1. Бутархай шугаман функцболон түүний хуваарь
P(x) ба Q(x) нь олон гишүүнт байх y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн функцийг бутархай рационал функц гэнэ.
Үзэл баримтлалтай рационал тооТа бие биенээ аль хэдийн мэддэг байх. Үүний нэгэн адил оновчтой функцууд нь хоёр олон гишүүнтийн категори хэлбэрээр илэрхийлэгдэх функцууд юм.
Хэрэв бутархай рационал функц нь хоёр шугаман функцийн категори юм - нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн функц
y = (ax + b) / (cx + d), тэгвэл үүнийг бутархай шугаман гэж нэрлэдэг.
y = (ax + b) / (cx + d) функцэд c ≠ 0 (эсвэл функц шугаман y = ax/d + b/d болно) ба a/c ≠ b/d (өөрөөр бол функц тогтмол). Бутархай шугаман функц нь бүгдэд зориулагдсан бодит тоо, x = -d/c-аас бусад. Бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь таны мэдэх y = 1/x графикаас хэлбэрийн хувьд ялгаатай биш юм. y = 1/x функцийн график болох муруйг нэрлэнэ гипербол. Х-ийн хязгааргүй өсөлттэй үнэмлэхүй үнэ цэнэ y = 1/x функц нь үнэмлэхүй утгаараа хязгааргүй буурч, графикийн хоёр салаа х тэнхлэгт ойртож байна: баруун тал нь дээрээс, зүүн нь доороос ойртож байна. Гиперболын мөчрүүд ойртож буй мөрүүдийг түүний гэж нэрлэдэг асимптотууд.
Жишээ 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Шийдэл.
Бүх хэсгийг сонгоцгооё: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Одоо энэ функцийн графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж авах нь хялбар байдаг: 3-аар шилжих. нэгж сегментбаруун тийш, Ой тэнхлэгийн дагуу 7 удаа сунгаж, 2 нэгж сегментийг дээш шилжүүлнэ.
Аливаа бутархай y = (ax + b) / (cx + d) ижил төстэй байдлаар бичиж, "бүхэл тоо" -ыг тодруулж болно. Иймээс бүх бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь янз бүрийн аргаар шилжсэн гиперболууд юм. координатын тэнхлэгүүдба Ой тэнхлэгийн дагуу сунасан.
Дурын бутархайн графикийг байгуулах шугаман функцЭнэ функцийг тодорхойлсон бутархайг хувиргах шаардлагагүй. График нь гипербол гэдгийг бид мэдэж байгаа тул түүний салбарууд ойртож буй шулуун шугамуудыг олоход хангалттай байх болно - гиперболын асимптотууд x = -d/c ба y = a/c.
Жишээ 2.
y = (3x + 5)/(2x + 2) функцийн графикийн асимптотуудыг ол.
Шийдэл.
Х = -1 үед функц тодорхойлогдоогүй байна. Энэ нь x = -1 шулуун шугам үйлчилнэ гэсэн үг босоо асимптот. Хэвтээ асимптотыг олохын тулд аргумент х үнэмлэхүй утгаараа нэмэгдэхэд y(x) функцийн утгууд ямар утгатай болохыг олж мэдье.
Үүнийг хийхийн тулд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг х-д хуваана.
у = (3 + 5/х) / (2 + 2/х).
x → ∞ хувьд бутархай нь 3/2 байх хандлагатай байна. гэсэн үг, хэвтээ асимптот– энэ бол y = 3/2 шулуун шугам юм.
Жишээ 3.
y = (2x + 1)/(x + 1) функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Бутархайн "бүхэл хэсгийг" сонгоно уу:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Одоо энэ функцийн графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж болохыг хялбархан харж болно: зүүн тийш 1 нэгжээр шилжих, Ox-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дэлгэц, Ой тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж сегмент.
Domain D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Утгын хүрээ E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: c Oy: (0; 1); c Үхэр: (-1/2; 0). Функц нь тодорхойлолтын домэйны интервал бүрт нэмэгддэг.
Хариулт: Зураг 1.
2. Бутархай рационал функц
y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн бутархай рационал функцийг авч үзье, P(x) ба Q(x) нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтүүд юм.
Ийм оновчтой функцүүдийн жишээ:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) эсвэл y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Хэрэв y = P(x) / Q(x) функц нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй хоёр олон гишүүнтийн коэффициентийг илэрхийлж байвал түүний график нь дүрмээр илүү төвөгтэй байх бөгөөд заримдаа үүнийг үнэн зөв байгуулахад хэцүү байж болно. , бүх нарийн ширийн зүйлсийн хамт. Гэсэн хэдий ч, бидний дээр дурдсантай ижил төстэй техникийг ашиглах нь ихэвчлэн хангалттай байдаг.
Бутархайг зөв бутархай болгоё (n< m). Известно, что любую несократимую рационал бутархайнийлбэр хэлбэрээр, өвөрмөц байдлаар төлөөлж болно хязгаарлагдмал тоо Q(x) бутархайн хуваагчийг бодит хүчин зүйлийн үржвэр болгон задлах замаар хэлбэр нь тодорхойлогддог энгийн бутархай:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Мэдээжийн хэрэг хуваарь бутархай рационал функцэнгийн бутархайн графикуудын нийлбэрээр авч болно.
Бутархай рационал функцүүдийн график зурах
Бутархай рационал функцийн график байгуулах хэд хэдэн аргыг авч үзье.
Жишээ 4.
y = 1/x 2 функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Бид y = x 2 функцийн графикийг ашиглан y = 1/x 2-ын графикийг байгуулж, графикуудыг "хуваах" аргыг ашигладаг.
Домэйн D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Утгын хүрээ E(y) = (0; +∞).
Тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй. Функц нь жигд байна. Бүх x-ийн хувьд (-∞; 0) интервалаас нэмэгдэнэ, x-ийн хувьд 0-ээс +∞ хүртэл буурна.
Хариулт: Зураг 2.
Жишээ 5.
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Домэйн D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Энд бид хүчин зүйлчлэл, бууралт, бууралтын аргыг шугаман функц болгон ашигласан.
