Algebraična enačba. Reševanje algebrskih enačb

Gradivo iz Uncyclopedia

Algebraične enačbe so enačbe oblike P(x 1, ..., x n) = O, kjer je P polinom v spremenljivkah x 1, ..., x n. Te spremenljivke imenujemo neznanke. Urejena množica števil (a 1, ..., a n) ustreza tej enačbi, če z zamenjavo x 1 z 1, x 2 z 2 itd. dobimo pravilno numerično enakost (npr. urejena trojka števil (3, 4, 5) zadošča enačbi x 2 + y 2 = z 2, saj je 3 2 + 4 2 = 5 2). Število, ki zadovoljuje algebraično enačbo z eno neznanko, se imenuje koren te enačbe. Množica vseh množic števil, ki izpolnjujejo dano enačbo, je množica rešitev te enačbe. Dve algebrski enačbi, ki imata enako množico rešitev, imenujemo ekvivalentni. Stopnja polinoma P se imenuje stopnja enačbe P(x 1, ..., x n) = 0. Na primer, 3x - 5y + z = c je enačba prve stopnje, x 2 + y 2 = z 2 je druge stopnje, x 4 pa je 3x 3 + 1 = 0 - četrte stopnje. Enačbe prve stopnje imenujemo tudi linearne (glej Linearne enačbe).

Algebrska enačba z eno neznanko ima končno število korenin, množica rešitev algebrske enačbe z veliko število neznanke lahko predstavljajo neskončen niz določene nize števil. Zato običajno ne obravnavajo posameznih algebrskih enačb z n neznankami, temveč sisteme enačb in iščejo množice števil, ki hkrati zadovoljujejo vse enačbe danega sistema. Kombinacija vseh teh množic tvori množico rešitev sistema. Na primer, nabor rešitev sistema enačb x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 je: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1 )).

Algebraične enačbe 1. stopnje z eno neznanko so bile rešene že l Starodavni Egipt in stari Babilon. Babilonski pisarji so znali reševati kvadratne enačbe, pa tudi preproste sisteme linearne enačbe in enačbe 2. stopnje. S posebnimi tabelami so reševali tudi nekatere enačbe tretje stopnje, na primer x 3 + x = a. IN Antična grčija kvadratne enačbe smo reševali z geometrijskimi konstrukcijami. Grški matematik Diofant (III. stoletje) je razvil metode za reševanje algebrskih enačb in sistemov takšnih enačb s številnimi neznankami v racionalna števila. V racionalnih številih je na primer rešil enačbo x 4 - y 4 + z 4 = n 2, sistem enačb y 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3 itd. (glej Diofantove enačbe).

nekaj geometrijske težave: podvojitev kocke, trisekcija kota (glej. Klasične težave antika), konstrukcija pravilnega sedemkotnika - vodi do rešitve kubičnih enačb. Pri reševanju je bilo treba najti presečišča stožčasti prerezi(elipse, parabole in hiperbole). Izkoristiti geometrijske metode, so matematiki srednjeveškega vzhoda preučevali rešitve kubičnih enačb. Vendar jim ni uspelo izpeljati formule za njihovo rešitev. Prvo večje odkritje zahodnoevropske matematike je bilo doseženo v 16. stoletju. formula za reševanje kubične enačbe. Ker takrat negativna številaše niso postale razširjene, je bilo treba ločeno analizirati takšne vrste enačb, kot so x 3 + px = q, x 3 + q = px itd. Italijanski matematik S. del Ferro (1465-1526) je rešil enačbo x 3 + px = q in rešitev sporočil svojemu zetu in študentu A. M. Fioreju, ki je izzval izjemnega matematika samouka N. Tartaglio (1499-1557) na matematični turnir. Nekaj ​​dni pred turnirjem je Tartaglia našel splošno metodo za reševanje kubičnih enačb in zmagal ter hitro rešil vseh 30 problemov, ki so mu bili ponujeni. Vendar formula, ki jo je našel Tartaglia za rešitev enačbe x 3 + px + q = 0

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

Ustvarjanje algebraične simbolike in posplošitev pojma števila do kompleksna števila dovoljeno v XVII-XVIII stoletju. raziskovanje splošne lastnosti algebraične enačbe višje stopnje, kot tudi splošne lastnosti polinomov v eni in več spremenljivkah.

Eden najbolj pomembne naloge teorija algebrskih enačb v 17.-18. je našel formulo za rešitev enačbe 5. stopnje. Po brezplodnem iskanju mnogih generacij algebraistov, s prizadevanji francoskega znanstvenika iz 18. st. J. Lagrange (1736-1813), italijanski znanstvenik P. Ruffini (1765-1822) in norveški matematik N. Abel l. konec XVIII - začetku XIX V. dokazano je bilo, da ni formule, ki bi jo lahko uporabili za izražanje korenov katerekoli enačbe 5. stopnje skozi koeficiente enačbe, samo z uporabo aritmetičnih operacij in ekstrakcije korenov. Te študije je dopolnil delo E. Galoisa, čigar teorija omogoča za vsako enačbo ugotoviti, ali so njeni koreni izraženi v radikalih. Še pred tem je K. F. Gauss rešil problem izražanja v kvadratni radikali korenine enačbe x n - 1 = 0, na katere se zmanjša problem konstruiranja pravilnega n-kotnika s šestilom in ravnilom. Zlasti s temi orodji je nemogoče sestaviti pravilen sedmerokotnik, devetkotnik itd. - takšna konstrukcija je možna le v primeru, ko je n praštevilo oblike 2 2k + 1 ali produkt različnih praštevil te oblike.

