Vrste simetrije, podobnostna transformacija in njene lastnosti. Geometrijske transformacije

75. Primeri oblikovnih transformacij.

Transformacije figur se preučujejo pri geometriji na ravnini in v prostoru. Če vsako točko danega lika na ravnini ali v prostoru na nek način premaknemo, dobimo nov lik. Pravijo, da je ta številka pridobljena s transformacijo iz te. Tukaj je nekaj primerov preoblikovanja oblik.

1. Simetrija glede na točko ( centralna simetrija). Simetrija glede na točko je definirana na naslednji način. Naj bo O fiksna točka in X poljubna točka. Za točko pravimo, da je simetrična točki X glede na točko O, če točki ležita na isti premici in točki, simetrična točka O, sama točka O. Na sliki so 203 točke X in simetrične glede na točko O.

Naj F - ta številka in O je fiksna točka ravnine. Preoblikovanje lika F v lik, pri katerem gre vsaka njegova točka X v točko, simetrično na X glede na dano točko O, imenujemo preoblikovanje simetrije glede na točko O. Slika 204 prikazuje simetrično glede na središče O.

Slika 205 prikazuje dve kocki, simetrični glede na točko O.

Če se transformacija simetrije glede na točko O prevede

lik vase, potem imenujemo lik centralno simetričen, točka O pa njegovo simetrično središče. Na primer, paralelogram je središčno simetrična figura. Središče njegove simetrije je točka presečišča diagonal (slika 206, a). Krožnica s središčem O je tudi središčno simetrična figura s središčem simetrije O (slika 206, b) Vse naštete figure so ploščate.

V prostoru, pa tudi na ravnini, je veliko primerov sredinsko simetričnih likov. Na primer, slika 207 prikazuje naslednje figure: kocka, krogla, paralelepiped.

2. Simetrija glede ravne črte ( osna simetrija). Naj bo I fiksna premica (slika 208). Za točko pravimo, da je simetrična točki X glede na premico I, če je premica pravokotna na premico I in kjer je O točka presečišča premic in I. Če točka X leži na premica I, potem je točka, ki je simetrična na točko, sama točka X. Na sliki 208, točke pa so simetrične glede na premico I.

Transformacija figure F, pri kateri gre vsaka točka X v točko, ki je simetrična glede na premico I, se imenuje transformacija simetrije glede na premico I. V tem primeru se figure imenujejo simetrične glede na premico I.

ravna črta I. Slika 208, b prikazuje kroge, simetrične glede na ravno črto I.

Slika 209 prikazuje dve krogli, simetrični glede na premico I.

Če transformacija simetrije glede na premico I pretvori lik F v samega sebe, potem se lik imenuje simetričen glede na premico 19, premica I pa se imenuje simetrijska os lika.

Na primer, ravne črte, ki potekajo skozi presečišče diagonal pravokotnika, vzporednega z njegovimi stranicami, so osi simetrije pravokotnika (slika 210, a). Ravne črte, na katerih ležijo diagonale romba, so njegove simetrijske osi (slika 210, b). Krog je simetričen glede na katero koli ravno črto, ki poteka skozi njegovo središče (slika 210, c). Vse te figure so ravne.

V vesolju, pa tudi na ravnini, je veliko primerov figur, ki imajo osi simetrije. Slika 211 prikazuje naslednje figure: to so kvader, stožec, pravilna štirikotna piramida.

3. Simetrija glede na ravnino. Naj bo a poljubna fiksna ravnina. Iz točke X spustimo navpičnico na ravnino a (O je njena presečišče z ravnino a) in v njenem podaljšku čez točko O

odložite segment enako Točkam X in se imenujejo simetrični glede na ravnino a (slika 212).

Transformacija figure F, pri kateri vsaka točka X figure F prehaja v točko, simetrično X glede na ravnino a, se imenuje transformacija simetrije glede na ravnino. V tem primeru se figure imenujejo simetrične glede na ravnino

Slika 213 prikazuje dve krogli, simetrični glede na ravnino a.

Če transformacija simetrije glede na ravnino pretvori lik v samega sebe, potem rečemo, da je lik simetričen glede na ravnino; ravnino imenujemo ravnina simetrije.

Slika 214 prikazuje dve simetrijski ravnini krogle. Upoštevajte, da ima krogla takšne simetrijske ravnine neskončen niz. Kocka ima tudi simetrijske ravnine. Slika 215 prikazuje dva izmed njih.

4. Homotetija. Naj bo F dana figura in O fiksna točka (slika 216). Sprehodimo vas skozi poljubna točka X figure F je žarek in nanj narišite odsek, ki je enak, kjer je - pozitivno število. Transformacija figure, pri kateri gre vsaka njena točka X v točko, zgrajeno na naveden način, se imenuje homotetija glede na

stran 1

Transformacije figur se preučujejo pri geometriji na ravnini in v prostoru. Če vsako točko danega lika na ravnini ali v prostoru na nek način premaknemo, dobimo nov lik. Pravijo, da je ta številka pridobljena s transformacijo iz te.  

Transformacija figure F v F2 je podobnostna transformacija, saj ohrani razmerja razdalj med pripadajočimi točkami, ni pa ta transformacija homotetija.  

Transformacijo figure F v figuro F imenujemo centralna transformacija ali homotetija.  

Transformacijo lika F v lik P imenujemo podobnostna transformacija, če se med to transformacijo razdalje med točkami spremenijo (povečajo ali zmanjšajo) za enako število krat.  

Naj transformacija figure F v figuro FI prenese različne točke figure F v različna kurišča figure F. Naj gre poljubna točka X figure F s to transformacijo v točko X figure F. Transformacija lik FI v lik F, v katerem bo točka X šla v točko X, se imenuje inverzna transformacija danega. preobrazba, vzvratno gibanje, je tudi gibanje.  

