Poišči splošno rešitev in jo zapiši v terminih fsr. Homogeni sistemi enačb

V šoli je vsak od nas študiral enačbe in najverjetneje sisteme enačb. Toda malo ljudi ve, da jih je mogoče rešiti na več načinov. Danes bomo podrobno analizirali vse metode za reševanje linearnega sistema algebraične enačbe, ki je sestavljena iz več kot dveh enakosti.

Zgodba

Danes je znano, da umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov izvira iz Stari Babilon in Egipt. Vendar pa so se enakosti v znani obliki pojavile po pojavu enakega znaka "=", ki ga je leta 1556 uvedel angleški matematik Record. Mimogrede, ta znak je bil izbran z razlogom: pomeni dva vzporednika enako segmentu. In res je najboljši primer enakosti si ni mogoče izmisliti.

Utemeljitelj moderne črkovne oznake neznanke in znaki eksponentov je francoski matematik Vendar so se njegove oznake bistveno razlikovale od današnjih. Na primer kvadrat neznani datum je označil črko Q (lat. "quadratus") in kocko - črko C (lat. "cubus"). Ta zapis se zdaj zdi neroden, a takrat je bil najbolj razumljiv način zapisovanja sistemov linearnih algebrskih enačb.

Vendar pa je bila pomanjkljivost takratnih metod reševanja ta, da so matematiki samo upoštevali pozitivne korenine. Morda je to posledica dejstva, da negativne vrednosti ni imel nobenega praktična uporaba. Tako ali drugače, vendar bodite prvi, ki šteje negativne korenine V 16. stoletju so ga začeli italijanski matematiki Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano in Raphael Bombelli. A moderen videz, glavna metoda reševanja (skozi diskriminanto) je nastala šele v 17. stoletju zahvaljujoč delu Descartesa in Newtona.

Sredi 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Cramer ugotovil nov način da bi naredili rešitev za sisteme linearne enačbe lažje. Ta metoda je kasneje po njem dobila ime in jo uporabljamo še danes. Toda o Cramerjevi metodi bomo govorili malo kasneje, zdaj pa razpravljajmo o linearnih enačbah in metodah za njihovo reševanje ločeno od sistema.

Linearne enačbe

Linearne enačbe so najenostavnejše enačbe s spremenljivko (spremenljivkami). Uvrščamo jih med algebraične. zapisano v splošni obliki, kot sledi: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. V tej obliki jih bomo morali predstaviti pri poznejšem prevajanju sistemov in matrik.

Sistemi linearnih algebrskih enačb

Opredelitev tega izraza je: je niz enačb, ki imajo skupne neznane količine in skupna odločitev. V šoli so praviloma vsi reševali sisteme z dvema ali celo tremi enačbami. Obstajajo pa sistemi s štirimi ali več komponentami. Najprej ugotovimo, kako jih zapisati, da bo v prihodnosti priročno reševati. Prvič, sistemi linearnih algebrskih enačb bodo videti bolje, če bodo vse spremenljivke zapisane kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 in tako naprej. Drugič, vse enačbe je treba zmanjšati na kanonična oblika: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Po vseh teh korakih lahko začnemo govoriti o tem, kako najti rešitve sistemov linearnih enačb. Matrice bodo zelo koristne za to.

Matrike

Matrika je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, na njihovem presečišču pa so njeni elementi. Lahko bi bilo bodisi specifične vrednosti, ali spremenljivke. Najpogosteje se za označevanje elementov pod njimi postavijo indeksi (na primer 11 ali 23). Prvi indeks pomeni številko vrstice, drugi pa številko stolpca. Nad matricami, kot nad vsemi drugimi matematični element lahko izvajate različne operacije. Tako lahko:

2) Pomnožite matriko s poljubnim številom ali vektorjem.

3) Transponiranje: spremeni matrične vrstice v stolpce in stolpce v vrstice.

4) Pomnožite matrike, če je število vrstic ene od njih enako številu stolpcev druge.