Skupaj z iskanjem formul za reševanje specifične enačbe raziskano je bilo vprašanje obstoja korenin za vsako algebraično enačbo. V 18. stoletju Francoski filozof in matematik J. D'Alembert je dokazal, da ima vsaka algebraična enačba neničelne stopnje s kompleksnimi koeficienti vsaj eno kompleksna korenina. V D'Alembertovem dokazu so bile vrzeli, ki jih je nato zapolnil Gauss n-ti polinom potence x razložimo na produkt n linearnih faktorjev.

Trenutno se je teorija sistemov algebrskih enačb spremenila v samostojno področje matematike, imenovano algebrska geometrija. Preučuje premice, ploskve in mnogoterosti višjih dimenzij, definirane s sistemi tovrstnih enačb.

Za študente, ki jih zanima matematika pri reševanju algebrskih enačb višjega reda učinkovita metoda hitro iskanje korenin, deljenje z ostankom z binomom x – a ali z ax + b, je Hornerjeva shema.

Razmislite o Hornerjevi shemi.

Označimo nepopolni kvocient pri deljenju P(x) z x – a z

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1, ostanek pa je b n.

Ker je P(x) = Q(x)(x–) + b n, potem enakost velja

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(x–a) + b n

Odprimo oklepaje na desni strani in primerjajmo koeficiente za enake stopinje x levo in desno. Dobimo, da je a 0 = b 0 in pri 1 < k < n veljajo razmerja a k = b k - a b k-1. Iz tega sledi, da je b 0 = a 0 in b k = a k + a b k-1, 1 < k < n.

Izračun koeficientov polinoma Q(x) in ostanka b n zapišemo v obliki tabele:

Primer 1. Polinom 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 delimo z x + 1.

rešitev. Uporabljamo Hornerjevo shemo.

Pri deljenju 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 z x + 1 dobimo 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Odgovor: 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Primer 2. Izračunajte P(3), kjer je P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

rešitev. Z uporabo Bezoutovega izreka in Hornerjeve sheme dobimo:

Odgovor: P(3) = 535

telovadba

1) Z uporabo Hornerjeve sheme razdelite polinom

4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2 na x + 2;

2) Razdeli polinom

2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1 na x + 1;

3) Poiščite vrednost polinoma P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 za x = 7.

1.1. Iskanje racionalne korenine enačbe s celimi koeficienti

Metoda za iskanje racionalnih korenin algebraične enačbe s celimi koeficienti je podana z naslednjim izrekom.

Izrek:Če ima enačba s celimi koeficienti racionalne korenine, potem so količnik delitelja prostega člena, deljen z deliteljem vodilnega koeficienta.

Dokaz: a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0

Naj bo x = p/q racionalni koren, q, p sta praštevila.

Če nadomestimo ulomek p/q v enačbo in se osvobodimo imenovalca, dobimo

a 0 p n + a 1 p n-1 q+ … + a n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

Prepišimo (1) na dva načina:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

a 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

Iz enakosti (2) sledi, da je a n q n deljiv s p, in ker q n in p sta praštevilna, potem je a n deljiv s p. Podobno iz enačbe (3) sledi, da je a 0 deljivo s q. Izrek je dokazan.

Primer 1. Rešite enačbo 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0.

rešitev. Enačba nima celih korenin; najdemo racionalne korenine enačbe. Naj bo nezmanjšani ulomek p/q koren enačbe, potem je p med delitelji prostega člena, tj. med števili ± 1 in q med pozitivnimi delitelji vodilnega koeficienta: 1; 2.

Tisti. racionalne korene enačbe je treba iskati med števili ± 1, ± 1/2, označimo P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1) 0, P 3 (–1) 0 ,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 je koren enačbe.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

Dobimo: x 2 (2x – 1) – 3x(2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Če izenačimo drugi faktor z nič in rešimo enačbo, dobimo

vaje

Reši enačbe:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. Recipročne enačbe in metode reševanja

Opredelitev. Enačba s celimi potenci glede na neznano se imenuje recipročna, če so njeni koeficienti, enako oddaljeni od koncev leve strani, enaki drug drugemu, tj. enačba oblike

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Recipročna enačba lihe stopnje

ax 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + a = 0

vedno ima koren x = – 1. Zato je enakovredna kombinaciji enačbe x + 1 = 0 in . Zadnja enačba je recipročna enačba sode stopnje. Tako je reševanje recipročnih enačb katere koli stopnje zmanjšano na reševanje recipročne enačbe sode stopnje.

Kako to rešiti? Naj bo podana recipročna enačba sode stopnje

ax 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + a = 0

Upoštevajte, da x = 0 ni koren enačbe. Nato enačbo delimo z x n, dobimo

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Izraze leve strani združimo v pare

a(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Naredimo zamenjavo x + x -1 = y. Po zamenjavi izrazov x 2 + x -2 = y 2 – 2;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 v enačbo dobimo enačbo za priАу n + Z n-1 + Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Če želite rešiti to enačbo, jih morate rešiti več kvadratne enačbe oblike x + x -1 = y k, kjer je k = 1, 2, ... n. Tako dobimo korenine prvotne enačbe.

