Neskončen prostor ali neskončen čas? Ali neskončnost obstaja?

Torej, s sprejetjem realnosti časa, lahko razložimo netrivialno strukturo vesolja. Toda kako dolgo lahko ostane kompleksen in strukturiran? Ali lahko neravnotežno stanje traja neomejeno dolgo? Morda živimo v »kompleksnem mehurčku« v ravnotežnem vesolju?

To nas pripelje do najbolj spolzkih tem v sodobni kozmologiji: neskončnosti prostora in časa. Ni bolj romantičnega koncepta od neskončnosti, toda v znanosti koncept vodi v zmedo. Predstavljajte si, da je vesolje neskončno v vesolju in povsod veljajo enaki zakoni, vendar so začetni pogoji izbrani naključno. To je Boltzmannovo vesolje. Skoraj vse v neskončnem vesolju je v termodinamičnem ravnovesju. Če se zgodi kaj zanimivega, je to samo zaradi nihanj. Ta nihanja se zgodijo nekje v vesolju in če je »nekje« neskončno veliko, potem se zgodi vsako nihanje, ne glede na to, kako malo verjetno je demon končna številka enkrat.

Zato je lahko naš del opazovanega vesolja preprosto statistično nihanje. Če je vesolje neskončno in je obseg našega opazljivega vesolja približno 93 milijard svetlobnih let, potem se bo tak del neskončno ponavljal v neskončnem prostoru. Torej, če je vesolje Boltzmannov model, obstajamo neskončno velikokrat.

To je v nasprotju z Leibnizovim načelom: v vesolju ni in ne more biti dveh enakih mest. A ne le njega. Predstavljajte si, da bi danes lahko bilo popolnoma drugače. Morda se nisem rodil. Poročil bi se s svojo prvo punco. Nekdo je, ne da bi upošteval nasvete prijateljev, pijan sedel za volan in ubil otroka. Tvoj bratranec je bil rojen v drugi, disfunkcionalni družini in je na koncu zagrešil množični umor. Inteligentni dinozavri so se razvili in rešili problem podnebne spremembe, in sesalci niso prevzeli plazilcev. Vse to bi se lahko zgodilo in spremenilo trenutno konfiguracijo vesolja. Vsaka takšna konfiguracija je možna konfiguracija atomov. Zato se v neskončnem prostoru vsak od njih pojavi neskončno velikokrat.

Grozljiv obet! Postavlja se na primer vprašanje: zakaj bi me moralo skrbeti za posledice mojih odločitev, če so vse druge odločitve že sprejeli drugi moji primerki na drugih področjih neskončnega vesolja? Svojega otroka lahko vzgajam na tem svetu, a naj me skrbi, da drugi otroci trpijo zaradi drugih?

Poleg teh etičnih vprašanj obstajajo tudi tista, ki zadevajo koristnost znanosti. Če se zgodi vse, kar se lahko zgodi, se področja, ki zahtevajo razlago, močno zmanjšajo. To zahteva načelo zadostnega razloga racionalni razlog v vsakem primeru, ko se v vesolju uresniči en scenarij in ne drug. A če so se vsi scenariji v vesolju že uresničili, ni treba ničesar razlagati. Seveda nam znanost lahko da vpogled lokalne razmere, ampak tudi to je zaman, saj bo pravi zakon rekel: vse, kar se lahko zgodi, se zgodi neskončno velikokrat, prav zdaj. Nekako je reductio ad absurdum Newtonova paradigma, uporabljena v kozmologiji, je še en primer kozmološke zmote. Jaz temu pravim Boltzmannova neskončna tragedija.

Eden od razlogov je ta napovedna moč fizika je bistveno zmanjšana: pomen koncepta verjetnosti ni več to, kar mislite. Recimo, da izvedete eksperiment, za katerega kvantna mehanika napove izid A 99 % časa, B 1 % časa. Poskus je bil izveden tisočkrat. V približno 990 primerih lahko pričakujete rezultat A. Če stavite na A, bi se počutili samozavestne, saj se bo A pojavil v približno 99 od 100 primerov, B pa v 1 od 100 primerov. Dobra priložnost za potrditev napovedi kvantne mehanike! Toda v neskončnem vesolju obstaja neskončno število kopij eksperimenta. Neskončno velikokrat opazujete izid A, neskončno velikokrat opazujete izid B. Torej napovedi kvantne mehanike, da je en izid eksperimenta opazovan 99-krat pogosteje kot drugi, ni mogoče preveriti v neskončnem vesolju.

IN kvantna kozmologija imenuje se problem merjenja. Po branju in spraševanju strokovnjakov sem prišel do zaključka, da je problem nerešljiv. Raje sprejmem kot dejstvo: kvantna mehanika dokazuje, da živimo v končnem vesolju, ki vsebuje samo en primerek mene.

Tragediji neskončnega vesolja se lahko izognemo tako, da zanikamo, da je vesolje neskončno v prostoru. Če seveda upoštevamo, da ga lahko opazujemo do določene razdalje, lahko mirno domnevamo, da je vesolje končno, vendar neomejeno, kot je verjel Einstein. Posledično ima vesolje topološko zaprto površino v obliki krogle ali torusa.

To ni v nasprotju z opažanji. Katera topologija je prava, je odvisno od povprečne ukrivljenosti prostora. Če je ukrivljenost pozitivna (primer krogle), obstaja le ena možnost - tridimenzionalni analog površine krogle v dvodimenzionalni topologiji. Če je povprečna ukrivljenost prostora enaka nič (primer ravnine), potem za končno vesolje obstaja samo ena možnost: tridimenzionalni analog površine torusa (krofa) v dvodimenzionalni topologiji. Če je ukrivljenost negativna (primer sedla), obstaja neskončno število možnosti za njeno topologijo. (Prezapleteni so, da bi jih opisali tukaj.) Njihovo katalogiziranje je zmagoslavje matematike poznega 20. stoletja.

Einsteinov predlog je hipoteza, ki jo je treba potrditi. Če je vesolje zaprto in dovolj majhno, bi morala svetloba večkrat obkrožiti okoli njega in morali bi videti več slik istih oddaljenih galaksij. Tega še niso odkrili. Obstajajo pa dobri razlogi domnevati, da kozmološka teorija je modeliran v prostor-času, katerega prostor je zaprt. Če vesolje ni zaprto, je neskončno. To je kontraintuitivno in pomeni, da obstaja meja v prostoru. Je neskončno daleč, a ga kljub temu informacija ne more premagati. Zatorej prostorsko neskončno vesolje ne more šteti za samozadosten sistem in ga je treba obravnavati kot del večji sistem, ki vključuje vse informacije, ki prihajajo z meje.

