Kako najti temeljni sistem rešitev sistema enačb. Temeljni sistem rešitev

Pustiti M 0 – veliko rešitev homogeni sistem (4) linearne enačbe.

Opredelitev 6.12. Vektorji z 1 ,z 2 , …, s p, ki so rešitve homogenega sistema linearnih enačb imenujemo temeljni nabor rešitev(skrajšano FNR), če

1) vektorji z 1 ,z 2 , …, s p linearno neodvisen (tj. nobenega od njih ni mogoče izraziti z drugimi);

2) katero koli drugo rešitev homogenega sistema linearnih enačb je mogoče izraziti z rešitvami z 1 ,z 2 , …, s p.

Upoštevajte, da če z 1 ,z 2 , …, s p– kateri koli f.n.r., nato izraz k 1× z 1 + k 2× z 2 + … + k str× s p lahko opišeš celoten sklop M 0 rešitev sistema (4), tako se imenuje splošni pogled na sistemsko rešitev (4).

Izrek 6.6. Vsak nedoločen homogeni sistem linearnih enačb ima temeljni niz rešitev.

Način za iskanje temeljnega nabora rešitev je naslednji:

Poiščite splošno rešitev homogenega sistema linearnih enačb;

Zgradi ( n – r) delne rešitve tega sistema, medtem ko morajo vrednosti prostih neznank tvoriti matriko identitete;

Izpišite splošna oblika rešitve vključene v M 0 .

Primer 6.5. Poiščite temeljni nabor rešitev naslednji sistem:

rešitev. Poiščimo splošno rešitev za ta sistem.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ V tem sistemu je pet neznank ( n= 5), od katerih sta dve glavni neznanki ( r= 2), obstajajo tri proste neznanke ( n – r), to pomeni, da osnovna množica rešitev vsebuje tri vektorje rešitev. Zgradimo jih. Imamo x 1 in x 3 – glavne neznanke, x 2 , x 4 , x 5 – proste neznanke

Vrednosti prostih neznank x 2 , x 4 , x 5 tvorijo matriko identitete E tretji red. Razumem te vektorje z 1 ,z 2 , z 3 obrazec f.n.r. tega sistema. Potem bo množica rešitev tega homogenega sistema M 0 = {k 1× z 1 + k 2× z 2 + k 3× z 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Ugotovimo zdaj pogoje za obstoj neničelnih rešitev homogenega sistema linearnih enačb, z drugimi besedami, pogoje za obstoj temeljne množice rešitev.

Homogen sistem linearnih enačb ima rešitve, ki niso ničelne, kar pomeni, da ni gotovo, če

1) rang glavne matrike sistema manjše število neznano;

2) v homogenem sistemu linearnih enačb je število enačb manjše od števila neznank;

3) če je v homogenem sistemu linearnih enačb število enačb enako številu neznank in determinanta glavne matrike enako nič(tj. | A| = 0).

Primer 6.6. Pri kateri vrednosti parametra a homogeni sistem linearnih enačb ima neničelne rešitve?

rešitev. Sestavimo glavno matriko tega sistema in poiščemo njeno determinanto: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinant te matrike je enak nič pri a = –4.

Odgovori: –4.

7. Aritmetika n- dimenzionalni vektorski prostor

Osnovni pojmi

V prejšnjih razdelkih smo že naleteli na koncept niza realnih števil, ki se nahajajo v v določenem vrstnem redu. To je matrika vrstic (ali matrika stolpcev) in rešitev sistema linearnih enačb z n neznano. Te podatke je mogoče povzeti.

Opredelitev 7.1. n-dimenzionalni aritmetični vektor imenujemo urejen niz n realna števila.

Pomeni A= (a 1, a 2, …, a n), kje jazО R, jaz = 1, 2, …, n– splošni pogled na vektor. številka n klical razsežnost vektorji in števila a jaz se imenujejo njegovi koordinate.

