Aritmetična progresija. Aritmetična progresija

Ali aritmetika - to je vrsta urejenega številčno zaporedje, katerih lastnosti se preučujejo v šolskem tečaju algebre. Ta članek podrobno obravnava vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja.

Kakšno napredovanje je to?

Preden preidemo na vprašanje (kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja), je vredno razumeti, o čem govorimo.

Poljubno zaporedje realna števila, ki jo dobimo tako, da vsakemu prejšnjemu številu prištejemo (odštejemo) neko vrednost, imenujemo algebraična (aritmetična) progresija. Ta definicija, če jo prevedemo v matematični jezik, ima obliko:

Tukaj sem - serijska številka element serije a i . Tako lahko, če poznate samo eno startno številko, enostavno obnovite celotno serijo. Parameter d v formuli se imenuje progresijska razlika.

Preprosto je mogoče pokazati, da za obravnavano vrsto števil velja naslednja enakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To pomeni, da bi našli vrednost n-tega elementa po vrstnem redu, bi morali dodati razliko d prvemu elementu a 1 n-1-krat.

Kaj je vsota aritmetične progresije: formula

Preden navedete formulo za navedeni znesek, je vredno razmisliti o preprostem poseben primer. Napredovanje je podano naravna števila od 1 do 10, morate najti njihovo vsoto. Ker je v progresiji malo členov (10), je možno problem rešiti neposredno, torej sešteti vse elemente po vrsti.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Ena stvar vredna razmisleka zanimiva stvar: ker se vsak člen razlikuje od naslednjega za isto vrednost d = 1, bo parno seštevanje prvega z desetim, drugega z devetim in tako naprej dalo enak rezultat. res:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kot lahko vidite, je teh vsot le 5, to je natanko dvakrat manj od števila elementov niza. Če nato število vsot (5) pomnožite z rezultatom vsake vsote (11), boste prišli do rezultata, dobljenega v prvem primeru.

Če posplošimo te argumente, lahko zapišemo naslednji izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ta izraz kaže, da sploh ni potrebno seštevati vseh elementov po vrsti, dovolj je poznati vrednost prvega a 1 in zadnjega a n skupno število n pogoji.

Menijo, da je Gauss prvi pomislil na to enakost, ko je iskal rešitev danega problema. šolski učitelj naloga: seštej prvih 100 celih števil.

Vsota elementov od m do n: formula

Formula, podana v prejšnjem odstavku, odgovarja na vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja (prvi elementi), vendar je pogosto v nalogah treba sešteti vrsto števil sredi napredovanja. Kako narediti?

Na to vprašanje najlažje odgovorimo s premislekom naslednji primer: naj bo treba najti vsoto členov od m-tega do n-tega. Za rešitev problema morate dani segment od m do n progresije predstaviti v obliki nove številske serije. V takih m-ta reprezentacijačlen a m bo prvi, a n pa bo oštevilčen z n-(m-1). V tem primeru z uporabo standardne formule za vsoto dobimo naslednji izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primer uporabe formul

Če veste, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja, je vredno razmisliti o preprostem primeru uporabe zgornjih formul.

Spodaj je številčno zaporedje, morali bi najti vsoto njegovih členov, začenši s 5. in konča z 12.:

Dane številke kažejo, da je razlika d enaka 3. Z izrazom za n-ti element lahko najdete vrednosti 5. in 12. člena napredovanja. Izkazalo se je:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Če poznate vrednosti števil na koncih obravnavanega algebraičnega napredovanja, pa tudi veste, katera števila v nizu zasedajo, lahko uporabite formulo za vsoto, dobljeno v prejšnjem odstavku. Izkazalo se bo:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Omeniti velja, da bi to vrednost lahko dobili drugače: najprej poiščite vsoto prvih 12 elementov z standardna formula, nato izračunajte vsoto prvih 4 elementov z isto formulo, nato odštejte drugega od prvega vsote.

Na primer zaporedje \(2\); \(5\); \(8\); \(enajst\); \(14\)... je aritmetična progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za tri (lahko ga dobimo iz prejšnjega s seštevanjem treh):

V tej progresiji je razlika \(d\) pozitivna (enaka \(3\)), zato je vsak naslednji člen večji od prejšnjega. Takšna napredovanja se imenujejo povečevanje.

Vendar je \(d\) lahko tudi negativno število. Na primer, v aritmetični progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijska razlika \(d\) je enaka minus šest.