Če bi bile meje na končni razdalji od nas, bi si to lahko predstavljali zunaj vidno vesolješe je prostor. Informacije o meji se lahko posredujejo s tem, kar prihaja iz sveta onkraj te meje.

Zaradi neskončno oddaljene meje si ni mogoče predstavljati sveta onkraj nje. Preprosto moramo navesti, katere informacije prihajajo in katere prihajajo od nas, vendar je izbira poljubna. Nadaljnje razlage ne more biti. Posledično ničesar ni mogoče razložiti v okviru katerega koli modela vesolja z neskončno oddaljenimi mejami. Kršeno je načelo zaprtosti pojasnil, s tem pa tudi načelo zadostnega razloga.

Tu so tehnične podrobnosti. Toda ta argument je odločilen, čeprav ga kozmologi, ki menijo, da je vesolje prostorsko neskončno, ignorirajo, kolikor vem. Ne vidim drugega izhoda kot ta: vsak model vesolja mora biti prostorsko zaprt in brez meja. Nič ni neskončno oddaljenega, tako kot ni neskončnega prostora.

Zdaj pa se pogovorimo o neskončnosti časa.

Literatura o kozmologiji je polna misli o prihodnosti. Če je vesolje bolj podobno Leibnizovemu kot Boltzmannovemu modelu, potem je morda njegova življenjska doba končna? Morda na dolgi rok ne bomo umrli samo mi, ampak tudi vesolje? Predpostavka, da je v vesolju končno, nas osvobodi paradoksov, ki so del Boltzmannovega vesolja. Vendar ne od vseh. Prostorsko končno in zaprto Vesolje lahko živi neomejeno dolgo in če se ne krči, se bo večno širilo. Časa za dosego je neskončno toplotno ravnotežje. Če je tako, ni pomembno, koliko časa traja. Še bo čas, da se pojavijo nihanja in ustvarijo neverjetne strukture. Tako lahko rečemo, da se bo vse, kar se lahko zgodi, zgodilo neskončno velikokrat. To spet vodi do paradoksa Boltzmannovih možganov. Če naj načeli zadostnega razloga in identitete nerazločljivega držijo, se mora vesolje izogniti takšnemu paradoksalnemu koncu.

IN znanstvena literatura Pojavili so se poskusi ugibanj o daljni prihodnosti vesolja. Toda če želite razmišljati o daljni prihodnosti, morate narediti nekaj pomembnih predpostavk. Eden od njih je, da se naravni zakoni ne smejo spremeniti, saj če bi se, ne bi mogli ničesar predvideti. In ne bi smelo biti neodkritih pojavov, ki bi lahko spremenili tok zgodovine vesolja. Na primer, lahko obstajajo sile, ki so tako šibke, da jih še nismo odkrili, a kljub temu pridejo v poštev dolge razdalje in veliki časovni intervali, ki presegajo trenutno starost vesolja. Možno je. Toda takšen scenarij razveljavi vsako napoved, narejeno na podlagi obstoječega znanja. Presenečenj, kot so vesoljski »mehurčki«, ki prihajajo proti nam s svetlobno hitrostjo izza obzorja, ne bi smelo biti.

Tako lahko zanesljivo sklepamo naslednje.

Galaksije bodo prenehale proizvajati zvezde. Galaksije so velikanski stroji za spreminjanje vodika v zvezde. In ne preveč učinkovito: tipična spiralna galaksija vsako leto proizvede le približno eno zvezdo. Zdaj je vesolje (staro skoraj 14 milijard let) v glavnem sestavljeno iz prvobitnega vodika in helija. Čeprav je vodika veliko, bo iz njega nastalo končno število zvezd. Tudi če se ves vodik spremeni v zvezde, bodo vedno obstajale zadnja zvezda. In to je zgornja meja. Najverjetneje se bodo neravnovesni procesi, ki sodelujejo pri nastajanju zvezd, prenehali dolgo preden bo zmanjkalo vodika.

Zadnje zvezde bodo zgorele. Zvezde imajo omejeno življenjsko dobo. Masivne zvezde živijo več milijonov let in umrejo, ko postanejo supernove. Večina zvezd živi milijarde let in končajo kot bele pritlikavke. Prišel bo čas, ko bo ugasnila zadnja zvezda. Kaj pa potem?

Vesolje bo napolnjeno z materijo in temna snov, sevanje in temna energija. Dolgoročno dogajanje v vesolju je v veliki meri odvisno od temne energije, o kateri vemo najmanj. Povezan je s praznim prostorom. Po zadnjih podatkih predstavlja približno 73 % celotne mase-energije vesolja. Njegova narava še ni znana, vendar opazujemo njegov vpliv na gibanje oddaljenih galaksij. zlasti temna energija potreben za razlago nedavno odkritega pospeška univerzalne ekspanzije. Razen tega o temni energiji ne vemo ničesar. Lahko je preprosto kozmološka konstanta ali eksotična oblika energije s konstantno gostoto. Čeprav je gostota temne energije približno enaka, ne vemo, ali je res tako – ali se spreminja počasneje, kot zaznavamo.

Prihodnost vesolja se močno razlikuje glede na gostoto temne energije. Najprej razmislimo o scenariju, v katerem se gostota temne energije ohranja, ko se vesolje širi. Če je gostota konstantna, potem se obnaša kot Einsteinova kozmološka konstanta. Ne zmanjšuje se, kljub dejstvu, da se Vesolje še naprej širi. Gostota preostalega - vse snovi in ​​vsega sevanja - se zmanjšuje, ko se vesolje širi, energijska gostota teh virov pa se stalno zmanjšuje. Po nekaj deset milijardah let bo vse postalo nepomembno, razen gostote energije, povezane s kozmološko konstanto.

Jate galaksij zaradi eksponentna ekspanzija se bodo tako hitro razšli, da se bodo kmalu lahko videli. Fotoni, ki zapustijo en grozd in se širijo s svetlobno hitrostjo, se ne premikajo dovolj hitro, da bi dohiteli druge grozde. Opazovalci v vsaki skupini so obdani s horizontom, ki skriva svoje sosede. Vsak grozd se bo spremenil v zaprt sistem. Vsak horizont je kot škatla, katere stene ločujejo podsistem od vesolja. Zato so za tak podsistem uporabne metode fizike »v škatli«, nanje pa lahko uporabimo metode termodinamike.