O vseh teh tehnikah se pogovorimo podrobneje, saj nam bodo v prihodnosti koristile. Odštevanje in seštevanje matrik je zelo preprosto. Ker vzamemo matrice enake velikosti, potem je vsak element ene tabele v korelaciji z vsakim elementom druge tabele. Tako seštejemo (odštejemo) ta dva elementa (pomembno je, da stojita na istih mestih v svojih matricah). Pri množenju matrike s številom ali vektorjem preprosto pomnožite vsak element matrike s tem številom (ali vektorjem). Transpozicija je zelo zanimiv proces. Včasih ga je zelo zanimivo videti resnično življenje, na primer pri spreminjanju usmerjenosti tablice ali telefona. Ikone na namizju predstavljajo matriko, ki se ob spremembi položaja prestavi in ​​postane širša, vendar se zmanjša v višino.

Oglejmo si še en postopek, kot je: Čeprav ga ne bomo potrebovali, ga bo še vedno koristno poznati. Dve matriki lahko pomnožite le, če je število stolpcev v eni tabeli enako številu vrstic v drugi. Zdaj pa vzemimo elemente vrstice ene matrike in elemente ustreznega stolpca druge. Pomnožimo jih drug z drugim in jih nato seštejemo (to pomeni, da bo na primer produkt elementov a 11 in a 12 z b 12 in b 22 enak: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tako dobimo en element tabele, ki ga polnimo naprej na podoben način.

Zdaj lahko začnemo obravnavati, kako se sistem linearnih enačb reši.

Gaussova metoda

Ta tema se začne obravnavati v šoli. Pojem “sistem dveh linearnih enačb” dobro poznamo in znamo ju reševati. Kaj pa, če je število enačb večje od dveh? To nam bo pomagalo

Seveda je ta metoda primerna za uporabo, če iz sistema naredite matriko. Vendar vam ga ni treba preoblikovati in rešiti v čisti obliki.

Torej, kako ta metoda rešuje sistem linearnih Gaussovih enačb? Mimogrede, čeprav je ta metoda poimenovana po njem, so jo odkrili že v starih časih. Gauss predlaga naslednje: izvajati operacije z enačbami, da bi na koncu celoten niz pripeljal do stopničast pogled. To pomeni, da je potrebno, da se od zgoraj navzdol (če je pravilno urejeno) od prve enačbe do zadnje neznanka zmanjšuje. Z drugimi besedami, poskrbeti moramo, da dobimo recimo tri enačbe: v prvi so tri neznanke, v drugi dve, v tretji ena. Nato iz zadnje enačbe poiščemo prvo neznanko, njeno vrednost nadomestimo v drugo ali prvo enačbo in nato poiščemo preostali dve spremenljivki.

Cramerjeva metoda

Za obvladovanje te metode je ključnega pomena imeti veščine seštevanja in odštevanja matrik, poleg tega pa morate znati najti determinante. Torej, če vse to počnete slabo ali sploh ne znate, se boste morali naučiti in vaditi.

Kaj je bistvo te metode in kako narediti tako, da dobimo sistem linearnih Cramerjevih enačb? Vse je zelo preprosto. Sestaviti moramo matriko numeričnih (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih algebrskih enačb. Za to preprosto vzamemo števila pred neznankami in jih razvrstimo v tabelo po vrstnem redu, kot so zapisana v sistemu. Če je pred številko znak »-«, potem zapišemo negativni koeficient. Torej smo sestavili prvo matriko koeficientov za neznanke, pri čemer ne vključujemo števil za enačaji (seveda je treba enačbo reducirati na kanonično obliko, ko je na desni samo številka, vse neznanke s koeficienti pa na leva). Nato morate ustvariti še več matrik - eno za vsako spremenljivko. Da bi to naredili, zamenjamo vsak stolpec s koeficienti v prvi matriki po vrsti s stolpcem številk za znakom enačaja. Tako dobimo več matrik in nato poiščemo njihove determinante.

Ko smo enkrat našli determinante, je to majhna stvar. Imamo začetno matriko in nastalih je več matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da bi dobili rešitve sistema, delimo determinanto nastale tabele z determinanto začetne tabele. Dobljeno število je vrednost ene od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznanke.

Druge metode

Obstaja več drugih metod za pridobivanje rešitev sistemov linearnih enačb. Na primer tako imenovana Gauss-Jordanova metoda, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratne enačbe in je povezana tudi z uporabo matrik. Obstaja tudi Jacobijeva metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Najlažje se prilagodi računalniku in se uporablja v računalništvu.