Primer 1. Rešite enačbo x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0.

rešitev. x = – 1 je koren enačbe. Uporabimo Hornerjevo shemo.

Naša enačba bo imela obliko:

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3 ? 0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

Če združimo v skupine, dobimo: .

Uvedemo zamenjavo: ; ; .

Dobimo relativno pri enačba: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1) (y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 = ± 3.

Reševanje enačb , , ,

dobimo korene: , , ,

Odgovor: x 1 = -1, ,

vaje

Reši enačbe.

1. 2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;
2. 2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;
3. 15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. Metoda zamenjave spremenljivk za reševanje enačb

Metoda zamenjave spremenljivk je najpogostejša metoda. Umetnost izvajanja spremenljive spremembe je ugotoviti, katera sprememba je najbolj smiselna in bo hitreje vodila do uspeha.

Če podamo enačbo

F(f(x)) = 0, (1)

potem se z zamenjavo neznanke y = f(x) najprej reducira na enačbo

in nato po iskanju vseh rešitev enačbe (2) y 1 , y 2 , …, y n , … se zmanjša na reševanje niza enačb f(x) = y 1, f(x) = y 2 ,…, f (x) = y 2,...

Glavni načini izvajanja metode zamenjave spremenljivke so:

• uporaba osnovne lastnosti ulomka;
• poudarjanje kvadrata binoma;
• prehod na sistem enačb;
• odpiranje oklepajev v parih;
• odpiranje oklepajev v parih in deljenje obeh strani enačbe;
• zmanjševanje stopnje enačbe;
• dvojna zamenjava.

1.3.1. Zmanjšanje moči enačbe

Rešite enačbo (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3)

rešitev. Označimo x 2 + x + 2 = y, nato pa vzemimo y (y + 1) = 6, z reševanjem slednjega dobimo y 1 = 2, y 2 = -3. Ta enačba (3) je enakovredna nizu enačb x 2 + x + 2 = 2

x 2 + x + 2 = -3

Če rešimo prvo, dobimo x 1 = 0, x 2 = -1. Reševanje drugega, dobimo ,

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. Enačba četrte stopnje v obliki (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, kjer je a + b = c + d ali a + c = b + d ali a + d = b+c.

Primer. Rešite enačbo (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40

rešitev. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, z množenjem teh parov oklepajev dobimo enačbo (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40

Uvedemo zamenjavo: x 2 - 5x – 14 = y, dobimo enačbo y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0. y 1 = -20, y 2 = 2. Če se vrnemo k prvotni spremenljivki, rešimo niz enačb:

1.3.3. Enačba v obliki (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Primer 2,

kjer je ab = cd ali ac = bd ali ad = bc. Odprite oklepaje v parih in oba dela delite z x 2 0.

Primer. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

rešitev. Zmnožek števil v prvem in tretjem ter v drugem in četrtem oklepaju sta enaka, tj. – 8 (- 1) = (- 2) (- 4). Pomnožimo navedene pare oklepajev in zapišemo enačbo (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2.

Ker x = 0 ni koren enačbe, delimo obe strani enačbe z x 2 0, dobimo: , zamenjava: , izvirna enačba bo imela obliko: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Vrnimo se k prvotni spremenljivki:

Rešimo prvo enačbo, dobimo x 1,2 = 5 ±

Druga enačba nima korenin.

Odgovor: x 1,2 = 5 ±

1.3.4. Enačba četrte vrste (ax 2 + b 1 x + c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2

Enačba (ax 2 + b 1 x+ c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2, kjer c 0, A 0, nima korena x = 0, zato delimo enačbo z x 2, dobimo ekvivalentno enačbo , ki bo po zamenjavi neznanke prepisana v obliki kvadrata in jo je mogoče zlahka rešiti.

Ime koeficienti enačbe so podatki, hnaz. neznana in je želena. A. koeficientov (1) se ne predpostavlja, da so vsi enaki nič. Če tedaj poklicali stopnja enačbe.

Pomeni neznanega X, ki zadoščajo enačbi (1), to pomeni, da pri zamenjavi spremenijo enačbo v identiteto, imenovano. korenine enačbe (1), kot tudi korenine polinoma

fn(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 +...+a n .(2)

Korenine polinoma so povezane z njegovimi koeficienti z uporabo Vietovih formul (glej. Vietov izrek). Rešiti enačbo pomeni najti vse njene korenine, ki ležijo v obravnavanem območju vrednosti neznanke.

Za aplikacije je najpomembnejši primer, ko so koeficienti in koreni enačbe števila takšne ali drugačne narave (na primer racionalna, realna ali kompleksna). Upoštevan je tudi primer, ko so koeficienti in koreni elementi poljubnega polja.če dano številko(ali element polja) z - koren polinoma fn(X) , potem glede na Brez izreka f n(x).deljivo z x-s brez sledu. Delitev lahko izvedemo po Hornerju

shema. Klicana številka (ali element polja). k-vojski koren polinoma f(x)( k- naravno število x-s), če je f(x).deljiv z ( ) k , vendar ni deljivo z (x-с) k+1 . Koreni množice 1 se imenujejo. preproste korenine

polinom.

