Linearna funkcija lastnosti. GIA

Naučite se jemati odvode funkcij. Izvod označuje hitrost spremembe funkcije na določeni točki, ki leži na grafu te funkcije. IN v tem primeru Graf je lahko ravna ali ukrivljena črta. To pomeni, da odvod označuje stopnjo spremembe funkcije v določenem trenutku. Ne pozabite splošna pravila, s katerim se vzamejo izpeljanke, in šele nato nadaljujte z naslednjim korakom.

• Preberi članek.
• Kako vzeti najpreprostejše izpeljanke, na primer izpeljanko eksponentna enačba, opisano. Izračuni, predstavljeni v naslednjih korakih, bodo temeljili na tam opisanih metodah.

Naučite se razlikovati med nalogami, pri katerih je treba naklon izračunati preko odvoda funkcije. Težave od vas ne zahtevajo vedno, da poiščete naklon ali odvod funkcije. Na primer, morda boste morali poiskati stopnjo spremembe funkcije v točki A(x,y). Morda boste morali poiskati tudi naklon tangente v točki A(x,y). V obeh primerih je treba vzeti odvod funkcije.

Linearna funkcija je funkcija oblike

x-argument (neodvisna spremenljivka),

y-funkcija (odvisna spremenljivka),

k in b sta nekaj konstantnih števil

Graf linearne funkcije je naravnost.

Za ustvarjanje grafa je dovolj dva točk, saj skozi dve točki lahko narišete ravno črto in poleg tega samo eno.

Če je k˃0, se graf nahaja v 1. in 3. koordinatni četrtini. Če je k˂0, se graf nahaja v 2. in 4. koordinatni četrtini.

Pokličemo število k naklon ravni graf funkcije y(x)=kx+b. Če je k˃0, potem je naklonski kot premice y(x)= kx+b v pozitivno smer Ox oster; če je k˂0, potem je ta kot top.

Koeficient b prikazuje presečišče grafa z osjo op-amp (0; b).

y(x)=k∙x-- poseben primer tipična funkcija se imenuje direktna sorazmernost. Graf je premica, ki poteka skozi izhodišče, zato je za sestavo tega grafa dovolj ena točka.

Graf linearne funkcije

Kjer je torej koeficient k = 3

Graf funkcije se bo povečal in imel oster kot z osjo Oh, ker koeficient k ima predznak plus.

OOF linearna funkcija

OPF linearne funkcije

Razen v primeru, ko

Tudi linearna funkcija oblike

Je funkcija splošne oblike.

B) Če je k=0; b≠0,

V tem primeru je graf ravna črta, ki je vzporedna z osjo Ox in poteka skozi točko (0; b).

B) Če je k≠0; b≠0, potem ima linearna funkcija obliko y(x)=k∙x+b.

Primer 1 . Narišite graf funkcije y(x)= -2x+5

Primer 2 . Poiščimo ničle funkcije y=3x+1, y=0;

– ničle funkcije.

Odgovor: ali (;0)

Primer 3 . Določite vrednost funkcije y=-x+3 za x=1 in x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Odgovor: y_1=2; y_2=4.

Primer 4 . Določite koordinate njunega presečišča ali dokažite, da se grafa ne sekata. Naj sta podani funkciji y 1 =10∙x-8 in y 2 =-3∙x+5.

Če se grafi funkcij sekajo, so vrednosti funkcij na tej točki enake

Nadomestite x=1, nato y 1 (1)=10∙1-8=2.

Komentiraj. Dobljeno vrednost argumenta lahko tudi nadomestite s funkcijo y 2 =-3∙x+5, potem dobimo enak odgovor y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ordinata presečišča.

(1;2) - točka presečišča grafov funkcij y=10x-8 in y=-3x+5.

Odgovor: (1;2)

Primer 5 .

Zgradite grafa funkcij y 1 (x)= x+3 in y 2 (x)= x-1.

Opazite lahko, da je koeficient k=1 za obe funkciji.

Iz zgoraj navedenega sledi, da če so koeficienti linearne funkcije enaki, so njihovi grafi v koordinatnem sistemu nameščeni vzporedno.

Primer 6 .

Zgradimo dva grafa funkcije.

Prvi graf ima formulo

Drugi graf ima formulo

V tem primeru imamo graf dveh premic, ki se sekata v točki (0;4). To pomeni, da koeficient b, ki je odgovoren za višino dviga grafa nad osjo Ox, če je x = 0. To pomeni, da lahko predpostavimo, da je b koeficient obeh grafov enak 4.

Uredniki: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

"Kritične točke funkcije" - Kritične točke. Med kritičnimi točkami so ekstremne točke. Predpogoj ekstrem. Odgovor: 2. Definicija. Če pa je f" (x0) = 0, potem ni nujno, da bo točka x0 točka ekstrema. Točke ekstrema (ponovitev). Kritične točke funkcije. Točke ekstrema.