Na primer: A= (1, –8, 7, 4, ) – petdimenzionalni vektor.

Vse nastavljeno n-dimenzionalni vektorji so običajno označeni kot Rn.

Opredelitev 7.2. Dva vektorja A= (a 1, a 2, …, a n) In b= (b 1, b 2, …, b n) enake dimenzije enakače in samo če so njune ustrezne koordinate enake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Opredelitev 7.3.Znesek dva n-dimenzijski vektorji A= (a 1, a 2, …, a n) In b= (b 1, b 2, …, b n) imenujemo vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Opredelitev 7.4. Delo realno število k v vektor A= (a 1, a 2, …, a n) imenujemo vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Opredelitev 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0). nič(oz ničelni vektor).

Preprosto je preveriti, ali so dejanja (operacije) seštevanja vektorjev in njihovega množenja z realno število imajo naslednje lastnosti: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Opredelitev 7.6. Kup Rn z operacijami seštevanja vektorjev in njihovega množenja z realnim številom, podanim na njem, se imenuje aritmetični n-dimenzionalni vektorski prostor.

Homogeni linearni sistemi algebraične enačbe

V okviru pouka Gaussova metoda in Nezdružljivi sistemi/sistemi s skupno rešitvijo smo upoštevali nehomogenih sistemov linearnih enačb, Kje brezplačen član(ki je običajno na desni) vsaj en iz enačb je bilo različno od nič.
In zdaj, po dobrem ogrevanju z matrični rang, tehniko bomo še pilili elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih enačb.
Glede na prve odstavke se gradivo morda zdi dolgočasno in povprečno, vendar je ta vtis varljiv. Poleg nadaljnjega razvoja tehničnih tehnik jih bo še veliko nove informacije, zato poskusite ne zanemariti primerov v tem članku.

Kaj je homogeni sistem linearnih enačb?

Odgovor se nakazuje sam od sebe. Sistem linearnih enačb je homogen, če je prosti člen vsi enačba sistema je nič. Na primer:

To je popolnoma jasno homogeni sistem je vedno konsistenten, torej vedno ima rešitev. In najprej ti pade v oči t.i trivialno rešitev . Trivialno, za tiste, ki sploh ne razumejo pomena pridevnika, pomeni brez bahanja. Seveda ne akademsko, ampak razumljivo =) ...Zakaj bi se pogovarjali, poglejmo, ali ima ta sistem še kakšne druge rešitve:

Primer 1

rešitev: za rešitev homogenega sistema je potrebno pisati sistemska matrika in ga s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopničast pogled. Upoštevajte, da tukaj ni treba zapisati navpične črte in ničelnega stolpca brezplačni člani- navsezadnje, ne glede na to, kaj počnete z ničlami, bodo ostale ničle:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –3.

(2) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1.

Deljenje tretje vrstice s 3 nima pravega smisla.

Kot rezultat elementarnih transformacij dobimo enakovredni homogeni sistem , in z uporabo obratne metode Gaussove metode je enostavno preveriti, da je rešitev edinstvena.

Odgovori:

Oblikujmo očiten kriterij: homogeni sistem linearnih enačb ima samo trivialna rešitev, Če sistemski matrični rang(V v tem primeru 3) enako številu spremenljivk (v tem primeru – 3 kosi).

Ogrejmo in uglasimo naš radio na val elementarnih transformacij:

Primer 2

Rešite homogeni sistem linearnih enačb

Iz članka Kako najti rang matrike? zapomni si racionalna tehnika vzporedna redukcija matričnih števil. V nasprotnem primeru boste morali rezati velike in pogosto grizeče ribe. Približen vzorec dokončanje naloge ob koncu lekcije.

