэг байвал энэ хэсгийн бүх өнцгийн косинус ба синусууд мөн эерэг байна.
Учир нь \(II\) улиралд бүх цэгийн ординатууд эерэг, абсциссууд сөрөг байвал энэ улирлын бүх өнцгийн косинусууд сөрөг, синусууд эерэг байна.
Үүний нэгэн адил та үлдсэн дөрөвний синус ба косинусын тэмдгийг тодорхойлж болно.
Жишээ 3.Жишээлбэл, \(P_(\frac(\pi)(6))\) ба \(P_(-\frac(11\pi)6)\) цэгүүд давхцаж байгаа тул тэдгээрийн координатууд тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \left(-\dfrac(11\pi)6\баруун),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \left(-\dfrac( 11\pi)6\баруун)\).
Жишээ 4.\(P_(\alpha)\) ба \(P_(\pi-\alpha)\) цэгүүдийг анхаарч үзээрэй. Тохиромжтой болгох үүднээс \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .
Тэнхлэгт перпендикуляр зуръя \(Ox\) : \(OK\) ба \(OK_1\) . \(OKP_(\alpha)\) ба \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) гурвалжингууд нь гипотенуз болон өнцгийн хувьд тэнцүү ( \(\ өнцөг P_(\альфа)ОК=\өнцөг P_(\pi-\альфа)OK_1=\альфа\)). Тиймээс,\(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\) .Учир нь цэгийн координат \(P_(\альфа)=(OK;KP_(\альфа))=(\cos\alpha\,;\sin\альфа)\), болон оноо \(P_(\pi-\alpha)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\alpha))=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\)
, тиймээс, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]: \[(\том(\begin(массив)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end(массив)))\]
Эдгээр томьёог ашиглан та аль ч өнцгийн синус эсвэл косинусыг олох боломжтой бөгөөд энэ утгыг \(I\) улирлаас өнцгийн синус эсвэл косинус болгон бууруулж болно.
Эхний улирлын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хүснэгт:
\[(\том(\begin(массив)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ) )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \hline \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \hline \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(массив)))\]
Эдгээр утгыг "Хавтгай дээрх геометр (планиметр)" хэсэгт харуулсан болохыг анхаарна уу. II хэсэг” сэдвээр “Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тухай анхны мэдээлэл”.
Жишээ 5.\(\sin(\dfrac(3\pi)4)\)-г олоорой.
Өнцгийг өөрчилье: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)
Тиймээс, \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\left(\pi-\dfrac(\pi)4\баруун)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).
\(\blacktrianglerright\) Багасгах томьёог санах, ашиглахад хялбар болгохын тулд та дараах дүрмийг баримталж болно.
Тохиолдол 1.\(n\cdot \pi\pm \альфа\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]
Өнцгийн тэмдгийг аль квадратад байгааг тодорхойлох замаар олж болно. Энэ дүрмийг ашигласнаар \(\альфа\) өнцөг \(I\) квадратад байна гэж үзнэ.
Тохиолдол 2.Хэрэв өнцгийг \(n\in\mathbb(N)\) хэлбэрээр илэрхийлж болох юм бол \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]\(\bigodot\)-ийн оронд өнцгийн синусын тэмдэг байна \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\]Энд \(\бигодот\)-ийн оронд өнцгийн косинусын тэмдэг \(n\cdot \pi\pm \alpha\) байна.
Тэмдгийг \(1\) -тэй ижил аргаар тодорхойлно.
Эхний тохиолдолд функц өөрчлөгдөөгүй, хоёр дахь тохиолдолд өөрчлөгддөгийг анхаарна уу (тэд функц нь кофункц болж өөрчлөгддөг гэж хэлдэг).
Жишээ 6.\(\sin \dfrac(13\pi)(3)\) -г олоорой.
Өнцгийг өөрчилье: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), болон оноо \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \left(4\pi+\dfrac(\pi)3\баруун)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)
Жишээ 7.\(\cos \dfrac(17\pi)(6)\) -г олоорой.