V geometriji se transformacija likov te narave imenuje podobnostna transformacija.  

V tem primeru se transformacija figure razume kot njen premik. Med transformacijami izstopata gibanje in podobnostna transformacija. Upoštevane so posamezne vrste gibanj: osna simetrija, centralna simetrija, rotacija, vzporedna translacija. Posebna vrsta podobnostne transformacije je homotetija.  

Številke, ki ustrezajo tej transformaciji, se imenujejo. Figura, ki sovpada z medsebojno polarno, se imenuje.  

V geometriji se tovrstno preoblikovanje likov imenuje podobno.  

Z gibanjem razumemo takšno preoblikovanje figur, ko se vse njihove točke ne spremenijo relativni položaj, ga spremenite glede na fiksne projekcijske ravnine. Pri ravninsko vzporednem gibanju se vse točke figure premikajo v vzporednih ravninah. Običajno so to nivojske ravnine ali projekcijske ravnine. Črte, po katerih se točke gibljejo, imenujemo njihove trajektorije; to so ravninske krivulje.  

Vendar se v mnogih primerih zgodi koristno uporabo preoblikovanje figure v podobno figuro. Ta podobnost ohranja kote, lahko pa spremeni razdalje. V tem primeru se vse razdalje povečajo (ali zmanjšajo) v enakem razmerju, imenovanem koeficient podobnosti.  

Z metodo preoblikovanja figur je pogosto mogoče priti do rešitve problema in celo v mnogih primerih je uspeh te metode mogoče predvideti že na prvi pogled. Ta metoda je sestavljena iz zamenjave dane ali želene figure ali nekega njenega dela z novo figuro, ki je povezana z izvirno specifično konstrukcijo in omogoča rešiti problem ali se približati njegovi rešitvi. Zaenkrat bomo obravnavali samo tiste transformacije, pri katerih je nova figura enaka stari in se od nje razlikuje le po položaju.  

Konstrukcija Desarguesove konfiguracije vodi do zanimive posledice, povezane s transformacijami figur in konstrukcije perspektivne projekcije. Pri odločanju prejšnja naloga podanih je bilo pet točk - Desarguesova ravna črta, določena z dvema točkama M in P, Desarguesova točka S in dve točki A in A, ki se nahajata na istem robu piramide v njenih različnih delih. Za drugi dve točki enega odseka piramide (njene osnove), B in C, sta bili ustrezni točki B in C najdeni v drugem odseku. Ustrezne točke so točke, ki se nahajajo na istem robu.  

ZRCALNA SIMETRIJA. Klasična "levo-desna" simetrija, ko je ena polovica oblike tako rekoč zrcalna slika drugo. Namišljena ravnina, ki deli takšne figure na dva zrcalno enaka dela, se imenuje simetrijska ravnina in jo označujemo z latinsko črko "m".

CENTRALNOOSNA SIMETRIJA (osna, rotacijska simetrija).

Simetrija glede na središčno (pogosto navpično) os, ki jo tvori presečišče dveh ali več simetrijskih ravnin. pri polni obrat(360*) se oblika večkrat kombinira sama s seboj. Število takih kombinacij določa vrstni red simetrijske osi (število transformacij), ki ga označujemo z latinsko črko "n" in številko. Kvadrat ima štirikratno os ("n4"), šesterokotnik ima šesterokotnik in pentagram ima petkratno os.

PREVODNA SIMETRIJA (prevodna simetrija).

Najenostavnejša transformacija, ki vodi do "neskončnih" figur, je prenos elementa vzdolž ravne črte na segment končne dolžine - "a". Vodilo se imenuje translacijska os, intervali pa se imenujejo translacijske periode. Če se asimetrični element prenese vzdolž osi, potem govorimo o polarni osi, kar pomeni, da lastnosti linearna oblika v eni smeri drugačni kot v nasprotni smeri. Tako arhitektura poudarja gibanje naprej v eno smer.

Poleg translacijske osi so lahko v transformacijo vključene tudi druge vrste transformacij - refleksija in rotacija. Bolj zapletene "risbe" dosežemo z uporabo delnih intervalov (1/2, ¼, ¾ itd.). Na podoben način nastajajo linearni neskončni vzorci, imenovani “borderji” (francoske bordure). Ta vrsta simetričnih transformacij se imenuje SIMETRIJA BERDOV in v njej, tako kot v translacijski simetriji, ločimo polarne (smerne) oblike in nepolarne.

SIMETRIJA MREŽASTIH ORNAMENTOV IN TESNEGA PAKIRANJA. (“PARKET”).

Ta vrsta simetrije se uporablja za opisovanje in analizo homogenih predmetov, sestavljenih iz enaki elementi strukture, tako volumetrične kot ravninske.

Najenostavnejši mrežasti okras je mreža paralelogramov. Ravna mreža ima dve nevzporedni translacijski osi, ali natančneje, "ravna" mreža je razdelitev načrta na končne odseke, ki poleg transformacija identitete dopušča še dva nekolinearna avtomorfizma premika. Istemu sistemu vozlišč ustreza neskončno število mrež, odvisno od načina povezovanja vozlišč. Vsi točkovni sistemi vsebujejo poleg translacijskih osi še druge elemente simetrije. Na primer, navadna trikotna mreža, na vsaki točki katere sekajo tri vodila in ima šest navpične osi v vozliščih.