In v tem primeru bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje.

Zapis aritmetične progresije

Napredovanje je označeno z malo latinično črko.

Števila, ki tvorijo progresijo, imenujemo člani(ali elementi).

Označeni so z isto črko kot aritmetična progresija, vendar z numeričnim indeksom, ki je enak številki elementa v vrstnem redu.

Na primer, aritmetična progresija \(a_n = \levo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) je sestavljena iz elementov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) in tako naprej.

Z drugimi besedami, za progresijo \(a_n = \levo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Reševanje nalog aritmetične progresije

Načeloma so zgoraj predstavljene informacije že dovolj za rešitev skoraj vseh problemov aritmetičnega napredovanja (vključno s tistimi, ki jih ponuja OGE).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podan s pogoji \(b_1=7; d=4\). Poiščite \(b_5\).
rešitev:

odgovor: \(b_5=23\)

Primer (OGE). Podani so prvi trije členi aritmetičnega napredovanja: \(62; 49; 36…\) Poiščite vrednost prvega negativnega člena tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(-3\)

Primer (OGE). Podanih je več zaporednih elementov aritmetičnega napredovanja: \(…5; x; 10; 12,5...\) Poiščite vrednost elementa, označenega s črko \(x\).
rešitev:

odgovor: \(7,5\).

Primer (OGE). Podana je aritmetična progresija naslednje pogoje: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Poiščite vsoto prvih šestih členov tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(S_6=9\).

Primer (OGE). V aritmetični progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Poiščite razliko tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(d=7\).

Pomembne formule za aritmetično napredovanje

Kot lahko vidite, je veliko težav pri aritmetičnem napredovanju mogoče rešiti preprosto z razumevanjem glavne stvari - da je aritmetično napredovanje veriga števil, vsak naslednji element v tej verigi pa dobimo z dodajanjem istega števila prejšnjemu ( razlika v napredovanju).

Vendar pa včasih pride do situacij, ko se je zelo neprijetno odločiti "na glavo". Na primer, predstavljajte si, da v prvem primeru ne moramo najti petega elementa \(b_5\), temveč tristo šestinosemdesetega \(b_(386)\). Ali moramo sešteti štiri \(385\)-krat? Ali pa si predstavljajte, da morate v predzadnjem primeru najti vsoto prvih triinsedemdeset elementov. Utrujeni boste od štetja ...

Zato v takšnih primerih stvari ne rešujejo »na glavo«, temveč uporabljajo posebne formule, izpeljane za aritmetično progresijo. In glavni sta formula za n-ti člen napredovanja in formula za vsoto \(n\) prvih členov.

Formula \(n\)-tega člena: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kjer je \(a_1\) prvi člen napredovanja;
\(n\) – številka zahtevanega elementa;
\(a_n\) – člen napredovanja s številko \(n\).

Ta formula nam omogoča, da hitro najdemo tudi tristoti ali milijonti element, pri čemer poznamo samo prvi in ​​razliko progresije.

Primer. Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Poiščite \(b_(246)\).
rešitev:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za vsoto prvih n členov: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kjer

\(a_n\) – zadnji seštevani izraz;

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(a_n=3,4n-0,6\). Poiščite vsoto prvih \(25\) členov tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za vsoto \(n\) prvih členov lahko dobite drugo formulo: samo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namesto \(a_n\) nadomestite s formulo \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobimo:

Formula za vsoto prvih n členov: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kjer

\(S_n\) – zahtevana vsota \(n\) prvih elementov;
\(a_1\) – prvi seštevek;
\(d\) – razlika napredovanja;
\(n\) – število elementov v vsoti.

Primer. Poiščite vsoto prvih \(33\)-ex členov aritmetične progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
rešitev:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Bolj zapleteni problemi aritmetične progresije

Zdaj imaš vse potrebne informacije za reševanje skoraj vseh problemov aritmetične progresije. Zaključimo temo z obravnavo problemov, pri katerih ne potrebujete samo uporabe formul, ampak tudi malo razmišljati (pri matematiki je to lahko koristno ☺)

Primer (OGE). Poiščite vsoto vseh negativnih členov napredovanja: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
rešitev:

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Poiščite vsoto od \(26\) do vključno \(42\) elementa.
rešitev:

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetično progresijo obstaja več formul, ki jih v tem članku nismo upoštevali zaradi njihove majhne praktične uporabnosti. Vendar jih lahko zlahka najdete.