“Koordinatna ravnina 6. razred” - Matematika 6. razred. 1. X. 1. Poišči in zapiši koordinate točke A, B, C,D: -6. Koordinatna ravnina. O. -3. 7. U.

“Funkcije in njihovi grafi” - Kontinuiteta. Največji in najmanjša vrednost funkcije. Koncept inverzna funkcija. Linearno. Logaritemsko. Monotona. Če je k > 0, potem oblikovani kot akutna, če k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"Funkcije 9. razreda" - Sprejemljivo aritmetične operacije nad funkcijami. [+] – seštevanje, [-] – odštevanje, [*] – množenje, [:] – deljenje. V takih primerih govorimo o grafična naloga funkcije. Izobraževalni razred elementarne funkcije. Potenčna funkcija y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, učenec 9. razreda srednje šole RMOU Raduzhskaya.

“Lekcija Tangentna enačba” - 1. Pojasnite koncept tangente na graf funkcije. Leibniz je obravnaval problem risanja tangente na poljubno krivuljo. ALGORITEM ZA RAZVOJ ENAČBE ZA TANGENTO NA GRAF FUNKCIJE y=f(x). Tema lekcije: Test: poiščite odvod funkcije. Tangentna enačba. Flukcija. 10. razred. Dešifrirajte, kar je Isaac Newton imenoval funkcija izpeljave.

“Zgradite graf funkcije” - Dana je funkcija y=3cosx. Graf funkcije y=m*sin x. Graf funkcije. Vsebina: Dana funkcija: y=sin (x+?/2). Raztezanje grafa y=cosx vzdolž osi y. Za nadaljevanje kliknite na l. Gumb miške. Podana je funkcija y=cosx+1. Graf premik y=sinx navpično. Glede na funkcijo y=3sinx. Horizontalni premik grafa y=cosx.

V temi je skupno 25 predstavitev

Navodila

Če je graf premica, ki poteka skozi izhodišče koordinat in tvori kot α z osjo OX (kot naklona premice na pozitivno pol os OX). Funkcija, ki opisuje to vrstico, bo imela obliko y = kx. Proporcionalni koeficient k je enak tan α. Če premica poteka skozi 2. in 4. koordinatno četrtino, potem k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 in funkcija narašča. Naj predstavlja ravno črto, ki se nahaja na različne načine glede na koordinatne osi. To je linearna funkcija in ima obliko y = kx + b, kjer sta spremenljivki x in y na prvo potenco, k in b pa sta lahko pozitivna ali negativna. negativne vrednosti ali enako nič. Premica je vzporedna s premico y = kx in seka na osi |b| enote. Če je premica vzporedna z abscisno osjo, potem je k = 0, če z ordinatno osjo, pa ima enačba obliko x = const.

Krivulja, sestavljena iz dveh vej, ki se nahajata v različnih četrtinah in sta simetrični glede na izhodišče koordinat, je hiperbola. Ta grafikon inverzno razmerje spremenljivko y iz x in je opisana z enačbo y = k/x. Tukaj je k ≠ 0 sorazmernostni koeficient. Poleg tega, če je k > 0, funkcija pada; če k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в koordinatnih kotov.

Kvadratna funkcija ima obliko y = ax2 + bx + c, kjer so a, b in c konstantne količine in a  0. Če je izpolnjen pogoj b = c = 0, je enačba funkcije videti kot y = ax2 ( najpreprostejši primer), njen graf pa je parabola, ki poteka skozi izhodišče. Graf funkcije y = ax2 + bx + c ima enako obliko kot najenostavnejši primer funkcije, le da njegovo oglišče (točka presečišča z osjo OY) ne leži v izhodišču.

Tudi graf je parabola funkcija moči, izražena z enačbo y = xⁿ, če je n poljubno sodo število. Če je n kakršen koli liho število, bo graf takšne potenčne funkcije videti kot kubična parabola.
Če je n katerikoli, ima funkcijska enačba obliko. Graf funkcije za lihe n bo hiperbola, za sode n pa bodo njihove veje simetrične glede na op os.

Tudi v šolska leta Funkcije so podrobno preučene in izdelani so njihovi grafi. Toda na žalost praktično ne učijo, kako brati graf funkcije in najti njeno vrsto iz predstavljene risbe. Pravzaprav je precej preprosto, če se spomnite osnovnih vrst funkcij.

Navodila

Če je predstavljeni graf , ki poteka skozi izhodišče koordinat in z osjo OX kot α (ki je naklonski kot premice na pozitivno pol-os), potem bo funkcija, ki opisuje tako premico predstavljen kot y = kx. V tem primeru je sorazmernostni koeficient k enaka tangenti kot α.

