Ta izrek je formuliran tudi v učbeniku L.S. , in v učbeniku Pogorelova A.V. . Dokazi tega izreka v teh učbenikih se bistveno ne razlikujejo, zato predstavljamo njegov dokaz na primer iz učbenika A. V. Pogorelova.
Izrek: Vsota kotov trikotnika je 180°
Dokaz. Naj ABC - dani trikotnik. Narišimo premico skozi oglišče B vzporedno s premico AC. Označimo na njej točko D tako, da bosta točki A in D ležali vzdolž različne strani od premice BC (slika 6).
Kota DBC in ACB sta enaka kot notranja navzkrižno ležeča, tvorita sekanta BC z vzporednima premicama AC in BD. Zato je vsota kotov trikotnika pri ogliščih B in C enaka kotu ABD. In vsota vseh treh kotov trikotnika je enaka vsoti kotov ABD in BAC. Ker sta to enostraniška notranja kota za vzporednika AC in BD ter sekanto AB, je njuna vsota enaka 180°. Izrek je dokazan.
Ideja tega dokaza je izvedba vzporedna črta in določitev enakosti želenih kotov. Rekonstruirajmo idejo o tem dodatna gradnja, ki dokazuje ta izrek z uporabo koncepta miselnega eksperimenta. Dokaz izreka z miselnim eksperimentom. Torej, predmet našega miselnega eksperimenta so koti trikotnika. Miselno ga postavimo v pogoje, v katerih se njegovo bistvo lahko razkrije s posebno gotovostjo (1. stopnja).
Takšni pogoji bodo takšna razporeditev vogalov trikotnika, v kateri bodo vsa tri njihova oglišča združena na eni točki. Takšna kombinacija je možna, če dovolimo možnost »premikanja« vogalov s premikanjem stranic trikotnika brez spreminjanja naklonskega kota (slika 1). Takšni gibi so v bistvu naknadne duševne transformacije (2. stopnja).
Z označevanjem kotov in stranic trikotnika (sl. 2), kotov, ki jih dobimo s »premikanjem«, s tem miselno oblikujemo okolje, sistem povezav, v katerega postavljamo predmet razmišljanja (3. stopnja).
Premica AB, ki se "premika" vzdolž črte BC in ne da bi spremenila kot naklona nanjo, prenese kot 1 na kot 5 in "premikne" vzdolž črte AC, prenese kot 2 na kot 4. Ker s takšnim "gibanjem" črta AB ne spremeni naklonskega kota na premici AC in BC, potem je sklep očiten: žarka a in a1 sta vzporedna z AB in se spreminjata drug v drugega, žarka b in b1 pa sta nadaljevanje stranic BC oziroma AC. Ker sta kot 3 in kot med žarkoma b in b1 navpična, sta enaka. Vsota teh kotov je enaka zasukanemu kotu aa1 – kar pomeni 180°.
ZAKLJUČEK
IN diplomsko delo izvedel "konstruirane" dokaze neke šole geometrijski izreki, s pomočjo strukture miselnega eksperimenta, ki je potrdil postavljeno hipotezo.
Predstavljeni dokazi so temeljili na takšnih vizualnih in čutnih idealizacijah: »stiskanje«, »raztezanje«, »drsenje«, ki so omogočile preoblikovanje izvirnega geometrijskega objekta na poseben način in poudarjanje njegovih bistvenih lastnosti, kar je značilno za misel. poskus. V tem primeru miselni eksperiment deluje kot določeno "ustvarjalno orodje", ki prispeva k nastanku geometrijskega znanja (npr. srednja črta trapeza ali okoli kotov trikotnika). Takšne idealizacije omogočajo razumevanje celotne ideje dokaza, ideje o izvedbi "dodatne konstrukcije", kar nam omogoča, da govorimo o možnosti bolj zavestnega razumevanja procesa formalnega deduktivnega dokaza s strani šolarjev. geometrijski izreki.
Miselni eksperiment je ena od osnovnih metod za pridobivanje in odkrivanje geometrijskih izrekov. Treba je razviti metodologijo za prenos metode na študenta. Odprto ostaja vprašanje o starosti dijaka, ki je sprejemljiva za »sprejemanje« metode, o » stranski učinki» tako predstavljene dokaze.
Ta vprašanja zahtevajo nadaljnje študije. A v vsakem primeru je nekaj gotovo: pri šolarjih se razvije miselni eksperiment teoretično razmišljanje, je njegova osnova, zato je treba razvijati sposobnost miselnega eksperimentiranja.
>>Geometrija: Vsota kotov trikotnika. Popolne lekcije
TEMA LEKCIJE: Vsota kotov trikotnika.