Ničle so dobre in priročne, vendar je v praksi veliko pogostejši primer, ko so vrstice sistemske matrike linearno odvisen. In potem neizogiben videz splošna rešitev:

Primer 3

Rešite homogeni sistem linearnih enačb

rešitev: zapišimo matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike. Prvo dejanje ni namenjeno samo pridobivanju ene same vrednosti, temveč tudi zmanjšanju številk v prvem stolpcu:

(1) Prvi vrstici je bila dodana tretja vrstica, pomnožena z –1. Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Zgoraj levo sem dobil enoto z "minusom", ki je pogosto veliko bolj priročna za nadaljnje transformacije.

(2) Prvi dve vrstici sta enaki, ena je črtana. Iskreno povedano, nisem prilagodil rešitve - tako se je izkazalo. Če transformacije izvajate na šablonski način, potem linearna odvisnost linije bi bile razkrite malo kasneje.

(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 3.

(4) Spremenjen je bil predznak prve vrstice.

Kot rezultat elementarnih transformacij je bil pridobljen enakovreden sistem:

Algoritem deluje popolnoma enako kot za heterogenih sistemov. Spremenljivke, ki »sedijo na stopnicah«, so glavne, spremenljivka, ki ni dobila »stopnice«, je prosta.

Izrazimo osnovne spremenljivke s prosto spremenljivko:

Odgovori: skupna odločitev:

Trivialna rešitev je vključena v splošna formula, in ga ni treba posebej zapisovati.

Preverjanje poteka tudi po običajni shemi: dobljeno splošno rešitev je treba nadomestiti leva stran vsako enačbo sistema in pridobite zakonito ničlo za vse zamenjave.

To bi se dalo zaključiti tiho in mirno, vendar je pogosto treba predstaviti rešitev homogenega sistema enačb. V vektorski obliki z uporabo temeljni sistem rešitev. Prosim, pozabite na to za zdaj analitično geometrijo, saj bomo zdaj govorili o vektorjih v splošnem algebraičnem smislu, ki sem ga malo odprl v članku o matrični rang. Terminologije ni treba zamolčati, vse je precej preprosto.

Namen storitve. Spletni kalkulator je zasnovan tako, da najde netrivialno in temeljno rešitev za SLAE. Nastala rešitev se shrani v Wordovo datoteko (glejte primer rešitve).

Navodila. Izberite dimenzijo matrice:

Lastnosti sistemov linearnih homogenih enačb

Izrek. Sistem v primeru m=n ima netrivialna rešitevče in samo če je determinanta tega sistema enaka nič.

Izrek. Vsaka linearna kombinacija rešitev sistema je tudi rešitev tega sistema.
Opredelitev. Množica rešitev sistema linearnih homogenih enačb se imenuje temeljni sistem rešitev, če je ta niz sestavljen iz linearnih neodvisne odločitve in vsaka rešitev sistema je linearna kombinacija teh rešitev.

Izrek. Če je rang r sistemske matrike manjši od števila neznank n, potem obstaja temeljni sistem rešitev, sestavljen iz (n-r) rešitev.

Algoritem za reševanje sistemov linearnih homogenih enačb

1. Iskanje ranga matrike.
2. Izberemo osnovni mol. Ločimo odvisne (osnovne) in proste neznanke.
3. Prečrtamo tiste enačbe sistema, katerih koeficienti niso vključeni v bazični minor, saj so posledice ostalih (po izreku o bazičnem minoru).
4. Člene enačb, ki vsebujejo proste neznanke, prenesemo v desna stran. Kot rezultat dobimo sistem r enačb z r neznankami, ki je enak dani, katere determinanta je različna od nič.
5. Nastali sistem rešimo z izločanjem neznank. Najdemo razmerja, ki izražajo odvisne spremenljivke skozi proste.
6. Če rang matrike ni enak številu spremenljivk, potem najdemo temeljno rešitev sistema.
7. V primeru rang = n imamo trivialno rešitev.