Хариулт: Зураг 3.
Жишээ 6.
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Тодорхойлолтын муж нь D(y) = R. Функц нь тэгш байх тул график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. График бүтээхээсээ өмнө илэрхийллийг дахин хувиргаж, бүх хэсгийг нь тодруулцгаая.
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Бутархай рационал функцийн томьёо дахь бүхэл тоог тусгаарлах нь график байгуулахад хийх гол ажлуудын нэг гэдгийг анхаарна уу.
Хэрэв x → ±∞ бол y → 1, i.e. y = 1 шулуун шугам нь хэвтээ асимптот юм.
Хариулт: Зураг 4.
Жишээ 7.
y = x/(x 2 + 1) функцийг авч үзээд түүний хамгийн том утгыг үнэн зөв олохыг хичээцгээе. хамгийн өндөр оноо баруун талграфик урлаг. Энэ графикийг үнэн зөв бүтээхийн тулд өнөөдрийн мэдлэг хангалттай биш байна. Мэдээжийн хэрэг, бидний муруй тийм ч өндөр "өсөх" боломжгүй, учир нь хуваагч нь тоологчийг хурдан "гүйцэж" эхэлдэг. Функцийн утга 1-тэй тэнцүү байж болох эсэхийг харцгаая.Үүний тулд x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Энэ тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Энэ нь бидний таамаг буруу байна гэсэн үг. Функцийн хамгийн том утгыг олохын тулд A = x/(x 2 + 1) тэгшитгэл аль хамгийн том А үед шийдтэй болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Бид солих болно анхны тэгшитгэлквадрат: Ax 2 – x + A = 0. Энэ тэгшитгэл нь 1 – 4A 2 ≥ 0 үед шийдэлтэй байна. Эндээс бид олно. хамгийн өндөр үнэ цэнэ A = 1/2. 
Хариулт: Зураг 5, max y(x) = ½.
Асуулт хэвээр байна уу? Функцуудыг хэрхэн графиклахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
IN энэ хичээлбид бутархай шугаман функцийг авч үзэх, бутархай шугаман функц, модуль, параметрийг ашиглан асуудлыг шийдэх болно.
Сэдэв: Давталт
Хичээл: Бутархай шугаман функц
Тодорхойлолт:
Маягтын функц:
Жишээлбэл:
Энэ шугаман бутархай функцийн график нь гипербол гэдгийг баталъя.
Тоолуур дахь хаалтанд байгаа хоёрыг гаргаж аваад дараахийг авъя:
Бид тоологч болон хуваагч хоёуланд нь x байна. Одоо бид илэрхийлэл тоологч дээр гарч ирэхийн тулд хувиргаж байна:
Одоо бутархай гишүүнийг гишүүнээр нь багасгая:
Мэдээжийн хэрэг, энэ функцийн график нь гипербол юм.
Бид нотлох хоёр дахь аргыг санал болгож болно, тухайлбал тоологчийг баганад хуваагчаар хуваана:
Авсан:
Шугаман бутархай функцийн графикийг хялбархан бүтээх, ялангуяа гиперболын тэгш хэмийн төвийг олох нь чухал юм. Асуудлыг шийдье.
Жишээ 1 - функцийн графикийг зурах:
Бид аль хэдийн хөрвүүлсэн энэ функцмөн авсан:
Барилгын зориулалттай энэ хуваарийн дагууБид тэнхлэгүүд эсвэл гиперболыг өөрөө шилжүүлэхгүй. Бидний хэрэглэдэг стандарт аргатогтмол тэмдэгт интервалуудыг ашиглан функцийн график байгуулах.
Бид алгоритмын дагуу ажилладаг. Эхлээд өгөгдсөн функцийг авч үзье.
Тиймээс бид тогтмол тэмдгийн гурван интервалтай байна: баруун талд () функц нь нэмэх тэмдэгтэй, дараа нь бүх үндэс нь эхний зэрэгтэй тул тэмдгүүд нь ээлжлэн солигдоно. Тэгэхээр интервал дээр функц сөрөг, интервал дээр функц эерэг байна.
Бид ODZ-ийн үндэс ба хугарлын цэгүүдийн ойролцоо графикийн ноорог зурдаг. Бидэнд: нэг цэг дээр функцийн тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг тул муруй нь эхлээд тэнхлэгээс дээш, дараа нь тэгээр дамжин өнгөрч, дараа нь x тэнхлэгийн доор байрлана. Бутархайн хуваагч бараг байх үед тэгтэй тэнцүү, энэ нь аргументийн утга гурав руу чиглэх үед бутархайн утга хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байна гэсэн үг. IN энэ тохиолдолд, аргумент зүүн талын гурвалсанд ойртох үед функц нь сөрөг бөгөөд хасах хязгааргүй байх хандлагатай, баруун талд функц эерэг бөгөөд төгсгөлгүй дээр нэмэх нь үлдээдэг.
Одоо бид хязгааргүй байдлын ойролцоох функцийн графикийн ноорог зурж байна алслагдсан цэгүүд, өөрөөр хэлбэл аргумент нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед. Энэ тохиолдолд байнгын нэр томъёог үл тоомсорлож болно. Бидэнд байгаа:
Тиймээс бид хэвтээ асимптот ба босоо нэгтэй, гиперболын төв нь (3;2) цэг юм. Дүрслэн үзүүлье:
Цагаан будаа. 1. Гиперболын график жишээ 1
Бутархай шугаман функцтэй холбоотой асуудлууд нь модуль эсвэл параметр байгаа тул төвөгтэй байж болно. Жишээлбэл, функцийн графикийг бүтээхийн тулд та дараах алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой.
Цагаан будаа. 2. Алгоритмд зориулсан дүрслэл
Үүссэн график нь х тэнхлэгээс дээш, х тэнхлэгээс доош байрлах салбаруудтай.