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite najbolj pozorni na naš navigator uporaben vir Za

Zaporedje številk

Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako naprej do zadnje, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.
Število s številom se imenuje th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), in vsak člen tega zaporedja je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Recimo, da imamo številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.
Na primer:

itd.
To številsko zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz "progresija" je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in je bil razumljen v več v širšem smislu, kot neskončno številsko zaporedje. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije zveznih razmerij, ki so jo preučevali stari Grki.

To je številsko zaporedje, katerega vsak člen je enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu. To število imenujemo razlika aritmetične progresije in je označeno.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera ne:

a)
b)
c)
d)

Razumem? Primerjajmo naše odgovore:
je aritmetična progresija - b, c.
Ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se k dani progresiji () in poskusimo najti vrednost njenega th člena. obstaja dva način, kako ga najti.

1. Metoda

Število napredovanja lahko dodajamo prejšnji vrednosti, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Še dobro, da nimamo veliko za povzemati - samo tri vrednosti:

Torej je th člen opisane aritmetične progresije enak.

2. Metoda

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so se matematiki domislili načina, da prejšnji vrednosti ni treba dodajati razlike aritmetične progresije. Pobližje si oglejte narisano sličico ... Zagotovo ste že opazili določen vzorec in sicer:

Na primer, poglejmo, iz česa je sestavljena vrednost th člena te aritmetične progresije:


Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način sami poiskati vrednost člana dane aritmetične progresije.

Ste izračunali? Primerjajte svoje zapiske z odgovorom:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodali člene aritmetičnega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo- Postavimo ga v splošno obliko in dobimo:

Aritmetične progresije so lahko naraščajoče ali padajoče.

Povečanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov večja od prejšnje.
Na primer:

Sestopanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu členov v naraščajočih in padajočih členih aritmetične progresije.
Preverimo to v praksi.
Dobili smo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih števil: Preverite, kakšno bo th število te aritmetične progresije, če za izračun uporabimo našo formulo:

Od takrat:

Tako smo prepričani, da formula deluje tako v padajoči kot v naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati th in th člen te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zakomplicirajmo problem - izpeljali bomo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Enostavno, rečete in začnete šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, ah, potem pa:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je progresija predstavljena z majhnimi vrednostmi, potem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napake pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda da, in to je tisto, kar bomo zdaj poskušali razkriti.

Zahtevani člen aritmetične progresije označimo tako, da nam je formula za iskanje znana - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

• prejšnji izraz napredovanja je:
• naslednji člen napredovanja je:

Povzemimo prejšnje in nadaljnje pogoje napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih členov napredovanja dvojna vrednost člena napredovanja, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, najti vrednost napredovalnega člena glede na znani prejšnji in zaporedne vrednosti, jih morate sešteti in razdeliti z.

Tako je, dobili smo isto številko. Zavarujmo material. Vrednost za napredovanje izračunajte sami, sploh ni težko.

Dobro opravljeno! O napredovanju veš skoraj vse! Najti je treba samo eno formulo, ki jo je po legendi zlahka izvedel eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učitelj, zaposlen s preverjanjem dela učencev v drugih razredih, v razredu dodelil naslednjo nalogo: "Izračunajte vsoto vseh naravnih števil od do (po drugih virih do) vključno." Predstavljajte si učiteljevo presenečenje, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) minuto pozneje dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina pogumnih sošolcev po dolgih izračunih dobila napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil določen vzorec, ki ga zlahka opazite tudi vi.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -th členov: Najti moramo vsoto teh členov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če naloga zahteva iskanje vsote njegovih členov, kot je iskal Gauss?

Upodabljajmo napredovanje, ki nam je dano. Pobližje si oglejte označena števila in poskusite z njimi izvesti različne matematične operacije.


Ste poskusili? Kaj ste opazili? Prav! Njuni vsoti sta enaki

Zdaj pa mi povejte, koliko je takih parov skupaj v napredovanju, ki nam je dano? Seveda natanko polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh členov aritmetične progresije enaka in da so podobni pari enaki, dobimo, da skupni znesek je enako:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th člena, poznamo pa razliko napredovanja. Poskusite zamenjati formulo th člena v formulo vsote.
Kaj si dobil?

Dobro opravljeno! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki je bil zastavljen Carlu Gaussu: sami izračunajte, čemu je enaka vsota števil, ki se začnejo s th, in vsota števil, ki se začnejo s th.