Tukaj se pojavi nov učinek kvantne mehanike, zaradi katere je znotraj vsakega horizonta prostor napolnjen s plinom fotonov v termičnem ravnovesju: nastane nekakšna megla, ki nastane na enak način kot sevanje Hawkingove črne luknje. Temperatura in gostota radiacijski horizont izjemno nizke, vendar ostanejo nespremenjene, ko se vesolje širi. Medtem vse ostalo, vključno s snovjo in kozmičnim mikrovalovnim sevanjem ozadja, postaja vedno manj gosto in po dovolj velik čas edina stvar, ki bo napolnila vesolje, je sevanje obzorja. Vesolje mora za vedno vzpostaviti ravnovesje. Seveda bo prišlo do nihanj in njihovih recidivov in od časa do časa se bo ena ali druga konfiguracija vesolja natančno ponovila (vključno z Boltzmannovim možganskim paradoksom, ki sem ga v 16. poglavju opisal kot reductio ad absurdum Newtonova paradigma). Po tem scenariju je navidezna kompleksnost našega vesolja le kratek trenutek pred prehodom v večno ravnovesje.

Skoraj z gotovostjo lahko trdimo, da nismo Boltzmannovi možgani, ker potem verjetno ne bi videli velikega, urejenega vesolja. To pomeni, da scenarij za prihodnost vesolja ne ustreza realnosti. Tudi načelo zadostnega razloga, ki deluje skozi načelo istovetnosti nerazločljivega, ga zavrača.

Smrtju vesolja se najlažje izognemo tako, da ustavimo njegovo širjenje. To je mogoče, če je gostota snovi zadostna, da povzroči stiskanje. Snov gravitacijsko privlači materijo, to pa upočasnjuje širjenje, tako da če je materije dovolj, se vesolje sesede v singularnost. Ali pa bodo morda kvantni učinki ustavili kolaps, spreminjanje stiskanja v širjenje in vodili do nastanka novo vesolje. Najbrž pa ne bo dovolj snovi, ki bi upočasnila širitev.

Naprej najenostavnejši način izogibanje »toplotni smrti« se izvaja v scenariju, v katerem kozmološka konstanta ni konstantna. Medtem ko obstajajo dokazi, da se temna energija (ki jo za naše namene identificiramo s kozmološko konstanto) ni spremenila v življenjski dobi našega vesolja, ni dokazov, da se ne bo spremenila dolgoročno. Ta sprememba je lahko posledica globljih zakonov, ki delujejo tako počasi, da so njihovi učinki vidni le na dolgih časovnih lestvicah, ali pa je sprememba preprosto posledica splošni trend spremembe samih zakonov. Načelo medsebojnega vpliva namreč pravi, da mora na kozmološko konstanto vplivati ​​Vesolje, na katerega samo odločilno vpliva.

Kozmološka konstanta se lahko zmanjša na nič. Če je tako, potem se bo širitev vesolja upočasnila, vendar najverjetneje ne bo spremenila v stiskanje. Vesolje lahko obstaja večno, vendar je statično. Vsaj to bo pomagalo preprečiti Boltzmannov možganski paradoks.

Od tega je odvisno, ali se bo vesolje brez kozmološke konstante za vedno razširilo ali sesedlo začetni pogoji. Če je energija raztezanja zadostna za premagovanje medsebojnega gravitacijska privlačnost vse snovi v vesolju, slednja ne bo stisnjena. Toda tudi če je vesolje večno, obstaja veliko možnosti za ponovno rojstvo, saj lahko vsaka črna luknja povzroči zarodek vesolja. Kot je navedeno v 11. poglavju, obstajajo močni teoretični znaki, da bi se to moralo zgoditi. Če je tako, je naše vesolje, ki še zdaleč ne bo umrlo, proizvedlo že milijardo milijard potomcev. Vsako novo vesolje bo ustvarilo potomce in dejstvo, da lahko po tem umre, ni več pomembno.

Obstaja možnost za renesanso, ki ne vključuje samo črnih lukenj, ampak celotno vesolje. To hipotezo so proučevali v razredu kozmoloških modelov, imenovanih ciklični modeli. Ta naloga rešuje enega od cikličnih modelov Paula Steinhardta iz Univerza Princeton in Neil Turok iz Inštituta Perimeter. Predpostavlja se, da se kozmološka konstanta zmanjša na nič in nato še naprej upada do pomembne vrednosti negativne vrednosti. To vodi v propad vesolja. Vendar pa Steinhardt in Turok trdita, da propad spremlja širitev. To je lahko posledica učinkov kvantna gravitacija, ali končna singularnost morda ne bo dosežena zaradi ekstremnih vrednosti temne energije.

Teoretične navedbe, da kozmološka singularnost ne bo dosežena zaradi kvantne učinke, kar vodi do nove širitve vesolja, močnejše kot v primeru singularnosti, povezane s črno luknjo. V teoriji zanke kvantne gravitacije je več modelov kvantnih učinkov blizu kozmološka singularnost. Izkazalo se je, da je takšen odboj univerzalen pojav. Vendar je treba opozoriti, da so to le modeli in temeljijo na pomembnih predpostavkah. Ključna predpostavka je, da je vesolje prostorsko homogeno. Zagotovo vemo, da homogena območja - brez gravitacijskih valov in črnih lukenj - ne morejo povzročiti novih vesolj.

V najslabšem primeru zelo heterogena območja ne bodo doživela odboja. Preprosto se bodo zrušili v singularnost, kjer se čas ustavi. Vendar pa nam daje načelo, da določimo, v katerih delih vesolja se bo zgodil odboj in se bo vesolje samo reproduciralo. Če do odboja lahko pride le v bolj homogenih regijah, bodo ob rojstvu novih vesolj takoj po odboju tudi ta vesolja zelo homogena. To nam omogoča napovedati, da bo zgodnje vesolje takoj po odboju noter najvišja stopnja homogen in v njem ni črnih ali belih lukenj, ni gravitacijskih valov (primer našega Vesolja).

Toda da bi bil ciklični scenarij znanstven, mora obstajati vsaj ena napoved, ki jo je mogoče preizkusiti in na podlagi katere je mogoče preveriti hipoteze. Obstajata vsaj dva scenarija, povezana s spektrom nihanj IFI. Ciklični scenariji ponujajo razlago za tista nihanja, ki ne zahtevajo kratkega obdobja izjemno hitre inflacije (to se pogosto sprejema kot glavni vzrok nihanj). Opazovani spekter nihanj je uspešno reproduciran, vendar sta med napovedmi cikličnega in inflacijskega modela dve razliki, te napovedi pa je mogoče eksperimentalno preveriti zdaj ali v bližnji prihodnosti. Prvič, ali bodo gravitacijski valovi opazovani v spektru IFI? Inflacijski model pravi da, ciklični modeli pa to zanikajo. Slednji napovedujejo, da spekter kozmično mikrovalovno sevanje ozadja ni povsem naključna, kar pomeni, da bo oblika takšnega spektra odstopala od oblike Gaussove porazdelitve.

