Тэгш бус байдлын нарийн төвөгтэй системийг шийдвэрлэх. Нарийн төвөгтэй тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Хичээлийн зорилго: шийдлийг илүү авч үзэх нарийн төвөгтэй тэгш бус байдал.

1. Гэрийн даалгаврын талаархи асуултын хариулт (шийдвэрлэгдээгүй асуудлын дүн шинжилгээ).

2. Материалын шингээлтийг хянах (туршилт).

Модуль эсвэл параметр бүхий нарийн төвөгтэй тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

|x – 1| тэгш бус байдлыг шийдье < 3.

Эхлээд энэ тэгш бус байдлыг аналитик аргаар хоёр тохиолдлыг авч үзье.

a) Хэрэв x – 1 > 0, өөрөөр хэлбэл x > 1 бол |x – 1| = x – 1 ба тэгш бус байдал нь x – 1 шиг харагдаж байна< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, энэ тохиолдолд бид 1-р шийдлийг олж авна< х < 4 или х [ 1; 4).

b) Хэрэв x - 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Бид олж авсан шийдлүүдийн нэгдлийг олдог.

Параметртэй асуудалд хариултыг бичих нь маш чухал (хариултыг параметрийн өсөх дарааллаар бичсэн) тул бид бүрэн хариултыг өгдөг.

Хэзээ a< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-; a + 1].

Одоо хоёр хувьсагчийн шугаман тэгш бус байдлыг авч үзье. Дүрмээр бол ийм асуудлуудыг координатууд нь координатын хавтгай дээрх тэгш бус байдлыг хангадаг цэгүүдийн багцыг дүрслэх хүртэл багасгадаг.

Асаалттай координатын хавтгайКоординатууд нь y-2 > x-3 тэгш бус байдлыг хангадаг цэгүүдийн багцыг дүрсэлцгээе.

Энэ тэгш бус байдлыг y > x-1 хэлбэрээр бичье. Эхлээд график байгуулъя шугаман функц y = x-1 (шулуун шугам). Энэ шугам нь координатын хавтгайн бүх цэгүүдийг энэ шулуун дээр байрлах цэгүүд болон энэ шугамын доор байрлах цэгүүдэд хуваана. Аль оноог хангаж байгааг шалгацгаая энэ тэгш бус байдал.

Эхний хэсгээс бид жишээлбэл, хяналтын цэг А (0; 0) - координатын гарал үүслийг авдаг. y > -1 тэгш бус байдал биелэхийг шалгахад амархан. Хоёр дахь хэсгээс бид жишээлбэл, В хяналтын цэгийг сонгоно (1; -1). Ийм цэгийн хувьд y > x-1 тэгш бус байдал биелэхгүй. Иймээс энэ тэгш бус байдал нь y = x-1 шулуун дээр байрлах цэгүүдээр хангагдана (өөрөөр хэлбэл А цэгтэй төстэй цэгүүд). Эдгээр цэгүүд сүүдэртэй байна.

a параметрийн ямар утгуудын хувьд ax 2 + x – 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй байна вэ?

Тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь a параметрээс хамаардаг тул хоёр тохиолдлыг авч үзэх шаардлагатай.

a) Хэрэв 0 бол ax 2 + x – 1 = 0 тэгшитгэл квадрат байна. Дискриминант D бол ийм тэгшитгэл шийдэлгүй болно< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Хэрэв a = 0 бол ax 2 + x – 1 = 0 тэгшитгэл нь шугаман бөгөөд x – 1 = 0 хэлбэртэй байна. Тэгшитгэл нь x = 1 өвөрмөц шийдэлтэй байх нь ойлгомжтой.

Тиймээс (-; -) өгөгдсөн тэгшитгэлшийдэл байхгүй.

|x – 1| тэгш бус байдлыг шийдье + x 2 + 2 x + 1< 0.

Тэгш бус байдлыг |x – 1| хэлбэрээр бичье + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 ба a-ийн бүх утгын хувьд 2 > 0, дараа нь нийлбэр

|а| + a 2 > 0 бүгдэд a. Тиймээс тэгш бус байдал, |a| + a 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем шугаман тэгшитгэл x + 1 = 0, шийдэл нь x = – 1. Тэгэхээр энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь x = – 1 байна.

