Modeliranje je eno najpomembnejših orodij v moderno življenje ko želijo predvideti prihodnost. In to ni presenetljivo, saj je natančnost te metode zelo visoka. Poglejmo, kaj je to v tem članku deterministični model.
splošne informacije
Deterministični modeli sistemov imajo to posebnost, da jih je mogoče analitično proučevati, če so dovolj enostavni. V nasprotnem primeru, ko uporabljamo precejšnje število enačb in spremenljivk, lahko za ta namen uporabimo elektronske računalnike. Poleg tega se računalniška pomoč praviloma zmanjša le na njihovo reševanje in iskanje odgovorov. Zaradi tega je potrebno spremeniti sisteme enačb in uporabiti drugačno diskretizacijo. In to pomeni povečano tveganje napake pri izračunih. Za vse vrste determinističnih modelov je značilno, da nam poznavanje parametrov na določenem proučevanem intervalu omogoča, da v celoti določimo dinamiko razvoja znanih indikatorjev onkraj meje.
Posebnosti
Faktorsko modeliranje
Sklicevanje na to je mogoče videti v celotnem članku, vendar še nismo razpravljali o tem, kaj je. Faktorsko modeliranje pomeni, da so identificirane glavne določbe, za katere je potrebna kvantitativna primerjava. Za dosego zastavljenih ciljev raziskava transformira formo.
Če ima strogo deterministični model več kot dva faktorja, se imenuje večfaktorski. Njegovo analizo je mogoče izvesti z uporabo različne tehnike. Kot primer navedimo. V tem primeru obravnava dodeljene naloge z vidika vnaprej postavljenih in vnaprej izdelanih modelov. Izbira med njimi poteka glede na njihovo vsebino.
Za izdelavo visokokakovostnega modela je potrebno uporabiti teoretično in eksperimentalne študije bistvo tehnološki proces in njegove vzročno-posledične povezave. Ravno to je glavna prednost predmetov, ki jih obravnavamo. Deterministični modeli omogočajo natančno napovedovanje na številnih področjih našega življenja. Zaradi svojih kakovostnih parametrov in vsestranskosti so postali tako razširjeni.
Kibernetski deterministični modeli
Za nas so zanimivi zaradi prehodnih procesov, ki temeljijo na analizi in se pojavijo pri vseh, tudi najbolj nepomembnih spremembah agresivnih lastnosti. zunanje okolje. Za enostavnost in hitrost izračunov status quo primere nadomesti poenostavljen model. Pomembno je, da zadovoljuje vse osnovne potrebe.
Učinkovitost avtomatskega nadzornega sistema in učinkovitost odločitev, ki jih sprejema, sta odvisna od enotnosti vseh potrebnih parametrov. V tem primeru je treba rešiti naslednji problem: več informacij je zbranih, večja je verjetnost napake in daljši je čas obdelave. Toda če omejite zbiranje podatkov, lahko pričakujete manj zanesljiv rezultat. Zato je treba najti zlata sredina, ki vam bo omogočil pridobitev dovolj natančne informacije, hkrati pa ne bo po nepotrebnem zapleten z nepotrebnimi elementi.
Multiplikativni deterministični model
Zgrajena je z delitvijo dejavnikov na številne. Kot primer lahko upoštevamo proces oblikovanja obsega proizvedenih izdelkov (PP). Torej, za to potrebujete delo (PC), material (M) in energijo (E). V tem primeru lahko faktor PP razdelimo na niz (RS;M;E). Ta možnost odraža multiplikativno obliko faktorskega sistema in možnost njegove delitve. V tem primeru lahko uporabite naslednje metode transformacije: razširitev, formalna razgradnja in podaljšanje. Prva možnost je našla široko uporabo v analizi. Uporablja se lahko za izračun uspešnosti zaposlenega itd.
Pri podaljševanju se ena vrednost nadomesti z drugimi faktorji. Toda na koncu bi moralo biti enako število. Primer raztezka je bil obravnavan zgoraj. Ostala je le še formalna razgradnja. Vključuje uporabo podaljšanja imenovalca prvotnega faktorskega modela zaradi zamenjave enega ali več parametrov. Poglejmo ta primer: izračunamo donosnost proizvodnje. Da bi to naredili, se znesek dobička deli z zneskom stroškov. Pri množenju namesto z enotno vrednostjo delimo s seštevkom stroškov materiala, osebja, davkov ipd.
Verjetnosti
Oh, ko bi le šlo vse po načrtih! Toda to se redko zgodi. Zato se v praksi deterministični in kaj lahko rečemo o slednjem pogosto uporabljata skupaj? Njihova posebnost je, da upoštevajo tudi različne verjetnosti. Vzemite za primer naslednje. Obstajata dve državi. Odnos med njima je zelo slab. Tretja oseba se odloči, ali bo vlagala v podjetja v eni od držav. Konec koncev, če izbruhne vojna, bodo dobički zelo prizadeti. Lahko pa navedete primer gradnje obrata na območju z visoko potresna dejavnost. Delajo tukaj naravni dejavniki, ki jih ni mogoče natančno upoštevati, to je mogoče storiti le približno.