Ciklični modeli so dobri primeri, kako postulirati temeljno naravo koncepta časa (v smislu, da se čas ne začne z veliki pok, in obstajal že prej) vodi v kozmologijo, ki je sposobna narediti zanesljive napovedi. Nihanja MFI so opisana tudi v okviru teorij, ki kažejo, da v zgodnje vesolje hitrost svetlobe je bila višja od današnje. Te teorije spremenljive svetlobne hitrosti poudarjajo koncept časa na tak način, da kršijo načelo relativnosti. Niso tako priljubljeni, vendar ponujajo tudi razlago za nihanja IFI brez sklicevanja na inflacijo.

Roger Penrose je predlagal drug scenarij: vesolje povzroči novo vesolje. Penrose sprejema scenarij večnega Boltzmannovega vesolja s fiksno kozmološko konstanto in se sprašuje, kaj se bo zgodilo neskončen čas pozneje. (Samo Roger bi lahko postavil takšno vprašanje!) Kaj pa če, po vsem elementarni delci, z maso (vključno s protoni, kvarki in elektroni) bo razpadel, pri čemer bodo ostali le fotoni z drugimi brezmasnimi delci? Če je tako, potem prehoda v večnost ni mogoče zaznati, saj fotoni, ki se širijo s svetlobno hitrostjo, ne potrebujejo časa. Za foton se večnost poznega vesolja ne razlikuje od zgodnjega vesolja - edina razlika je temperatura. Res je, ta razlika je velika. Penrose misli, da ni pomembno. V okviru relacijskega opisa fotonskega plina so pomembna le razmerja med predmeti, ki obstajajo v tem trenutku, saj ni občutljivosti na skupno lestvico. Pozno vesolje, napolnjeno s plinom hladnih fotonov in drugih brezmasnih delcev, se ne razlikuje od zgodnjega vesolja, napolnjenega z vročim plinom istih delcev. Po principu istovetnosti nerazločljivih je pozno vesolje enako novorojenemu.

Penrosov scenarij se izvede šele po neskončnem časovnem obdobju in ne reši Boltzmannovega možganskega paradoksa. Vendar pa napoveduje, da so v ostankih velikega poka prisotne sledi nekdanjega vesolja. čeprav večina informacija bo uničena v neskončnem času, preživetem v stanju toplotnega ravnovesja, en nosilec informacije ne bo nikamor izginil - gravitacijsko sevanje. Informacije, ki jih prenašajo gravitacijski valovi, v cikličnih modelih ne izginejo. V trenutku odboja se ohrani in prenese v novo vesolje.

Najmočnejši signal, ki ga prenašajo gravitacijski valovi, je odtis trka velikih črnih lukenj, ki so bile v središču že davno izumrlih galaksij. Ti signali se kot valovi na vodi širijo po novem vesolju. Zato, meni Penrose, bi morali biti krogi vidni v MFI, katerega struktura je bila določena na zgodnja faza razvoj našega vesolja. To so sence dogodkov v nekdanjem vesolju.

Poleg tega Penrose predlaga prisotnost številnih koncentričnih krogov, ki izvirajo iz jat galaksij, v katerih je trčil več kot en par galaktičnih črnih lukenj. Ta osupljiva napoved je precej drugačna od tistih, narejenih na podlagi večine kozmoloških scenarijev za IFI.

Zdaj poteka razprava o tem, ali je mogoče opazovati koncentrične Penrosove kroge v MFI ali ne. Vendar, kot vidimo, so kozmološki scenariji, v katerih se je naše vesolje razvilo iz vesolja pred velikim pokom, sposobni napovedi, ki jih je mogoče potrditi ali ovreči. Nasprotno, v scenarijih, v katerih je vesolje eno izmed mnogih hkrati obstoječih svetov, ni in najverjetneje ne bo preverljivih napovedi.

V 10. poglavju sem izjavil: racionalna razlaga zakaj posebni zakoni in začetni pogoji, ki se izvajajo v našem vesolju, zahtevajo večkratno izbiro. Sicer bi lahko vedeli, zakaj točno takšna izbira, saj ni razloga, da bi izbrali iste začetne pogoje in iste zakone narave, ki bi bili večkrat zapored. Upošteval sem dva scenarija z več velikimi poki - simultanega in zaporednega. Le v slednjem primeru lahko zgradimo kozmološki model, ki bi odgovoril, zakaj so bili izbrani prav ti zakoni, hkrati pa ostal znanstven v smislu zmožnosti eksperimentalno preverljivih napovedi. V tem poglavju sem se vrnil k temu vprašanju in videli smo: le v primeru zaporednega ponovnega rojstva vesolja je mogoče pridobiti napovedi, ki jih je mogoče preveriti z eksperimentom.

Tako, ko delamo s časom kot temeljni koncept, kozmološki model postane znanstveno, ideje pa je mogoče preizkusiti. Tisti, ki so obremenjeni z metafizičnimi predpostavkami, da je namen znanosti odkrivanje večnih resnic, morda mislijo, da bodo z odpravo časa in iz vesolja naredili matematični objekt, prišli do znanstvene kozmologije. A izkazalo se je, da je ravno nasprotno. Charles S. Pierce več kot stoletje Pred tem sem spoznal: zakone narave lahko razložimo, če se razvijajo.

Kratek povzetek dela

Prostor brez neskončnosti

In res, če vesolje ni neskončno ...

Bi to lahko bilo?

Izkazalo se je, da lahko.

In niti ne v smislu, da zaseda del prostora. Vesolje lahko zaseda ves prostor, vendar ta prostor v matematiki nima mest, označenih z znakom ∞ (neskončnost).

Da bi to razumeli, moramo narediti le tri korake.

Najprej upodabljajmo tak prostor v splošnih obrisih in nato začnimo risati vse podrobnosti.

Torej, prvi korak.

Enodimenzionalni prostor.

V vsakdanjem razumevanju se nam zdi nekaj podobnega številski premici.

Na ravni črti označimo izhodišče referenčne točke – točko O in od nje v eno smer z znakom plus (+), v drugo z znakom minus (-), v enakih presledkih, ki jih imenujemo merska enota, naredimo oznake +1, +2, +3, ... ,+ ∞ in ustrezno -1, -2, -3, …, - ∞. To pomeni, da so na obeh straneh znaki ∞ - to je enodimenzionalni neskončni prostor.

Tukaj postavimo naše vprašanje: "Ali lahko obstaja enodimenzionalni prostor, ki ne vsebuje ∞?"

Izkazalo se je, da lahko.