Өнцгийг өөрчилье: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-\pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), болон оноо \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \left(3\pi-\dfrac(\pi)6\right)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)
\(\blacktriangleright\) Синус ба косинусын утгын хүрээ.
Учир нь Нэгж тойргийн дурын \(P_(\альфа)\) цэгийн \(x_(\альфа)\) ба \(y_(\альфа)\) координатууд \(-1\)-ээс \ хооронд байна. (1\) ба \(\cos\alpha\) ба \(\sin\alpha\) нь энэ цэгийн абсцисса ба ординат болно. \[(\том(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))\] 
Пифагорын теоремын дагуу тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид: \(x^2_(\альфа)+y^2_(\альфа)=1^2\)
Учир нь \(x_(\альфа)=\кос\альфа,\ y_(\альфа)=\син\альфа \Баруун сум\) \[(\lage(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг (GTT))\]
\(\blacktriangleright\) Тангенс ба котангенс.
Учир нь \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)
\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), Тэр нь:
1) \((\том(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)
2) тангенс ба котангенс нь \(I\) ба \(III\) улиралд эерэг, \(II\) ба \(IV\) хэсэгт сөрөг байна.
3) тангенс ба котангенсийн утгын хүрээ - бүх бодит тоо, өөрөөр хэлбэл. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \\mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)
4) тангенс ба котангенсийн хувьд бууруулах томъёог мөн тодорхойлсон.
Тохиолдол 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\]\(\bigodot\)-ийн оронд \(n\cdot \pi\pm \alpha\) өнцгийн шүргэгчийн тэмдэг байна (\(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\]Энд \(\bigodot\)-ийн оронд котангентын өнцгийн тэмдэг \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ).
Тохиолдол 2.Хэрэв өнцгийг хэлбэрээр илэрхийлж болно \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\alpha\), энд \(n\in\mathbb(N)\) , тэгвэл \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\]хаана нь \(\бигодот\) өнцгийн тангенсийн тэмдэг байна \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\]Энд \(\bigodot\)-ийн оронд котангентын өнцгийн тэмдэг \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ).
5) шүргэгч тэнхлэг нь синус тэнхлэгтэй параллель \((1;0)\) цэгээр дамжин өнгөрөх ба шүргэгч тэнхлэгийн эерэг чиглэл нь синус тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцах;
котангенсын тэнхлэг нь косинусын тэнхлэгтэй параллель \((0;1)\) цэгээр дамжих ба котангенсын тэнхлэгийн эерэг чиглэл нь косинусын тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байна. 
Бид шүргэгч тэнхлэгийн жишээг ашиглан энэ баримтыг нотлох болно.
\(\гурвалжин OP_(\альфа)K \sim \гурвалжин AOB \Баруун сум \dfrac(P_(\alpha)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Баруун сум \dfrac(\sin\alpha)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Rightarrow BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).
Иймд \(P_(\alpha)\) цэгийг тойргийн төвтэй шулуун шугамаар холбосон бол энэ шулуун нь шүргэгч шугамыг \(\mathrm(tg)\ утгатай цэгээр огтолно. ,\альфа\). 
6) тригонометрийн үндсэн шинж чанараас дараахь томъёог гаргана. \
Эхний томъёог OTT-ийн баруун ба зүүн талыг \(\cos^2\alpha\, хоёр дахь нь \(\sin^2\alpha\) -д хуваах замаар олж авна.
Косинус тэг байх өнцөгт тангенс тодорхойлогдоогүй гэдгийг анхаарна уу (энэ нь \(\альфа=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
Котангенс нь синус тэг байх өнцөгт тодорхойлогдоогүй (энэ нь \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb(Z)\)).
\(\blacktriangleright\) Косинусын тэгш байдал ба синус, тангенс, котангенсын сондгой байдал.
\(f(x)\) функц нь \(f(-x)=f(x)\) байсан ч дуудагддаг гэдгийг санаарай.
\(f(-x)=-f(x)\) бол функцийг сондгой гэж нэрлэдэг.