1. Заасан модулийг хэрэглээрэй. Энэ тохиолдолд х тэнхлэгээс дээш байрлах графикийн хэсгүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх бөгөөд тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь х тэнхлэгтэй харьцуулахад толин тусгал болно. Бид авах:
Цагаан будаа. 3. Алгоритмд зориулсан зураг
Жишээ 2 - функцийг зурах:
Цагаан будаа. 4. Функцийн график жишээ нь 2
Дараах даалгаврыг авч үзье - функцийн графикийг байгуул. Үүнийг хийхийн тулд та дараах алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой.
1. Дэд модуль функцийг графикаар зур
Дараах графикийг олж авлаа гэж бодъё.
Цагаан будаа. 5. Алгоритмд зориулсан зураг
1. Заасан модулийг хэрэглээрэй. Үүнийг хэрхэн хийхийг ойлгохын тулд модулийг өргөжүүлье.
Тиймээс сөрөг бус аргументтай функцийн утгуудын хувьд өөрчлөлт гарахгүй. Хоёрдахь тэгшитгэлийн тухайд бид үүнийг y тэнхлэгт тэгш хэмтэй дүрслэх замаар олж авдаг гэдгийг бид мэднэ. Бидэнд функцийн график байна:
Цагаан будаа. 6. Алгоритмд зориулсан зураг
Жишээ 3 - функцийг зурах:
Алгоритмын дагуу та эхлээд дэд модуль функцийн графикийг бүтээх хэрэгтэй, бид үүнийг аль хэдийн барьсан (Зураг 1-ийг үз).
Цагаан будаа. 7. Функцийн график жишээ 3
Жишээ 4 - параметр бүхий тэгшитгэлийн язгуурын тоог ол:
Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх нь параметрийн бүх утгыг дамжуулж, тэдгээрийн хариултыг зааж өгнө гэдгийг санаарай. Бид аргачлалын дагуу ажилладаг. Эхлээд бид функцийн графикийг бүтээдэг, бид үүнийг өмнөх жишээн дээр аль хэдийн хийсэн (Зураг 7-г үз). Дараа нь та графикийг өөр a-ийн шугамын бүлгээр задлан, огтлолцох цэгүүдийг олж, хариултыг бичих хэрэгтэй.
Графикийг хараад бид хариултыг бичнэ: хэзээ ба тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй; тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй үед; Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй үед.
"Бутархай шугаман функцийн график байгуулах" гэх мэт сэдвийг судлах арга зүйн асуултуудыг авч үзье. Харамсалтай нь түүний судалгааг үндсэн хөтөлбөрөөс хассан бөгөөд ангийнхаа математикийн багш үүнийг бидний хүссэнээр ойртуулдаггүй. Гэсэн хэдий ч, математикийн хичээлүүдТЕГ-ын хоёрдугаар хэсгийг бас хэн ч цуцлаагүй. Мөн Улсын нэгдсэн шалгалтанд түүнийг C5 даалгаврын биед (параметрээр дамжуулан) нэвтрүүлэх боломжтой байдаг. Тиймээс та дундаж болон дунд зэргийн чадалтай сурагчтай хичээл дээр тайлбарлах арга барил дээр ханцуй шамлан орох хэрэгтэй болно. Дүрмээр бол математикийн багш үндсэн хэсгүүдийн тайлбарын аргыг боловсруулдаг сургуулийн сургалтын хөтөлбөражлын эхний 5-7 жилийн хугацаанд. Энэ хугацаанд янз бүрийн ангиллын олон арван оюутнууд багшийн нүд, гарыг даван туулж чаддаг. хайхрамжгүй, байгалиасаа сул дорой хүүхдүүд, сургуулиа орхидог, сургуулиа тасалдаг хүүхдүүдээс эхлээд зорилготой авьяас чадварууд хүртэл.
Цаг хугацаа өнгөрөхөд математикийн багш тайлбар хийх чадвартай болдог нарийн төвөгтэй ойлголтууд энгийн хэлээрматематикийн бүрэн бүтэн байдал, нарийвчлалыг золиослохгүйгээр. Үйлдвэрлэсэн хувь хүний хэв маягматериалын танилцуулга, яриа, харааны дагалдах, бичлэг хийх. Ямар ч туршлагатай багш хичээлээ зааж өгнө нүд анилаа, учир нь тэр материалыг ойлгоход ямар асуудал үүсч, тэдгээрийг шийдвэрлэхэд юу шаардлагатайг урьдчилан мэддэг. Сонгох нь чухал Зөв үгстэмдэглэл, хичээлийн эхлэл, дунд ба төгсгөлд зориулсан жишээ, гэрийн даалгаврыг зөв зохиох.
Сэдэвтэй ажиллах зарим техникийг энэ нийтлэлд авч үзэх болно.
Математикийн багш ямар графикаас эхэлдэг вэ?
Та судалж буй ойлголтыг тодорхойлохоос эхлэх хэрэгтэй. Бутархай шугаман функц нь хэлбэрийн функц гэдгийг танд сануулъя. Түүний бүтээн байгуулалт нь барилгын ажил руу ордог хамгийн түгээмэл гиперболграфикийг хувиргахад сайн мэддэг энгийн аргуудыг ашиглах. 
Практикт тэд зөвхөн багшийн хувьд энгийн зүйл болж хувирдаг. Хүчирхэг сурагч багш дээр тооцоолол, өөрчлөлтийн хангалттай хурдтай ирсэн ч гэсэн эдгээр техникийг тусад нь заах шаардлагатай болдог. Яагаад? Сургуулийн 9-р ангид графикийг зөвхөн шилжих замаар бүтээдэг бөгөөд тоон үржүүлэгчийг нэмэх аргыг ашигладаггүй (шахах, сунгах арга). Математикийн багш ямар график ашигладаг вэ? 