Zapleteni primeri

Zapletenost običajno nastane, ko je število enačb manjše število spremenljivke. Potem lahko z gotovostjo rečemo, da je sistem nekonzistenten (torej nima korenin) ali pa se število njegovih rešitev nagiba k neskončnosti. Če imamo drugi primer, potem moramo zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vsebovala bo vsaj eno spremenljivko.

Zaključek

Prišli smo do konca. Povzemimo: ugotovili smo, kaj sta sistem in matrika, ter se naučili najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega smo razmišljali o drugih možnostih. Ugotovili smo, kako rešiti sistem linearnih enačb: Gaussova metoda in se pogovarjali težkih primerih in druge načine za iskanje rešitev.

Pravzaprav je ta tema veliko obsežnejša in če jo želite bolje razumeti, priporočamo branje bolj specializirane literature.

Linearna enačba se imenuje homogena, če njegov prosti član enako nič, drugače pa heterogeni. Sistem, sestavljen iz homogene enačbe, se imenuje homogena in ima splošno obliko:

Očitno je, da je vsak homogen sistem konsistenten in ima ničelno (trivialno) rešitev. Zato je treba pri uporabi za homogene sisteme linearnih enačb pogosto iskati odgovor na vprašanje obstoja neničelnih rešitev. Odgovor na to vprašanje je mogoče formulirati kot naslednji izrek.

Izrek . Homogen sistem linearnih enačb ima neničelno rešitev, če in samo če je njegov rang manjši od števila neznank .

Dokaz: Predpostavimo, da ima sistem, katerega rang je enak, različno rešitev. Očitno ne presega. V primeru, da ima sistem edina odločitev. Ker ima sistem homogenih linearnih enačb vedno ničelno rešitev, bo ničelna rešitev ta edinstvena rešitev. Tako so neničelne rešitve možne samo za .

Posledica 1 : Homogen sistem enačb, v katerem je število enačb manjše od števila neznank, ima vedno rešitev različno od nič.

Dokaz: Če ima sistem enačb , potem rang sistema ne presega števila enačb, tj. . Tako je pogoj izpolnjen in zato ima sistem različno rešitev.

Posledica 2 : Homogen sistem enačb z neznankami ima različno rešitev takrat in samo, če je njegova determinanta nič.

Dokaz: Predpostavimo, da ima sistem linearnih homogenih enačb, katerih matrika z determinanto , različno rešitev. Potem, v skladu z dokazanim izrekom in to pomeni, da je matrika singularna, tj. .

Homogeni sistem linearnih algebrskih enačb.

Sistem m linearnih enačb z n spremenljivkami imenujemo sistem linearnih homogenih enačb, če so vse brezplačni člani so enaki 0. Sistem linearnih homogenih enačb je vedno konsistenten, ker vedno ima vsaj ničelno rešitev. Sistem linearnih homogenih enačb ima različno rešitev, če in samo če je rang njegove matrike koeficientov za spremenljivke manjši od števila spremenljivk, tj. za rang A (n. Katera koli linearna kombinacija

Lin sistemske rešitve. homogena. ur-ii je tudi rešitev tega sistema.

Sistem linearnih neodvisnih rešitev e1, e2,...,еk imenujemo fundamentalen, če je vsaka rešitev sistema linearna kombinacija rešitev. Izrek: če je rang r matrike koeficientov pri sistemske spremenljivkeče so linearne homogene enačbe manjše od števila spremenljivk n, potem je vsak temeljni sistem rešitev sistema sestavljen iz n-r rešitve. Zato je splošna rešitev linearnega sistema. nekega dne ur-th ima obliko: c1e1+c2e2+...+skek, kjer je e1, e2,..., ek – poljuben temeljni sistem rešitev, c1, c2,..., ck – poljubna števila in k=n-r. Splošna rešitev sistema m linearnih enačb z n spremenljivkami je enaka vsoti

splošne rešitve sistema, ki ji ustreza, je homogena. linearne enačbe in poljubna partikularna rešitev tega sistema.

7. Linearni prostori. Podprostori. Osnova, dimenzija. Linearna lupina. Linearni prostor se imenuje n-dimenzionalen, če vsebuje sistem linearnih neodvisni vektorji, in kateri koli sistem iz več vektorji so linearno odvisni. Številka je poklicana dimenzija (število dimenzij) linearni prostor in je označena. Z drugimi besedami, razsežnost prostora je največje število linearno neodvisni vektorji tega prostora. Če takšno število obstaja, se prostor imenuje končnodimenzionalen. Če za koga naravno število n v prostoru obstaja sistem, sestavljen iz linearno neodvisnih vektorjev, potem se tak prostor imenuje neskončnodimenzionalen (zapisano: ). Če ni navedeno drugače, bodo v nadaljevanju obravnavani končnodimenzionalni prostori.

