www.stran vam omogoča, da najdete. Spletno mesto izvaja izračun. Čez nekaj sekund bo strežnik izdal pravilna rešitev. Karakteristična enačba za matriko bo algebrski izraz, ki ga najdemo s pravilom za izračun determinante matrice matrice, medtem ko bodo vzdolž glavne diagonale razlike v vrednostih diagonalnih elementov in spremenljivke. Pri izračunu karakteristična enačba za matriko na spletu, vsak element matrice bodo pomnoženi z ustreznimi drugimi elementi matrice. Najdi v načinu na spletu možno samo za kvadrat matrice. Operacija iskanja karakteristična enačba za matriko na spletu se spušča v izračun algebraična vsota izdelki iz elementov matrice kot rezultat iskanja determinante matrice, zgolj z namenom ugotavljanja karakteristična enačba za matriko na spletu. Ta operacija vzame posebno mesto v teoriji matrice, vam omogoča iskanje lastnih vrednosti in vektorjev z uporabo korenin. Naloga iskanja karakteristična enačba za matriko na spletu sestoji iz množitvenih elementov matricečemur sledi seštevanje teh produktov določeno pravilo. www.stran najde značilna enačba za matriko dano dimenzijo v načinu na spletu. Izračun karakteristična enačba za matriko na spletu glede na njegovo dimenzijo je to iskanje polinoma s številskimi ali simbolnimi koeficienti, ki jih najdemo po pravilu za izračun determinante matrice- kot vsota produktov ustreznih elementov matrice, zgolj z namenom ugotavljanja karakteristična enačba za matriko na spletu. Iskanje polinoma glede na spremenljivko za kvadrat matrice, kot definicija značilna enačba za matriko, običajno v teoriji matrice. Pomen korenin polinoma karakteristična enačba za matriko na spletu uporablja za določanje lastnih vektorjev in lastne vrednosti Za matrice. Še več, če je determinanta matrice potem bo enako nič značilna enačba matrike bo še obstajal, za razliko od obratnega matrice. Da bi izračunali značilna enačba za matriko ali poiščite več naenkrat matrike značilne enačbe, boste morali porabiti veliko časa in truda, medtem ko bo naš strežnik našel v nekaj sekundah karakteristična enačba za matriko na spletu. V tem primeru je odgovor na iskanje karakteristična enačba za matriko na spletu bo pravilno in z zadostno natančnostjo, tudi če številke pri iskanju karakteristična enačba za matriko na spletu bo neracionalno. Na strani www.stran vnos znakov je dovoljen v elementih matrice, to je karakteristična enačba za matriko na spletu pri izračunu lahko predstavimo v splošni simbolni obliki karakteristična enačba matrike na spletu. Koristno je preveriti dobljeni odgovor pri reševanju naloge iskanja karakteristična enačba za matriko na spletu uporabo spletnega mesta www.stran. Pri izvajanju operacije izračuna polinoma - značilna enačba matrike, morate biti pri reševanju te težave previdni in izjemno osredotočeni. Naše spletno mesto pa vam bo pomagalo preveriti vašo odločitev o temi karakteristična enačba matrike na spletu. Če nimate časa za dolga preverjanja rešenih nalog, potem www.stran bo gotovo priročen pripomoček za preverjanje pri iskanju in računanju karakteristična enačba za matriko na spletu.
Opredelitev
Za dano matriko , , kjer je E- identitetna matrika je polinom v , ki se imenuje karakteristični polinom matrice A(včasih tudi »sekularna enačba«).
Vrednost karakterističnega polinoma je tista lastne vrednosti matrike so njegove korenine. Če ima enačba rešitev, ki ni ničelna, potem je matrika singularna in je njena determinanta enaka nič.
Sorodne definicije
Lastnosti
.Povezave
- V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Višja matematika. Linearna algebra . - Državna energetska univerza Ivanovo.
Fundacija Wikimedia. 2010.