Эхлэх хамгийн тохиромжтой газар хаанаас вэ? Бүх бэлтгэлийг миний бодлоор хамгийн тохиромжтой функцын жишээг ашиглан хийдэг 
. Би өөр юу хэрэглэх ёстой вэ? 9-р ангид тригонометрийг графикгүйгээр судалдаг (мөн Математикийн улсын шалгалтын нөхцөлд тохируулан өөрчилсөн сурах бичигт огт заадаггүй). Квадрат функцЭнэ сэдэвт үндэстэй ижил "арга зүйн жин" байхгүй. Яагаад? 9-р ангид квадрат гурвалжинсайтар судалж, оюутан барилгын асуудлыг ээлжгүйгээр шийдвэрлэх чадвартай. Энэ маягт нь хаалт нээх рефлексийг шууд өдөөдөг бөгөөд үүний дараа та параболын орой болон утгын хүснэгтээр дамжуулан стандарт график зурах дүрмийг ашиглаж болно. Ийм маневр хийснээр үүнийг хийх боломжгүй бөгөөд математикийн багш оюутныг суралцах сэдэл төрүүлэхэд хялбар байх болно. ерөнхий техникөөрчлөлтүүд. y=|x| модулийг ашиглах Энэ нь бас өөрийгөө зөвтгөдөггүй, учир нь үүнийг үндэс, сургуулийн сурагчид үүнээс айдаг шиг сайтар судлаагүй байна. 
Нэмж дурдахад модуль өөрөө (илүү нарийвчлалтай, "өлгөөтэй") нь судалж буй өөрчлөлтүүдийн тоонд багтдаг.
Тиймээс багшид өөрчлөлт хийхэд бэлтгэхээс илүү тохиромжтой, үр дүнтэй зүйл үлдээгүй квадрат язгуур. Та иймэрхүү зүйлийн графикийг бүтээх дадлага хийх хэрэгтэй. Энэ бэлтгэл маш амжилттай болсон гэж бодъё. Хүүхэд хөдөлж, тэр ч байтугай графикийг шахаж / сунгаж болно. Дараа нь юу юм?
Дараагийн шат бол бүхэл бүтэн хэсгийг тусгаарлаж сурах явдал юм. Магадгүй энэ нь математикийн багшийн гол ажил юм, учир нь дараа нь бүхэл хэсэгхуваарилагдах болно, энэ нь тухайн сэдвээр тооцоолох бүх ачааллын арслангийн хувийг эзэлдэг. Барилгын стандарт схемийн аль нэгэнд тохирсон хэлбэрээр функцийг бэлтгэх нь туйлын чухал юм. Мөн хувиргалтын логикийг хүртээмжтэй, ойлгомжтой байдлаар, нөгөө талаас математикийн хувьд нарийн, эв найртай дүрслэх нь чухал юм.
График байгуулахын тулд бутархайг хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй гэдгийг сануулъя 
. Үүний төлөө биш, яг үүний төлөө 
, хуваагчийг хадгалах. Яагаад? Хэсэг хэсгүүдээс бүрдэх төдийгүй асимптоттой график дээр хувиргалтыг хийхэд хэцүү байдаг. Тасралтгүй байдал нь хоёр буюу гурван илүү буюу бага тодорхой хөдөлсөн цэгүүдийг нэг шугамаар холбоход хэрэглэгддэг. Хэзээ тасалдсан функцТа аль цэгүүдийг холбохоо тэр даруй олж мэдэх боломжгүй болно. Тиймээс гиперболыг шахах эсвэл сунгах нь туйлын тохиромжгүй юм. Математикийн багш нь сурагчдаа дангаараа ээлжээр яаж ажиллахыг заах үүрэгтэй.
Үүнийг хийхийн тулд бүхэл хэсгийг сонгохоос гадна хуваагчаас коэффициентийг хасах хэрэгтэй в.
Бутархай хэсгээс бүхэл тоо сонгох
Хэрхэн хэсгийг бүхэлд нь тодруулж сургах вэ? Математикийн багш нар сурагчдын мэдлэгийн түвшинг тэр бүр хангалттай үнэлдэггүй, мэдлэггүй ч гэсэн. нарийвчилсан судалгааҮлдэгдэлтэй олон гишүүнт хуваах теоремуудад булангийн хуваах дүрмийг хэрэглэнэ. Хэрэв багш булангийн хуваалт хийвэл хичээлийнхээ бараг тал хувийг тайлбарлахад зарцуулах шаардлагатай болно (мэдээж бүх зүйл сайтар үндэслэлтэй байвал). Харамсалтай нь багшид энэ цаг үргэлж байдаггүй. Ямар ч буланг санахгүй байх нь дээр.
Оюутантай ажиллах хоёр хэлбэр байдаг:
1) Багш түүнд үзүүлэв бэлэн алгоритмбутархай функцийн зарим жишээг ашиглан.
2) Багш нь энэ алгоритмыг логик хайх нөхцлийг бүрдүүлдэг.
Хоёрдахь замыг хэрэгжүүлэх нь сургалтын практикт хамгийн сонирхолтой бөгөөд маш хэрэгтэй зүйл мэт санагдаж байна оюутны сэтгэлгээг хөгжүүлэх. Тодорхой зөвлөмж, зааврын тусламжтайгаар ихэнхдээ зөв алхамуудын тодорхой дарааллыг олж илрүүлэх боломжтой байдаг. 9-р ангийн сурагч хэн нэгний зурсан төлөвлөгөөг механикаар гүйцэтгэхээс ялгаатай нь түүнийг бие даан хайж сурдаг. Мэдээжийн хэрэг, бүх тайлбарыг жишээгээр хийх ёстой. Үүний тулд функцийг авч, алгоритмын хайлтын логикийн талаархи багшийн тайлбарыг авч үзье. Математикийн багш асууж байна: "Тэнхлэгийн дагуу шилжилтийг ашиглан стандарт график хувиргалт хийхэд юу саад болж байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, тоо болон хуваагчийн аль алинд нь Х нэгэн зэрэг байх. Энэ нь тоологчоос хасах ёстой гэсэн үг юм. Үүнийг ашиглан хэрхэн яаж хийх вэ таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд? Зөвхөн нэг арга бий - фракцыг багасгах. Гэхдээ бидэнд тэнцүү хүчин зүйл (хаалт) байхгүй. Энэ нь бид тэдгээрийг зохиомлоор бий болгохыг хичээх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Гэхдээ яаж? Та ижил шилжилтгүйгээр тоологчийг хуваагчаар сольж болохгүй. Тоолуурыг хуваагчтай тэнцүү хаалт оруулахаар хувиргаж үзье. Тэнд тавья хүчээрмөн коэффициентүүдийг "давхарддаг" бөгөөд ингэснээр тэдгээр нь хаалтанд "нөлөөлөх" үед, өөрөөр хэлбэл, нээгдэж, нэмэх үед. ижил төстэй нэр томъёо, энэ нь бүтэх болно шугаман олон гишүүнт 2х+3.