Primer. Poiščite osnovo sistema vektorjev (a 1, a 2,...,a m), rangirajte in izrazite vektorje na podlagi baze. Če je 1 =(0,0,1,-1) in 2 =(1,1,2,0) in 3 =(1,1,1,1) in 4 =(3,2,1 ,4) in 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavno matriko sistema:

Dane matrike

Poišči: 1) aA - bB,

rešitev: 1) Najdemo ga zaporedno, z uporabo pravil množenja matrike s številom in seštevanja matrik..

2. Poišči A*B če

rešitev: Uporabljamo pravilo množenja matrik

odgovor:

3. Za dano matriko poiščite minor M 31 in izračunajte determinanto.

rešitev: Minor M 31 je determinanta matrike, ki je pridobljena iz A

po prečrtani vrstici 3 in stolpcu 1. Najdemo

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformirajmo matriko A, ne da bi spremenili njeno determinanto (naredimo ničle v vrstici 1)

Zdaj izračunamo determinanto matrike A z dekompozicijo vzdolž vrstice 1

Odgovor: M 31 = 0, detA = 0

Rešite z Gaussovo in Cramerjevo metodo.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

rešitev: Preverimo

Lahko uporabite Cramerjevo metodo

Rešitev sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Uporabimo Gaussovo metodo.

Zmanjšajmo razširjeno matriko sistema na trikotno obliko.

Za lažji izračun zamenjajmo vrstici:

Pomnožite 2. vrstico z (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) in dodajte 3.:

Prvo vrstico pomnožite z (k = -2 / 2 = -1 ) in dodajte 2.:

Zdaj lahko izvirni sistem zapišemo kot:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Iz 2. vrstice izražamo

Iz 1. vrstice izražamo

Rešitev je enaka.

Odgovor: (2; -5; 3)

Poiščite splošno rešitev sistema in FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

rešitev: Uporabimo Gaussovo metodo. Zmanjšajmo razširjeno matriko sistema na trikotno obliko.

Pomnožite 1. vrstico z (-11). 2. vrstico pomnožimo z (13). Dodajmo 2. vrstico prvi:

Pomnožite 2. vrstico z (-5). Pomnožimo 3. vrstico z (11). Dodajmo 3. vrstico 2. vrstici:

Pomnožite 3. vrstico z (-7). Pomnožimo 4. vrstico s (5). Dodajmo 4. vrstico tretji:

Druga enačba je linearna kombinacija ostalih

Poiščimo rang matrike.

Poudarjeni manjše ima najvišji red(možnih manjših) in je različen od nič (it enako zmnožku elementi na obratni diagonali), torej rang(A) = 2.

Ta manjši je osnovni. Vključuje koeficiente za neznanke x 1 , x 2 , kar pomeni, da sta neznanki x 1 , x 2 odvisni (osnovni), x 3 , x 4 , x 5 pa prosti.

Sistem s koeficienti te matrike je enakovreden izvirnemu sistemu in ima obliko:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Z metodo izločanja neznank najdemo skupna odločitev:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Najdemo temeljni sistem rešitev (FSD), ki je sestavljen iz (n-r) rešitev. V našem primeru je n=5, r=2, zato je temeljni sistem rešitev sestavljen iz 3 rešitev, te rešitve pa morajo biti linearno neodvisne.

Da so vrstice linearno neodvisne, je nujno in zadostno, da je rang matrike, sestavljene iz elementov vrstice, enak številu vrstic, to je 3.

Dovolj je, da prostim neznankam x 3 , x 4 , x 5 podamo vrednosti iz vrstic determinante 3. reda, ki niso ničle, in izračunamo x 1 , x 2 .

Najenostavnejša neničelna determinanta je identitetna matrika.

Vendar je bolj priročno vzeti tukaj

Z uporabo splošne rešitve najdemo:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

jaz odločitev FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR rešitev: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III rešitev FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Podano: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Poišči: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

rešitev: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Odgovor: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Homogen sistem je vedno konsistenten in ima trivialno rešitev
. Za obstoj netrivialne rešitve je nujno, da je rang matrike je bilo manjše od števila neznank:

.