V začetni skici bomo podali le tiste primere, ki bodo potrebni in zadostni, da bomo razumeli bistvo in nadaljnji logični opis naslednjih korakov. Hkrati se bomo poskušali izogniti uvajanju novih definicij.

Narišimo krog.

Tudi to je enodimenzionalen prostor.

Toda kakor koli že označite tak prostor, če za mersko enoto vzamemo neko končno vrednost, potem znaka ∞ ni mogoče postaviti nikjer v tak prostor.

Ta krog je lokalni primer enodimenzionalnega prostora, ki ne vsebuje znaka ∞.

Drugi korak.

Dvodimenzionalni prostor.

Na ravnino narišimo dve med seboj pravokotni premici. Označimo jih na povsem enak način kot premico v prvem koraku, pri čemer za vsako izhodišče vzamemo presečišče. Tako definiramo dvodimenzionalni neskončni prostor.

Tukaj spet postavimo naše vprašanje: "Ali lahko obstaja dvodimenzionalni prostor, ki ne vsebuje ∞?"

Izkazalo se je, da tudi lahko.

Vzemite globus.

Ne glede na to, kako označite njegovo površino, znaka ∞ ne boste mogli postaviti nikamor.

Ta krogla je lokalni primer dvodimenzionalnega prostora, ki ne vsebuje ∞.

Preidimo na tretji korak.

Skozi presečišče dveh med seboj pravokotnih premic narišemo tretjo premico, pravokotno na prvi dve. Označimo ga popolnoma enako kot v prvih dveh korakih. Dobimo tridimenzionalni neskončni prostor oziroma natančneje način prikaza le-tega – kartezični koordinatni sistem.

Postavimo začetno vprašanje: "Ali lahko obstaja prostor, ki ne vsebuje znaka ∞?"

Izkazalo se je, da lahko.

Tukaj ni mogoče podati lokalnega primera, podobnega primeroma v prvih dveh korakih.

Ti lokalni primeri so bili podani samo zato, da bi dobili način za prikaz takšnega prostora kartezični sistem koordinate, s katerimi bomo lahko določili način izračuna idealno definiranega prostora - prostora, ki ne vsebuje znaka ∞, v globalnem smislu.

Preidimo na način prikaza idealno definiranega prostora v kartezičnem koordinatnem sistemu.

Vrnimo se k enodimenzionalnemu prostoru.

Kako lahko prikažete krog na črti?

Označimo poljubno točko na krogu in jo vzamemo za izhodišče, pri čemer jo označimo popolnoma enako kot na ravni črti - O (z vrednostjo nič). Od točke O izmerimo polovico kroga v katero koli smer in to oznako označimo kot točko M (to je OM - pol kroga v katero koli smer). Od točke O v eno smer z znakom (+), v drugo z znakom minus (-), s popolnoma enakimi v......

Teorija relativnosti gleda na prostor in čas kot na enotno izobraževanje, tako imenovani »prostor-čas«, v katerem imajo časovne koordinate enako pomembno vlogo kot prostorske. Zato v zelo splošni primer z vidika relativnostne teorije lahko govorimo le o končnosti ali neskončnosti tega posebnega združenega »prostora - časa«. Potem pa vstopimo v tako imenovani štiridimenzionalni svet, ki ima povsem posebne geometrijske lastnosti, ki se najbolj bistveno razlikujejo od geometrijske lastnosti tridimenzionalnega sveta, v katerem živimo.

In neskončnost oziroma končnost štiridimenzionalnega »prostora-časa« še vedno nič ali skoraj nič ne pove o prostorski neskončnosti vesolja, ki nas zanima.

Po drugi strani pa štiridimenzionalna teorija relativnosti »prostor-čas« ni le priročen matematični aparat. V celoti odraža določene lastnosti, odvisnosti in vzorci resničnega vesolja. In zato smo pri reševanju problema neskončnosti prostora z vidika teorije relativnosti prisiljeni upoštevati lastnosti "prostora - časa". Že v dvajsetih letih tega stoletja je A. Friedman pokazal, da v okviru teorije relativnosti ločena formulacija vprašanja prostorske in časovne neskončnosti vesolja ni vedno mogoča, ampak le pod določenimi pogoji. Ti pogoji so: homogenost, to je enakomerna porazdelitev snovi v vesolju, in izotropnost, to je enake lastnosti v kateri koli smeri. Samo v primeru homogenosti in izotropnosti se enoten »prostor-čas« razcepi na » homogen prostor" in univerzalni "svetovni čas".

Toda, kot smo že omenili, je resnično vesolje veliko bolj zapleteno kot homogeni in izotropni modeli. To pomeni, da se štiridimenzionalna krogla relativnostne teorije, ki ustreza realnemu svetu, v katerem živimo, v splošnem primeru ne razcepi na »prostor« in »čas«. Torej, tudi če z naraščajočo natančnostjo opazovanja lahko izračunamo povprečna gostota(in torej lokalne ukrivljenosti) za našo Galaksijo, za jato galaksij, za opazovano območje vesolja - to še ne bo rešitev vprašanja prostorskega obsega vesolja kot celote.

Mimogrede je zanimivo omeniti, da se lahko nekatere regije vesolja res izkažejo za končne v smislu zaprtja. In ne samo prostor Metagalaksije, ampak tudi katero koli območje, v katerem so dovolj močne mase, ki povzročajo močno ukrivljenost, na primer prostor kvazarjev. Toda, ponavljamo, to še vedno ne pove ničesar o končnosti ali neskončnosti vesolja kot celote. Poleg tega končnost oziroma neskončnost prostora ni odvisna samo od njegove ukrivljenosti, ampak tudi od nekaterih drugih lastnosti.

Torej, ko trenutno stanje splošne teorije relativnosti in astronomskih opazovanj ne moremo dobiti dovolj popolnega odgovora na vprašanje o prostorski neskončnosti Vesolja.

Pravijo, da je slavni skladatelj in pianist F. Liszt eno od svojih klavirskih del opremil z navodili za izvajalca: »hitro«, »še hitreje«, »čim hitreje«, »še hitreje« ...

Ta zgodba nehote pride na misel v povezavi s preučevanjem vprašanja neskončnosti vesolja. Že iz zgoraj povedanega je povsem očitno, da je ta problem izjemno kompleksen.

Pa vendar je še neizmerno bolj zapleteno ...

Razložiti pomeni zmanjšati na znano. Podobna tehnika se uporablja v skoraj vseh znanstveno raziskovanje. In ko poskušamo rešiti vprašanje geometrijskih lastnosti vesolja, si prizadevamo tudi reducirati te lastnosti na znane koncepte.