Математикийн багш коэффициентийн цоорхойг хоосон тэгш өнцөгт хэлбэрээр оруулдаг (5-6-р ангийн сурах бичигт ихэвчлэн ашигладаг) бөгөөд тэдгээрийг тоогоор дүүргэх даалгавар өгдөг. Сонголтыг хийх ёстой зүүнээс баруун тийш, эхний дамжуулалтаас эхлэн. Оюутан хаалтыг хэрхэн нээхээ төсөөлөх ёстой. Түүний өргөтгөл нь X-тэй зөвхөн нэг гишүүний үр дүнд хүрэх тул түүний коэффициент нь хуучин тоологч 2x+3 дахь хамгийн өндөр коэффициенттэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс эхний дөрвөлжинд 2 гэсэн тоо байгаа нь тодорхой байна. Энэ нь дүүрсэн байна. Математикийн багш c=1-тэй маш энгийн бутархай шугаман функцийг авах ёстой. Зөвхөн үүний дараа бид тоологч ба хуваагчийн (бутархай коэффициентийг оруулаад) тааламжгүй харагдах жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийж болно.
Үргэлжлүүл. Багш хаалт нээж, үр дүнгийн дээр шууд гарын үсэг зурна. 
Та харгалзах хос хүчин зүйлийг сүүдэрлэж болно. "Нээлттэй нэр томъёо" дээр хуучин тоологчийн чөлөөт коэффициентийг авахын тулд хоёр дахь цоорхойноос ийм тоог нэмэх шаардлагатай. Энэ нь 7 гэдэг нь ойлгомжтой.
Дараа нь бутархайг бие даасан бутархайн нийлбэр болгон хуваадаг (би ихэвчлэн бутархайнуудыг үүлэнгээр дугуйлж, тэдгээрийн байрлалыг эрвээхэйний далавчтай харьцуулдаг). Би: "Бутархайг эрвээхэйгээр тасалцгаая." Сургуулийн хүүхдүүд энэ хэллэгийг сайн санаж байна. 
Математикийн багш нь гиперболын шилжих алгоритмыг аль хэдийн хэрэглэж болох хэлбэрт бүхэл хэсгийг тусгаарлах бүх үйл явцыг харуулж байна: 
Хэрэв хуваагч байхгүй бол нэгтэй тэнцүүхамгийн өндөр коэффициент бол ямар ч тохиолдолд та үүнийг тэнд орхиж болохгүй. Энэ нь багш, оюутан хоёрын аль алинд нь нэмэлт зүйл авчрах болно толгой өвдөххэрэгжүүлэх хэрэгцээтэй холбоотой нэмэлт хувиргалт, Мөн хамгийн хэцүү зүйл: шахалт - сунах. Шууд пропорциональ графикийг бүдүүвчээр бүтээхэд тоологчийн төрөл чухал биш юм. Хамгийн гол нь түүний шинж тэмдгийг мэдэх явдал юм. Дараа нь хуваарийн хамгийн өндөр коэффициентийг түүнд шилжүүлэх нь дээр. Жишээлбэл, хэрэв бид функцтэй ажилладаг бол 
, дараа нь бид зүгээр л хаалтнаас 3-ыг гаргаж аваад тоологч руу "өсгөж", дотор нь бутархай байгуулна. Бид барилгын ажилд илүү тохиромжтой илэрхийлэлийг олж авдаг: баруун тийш, 2 дээш шилжих л үлдлээ.
Хэрэв 2-р хэсэг болон үлдсэн бутархай хоёрын хооронд "хасах" байвал түүнийг тоологч хэсэгт оруулах нь дээр. Үгүй бол барилгын тодорхой үе шатанд та Ой тэнхлэгтэй харьцуулахад гиперболыг нэмж харуулах шаардлагатай болно. Энэ нь зөвхөн үйл явцыг улам хүндрүүлнэ.
Математикийн багшийн алтан дүрэм:
Графикийн тэгш хэм, шахалт, тэлэлтэд хүргэдэг бүх тохиромжгүй коэффициентүүдийг тоологч руу шилжүүлэх ёстой.
Аливаа сэдэвтэй ажиллах техникийг тайлбарлахад хэцүү байдаг. Ямар нэгэн дутуу илэрхийлсэн мэдрэмж үргэлж байдаг. Бутархай шугаман функцийн талаар бид хэр зэрэг ярьж чадсан бэ гэдэг нь танаас шалтгаална. Сэтгэгдэл, тоймоо нийтлэлд илгээнэ үү (тэдгээрийг хуудасны доод талд байгаа хайрцагт бичиж болно). Би тэдгээрийг заавал нийтлэх болно.
Колпаков А.Н. Математикийн багш Москва. Строгино. Багш нарт зориулсан аргууд.
“СУБАШИ СУУРЬ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛЬ” БАЛТАС ХОТЫН ДҮҮРЭГ
Бүгд Найрамдах Татарстан Улс
Хичээлийн хөгжил - 9-р анги
Сэдэв: Бутархай – шугаман функцtion
ГарифуллинАТөмөр замIРифкатовна
201 4
Хичээлийн сэдэв: Бутархай нь шугаман функц юм.
Хичээлийн зорилго:
Боловсрол: Оюутнуудад ойлголтыг танилцуулахбутархай - шугаман функц ба асимптотын тэгшитгэл;
Хөгжүүлэх: арга техникийг бүрдүүлэх логик сэтгэлгээ, тухайн сэдвийн сонирхлыг хөгжүүлэх; Бутархай шугаман функцийн тодорхойлолтын муж, утгын мужийг тодорхойлох, түүний графикийг бүтээх чадварыг хөгжүүлэх;
- урам зориг өгөх зорилго:Сурагчдын математикийн соёлыг төлөвшүүлэх, анхаарал болгоомжтой байх, ашиглах замаар тухайн сэдвийг судлах сонирхлыг хадгалах, хөгжүүлэх янз бүрийн хэлбэрүүдмэдлэгийг эзэмших.