Vsak polinom f(x) stopnje n>0 s koeficienti iz polja Rm ima več kot n korenin v Pn, pri čemer vsak koren šteje tolikokrat, kolikor je njegova mnogokratnost (in torej ne več kot n različnih korenin). IN algebraično zaprto polje

Vsak polinom stopnje ima natanko korene (štetje njihove množice). Še posebej to velja za področje kompleksnih števil. Enačba (1) stopnje ps s koeficienti iz polja Pnaz. ireduktibilen nad poljem R, Enačba (1) stopnje ps s koeficienti iz polja Pnaz. ireduktibilen nad poljemče je polinom (2) nereducibilen nad tem poljem, tj. ga ni mogoče predstaviti kot produkt drugih polinomov nad poljem stopnje, ki so manjše p. V nasprotnem primeru se imenuje polinom in ustrezna enačba. dano. Polinomi ničelne stopnje se ne štejejo niti za zmanjšljive niti za ireduktibilne. Lastnost danega polinoma, da je reducibilen ali nereducibilen nad poljem P, je odvisna od polja, ki ga obravnavamo. Tako je polinom x 2 -2 ireduktibilen nad poljem racionalnih števil, saj bi sicer imel racionalne korenine, je pa reducibilen nad poljem: realna števila x 2 - 2=(x+)(Ts22=(x+ X- ) . Prav tako polinom x 2 + 1 je nereducibilno nad poljem realnih števil, a reducibilno nad poljem kompleksnih števil. V splošnem so le polinomi 1. stopnje ireduktibilni nad poljem kompleksnih števil, vsak polinom pa je mogoče razstaviti na linearni faktorji . Nad poljem realnih števil so ireduktibilni samo polinomi 1. stopnje in polinomi 2. stopnje, ki nimajo realnih korenin (vsak polinom pa je mogoče razstaviti na linearnega in ireduktibilnega). Nad poljem racionalnih števil obstajajo ireduktibilni polinomi katere koli stopnje, kot so na primer polinomi oblike Nereducibilnost polinoma nad poljem racionalnih števil ugotavljamo z Eisensteinovim kriterijem: če za polinom (2) stopnje s celimi koeficienti obstaja p, tako da vodilni ni deljiv z R, vsi drugi koeficienti so deljivi z , prosti člen pa ni deljiv s tedaj je ta polinom nereducibilen nad poljem racionalnih števil.

Pustiti R - polje po meri. Za vsak polinom stopnje, ki ga ni mogoče reducirati nad poljem Enačba (1) stopnje ps s koeficienti iz polja Pnaz. ireduktibilen nad poljem obstaja nekaj takega razširitev polje P, ki vsebuje vsaj en koren polinoma; poleg tega obstaja polinom, tj. polje Enačba (1) stopnje ps s koeficienti iz polja Pnaz. ireduktibilen nad poljem v kateri je mogoče ta polinom razstaviti na linearne faktorje. Vsako polje je algebraično zaprto.

Rešljivost algebraičnih enačb v radikalih. Vsak A.u. stopnje, ki ne presegajo 4, se raztopijo v radikalih. Rešitev problemov, ki vodijo do določenih vrst enačb 2. in 3. stopnje, je mogoče najti v starem Babilonu (2000 pr. n. št.) (glej. kvadratna enačba, kubična enačba). Prva predstavitev teorije reševanja kvadratnih enačb je podana v knjigi Diofanta "Aritmetika" (3. stoletje našega štetja). Rešitev v radikalih enačb 3. in 4. stopnje s črkovnimi koeficienti so dobili italijanski matematiki v 16. stoletju. (cm. Cardano, Ferrarijeva metoda). Skoraj 300 let po tem so bili neuspešni poskusi reševanja enačbe v radikalih s črkovnimi koeficienti 5. in višjih potenc. Končno je leta 1826 N. Abel dokazal, da je to nemogoče.

Sodobno besedilo Abelov izrek: naj bo (1) × stopenjska enačba z dobesednimi koeficienti × poljubno polje in RF polje racionalne funkcije od s koeficienti od TO; nato pa koreni enačbe (1) (ki ležijo v neki razširitvi polja R) ni mogoče izraziti s koeficienti te enačbe z uporabo končno število dejanja seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja (ki so smiselna na terenu R) in korenski znaki (pomembni pri širjenju polja R). Z drugimi besedami, splošna enačba stopnja n>4 je nerešljiva v radikalih (glej, str. 226).

Abelov izrek pa ne izključuje dejstva, da vsak A. s podatki številčni koeficienti(ali koeficientov iz tega področja) se razreši v radikalih. Enačbe katere koli stopnje katere koli posebne vrste se rešujejo v radikalih (npr. binomske enačbe). Popolna rešitev vprašanje, pod kakšnimi pogoji A. pri. topen v radikalih, ca. 1830 E. Galois (E. Galois).