Тойрогоос харахад \(\альфа\) өнцгийн косинус нь \(\альфа\) -ын аль ч утгын хувьд \(-\альфа\) өнцгийн косинустай тэнцүү байна: 
Тиймээс косинус нь тэгш функц бөгөөд энэ нь \[(\Том(\cos(-x)=\cos x))\] томъёо үнэн гэсэн үг юм.
\(\альфа\)-ийн аль ч утгын хувьд \(\альфа\) өнцгийн синус \(-\альфа\) өнцгийн синусын эсрэг байгааг тойргоос харж болно: 
Тиймээс синус нь сондгой функц бөгөөд энэ нь томъёо зөв гэсэн үг юм \[(\Том(\sin(-x)=-\sin x))\]
Тангенс ба котангенс нь бас сондгой функцууд юм: \[(\Large(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Large(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]
Учир нь \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin (-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))
Практикаас харахад сургуулийн сурагчдын Улсын нэгдсэн шалгалтанд тулгардаг математикийн хамгийн хэцүү хэсгүүдийн нэг бол тригонометр юм. Гурвалжин дахь талуудын харьцааны шинжлэх ухааныг 8-р ангиас сурч эхэлдэг. Энэ төрлийн тэгшитгэлүүд нь тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулдаг. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - бараг бүх хүмүүст танил байдаг. сургуулийн сурагчид, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх нь ихэвчлэн хэцүү байдаг.
Профайлын түвшний математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд зөв шийдэгдсэн тригонометрийн даалгаврыг маш өндөр үнэлдэг. Оюутан энэ хэсгийн даалгаврыг зөв гүйцэтгэснээр 4 хүртэлх үндсэн оноо авах боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд Улсын нэгдсэн шалгалтын тригонометрийн хуудас хайх нь бараг утгагүй юм. Хамгийн боломжийн шийдэл бол шалгалтандаа сайн бэлдэх.
Үүнийг яаж хийх вэ?
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын тригонометр нь таныг айлгахгүй байхын тулд бэлтгэл хийхдээ манай порталыг ашиглана уу. Энэ нь тохиромжтой, энгийн бөгөөд үр дүнтэй байдаг. Москва болон бусад хотуудын оюутнуудад нээлттэй манай боловсролын порталын энэ хэсэгт Улсын нэгдсэн шалгалтын тригонометрийн онолын материал, томъёог хүртээмжтэй байдлаар танилцуулж байна. Мөн бүх математикийн тодорхойлолтуудын хувьд бид тэдгээрийг шийдвэрлэх үйл явцын нарийвчилсан тайлбар бүхий жишээнүүдийг сонгосон.
Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ "Тригонометр" хэсэгт онолыг судалсны дараа олж авсан мэдлэгээ илүү сайн шингээхийн тулд "Каталог" руу орохыг зөвлөж байна. Эндээс та сонирхсон сэдвээр асуудлуудыг сонгож, тэдгээрийн шийдлийг үзэх боломжтой. Тиймээс Улсын нэгдсэн шалгалтанд тригонометрийн онолыг давтах нь аль болох үр дүнтэй байх болно.
Та юу мэдэх хэрэгтэй вэ?
Юуны өмнө та \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) хурц өнцгүүдийн \(0°\) -аас \(90°) хүртэлх утгыг сурах хэрэгтэй. \) . Түүнчлэн, Москвад улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг санах нь зүйтэй. Даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах ёстой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Та үүнийг дараах байдлаар хийж болно.
- тэгшитгэлийг факторинг хийх;
- хувьсагчийг солих (алгебрийн тэгшитгэл рүү бууруулах);
- нэгэн төрлийн тэгшитгэлд хүргэх;
- хагас булан руу шилжих;
- бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах;
- туслах өнцөг оруулах замаар;
- бүх нийтийн орлуулах аргыг ашиглан.
Энэ тохиолдолд ихэнх тохиолдолд сурагч шийдлийн явцад жагсаасан хэд хэдэн аргыг ашиглах шаардлагатай болдог.
Тригонометрийн хөрвүүлэлт хийхдээ дараах зөвлөмжийг дагана уу.
- Эхнээс нь дуустал жишээний шийдлийг нэн даруй гаргаж ирэх гэж бүү оролд.