Cilji lekcije:
- Utrjevanje in preverjanje znanja študentov na temo: "Vsota kotov trikotnika";
- Dokaz o lastnostih kotov trikotnika;
- Uporaba te lastnosti pri reševanju preprostih problemov;
- Uporaba zgodovinsko gradivo za razvoj kognitivna dejavnostštudentje;
- Vzgajanje spretnosti natančnosti pri konstruiranju risb.
Cilji lekcije:
- Preizkusite sposobnosti študentov za reševanje problemov.
Učni načrt:
- Trikotnik;
- Izrek o vsoti kotov trikotnika;
- Primeri nalog.
Trikotnik.
Datoteka: O.gif Trikotnik- najpreprostejši mnogokotnik, ki ima 3 oglišča (kote) in 3 stranice; del ravnine, ki ga omejujejo tri točke in trije odseki, ki povezujejo te točke v parih.
Tri točke v prostoru, ki ne ležijo na isti premici, ustrezajo eni in samo eni ravnini.
Vsak poligon lahko razdelimo na trikotnike - ta postopek se imenuje triangulacija.
Obstaja del matematike, ki je v celoti posvečen preučevanju zakonov trikotnikov - Trigonometrija.
Izrek o vsoti kotov trikotnika.
File:T.gif Izrek o vsoti kotov trikotnika je klasičen izrek evklidske geometrije, ki pravi, da je vsota kotov trikotnika 180°. 
Dokaz" :
Naj bo podan Δ ABC. Skozi oglišče B narišimo premico vzporedno z (AC) in na njej označimo točko D tako, da bosta točki A in D ležali na nasprotnih straneh premice BC. Tedaj sta kot (DBC) in kot (ACB) enaka kot notranji križno ležeči z vzporednima premicama BD in AC ter sekanto (BC). Tedaj je vsota kotov trikotnika pri ogliščih B in C enaka kotu (ABD). Toda kot (ABD) in kot (BAC) pri oglišču A trikotnika ABC sta notranji enostranici z vzporednicama BD in AC ter sekanto (AB), njuna vsota pa je 180°. Zato je vsota kotov trikotnika 180°. Izrek je dokazan.
Posledice.
Zunanji kot trikotnika enaka vsoti dva kota trikotnika, ki mu ne mejita.
Dokaz:
Naj bo podan Δ ABC. Točka D leži na premici AC tako, da A leži med C in D. Potem je BAD zunanja glede na kot trikotnika pri oglišču A in A + BAD = 180°. Toda A + B + C = 180°, zato je B + C = 180° – A. Zato je BAD = B + C. Posledica je dokazana.
Posledice.
Zunanji kot trikotnika je večji od katerega koli kota trikotnika, ki mu ni soseden.
Naloga.
Zunanji kot trikotnika je kot, ki meji na kateri koli kot tega trikotnika. Dokaži to zunanji kotiček trikotnika je enaka vsoti dveh kotov trikotnika, ki mu ne ležita. 
(slika 1)
rešitev:
Naj bo v Δ ABC ∠DAС zunanji (slika 1). Potem je ∠DAC=180°-∠BAC (glede na lastnost sosednji vogali), po izreku o vsoti kotov trikotnika ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Iz teh enakosti dobimo ∠DAС=∠В+∠С
Zanimivost:
Vsota kotov trikotnika" :
V geometriji Lobačevskega je vsota kotov trikotnika vedno manjša od 180. V evklidski geometriji je vedno enaka 180. V Riemannovi geometriji je vsota kotov trikotnika vedno večja od 180.
Iz zgodovine matematike:
Evklid (3. stoletje pr. n. št.) v svojem delu "Elementi" daje naslednjo definicijo: "Vzporedne črte so črte, ki so v isti ravnini in se neskončno raztezajo v obe smeri in se ne srečajo na nobeni strani."
Posidonij (1. stoletje pr. n. št.) "Dve ravni črti, ki ležita v isti ravnini, enako oddaljeni druga od druge"
Starogrški znanstvenik Pappus (III. stoletje pred našim štetjem) je uvedel simbol vzporednice ravni znak=. Naknadno Angleški ekonomist Ricardo (1720-1823) je ta simbol uporabljal kot znak enačaja.
Šele v 18. stoletju so začeli uporabljati simbol za vzporedne črte - znak ||.
Živa povezava med generacijami se ne prekine niti za trenutek; vsak dan se učimo izkušenj, ki so jih nabrali naši predniki. Stari Grki podlagi opazovanj in iz praktične izkušnje delali so zaključke, izražali hipoteze in nato na srečanjih znanstvenikov - simpozijih (dobesedno "praznik") - poskušali te hipoteze utemeljiti in dokazati. Takrat je nastala izjava: "V sporu se rodi resnica."
vprašanja:
- Kaj je trikotnik?