Obstaja samo pet paralelogramskih sistemov točk, ki se med seboj razlikujejo po simetriji in parametrih celice:

Kvadratni sistem vozlišča,

Pravilno trikotni sistem vozlišča,

Rombični sistem vozlov,

Pravokotni sistem vozlišča,

Poševni paralelogramski sistem vozlišč.

Na podlagi nepravokotnih mrež dobimo precej ekspresivne sisteme za delitev ravnin.

Kdaj tridimenzionalni prostor Možno je razlikovati ne pet sistemov točk, ampak 14 neskončnih figur, imenovanih Bravaisove mreže.

SPIRALNA SIMETRIJA (vijačna).

Ta simetrična skupina je oblikovana zaporedno pretvorbo obrazci z uporabo dveh vrst - vrtenja in prevajanja. Figura ima "vijačno os" simetrije, če se poravna sama s seboj po dveh zaporednih operacijah: rotaciji za kot in premiku za razdaljo, ki je enaka 1, vzdolž rotacijske osi. Če je kot 360*/n, potem se os vijaka imenuje os reda n/.... Ker se sukanje lahko izvaja tako v desno kot v levo, razlikujemo desno in levo vijačno os. Spirala predstavlja lokus točke, ki izpolnjujejo eno samo konstrukcijsko pravilo, kot je Arhimedova spirala r = a

SIMETRIJA PODOBNOSTI.

V skladu z naravo transformacij figur ločimo IZOMETRIČNE (ortogonalne) in NEIZOMETRIČNE (afine, projektivne itd.) Simetrične skupine.

Izometrija – skupine vrtenja, odboji, translacije, ohranjajo metrične lastnosti izvirnih elementov. Sem spadajo vse zgoraj obravnavane skupine simetrije. Izometrične transformacije neskončnih likov drugače imenujemo "GIBANJA".

AFINE skupine sestavljajo nizi HOMOGENIH DEFORMACIJ - raztezanje, stiskanje, perspektivna krčenja, ki jih dovoljujejo neskončne figure.

Skupine PODOBNOSTI TRANSFORMACIJE so poseben primer afinih skupin. Elementi zaporedne serije podobne številke so skladni med seboj proporcionalna odvisnost. Lahko so povezani z vrednostmi aritmetičnega, geometrijskega ali harmoničnega napredovanja.

Tako obstaja SEDEM glavnih simetričnih skupin. Kombinacija števila simetričnih osi in druge transformacije omogočajo pridobitev 230 na podlagi teh skupin možne vrste točkaste mreže, ki delijo prostor na homogene elemente.

Malojazovska baškirska gimnazija

Geometrija

Esej

"Transformacije oblik"

Izpolnila: učenka 10.B razreda

Khaliullin A.N.

Preveril: Israfilova R.Kh.

Malojaz 2003

jaz . Preoblikovanje.

II . Vrste transformacij

1. Homotetija

2. Podobnost

3. Premikanje

III . Vrste gibanja

1. Simetrija glede na točko

2. Simetrija glede na premico

3. Simetrija glede na ravnino

4. Zavrtite

5. Vzporedni prenos v vesolju

jaz . Pretvorba- premik vsake točke dane figure na nek način in pridobitev nove figure.

II . Vrste transformacij v prostoru : podobnost, homotetija, gibanje.

Transformacija figure F se imenuje transformacija podobnosti,če se med to transformacijo razdalje med točkami spremenijo za enako število krat, tj. za poljubni točki X in Y figure F in točki X’, Y’ figure F’, do katerih gre, X’Y’ = k * XY.

Lastnosti podobnosti: 1. Podobnost spreminja premice v ravne črte, polpremice v polpremice, odseke v odseke.

2. Podobnost ohranja kote med polpremicami

3. Podobnost spreminja ravnine v ravnine.

Dve figuri se imenujeta podobni, če ju spremenimo ena v drugo s podobnostno transformacijo.

Homotetija

Homotetija je najenostavnejša transformacija glede na središče O s koeficientom homotetije k. To je transformacija, ki transformira poljubno točko X' žarka OX tako, da je OX' = k*OX.

Lastnost homotetije: 1. Z uporabo homotetične transformacije transformira vsako ravnino, ki ne poteka skozi homotetično središče, v vzporedna ravnina(ali sebi, ko k =1).

Dokaz. Res, naj bo O središče homotetije in a katera koli ravnina, ki ne poteka skozi točko O. Vzemimo poljubno premico AB v ravnini a. Transformacija homotetije popelje točko A v točko A' na žarku OA in točko B v točko B' na žarku OB, pri čemer je OA'/OA = k, OB'/OB = k, kjer je k koeficient homotetije. To pomeni podobnost trikotnikov AOB in A’OB’. Iz podobnosti trikotnikov sledi enakost ustreznih kotov OAB in OA’B’, kar pomeni vzporednost premic AB in A’B’. Vzemimo zdaj še eno premico AC v ravnini a. Pri homotetiji bo šel na vzporedno premico A’C’. Z obravnavano homotetijo bo ravnina a prešla v ravnino a’ in potekala skozi premice A’B’, A’C’. Ker sta A'B'||AB in A'C'||AC, sta po izreku o dveh sekajočih se premicah ene ravnine vzporedni s sekajočimi se premicami druge ravnine ravnini a in a' vzporedni, kar je je bilo potrebno dokazati.

Premikanje

Premikanje- preoblikovanje ene figure v drugo, če ohranja razdaljo med točkami, tj. transformira poljubni dve točki X in Y enega lika v točki X, Y drugega lika, tako da je XY = XY

Lastnosti gibanja: 1. Pri premikanju se točke, ki ležijo na ravni črti, spremenijo v točke, ki ležijo na ravni črti, vrstni red njihovih relativnih položajev pa se ohrani. To pomeni, da če A, B, C, ki ležijo na premici, pojdite na točke A 1, B 1, C 1. Tedaj tudi te točke ležijo na ravni črti; če leži točka B med točkama A in C, potem leži točka B 1 med točkama A 1 in C 1.