- Бүх жишээг нэг дор хөрвүүлэх гэж бүү оролдоорой. Урагшаа жижиг алхам хий.
- Тригонометрийн тригонометрийн томъёоноос гадна та бүх шударга алгебрийн хувиргалтыг (хаалтанд оруулах, товчилсон бутархай, товчилсон үржүүлэх томъёо гэх мэт) ашиглаж болно гэдгийг санаарай.
- Бүх зүйл сайхан болно гэдэгт итгээрэй.
Тригонометрийн үндсэн томъёо
Тригонометрийн ихэнх томъёог ихэвчлэн баруунаас зүүн тийш, зүүнээс баруун тийш хоёуланг нь ашигладаг тул та эдгээр томъёог маш сайн сурах хэрэгтэй бөгөөд зарим томъёог хоёр чиглэлд хялбархан хэрэглэж болно. Эхлээд тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг бичье. Тэгш өнцөгт гурвалжин байг:
Дараа нь синусын тодорхойлолт:
Косинусын тодорхойлолт:
Тангенсийн тодорхойлолт:
Котангенсийн тодорхойлолт:
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:
Тригонометрийн үндсэн шинж чанараас хамгийн энгийн үр дүн:
Давхар өнцгийн томъёо.Давхар өнцгийн синус:
Давхар өнцгийн косинус:
Давхар өнцгийн тангенс:
Давхар өнцгийн котангенс:
Нэмэлт тригонометрийн томъёо
Тригонометрийн нэмэх томъёо.Нийлбэрийн синус:
Ялгааны синус:
Нийлбэрийн косинус:
Ялгааны косинус:
Нийлбэрийн тангенс:
Ялгааны тангенс:
Хэмжээний котангенс:
Ялгааны котангенс:
Нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах тригонометрийн томъёо.Синусын нийлбэр:
Синусын ялгаа:
Косинусын нийлбэр:
Косинусын ялгаа:
Шүргэгчийн нийлбэр:
Тангентын ялгаа:
Котангентын нийлбэр:
Котангентын ялгаа:
Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах тригонометрийн томъёо.Синусуудын бүтээгдэхүүн:
Синус ба косинусын бүтээгдэхүүн:
Косинусын бүтээгдэхүүн:
Зэрэг бууруулах томъёо.
Хагас өнцгийн томъёо.
Тригонометрийн бууралтын томъёо
Косинусын функц гэж нэрлэдэг хамтран ажиллахсинус функц ба эсрэгээр. Үүнтэй адил шүргэгч ба котангенс функцууд нь кофункц юм. Бууруулах томъёог дараах дүрмээр томъёолж болно.
- Хэрэв багасгах томъёонд өнцгийг 90 градус эсвэл 270 градусаас хасвал (нэмсэн) бууруулсан функц нь кофункц болж өөрчлөгдөнө;
- Хэрэв багасгах томъёонд өнцгийг 180 градус эсвэл 360 градусаас хассан (нэмсэн) бол бууруулсан функцийн нэрийг хадгална;
- Энэ тохиолдолд хасагдсан (нэмэгдсэн) өнцгийг хурц гэж үзвэл багасгасан (өөрөөр хэлбэл анхны) функц нь харгалзах квадратад байгаа тэмдэг нь буурсан функцийн өмнө байрлана.
Бууруулах томъёохүснэгт хэлбэрээр өгсөн:
By тригонометрийн тойрогТригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг тодорхойлоход хялбар:
Тригонометрийн тэгшитгэл
Тодорхой тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүнийг доор авч үзэх хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийн аль нэг болгон багасгах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд:
- Та дээр дурдсан тригонометрийн томъёог ашиглаж болно. Үүний зэрэгцээ та жишээг бүхэлд нь нэг дор өөрчлөх гэж оролдох шаардлагагүй, гэхдээ та жижиг алхмаар урагшлах хэрэгтэй.