- Referenčna krivulja
- Harald III (norveški kralj)
Oglejte si, kaj je "Karakteristični polinom matrike" v drugih slovarjih:
Karakteristični polinom- V matematiki karakteristični polinom lahko pomeni: karakteristični polinom matrike, karakteristični polinom linearnega rekurentnega zaporedja, karakteristični polinom navadnega diferencialna enačba.… … Wikipedia
KARAKTERISTIČNI POLINOM- matrike nad poljem K polinom nad poljem K Stopnja X. m je enaka red kvadratna matrika A, koeficient b1 je enak sledi matrike (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koeficient b t enaka vsoti vsi večji minori th reda, zlasti bn=detA... Matematična enciklopedija
Najmanjši matrični polinom- Ta izraz ima druge pomene, glejte Najmanjši polinom. Najmanjši matrični polinom, ki izniči unitarni polinom minimalna stopnja. Lastnosti Minimalni polinom deli karakteristični polinom matrike... ... Wikipedia
Lambda matrike- Glavni članek: Funkcije matrik Lambda matrika (matrika λ, matrika polinomov) je kvadratna matrika, katere elementi so polinomi nad določenim številskim poljem. Če obstaja nek matrični element, ki je polinom... Wikipedia
SPEKTER MATRIKE- niz njegovih lastnih vrednosti. Glej tudi Karakteristični polinom matrike... Matematična enciklopedija
Značilno število matrice- Označeno z rdečo lastni vektor. Za razliko od modrega med deformacijo ni spremenil smeri in dolžine, zato je lastni vektor, ki ustreza lastni vrednosti λ = 1. Vsak vektor, ki je vzporeden rdečemu vektorju... ... Wikipedia
Podobne matrice- Kvadratni matriki A in B istega reda se imenujeta podobni, če obstaja nesingularna matrika P istega reda, tako da: Podobne matrike dobimo z določitvijo enakih linearna transformacija matriko v različnih... ... Wikipedijah
Karakteristična matrika
Karakteristična enačba- Značilni polinom je polinom, ki določa lastne vrednosti matrike. Drug pomen: Značilni polinom linearne rekurente je polinom. Vsebina 1 Definicija ... Wikipedia
Hamiltonov izrek- Izrek Hamiltona Cayleyja slavni izrek iz teorije matrik, poimenovana po Williamu Hamiltonu in Arthurju Cayleyju. Izrek Hamiltona Cayleyja Vsaka kvadratna matrika izpolnjuje svojo značilno enačbo. Če ... Wikipedia
Pustiti A- kvadratna realna ali kompleksna matrika n-tega reda. Matrix
s spremenljivko A, ki sprejme katerikoli številske vrednosti, poklical značilna matrika matrice A. Njegova determinanta
predstavlja polinom v spremenljivki stopnje A p. Ta polinom se imenuje karakteristični polinom matrice A.
Dejstvo, da je karakteristični polinom pravzaprav polinom v spremenljivki A, izhaja neposredno iz definicije determinante. Najvišja stopnja, enako n, med vsemi členi determinante A - E ima izdelek
Preostali členi determinante ne vsebujejo vsaj dveh matričnih elementov A- A E s spremenljivko A in zato nimajo višje stopnje P - 2. Zato je stopnja polinoma enaka p. Upoštevajte, da produkt (5.9) ne določa le stopnje karakterističnega polinoma, temveč tudi njegova dva člena z višjimi potencami
Prosti člen karakterističnega polinoma sovpada z njegovo vrednostjo pri A = 0 in je enak |A - A E= |L|, tj. determinanta matrike A.
Torej karakteristični polinom matrike A naročilo p ima obliko (glej str.83 in str.55):
Kje Pk- vsota glavnih minorjev matrike A>th reda A,še posebej, Pi= ac + «22 + - - +ftnn - vsota elementov glavne diagonale matrike A, imenujemo sled te matrike in jo označujemo s Sp A, str str- determinanta |L| matrice A.
Korenine karakterističnega polinoma |A - ON klical značilne korenine oz značilne številke matrice A. Večkratnost do g karakteristični koren A* v karakterističnem polinomu imenujemo algebrska mnogoterost ta koren. Veliko vseh značilne korenine matrike, v katerih se vsak značilni koren ponovi tolikokrat, kolikorkrat se imenuje njegova množica spekter matrike A.Če so vse značilne korenine matrike enostavne (tj. Imajo enotsko mnogokratnost), potem se spekter matrike imenuje. preprosto.
V skladu s formulami Vieta so koeficienti karakterističnega polinoma povezani z značilnimi koreninami na naslednji način:
Iz teh formul sledijo zlasti pogosto uporabljene relacije
V skladu z zadnjo enakostjo ima značilni polinom matrike nič karakterističnih korenin, če in samo če je determinanta te matrike enaka nič, tj. ko je matrica singularna.
Primer 5.5. Izračunajte karakteristični polinom matrike
rešitev. V skladu z definicijo karakterističnega polinoma dobimo:
Če uporabimo formulo (5.10), najprej najdemo
in potem napiši
Metode za izračun karakterističnega polinoma najdete v dodatku na koncu knjige.
Izrek 5.7.Karakteristični polinomi takih matrik sovpadajo.