Dokaz. Naj leži točka B premice AC med točkama A in C. Dokažimo, da točke A 1 , B 1 , C 1 ležijo na isti premici.

Če točke A 1 , B 1 , C 1 ne ležijo na premici, so oglišča trikotnika. Torej A 1 C 1< A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC

Prišli smo do protislovja. To pomeni, da točka B 1 leži na premici A 1 C 1. Prva trditev izreka je dokazana.

Pokažimo zdaj, da leži točka B 1 med A 1 in C 1. Predpostavimo, da točka A 1 leži med točkama B 1 in C 1. Potem je A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 in torej AB+AC=BC. Toda to je v nasprotju z neenakostjo AB+BC=AC. Tako točka A 1 ne more ležati med točkama B 1 in C 1.

Podobno dokažemo, da točka C 1 ne more ležati med točkama A 1 in B 1 .

Ker od treh točk A 1 , B 1 , C 1 ena leži med drugima dvema, je ta točka lahko samo B 1 . Izrek je popolnoma dokazan.

2. Pri premikanju se ravne črte spremenijo v ravne črte, pol ravne črte v pol ravne črte, segmenti v segmente

3. Pri premikanju se ohranijo koti med polpremicami.

Dokaz. Naj bosta AB in AC polpremici, ki izhajata iz točke A, vendar ne ležita na tej premici. Pri premikanju se te polpremice spremenijo v nekaj polpremic A 1 B 1 in A 1 C 1. Ker gibanje ohranja razdaljo, sta trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 po tretjem kriteriju enakosti trikotnikov enaka. Iz enakosti trikotnikov sledi, da sta kota BAC in B 1 A 1 C 1 enaka, kar je bilo potrebno tudi dokazati.

4. Gibanje preoblikuje ravnino v ravnino.

Dokažimo to lastnost. Naj bo a poljubna ravnina. Označimo na njej poljubne tri točke A, B, C, ki ne ležijo na isti premici. Skozi njih narišimo ravnino.

Dokažimo, da se med obravnavanim gibanjem ravnina a prelevi v ravnino a".

Torej premica a" leži v ravnini a". Pri premikanju gre točka X v točko X" premice a", torej ravnine a", kar je bilo treba dokazati.

V vesolju, pa tudi na ravnini, se imenujeta dve figuri enaka, če jih združuje gibanje.

III . Vrste gibanja: simetrija glede na točko, simetrija glede na premico, simetrija glede na ravnino, rotacija, gibanje, vzporedni prenos.

Simetrija glede na točko

Preoblikovanje figure F v figuro F", pri kateri gre vsaka njena točka X v točko X", simetrično glede na dano točko O, se imenuje transformacija simetrije glede na točko O. V tem primeru se imenujeta številki F in F". simetrično glede na točko O.

Na primer, paralelogram je središčno simetrična figura. Njegovo simetrično središče je točka presečišča diagonal.

Izrek: Transformacija simetrije glede na točko je gibanje.

Dokaz. Naj sta X in Y dve poljubni točki figure F. Simetrična transformacija okoli točke O ju pretvori v točki X" in Y". Razmislite o trikotnikih XOY in X"OY". Ti trikotniki so skladni glede na prvi kriterij enakosti trikotnikov. Njuna kota pri oglišču O sta enaka navpičnici in OX=OX", OY=OY" po definiciji simetrije glede na točko O. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost stranic: XY=X"Y". To pomeni, da je simetrija glede na točko O gibanje. Izrek je dokazan.

Simetrija glede ravne črte

Naj bo g fiksna premica. Vzemimo poljubno točko X in spustimo navpičnico AX na premico g. Na nadaljevanju navpičnice preko točke A odložimo odsek AX", ki je enak odseku AX. Točka X" se imenuje simetrična točka X relativno naravnost g. Če točka X leži na premici g, potem je točka, ki je simetrična nanjo, sama točka X. Očitno je točka, ki je simetrična na točko X" točka X.

Če transformacija simetrije glede na premico g vzame lik F vase, potem se ta lik imenuje simetrično glede na ravno g, premica g pa se imenuje simetrična os figure.

Na primer, ravne črte, ki potekajo skozi točko presečišča diagonal pravokotnika, vzporedne z njegovimi stranicami, so osi simetrije pravokotnika. Premice, na katerih ležijo diagonale romba, so njegove simetrijske osi.

Izrek: Transformacija simetrije glede na ravno črto je gibanje.

Vzemimo dve poljubni točki A (x;y) in B (x;y). Premaknili se bodo na točki A" (-x;y) in B" (-x;y).

AB 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

Iz tega lahko vidimo, da je AB=A"B". To pomeni, da je preoblikovanje simetrije glede na ravno črto gibanje. Izrek je dokazan.

Simetrija glede na ravnino

Naj bo a poljubna fiksna ravnina. Iz točke X slike spustimo navpičnico XA na ravnino a in na njenem podaljšku čez točko A odložimo odsek AX", ki je enak XA. Točka X" se imenuje simetrično točka X glede na ravnino a, transformacija, ki popelje X v točko X simetrično nanjo, pa se imenuje transformacija simetrije glede na ravnino a.

Geometrijska transformacija ravnine je ena proti ena preslikava te ravnine na samo sebe. Najpomembnejše geometrijske transformacije so gibanja, tj. transformacije, ki ohranjajo razdaljo. Z drugimi besedami, če je gibanje ravnine, potem je za kateri koli dve točki te ravnine razdalja med točkama in enaka .