Zaključek
Pogledali smo, kakšni so modeli deterministična analiza. Žal, da bi jih popolnoma razumeli in jih lahko uporabili v praksi, morate zelo dobro preučiti. Teoretične osnove je že. Tudi v okviru članka ločeno preprosti primeri. Nato je bolje slediti poti postopnega zapletanja delovnega materiala. Svojo nalogo lahko nekoliko poenostavite in začnete študirati programsko opremo, ki lahko izvede ustrezne simulacije. Toda ne glede na izbiro je še vedno potrebno razumevanje osnov in sposobnost odgovoriti na vprašanja o tem, kaj, kako in zakaj. Najprej se morate naučiti izbrati pravilne vhodne podatke in izbrati potrebna dejanja. Potem bodo lahko programi uspešno opravili svoje naloge.
Modeli sistemov, o katerih smo do sedaj govorili, so bili deterministični (določeni), tj. nastavitev vhodnega vpliva je enolično določila izhod sistema. Vendar se v praksi to redko zgodi: opis pravi sistemi negotovost je običajno inherentna. Na primer, za statični model lahko negotovost upoštevamo tako, da zapišemo razmerje (2.1)
kjer je napaka normalizirana na izhod sistema.
Razlogi za negotovost so različni:
– napake in motnje pri meritvah vhodov in izhodov sistema (naravne napake);
– netočnost samega modela sistema, ki sili v model umetno vnesti napako;
– nepopolne informacije o sistemskih parametrih itd.
Med na različne načine razjasnitev in formalizacija negotovosti največja distribucija prejel kaotičen (verjetnostni) pristop, v katerem se negotove količine obravnavajo kot naključne. Razvil konceptualni in računski aparat teorije verjetnosti in matematična statistika vam omogoča, da podate posebna priporočila o izbiri strukture sistema in ocenjevanju njegovih parametrov. Razvrstitev stohastičnih modelov sistemov in metod za njihovo preučevanje je predstavljena v tabeli. 1.4. Sklepi in priporočila temeljijo na učinku povprečenja: naključna odstopanja rezultati meritev določene količine od njene pričakovane vrednosti se pri seštevanju izničijo in aritmetična sredina veliko število meritev se izkaže za blizu pričakovane vrednosti. Matematične formulacije ta učinek je določen z zakonom velike številke in osrednji mejni izrek. Zakon velikih števil pravi, da če so naključne spremenljivke z matematičnim pričakovanjem (srednja vrednost) in varianco, potem
pri dovolj veliki n. To kaže na temeljno možnost poljubno natančne ocene na podlagi meritev. Osrednji mejni izrek, ki pojasnjuje (2.32), trdi, da
kjer je standardna normalno porazdeljena naključna spremenljivka
Ker je porazdelitev količine dobro znana in tabelirana (znano je npr., da relacija (2.33) omogoča izračun napake ocene. Recimo, da želite ugotoviti, pri katerem številu meritev je napaka pri oceni njihovo matematično pričakovanje z verjetnostjo 0,95 bo manjše od 0,01, če je varianca vsake meritve 0,25, iz (2.33) dobimo neenakost, iz katere mora veljati. N> 10000.
Seveda lahko formulacij (2.32), (2.33) navedemo več strog videz, in to je mogoče enostavno narediti z uporabo konceptov verjetnostne konvergence. Težave nastanejo, ko poskušamo preizkusiti pogoje teh strogih izjav. Na primer v zakonu velikih števil in osrednji mejni izrek zahteva se neodvisnost posameznih meritev (izvedb). naključna spremenljivka in končnost njegove variance. Če so ti pogoji kršeni, so lahko kršeni tudi sklepi. Na primer, če vse meritve sovpadajo: potem, čeprav so izpolnjeni vsi drugi pogoji, ne more biti govora o povprečenju. Drug primer: zakon velikih števil ne velja, če so naključne spremenljivke porazdeljene po Cauchyjevem zakonu (z gostoto porazdelitve, ki nima končne matematično pričakovanje in disperzija. Toda tak zakon se pojavi v življenju! Na primer, po Cauchyju se celostna osvetlitev točk na pravokotni obali porazdeli z enakomerno vrtečim se žarometom, ki se nahaja na morju (na ladji) in je vklopljen naključni trenutkičas.
Ampak tudi velike težave poziva k preverjanju veljavnosti same uporabe izraza »naključno«. Kaj je naključna spremenljivka? naključni dogodek itd. Pogosto se reče, da dogodek A po naključju, če se zaradi poskusa lahko zgodi (z verjetnostjo R) ali se ne zgodi (z verjetnostjo 1- R). Vse pa ni tako preprosto. Sam pojem verjetnosti je mogoče povezati z rezultati poskusov le preko pogostosti njegovega pojavljanja v določenem številu (seriji) poskusov: , kjer N A- število poskusov, v katerih se je dogodek zgodil, n- skupno število; poskusi. Če so številke dovolj velike n se približujejo nekaterim stalno število r A:
ta dogodek A lahko imenujemo naključno in število R- njegova verjetnost. V tem primeru bi morale biti frekvence, opažene v različnih serijah poskusov, blizu druga drugi (ta lastnost se imenuje statistična stabilnost oz homogenost). Zgoraj navedeno velja tudi za koncept naključne spremenljivke, saj je vrednost naključna, če so dogodki naključni (in<£<Ь} для любых чисел A,b. Pogostnosti pojavljanja takšnih dogodkov v dolgih serijah poskusov bi se morale združevati okoli določenih konstantnih vrednosti.