Хоёр хувьсагчтай ижил төрлийн тэгш бус байдал байдаг.

Координатын хавтгай дээр бид координатууд нь y-1 тэгш бус байдлыг хангадаг цэгүүдийн багцыг дүрсэлдэг.< х 2 .

Тэгш бус байдлыг y хэлбэрээр бичье< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. Тэгш бус байдлыг аналитик аргаар шийд:

2. a-ийн бүх утгын хувьд тэгш бус байдлыг шийд:

3. a параметрийн ямар утгуудын хувьд тэгшитгэлийг хийдэг

a) 3x 2 – 2x + a = 0 нь үндэсгүй;
b) 2x 2 – 3x + 5a = 0 нь хоёр өөр үндэстэй;
в) 3ax 2 – 4x + 1 = 0 нь хоёр өөр үндэстэй;
d) сүх 2 – 3x + 2 = 0 нь дор хаяж нэг үндэстэй.

4. Тэгш бус байдлыг аналитик аргаар (боломжтой бол графикаар) шийд:

Жишээлбэл, тэгш бус байдал нь \(x>5\) илэрхийлэл юм.

Тэгш бус байдлын төрлүүд:

Хэрэв \(a\) ба \(b\) нь тоо эсвэл , тэгш бус байдлыг дуудна тоон. Энэ нь үнэндээ хоёр тоог харьцуулж байна. Ийм тэгш бус байдлыг дараахь байдлаар хуваадаг үнэнчТэгээд үнэнч бус.

Жишээлбэл:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) нь буруу тоон тэгш бус байдал, учир нь \(17+3=20\), \(20\) нь \(115\)-аас бага (мөн түүнээс их буюу тэнцүү биш) .

Хэрэв \(a\) ба \(b\) нь хувьсагч агуулсан илэрхийлэл бол бидэнд байна хувьсагчтай тэгш бус байдал. Ийм тэгш бус байдлыг агуулгын дагуу төрөлд хуваадаг.

Тэгш бус байдлын шийдэл юу вэ?

Хэрэв та хувьсагчийн оронд тоог орлуулбал тэгш бус байдал нь тоо болж хувирна.

Хэрэв x-ийн өгөгдсөн утга нь анхны тэгш бус байдлыг жинхэнэ тоон утга болгон хувиргавал түүнийг дуудна тэгш бус байдлын шийдэл. Хэрэв тийм биш бол энэ утга нь шийдэл биш юм. Тэгээд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх- та түүний бүх шийдлийг олох хэрэгтэй (эсвэл байхгүй гэдгийг харуулах).

Жишээлбэл,хэрэв бид \(7\) тоог шугаман тэгш бус байдалд \(x+6>10\) орлуулбал зөв тоон тэгш бус байдлыг авна: \(13>10\). Мөн \(2\)-г орлуулбал буруу тоон тэгш бус байдал \(8>10\) гарна. Өөрөөр хэлбэл, \(7\) нь анхны тэгш бус байдлын шийдэл боловч \(2\) тийм биш юм.

Гэхдээ \(x+6>10\) тэгш бус байдал нь өөр шийдлүүдтэй. Үнэхээр бид \(5\), \(12\), \(138\)-ыг орлуулахдаа зөв тоон тэгш бус байдлыг олж авах болно... Тэгээд бид бүгдийг яаж олох вэ? боломжит шийдлүүд? Үүний тулд тэд ашигладаг Бидний хувьд:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөөс дээш тоо бидэнд тохирох болно. Одоо та хариултаа бичих хэрэгтэй. Тэгш бус байдлын шийдлүүдийг ихэвчлэн тоон хэлбэрээр бичиж, нэмэлт тэмдэглэгээ хийдэг тооны тэнхлэгангаахай. Бидний хувьд:

Хариулт: \(x\in(4;+\infty)\)

Тэгш бус байдлын тэмдэг хэзээ өөрчлөгдөх вэ?

Оюутнуудын орохыг үнэхээр "дуртай" тэгш бус байдлын нэг том урхи байдаг:

Тэгш бус байдлыг сөрөг тоогоор үржүүлэх (эсвэл хуваах) нь эсрэгээр ("илүү" -ийг "бага", "илүү их эсвэл тэнцүү" -ийг "бага эсвэл тэнцүү" гэх мэт) эргүүлнэ.