Premiki so povezani s konceptom enakosti (skladnosti) figur: dve figuri in ravnini a se imenujeta enaki, če pride do gibanja te ravnine, ki prenese prvo figuro na drugo. Pravzaprav je to definicijo uporabil tudi Evklid (glej Geometrija), ki je dva lika imenoval enaka, če je mogoče eno od njiju postaviti na drugo tako, da sovpadata z vsemi svojimi točkami; Pri tem je superpozicijo treba razumeti kot preureditev figure kot trdne celote (brez spreminjanja razdalj), tj. premikanje.

Primeri ravninskih gibanj so osna in centralna simetrija, vzporedni prenos in rotacija. Kot primer se spomnimo definicije vzporednega prenosa. Naj bo vektor ravnine. Geometrična transformacija, ki popelje vsako točko v točko, tako da (slika 1), se imenuje vzporedni prenos na vektor. Vzporedni prenos je gibanje: če točke in gredo na in, tj. , , potem , in torej .

Pri reševanju geometrijskih problemov z uporabo gibov se pogosto uporablja lastnost ohranjanja presečišča: pri katerem koli gibanju se presečišče figur spremeni v presečišče njihovih slik, tj. če - poljubne figure, se figura spremeni v figuro zaradi gibanja. (Podobna lastnost velja za unijo.)

Naloga 1. Krožnica, katere središče pripada simetrali kota, seka svoje stranice v točkah in (slika 2). Dokaži to.

rešitev. Označimo z eno od stranic kota in z - krog, katerega meja je obravnavani krog. S simetrijo glede na simetralo kota preide žarek v žarek, ki tvori drugo stranico kota, krožnica pa vase: , . Glede na lastnost ohranjenosti presečišča gre lik v , tj. Z drugimi besedami, segment gre v segment , in zato .

Naloga 2. Skozi točko znotraj kota (manjšo od raztegnjenega) nariši ravno črto, katere odsek, zaprt med stranicama kota, je na tej točki razdeljen na pol.

rešitev. Označimo s simetrijo glede na točko , z in pa premice, na katerih ležijo stranice kota (slika 3). Zaradi simetrije premica preide v z njo vzporedno premico, ki seka drugo stranico kota v točki . Ker , potem točka, ki je simetrična, pripada črti, ki je simetrična, tj. . Tako sta točki in simetrični glede na , zato je segment na točki razdeljen na pol, tj. ravno - želeno.

Ni težko razumeti, zakaj je bila pri nalogi 1 uporabljena osna simetrija, pri nalogi 2 pa centralna simetrija. Ker je simetrala kota njegova simetrijska os, je poskus uporabe osne simetrije v nalogi 1 popolnoma naraven (enako kot uporaba centralne simetrije v nalogi 2, saj je treba segment v točki razdeliti na pol, tj. zahtevane točke morajo biti simetrične glede na točko). In v drugih primerih analiza pogojev problema omogoča iskanje gibanja, katerega uporaba daje rešitev.

Naloga 3. Na straneh in trikotniku sta izven njega zgrajena kvadrata in . Dokaži, da je odsek pravokoten na mediano trikotnika in dvakrat daljši od te mediane.

rešitev. Poskusimo uporabiti rotacijo za 90°, tj. poskrbimo, da se bo segment, ko ga zavrtimo za 90° okoli točke (v smeri urinega kazalca), spremenil v segment, ki je vzporeden in ima dvakratno dolžino. S to rotacijo gre vektor v (slika 4), vektor pa v . Zato vektor gre v , torej v . Toda od takrat naprej. Torej, ko se zasuka za 90°, se vektor spremeni v , tj. v vektor, ki je enak . Iz tega sledi, da in.

Zelo pomembna je povezava med gibi in orientacijo. Na sl. Slika 5 prikazuje poligon, na konturi katerega je podana pozitivna smer prečkanja (v nasprotni smeri urinega kazalca). Pri vzporednem prevajanju dobimo poligon z enako smerjo prečkanja, tj. vzporedni prenos ohranja smer prečkanja ali, kot pravijo, ohranja orientacijo. Tudi rotacija (natančneje centralna simetrija, ki je rotacija za 180°) ohranja orientacijo (slika 6). Nasprotno, osna simetrija obrne smer obvoda (slika 7), tj. spremeni orientacijo. Drug primer gibanja, ki spreminja orientacijo, je drsna simetrija, tj. sestava simetrije glede na neko premico in vzporedni prenos, katerega vektor je vzporeden (sl. 8).

Francoski mehanik in geometer 19. stoletja. M. Chals je formuliral naslednji izrek: vsako gibanje ravnine, ki ohranja orientacijo, je bodisi vzporedni prenos ali rotacija; Vsako gibanje ravnine, ki spremeni orientacijo, je osna ali drsna simetrija.

Naloga 4. Dokaži, da kompozicija dveh osnih simetrij s sekajočima se osema predstavlja rotacijo.

rešitev. Pustiti in se osne simetrije, katerih osi (premice in ) sekajo v točki . Ker oba giba spreminjata orientacijo, je njuna kompozicija (prvo izvedena, nato ) gib, ki ohranja orientacijo. Po Challovem izreku obstaja bodisi vzporedni prenos bodisi rotacija. Ker pa je med vsakim gibanjem točka nepremična, potem med njihovo sestavo točka ostane na mestu. Zato pride do rotacije okoli točke. Kako najti kot vrtenja je razvidno iz sl. 9: če je kot med ravnimi črtami in , potem je (ker se točka prevede s premikanjem vase in s premikom v točko, simetrično glede na ) gibanje, ki se prevede v, je rotacija (okrog točke) za kot .