Torej, da bi bil stohastični pristop uporaben, morajo biti izpolnjene naslednje zahteve:
1) ogromen obseg poskusov, ki se izvajajo, tj. precej veliko število;
2) ponovljivost eksperimentalnih pogojev, ki upravičuje primerjavo rezultatov različnih poskusov;
3) statistična stabilnost.
Stohastičnega pristopa očitno ni mogoče uporabiti za posamezne eksperimente: izrazi, kot so "verjetnost, da bo jutri deževalo", "z verjetnostjo 0,8 bo Zenit osvojil pokal" itd., so nesmiselni. Toda tudi če so poskusi razširjeni in ponovljivi, morda ni statistične stabilnosti in preverjanje tega ni lahka naloga. Znane ocene dovoljenega odstopanja frekvence od verjetnosti temeljijo na centralnem mejnem izreku ali Čebiševljevi neenakosti in zahtevajo dodatne hipoteze o neodvisnosti ali šibki odvisnosti meritev. Eksperimentalno preverjanje pogoja neodvisnosti je še težje, saj zahteva dodatne poskuse.
Metodologija in praktični recepti za uporabo teorije verjetnosti so podrobneje predstavljeni v poučni knjigi V.N. Tutubalin, katerega idejo dajejo spodnji citati:
»Izjemno pomembno je izkoreniniti napačno prepričanje, ki se včasih pojavlja med inženirji in naravoslovci, ki ne poznajo dovolj teorije verjetnosti, da je rezultat katerega koli eksperimenta mogoče obravnavati kot naključno spremenljivko. V posebej hudih primerih to spremlja prepričanje v normalni zakon porazdelitve, in če same naključne spremenljivke niso normalne, potem verjamejo, da so njihovi logaritmi normalni.«
»Po sodobnih pojmovanjih je področje uporabe verjetnostno-teoretičnih metod omejeno na pojave, za katere je značilna statistična stabilnost. Vendar pa je testiranje statistične stabilnosti težko in vedno nepopolno ter pogosto daje negativen zaključek. Posledično je na celotnih področjih znanja, na primer v geologiji, postal norma pristop, v katerem se statistična stabilnost sploh ne preverja, kar neizogibno vodi do resnih napak. Poleg tega je propaganda kibernetike, ki so se je lotili naši vodilni znanstveniki, dala (v nekaterih primerih!) nekoliko nepričakovan rezultat: zdaj se verjame, da je le stroj (in ne človek) sposoben pridobiti objektivne znanstvene rezultate.
V takšnih okoliščinah je dolžnost vsakega učitelja, da vedno znova propagira tisto staro resnico, ki jo je (neuspešno) skušal Peter I. vcepiti ruskim trgovcem: da je treba trgovati pošteno, brez prevare, saj se na koncu bolj splača. sam.”
Kako zgraditi model sistema, če v problemu obstaja negotovost, vendar stohastični pristop ni uporaben? V nadaljevanju na kratko predstavljamo enega od alternativnih pristopov, ki temelji na teoriji mehkih množic.
Spomnimo vas, da je relacija (odnos med in) podmnožica množice. tiste. nek nabor parov R=(( x, pri)), Kje,. Na primer, funkcionalno povezavo (odvisnost) lahko predstavimo kot razmerje med nizi, vključno s pari ( X, pri), za katerega.
V najpreprostejšem primeru je lahko R identitetna relacija, če.
Primeri 12-15 v tabeli. 1. 1 je leta 1988 izumil učenec 86. razreda šole 292 M. Koroteev.
Matematik tukaj bo seveda opazil, da minimum v (1.4), strogo gledano, morda ne bo dosežen in je v formulaciji (1.4) treba zamenjati rnin z inf ("infimum" je natančen infimum nastavite). Vendar to ne bo spremenilo situacije: formalizacija v tem primeru ne odraža bistva naloge, tj. izvedeno nepravilno. Da ne bi “prestrašili” inženirja, bomo v prihodnje uporabljali zapis min, max; ob upoštevanju, da jih je treba po potrebi nadomestiti s splošnimi inf, sup.
Tu se izraz "struktura" uporablja v nekoliko ožjem pomenu, kot v pododdelku. 1.1, in pomeni sestavo podsistemov v sistemu in vrste povezav med njimi.
Graf je par ( G, R), kjer je G=(g 1 ... g n) je končna množica vozlišč, a - binarno razmerje do G.Če, takrat in samo če, potem se graf imenuje neusmerjen, drugače - usmerjen. Pari se imenujejo loki (robovi), elementi pa množice G- oglišča grafa.