Koliko si dobil?
Gauss je ugotovil, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto členov aritmetične progresije dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje v celoti izkoristili lastnosti aritmetične progresije.
Na primer, predstavljajte si Starodavni Egipt in najbolj obsežna gradnja tisti čas - gradnja piramide... Slika prikazuje njeno eno stran.

Kje je tu napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.


Zakaj ne aritmetična progresija? Izračunajte, koliko blokov je potrebnih za gradnjo ene stene, če so bloki opeke postavljeni na dno. Upam, da ne boste šteli med premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo povedali o aritmetični progresiji?

IN v tem primeru Napredovanje izgleda takole: .
Razlika aritmetične progresije.
Število členov aritmetične progresije.
Nadomestimo naše podatke v zadnje formule (izračunajte število blokov na 2 načina).

1. metoda.

Metoda 2.

In zdaj lahko izračunate na monitorju: primerjajte dobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Razumem? Bravo, obvladali ste vsoto n-tih členov aritmetičnega napredovanja.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor je bloki:

Usposabljanje

Naloge:

1. Maša se pripravlja na poletje. Vsak dan poveča število počepov za. Kolikokrat bo Maša naredila počepe v enem tednu, če je počepe naredila na prvem treningu?
2. Kakšna je vsota vseh lihih števil v.
3. Drvarji pri skladiščenju hlodov zlagajo tako, da vsak zgornji sloj vsebuje en dnevnik manj kot prejšnji. Koliko brun je v enem zidu, če je temelj zidu bruna?

odgovori:

1. Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
   (tedni = dnevi).

   odgovor:Čez dva tedna naj Maša dela počepe enkrat na dan.

2. najprej liho število, zadnja številka.
   Razlika aritmetične progresije.
   Število lihih števil je polovica, vendar preverimo to dejstvo s formulo za iskanje th člena aritmetičnega napredovanja:

   Številke vsebujejo liha števila.
   Zamenjajmo razpoložljive podatke v formulo:

   odgovor: Vsota vseh lihih števil v je enaka.

3. Spomnimo se problema o piramidah. Za naš primer je a , ker je vsaka zgornja plast zmanjšana za en dnevnik, potem je skupaj kup plasti, tj.
   Zamenjajmo podatke v formulo:

   odgovor: V zidu so hlodi.

Naj povzamemo

1. - številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Lahko se povečuje ali zmanjšuje.
2. Iskanje formule Titi člen aritmetičnega napredovanja je zapisan s formulo - , kjer je število števil v napredovanju.
3. Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer je število števil v napredovanju.
4. Vsota členov aritmetične progresije lahko najdete na dva načina:
   
   , kjer je število vrednosti.

ARITMETIČNA PROGRESIJA. POVPREČNA STOPNJA

Zaporedje številk

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in lahko jih je poljubno veliko. Vedno pa lahko rečemo, katera je prva, katera druga in tako naprej, se pravi, da jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je mogoče povezati z določenim naravnim številom in edinstvenim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko imenujemo th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), in vsak člen tega zaporedja je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

Zelo priročno je, če lahko th člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je enak, razlika pa je). Ali (, razlika).

Formula n-ti člen

Rekurentna imenujemo formulo, v kateri morate, da bi ugotovili th člen, poznati prejšnjega ali več prejšnjih:

Da bi našli na primer th člen napredovanja s to formulo, bomo morali izračunati prejšnjih devet. Na primer, pustite. Nato:

No, je zdaj jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo, pomnožimo z določeno številko. Kateri? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj priročno, kajne? Preverjamo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

rešitev:

Prvi izraz je enak. Kakšna je razlika? Evo kaj:

(Zato se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih členov napredovanja).