Osnova n-dimenzionalnega linearnega prostora je urejena zbirka linearno neodvisnih vektorjev ( bazni vektorji).

Izrek 8.1 o razširitvi vektorja v smislu baze. Če je osnova n-dimenzionalnega linearnega prostora, potem lahko vsak vektor predstavimo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
in poleg tega na edini način, tj. koeficienti so določeni enolično. Z drugimi besedami, vsak vektor prostora je mogoče razširiti v osnovo in poleg tega na edinstven način.

Dejansko je dimenzija prostora . Sistem vektorjev je linearno neodvisen (to je baza). Ko osnovi dodamo poljubni vektor, dobimo linearno odvisni sistem(ker je ta sistem sestavljen iz vektorjev n-dimenzionalni prostor). Z uporabo lastnosti 7 linearno odvisnih in linearno neodvisnih vektorjev dobimo sklep izreka.

Dane matrike

Poišči: 1) aA - bB,

rešitev: 1) Najdemo ga zaporedno, z uporabo pravil množenja matrike s številom in seštevanja matrik..

2. Poišči A*B če

rešitev: Uporabljamo pravilo množenja matrik

odgovor:

3. Za dano matriko poiščite minor M 31 in izračunajte determinanto.

rešitev: Minor M 31 je determinanta matrike, ki je pridobljena iz A

po prečrtani vrstici 3 in stolpcu 1. Najdemo

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformirajmo matriko A, ne da bi spremenili njeno determinanto (naredimo ničle v vrstici 1)

Zdaj izračunamo determinanto matrike A z razširitvijo vzdolž vrstice 1

Odgovor: M 31 = 0, detA = 0

Rešite z Gaussovo in Cramerjevo metodo.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

rešitev: Preverimo

Lahko uporabite Cramerjevo metodo

Rešitev sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Uporabimo Gaussovo metodo.

Zmanjšajmo razširjeno matriko sistema na trikotno obliko.

Za lažji izračun zamenjajmo vrstici:

Pomnožite 2. vrstico z (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) in dodajte 3.:

Prvo vrstico pomnožite z (k = -2 / 2 = -1 ) in dodajte 2.:

Zdaj lahko izvirni sistem zapišemo kot:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Iz 2. vrstice izražamo

Iz 1. vrstice izražamo

Rešitev je enaka.

Odgovor: (2; -5; 3)

Poiščite splošno rešitev sistema in FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

rešitev: Uporabimo Gaussovo metodo. Zmanjšajmo razširjeno matriko sistema na trikotno obliko.

Pomnožite 1. vrstico z (-11). Pomnožimo 2. vrstico z (13). Dodajmo 2. vrstico 1.:

Pomnožite 2. vrstico z (-5). Pomnožimo 3. vrstico z (11). Dodajmo 3. vrstico 2. vrstici:

Pomnožite 3. vrstico z (-7). Pomnožimo 4. vrstico s (5). Dodajmo 4. vrstico tretji:

Druga enačba je linearna kombinacija ostalih

Poiščimo rang matrike.

Izbrani minor ima najvišji vrstni red (od možnih minorjev) in je različen od nič (it enako zmnožku elementi na obratni diagonali), torej rang(A) = 2.

Ta manjša je osnovna. Vključuje koeficiente za neznanke x 1 , x 2 , kar pomeni, da sta neznanki x 1 , x 2 odvisni (osnovni), x 3 , x 4 , x 5 pa prosti.

Sistem s koeficienti te matrike je enakovreden izvirnemu sistemu in ima obliko:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Z metodo izločanja neznank najdemo skupna odločitev:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Najdemo temeljni sistem rešitev (FSD), ki je sestavljen iz (n-r) rešitev. V našem primeru je n=5, r=2, zato je temeljni sistem rešitev sestavljen iz 3 rešitev, te rešitve pa morajo biti linearno neodvisne.

Da so vrstice linearno neodvisne, je nujno in zadostno, da je rang matrike, sestavljene iz elementov vrstice, enak številu vrstic, to je 3.