To je algebraično ali transcendentalno.
Strogo gledano je števna množica nekakšna idealizacija, ki je zaradi končne velikosti tehničnih sistemov in meja človeškega dojemanja ni mogoče praktično uresničiti. Takšni idealizirani modeli (na primer množica naravnih števil n=(1, 2,...)) je smiselno uvesti za množice, ki so končne, vendar s predhodno neomejenim (ali neznanim) številom elementov.
Formalno je pojem operacije poseben primer pojma razmerja med elementi množic. Na primer, operacija seštevanja dveh števil podaja ternarno relacijo R: tri številke (x, y, z) z) pripada razmerju R(pišemo (x,y,z)), če z = x+y.
Kompleksno število, argument polinomov A(), IN().
Ta predpostavka se v praksi pogosto uresniči.
Če količina ni znana, jo je treba v (2.33) nadomestiti z oceno, kjer V tem primeru količina ne bo več porazdeljena normalno, ampak po Studentovem zakonu, ki se pri praktično ne razlikuje od normale.
Lahko vidimo, da je (2.34) poseben primer (2.32), če vzamemo dogodek A vstopil j- m poskus, drugače. pri čemer
In danes lahko dodate "... in računalništvo" (opomba avtorja).
Vsak pravi proces značilnost naključna nihanja, ki jih povzroči fizična spremenljivost katerega koli dejavnika skozi čas. Poleg tega lahko pride do naključnih zunanjih vplivov na sistem. Torej z enako povprečno vrednostjo vhodnih parametrov 
ob različnih časih bodo izhodni parametri različni. Če so torej naključni vplivi na proučevani sistem pomembni, ga je treba razvijati verjetnostni (stohastični) model objekta z upoštevanjem statističnih zakonitosti porazdelitve sistemskih parametrov in izbiro ustreznega matematičnega aparata.
Pri gradnji deterministični modeli naključni dejavniki so zanemarjeni, pri čemer se upoštevajo samo specifični pogoji problema, ki se rešuje, lastnosti in notranje povezave predmeta (skoraj vse veje klasične fizike so zgrajene na tem principu)
Ideja determinističnih metod- pri uporabi lastne dinamike modela med razvojem sistema.
V našem tečaju so predstavljene te metode: metoda molekularne dinamike, katerega prednosti so: natančnost in zanesljivost numeričnega algoritma; Pomanjkljivost je, da je delovno intenziven zaradi izračuna interakcijskih sil med delci (za sistem N delcev morate na vsakem koraku izvesti 
operacije štetja teh sil).
pri deterministični pristop enačbe gibanja so specificirane in integrirane skozi čas. Upoštevali bomo sisteme številnih delcev. Položaji delcev prispevajo potencialno energijo k celotni energiji sistema, njihove hitrosti pa določajo prispevek kinetične energije. Sistem se giblje po trajektoriji s konstantno energijo v faznem prostoru (nadaljnja pojasnila bodo sledila). Za deterministične metode je mikrokanonski ansambel naraven, katerega energija je integral gibanja. Poleg tega je mogoče preučevati sisteme, za katere je integral gibanja temperatura in (ali) tlak. V tem primeru sistem ni zaprt in ga lahko predstavljamo v stiku s toplotnim rezervoarjem (kanonična zasedba). Za njegovo modeliranje lahko uporabimo pristop, pri katerem omejimo število prostostnih stopenj sistema (npr. postavimo pogoj 
).
Kot smo že omenili, se v primeru, ko se procesi v sistemu zgodijo nepredvidljivo, takšni dogodki in z njimi povezane količine imenujemo naključen, in algoritmi za modeliranje procesov v sistemu - verjetnostni (stohastični). grški stoohastikos- dobesedno pomeni "tisti, ki zna ugibati."
Stohastične metode uporabljajo nekoliko drugačen pristop kot deterministične: izračunati morajo le konfiguracijski del problema. Enačbe za gibalno količino sistema je vedno mogoče integrirati. Težava, ki se takrat pojavi, je, kako izvesti prehode iz ene konfiguracije v drugo, ki so v determinističnem pristopu določene z momentom. Takšni prehodi v stohastičnih metodah se izvajajo z verjetnostnim razvojem v Markov proces. Markovljev proces je verjetnostni analog lastne dinamike modela.
Prednost tega pristopa je, da omogoča modeliranje sistemov, ki nimajo lastne dinamike.
Za razliko od determinističnih metod so stohastične metode na osebnem računalniku enostavnejše in hitrejše za implementacijo, vendar je za pridobitev vrednosti, ki so blizu pravim, potrebna dobra statistika, kar zahteva modeliranje velikega ansambla delcev.
Primer popolnoma stohastične metode je Metoda Monte Carlo. Stohastične metode uporabljajo pomemben koncept Markovljevega procesa (Markovljeva veriga). Markovljev proces je verjetnostni analog procesa v klasični mehaniki. Za verigo Markov je značilna odsotnost spomina, tj. statistične značilnosti bližnje prihodnosti določa le sedanjost, ne da bi upoštevali preteklost.