- Алгебрийн аргыг ашиглан зарим илэрхийлэлийг хувиргах боломжийг бид мартаж болохгүй, i.e. жишээлбэл, хаалтнаас ямар нэг зүйлийг авах эсвэл эсрэгээр хаалт нээх, бутархайг багасгах, үржүүлэх товчилсон томъёог хэрэглэх, бутархайг нийтлэг хуваагч руу оруулах гэх мэт.
- Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ та ашиглаж болно бүлэглэх арга. Хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр тэгтэй тэнцүү байхын тулд тэдгээрийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байх нь хангалттай гэдгийг санах нь зүйтэй. үлдсэн хэсэг нь байсан.
- Өргөдөл гаргаж байна хувьсах солих арга, ердийнх шиг, орлуулалтыг оруулсны дараа тэгшитгэл нь илүү хялбар болж, анхны хувьсагчийг агуулаагүй байх ёстой. Та мөн урвуу орлуулалт хийхээ санах хэрэгтэй.
- Тригонометрт нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд ихэвчлэн гарч ирдэг гэдгийг санаарай.
- Модулиудыг нээх эсвэл тригонометрийн функц бүхий иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ та ердийн функцтэй харгалзах тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх нарийн ширийн зүйлийг санаж, анхаарч үзэх хэрэгтэй.
- ODZ-ийн талаар санаарай (тригонометрийн тэгшитгэлд ODZ-ийн хязгаарлалт нь голчлон тэгээр хуваагдах боломжгүй гэсэн үг юм, гэхдээ бусад хязгаарлалт, ялангуяа оновчтой хүч, тэгш чадлын үндэс дэх илэрхийллийн эерэг байдлын талаар бүү мартаарай). Мөн синус ба косинусын утгууд нь зөвхөн хасах нэгээс нэмэх нэг хүртэлх мужид байж болно гэдгийг санаарай.
Хамгийн гол нь хэрэв та юу хийхээ мэдэхгүй байгаа бол ядаж ямар нэг зүйл хий, гол зүйл бол тригонометрийн томъёог зөв ашиглах явдал юм. Хэрэв таны олж авсан зүйл улам сайжирч байвал шийдлийг үргэлжлүүлж, муудвал эхэндээ буцаж очоод өөр томьёог ашиглахыг хичээвэл зөв шийдэлд хүрэх хүртэл үүнийг хий.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийн томъёо.Синусын хувьд шийдлийг бичих хоёр тэнцүү хэлбэр байдаг:
Бусад тригонометрийн функцүүдийн хувьд тэмдэглэгээ нь хоёрдмол утгагүй байна. Косинусын хувьд:
Шүргэгчийн хувьд:
Котангентын хувьд:
Зарим онцгой тохиолдолд тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:
Эдгээр гурван цэгийг амжилттай, хичээнгүй, хариуцлагатай хэрэгжүүлэх нь CT-д хамгийн сайн үр дүнг харуулах боломжийг олгоно.
Алдаа олсон уу?
Хэрэв та сургалтын материалд алдаа олсон гэж бодож байвал энэ тухай имэйлээр бичнэ үү. Та мөн нийгмийн сүлжээн дэх алдааг мэдээлэх боломжтой (). Захидалдаа тухайн сэдвийг (физик эсвэл математик), сэдэв эсвэл тестийн нэр эсвэл дугаар, бодлогын дугаар, таны бодлоор алдаа гарсан текст (хуудас) дахь газрыг зааж өгнө. Мөн сэжигтэй алдаа юу болохыг тайлбарлана уу. Таны захидал анзаарагдахгүй байх болно, эсвэл алдаа засах болно, эсвэл яагаад алдаа биш гэдгийг тайлбарлах болно.
"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!
10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.
Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын хурдан шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.
Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.
Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.
Синус, косинус, тангенс - эдгээр үгсийг ахлах сургуулийн сурагчдын дэргэд хэлэх үед тэдний гуравны хоёр нь цаашдын ярианд оролцох сонирхолгүй болно гэдэгт итгэлтэй байж болно. Шалтгаан нь сургуульд тригонометрийн үндсийг бодит байдлаас бүрэн тусгаарлан заадаг тул оюутнууд томъёо, теоремуудыг судлахын утга учрыг олж хардаггүй явдал юм.