> Če matrice A in IN podobno, potem za neko nesingularno matriko Q enakost velja IN = Q~ l AQ. torej
Na poljuben polinom
namesto spremenljivke L lahko nadomestite kvadratno matriko A naročilo p. Kot rezultat dobimo matrico P(A) = v A p + a A p ~ 1 --
N----+ a n _ 1 A + a p E, ki se imenuje vrednost polinoma R( L)
pri L = A.Če za dano matriko A enakost je res P(A)= O (vrednost polinoma R( A) z L = A je ničelna matrika), potem A klical matrika, koren polinoma P( A), sam polinom P(A) pa je polinom, ki ga izniči matrika A.
Izrek 5.8. Vsaka kvadratna matrika je koren nekega neničelnega polinoma.
> Množica vseh kvadratnih matrik reda p z elementi s področja Rčez je linearni prostor R dimenzije n 2. V tem linearni prostor kateri koli sistem, v katerem vsaj n 2 Elementi +1 so linearno odvisni. Zato sistem A str , A str -1 , ..., A, E od p 2 + 1 matrike so linearno odvisne, tj. obstaja tak niz številk ao, od, ..., a str 2 , ki hkrati ne izginejo, tako da enakost
Ta enakost pomeni, da matrika A je koren polinoma
Dokazani izrek dejansko izhaja iz naslednje izjave.
Izrek 5.9 (Hamiltonov izrek - Kaley).
Vsaka kvadratna matrika je koren njenega karakterističnega polinoma.
Preden dokažemo ta izrek, predstavimo koncept X-matrice- matriko, katere elementi so polinomi v spremenljivki A. Vsako A-matriko lahko predstavimo kot polinom v spremenljivki A, katerega koeficienti so kvadratne matrike ustreznega reda. na primer
> Naj A- kvadratna matrika n-tega reda. Razmislite o adjungirani matriki Z na matrico A - E. Njegovi elementi so algebrski dodatki elementi determinante | A - E|, ki so polinomi stopnje, ki ni višja od P- 1. Kot je navedeno zgoraj, matrika Z lahko predstavimo v obliki
kjer je Ci, C2, ..., C p - nekaj numeričnih matrik. Z glavno lastnostjo adjungirane matrike (glej razdelek 3.S, posledica 3.2) imamo:
V tej enačbi zamenjamo matriko C z vsoto (5.11), karakteristični polinom pa z vsoto (5.10). Potem dobimo enakost
Odpiranje oklepajev na obeh straneh enakosti in enačenje koeficientov enake stopinje L, dobimo sistem iz p+ 1 enakosti: 
Prvo enakost sistema pomnožimo s A p, drugi - na L p_1 itd., n-e enakost - naprej A, (str+ 1)th enakost - na A° = E:
Pri seštevanju teh enačb na levi strani dobimo ničelno matriko, na desni strani pa izraz
Zato f(A) = 0. ?
5.6. Karakteristični in minimalni polinom
Polinom 92(A) minimalne stopnje, ki ima vodilni koeficient enak ena in ga matrika izniči A, klical minimalni polinom ta matrika.
Izrek 5 . 10 . Vsak polinom, ki ga prekliče matrika A, je popolnoma deljiv z minimalnim polinomom te matrike. Zlasti je značilni polinom matrike deljen z njegovim minimalnim polinomom.
O Razdeli polinom R( A) na minimalni polinom 9?(A) z ostankom: R( A) = 99(A) g(A) + g(A), kjer ima polinom g(A) stopnjo manjšo od stopnje 92(A). Zamenjava spremenljivke A z matriko A, dobimo:
Ker P(A)= p(A) = 0 , potem G (A) = 0 . Toda ta enakost je mogoča le, če je polinom g (A) nič. V nasprotnem primeru pride do protislovja pri definiciji minimalnega polinoma. Enakopravnost G = 0 pomeni, da polinom R( A) je popolnoma deljiv z 92(A). ?
Posledica 5 .1 . Vsak koren minimalnega polinoma matrike je koren njegovega karakterističnega polinoma.
O Kot je bilo ugotovljeno v dokazu izreka, je karakteristični polinom /(A) povezan z minimalnim polinomom 92(A) z enakostjo /(A) = 99(A) q(). Iz te enakosti izhaja trditev posledice. ?
Omenimo še nekaj uporabna dejstva(cm. [ 7 ], z. 100 ).
Karakteristični polinom | A - ON matrika A in njen minimalni polinom 92(A) sta povezana z razmerjem
Kje Dn- 1 - največji skupni delilnik vsi minori matrike A - A E, imeti (n - 1 )th red.
Korenine minimalnega polinoma 92(A) so vse različne korenine karakterističnega polinoma | A- A E in če
kjer je 1^ p do ^ t k: k = 1,2
Formula (5.12) vam omogoča, da najdete najmanjši polinom matrike. Spodaj je obravnavan drug način za konstruiranje minimalnega matričnega polinoma (glejte razdelek 6.5).