Torej, formula:

Potem je stoti člen enak:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi, velik matematik Karl Gauss je kot 9-letni deček to količino izračunal v nekaj minutah. Opazil je, da je vsota prvega in zadnji datum je enak, vsota drugega in predzadnjega je enaka, vsota tretjega in 3. od konca je enaka itd. Koliko je teh parov skupaj? Tako je, točno polovica števila vseh števil, torej. Torej,

Splošna formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja bo:

primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestna števila, večkratniki.

rešitev:

Prva takšna številka je ta. Vsako naslednje število dobimo s seštevanjem prejšnjega števila. Tako števila, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula th člena za to napredovanje:

Koliko členov je v napredovanju, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj se odločite sami:

1. Vsak dan športnik preteče več metrov kot prejšnji dan. Koliko skupno kilometrov bo pretekel v enem tednu, če je prvi dan pretekel km m?
2. Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji dan. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora potovati, da premaga kilometer? Koliko kilometrov bo prevozil v zadnjem dnevu svojega potovanja?
3. Vsako leto se za toliko zniža cena hladilnika v trgovini. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če je bil dan v prodajo za rublje šest let kasneje prodan za rublje.

odgovori:

1. Pri tem je najpomembnejše prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
   .
   odgovor:
2. Tukaj je podano: , je treba najti.
   Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnjem problemu:
   .
   Zamenjajte vrednosti:

   Koren očitno ne ustreza, zato je odgovor.
   Izračunajmo pot, prevoženo v zadnjem dnevu, z uporabo formule th člena:
   (km).
   odgovor:

3. Podano: . Najti: .
   Ne more biti bolj preprosto:
   (drgniti).
   odgovor:

ARITMETIČNA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

To je številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.

Aritmetična progresija je lahko naraščajoča () in padajoča ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člena aritmetičnega napredovanja

se zapiše s formulo, kjer je število števil v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča vam enostavno iskanje člena progresije, če so njegovi sosednji členi znani - kje je število števil v progresiji.

Vsota členov aritmetične progresije

Znesek lahko najdete na dva načina:

Kje je število vrednosti.

Kje je število vrednosti.

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker je pred njimi veliko več odprtega več možnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjerkoli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število večje (ali manjše) od prejšnjega za enako količino.

Ta tema se pogosto zdi zapletena in nerazumljiva. Črkovni indeksi n-ti izraz napredovanja, razlike v napredovanju - vse to je nekako zmedeno, ja ... Ugotovimo pomen aritmetične progresije in vse bo takoj bolje.)

Koncept aritmetične progresije.

Aritmetična progresija je zelo preprost in jasen koncept. Imate kakšne dvome? Zaman.) Prepričajte se sami.

Napisal bom nedokončano vrsto številk:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Lahko podaljšate to serijo? Katere številke bodo naslednje, za petico? Vsi... uf..., skratka vsi bodo spoznali, da bodo na vrsto prišle številke 6, 7, 8, 9 itd.

Zakomplicirajmo nalogo. Dajem vam nedokončano serijo številk:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Lahko boste ujeli vzorec, razširili serijo in poimenovali sedmičštevilo serij?

Če ste ugotovili, da je ta številka 20, čestitamo! Ne samo, da ste čutili Ključne točke aritmetična progresija, pa tudi uspešno uporabili v poslu! Če še niste ugotovili, berite dalje.

Zdaj pa prevedimo ključne točke iz občutkov v matematiko.)

Prva ključna točka.

Aritmetična progresija obravnava serije števil. To je na začetku zmedeno. Navajeni smo reševati enačbe, risati grafe in vse to ... Tukaj pa vrsto razširimo, poiščemo številko serije ...

V redu je. Samo napredovanje je prvo spoznavanje nove veje matematike. Razdelek se imenuje "Serije" in deluje posebej z nizi števil in izrazov. Navadi se.)

Druga ključna točka.

V aritmetični progresiji je katero koli število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

V prvem primeru je ta razlika ena. Katero koli številko vzamete, je ena večja od prejšnje. V drugem - tri. Vsako število je tri večje od prejšnjega. Pravzaprav nam ta trenutek daje priložnost, da dojamemo vzorec in izračunamo naslednje številke.

Tretja ključna točka.

Ta trenutek ni vpadljiv, ja ... Je pa zelo, zelo pomemben. Tukaj je: vsak število napredovanja stoji na svojem mestu. Obstaja prva številka, obstaja sedma, obstaja petinštirideseta itd. Če jih naključno pomešate, bo vzorec izginil. Izginila bo tudi aritmetična progresija. Kar ostane, je le niz številk.

To je bistvo.

Seveda, v nova tema pojavljajo se novi izrazi in poimenovanja. Morate jih poznati. V nasprotnem primeru naloge ne boste razumeli. Na primer, odločiti se boste morali nekaj takega:

Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Navdihujoče?) Črke, nekaj kazal ... In naloga, mimogrede, ne bi mogla biti preprostejša. Samo razumeti morate pomen izrazov in oznak. Zdaj bomo to zadevo obvladali in se vrnili k nalogi.