Naslednja najpomembnejša skupina geometrijskih transformacij ravnine so podobnostne transformacije. Najenostavnejši med njimi je homotetija. Spomnimo se, da je homotetija s središčem in koeficientom geometrijska transformacija, ki transformira poljubno točko v točko tako, da (slika 10). Homotetija spremeni vsako premico v premico, ki ji je vzporedna, in vsak krog spet spremeni v krog. Homotetija ohranja kote in poveča vse dolžine za faktor: če pod homotetijo točke gredo na , potem . Iz tega sledi, da homotetija ohranja obliko (ne pa tudi velikosti) figur; če je npr. potem je lik, v katerega gre lik med homotetijo s središčem in koeficientom, povečana kopija figure (slika 10), če pa je pomanjšana kopija.

Ker se pri homotetiji vse dolžine spremenijo za enako število krat, se razmerje dolžin ne spremeni. Na tem temeljijo različne metode ocenjevanja razdalj; če na primer poznamo dolžino roke in dolžino palca ter ocenimo, kolikokrat se palec iztegnjene roke prilega vidni sliki predmeta, lahko ugotovimo razmerje med višino navpičnega predmeta in razdaljo do njega (na sliki 11 imamo , od koder lahko z merjenjem ugotovite , torej približno trikrat večjo višino cevi).

Naloga 5. Konstruirajte kvadrat, včrtan v danem sektorju (dve oglišči kvadrata ležita na enem polmeru, tretji na drugem, četrti na loku sektorja).

rešitev. Naj sta in (slika 12) dva kvadrata, včrtana v kotu. S homotetijo s središčem , ki popelje točko na , (koeficient te homotetije je enak ), se odsek spremeni v odsek , zato se kvadrat preoblikuje v kvadrat (ker kota, pa tudi razmerje med segmenti, so ohranjeni). Iz tega sledi, da oglišča in ležijo na istem žarku, ki izhaja iz točke. Zdaj je jasno, da lahko s konstruiranjem nekega kvadrata, včrtanega v kotu, in risanjem žarka najdemo oglišče želenega kvadrata (tj. točko presečišča žarka z lokom sektorja) in nato dokončamo zahtevano kvadrat (slika 13).

Ravninska transformacija se imenuje podobnost s koeficientom, če je za katero koli točko ravnine razdalja med točkama in enaka . Vsaka podobnost (kot homotetija - poseben primer podobnosti) ohranja kote, pa tudi razmerje dolžin, tj. ohranja obliko figur. Vendar pa lahko za razliko od homotetije podobnost spremeni črto v črto, ki ji ni vzporedna.

Na sl. Slika 14 prikazuje dva načrta iste ploskve, narejena v različnih merilih in različno ležeča na ravnini. Te ravnine predstavljajo podobne, a ne homotetične figure; na primer, premica in njena ustrezna premica nista vzporedni. Če želite iz načrta pridobiti načrt, lahko naredite to: načrt najprej zavrtite tako, da njegove stranice postanejo vzporedne s stranicami načrta, nato pa uporabite homotetijo. Z drugimi besedami, načrt, podoben , dobimo z uporabo kompozicije gibanja (rotacije) in homotetije.

Ta okoliščina je splošna, tj. vsaka podobnost je predstavljena v obliki kompozicije, kjer je gibanje in je homotetija. Iz tega je jasno, da se lahko pri reševanju problemov z metodo podobnosti omejimo le na upoštevanje homotetije (ki jo spremlja nekaj gibanja). To ima določene udobje: zapomnite si, s kakšno intenzivno pozornostjo se najdejo ustrezne stranice različno lociranih podobnih trikotnikov, ko izpišemo enakost razmerij stranic (in s kakšno lahkoto se ta razmerja izpišejo za homotetične trikotnike).

Naloga 6. Stranici trikotnika sta povezani z relacijo. Dokaži, da je kot dvakrat večji od kota.

rešitev. Pustiti je točka na črti tako, da , In leži med in (slika 15). Potem je trikotnik enakokrak in zato ; Poleg tega,. S simetrijo glede na simetralo kota se točke in spremenita v točke in tako, da , ; Poleg tega. Enakost lahko prepišemo v obliki

od koder sledi, da pod homotetijo s središčem in koeficientom točke gredo v . Zato in ker, tj. . Ker je zunanji kot trikotnika, je enak vsoti kotov in, tj. enak dvakratnemu kotu.

V zaključku zgodbe o podobnostnih transformacijah omenimo, da sestavljajo skupino transformacij in zato (glej Geometrija) po Erlangenovem programu definirajo »svojo« geometrijo. Invariante te skupine (tj. tiste lastnosti, ki se ohranijo pri vseh podobnostnih transformacijah in jih proučujemo v geometriji podobnosti) so kot, razmerje dolžin dveh odsekov, vzporednost dveh ravnih črt itd. Čeprav se dolžina odseka ne ohrani več, lahko zaradi ohranitve razmerja dolžin v geometriji podobnosti govorimo o enakokrakem trikotniku (tj. trikotniku, v katerem je razmerje dolžin stranskih stranic enako 1). Izrek, da so v enakokrakem trikotniku osnovni koti enaki, velja tudi v geometriji podobnosti. Velja tudi Pitagorov izrek (v obliki , kjer in so razmerja med dolžinami katet in dolžino hipotenuze) itd.