Glavni Galoisova teorija o rešljivosti A. pri. v radikalih je formuliran takole: naj bo Η polinom s koeficienti iz polja K, nereducibilen nad K; potem: 1) če je vsaj en koren enačbe izražen v radikalih preko koeficientov te enačbe in eksponenti radikalov niso deljivi z značilnostjo ničle K, potem je Galois te enačbe nad poljem rešljiv; 2) obratno, če je Galoisova skupina enačbe f(x) = Q nad Krestimovim poljem in je K bodisi enak nič ali večji od vseh vrst faktorjev sestave te skupine, potem so vsi koreni enačbe predstavljeni v radikalih prek njenih koeficientov, vsi eksponenti pojavljajočih se radikalov pa so H praštevila, in binomske enačbe, ki ustrezajo tem radikalom, so nereducibilne nad polji, katerim so ti dodani.

E. Galois je dokazal ta izrek za primer, ko K H polje racionalnih števil; v tem primeru postanejo vsi pogoji na karakteristiko polja K, ki jih vsebuje formulacija izreka, nepotrebni.

Abelov izrek je posledica Galoisovega izreka, saj je Galoisova skupina enačb stopnje ns s črkovnimi koeficienti nad poljem Rracionalne funkcije koeficientov enačbe s koeficienti iz katerega koli polja CN simetričnega. skupina in za je neodločljiva. Za vsako obstajajo enačbe stopnje ps z racionalnimi (in celo celimi) koeficienti, ki so nerešljive v radikalih. Primer takšne enačbe za je enačba , kjer je рН praštevilo. Galoisova teorija uporablja metodo redukcije rešitve danega algoritma. na verigo enostavnejših enačb, imenovanih. raztopine podana enačba.

Rešljivost enačb v radikalih je tesno povezana z vprašanjem geometrije. konstrukcije s šestili in ravnili, zlasti problem razdelitve kroga na n enake dele (glej Delitev kroga polinom, primitivni koren).

Algebraične enačbe v eni neznanki z numeričnimi koeficienti. Da bi našli korenine A. u. s koeficienti s področja realnih ali kompleksnih števil stopnje, višje od 2, se praviloma uporabljajo približne metode izračuna (npr. Parabolična metoda). V tem primeru je primerno, da se najprej znebite več korenin. Število c je k-kratni koren polinoma, če in samo če so polinom in njegovi odpeljanki do reda kH 1 vključno pojdi na nič pri . Če ga delimo z največjim skupni delilnik tega polinoma in njegovega derivata, potem je rezultat polinom, ki ima enake korene kot polinom, vendar le prve množine. Možno je celo sestaviti polinome, ki imajo kot preproste korenine Vse korenine polinoma imajo enako mnogokratnost. Polinom ima več korenin, če in samo če diskriminator enako nič.

Pogosto se pojavljajo težave pri določanju meja in števila korenin. Onkraj zgornje meje modulov vseh korenin (tako realnih kot kompleksnih) a. (1) s poljubnimi kompleksnimi koeficienti lahko vzamemo število

V primeru realnih koeficientov je natančnejša meja običajno dana z Newtonova metoda. Proti definiciji Zgornja meja pozitivne korenine zmanjša definicijo spodnje meje pozitivnega, kot tudi zgornje in spodnje meje negativne korenine.

Za določitev števila pravih korenin je najlažji način uporaba Descartesov izrek.Če je znano, da so vse korenine danega polinoma realne (kot na primer za karakteristični polinom realne simetrične matrike), potem Descartesov izrek poda točno število korenin. Če upoštevamo polinom, lahko uporabimo isti izrek za iskanje števila negativnih korenin. Natančno število realnih korenin, ki ležijo na danem intervalu (zlasti število vseh realnih korenin) polinoma z realnimi koeficienti, ki nima več korenin, je mogoče najti z Pravilo Sturma. Descartesov izrek je poseben primer Budana H Fourierjevi izreki, podajanje zgornje ocene za število realnih korenin polinoma z realnimi koeficienti v določenem fiksnem intervalu.

Včasih jih zanima iskanje korenin posebna vrsta, tako na primer Hurwitzev kriterij daje potrebno in zadosten pogoj da imajo vsi koreni enačbe (s kompleksnimi koeficienti) negativne realne dele (glej. Rousa H Hurwitzev kriterij).

Za polinom z racionalni koeficienti obstaja metoda za izračun vseh njegovih racionalnih korenov. Polinom z racionalnimi koeficienti ima enake korene kot polinom s celimi koeficienti, ki jih dobimo z množenjem skupnih imenovalcev vseh koeficientov Racionalni koreni polinoma s celimi koeficienti so lahko samo tisti nezmanjšani ulomki oblike , pri čemer so rH števila , H pa je delitelj števila (in celo samo tisti od teh ulomkov, pri katerih je za katero koli celo število število deljivo z ).

Če , potem so vse racionalne korenine polinoma (če jih sploh ima) cela števila, ki so delitelji brezplačen član, in ga je mogoče najti s surovo silo.

Sistemi algebrskih enačb. O sistemih A.U 1. stopnja gl Linearna enačba.

Sistem dveh A.U. katera koli stopnja z dvema neznankama x in y lahko zapišemo kot:

Kje H polinomi v eni neznanki X.

Če nekaj daš številčna vrednost, dobite sistem dveh enačb iz ene neznanke s konstantnimi koeficienti. Rezultat ta sistem bo imel naslednjo determinanto:

Naslednja izjava velja: število je koren rezultante, če in samo če imata polinoma skupni koren ali sta oba vodilna koeficienta enaka nič.