Izrazi in poimenovanja.

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

Ta količina se imenuje . Oglejmo si ta koncept podrobneje.

Razlika aritmetične progresije.

Razlika aritmetične progresije je znesek, za katerega katero koli število napredovanja več prejšnji.

ena pomembna točka. Prosimo, bodite pozorni na besedo "več". Matematično to pomeni, da je vsako število napredovanja z dodajanjem razlika aritmetične progresije glede na prejšnje število.

Za izračun, recimo drugoštevilke serije, morate prvištevilo dodati prav ta razlika aritmetične progresije. Za izračun peti- razlika je nujna dodati Za četrtič, dobro itd.

Razlika aritmetične progresije Mogoče pozitivno, potem se bo vsako število v nizu izkazalo za resnično več kot prejšnji. To napredovanje se imenuje povečevanje. Na primer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tukaj se dobi vsaka številka z dodajanjem pozitivno število, +5 k prejšnjemu.

Razlika je lahko negativno, potem bo vsaka številka v seriji manj kot prejšnji. To napredovanje se imenuje (ne boste verjeli!) zmanjševanje.

Na primer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tukaj se tudi dobi vsaka številka z dodajanjem prejšnjemu, ampak že negativno število, -5.

Mimogrede, pri delu z napredovanjem je zelo koristno takoj določiti njegovo naravo - ali se povečuje ali zmanjšuje. To zelo pomaga pri navigaciji pri odločitvi, opazite svoje napake in jih popravite, preden bo prepozno.

Razlika aritmetične progresije običajno označen s črko d.

Kako najti d? Zelo preprosto. Od katere koli številke v nizu je treba odšteti prejšnjištevilo. Odštej. Mimogrede, rezultat odštevanja se imenuje "razlika".)

Določimo npr. d za povečanje aritmetične progresije:

2, 5, 8, 11, 14, ...

V nizu vzamemo poljubno število, ki ga želimo, na primer 11. Od tega odštejemo prejšnja številka tiste. 8:

To je pravilen odgovor. Za to aritmetično napredovanje je razlika tri.

Lahko ga vzameš katero koli število napredovanja, Ker za določeno napredovanje d-vedno isto. Vsaj nekje na začetku vrste, vsaj v sredini, vsaj kjerkoli. Ne morete vzeti samo prve številke. Preprosto zato, ker je prva številka nobena prejšnja.)

Mimogrede, vem, da d=3, je iskanje sedme številke tega napredovanja zelo preprosto. Petemu številu dodamo 3 – dobimo šesto, to bo 17. Šesti številki dodamo tri, dobimo sedmo številko – dvajset.

Določimo d za padajočo aritmetično progresijo:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Opozarjam vas, da ne glede na znake določite d potrebujete s katere koli številke odvzeti prejšnjega. Izberite poljubno število napredovanja, na primer -7. Njegovo prejšnje število je -2. Nato:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetične progresije je lahko poljubno število: celo število, ulomek, iracionalno, poljubno število.

Drugi izrazi in poimenovanja.

Vsaka številka v nizu je poklicana člen aritmetične progresije.

Vsak član napredovanja ima svojo številko.Številke so strogo urejene, brez trikov. Prvi, drugi, tretji, četrti itd. Na primer, v napredovanju 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi člen, pet je drugi, enajst je četrti, no, razumete ...) Prosim, jasno razumejte - same številke je lahko absolutno karkoli, celota, ulomek, negativ, karkoli, ampak številčenje številk- strogo v redu!

Kako napisati napredovanje v splošni pogled? Brez problema! Vsaka številka v seriji je zapisana kot črka. Za označevanje aritmetične progresije se običajno uporablja črka a. Številka člana je označena z indeksom desno spodaj. Pojme pišemo ločene z vejicami (ali podpičji), takole:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- to je prva številka, a 3- tretji itd. Nič posebnega. To serijo lahko na kratko zapišemo takole: (a n).

Napredovanja se dogajajo končno in neskončno.

Ultimativno napredovanje ima omejena količinačlani. Pet, osemintrideset, karkoli. Ampak to je končno število.

Neskončno napredovanje - ima neskončno številočlani, kot morda ugibate.)