Ne smemo pa misliti, da se geometrija podobnosti ne razlikuje od evklidske geometrije v ničemer drugem kot v obliki predstavitve. Obstajajo dejstva, ki razlikujejo ti dve geometriji. Na primer, dogovorimo se, da lahko rečemo, da lahko premica drsi sama po sebi, če za kateri koli dve točki te premice obstaja transformacija (ki pripada skupini, ki definira obravnavano geometrijo), ki vzame premico vase in točko v . V evklidski geometriji (tj. v geometriji, ki jo določa skupina gibanj ravnine) obstajata samo dve vrsti povezanih črt (tj. sestavljenih iz enega kosa), ki lahko drsijo same po sebi: ravne črte in krožnice. In v geometriji podobnosti so črte, drugačne od ravnih črt in krogov, ki lahko drsijo same po sebi; to so logaritemske spirale, ki jih v polarnih koordinatah definira enačba (slika 16).

Še eno nenavadno dejstvo o geometriji podobnosti dobimo z upoštevanjem transformacije, kjer je rotacija okoli točke za kot, in je homotetija s središčem in koeficientom. Naj bo zaporedje točk, ki se med transformacijo spreminjajo ena v drugo, tj. za poljubno celoto (slika 17). Te točke ležijo na isti logaritemski spirali in za vsako celo število ima kot enako vrednost. Z doslednim povezovanjem teh točk dobimo neskončno zlomljeno črto , ki se s transformacijo prevede vase, vsako oglišče pa se prevede v sosednje oglišče.

Upoštevajte, da je obravnavana transformacija podobnosti (imenuje se rotacijska dilatacija) tesno povezana s kompleksnimi števili. Kompleksno število je mogoče predstaviti kot usmerjen segment, ki poteka od izhodišča do točke. Pri tej geometrijski predstavitvi se kompleksna števila dodajajo kot vektorji (slika 18). Za pridobitev geometrijske razlage množenja kompleksnih števil je primerna rotacijska dilatacija, o kateri smo razpravljali zgoraj. Naj bo namreč neko kompleksno število, naj bo njegov modul (tj. dolžina predstavljajočega segmenta) in naj bo argument (tj. naklonski kot predstavljajočega smernega segmenta na pozitivni del abscisne osi). Število dobimo iz števila 1, če najprej vektor, ki predstavlja število 1, raztegnemo za faktor in drugič zasukamo za kot (slika 19), tj. vektor dobimo iz vektorja 1 s transformacijo , kjer je homotetija s središčem v izhodišču in koeficientom , in je rotacija okoli izhodišča za kot . Torej, . Če je zdaj drugo kompleksno število, potem pri uporabi transformacije (tj. raztezanju vektorja slike za faktor in obračanju za kot) številka postane (slika 19). Lahko rečemo drugače: trikotniki na sl. 19 je podobnih. To daje geometrijsko razlago množenja kompleksnih števil. Iz povedanega je razvidno, da ko vsa kompleksna števila pomnožimo z istim kompleksnim številom, pride do rotacijskega raztezanja celotne ravnine kompleksnih števil. Zlasti za katera koli tri kompleksna števila, ki jih imamo , kjer je kompleksno število, katerega modul je enak razmerju dolžin vektorjev in , argument pa je enak kotu med tema vektorjema (slika 20).

Naloga 7. Na stranicah trikotnika so zgrajeni podobni trikotniki zunaj njega. Dokaži, da presečišče median sovpada s presečiščem median.

rešitev. Označimo z kompleksna števila, predstavljena z vektorji , , , , , . Potem , , , kjer je kompleksno število, katerega modul je enak razmerju stranskih strani podobnih obravnavanih trikotnikov, argument pa je enak (slika 21). Če seštejemo te enakosti, dobimo (po očitnih poenostavitvah):

Ker (ker je argument števila drugačen od nič), sledi, da . Če preklopimo na vektorski zapis in delimo s 3, dobimo

kar pomeni, da presečišča median in sovpadata (glej Vektor).

Na kratko spregovorimo o drugih transformacijah, ki igrajo pomembno vlogo v sodobni geometriji. Transformacija evklidske ravnine se imenuje afina, če pretvori vsako premico nazaj v premico in medsebojno vzporedne premice ponovno v vzporedne premice (slika 22). Če je na ravnini uveden koordinatni sistem, je afina transformacija podana z linearnimi relacijami, tj. točka, do katere gre točka, je določena s formulami

,

kjer (in obratno: takšne formule določajo neko afino transformacijo). Nadalje, če obstajajo tri točke ravnine, ki ne ležijo na isti premici, in tri druge točke, ki prav tako ne ležijo na isti premici, potem obstaja in poleg tega samo ena afina transformacija, ki sprejme točke oziroma do . Upoštevajte, da se lahko dolžine in koti spreminjajo med afinimi transformacijami. Tudi razmerje dolžin segmentov ni ohranjeno (za razliko od transformacij podobnosti). Vendar pa se razmerje dolžin dveh vzporednih segmentov ohrani pri kateri koli afini transformaciji. Zlasti pri afini transformaciji gre središče segmenta nazaj v sredino segmenta, paralelogram gre v paralelogram, mediana trikotnika v mediano itd. Pri afini transformaciji gre krog v elipse in iz lastnosti afinih transformacij, navedenih zgoraj, zlahka sledi, da razpolovišča vzporednih premic, tetiv elipse, ležijo na enem segmentu, ki poteka skozi središče elipse (slika 23).

Vse afine transformacije ravnine skupaj tvorijo skupino transformacij in zato (glej Geometrija) določajo neko geometrijo. Imenuje se afina geometrija. Invariante te skupine (tj. tiste lastnosti likov, ki jih proučuje afina geometrija) so premočrtna razporeditev točk, vzporednost, razmerje dolžin vzporednih odsekov in druge lastnosti, pridobljene iz teh (na primer prisotnost središča simetrije v figuri). Ne da bi podrobneje govorili o tej geometriji, bomo s primeri pokazali, kako lahko zgoraj navedene lastnosti afinih transformacij uporabimo pri reševanju problemov.