Lastnosti vesolja so tako rekoč "merjene" s tistimi, ki obstajajo v v tem trenutku povzetek matematičnih pojmov o neskončnosti. Toda ali te ideje zadostujejo za opis vesolja kot celote? Težava je v tem, da so bili razviti večinoma neodvisno, včasih pa povsem neodvisno od problemov preučevanja vesolja, vsekakor pa na podlagi raziskav. omejeno območje prostora.

Tako se rešitev vprašanja o resnični neskončnosti Vesolja spremeni v nekakšno loterijo, pri kateri verjetnost dobitka, tj. naključno naključje vsaj dovolj veliko število lastnosti realnega vesolja z enim od formalno izpeljanih standardov neskončnosti zelo nepomembna.

Osnova sodobnih fizikalnih predstav o vesolju je t.i posebna teorija relativnost. Po tej teoriji so prostorski in časovni odnosi med različnimi okolji okoli nas realni predmeti niso absolutni. Njihov značaj je v celoti odvisen od stanja gibanja danega sistema. Tako se v gibljivem sistemu tempo časa upočasni, vse dolžinske lestvice, tj. velikosti razširjenih predmetov so zmanjšane. In to zmanjšanje je močnejše, večja je hitrost gibanja. Ko se približujemo svetlobni hitrosti, ki je največja možna hitrost v naravi se vse linearne lestvice neomejeno zmanjšujejo.

Če pa so vsaj nekatere geometrijske lastnosti prostora odvisne od narave gibanja referenčnega sistema, torej so relativne, imamo pravico zastaviti vprašanje: ali nista pojma končnosti in neskončnosti tudi relativna? Navsezadnje so najtesneje povezani z geometrijo.

IN zadnja leta Slavni sovjetski kozmolog A. L. Zelmapov je proučeval ta nenavaden problem. Uspelo mu je odkriti dejstvo, ki je bilo na prvi pogled naravnost neverjetno. Izkazalo se je, da je lahko prostor, ki je v fiksnem referenčnem sistemu končen, glede na premikajoči se koordinatni sistem hkrati neskončen.

Morda se ta ugotovitev ne bo zdela tako presenetljiva, če se spomnimo zmanjšanja lestvic v gibljivih sistemih.

Priljubljena predstavitev kompleksna vprašanja moderno teoretična fizika zelo oteženo zaradi dejstva, da v večini primerov ne omogočajo vizualnih razlag in analogij. Kljub temu bomo zdaj poskušali podati eno analogijo, vendar pri njeni uporabi ne bomo pozabili, da je zelo približna.

Predstavljajte si, da vesoljska ladja drvi mimo Zemlje s hitrostjo, ki je na primer enaka dvema tretjinama svetlobne hitrosti - 200.000 km/s. Potem je treba po formulah relativnostne teorije opaziti zmanjšanje vseh lestvic za polovico. To pomeni, da bodo z vidika astronavtov na ladji vsi segmenti na Zemlji postali pol krajši.

Zdaj pa si predstavljajte, da imamo, čeprav zelo dolgo, vendar še vedno končno ravno črto, in jo merimo z uporabo neke enote dolžine, na primer z metrom. Za opazovalca, ki se nahaja v vesoljska ladja, ki drvi s hitrostjo, ki se približuje svetlobni hitrosti, se bo naš referenčni meter skrčil na točko. In ker je tudi na končni premici nešteto točk, bo za opazovalca na ladji naša premica postala neskončno dolga. Približno enako se bo zgodilo glede obsega površin in volumnov. Posledično lahko končna področja prostora postanejo neskončna v gibljivem referenčnem okviru.

Še enkrat ponavljamo - to nikakor ni dokaz, ampak le precej groba in daleč od popolne analogije. Ampak daje nekaj ideje fizična oseba zanimiv pojav.

Spomnimo se, da se v gibajočih se sistemih ne zmanjša le obseg, ampak se upočasni tudi tok časa. Iz tega sledi, da se lahko trajanje obstoja nekega predmeta, končnega glede na fiksni (statični) koordinatni sistem, v gibljivem referenčnem sistemu izkaže za neskončno dolgo.

Tako iz del Zelmanova izhaja, da sta lastnosti "končnosti" in "neskončnosti" prostora in časa relativni.

Seveda pa vseh teh na prvi pogled precej »ekstravagantnih« rezultatov ni mogoče šteti za vzpostavitev nekih univerzalnih geometrijskih lastnosti resničnega Vesolja.

Toda zahvaljujoč njim lahko naredite izjemno pomemben zaključek. Tudi z vidika relativnostne teorije je koncept neskončnosti vesolja veliko bolj kompleksen, kot so si do zdaj predstavljali.

Zdaj obstajajo vsi razlogi za pričakovanje, da če bo kdaj ustvarjena teorija, ki je bolj splošna od teorije relativnosti, se bo v okviru te teorije vprašanje neskončnosti vesolja izkazalo za še bolj zapleteno.

Ena glavnih določb moderna fizika, je njen temelj zahteva po tako imenovani invariantnosti fizičnih izjav glede na transformacije referenčnega sistema.

Nespremenljivo - pomeni "ne spreminjati se". Da bi si bolje predstavljali, kaj to pomeni, vzemimo za primer nekaj geometrijskih invariant. Tako so krožnice s središči v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema rotacijske invariante. Na vsakem koraku koordinatne osi glede na izvor se takšni krogi spreminjajo sami vase. Premice, pravokotne na os "OY", so invariante transformacij prenosa koordinatnega sistema vzdolž osi "OX".

Toda v našem primeru govorimo o invariantnosti bolj v širšem smislu besede: katera koli izjava samo takrat ima fizični pomen, kadar ni odvisen od izbire referenčnega sistema. V tem primeru je treba referenčni sistem razumeti ne le kot koordinatni sistem, temveč tudi kot metodo opisa. Ne glede na to, kako se spreminja način opisovanja, mora fizikalna vsebina preučevanih pojavov ostati nespremenjena in nespremenljiva.

Preprosto je videti, da to stanje ni samo fizično, ampak tudi temeljno, filozofski pomen. Odseva željo znanosti, da razjasni pravi, resnični potek pojavov in izključi vsa popačenja, ki jih lahko v ta potek vnese sam proces znanstvenega raziskovanja.

Kot smo videli, iz del A. L. Zelmanova izhaja, da niti neskončnost v prostoru niti neskončnost v času ne izpolnjujeta zahteve po invariantnosti. To pomeni, da koncepti časovne in prostorske neskončnosti, ki jih trenutno uporabljamo, ne odražajo v celoti resničnih lastnosti sveta okoli nas. Zato očitno sama formulacija vprašanja o neskončnosti vesolja kot celote (v prostoru in času) z moderno razumevanje neskončnost nima fizičnega pomena.