Dovolj je, da prostim neznankam x 3 , x 4 , x 5 podamo vrednosti iz vrstic determinante 3. reda, ki niso ničle, in izračunamo x 1 , x 2 .

Najenostavnejša neničelna determinanta je identitetna matrika.

Vendar je bolj priročno vzeti tukaj

Z uporabo splošne rešitve najdemo:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

jaz odločitev FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR rešitev: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III rešitev FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Podano: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Poišči: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

rešitev: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Odgovor: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema predmeta linearna algebra. Velika količina problemi iz vseh vej matematike so reducirani na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za ta članek. Gradivo članka je izbrano in strukturirano tako, da lahko z njegovo pomočjo

• pobrati optimalna metoda rešitve vašega sistema linearnih algebrskih enačb,
• preuči teorijo izbrane metode,
• rešite svoj sistem linearnih enačb s pregledom podrobnih rešitev tipični primeri in naloge.

Kratek opis materiala članka.

Najprej dajmo vse potrebne definicije, koncepte in uvesti oznake.

Nato bomo obravnavali metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo enolično rešitev. Najprej se bomo osredotočili na Cramerjevo metodo, drugič bomo prikazali matrično metodo za reševanje tovrstnih sistemov enačb, tretjič bomo analizirali Gaussovo metodo (metoda zaporedno izločanje neznane spremenljivke). Za utrditev teorije bomo zagotovo rešili več SLAE na različne načine.

Po tem bomo prešli na reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošni pogled, v kateri število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema singularna. Oblikujmo Kronecker-Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (če so združljivi) z uporabo koncepta baznega minora matrike. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Vsekakor se bomo posvetili strukturi splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Dajmo koncept temeljni sistem rešitve in pokažite, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si poglejmo nekaj primerov.

Na koncu bomo obravnavali sisteme enačb, ki jih je mogoče zmanjšati na linearne, pa tudi razne naloge, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po strani.

Definicije, pojmi, oznake.

Obravnavali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke – koeficienti (nekateri realni oz kompleksna števila), - prosti izrazi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika zapisa SLAE se imenuje koordinirati.

IN matrična oblika pisanje tega sistema enačb ima obliko,
Kje - glavna matrika sistema, - stolpčna matrika neznanih spremenljivk, - stolpčna matrika prostih členov.

Če matriki A dodamo matriko-stolpec prostih členov kot (n+1) stolpec, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih izrazov pa je ločen navpična črta iz preostalih stolpcev, tj.

Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb imenovan niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. Matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk postane tudi identiteta.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje neskupni.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene; če obstaja več kot ena rešitev, potem – negotova.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , nato se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Reševanje elementarnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število enačb sistema enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, se bodo takšni SLAE imenovali osnovno. Takšni sistemi enačb imajo enolično rešitev in v primeru homogenega sistema so vse neznane spremenljivke enake nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati leta Srednja šola. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, eno neznano spremenljivko izrazili z drugimi in jo nadomestili v preostale enačbe, nato pa vzeli naslednjo enačbo, izrazil naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestil v druge enačbe itd. Ali pa so uporabili metodo dodajanja, to je, da so dodali dve ali več enačb, da bi izločili nekatere neznane spremenljivke. O teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Recimo, da moramo rešiti sistem linearnih algebrskih enačb

v katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, to je .

Naj bo determinanta glavne matrike sistema in - determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., …, n v stolpec brezplačnih članov:

S tem zapisom se neznane spremenljivke izračunajo z uporabo formul Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajmo njegovo determinanto (če je potrebno, glej članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavimo in izračunajmo potrebne determinante (determinanto dobimo z zamenjavo prvega stolpca v matriki A s stolpcem prostih členov, determinanto z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih členov in z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih členov) :

Iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračuna determinant, ko je število enačb v sistemu večje od treh.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebrskih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A razsežnost n x n in je njena determinanta različna od nič.

Ker je , je matrika A invertibilna, kar pomeni, da obstaja inverzna matrika. Če obe strani enakosti pomnožimo z levo, dobimo formulo za iskanje matričnega stolpca neznanih spremenljivk. Tako smo dobili rešitev sistema linearnih algebrskih enačb matrična metoda.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

rešitev.