Zapisati končno napredovanje lahko greste skozi vrsto, kot je ta, vsi izrazi in pika na koncu:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Ali takole, če je članov veliko:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

IN kratka opomba boste morali dodatno navesti število članov. Na primer (za dvajset članov), takole:

(a n), n = 20

Neskončno napredovanje je mogoče prepoznati po elipsi na koncu vrstice, kot v primerih v tej lekciji.

Zdaj lahko rešite naloge. Naloge so preproste, zgolj za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.

Primeri nalog o aritmetičnem napredovanju.

Oglejmo si podrobneje zgoraj navedeno nalogo:

1. Izpišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Nalogo prenesemo na jasen jezik. Podana je neskončna aritmetična progresija. Druga številka tega napredovanja je znana: a 2 = 5. Razlika v napredovanju je znana: d = -2,5. Najti moramo prvi, tretji, četrti, peti in šesti člen tega napredovanja.

Zaradi jasnosti bom zapisal vrsto glede na pogoje problema. Prvih šest členov, kjer je drugi člen pet:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Zamenjaj v izraz a 2 = 5 in d = -2,5. Ne pozabite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretji člen se je izkazal za manjšega od drugega. Vse je logično. Če je število večje od prejšnjega negativno vrednost, kar pomeni, da bo samo število manjše od prejšnjega. Napredovanje se zmanjšuje. V redu, upoštevajmo to.) Štejemo četrti člen naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Torej so bili izračunani izrazi od tretjega do šestega. Rezultat je naslednja serija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Še vedno je treba najti prvi izraz a 1 Avtor: slavni drugi. To je korak v drugo smer, v levo.) Torej razlika aritmetične progresije d ne bi smeli dodati a 2, A odnesi:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je to. Odgovor na nalogo:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mimogrede bi rad opozoril, da smo to nalogo rešili ponavljajoče se način. to strašna beseda preprosto pomeni iskanje člana napredovanja glede na prejšnjo (sosednjo) številko. Spodaj si bomo ogledali druge načine dela z napredovanjem.

Iz te preproste naloge lahko potegnemo pomemben sklep.

Ne pozabite:

Če poznamo vsaj en člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdemo katerikoli člen te progresije.

Ali se spomniš? Ta preprost zaključek vam omogoča, da rešite večino težav šolski tečaj na to temo. Vse naloge se vrtijo okoli tri glavne parametri: člen aritmetične progresije, razlika progresije, število člena progresije. Vse.

Seveda vsa prejšnja algebra ni preklicana.) Neenakosti, enačbe in druge stvari so povezane z napredovanjem. Ampak glede na samo napredovanje- vse se vrti okoli treh parametrov.

Kot primer si poglejmo nekaj priljubljenih nalog na to temo.

2. Končno aritmetično progresijo zapišite kot niz, če je n=5, d = 0,4 in a 1 = 3,6.

Tukaj je vse preprosto. Vse je že dano. Zapomniti si morate, kako se štejejo člani aritmetičnega napredovanja, jih prešteti in zapisati. Priporočljivo je, da v pogojih nalog ne zamudite besed: "končno" in " n=5". Da ne šteješ, dokler ne boš popolnoma moder.) V tem napredovanju je samo 5 (pet) članov:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaja še zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Druga naloga:

3. Ugotovite, ali bo število 7 član aritmetične progresije (a n), če a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm ... Kdo ve? Kako nekaj določiti?

Kako-kako ... Zapiši napredovanje v obliki serije in poglej, ali bo tam sedmica ali ne! Štejemo:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Zdaj je jasno razvidno, da nas je šele sedem zdrsnil skozi med 6,5 in 7,7! Sedem ni sodilo v naš niz števil in zato sedem ne bo član danega napredovanja.

Odgovor: ne.

Tukaj je problem, ki temelji na prava možnost GIA:

4. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:

...; 15; X; 9; 6; ...

Tukaj je serija, napisana brez konca in začetka. Brez številk članov, brez razlike d. V redu je. Za rešitev problema je dovolj, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja. Poglejmo in poglejmo, kaj je mogoče vedeti iz te serije? Kateri so trije glavni parametri?

Članske številke? Tukaj ni niti ene številke.