Dobili smo še en prepričljiv dokaz, da so »teoretični« koncepti neskončnosti, ki jih je znanost o vesolju doslej uporabljala, po naravi zelo, zelo omejeni. Na splošno je bilo to mogoče ugibati že prej, saj je realni svet vedno veliko bolj kompleksen od kateregakoli »modela« in lahko govorimo le o bolj ali manj natančnem približku realnosti. Toda v tem primeru je bilo še posebej težko oceniti tako rekoč na oko, kako pomemben je bil dosežen pristop.

Zdaj se vsaj kaže pot, ki ji je treba slediti. Očitno je naloga najprej razviti sam koncept neskončnosti (matematične in fizične) na podlagi študije stvarne lastnosti Vesolje. Z drugimi besedami: ne "poskusiti" vesolja s teoretičnimi idejami o neskončnosti, ampak, nasprotno, te teoretične ideje z resničnim svetom. Samo ta raziskovalna metoda lahko pripelje znanost do pomembnega napredka na tem področju. Nobeno abstraktno logično sklepanje ali teoretični sklepi ne morejo nadomestiti dejstev, pridobljenih z opazovanji.

Verjetno je najprej treba razviti invariantni koncept neskončnosti, ki temelji na študiji resničnih lastnosti vesolja.

In na splošno očitno ni takšnega univerzalnega matematičnega ali fizičnega standarda neskončnosti, ki bi lahko odražal vse lastnosti resničnega vesolja. Z razvojem znanja bo število vrst neskončnosti, ki jih poznamo, samo po sebi raslo za nedoločen čas. Zato najverjetneje vprašanje, ali je vesolje neskončno, nikoli ne bo dobilo enostavnega odgovora "da" ali "ne".

Na prvi pogled se morda zdi, da v zvezi s tem preučevanje problema neskončnosti vesolja na splošno izgubi vsak pomen. Vendar, prvič, ta problem se v takšni ali drugačni obliki na določenih stopnjah sooča z znanostjo in ga je treba rešiti, in drugič, poskusi njegove rešitve vodijo do številnih plodnih odkritij na tej poti.

Nazadnje je treba poudariti, da je problem neskončnosti vesolja veliko širši kot le vprašanje njegove prostorske razsežnosti. Prvič, ne moremo govoriti le o neskončnosti »v širino«, ampak tako rekoč tudi »v globino«. Z drugimi besedami, treba je dobiti odgovor na vprašanje, ali je prostor neskončno deljiv, zvezen ali pa so v njem minimalni elementi.

Trenutno se s to težavo že soočajo fiziki. Resno se razpravlja o možnosti tako imenovane kvantizacije prostora (pa tudi časa), to je selekcije nekaterih "elementarnih" celic v njem, ki so izjemno majhne.

Prav tako ne smemo pozabiti na neskončno raznolikost lastnosti vesolja. Navsezadnje je vesolje najprej proces. značilne lastnosti od katerih so neprekinjeno gibanje in nenehni prehodi snovi iz enega stanja v drugo. Neskončnost Vesolja je torej tudi neskončna raznolikost oblik gibanja, vrst snovi, fizikalni procesi, odnosi in interakcije ter celo lastnosti določenih predmetov.

Ali neskončnost obstaja?

V povezavi s problemom neskončnosti vesolja se zdi na prvi pogled nepričakovano vprašanje. Ali ima sam koncept neskončnosti pravi pomen? Ali ni le pogojno? matematična konstrukcija, ki ji v resničnem svetu sploh nič ne ustreza? Tega stališča so v preteklosti zagovarjali nekateri raziskovalci, zagovornike pa ima še danes.

Toda znanstveni podatki kažejo, da pri preučevanju lastnosti resnični svet v vsakem primeru se soočamo s tem, kar lahko imenujemo fizična ali praktična neskončnost. Na primer, srečamo tako velike (ali tako majhne) količine, da se z določenega vidika ne razlikujejo od neskončnosti. Te količine se nahajajo onkraj kvantitativne meje, preko katere morebitne nadaljnje spremembe nimajo več opaznega vpliva na bistvo obravnavanega procesa.

Neskončnost torej nedvomno obstaja objektivno. Še več, tako v fiziki kot v matematiki se skoraj na vsakem koraku soočamo s konceptom neskončnosti. To ni nesreča. Obe vedi, predvsem pa fizika, kljub navidezni abstraktnosti mnogih določb na koncu vedno izhajata iz realnosti. To pomeni, da ima narava, vesolje, dejansko nekatere lastnosti, ki se odražajo v konceptu neskončnosti.

Skupnost teh lastnosti lahko imenujemo prava neskončnost vesolja.

Različne neskončnosti

Infinity je eden izmed njih matematične slike, kar si težko predstavljajo ne samo nestrokovnjaki, ampak tudi znanstveniki. En slavni matematik, ki je poučeval geometrijo na fizikalnem oddelku moskovske univerze, je študentom zaupno priznal, da ko si poskuša predstavljati neskončnost, čuti, da se mu zamegli um.

Kljub temu pa se morajo matematiki, fiziki in astrofiziki v svojih raziskavah ukvarjati z neskončnostjo, z neskončnostjo velike količine in z njimi operirajo. Poleg tega se izkaže, da so neskončnosti lahko različne in jih je mogoče celo primerjati med seboj.

Najenostavnejša, najbolj »elementarna« neskončnost in hkrati »najmanjša« je neskončnost števil v naravnem nizu. Pridobite ga lahko tako, da eno enoto za drugo dodajate eni znova in znova.

Ker takšna operacija ni z ničemer omejena in jo je mogoče ponavljati poljubno dolgo, je rezultat neskončna množica celih števil - »števna« množica, kot jo imenujejo matematiki. Ta neskončnost, priročna v mnogih pogledih, igra vlogo neke vrste "merilnega ravnila", nekakšnega standarda za merjenje drugih neskončnosti. Če želite to narediti, morate poskusiti preprosto oštevilčiti njihove elemente. In poglejte, kaj nastane iz tega ...

Samo? Zakaj ne? Znamo šteti od ena in tako naprej. Tu pa nas čaka povsem nepričakovano presenečenje. Eden tistih, ki jih srečamo skoraj na vsakem koraku, ko imamo opravka z neskončnostmi. Na primer, "uporabimo" naš standard za neskončno množico vseh sodih števil. Oštevilčimo dve, najmanjše sodo število, kot ena, štiri kot dve, šest kot tri in tako naprej, in tako naprej ... In presenečeni bomo ugotovili, da ni le dovolj števil, da bi označili vsa soda števila. - to je bilo pričakovano, – vendar so še proste sobe.