Үнэн хэрэгтээ, сайтар судалж үзэхэд энэ мэдлэг нь маш сонирхолтой бөгөөд хэрэглээний шинж чанартай болж хувирдаг - тригонометрийг одон орон судлал, барилга, физик, хөгжим болон бусад олон салбарт ашигладаг.
Үндсэн ойлголтуудтай танилцаж, математикийн шинжлэх ухааны энэ салбарыг судлах хэд хэдэн шалтгааныг нэрлэе.
Өгүүллэг
Хэзээнээс хүн төрөлхтөн ирээдүйн тригонометрийг эхнээс нь бүтээж эхэлсэн нь тодорхойгүй байна. Гэсэн хэдий ч МЭӨ 2-р мянганы үед египетчүүд энэ шинжлэх ухааны үндсийг мэддэг байсан нь баримтжуулсан байдаг: археологичид мэдэгдэж байгаа хоёр талдаа пирамидын налуу өнцгийг олох шаардлагатай даалгавар бүхий папирус олжээ.
Эртний Вавилоны эрдэмтэд илүү ноцтой амжилтанд хүрсэн. Олон зууны туршид одон орон судлалыг судалж байхдаа тэд хэд хэдэн теоремыг эзэмшиж, өнцгийг хэмжих тусгай аргуудыг нэвтрүүлсэн бөгөөд дашрамд хэлэхэд бид өнөөдөр ашигладаг: градус, минут, секундийг Европын шинжлэх ухаан Грек-Ромын соёлд зээлж авсан. эдгээр нэгжүүд Вавилончуудаас ирсэн.
Тригонометрийн үндэстэй холбоотой алдарт Пифагорын теоремыг бараг дөрвөн мянган жилийн өмнө Вавилончууд мэддэг байсан гэж үздэг.
Нэр
"Тригонометр" гэсэн нэр томъёог шууд утгаараа "гурвалжны хэмжилт" гэж орчуулж болно. Шинжлэх ухааны энэ хэсгийн олон зууны турш судлах гол объект нь тэгш өнцөгт гурвалжин, бүр тодруулбал өнцгийн хэмжээ ба түүний талуудын уртын хоорондын хамаарал байсан (өнөөдөр тригонометрийн судалгаа энэ хэсгээс эхэлдэг) . Амьдралд объектын шаардлагатай бүх параметрүүдийг (эсвэл объект хүртэлх зайг) хэмжих бараг боломжгүй нөхцөл байдал ихэвчлэн тохиолддог бөгөөд дараа нь тооцооллын тусламжтайгаар дутуу өгөгдлийг олж авах шаардлагатай болдог.
Жишээлбэл, урьд нь хүмүүс сансрын биет хүртэлх зайг хэмжиж чаддаггүй байсан ч эдгээр зайг тооцоолох оролдлого нь манай эрин үе гарч ирэхээс хамаагүй өмнө болсон. Тригонометр нь навигацид чухал үүрэг гүйцэтгэсэн: зарим мэдлэгтэй бол ахмад шөнийн цагаар оддын хажуугаар явж, чиглэлээ тохируулж чаддаг байв.
Үндсэн ойлголтууд
Тригонометрийг эхнээс нь эзэмшихийн тулд хэд хэдэн үндсэн нэр томъёог ойлгож, санаж байх шаардлагатай.
Тодорхой өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Эсрэг талын хөл нь бидний авч үзэж буй өнцгийн эсрэг талд байрлах тал гэдгийг тодруулцгаая. Тиймээс хэрэв өнцөг нь 30 градус бол энэ өнцгийн синус нь гурвалжны аль ч хэмжээний хувьд үргэлж ½-тэй тэнцүү байх болно. Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Тангенс нь эсрэг талын зэргэлдээх талтай харьцуулсан харьцаа юм (эсвэл энэ нь синус ба косинусын харьцаа). Котангенс нь тангенсаар хуваагдсан нэгж юм.