Тоног төхөөрөмж, уран зохиол: Зөөврийн компьютер, проектор, интерактив самбар, координатын хавтгай ба y= функцийн график , тусгалын зураг, мультимедиа үзүүлэн,Алгебр: 9-р ангийн суурь сурах бичиг дунд сургууль/ Ю.Н. Makarychev, N.G Mendyuk, K.I Neshkov, S.B. С.А.Теляковский найруулсан / М: "Просвещение", 2004 он нэмэлтээр.
Хичээлийн төрөл:
мэдлэг, ур чадвар, чадварыг сайжруулах хичээл.
Хичээлийн үеэр.
Зорилтот: - аман тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;
давталт онолын материалуудшинэ сэдвийг судлахад шаардлагатай тодорхойлолтууд.
Өдрийн мэнд Бид хичээлээ гэрийн даалгавраа шалгаж эхэлдэг.
Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай (слайд 1-4):
Дасгал 1.
Энэ функцийн графикийг ашиглан 3-р асуултанд хариулна уу (функцийн хамгийн том утгыг ол, ...)
( 24 )
Даалгавар -2. Илэрхийллийн утгыг тооцоолно уу:
-
=
Даалгавар -3: Үндэсний нийлбэрийг гурав дахин ол квадрат тэгшитгэл:
X 2 -671∙X + 670= 0.
Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэг байна.
1+(-671)+670 = 0. Тэгэхээр x 1 =1 ба x 2 = Тиймээс,
3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013
Одоо бүх 3 даалгаврын хариултыг цэгүүдийг ашиглан дараалан бичье. (2013 оны 12-р сарын 24.)
Үр дүн: Тийм ээ, тийм! Тэгэхээр өнөөдрийн хичээлийн сэдэв:
Бутархай нь шугаман функц юм.
Жолооч зам дээр явахаасаа өмнө дүрмийг мэддэг байх ёстой замын хөдөлгөөн: хориглох, зөвшөөрөх тэмдэг. Өнөөдөр та бид хоёр ч бас зарим хориотой, зөвшөөрөгдөх тэмдгүүдийг санаж байх хэрэгтэй. Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай! (Слайд-6
)
Дүгнэлт:
Илэрхийлэл нь ямар ч утгагүй;
Зөв илэрхийлэл, хариулт: -2;
зөв илэрхийлэл, хариулт: -0;
Та 0-ийг тэг хувааж болохгүй!
Анхаарна уу, бүх зүйл зөв бичигдсэн үү? (слайд - 7)
1) ; 2) = ; 3) =а .
(1) жинхэнэ тэгш байдал, 2) = - ; 3) = - а )
II. Шинэ сэдэв сурах: (слайд - 8).
Зорилтот: Бутархай шугаман функцийн тодорхойлолтын муж, утгын мужийг олох, абсцисс ба ординатын тэнхлэгийн дагуу функцийн графикийг параллель шилжүүлэн суулгах замаар графикийг байгуулах ур чадварыг эзэмшүүлэх.
Аль функцийн график дээр өгөгдсөнийг тодорхойл координатын хавтгай?
Координатын хавтгай дээрх функцийн графикийг өгөв.
Асуулт
Хүлээгдэж буй хариу
Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол, (Д( y)=?)
X ≠0, эсвэл(-∞;0]UUU
Бид функцийн графикийг Ox тэнхлэг (абсцисса) дагуу 1 нэгж баруун тийш параллель орчуулгыг ашиглан шилжүүлнэ;
Та ямар функцийг графикаар зурсан бэ?
Ой (ординат) тэнхлэгийн дагуу параллель орчуулгыг ашиглан функцийн графикийг 2 нэгжээр дээшлүүлнэ;
Одоо та ямар функцийг графикаар зурсан бэ?
x=1 ба y=2 шулуун шугамуудыг зур
Та яаж бодож байна? Та бид хоёр ямар шууд мессеж хүлээн авсан бэ?
Эдгээр нь шулуунууд юм, Функцийн графикийн муруйн цэгүүд хязгааргүйд ойртож очдог.
Тэгээд тэднийг дууддаг- асимптотууд.
Өөрөөр хэлбэл гиперболын нэг асимптот нь у тэнхлэгтэй параллель, түүнээс баруун тийш 2 нэгж зайд, хоёр дахь асимптот нь түүнээс дээш 1 нэгжийн зайд х тэнхлэгтэй параллель гүйдэг.
Сайн хийлээ! Одоо дүгнэж үзье:
Шугаман бутархай функцийн график нь гипербол бөгөөд y = гиперболоос олж авч болно.ашиглах замаар зэрэгцээ шилжүүлэгкоординатын тэнхлэгүүдийн дагуу. Үүний тулд бутархай шугаман функцийн томъёог дараах хэлбэрээр үзүүлнэ: y =
Энд n нь гиперболыг баруун эсвэл зүүн тийш шилжүүлэх нэгжийн тоо, m нь гиперболыг дээш эсвэл доош шилжүүлэх нэгжийн тоо юм. Энэ тохиолдолд гиперболын асимптотуудыг x = m, y = n шулуун шугамууд руу шилжүүлнэ.
Бутархай шугаман функцийн жишээг өгье.
; .
Бутархай шугаман функц нь y = хэлбэрийн функц юм , энд x нь хувьсагч, a, b, c, d нь зарим тоо, c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.
c≠0 базар- МЭӨ≠0, учир нь c=0 үед функц нь шугаман функц болж хувирдаг.
Хэрэвзар- МЭӨ=0, гарсан бутархай нь тэнцүү утгатай байна (жишээ нь тогтмол).