Zapišimo sistem enačb v matrični obliki:

Ker

potem je mogoče SLAE rešiti z matrično metodo. Z uporabo inverzna matrika rešitev za ta sistem je mogoče najti kot .

Sestavimo inverzno matriko z uporabo matrike iz algebrski dodatki elementi matrike A (če je potrebno, glejte članek):

Ostaja še izračunati matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike v matrični stolpec brezplačnih članov (če je potrebno, glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, zlasti za kvadratne matrice red višji od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo.

Recimo, da moramo najti rešitev sistema n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporednega izločanja neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo in tako naprej, dokler ne ostane samo neznana spremenljivka x n v zadnji enačbi. Ta postopek preoblikovanja sistemskih enačb za zaporedno odpravo neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem hodu Gaussove metode se x n najde iz zadnje enačbe, z uporabo te vrednosti iz predzadnje enačbe se izračuna x n-1 in tako naprej, x 1 se najde iz prve enačbe. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratno od Gaussove metode.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Izločimo neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , na četrta enačba prištejmo sekundo, pomnoženo z , in tako naprej, k n-ti enačbi dodamo sekundo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno Gaussovo metodo: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot .

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, obema stranema druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oz.

Zdaj odstranimo x 2 iz tretje enačbe tako, da na njeni levi strani dodamo in desna stran leva in desna stran druge enačbe, pomnožena z:

S tem se zaključi hod Gaussove metode naprej;

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe poiščemo preostalo neznano spremenljivko in s tem dokončamo obratno Gaussovo metodo.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

IN splošni primerštevilo enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in singularna.

Kronecker–Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev sistema linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj neskladen, podaja Kronecker–Capellijev izrek:
Da bi bil sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, tj. , Rank(A)=Rank(T).

Oglejmo si kot primer uporabo Kronecker–Capellijevega izreka za določitev združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

rešitev.

. Uporabimo metodo mejnih mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Poglejmo mladoletnike tretjega reda, ki mejijo nanj:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike enak dvema.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

torej Rang(A), zato lahko z uporabo Kronecker–Capellijevega izreka sklepamo, da je izvirni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Sistem nima rešitev.

Tako smo se naučili ugotavljati nedoslednost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev za SLAE, če je vzpostavljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Manjša najvišji red matriko A, različno od nič, imenujemo osnovni.

Iz definicije bazičnega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za neničelno matriko A je lahko več baznih minorov;

Na primer, razmislite o matriki .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, ker niso enaki nič

mladoletniki niso bazične, saj so enake nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p krat n enak r, potem so vsi vrstični (in stolpčni) elementi matrike, ki ne tvorijo izbrane osnovne baze, linearno izraženi z ustreznimi vrstičnimi (in stolpčnimi) elementi, ki tvorijo osnova manjša.

Kaj nam pove izrek o rangu matrike?

Če smo po Kronecker–Capellijevem izreku ugotovili združljivost sistema, potem izberemo katerikoli bazni minor glavne matrike sistema (njen vrstni red je enak r) in iz sistema izločimo vse enačbe, ki ne tvorijo izbrane osnovne podlage. Tako dobljen SLAE bo enakovreden originalnemu, saj so zavržene enačbe še vedno redundantne (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju nepotrebnih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, potem bo ta dokončen in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

.

rešitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Razširjeni matrični rang je tudi enako dve, saj je edini minor tretjega reda nič

in zgoraj obravnavani minor drugega reda je drugačen od nič. Na osnovi Kronecker–Capellijevega izreka lahko trdimo združljivost izvirnega sistema linearnih enačb, saj je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kot osnovo minor vzamemo . Sestavljen je iz koeficientov prve in druge enačbe:


Tretja enačba sistema ne sodeluje pri tvorjenju baznega minora, zato jo izločimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebrskih enačb. Rešimo jo s Cramerjevo metodo:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Če je število enačb r v dobljenem SLAE manjše od števila neznanih spremenljivk n, potem na levi strani enačb pustimo člene, ki tvorijo osnovo, manjše, preostale člene pa prenesemo na desne strani enačb. enačbe sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (r od njih), ki ostanejo na levi strani enačb, se imenujejo glavni.

Pokličemo neznane spremenljivke (obstaja n - r kosov), ki so na desni strani prost.