Bolj praktično kot naporno 2.
Model naključnega sprehajanja
Primer(formalno)
Predpostavimo, da so delci nameščeni v poljubnih položajih na vozliščih dvodimenzionalne mreže. Na vsakem časovnem koraku delec "skoči" v enega od položajev mirovanja. To pomeni, da ima delec možnost izbire smeri skoka na katero koli od štirih najbližjih mest. Po skoku se delec »ne spomni«, od kod je skočil. Ta primer ustreza naključnemu sprehodu in je Markovljeva veriga. Rezultat vsakega koraka je novo stanje sistema delcev. Prehod iz enega stanja v drugo je odvisen le od prejšnjega stanja, tj. verjetnost, da je sistem v stanju i, je odvisna samo od stanja i-1.
Kateri fizikalni procesi v trdnem telesu nas (podobno kot) spominjajo na opisani formalni model naključnega sprehajanja?
Seveda difuzija, torej sami procesi, katerih mehanizme smo obravnavali pri prenosu toplote in mase (3. predmet). Kot primer se spomnimo običajne klasične samodifuzije v kristalu, ko atomi, ne da bi spremenili svoje vidne lastnosti, občasno spremenijo kraje začasnega prebivališča in se sprehajajo po rešetki z uporabo tako imenovanega mehanizma "praznine". Je tudi eden najpomembnejših mehanizmov difuzije v zlitinah. Pojav migracije atomov v trdnih snoveh ima odločilno vlogo v številnih tradicionalnih in netradicionalnih tehnologijah - metalurgiji, obdelavi kovin, ustvarjanju polprevodnikov in superprevodnikov, zaščitnih premazov in tankih filmov.
Odkril ga je Robert Austen leta 1896 z opazovanjem difuzije zlata in svinca. Difuzija- proces prerazporeditve atomskih koncentracij v prostoru s kaotično (toplotno) migracijo. Vzroki, z vidika termodinamike sta lahko dve: entropija (vedno) in energija (včasih). Entropijski razlog je povečanje kaosa pri mešanju atomov izrezljane sorte. Energija - spodbuja tvorbo zlitine, ko je bolj ugodno imeti atome različnih vrst v bližini, in spodbuja difuzijsko razgradnjo, ko je dobiček energije zagotovljen s postavitvijo atomov iste vrste skupaj.
Najpogostejši difuzijski mehanizmi so:
prosto delovno mesto
internodalna
mehanizem premika
Za izvajanje mehanizma prostih delovnih mest je potrebno vsaj eno prosto delovno mesto. Migracija prostih mest se izvede s premikom na nezasedeno mesto enega od sosednjih atomov. Atom lahko naredi difuzijski skok, če je zraven njega prosto mesto. Vakanca cm, s periodo toplotnih nihajev atoma v mrežnem mestu, pri temperaturi T = 1330 K (za 6 K< точки плавления), число скачков, которое совершает вакансия в 1с, путь за одну секунду-см=3 м (=10 км/ч). По прямой же путь, проходимый вакансиейсм, т. е. в 300 раз короче пути по ломаной.
Narava je to potrebovala. tako da prosto mesto spremeni svoje prebivališče v 1 s, preide vzdolž lomljene črte 3 m in se premakne vzdolž ravne črte le za 10 mikronov. Atomi se obnašajo bolj umirjeno kot prazna mesta. Spremenijo pa tudi svoje bivališče milijonkrat na sekundo in se premikajo s hitrostjo približno 1 m/uro.
torej. da je eno prosto mesto na več tisoč atomov dovolj za premikanje atomov na mikro ravni pri temperaturi blizu tališča.
Sedaj oblikujmo model naključnega sprehajanja za pojav difuzije v kristalu. Proces tavanja atoma je kaotičen in nepredvidljiv. Vendar pa bi se morale za skupino tavajočih atomov pojaviti statistične pravilnosti. Upoštevali bomo nekorelirane skoke.
To pomeni, da če 
in 
je gibanje atomov med skokoma i in j, nato pa po povprečenju skupine tavajočih atomov:
(povprečni produkt = produkt povprečij. Če je hoja povsem naključna, so vse smeri enake in 
=0.)
Naj vsak delec ansambla naredi N elementarnih skokov. Potem je njegov skupni premik:
;
in povprečni kvadrat pomika
Ker korelacije ni, je drugi člen =0.
Naj ima vsak skok enako dolžino h in naključno smer, povprečno število skokov na časovno enoto pa je v. Potem
To je očitno 
Pokličimo količino 
- difuzijski koeficient tavajočih atomov. Potem 
;
Za tridimenzionalni primer - 
.
Imamo zakon parabolične difuzije- srednji kvadrat odmika je sorazmeren s časom tavanja.
Prav to je problem, ki ga moramo rešiti pri naslednji laboratorijski nalogi - modeliranje enodimenzionalnih naključnih sprehodov.
Numerični model.
Definiramo skupek M delcev, od katerih vsak naredi N korakov, neodvisno drug od drugega, v desno ali v levo z enako verjetnostjo. Dolžina koraka = h.