Ampak tam so tri številke in - pozor! - beseda "dosleden" v stanju. To pomeni, da so številke strogo urejene, brez vrzeli. Ali sta v tej vrsti dva? sosednji znane številke? Ja, jaz imam! To sta 9 in 6. Torej lahko izračunamo razliko aritmetične progresije! Odštej od šest prejšnjištevilo, tj. devet:

Ostale so le malenkosti. Katero število bo prejšnje za X? Petnajst. To pomeni, da je X mogoče zlahka najti preprost dodatek. Razliko aritmetične progresije dodajte 15:

To je vse. odgovor: x=12

Naslednje probleme rešujemo sami. Opomba: te težave ne temeljijo na formulah. Čisto zato, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja.) Samo zapišemo niz številk in črk, pogledamo in ugotovimo.

5. Poiščite prvi pozitivni člen aritmetične progresije, če je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Znano je, da je število 5,5 člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 = 1,6; d = 1,3. Določite število n tega člena.

7. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Poiščite 3.

8. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Poiščite člen napredovanja, označen s črko x.

9. Vlak se je začel premikati s postaje in enakomerno povečeval hitrost za 30 metrov na minuto. Kolikšna bo hitrost vlaka čez pet minut? Odgovorite v km/h.

10. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Poiščite 1.

Odgovori (v razsulu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Je vse uspelo? Neverjetno! Za več lahko obvladate aritmetično progresijo visoka stopnja, v naslednjih lekcijah.

Se ni vse izšlo? Brez težav. V posebnem oddelku 555 so vse te težave razvrščene po delih.) In seveda je opisana preprosta praktična tehnika, ki takoj osvetli rešitev takšnih nalog jasno, jasno, na prvi pogled!

Mimogrede, v uganki vlaka sta dve težavi, ob kateri se ljudje pogosto spotaknejo. Ena je zgolj v smislu napredovanja, druga pa je splošna za morebitne probleme v matematiki in tudi fiziki. To je prevod dimenzij iz ene v drugo. Prikazuje, kako je treba te probleme reševati.

V tej lekciji smo si ogledali osnovni pomen aritmetične progresije in njene glavne parametre. To je dovolj za rešitev skoraj vseh težav na to temo. Dodaj d k številkam, napiši vrsto, vse se bo rešilo.

Rešitev s prsti dobro deluje za zelo kratke dele vrste, kot v primerih v tej vadnici. Če je serija daljša, postanejo izračuni bolj zapleteni. Na primer, če v nalogi 9 v vprašanju zamenjamo "pet minut" na "petintrideset minut" težava se bo znatno poslabšala.)

In obstajajo tudi naloge, ki so v bistvu preproste, vendar absurdne v smislu izračunov, na primer:

Podana je aritmetična progresija (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

Pa kaj, ali bomo dodajali 1/6 veliko, velikokrat?! Se lahko ubiješ!?

Lahko.) Če ne veste preprosta formula, ki vam omogoča, da takšne naloge rešite v minuti. Ta formula bo v naslednji lekciji. In ta problem je tam rešen. Čez minuto.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Koncept številskega zaporedja pomeni, da vsako naravno število ustreza nekemu dejanska vrednost. Takšen niz številk je lahko poljuben ali ima določene lastnosti– napredovanje. IN zadnji primer vsak naslednji element (člen) zaporedja je mogoče izračunati z uporabo prejšnjega.

Aritmetična progresija - zaporedje številčne vrednosti, v kateri se sosednji člani med seboj razlikujejo po enako število (podobno lastnino imajo vsi elementi serije, začenši z 2.). Ta številka– razlika med prejšnjim in naslednjim členom je konstantna in se imenuje progresijska razlika.

Razlika v napredovanju: definicija

Razmislite o zaporedju, sestavljenem iz j vrednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada množici naravnih števil N. Aritmetika progresija je po definiciji zaporedje, v katerem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vrednost d je želena razlika tega napredovanja.

d = a(j) – a(j-1).

Poudarek:

• Naraščajoče napredovanje, v tem primeru je d > 0. Primer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Zmanjševanje napredovanja, nato d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike in njeni poljubni elementi

Če sta znana 2 poljubna člena napredovanja (i-th, k-th), potem lahko razliko za dano zaporedje določimo na podlagi razmerja:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, kar pomeni d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika v napredovanju in njegovem prvem členu

Ta izraz bo pomagal določiti neznano vrednost samo v primerih, ko je znana številka elementa zaporedja.

Razlika napredovanja in njena vsota

Vsota progresije je vsota njenih členov. Za izračun skupne vrednosti prvih j elementov uporabite ustrezno formulo:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ampak ker a(j) = a(1) + d(j – 1), potem je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.