Zdaj verjamemo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bo r glavnih neznanih spremenljivk izraženo preko prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem nastalega SLAE z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Poglejmo si na primeru.

Primer.

Rešite sistem linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Poiščimo rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki meji na ta minor:


Tako smo našli neničelni minor drugega reda. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:


Tako je rang glavne matrice tri. Tudi rang razširjene matrike je enak trem, kar pomeni, da je sistem konsistenten.

Za osnovo vzamemo najdeni neničelni minor tretjega reda.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovo minor:


Na levi strani enačb sistema pustimo člene, vključene v bazni mol, ostale pa prenesemo iz nasprotna znamenja na desni strani:


Dajmo prostim neznanim spremenljivkam x 2 in x 5 poljubne vrednosti, to pomeni, da sprejmemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru bo SLAE prevzel obliko


Rešimo nastali elementarni sistem linearnih algebrskih enačb z uporabo Cramerjeve metode:


Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubna števila.

Povzemite.

Za rešitev sistema splošnih linearnih algebrskih enačb najprej določimo njegovo združljivost s Kronecker–Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nekompatibilen.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo bazni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega baznega minora.

Če je vrstni red osnove minor enako številu neznanih spremenljivk, potem ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo najdemo s katero koli nam znano metodo.

Če je vrstni red osnovnega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, potem na levi strani sistemskih enačb pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami, preostale izraze prenesemo na desne strani in damo poljubne vrednosti prostih neznanih spremenljivk. Iz nastalega sistema linearnih enačb poiščemo glavne neznanke spremenljivke po metodi Cramerjeva, matrična metoda ali Gaussova metoda.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Gaussovo metodo je mogoče uporabiti za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb katere koli vrste, ne da bi jih najprej preizkusili glede skladnosti. Postopek zaporednega izločanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o nezdružljivosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo omogoča najti.

Z računskega vidika je boljša Gaussova metoda.

Pazi natančen opis in analiziral primere v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Pisanje splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebrskih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem razdelku bomo govorili o istočasnih homogenih in nehomogenih sistemih linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se posvetimo homogenim sistemom.

Temeljni sistem rešitev homogeni sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je zbirka (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r vrstni red baznega minora glavne matrike sistema.

Če označimo linearno neodvisne rešitve homogeni SLAE kot X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) so stolpčne matrike dimenzije n krat 1), potem je splošna rešitev temu homogenemu sistemu je predstavljen kot linearna kombinacija vektorjev temeljnega sistema rešitev s poljubnimi stalni koeficienti C 1, C 2, ..., C (n-r), to je .

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula določa vse možne rešitve prvotni SLAE, z drugimi besedami, če vzamemo kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), z uporabo formule dobimo eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve tega homogenega SLAE definiramo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo bazni minor izvirnega sistema linearnih enačb, izločimo vse druge enačbe iz sistema in vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke, prenesemo na desne strani enačb sistema z nasprotnimi predznaki. Dajmo brezplačne neznanke spremenljive vrednosti 1,0,0,…,0 in izračunajte glavne neznanke z reševanjem nastalega elementarnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer z uporabo Cramerjeve metode. To bo povzročilo X (1) - prvo rešitev osnovnega sistema. Če damo prostim neznankam vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (2) . In tako naprej. Če prostim neznanim spremenljivkam priredimo vrednosti 0.0,…,0.1 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (n-r) . Na ta način bo konstruiran temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena v obliki , kjer je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema, in je partikularna rešitev izvirnika heterogeni SLAE, ki ga dobimo tako, da prostim neznankam damo vrednosti 0,0,...,0 in izračunamo vrednosti glavnih neznank.

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo robnih pomorov. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščimo obrobni neničelni minor drugega reda:

Najden je bil minor drugega reda, drugačen od nič. Pojdimo skozi minore tretjega reda, ki mejijo nanj, da poiščemo neničelnega:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike enak dvema. Vzemimo . Za jasnost omenimo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba prvotnega SLAE ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev izvirnega homogenega sistema linearnih enačb. Osnovni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj originalni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega baznega minora pa je enak dvema. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 1, x 4 = 0, nato najdemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Imenuje se sistem linearnih enačb, v katerem so vsi prosti členi enaki nič homogena :

Vsak homogeni sistem je vedno konsistenten, saj je vedno bil nič (trivialno ) rešitev. Postavlja se vprašanje, pod kakšnimi pogoji bo imel homogen sistem netrivialna rešitev.