Бутархай шугаман функцийн шинж чанарууд:
1. Өсөх үед эерэг утгуудАргументийн дагуу функцын утга буурч, тэг болох хандлагатай боловч эерэг хэвээр байна.
2. Функцийн эерэг утга нэмэгдэх тусам аргументийн утга буурч, тэг болох хандлагатай боловч эерэг хэвээр байна.
III – хамрагдсан материалыг нэгтгэх.
Зорилтот: - илтгэх ур чадвар, чадварыг хөгжүүлэхБутархай шугаман функцийн томъёог дараах хэлбэрт оруулна.
Асимптот тэгшитгэл зохиох, бутархай шугаман функцийн график зурах ур чадварыг бэхжүүлэх.
Жишээ -1:
Шийдэл: Өөрчлөлтийн тусламжтайгаар бид энэ функцийг хэлбэрээр илэрхийлнэ .
=
(слайд 10)
Биеийн тамирын минут:
(халаалтыг жижүүр удирдан явуулна)
Зорилтот: - оюутнуудын сэтгэцийн стрессийг арилгах, эрүүл мэндийг сайжруулах.
Сурах бичигтэй ажиллах: No184.
Шийдэл: Хувиргалыг ашиглан бид энэ функцийг y=k/(x-m)+n хэлбэрээр илэрхийлнэ.
=
de x≠0.
Асимптот тэгшитгэлийг бичье: x=2 ба y=3.
Тэгэхээр функцийн график Үхрийн тэнхлэгийн дагуу түүнээс баруун тийш 2 нэгжийн зайд, Ой тэнхлэгийн дагуу түүнээс дээш 3 нэгжийн зайд хөдөлдөг.
Бүлгийн ажил:
Зорилтот: - бусдыг сонсох, нэгэн зэрэг санал бодлоо илэрхийлэх чадварыг хөгжүүлэх;
манлайлах чадвартай хүний боловсрол;
оюутнуудад математикийн ярианы соёлыг төлөвшүүлэх.
Сонголт №1
Өгөгдсөн функц:
.
.
Сонголт №2
Функц өгсөн
1. Шугаман бутархай функцийг багасга стандарт харагдацмөн асимптотуудын тэгшитгэлийг бич.
2. Функцийн мужийг ол
3. Функцийн утгуудын багцыг ол
1. Шугаман бутархай функцийг стандарт хэлбэрт оруулж асимптотуудын тэгшитгэлийг бич.
2. Функцийн мужийг ол.
3. Функцийн утгуудын багцыг ол.
(Ажлаа хамгийн түрүүнд дуусгасан бүлэг хамгаалахаар бэлтгэж байна бүлгийн ажилсамбар дээр. Ажилд дүн шинжилгээ хийж байна.)
IV. Хичээлийг дүгнэж байна.
Зорилтот: - онолын шинжилгээ ба практик үйл ажиллагаахичээл дээр;
Оюутнуудад өөрийгөө үнэлэх чадварыг бий болгох;
Оюутны үйл ажиллагаа, ухамсрын эргэцүүлэл, өөрийгөө үнэлэх.
Тиймээс, эрхэм оюутнууд минь! Хичээл дуусч байна. Та тусгалын картыг бөглөх ёстой. Санал бодлоо анхааралтай, гаргацтай бичээрэй
Овог, нэр ___________________________________________________
Хичээлийн алхамууд
Хичээлийн үе шатуудын нарийн төвөгтэй байдлын түвшинг тодорхойлох
Таны бид гурав дахин
Хичээл дэх таны үйл ажиллагааны үнэлгээ, 1-5 оноо
амархан
дунд зэргийн хүнд
хэцүү
Шинэ материал сурах
Бутархай шугаман функцийн график зурах чадварыг бий болгох
Бүлгийн ажил
Хичээлийн талаархи ерөнхий үзэл бодол
Зорилтот: - энэ сэдвийг эзэмших түвшинг шалгах.
[10-р зүйл*, №180(а), 181(б)]
Улсын шалгалтанд бэлтгэх: (" дээр ажиллахВиртуал сонголт" )
Дасгал хийх ТЕГ-ын цувралаас (№ 23 - хамгийн их оноо):
Y= функцийн графикийг зур
y=c шулуун шугам нь c-ийн ямар утгуудад графиктай яг нэг нийтлэг цэгтэй болохыг тодорхойлно.
Асуулт, даалгаврыг 14.00-14.30 цагийн хооронд нийтэлнэ.
1. Бутархай шугаман функц ба түүний график
P(x) ба Q(x) нь олон гишүүнт байх y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн функцийг бутархай рационал функц гэнэ.
Та рационал тооны тухай ойлголтыг аль хэдийн мэддэг болсон байх. Үүний нэгэн адил оновчтой функцууднь хоёр олон гишүүнтийн категори хэлбэрээр илэрхийлэгдэх функцууд юм.
Хэрэв бутархай рационал функц нь хоёр шугаман функцийн категори юм - нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн функц
y = (ax + b) / (cx + d), тэгвэл үүнийг бутархай шугаман гэж нэрлэдэг.
y = (ax + b) / (cx + d) функцэд c ≠ 0 (эсвэл функц шугаман y = ax/d + b/d болно) ба a/c ≠ b/d (өөрөөр бол функц тогтмол). Шугаман бутархай функц нь x = -d/c-ээс бусад бүх бодит тоонуудад тодорхойлогддог. Бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь таны мэдэх y = 1/x графикаас хэлбэрийн хувьд ялгаатай биш юм. y = 1/x функцийн график болох муруйг нэрлэнэ гипербол. Үнэмлэхүй утгаараа х хязгааргүй өсөхөд y = 1/x функц нь үнэмлэхүй утгаараа хязгааргүй буурч, графикийн хоёр салаа абсцисс руу ойртоно: баруун нь дээрээс, зүүн нь доороос ойртоно. Гиперболын мөчрүүд ойртож буй мөрүүдийг түүний гэж нэрлэдэг асимптотууд.
Жишээ 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Шийдэл.