Izkazalo se je, da sta obe neskončnosti – štetna in neskončnost vseh sodih števil – enaki? Kako to? Navsezadnje je od vsakih dveh zaporednih števil v naravnem nizu samo eno sodo. To pomeni, da bi moralo biti takih števil pol manj kot vseh celih števil! Z drugimi besedami, množica vseh sodih števil je le del množice vseh celih števil. In ustrezne neskončnosti so enake, imajo, kot pravijo matematiki, enako moč.

Ampak to se ne zgodi, ne more biti! Množica katerega koli predmeta ne more biti enaka svojemu delu! Da, res ne more, dokler imamo opravka s končnimi tvorbami. Toda neskončnosti imajo svoje zakone - seveda bizarne z običajnega vidika - a kljub temu precej stroge. Mimogrede, Galileo je opozoril na dejstvo, da so lahko neskončne množice enake svojim podmnožicam ... Na njegovo veliko presenečenje!

Vendar pa vsako odkritje, kot že vemo, neizogibno prinaša nova vprašanja. Ta, o kateri govorimo, ni izjema. Postavlja se na primer naslednje vprašanje: ali obstajajo neskončne množice, ki so »močnejše« od preštevnih? Tukaj je odsek ravne črte. Koliko pik je lahko na njem? Jasno je, da jih je nešteto. Toda koliko natančno?

Ponovno se zatecimo k pomoči našega standarda - števne množice. In na koncu bomo ugotovili, da je tokrat v naravni vrsti premalo števil, da bi lahko oštevilčili vse točke odseka, ki smo ga izbrali. V matematiki je v zvezi s tem dokazan strogi izrek: ne glede na to, koliko točk na odseku oštevilčimo, vedno obstajajo točke, za katere v naravnem nizu ni dovolj števil. Tako smo odkrili neskončnost več visokega reda, kot štetna množica - neskončnost, imenovana kontinuum. Vendar kontinuum ni meja. Načeloma je mogoče konstruirati neskončnosti poljubno visokega ranga.

Vrnimo se k vprašanju geometrijskih lastnosti vesolja. Morda ste opazili, da se pri razpravi o tem problemu omenja bodisi možna neskončnost svetovnega prostora bodisi njegova neomejenost. V »navadnem« svetu, za katerega velja evklidska geometrija, ista geometrija, ki jo preučujemo v šoli, so ti pojmi v bistvu enakovredni, pomenijo isto stvar. Čeprav je še vedno nekaj razlik. Strogo gledano je neskončnost kvantitativna, »metrična« lastnost: neskončnost dolžine, površine, prostornine. Kaj pa neomejeno?..

»Kaj želimo izraziti, ko rečemo, da je naš prostor neskončen? – je zapisal Einstein, ki je imel to posrečeno sposobnost izražanja najbolj abstraktnih idej s pomočjo vizualnih podob. - Nič drugega kot dejstvo, da lahko eno stvar uporabimo za drugo enaka telesa, recimo kocke v poljubnem številu, hkrati pa ne bomo nikoli zapolnili prostora. Takšne gradnje ne bo nikoli konec. Vedno se bo našel prostor za dodajanje še kakšne kocke ...«

To je neskončni prostor. Kar zadeva neomejenost, je ta lastnost strukturna, kot pravijo matematiki, topološka. Ta okoliščina je bila nekoč še posebej poudarjena izjemen matematik Bernhard Riemann.

"Ob upoštevanju prostorske konstrukcije v smeri neskončno velikega,« je opozoril, »je treba razlikovati med lastnostma neomejenosti in neskončnosti: prva je lastnost razširitve, druga je metrična lastnost.«

V evklidskem prostoru je neskončna vsaka črta, ki jo lahko podaljšujemo v nedogled. A živimo v ukrivljenem svetu... V takem svetu se neskončnost in neomejenost razlikujeta še toliko bolj pomembno. Do bistva – še en nepričakovan paradoks – da je neomejen prostor lahko neskončen, torej brez meje, »roba« ali končen!

Da nekoliko omilimo ta zadnji udarec zdravi pameti, uporabimo analogijo. Analogij v znanosti ni strogi dokazi, vendar nam omogočajo, da bolje razumemo bistvo določenih kompleksnih pojavov.

Predstavljajte si navadno kroglo končnega polmera. Sferična površina je dvodimenzionalna tvorba, ukrivljena v tridimenzionalni prostor. Predstavljajte si neko fantastično ravno bitje, ki živi na tej površini in niti ne sumi, da obstaja nekakšna tretja dimenzija. Ko potuje skozi njegov ukrivljeni svet v katero koli smer, to bitje nikoli ne bo naletelo na nobeno mejo. In v tem smislu je površina žoge neomejen prostor. Ker pa je polmer naše krogle končen, je končna tudi njena površina. Tako se je pred nami pojavil neomejen in hkrati končen svet v vsej svoji resničnosti. Izkazalo se je, da je mogoče, kar se je na prvi pogled zdelo popolnoma nemogoče.

Naslednji korak bo od nas zahteval več večja moč domišljija. Govorili bomo o tridimenzionalni krogli, ki se nahaja v štiridimenzionalnem prostoru ... Nam, bitjem tridimenzionalnega sveta, žal ni nič manj težko vizualizirati takšne situacije kot namišljenemu prebivalcu sferično površino, da si predstavljamo dvodimenzionalno kroglo, ukrivljeno v tridimenzionalnem prostoru.

Toda v teoriji relativnosti je naš svet videti točno tako: ukrivljen je v štiridimenzionalnem prostoru, kjer pa je vloga četrta dimenzijačas teče. Po Einsteinu živimo v štiridimenzionalnem "prostoru-času". Ob istem času velik fizik verjeli, da ima naš ukrivljeni svet končno prostornino, je tako rekoč zaprt sam vase.

Zgodovina preučevanja geometrijskih lastnosti vesolja je naredila nov oster obrat. Klasične Newtonove zamisli o neskončnem in brezmejnem prostoru je bilo treba opustiti. Odigrali so svojo vlogo, vendar se je svet izkazal za bolj zapletenega.

Tako je bil storjen še en izjemno pomemben korak pri razumevanju skritih lastnosti našega sveta. Vendar pa je matematični ali natančneje geometrijski model našega vesolja zgrajen splošna teorija relativnost, sama po sebi še ni mogla veljati za dokaz končnosti realnega prostora. Toda sam Einstein je menil, da je ta možnost najbolj razumna.

Vendar to ni bil konec poti. Bilo je še zelo, zelo daleč. Nova raven, ki jo je doseglo preučevanje geometrijskih lastnosti našega sveta, je sprožila celo vrsto vprašanj, na katera še ni odgovorov.