Izrek 5.2.Homogen sistem ima netrivialno rešitev, če in samo če je rang osnovne matrike manjši od števila njegovih neznank.

Posledica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivialno rešitev, če in samo če determinanta glavne matrike sistema ni enaka nič.

Primer 5.6. Določite vrednosti parametra l, pri katerih ima sistem netrivialne rešitve, in poiščite te rešitve:

rešitev. Ta sistem bo imel netrivialno rešitev, ko je determinanta glavne matrike enaka nič:

Tako je sistem netrivialen, ko je l=3 ali l=2. Za l=3 je rang glavne matrike sistema 1. Potem pustimo samo eno enačbo in predpostavimo, da l=a in z=b, dobimo x=b-a, tj.

Za l=2 je rang glavne matrike sistema 2. Nato izberemo pomožno za osnovo:

dobimo poenostavljen sistem

Od tod to ugotovimo x=z/4, y=z/2. Verjeti z=4a, dobimo

Množica vseh rešitev homogenega sistema ima zelo pomembno vlogo linearna lastnost : če stolpci X 1 in X 2 - rešitve homogenega sistema AX = 0, potem katera koli njihova linearna kombinacija a X 1 + b X 2 bo tudi rešitev tega sistema. Dejansko, saj SEKIRA 1 = 0 in SEKIRA 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a SEKIRA 1 + b SEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zaradi te lastnosti, če ima linearni sistem več kot eno rešitev, bo teh rešitev neskončno veliko.

Linearno neodvisni stolpci E 1 , E 2 , Ek, ki so rešitve homogenega sistema, imenujemo temeljni sistem rešitev homogen sistem linearnih enačb, če lahko splošno rešitev tega sistema zapišemo kot linearno kombinacijo teh stolpcev:

Če ima homogen sistem n spremenljivk, rang glavne matrike sistema pa je enak r, To k = n-r.

Primer 5.7. Poiščite temeljni sistem rešitev naslednji sistem linearne enačbe:

rešitev. Poiščimo rang glavne matrike sistema:

Tako nastane niz rešitev tega sistema enačb linearni podprostor dimenzije n-r= 5 - 2 = 3. Za osnovo izberimo minor

.

Potem, če pustimo samo osnovne enačbe (ostalo bo linearna kombinacija teh enačb) in osnovne spremenljivke (preostale, tako imenovane proste spremenljivke premaknemo na desno), dobimo poenostavljen sistem enačb:

Verjeti x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, najdemo

, .

Verjeti a= 1, b = c= 0, dobimo prvo osnovno rešitev; verjeti b= 1, a = c= 0, dobimo drugo osnovno rešitev; verjeti c= 1, a = b= 0, dobimo tretjo osnovno rešitev. Posledično bo normalen temeljni sistem rešitev dobil obliko

Z uporabo temeljnega sistema lahko splošno rešitev homogenega sistema zapišemo kot

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Opozorimo na nekatere lastnosti rešitev nehomogenega sistema linearnih enačb AX=B in njihov odnos z ustreznim homogenim sistemom enačb AX = 0.

Splošna rešitev nehomogenega sistemaje enaka vsoti splošne rešitve ustreznega homogenega sistema AX = 0 in poljubne partikularne rešitve nehomogenega sistema. Res, naj Y 0 je poljubna partikularna rešitev nehomogenega sistema, tj. AY 0 = B, In Y- splošna rešitev heterogenega sistema, tj. AY=B. Če odštejemo eno enakost od druge, dobimo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema SEKIRA=0. torej Y-Y 0 = X, oz Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Naj ima nehomogen sistem obliko AX = B 1 + B 2 . Potem lahko splošno rešitev takega sistema zapišemo kot X = X 1 + X 2 , kjer je AX 1 = B 1 in AX 2 = B 2. Ta lastnost izraža univerzalno lastnost katerega koli linearni sistemi(algebrski, diferencialni, funkcionalni itd.). V fiziki se ta lastnost imenuje princip superpozicije, v elektro in radijski tehniki - princip superpozicije. Na primer, v teoriji linearne električna vezja tok v katerem koli tokokrogu je mogoče dobiti kot algebraična vsota tokov, ki jih povzroča vsak vir energije posebej.