Primer 5.6. Poiščite najmanjši polinom matrike
rešitev. V prejšnjih primerih za matriko A najden karakteristični polinom A - E= - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Splošno največji delilec D2 vsi minori drugega reda matrike
je enako ena, saj so njegovi manjše osebe
medsebojno preprosta. Zato
Primer 5.7. Poiščite karakteristične in minimalne polinome matrik
Rešitev: Za matriko A neposredni izračun determinante najdemo karakteristični polinom
Zapišimo vse minore drugega reda matrike A - A E:
Skupni največji delitelj D2 vseh teh manjših je A - 4. Zato je minimalni polinom matrike A ima obliko:
obvestilo, to D2 mogoče najti drugače. Dejansko, če v matriki A - E nadomestimo A = 4, dobimo matriko
rang G - 1. Posledično so vsi minori drugega reda te matrike enaki nič. To pomeni, da so vsi minori drugega reda matrike A - L E so deljivi z A - 4 in vsi ti minori ne morejo biti deljivi z večjo stopnjo binom A - 4, saj je npr. minor
je deljiva samo s prvo potenco tega binoma. Posledično ?>2 vključuje faktor A -4 na prvo potenco. Drugi množitelji iz | A - A?^1 niso vključeni v?>2, ker na primer pravkar izpisani minor drugega reda ni deljiv z njimi. Zato je Dg = A - 4.
Za matrico A2 Prav tako z neposrednim izračunom determinante poiščemo karakteristični polinom
mladoletniki drugega reda
medsebojno preprosta. Zato D2 = 1 in
Obravnavani primer to dokazuje različne matrice imajo lahko enake značilnosti, vendar različne minimalne polinome.
Glede na to, da so matrike danega linearnega operatorja v različnih bazah podobne in imajo enak karakteristični polinom, je logično, da ta polinom imenujemo karakteristični polinom linearnega operatorja, in njene korenine so karakteristične korenine linearnega operatorja.
Upoštevajte tudi, da je transponirana matrika A T ima enako kot matrika A karakteristični polinomi in karakteristična števila.
Lastni vektorji in lastne vrednosti linearnega operaterja
Naj bo A linearni operator iz . Številka je poklicana lastna vrednost operatorja A, če obstaja neničelni vektor, tako da A . V tem primeru se imenuje vektor lastni vektor operatorja A, ki ustreza lastni vrednosti. Množica vseh lastnih vrednosti linearnega operatorja A se imenuje njegova spekter.
Determinanta linearnega operatorja In detA se imenuje det A, kjer je A matrika linearnega operatorja A v poljubni bazi. Polinomski relativni l klical karakteristični polinom operatorja A. Ni odvisno od izbire podlage.
Enačba
klical značilnost(oz stoletja staro) operatorska enačba A.
Po številu l je bila lastna vrednost operatorja A, je nujno in zadostno, da je to število koren karakteristične enačbe (7.7) operatorja A.
Za enaka operater Vse neničelni vektorji prostora so lastni vektorji (z lastno vrednostjo, enako ena). Za nič operater Vse neničelni vektorji prostora so lastni vektorji (z lastno vrednostjo, enako nič). Najenostavnejšo obliko ima matrika linearnega operatorja, ki ima n linearno neodvisni vektorji.
Izrek 7.2. Za matricoAlinearni operator A je bil v bazi diagonalen, je nujno in zadostno, da so bazni vektorji lastni vektorji tega operatorja.
Vendar ni vsak linearni operator v n- dimenzionalni vektorski prostor Ima n linearno neodvisni lastni vektorji. Osnova lastnih vektorjev se običajno imenuje "lastna baza". Naj lastne vrednosti 
linearni operator A sta različna. Potem so ustrezni lastni vektorji linearno neodvisni. Posledično v tem primeru obstaja "lastna podlaga".
Torej, če ima karakteristični polinom linearnega operatorja A n različne korenine, potem v neki bazi matriko A operator A ima diagonalno obliko.
Pri iskanju lastnih vektorjev linearne transformacije je treba upoštevati, da so določeni do poljubnega faktorja, tj. če je nek vektor lastni vektor, potem je tudi vektor lastni vektor. Tako je dejansko določena prava smer oziroma prava premica, ki ostane nespremenjena pri dani linearni transformaciji.
Karakteristični polinom
je za poljubno kvadratno matriko definiran kot 1) 
, kjer je identitetna matrika istega reda.
Primer. Za:
Izrek.
Figurativno povedano, koeficient pri dobimo s seštevanjem vseh manjših vrst matrike, zgrajenih na elementih njene glavne diagonale.