Za vsak delec izračunamo kvadrat odmika 
v N korakih. Nato izvedemo povprečenje nad ansamblom - 
. Magnituda 
, Če 
, tj. srednji kvadrat premika je sorazmeren z naključnim časom hoje 
- povprečni čas enega koraka) - parabolični zakon difuzije.
Matematični modeli v ekonomiji in programiranju
1. Deterministični in verjetnostni matematični modeli v ekonomiji. Prednosti in slabosti
Metode za preučevanje ekonomskih procesov temeljijo na uporabi matematičnih – determinističnih in verjetnostnih – modelov, ki predstavljajo preučevani proces, sistem ali vrsto dejavnosti. Takšni modeli kvantitativno opišejo problem in služijo kot osnova za sprejemanje vodstvenih odločitev pri iskanju optimalne možnosti. Kako upravičene so te odločitve, ali so najboljše možne, ali so upoštevani in pretehtani vsi dejavniki, ki določajo optimalno rešitev, po katerem kriteriju ugotovimo, da je ta rešitev res najboljša - to je vrsta vprašanj, ki jih velikega pomena za vodje proizvodnje, odgovor na katerega je mogoče najti z metodami operacijskega raziskovanja [Chesnokov S.V. - M.: Nauka, 1982, str.
Eden od principov oblikovanja krmilnega sistema je metoda kibernetskih (matematičnih) modelov. Matematično modeliranje zavzema vmesni položaj med eksperimentom in teorijo: ni treba graditi pravega fizičnega modela sistema; nadomestil ga bo matematični model. Posebnost oblikovanja krmilnega sistema je v verjetnostnem, statističnem pristopu k procesom vodenja. V kibernetiki velja, da je vsak nadzorni proces podvržen naključnim, motečim vplivom. Tako na proizvodni proces vpliva veliko število dejavnikov, ki jih ni mogoče deterministično upoštevati. Zato velja, da na proizvodni proces vplivajo naključni signali. Zaradi tega je načrtovanje podjetja lahko le verjetnostno.
Iz teh razlogov, ko govorijo o matematičnem modeliranju ekonomskih procesov, pogosto mislijo na verjetnostne modele.
Opišimo vsako vrsto matematičnega modela.
Za deterministične matematične modele je značilno, da opisujejo razmerje nekaterih faktorjev z efektivnim indikatorjem kot funkcionalno odvisnost, tj. pri determinističnih modelih je efektivni indikator modela predstavljen v obliki produkta, količnika, algebrskega vsoto faktorjev ali v obliki katere koli druge funkcije. Ta vrsta matematičnih modelov je najpogostejša, saj je precej preprosta za uporabo (v primerjavi z verjetnostnimi modeli) omogoča razumevanje logike delovanja glavnih dejavnikov v razvoju gospodarskega procesa, količinsko opredelitev njihovega vpliva, razumeti, katere dejavnike in v kakšnih razmerjih je možno in priporočljivo spremeniti za povečanje učinkovitosti proizvodnje.
Probabilistični matematični modeli se bistveno razlikujejo od determinističnih v tem, da je v verjetnostnih modelih razmerje med faktorji in posledično lastnostjo verjetnostno (stohastično): s funkcionalno odvisnostjo (deterministični modeli) enako stanje faktorjev ustreza enemu samemu stanju posledične lastnosti. atribut, medtem ko v verjetnostnih modelih eno in isto stanje faktorjev ustreza celemu nizu stanj nastalega atributa [Tolstova Yu. N. Logika matematične analize ekonomskih procesov. - M.: Nauka, 2001, str. 32-33].
Prednost determinističnih modelov je njihova enostavna uporaba. Glavna pomanjkljivost je nizka ustreznost realnosti, saj je, kot je navedeno zgoraj, večina ekonomskih procesov verjetnostne narave.
Prednost verjetnostnih modelov je v tem, da so praviloma bolj skladni z realnostjo (bolj ustrezni) kot deterministični. Pomanjkljivost verjetnostnih modelov pa je zapletenost in delovno intenzivna narava njihove uporabe, zato je v mnogih situacijah dovolj, da se omejimo na deterministične modele.
2. Postavitev problema linearnega programiranja na primeru problema obroka hrane
Prvič formulacija problema linearnega programiranja v obliki predloga za izdelavo optimalnega transportnega načrta; omogočanje zmanjšanja skupne kilometrine je bilo podano v delu sovjetskega ekonomista A. N. Tolstoja leta 1930.
Sistematične študije problemov linearnega programiranja in razvoj splošnih metod za njihovo reševanje so se nadalje razvile v delih ruskih matematikov L. V. Kantoroviča, V. S. Nemčinova in drugih matematikov in ekonomistov. Metodam linearnega programiranja je posvečenih tudi veliko del tujih in predvsem ameriških znanstvenikov.
Problem linearnega programiranja je maksimizirati (minimizirati) linearno funkcijo.
pod omejitvami
in vse
Komentiraj. Neenakosti imajo lahko tudi nasproten pomen. Z množenjem ustreznih neenakosti z (-1) lahko vedno dobimo sistem oblike (*).