Če želite torej rešiti sistem (3), morate najti vse korenine rezultante, vsako od teh korenin nadomestiti v sistem (3) in poiskati skupne korenine teh dveh enačb z eno neznanko u. Poleg tega je treba poiskati skupne korenine dveh polinomov in jih tudi nadomestiti v sistem (3) ter preveriti, ali imajo nastale enačbe z eno neznanko skupne korenine. Z drugimi besedami, rešitev sistema dveh A. at. z dvema neznankama se zmanjša na reševanje ene enačbe z eno neznanko in izračun skupnih korenov dveh enačb z eno neznanko (skupne korenine dveh ali več polinomov z eno neznanko so korenine njihovega največjega skupnega delitelja). - ALGEBRSKA ENAČBA, enačba, ki jo lahko transformiramo tako, da bo na levi strani polinom v neznankah, na desni strani pa ničla. Stopnjo polinoma imenujemo stopnja enačbe. Najenostavnejše algebrske enačbe: linearna enačba... ... Ilustrirani enciklopedični slovar

Enačba, ki jo dobimo z enačenjem dveh algebrski izrazi. Na primer x2+xy+y2 =x+1. Algebraično enačbo z eno neznanko lahko pretvorimo v obliko aо + a1x + ... + anxn=0 ... Veliki enciklopedični slovar

algebraična enačba- - [L.G. Sumenko. Angleško-ruski slovar informacijske tehnologije. M.: Državno podjetje TsNIIS, 2003.] Teme Informacijska tehnologija v splošni EN polinomski enačbi ... Tehnični prevajalski priročnik - enačba, dobljena z enačenjem dveh algeber. izrazi. Na primer, x2 + xy + y2 = x + 1. A.y. z eno neznano x lahko pretvorimo v obliko ao + a1x+ ... + anxn = 0 ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Enačba četrte stopnje v matematiki je algebraična enačba oblike: . Četrta stopnja za algebraične enačbe je najvišja, na kateri obstaja analitično rešitev v radikalih v splošni pogled(to je za katero koli vrednost... ... Wikipedia

Graf polinoma 6. stopnje s 5 kritične točke. Enačba šeste stopnje je algebraična enačba, ki ima največjo stopnjo 6. Na splošno se lahko zapiše takole... Wikipedia

VRSTE ENAČB

Algebraične enačbe. Enačbe oblike fn= 0, kjer je fn– polinom v eni ali več spremenljivkah, ki se imenujejo algebraične enačbe. Polinom je izraz oblike

fn = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

Kje x, l, ..., v so spremenljivke in jaz, j, ..., r– eksponenti (cela števila) nenegativna števila). Polinom v eni spremenljivki je zapisan takole:

f(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ... + a n – 1 x + a n

ali v posebnem primeru 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. Algebrska enačba z eno neznanko je vsaka enačba oblike f(x) = 0. Če a 0 ¹ 0 torej n se imenuje stopnja enačbe. Na primer, 2 x+ 3 = 0 – enačba prve stopnje; enačbe prve stopnje imenujemo linearne, saj je graf funkcije y = ax + b izgleda kot ravna črta. Enačbe druge stopnje imenujemo kvadratne, enačbe tretje stopnje pa kubične. Podobna imena imajo tudi enačbe višjih stopenj.

Transcendentne enačbe. Enačbe, ki vsebujejo transcendentalne funkcije, kot so logaritemske, eksponentne ali trigonometrična funkcija, se imenujejo transcendentalne. Primer bi bil naslednje enačbe:

kjer je log logaritem z osnovo 10.

Diferencialne enačbe. To je ime za enačbe, ki vsebujejo eno ali več funkcij in njihove odvode ali diferenciale. Diferencialne enačbe so se izkazale za izjemno dragoceno sredstvo za natančno formuliranje naravnih zakonov.

Integralne enačbe. Enačbe, ki vsebujejo neznano funkcijo pod integralnim znakom, npr. f (s) = ò K (s, t) f(t) dt, Kje f(s) In K(s,t) so podani in f(t) je treba najti.

Diofantove enačbe. Diofantova enačba je algebrska enačba z dvema ali več neznankami s celimi koeficienti, katere rešitev iščemo v celih ali racionalnih številih. Na primer enačba 3 x – 5l= 1 ima rešitev x = 7, l= 4; na splošno so njegove rešitve cela števila oblike x = 7 + 5n, l = 4 + 3n.

REŠEVANJE ALGEBRSKIH ENAČB

Za vse zgoraj navedene vrste enačb običajne metode rešitve ni. Vendar je v mnogih primerih, zlasti za algebrske enačbe določenega tipa, dovolj popolna teorija njihove odločitve.

Linearne enačbe. Te preproste enačbe se rešijo tako, da se reducirajo na enakovredno enačbo, iz katere je vrednost neznanke takoj razvidna. Na primer enačba x+ 2 = 7 lahko reduciramo na ekvivalentno enačbo x= 5 z odštevanjem števila 2 z desne in leve strani. Koraki mešanja preprosta enačba, na primer x+ 2 = 7, do ekvivalenta, temeljijo na uporabi štirih aksiomov.

1. Če enake vrednosti povečati za enako število, bodo rezultati enaki.