Нэг нэгжийн радиустай тойргийн уртын хагастай тэнцэх алдарт Пи (3.14...) тоог дурдах нь зүйтэй.
Алдартай алдаанууд
Тригонометрийг эхнээс нь сурдаг хүмүүс ихэвчлэн анхаарал болгоомжгүйгээс болж хэд хэдэн алдаа гаргадаг.
Нэгдүгээрт, геометрийн асуудлыг шийдэхдээ синус ба косинусыг ашиглах нь зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинд л боломжтой гэдгийг санах хэрэгтэй. Оюутан гурвалжны хамгийн урт талыг "автоматаар" гипотенуз болгон авч, буруу тооцооны үр дүнд хүрдэг.
Хоёрдугаарт, эхлээд сонгосон өнцгийн хувьд синус ба косинусын утгыг төөрөлдүүлэхэд хялбар байдаг: 30 градусын синус нь тоон хувьд 60-ын косинустай тэнцүү ба эсрэгээр гэдгийг санаарай. Хэрэв та буруу тоог орлуулсан бол цаашдын бүх тооцоо буруу болно.
Гуравдугаарт, асуудал бүрэн шийдэгдэх хүртэл ямар ч утгыг дугуйлж, үндсийг задлах, энгийн бутархайг аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болохгүй. Ихэнхдээ оюутнууд тригонометрийн бодлогод "сайхан" тоог гаргаж, гурвын үндсийг шууд гаргаж авахыг хичээдэг ч яг нэг үйлдэл хийсний дараа энэ үндсийг багасгаж болно.
"синус" гэдэг үгийн этимологи
"Синус" гэдэг үгийн түүх үнэхээр ер бусын юм. Энэ үгийг латин хэлнээс шууд орчуулбал "хөндий" гэсэн утгатай. Учир нь нэг хэлээс нөгөө хэл рүү орчуулах явцад үгийн зөв ойлголт алдагддаг.
Тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэрс нь Энэтхэгээс гаралтай бөгөөд синус гэсэн ойлголтыг санскрит хэлээр "мөр" гэсэн үгээр тэмдэглэсэн байдаг - баримт нь сегмент нь түүний тулгуурласан тойргийн нумтай хамт нум шиг харагдаж байв. . Арабын соёл иргэншлийн оргил үед тригонометрийн салбарт Энэтхэгийн ололт амжилтыг зээлж авсан бөгөөд энэ нэр томъёо нь араб хэл рүү хөрвүүлэг болгон шилжсэн. Энэ хэлэнд сэтгэлийн хямралыг илэрхийлсэн ижил төстэй үг аль хэдийн байсан бөгөөд хэрэв арабууд уугуул болон зээлсэн үгийн хоорондын авианы ялгааг ойлгодог байсан бол Европчууд шинжлэх ухааны трактуудыг латин хэл рүү орчуулж байхдаа юу ч байхгүй араб үгийг шууд орчуулсан байна. синус гэдэг ойлголттой холбоотой . Өнөөдрийг хүртэл бид үүнийг ашигладаг.
Утгын хүснэгтүүд
Бүх боломжит өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тоон утгыг агуулсан хүснэгтүүд байдаг. Доор бид 0, 30, 45, 60, 90 градусын өнцгүүдийн өгөгдлийг танилцуулж байгаа бөгөөд үүнийг "дамми" -ын хувьд тригонометрийн зайлшгүй хэсэг болгон сурах ёстой.
Хэрэв өнцгийн синус эсвэл косинусын тоон утга "толгойноосоо гарсан" бол үүнийг өөрөө гаргаж авах арга бий.
Геометрийн дүрслэл
Тойрог зурж, түүний төвөөр дамжуулан абсцисс ба ординатын тэнхлэгүүдийг зуръя. Абсцисса тэнхлэг нь хэвтээ, ордны тэнхлэг нь босоо байна. Тэдгээр нь ихэвчлэн "X" болон "Y" гэж гарын үсэг зурдаг. Одоо бид тойргийн төвөөс шулуун шугамыг зурж, энэ ба X тэнхлэгийн хооронд бидэнд хэрэгтэй өнцөг гарна. Эцэст нь, шулуун шугам нь тойрогтой огтлолцох цэгээс бид X тэнхлэгт перпендикуляр буулгаж, үүссэн сегментийн урт нь бидний өнцгийн синусын тоон утгатай тэнцүү байх болно.