Бүх хэсгийг сонгоцгооё: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Одоо энэ функцийн графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж авах нь хялбар юм: баруун тийш 3 нэгж сегментээр шилжиж, Ой тэнхлэгийн дагуу 7 дахин сунаж, 2 дахин шилжих. нэгж сегментүүд дээшээ.
Аливаа бутархай y = (ax + b) / (cx + d) ижил төстэй байдлаар бичиж, "бүхэл тоо" -ыг тодруулж болно. Үүний үр дүнд бүх бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь координатын тэнхлэгийн дагуу янз бүрийн аргаар шилжиж, Ой тэнхлэгийн дагуу сунасан гиперболууд юм.
Дурын бутархай шугаман функцийн графикийг байгуулахын тулд энэ функцийг тодорхойлсон бутархайг хувиргах шаардлагагүй. График нь гипербол гэдгийг бид мэдэж байгаа тул түүний салбарууд ойртож буй шулуун шугамуудыг олоход хангалттай байх болно - гиперболын асимптотууд x = -d/c ба y = a/c.
Жишээ 2.
y = (3x + 5)/(2x + 2) функцийн графикийн асимптотуудыг ол.
Шийдэл.
Х = -1 үед функц тодорхойлогдоогүй байна. Энэ нь x = -1 шулуун шугам нь босоо асимптотын үүргийг гүйцэтгэдэг гэсэн үг юм. Хэвтээ асимптотыг олохын тулд аргумент х үнэмлэхүй утгаараа нэмэгдэхэд y(x) функцийн утгууд ямар утгатай болохыг олж мэдье.
Үүнийг хийхийн тулд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг х-д хуваана.
у = (3 + 5/х) / (2 + 2/х).
x → ∞ хувьд бутархай нь 3/2 байх хандлагатай байна. Энэ нь хэвтээ асимптот нь шулуун шугам y = 3/2 гэсэн үг юм.
Жишээ 3.
y = (2x + 1)/(x + 1) функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Бутархайн "бүхэл хэсгийг" сонгоно уу:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Одоо энэ функцийн графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж болохыг хялбархан харж болно: зүүн тийш 1 нэгжээр шилжих, Ox-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дэлгэц, Ой тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж сегмент.
Domain D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Утгын хүрээ E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: c Oy: (0; 1); c Үхэр: (-1/2; 0). Функц нь тодорхойлолтын домэйны интервал бүрт нэмэгддэг.
Хариулт: Зураг 1.
2. Бутархай рационал функц
y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн бутархай рационал функцийг авч үзье, P(x) ба Q(x) нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтүүд юм.
Ийм оновчтой функцүүдийн жишээ:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) эсвэл y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Хэрэв y = P(x) / Q(x) функц нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй хоёр олон гишүүнтийн коэффициентийг илэрхийлж байвал түүний график нь дүрмээр илүү төвөгтэй байх бөгөөд заримдаа үүнийг үнэн зөв байгуулахад хэцүү байж болно. , бүх нарийн ширийн зүйлсийн хамт. Гэсэн хэдий ч, бидний дээр дурдсантай ижил төстэй техникийг ашиглах нь ихэвчлэн хангалттай байдаг.
Бутархайг зөв бутархай болгоё (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Мэдээжийн хэрэг, бутархай рационал функцийн графикийг энгийн бутархайн графикуудын нийлбэр хэлбэрээр авч болно.
Бутархай рационал функцүүдийн график зурах
Бутархай рационал функцийн график байгуулах хэд хэдэн аргыг авч үзье.
Жишээ 4.
y = 1/x 2 функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Бид y = x 2 функцийн графикийг ашиглан y = 1/x 2-ын графикийг байгуулж, графикуудыг "хуваах" аргыг ашигладаг.
Домэйн D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Утгын хүрээ E(y) = (0; +∞).
Тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй. Функц нь жигд байна. Бүх x-ийн хувьд (-∞; 0) интервалаас нэмэгдэнэ, x-ийн хувьд 0-ээс +∞ хүртэл буурна.
Хариулт: Зураг 2.
Жишээ 5.
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Домэйн D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Энд бид хүчин зүйлчлэл, бууралт, бууралтын аргыг шугаман функц болгон ашигласан.
Хариулт: Зураг 3.
Жишээ 6.
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) функцийн графикийг зур.
Шийдэл.
Тодорхойлолтын муж нь D(y) = R. Функц нь тэгш байх тул график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. График бүтээхээсээ өмнө илэрхийллийг дахин хувиргаж, бүх хэсгийг нь тодруулцгаая.
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Бутархай рационал функцийн томьёо дахь бүхэл тоог тусгаарлах нь график байгуулахад хийх гол ажлуудын нэг гэдгийг анхаарна уу.
Хэрэв x → ±∞ бол y → 1, i.e. y = 1 шулуун шугам нь хэвтээ асимптот юм.
Хариулт: Зураг 4.
Жишээ 7.
y = x/(x 2 + 1) функцийг авч үзээд түүний хамгийн том утгыг үнэн зөв олохыг хичээцгээе. графикийн баруун тал дахь хамгийн өндөр цэг. Энэ графикийг үнэн зөв бүтээхийн тулд өнөөдрийн мэдлэг хангалттай биш байна. Мэдээжийн хэрэг, бидний муруй тийм ч өндөр "өсөх" боломжгүй, учир нь хуваагч нь тоологчийг хурдан "гүйцэж" эхэлдэг. Функцийн утга 1-тэй тэнцүү байж болох эсэхийг харцгаая.Үүний тулд x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Энэ тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Энэ нь бидний таамаг буруу байна гэсэн үг. Функцийн хамгийн том утгыг олохын тулд A = x/(x 2 + 1) тэгшитгэл аль хамгийн том А үед шийдтэй болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Анхны тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэлээр орлуулъя: Ax 2 – x + A = 0. Энэ тэгшитгэл нь 1 – 4A 2 ≥ 0 үед шийдэлтэй байна. Эндээс бид хамгийн том утгыг А = 1/2 олно.
Хариулт: Зураг 5, max y(x) = ½.
Асуулт хэвээр байна уу? Функцуудыг хэрхэн графиклахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.