2. Če od enakih količin odštejete enako število, bodo rezultati enaki.

3. Če enake vrednosti pomnožimo z istim številom, bodo rezultati enaki.

4. Če enake količine delimo z enakim številom, bodo rezultati enaki.

Na primer, za rešitev enačbe 2 x+ 5 = 15, bomo uporabili aksiom 2 in odšteli število 5 od desne in leve strani, kar bo povzročilo enakovredno enačbo 2 x= 10. Nato uporabimo aksiom 4 in delimo obe strani dobljene enačbe z 2, zaradi česar se prvotna enačba reducira na obliko x= 5, kar je želena rešitev.

Kvadratne enačbe. Rešitve splošne kvadratne enačbe sekira 2 + bx + c= 0 lahko dobite s formulo

Tako obstajata dve rešitvi, ki se lahko v posameznem primeru ujemata.

Druge algebraične enačbe. Eksplicitne formule, podobne formuli za reševanje kvadratne enačbe, lahko zapišemo samo za enačbe tretje in četrte stopnje. Toda te formule so zapletene in ne pomagajo vedno zlahka najti korenin. Kar zadeva enačbe pete stopnje ali višje, zanje, kot je dokazal N. Abel leta 1824, ni mogoče navesti splošna formula, ki bi korenine enačbe izrazila preko njenih koeficientov z uporabo radikalov. V nekaterih posebnih primerih lahko enačbe višjih stopenj zlahka rešimo tako, da jih faktoriziramo leva stran, tj. razlaganje na faktorje.

Na primer enačba x 3 + 1 = 0 lahko zapišemo v faktorizirani obliki ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Rešitve poiščemo tako, da nastavimo vsakega od faktorjev enako nič:

Korenini sta torej enaki x= –1, tj. samo 3 korenine.

Če enačbe ni mogoče faktorizirati, je treba uporabiti približne rešitve. Glavne metode za iskanje približnih rešitev so razvili Horner, Newton in Greffe. Vendar pa v vseh primerih obstaja močno zaupanje, da rešitev obstaja: algebraična enačba n-ta stopnja ima točno n korenine.

Sistemi linearnih enačb. Dve linearni enačbi z dvema neznankama lahko zapišemo kot

Rešitev takega sistema se najde s pomočjo determinant

Smiselno je, če če D= 0, potem sta možna dva primera. (1) Vsaj ena od determinant in je različna od nič. V tem primeru ni rešitve enačb; enačbe so neskladne. Numerični primer takšno stanje – sistem

(2) Obe determinanti sta enaki nič. V tem primeru je druga enačba preprosto večkratnik prve in obstaja neskončno število odločitve.

Splošna teorija razmišlja m linearne enačbe z n spremenljivke:

če m = n in matriko ( a ij) ni degenerirana, potem je rešitev edinstvena in jo je mogoče najti s Cramerjevim pravilom:

Kje A ji – algebrski komplement element a ij v matrici ( a ij). V več na splošno Obstajajo naslednji izreki. Pustiti r– rang matrike ( a ij), s– rang obrobljene matrike ( a ij; b i), ki se pridobiva iz a ij dodajanje stolpca s številkami b i. Potem: (1) če r = s, potem obstaja n–r linearni neodvisne odločitve; (2) če r< s , potem sta enačbi nekonsistentni in ni rešitev.

ALGEBRSKA ENAČBA, enačba oblike F(x 1 ,…,x m)=0, kjer je F polinom v m spremenljivkah, ki jih imenujemo neznanke.

Predpostavlja se, da koeficienti polinoma pripadajo fiksnemu glavnemu polju K. Rešitev algebrske enačbe je tak niz x * 1,..., x * m neznanih vrednosti iz polja K (ali njegovega podaljšek), ki ga po zamenjavi v polinom F spremeni v nič. Glavna naloga teorije algebrskih enačb je razjasniti pogoje, ko ima dana algebrska enačba rešitev in opis množice vseh rešitev.

Algebraična enačba z eno neznanko ima obliko

Predpostavimo, da je n>0 in a 0 ≠ 0. Število n imenujemo stopnja enačbe, števila a 0, a 1 ... in n pa njeni koeficienti. Vrednosti neznanke x, ki so rešitve enačbe, se imenujejo njene korenine, pa tudi korenine polinoma F(x). Če je α koren enačbe (1), potem je polinom F(x) deljen brez ostanka z (x-α) (Bezoutov izrek). Element α glavnega polja K (ali njegove razširitve) imenujemo k-kratni koren algebraične enačbe, če je polinom F(x) deljiv z (x-α)k in ni deljiv z (x-α)k +1. Koreni večkratnika 1 se imenujejo tudi enostavni koreni enačbe.