Če je število spremenljivk v sistemu omejitev in ciljni funkciji v matematičnem modelu problema 2, potem ga je mogoče rešiti grafično.
Funkcijo moramo torej maksimizirati do zadovoljivega sistema omejitev.
Obrnimo se na eno od neenakosti sistema omejitev.
Z geometrijskega vidika morajo vse točke, ki izpolnjujejo to neenakost, ležati na premici ali pripadati eni od polravnin, na katere je ravnina te premice razdeljena. Če želite izvedeti, morate preveriti, kateri od njih vsebuje piko ().
Opomba 2. Če je , potem je lažje vzeti točko (0;0).
Pogoji nenegativnosti določajo tudi polravnine z mejnimi črtami. Predpostavimo, da je sistem neenačb konsistenten, potem polravnine, ki se sekajo, tvorijo skupni del, ki je konveksna množica in predstavlja množico točk, katerih koordinate so rešitev tega sistema - to je množica dopustnih rešitve. Množica teh točk (rešitev) se imenuje poligon rešitev. Lahko je točka, žarek, mnogokotnik ali neomejeno mnogokotno območje. Tako je naloga linearnega programiranja najti točko v odločitvenem poligonu, kjer ciljna funkcija prevzame največjo (minimalno) vrednost. Ta točka obstaja, ko poligon rešitve ni prazen in je ciljna funkcija na njem omejena od zgoraj (od spodaj). Pod navedenimi pogoji prevzame ciljna funkcija v enem od vrhov poligona rešitve največjo vrednost. Za določitev tega vozlišča zgradimo premico (kjer je h neka konstanta). Najpogosteje se vzame ravna črta. Še vedno je treba ugotoviti smer gibanja te črte. To smer določa gradient (antigradient) ciljne funkcije.
Vektor v vsaki točki je pravokoten na premico, zato bo vrednost f naraščala, ko se premica premika v smeri gradienta (zmanjšala v smeri antigradienta). Če želite to narediti, narišite ravne črte, vzporedne z ravno črto, ki se premikajo v smeri gradienta (anti-gradient).
S temi konstrukcijami bomo nadaljevali, dokler premica ne bo šla skozi zadnjo točko rešitvenega mnogokotnika. Ta točka določa optimalno vrednost.
Torej iskanje rešitve problema linearnega programiranja z uporabo geometrijske metode vključuje naslednje korake:
Konstruiramo premice, katerih enačbe dobimo tako, da neenačbe v omejitvah zamenjamo z natančnimi enačbami.
Poiščite polravnine, ki jih definira vsaka od omejitev problema.
Poišči poligon rešitve.
Zgradite vektor.
Gradijo ravno črto.
Konstruirajo vzporedne premice v smeri gradienta ali antigradienta, zaradi česar najdejo točko, v kateri funkcija zavzame največjo ali najmanjšo vrednost, oziroma ugotovijo, da je funkcija neomejena od zgoraj (od spodaj) na dopustni niz.
Določimo koordinate točke maksimuma (minimuma) funkcije in izračunamo vrednost ciljne funkcije v tej točki.
Problem racionalne prehrane (problem obroka hrane)
Oblikovanje problema
Na kmetiji redijo živino za komercialne namene. Za poenostavitev predpostavimo, da obstajajo samo štiri vrste izdelkov: P1, P2, P3, P4; Cena na enoto vsakega izdelka je enaka C1, C2, C3, C4. Iz teh izdelkov morate sestaviti prehrano, ki mora vsebovati: beljakovine - vsaj b1 enot; ogljikovi hidrati - najmanj b2 enot; maščobe - vsaj b3 enot. Za izdelke P1, P2, P3, P4 je vsebnost beljakovin, ogljikovih hidratov in maščob (v enotah na enoto proizvoda) znana in navedena v tabeli, kjer je aij (i=1,2,3,4; j=1). ,2,3) - nekatere specifične številke; prvi indeks označuje številko izdelka, drugi - številko elementa (beljakovine, ogljikovi hidrati, maščobe).
Probabilistično-deterministični matematični napovedni modeli grafov energetske obremenitve so kombinacija statističnih in determinističnih modelov. Prav ti modeli omogočajo najboljšo natančnost napovedovanja in prilagodljivost spreminjajočemu se procesu porabe energije.
Temeljijo na standardizirani koncepti modeliranja obremenitve, tj. aditivna dekompozicija dejanske obremenitve na standardiziran graf (osnovna komponenta, deterministični trend) 
in preostalo komponento 
:
Kje t– čas v dnevu; d– številka dneva, na primer v letu.
V standardni komponenti 
pri modeliranju izvajajo tudi aditivni izbor posameznih komponent, ki upoštevajo: spremembe povprečne sezonske obremenitve 
; tedenski cikel sprememb porabe energije 
; komponenta trenda, ki modelira dodatne učinke, povezane s spremembami časa sončnega vzhoda in zahoda iz sezone v sezono 
; komponento, ki upošteva odvisnost porabe električne energije od meteoroloških dejavnikov 
, zlasti temperature itd.