- Kaj pravi izrek o vsoti kotov trikotnika?
- Kolikšen je zunanji kot trikotnika?
Cilji:
Izobraževalni:
- ponoviti in posplošiti znanje o trikotniku;
- dokaži izrek o vsoti kotov trikotnika;
- praktično preveri pravilnost formulacije izreka;
- naučijo se uporabljati pridobljeno znanje pri reševanju problemov.
Izobraževalni:
- razvijajo geometrijsko mišljenje, zanimanje za predmet, kognitivne in ustvarjalna dejavnostštudentje, matematični govor, sposobnost samostojnega pridobivanja znanja.
Izobraževalni:
- razvijati osebne kvalitete učencev, kot so odločnost, vztrajnost, natančnost, sposobnost timskega dela.
Oprema: multimedijski projektor, trikotniki iz barvnega papirja, učna gradiva " Živa matematika", računalniški ekran.
Pripravljalna faza: Učitelj da učencu nalogo za pripravo zgodovinske informacije o izreku "Vsota kotov trikotnika."
Vrsta lekcije: učenje nove snovi.
Med poukom
I. Organizacijski trenutek
Pozdravi. Psihološki odnosštudente na delo.
II. Ogreti se
Z geometrijski lik"trikotnik", ki smo ga spoznali v prejšnjih lekcijah. Ponovimo, kar vemo o trikotniku?
Učenci delajo v skupinah. Omogočena jim je medsebojna komunikacija, da vsak samostojno gradi proces spoznavanja.
Kaj se je zgodilo? Vsaka skupina poda svoje predloge, učitelj jih zapiše na tablo. O rezultatih se razpravlja:
Slika 1
III. Oblikovanje cilja lekcije
Torej, o trikotniku že vemo precej. Ampak ne vsi. Vsak od vas ima na mizi trikotnike in kotomerje. Kaj mislite, kakšen problem lahko oblikujemo?
Učenci oblikujejo nalogo lekcije - najti vsoto kotov trikotnika.
IV. Razlaga nove snovi
Praktični del(spodbuja obnavljanje znanja in spretnosti samospoznavanja). Izmerite kote s kotomerom in poiščite njihovo vsoto. Rezultate zapišite v zvezek (poslušajte prejete odgovore). Ugotovimo, da je vsota kotov pri vsakem drugačna (lahko se zgodi, ker ni bil pravilno nameščen kotomer, je bil malomaren izračun ipd.).
Prepogni vzdolž pikčastih črt in ugotovi, čemu je še enaka vsota kotov trikotnika:
A) 
Slika 2
b) 
Slika 3
V) 
Slika 4
G) 
Slika 5
d) 
Slika 6
Po opravljenem praktičnem delu učenci oblikujejo odgovor: Vsota kotov trikotnika je enaka stopenjska mera raztegnjenega kota, tj. 180°.
Učitelj: Pri matematiki praktično delo Omogoča samo nekakšno izjavo, ki pa jo je treba dokazati. Trditev, katere veljavnost je dokazana, se imenuje izrek. Kateri izrek lahko oblikujemo in dokažemo?
Študenti: Vsota kotov trikotnika je 180 stopinj.
Zgodovinska referenca: Lastnost vsote kotov trikotnika je bila ugotovljena l Starodavni Egipt. Dokaz, naveden v sodobnih učbenikov, vsebovan v Proklovih komentarjih k Evklidovim Elementom. Proklo trdi, da so ta dokaz (slika 8) odkrili Pitagorejci (5. stoletje pr. n. št.). Evklid v prvi knjigi Elementov navede še en dokaz izreka o vsoti kotov trikotnika, ki ga zlahka razumemo s pomočjo risbe (slika 7):
Slika 7
Slika 8
Risbe so prikazane na platnu preko projektorja.
Učitelj ponudi dokazovanje izreka z uporabo risb.
Nato se dokaz izvede z uporabo kompleksa za poučevanje in učenje "Živa matematika". Učitelj projicira dokaz izreka na računalnik.
Izrek o vsoti kotov trikotnika: "Vsota kotov trikotnika je 180°"
Slika 9
Dokaz:
A) 
Slika 10
b) 
Slika 11
V) 
Slika 12
Učenci naredijo v zvezke kratka opomba dokaz izreka:
Izrek: Vsota kotov trikotnika je 180°.
Slika 13
podano:Δ ABC
Dokaži: A + B + C = 180°.
Dokaz:
Kar je bilo treba dokazati.