Vsak polinom stopnje n s koeficienti iz polja K nima več kot n korenin v K, pri čemer štejemo korenine z upoštevanjem njihove množice. Če je polje K algebraično zaprto, potem ima vsak takšen polinom natanko n korenin, upoštevajoč njihove mnogokratnosti. Še posebej to velja za polje kompleksnih števil C (temeljni izrek algebre). Iz Bezoutovega izreka sledi, da je F(x) mogoče predstaviti v obliki

kjer so α 1,.....α n koreni enačbe. Koreni in koeficienti enačbe so povezani z Vietinimi formulami

Vsako enačbo stopnje n≤ 4 je mogoče razrešiti v radikalih. To pomeni, da za korene enačbe obstajajo eksplicitne formule, ki izražajo korene skozi koeficiente enačbe in uporabljajo samo seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in ekstrakcijo korena. V primeru n=2 (kvadratna enačba) imajo formule obliko

Rešitve problemov, ki se reducirajo na določene vrste enačb 2. in 3. stopnje, najdemo v klinopisnih besedilih. Stari Babilon. Prva predstavitev teorije reševanja kvadratnih enačb je podana v Diofantovi Aritmetiki (3. stoletje). Rešitev v radikalih enačb 3. in 4. stopnje v splošni obliki sta v 16. stoletju dobila italijanska matematika G. Cardano in L. Ferrari. Skoraj 300 let so poskušali najti skupna odločitev v radikalih enačb stopenj, večjih od 4. Leta 1826 je N. Abel dokazal, da je to nemogoče (vendar ni izključena možnost obstoja takih formul za specifične enačbe stopnje n>4). Popolno rešitev vprašanja, pod kakšnimi pogoji je algebraična enačba rešljiva v radikalih, je dobil E. Galois (okrog 1830). Vprašanje rešljivosti enačb v radikalih je tesno povezano z vprašanjem geometrijske konstrukcije z uporabo šestila in ravnila, zlasti z delitvijo kroga na n enakih delov, z dokazom nezmožnosti podvojitve kocke, trisekcije kota in kvadrature kroga.

Za aplikacije je zelo pomemben primer, ko so koeficienti in koreni enačbe števila (iz polj Z celih števil, Q racionalnih, R realnih ali C kompleksnih števil); v tem primeru se pogosto uporabljajo posebne lastnosti teh polj (na primer prisotnost topologije ali urejenosti v njih). V tem primeru lahko s pomočjo posebnih funkcij pridobite eksplicitne formule za reševanje enačb stopnje, večje od 4.

Za praktično iskanje korenin enačb s koeficienti iz R in C se uporabljajo približne metode. Če želite od zgoraj oceniti število realnih korenin enačb z realnimi koeficienti, lahko uporabite Descartesov izrek: število pozitivnih korenin, ob upoštevanju njihove množenosti, je enako ali sodo število manjše od števila sprememb predznaka v zaporedju neničelnih koeficientov enačbe.

Obstajajo številne ocene vrednosti korenin. Tako nad poljem C vrednosti |α i |, i = 1, ..., n, ne presegajo

Če so koeficienti realni in a 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0, potem vsi koreni enačbe ležijo na kompleksna ravnina v enotnem krogu.

V povezavi s proučevanjem problematike trajnosti mehanski sistemi postavlja se vprašanje, kdaj imajo vse korenine danega polinoma F(x) negativne realne dele (problem Routh-Hurwitz). Takšni polinomi F se imenujejo stabilni. Glavni rezultati o stabilnih polinomih pripadajo C. Hermiteju, angleškemu znanstveniku E. Routhu in nemškim matematikom A. Hurwitzu in I. Schurju.

Sisteme algebrskih enačb z več neznankami preučuje algebrska geometrija. Ločen del, teorija diofantovih enačb, vključuje preučevanje algebraičnih enačb nad odprtimi polji, kot je polje Q.

Sistem algebrskih enačb je sistem enačb, ki ima obliko

Sisteme enačb stopnje 1 (linearne enačbe) preučuje linearna algebra.

Najenostavnejši rezultat o številu rešitev sistema algebrskih enačb velja za primer, ko je k homogene enačbe iz k + 1 spremenljivk. Vse rešitve x 1 * ,...,x x+1 k združimo v razrede rešitev λ 1 * ..., λх k+1 *, kjer λ≠0 pripada polju K. Potem je število ne- nič (razredi) rešitev sistema ob upoštevanju njihove mnogoternosti v splošni primer je enak zmnožku potenc polinomov F 1, ..., F k. Pogoj splošnosti je, da koeficienti polinomov F 1, ..., F k ne pripadajo neki algebrski varieteti v afini prostor Koeficienti A, ki imajo strogo manjšo dimenzijo kot A (Bezoutov izrek).

V primeru, ko obravnavamo sisteme nehomogenih algebrskih enačb, je za iskanje števila njihovih rešitev potrebno uporabiti bolj subtilne invariante kot stopnjo, in sicer Newtonove poliedre. če

kjer je i=(i 1 ,..i n) Є Z n potem je Newtonov polieder polinoma F konveksna lupina v prostoru R n točk i, za katere je a i ≠ 0. Število rešitev sistema aritmetičnih enačb je izražen preko Newtonovih poliedrov polinomov F 1 ,. . . ,Fk.

Lit.: Mishina A.P., Proskuryakov I.V. Višja algebra. Linearna algebra, polinomi, splošna algebra. M., 1965; Kurosh A.G. Tečaj višje algebre. M., 1975; Kostrikin A.I. Uvod v algebro. M., 1977; Postnikov M. M. Stabilni polinomi. M., 1981; Fadeev D.K., Sominsky I.S. Problemi v višji algebri. Sankt Peterburg, 2001.

I. V. Proskuryakov, A. N. Parshin.