Temeljni sistem rešitev homogeni sistem
imenujemo sistem rešitev v obliki stolpčnih vektorjev
, ki ustrezajo kanonični osnovi, tj. osnova, v kateri poljubne konstante
so izmenično enake ena, ostale pa na nič.

Takrat ima splošna rešitev homogenega sistema obliko:

Kje
- poljubne konstante. Z drugimi besedami, celotna rešitev je linearna kombinacija temeljnega sistema rešitev.

Tako lahko osnovne rešitve dobimo iz splošne rešitve, če prostim neznankam po vrsti dodelimo vrednost ena, pri čemer vse druge postavimo na nič.

Primer. Poiščimo rešitev za sistem

Sprejmimo , potem dobimo rešitev v obliki:

Sestavimo zdaj temeljni sistem rešitev:

.

Splošna rešitev bo zapisana kot:

Rešitve sistema homogenih linearnih enačb imajo naslednje lastnosti:

Z drugimi besedami, vsaka linearna kombinacija rešitev homogenega sistema je spet rešitev.

Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo

Reševanje sistemov linearnih enačb zanima matematike že več stoletij. Prvi rezultati so bili pridobljeni v 18. stoletju. Leta 1750 je G. Kramer (1704–1752) objavil svoja dela o determinantah kvadratnih matrik in predlagal algoritem za iskanje inverzne matrike. Leta 1809 je Gauss orisal novo metodo rešitve, znano kot metoda eliminacije.

Gaussova metoda ali metoda zaporednega izločanja neznank je sestavljena iz dejstva, da se sistem enačb z uporabo elementarnih transformacij zmanjša na enakovreden sistem stopničaste (ali trikotne) oblike. Takšni sistemi omogočajo zaporedno iskanje vseh neznank v določenem vrstnem redu.

Predpostavimo, da je v sistemu (1)
(kar je vedno možno).

(1)

Množenje prve enačbe eno za drugo s ti primerne številke

in seštejemo rezultat množenja z ustreznimi enačbami sistema, dobimo enakovreden sistem, v katerem v vseh enačbah razen v prvi ne bo nobene neznanke X 1

(2)

Pomnožimo zdaj drugo enačbo sistema (2) s primernimi števili ob predpostavki, da

,

in če ga seštejemo z nižjimi, izločimo spremenljivko iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nadaljevanje tega procesa, po
korak dobimo:

(3)

Če je vsaj ena od številk
ni enaka nič, potem je ustrezna enakost protislovna in sistem (1) nekonsistenten. Nasprotno pa za vsak skupni številski sistem
so enake nič. številka ni nič drugega kot rang matrike sistema (1).

Prehod iz sistema (1) v (3) imenujemo naravnost naprej Gaussova metoda in iskanje neznank iz (3) – obratno .

Komentiraj : Bolj priročno je izvajati transformacije ne s samimi enačbami, temveč z razširjeno matriko sistema (1).

Primer. Poiščimo rešitev za sistem

.

Zapišimo razširjeno matriko sistema:

.

Dodajmo prvo v vrstice 2,3,4, pomnoženo z (-2), (-3), (-2):

.

Zamenjajmo vrstici 2 in 3, nato pa v dobljeni matriki seštej vrstico 2 vrstici 4, pomnoženo z :

.

Vrstici 4 dodajte vrstico 3, pomnoženo s
:

.

To je očitno
, torej je sistem dosleden. Iz nastalega sistema enačb

rešitev najdemo z obratno zamenjavo:

,
,
,
.

Primer 2. Poiščite rešitev za sistem:

.

Očitno je, da je sistem nekonsistenten, saj
, A
.

Prednosti Gaussove metode :

Manj delovno intenzivna kot Cramerjeva metoda.

Nedvoumno ugotavlja združljivost sistema in omogoča iskanje rešitve.

Omogoča določitev ranga poljubnih matrik.