Яагаад ийм зүйл болж байна вэ? Үүнийг ойлгохын тулд өөрчлөлтүүдийг харцгаая тоон тэгш бус байдал\(3>1\). Энэ нь зөв, гурав нь нэгээс их байна. Эхлээд үүнийг аль ч эерэг тоогоор үржүүлэхийг оролдъё, жишээлбэл, хоёр:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Бидний харж байгаагаар үржүүлсний дараа тэгш бус байдал үнэн хэвээр байна. Ямар ч эерэг тоогоор үржүүлснээс үл хамааран бид үргэлж зөв тэгш бус байдлыг авах болно. Одоо үржүүлэхийг хичээцгээе сөрөг тоожишээлбэл, хасах гурваас:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Үр дүн нь буруу тэгш бус байдал юм, учир нь хасах ес нь хасах гурваас бага! Өөрөөр хэлбэл, тэгш бус байдал үнэн болохын тулд (тиймээс үржүүлэлтийг сөрөгөөр өөрчлөх нь "хууль ёсны" байсан) та харьцуулах тэмдгийг дараах байдлаар эргүүлэх хэрэгтэй: \(−9<− 3\).
Хуваалснаар энэ нь адилхан ажиллах болно, та өөрөө шалгаж болно.

Дээр бичсэн дүрэм нь зөвхөн тоон бус бүх төрлийн тэгш бус байдалд хамаарна.

Хариулт: \(x\in(-1;\infty)\)

Тэгш бус байдал ба хөгжлийн бэрхшээл

Тэгшитгэлийн нэгэн адил тэгш бус байдал нь x-ийн утгуудад хязгаарлалттай байж болно. Үүний дагуу DZ-ийн дагуу хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй утгыг шийдлийн хүрээнээс хасах хэрэгтэй.

Жишээ: Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх \(\sqrt(x+1)<3\)

Шийдэл: Зүүн тал нь \(3\)-аас бага байхын тулд радикал илэрхийлэл нь \(9\)-ээс бага байх ёстой (эцсийн эцэст \(9\)-ээс ердөө \(3\)). Бид авах:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)

Бүгд? \(8\)-аас бага x-ийн ямар ч утга бидэнд тохирох уу? Үгүй! Учир нь жишээлбэл, шаардлагад нийцэж байгаа \(-5\) утгыг авбал энэ нь сөрөг тооны язгуурыг тооцоолоход хүргэх тул анхны тэгш бус байдлын шийдэл болохгүй.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Тиймээс бид X-ийн утгын хязгаарлалтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй - үндэс дор сөрөг тоо байх ёсгүй. Тиймээс бид x-ийн хоёр дахь шаардлага байна:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

X нь эцсийн шийдэл байхын тулд энэ нь хоёр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой: \(8\)-аас бага (шийдвэр байх) ба \(-1\)-ээс их байх ёстой (зарчмын хувьд зөвшөөрөгдөх). Үүнийг тооны шугам дээр зурвал бид эцсийн хариултыг авах болно.

Хариулт: \(\зүүн[-1;8\баруун)\)

Бүх төрлийн логарифмын тэгш бус байдлын дунд хувьсах суурьтай тэгш бус байдлыг тусад нь судалдаг. Тэдгээрийг тусгай томъёогоор шийддэг бөгөөд зарим шалтгааны улмаас сургуульд ховор заадаг:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

"∨" хайрцгийн оронд та ямар ч тэгш бус байдлын тэмдгийг тавьж болно: их эсвэл бага. Хамгийн гол нь тэгш бус байдлын аль алинд нь шинж тэмдгүүд нь ижил байдаг.

Ингэснээр бид логарифмуудаас салж, асуудлыг оновчтой тэгш бус байдал болгон бууруулна. Сүүлийнх нь шийдвэрлэхэд илүү хялбар боловч логарифмыг хаяхад нэмэлт үндэс гарч ирж магадгүй юм. Тэдгээрийг таслахын тулд хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг олоход хангалттай. Хэрэв та логарифмын ODZ-г мартсан бол би үүнийг давтахыг зөвлөж байна - үзнэ үү. Логарифм гэж юу вэ ».

Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээтэй холбоотой бүх зүйлийг тусад нь бичиж, шийдвэрлэх ёстой.

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Эдгээр дөрвөн тэгш бус байдал нь системийг бүрдүүлдэг бөгөөд нэгэн зэрэг хангагдах ёстой. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ олдсоны дараа үүнийг оновчтой тэгш бус байдлын шийдэлтэй огтлоход л үлддэг бөгөөд хариулт бэлэн болно.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Эхлээд логарифмын ODZ-ийг бичье.

Эхний хоёр тэгш бус байдал автоматаар хангагдах боловч сүүлчийнх нь бичигдсэн байх ёстой. Тооны квадрат нь тэг байх тул тухайн тоо өөрөө тэг байвал бид:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Логарифмын ODZ нь тэгээс бусад бүх тоонууд болох нь харагдаж байна: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Одоо бид үндсэн тэгш бус байдлыг шийдэж байна.

Бид логарифмын тэгш бус байдлаас рациональ руу шилждэг. Анхны тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь үүссэн тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй байх ёстой гэсэн үг юм. Бидэнд байгаа:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Энэ илэрхийллийн тэг нь: x = 3; x = −3; x = 0. Тэгээд ч x = 0 нь хоёр дахь үржвэрийн үндэс бөгөөд түүгээр дамжин өнгөрөхөд функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм. Бидэнд байгаа:

Бид x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) авна. Энэ багц нь логарифмын ODZ-д бүрэн агуулагдсан бөгөөд энэ нь хариулт гэсэн үг юм.

Логарифмын тэгш бус байдлыг хөрвүүлэх

Ихэнхдээ анхны тэгш бус байдал нь дээрхээс ялгаатай байдаг. Логарифмтай ажиллах стандарт дүрмийг ашиглан үүнийг хялбархан засч залруулж болно - үзнэ үү. Логарифмын үндсэн шинж чанарууд" Тухайлбал:

1. Аливаа тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно;
2. Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр ба зөрүүг нэг логарифмээр сольж болно.

Би хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээний талаар тусад нь сануулахыг хүсч байна. Анхны тэгш бус байдалд хэд хэдэн логарифм байж болох тул тэдгээрийн VA-г олох шаардлагатай. Тиймээс логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэх ерөнхий схем нь дараах байдалтай байна.

1. Тэгш бус байдалд орсон логарифм бүрийн VA-г ол;
2. Логарифм нэмэх, хасах томъёог ашиглан тэгш бус байдлыг стандарт болгон бууруулна;
3. Үүссэн тэгш бус байдлыг дээр өгөгдсөн схемийн дагуу шийд.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Эхний логарифмын тодорхойлолтын мужийг (DO) олъё:

Бид интервалын аргыг ашиглан шийддэг. Тоолуурын тэгийг олох:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Дараа нь - хуваагчийн тэгүүд:

x − 1 = 0;
x = 1.

Бид координатын сум дээр тэг, тэмдгийг тэмдэглэнэ.

Бид x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) авна. Хоёр дахь логарифм нь ижил VA-тай байх болно. Хэрэв та итгэхгүй бол шалгаж болно. Одоо бид хоёр дахь логарифмыг хувиргаж, суурь нь хоёр байна:

Таны харж байгаагаар логарифмын суурь ба урд талын гурвыг багасгасан. Бид ижил суурьтай хоёр логарифм авсан. Тэдгээрийг нэмье:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Бид стандарт логарифмын тэгш бус байдлыг олж авлаа. Бид томьёог ашиглан логарифмуудаас салдаг. Анхны тэгш бус байдал нь "бага" тэмдгийг агуулж байгаа тул үүссэн оновчтой илэрхийлэл нь мөн тэгээс бага байх ёстой. Бидэнд байгаа:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Бид хоёр багц авсан:

1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Нэр дэвшигчийн хариулт: x ∈ (−1; 3).

Эдгээр багцыг огтлоход л үлддэг - бид жинхэнэ хариултыг авна.

Бид олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байгаа тул хоёр сум дээр сүүдэрлэсэн интервалуудыг сонгоно. Бид x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)-ийг авна - бүх цэгүүд цоорсон байна.