V. Phys. samo minuto.
VI. Razlaga novega materiala (nadaljevanje)
Posledico iz izreka o vsoti kotov trikotnika učenci izpeljejo samostojno, kar prispeva k razvoju sposobnosti oblikovanja. lastno točko stališče, izražati in argumentirati:
V katerem koli trikotniku so vsi koti ostri ali pa sta dva ostra in tretji je top ali pravi..
Če ima trikotnik vse ostre kote, se imenuje ostrokotni.
Če je eden od kotov trikotnika tup, se imenuje topokoten.
Če je eden od kotov trikotnika pravi, se imenuje pravokotne.
Izrek o vsoti kotov trikotnika nam omogoča, da trikotnike razvrstimo ne samo po stranicah, temveč tudi po kotih. (Ko učenci predstavijo vrste trikotnikov, učenci izpolnijo tabelo)
Tabela 1
| Trikotni pogled | Enakokraki | Enakostranični | Vsestranski |
| Pravokoten | 
|
|
|
| Topo | 
|
|
|
| Ostrokotni | 
|
|
|
VII. Utrjevanje preučenega gradiva.
- Ustno reši naloge:
(Risbe so prikazane na platnu preko projektorja)
Naloga 1. Poiščite kot C.
Slika 14
Naloga 2. Poiščite kot F.
Slika 15
Naloga 3. Poiščite kota K in N.
Slika 16
Naloga 4. Poiščite kota P in T.
Slika 17
- Nalogo št. 223 (b, d) rešite sami.
- Rešite nalogo na tabli in v zvezkih, učenec št. 224.
- Vprašanja: Ali ima lahko trikotnik: a) dva prava kota; b) dva topih kotov; c) en pravi in en top kot.
- (ustno) Karte na vsaki mizi prikazujejo različne trikotnike. Na oko določite vrsto vsakega trikotnika.
Slika 18
- Poiščite vsoto kotov 1, 2 in 3.
Slika 19
VIII. Povzetek lekcije.
Učitelj: Kaj smo se naučili? Ali je izrek uporaben za kateri koli trikotnik?
IX. Odsev.
Povejte mi svoje razpoloženje, fantje! Z hrbtna stran uporabite trikotnik, da prikažete svoje obrazne izraze.
Slika 20
Domača naloga: odstavek 30 (1. del), vprašanje 1 pog. IV stran 89 učbenika; št. 223 (a, c), št. 225.
Izrek. vsota notranji koti trikotnika je enako dvema pravima kotoma.
Vzemimo trikotnik ABC (slika 208). Označimo njene notranje kote s številkami 1, 2 in 3. To dokažimo
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Skozi neko oglišče trikotnika, na primer B, narišimo premico MN, vzporedno z AC.
Pri oglišču B smo dobili tri kote: ∠4, ∠2 in ∠5. Njihova vsota je ravni kot, torej enaka 180°:
∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
Toda ∠4 = ∠1 so notranji navzkrižni koti z vzporednima premicama MN in AC ter sekanto AB.
∠5 = ∠3 - to so notranji navzkrižni koti z vzporednicama MN in AC ter sekanto BC.
To pomeni, da lahko ∠4 in ∠5 nadomestimo z enakima ∠1 in ∠3.
Zato je ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Izrek je dokazan.
2. Lastnost zunanjega kota trikotnika.
Izrek. Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita.
Pravzaprav v trikotnik ABC(Slika 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ampak tudi ∠ВСD, zunanji kot tega trikotnika, ki ni sosednji na ∠1 in ∠2, je prav tako enak 180° - ∠3.
Tako:
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;
∠BCD = 180° - ∠3.
Zato je ∠1 + ∠2= ∠BCD.
Izpeljana lastnost zunanjega kota trikotnika pojasnjuje vsebino predhodno dokazanega izreka o zunanjem kotu trikotnika, ki je trdil le, da je zunanji kot trikotnika večji od vsakega notranjega kota trikotnika, ki ni soseden z njim; zdaj je ugotovljeno, da je zunanji kot enak vsoti obeh notranjih kotov, ki mu ne mejita.
3. Lastnost pravokotnega trikotnika s kotom 30°.
Izrek. Krak pravokotnega trikotnika leži nasproti kota 30° enaka polovici hipotenuza.Spustiti noter pravokotni trikotnik ASV kot B je 30° (slika 210). Potem je drugi njegov oster kot bo enak 60°.
Dokažimo, da je krak AC enak polovici hipotenuze AB. Nadaljujmo krak AC čez vrh pravi kot C in odložite segment CM, enako segmentu AC. Povežite točko M s točko B. Nastali trikotnik ВСМ enaka trikotniku DIA Vidimo, da je vsak kot trikotnika ABM enak 60°, zato je ta trikotnik enakostranični trikotnik.
Krak AC je enak polovici AM, in ker je AM enak AB, bo krak AC enak polovici hipotenuze AB.