Хэрэв та шалгалтын үеэр шаардлагатай утгыг мартсан бол тригонометрийн сурах бичиг байхгүй бол энэ арга нь маш чухал юм. Ийм байдлаар та яг тодорхой тоо авахгүй, гэхдээ та ½ ба 1.73/2 (30 градусын өнцгийн синус ба косинус) хоорондын ялгааг харах нь гарцаагүй.
Өргөдөл
Тригонометрийг ашигласан анхны мэргэжилтнүүдийн зарим нь толгой дээрх тэнгэрээс өөр ил далайд өөр лавлах цэггүй далайчид байв. Өнөөдөр усан онгоцны ахмадууд (онгоц болон бусад тээврийн хэрэгсэл) оддыг ашиглан хамгийн богино замыг эрэлхийлдэггүй, харин GPS-ийн навигацийг идэвхтэй ашигладаг бөгөөд энэ нь тригонометрийг ашиглахгүйгээр боломжгүй юм.
Физикийн бараг бүх хэсэгт та синус ба косинусыг ашиглан тооцооллыг олох болно: механикт хүч хэрэглэх, кинематик дахь объектын замыг тооцоолох, чичиргээ, долгионы тархалт, гэрлийн хугарал гэх мэт - та үндсэн тригонометргүйгээр хийж чадахгүй. томъёонууд.
Тригонометргүйгээр төсөөлөхийн аргагүй өөр нэг мэргэжил бол маркшейдер юм. Теодолит ба түвшин, эсвэл илүү төвөгтэй төхөөрөмж - тахометр ашиглан эдгээр хүмүүс дэлхийн гадаргуу дээрх янз бүрийн цэгүүдийн өндрийн зөрүүг хэмждэг.
Дахин давтагдах чадвар
Тригонометр нь зөвхөн гурвалжны өнцөг ба талуудыг авч үздэггүй, гэхдээ энэ нь түүний оршин тогтнох газар юм. Цикл байдаг бүх газарт (биологи, анагаах ухаан, физик, хөгжим гэх мэт) та магадгүй танил болсон графиктай тулгарах болно - энэ бол синус долгион юм.
Ийм график нь цаг хугацааны тэнхлэгийн дагуу нээгдсэн тойрог бөгөөд долгион шиг харагддаг. Хэрэв та физикийн хичээл дээр осциллографтай ажиллаж байсан бол бидний юу яриад байгааг та мэднэ. Хөгжмийн эквалайзер болон зүрхний цохилт хэмжигч хоёулаа ажилдаа тригонометрийн томъёог ашигладаг.
Дүгнэж хэлэхэд
Тригонометрийг хэрхэн сурах талаар бодохдоо дунд болон ахлах ангийн ихэнх сурагчид зөвхөн сурах бичгээс уйтгартай мэдээлэлтэй танилцдаг тул үүнийг хэцүү, боломжгүй шинжлэх ухаан гэж үздэг.
Боломжгүй байдлын хувьд, бараг бүх үйл ажиллагааны салбарт синус ба шүргэгчийг зохицуулах чадвар шаардлагатай гэдгийг бид аль хэдийн харсан. Нарийн төвөгтэй байдлын хувьд... Бодоод үз дээ: хоёр мянга гаруй жилийн өмнө насанд хүрсэн хүн одоогийн ахлах сургуулийн сурагчаас бага мэдлэгтэй байхад хүмүүс энэ мэдлэгийг ашиглаж байсан бол таны хувьд энэ шинжлэх ухааны салбарыг суурь түвшинд судлах нь бодитой юу? Асуудлыг шийдэхийн тулд хэдэн цаг сайтар бодож дадлага хийвэл та даммигийн тригонометр гэж нэрлэгддэг үндсэн хичээлийг судалснаар зорилгодоо хүрэх болно.