Oglejmo si podrobneje pristope k modeliranju posameznih komponent na podlagi zgoraj omenjenih determinističnih in statističnih modelov.
Modelarstvo povprečna sezonska obremenitev 
pogosto z uporabo preprostega drsečega povprečja:
kjer je N število običajnih rednih (delovnih dni), ki jih vsebuje n preteklih tednov. 
, saj so iz tednov izključeni »posebni«, »neredni dnevi«, prazniki itd. Dnevne posodobitve se izvajajo s povprečenjem podatkov v zadnjih n tednih.
Simulacija tedenskih ciklov 
tudi z drsečim povprečenjem obrazca
posodobljeno tedensko s povprečenjem podatkov v zadnjih n tednih ali z uporabo eksponentno tehtanega drsečega povprečja:
kjer je empirično določen parameter glajenja ( 
).
V delu za manekenstvo 
in 
uporabljenih je sedem komponent 
, 
za vsak dan v tednu in vsak 
določeno ločeno z uporabo modela eksponentnega glajenja.
Avtorji dela za modeliranje 
Uporabljeno je dvojno eksponentno glajenje tipa Holt–Winters. V delu za manekenstvo 
uporabite harmonično predstavitev oblike
s parametri, ocenjenimi iz empiričnih podatkov (vrednost »52« določa število tednov v letu). Vendar problem prilagodljivega operativnega ocenjevanja teh parametrov v tem delu ni popolnoma rešen.
Modelarstvo 
, 
v nekaterih primerih se izvaja z uporabo končne Fourierjeve vrste: s tedenskim obdobjem, z dnevnim obdobjem ali z ločenim modeliranjem delovnih dni in vikendov, s petimi oziroma dvodnevnimi obdobji:
Za modeliranje komponente trenda 
uporabite polinome 2. - 4. reda ali različne nelinearne empirične funkcije, na primer v obliki:
kjer je polinom četrte stopnje, ki opisuje relativno počasne gladke spremembe obremenitve 
podnevi glede na letne čase; , , – funkcije modeliranja učinkov, povezanih s spremembami časa sončnega vzhoda in zahoda glede na letni čas.
Da bi upoštevali odvisnost porabe energije od meteoroloških dejavnikov, je v nekaterih primerih uvedena dodatna komponenta 
. Delo teoretično utemeljuje vključitev 
v model, vendar so možnosti modeliranja temperaturnega učinka obravnavane le v omejenem obsegu. Tako za predstavitev temperaturne komponente 
za egipčanske razmere se uporablja polinomski model
kje je temperatura zraka ob t-ti uri.
Za »normalizacijo« vrhov in najnižjih vrednosti procesa se uporablja regresijska metoda ob upoštevanju temperature, pri čemer so normalizirani podatki predstavljeni z enodimenzionalnim modelom avtoregresivne integrirane drseče sredine (ARISS).
Uporablja se tudi za modeliranje 
ob upoštevanju temperature, rekurzivni Kalmanov filter, ki vključuje zunanje dejavnike - napoved temperature. Ali pa uporabijo polinomsko kubično interpolacijo urnih obremenitev v kratkoročnem razponu in v modelu upoštevajo vpliv temperature.
Da bi upoštevali napovedi povprečne dnevne temperature, različne vremenske razmere za izvedbo analiziranega procesa in hkrati povečali stabilnost modela, je predlagana uporaba posebne modifikacije modela drsečega povprečja.
,
kjer se za različne vremenske razmere, povezane z verjetnostmi, oblikuje niz m grafov obremenitev 
, napoved pa je opredeljena kot pogojno matematično pričakovanje. Verjetnosti se posodobijo z Bayesovo metodo, ko čez dan postanejo na voljo nove dejanske vrednosti obremenitve in faktorji.
Modelarstvo preostalo komponento 
izvedena tako z uporabo enodimenzionalnih modelov kot večdimenzionalnih, ob upoštevanju meteoroloških in drugih zunanjih dejavnikov. Tako se avtoregresivni model AR(k) reda k pogosto uporablja kot enodimenzionalni (enofaktorski) model
,
kje je preostali beli šum. Za predvidevanje urnih (polurnih) odčitkov se uporabljajo modeli AR(1), AR(2) in celo AR(24). Tudi če se uporablja posplošeni model ARISS 
Kakorkoli že, njegova uporaba je omejena na modele AR(1), AR(2) za petminutne in urne meritve obremenitev.
Še en enofaktorski model za modeliranje komponente 
je model enojni ali dvojni eksponentno glajenje. Ta model vam omogoča učinkovito prepoznavanje kratkoročnih trendov, ko se spreminja preostala obremenitev. Enostavnost, ekonomičnost, rekurzivnost in računska učinkovitost zagotavljajo metodi eksponentnega glajenja široko uporabo. Uporaba preprostega eksponentnega glajenja 
pri različnih konstantah in določi dve eksponentni povprečji 
in 
. Napoved rezidualne komponente 
proaktivno določen s formulo