Naloga 8. Dokaži, da v poljubnem trapezu razpolovišča osnov, presečišče diagonal in presečišče podaljškov stranskih stranic ležijo na isti premici.

rešitev. Za enakokraki trapez je to očitno (ker je enakokraki trapez simetričen relativni ravni črti, ki poteka skozi razpolovišči osnovnih točk). Naj bo zdaj poljuben trapez in enakokraki trapez z enakima osnovnicama (slika 24). Oglejmo si afino transformacijo, ki vzame točke v . S to transformacijo bodo premice šle v (ker , in vzporednost premic je ohranjena). Nadalje, saj , Potem bo točka šla na (ker je odnos vzporednih segmentov ohranjen). Z drugimi besedami, trapez se bo spremenil v trapez. Posledično bo ostala premočrtna razporeditev točk, tj. Tudi v trapezu točke ležijo na isti premici.

Naloga 9. V trikotnik je vpisana elipsa in narisani so trije segmenti, ki povezujejo oglišče in dotičišče elipse z nasprotno stranico. Dokaži, da se ti trije segmenti sekajo v eni točki.

rešitev. Naj bo afina transformacija, ki preoblikuje določen krog v obravnavano elipso, in naj bo trikotnik, ki se pod to preobrazbo spremeni v . Ker obravnavana lastnost, kot je lahko dokazati, velja za včrtano krožnico (levi del slike 25), velja tudi za včrtano elipso (desni del slike).

Članek »Projektivna geometrija« govori o tem, kako dopolnitev ravnine z nepravilnimi (»neskončno oddaljenimi«) točkami le-to spremeni v projektivno ravnino. Geometrijske transformacije projektivne ravnine, ki ohranjajo premočrtno razporeditev točk, imenujemo projektivne transformacije. Projektivne transformacije so določene v koordinatah z linearno-frakcijskimi formulami:

(1)

Podrobneje: če je evklidska ravnina, v kateri je podan koordinatni sistem, in je projektivna ravnina, dobljena z dodajanjem nepravilnih elementov, potem je vsaka projektivna transformacija ravnine zapisana v obravnavanih koordinatah s formulami (1), pod pogojem, da točka in točka, do katere gre, nista nepravilni.

Projektivne transformacije tvorijo skupino transformacij projektivne ravnine. Po programu Erlangen ta skupina definira neko geometrijo - to je projektivna geometrija. Invariante projektivnih transformacij (tj. tistih lastnosti likov, ki jih preučuje projektivna geometrija) so premočrtna razporeditev točk, anharmonično razmerje štirih točk, ki ležijo na isti premici itd.

Če obstajajo štiri točke projektivne ravnine, od katerih nobene tri ne ležijo na isti premici, in druge štiri točke te ravnine, od katerih nobene tri prav tako ne ležijo na isti premici, potem obstaja in samo ena projektivna transformacija kar pomeni, očitno ležijo na isti ravni črti (na srednji črti traku med ravnima črtama in ). Z uporabo inverzne transformacije sklepamo, da je na sl. 26 na levi strani ležita točki na isti premici (ker projektivna transformacija ohranja premočrtno razporeditev točk).

Vse zgoraj obravnavane transformacije so ohranile premočrtno razporeditev točk (na evklidski ali projektivni ravnini). Z drugimi besedami, sistem vseh premic na ravnini se ponovno prevede v isti sistem premic. Obstaja zanimiv razred transformacij, ki ima podobno lastnost glede na drug sistem črt. Namreč: obravnavajmo na ravnini (evklidski) sistem, ki ga sestavljajo vse premice in vse krožnice. Transformacije, ki pretvorijo ta sistem črt nazaj v isti sistem, se imenujejo krožne transformacije. Z drugimi besedami, med krožno transformacijo se ravna črta vrne v ravno črto ali v nek krog (in enako velja za krog). Spodaj bomo razjasnili eno konvencijo v zvezi z evklidsko ravnino, ki je potrebna pri obravnavanju krožnih transformacij, vendar bomo najprej razmislili o enem pomembnem primeru krožne transformacije - tako imenovani inverziji.

In polmer. Na podlagi tega smo se dogovorili, da obstaja ena nepravilna točka na ravnini; Če je zlasti krog pravokoten na inverzijski krog, tj. ga seka pod pravim kotom (takšni krogi so bili obravnavani na koncu članka Lobačevskega o geometriji), nato pa se med inverzijo ta krog spremeni sam vase (samo njegovi deli, ki ležijo znotraj in zunaj inverzijskega kroga, zamenjajo mesta). Inverzija je najpomembnejša med krožnimi transformacijami: dokazati je mogoče, da je vsaka krožna transformacija ravnine ali inverzija, ali podobnost, ali pa sestava inverzije in podobnosti. Skupaj krožne transformacije sestavljajo skupino transformacij, ki definirajo edinstveno geometrijo (»krožno«) na krožni ravnini.

Pogovarjali smo se o najpomembnejših geometrijskih transformacijah ravnine. Upoštevate lahko tudi geometrijske transformacije tridimenzionalnega prostora, ravnine Lobačevskega (ali prostora) in drugih geometrijskih objektov. Opozorimo zlasti na to, da je if gibanje tridimenzionalnega prostora (ker in , in transformirajo ravno črto nazaj v ravno črto). Izkazalo se je, da lahko vsako projektivno transformacijo ravnine predstavimo v tej obliki.

Poznavanje geometrijskih transformacij in sposobnost njihove uporabe je pomemben element matematične kulture.