Če dana premica poteka skozi drugo in četrto koordinatno četrtino, potem je k enak 0 in funkcija narašča. Naj bo predstavljeni graf ravna črta, ki se kakor koli nahaja glede na koordinatne osi. Potem funkcija takega grafične umetnosti bo linearen, kar je predstavljeno z obliko y = kx + b, kjer sta spremenljivki y in x na prvem mestu, b in k pa imata lahko tako negativno kot pozitivne vrednosti ali .

Če je premica vzporedna s premico z grafom y = kx in odseka b enot na ordinatni osi, ima enačba obliko x = const, če je graf vzporeden z abscisno osjo, potem je k = 0.

Ukrivljena črta, ki je sestavljena iz dveh vej, simetričnih glede na izvor in se nahajata v različnih četrtinah, je hiperbola. Takšen graf prikazuje inverzno odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x in je opisan z enačbo oblike y = k/x, kjer k ne sme biti enako nič, saj je koeficient obratno sorazmernost. Še več, če je vrednost k Nad ničlo, funkcija pada; če k manj kot nič– poveča.

Če je predlagani graf parabola, ki poteka skozi izhodišče, bo njena funkcija pod pogojem, da je b = c = 0, imela obliko y = ax2. To je najpreprostejši primer kvadratne funkcije. Graf funkcije oblike y = ax2 + bx + c bo imel enako obliko kot najpreprostejši primer, le da oglišče (točka, kjer graf seka ordinatno os) ne bo v izhodišču. V kvadratni funkciji, ki jo predstavlja oblika y = ax2 + bx + c, so vrednosti a, b in c konstantne, medtem ko a ni enak nič.

Parabola je lahko tudi graf potenčne funkcije, izražene z enačbo v obliki y = xⁿ, samo če je n poljubno sodo število. Če je vrednost n liho število, bo takšen graf potenčne funkcije predstavljen s kubično parabolo. V primeru, da je spremenljivka n poljubna negativno število, ima enačba funkcije obliko .

Video na temo

Koordinata katere koli točke na ravnini je določena z njenima dvema količinama: vzdolž osi abscise in osi ordinate. Zbirka številnih takih točk predstavlja graf funkcije. Iz nje lahko vidite, kako se vrednost Y spreminja glede na spremembo vrednosti X. Prav tako lahko določite, v katerem odseku (intervalu) funkcija narašča in v katerem pada.

Navodila

Kaj lahko rečete o funkciji, če je njen graf ravna črta? Poglejte, ali ta črta poteka skozi koordinatno izhodiščno točko (to je tisto, kjer sta vrednosti X in Y enaki 0). Če gre, potem je taka funkcija opisana z enačbo y = kx. Lahko je razumeti, da večja kot je vrednost k, bližje ordinatni osi bo ta ravna črta. In sama os Y dejansko ustreza neskončno velikega pomena k.

Kot kaže praksa, naloge o lastnostih in grafih kvadratne funkcije povzročajo resne težave. To je precej nenavadno, saj kvadratno funkcijo preučujejo v 8. razredu, nato pa v prvi četrtini 9. razreda "mučijo" lastnosti parabole in gradijo njene grafe za različne parametre.

To je posledica dejstva, da ko učence silijo v konstrukcijo parabol, praktično ne posvečajo časa "branju" grafov, torej ne vadijo razumevanja informacij, prejetih s slike. Očitno se domneva, da bo po izdelavi ducata ali dveh grafov pameten študent sam odkril in oblikoval razmerje med koeficienti v formuli in videz grafične umetnosti. V praksi to ne deluje. Za takšno posploševanje so potrebne resne izkušnje z matematičnimi mini raziskavami, ki jih večina devetošolcev seveda nima. Državni inšpektorat medtem predlaga določitev predznakov koeficientov z urnikom.

Od šolarjev ne bomo zahtevali nemogočega in bomo preprosto ponudili enega od algoritmov za reševanje takšnih problemov.

Torej funkcija oblike y = ax 2 + bx + c imenujemo kvadratna, njen graf pa je parabola. Kot že ime pove, je glavni izraz sekira 2. To je A ne sme biti enak nič, preostali koeficienti ( b in z) je lahko enako nič.

Poglejmo, kako predznaki njenih koeficientov vplivajo na videz parabole.

Najenostavnejša odvisnost za koeficient A. Večina šolarjev samozavestno odgovori: »če A> 0, potem so veje parabole usmerjene navzgor in če A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

V tem primeru A = 0,5

In zdaj za A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

V tem primeru A = - 0,5

Vpliv koeficienta z Prav tako je precej enostavno slediti. Predstavljajmo si, da želimo najti vrednost funkcije v točki X= 0. Nadomestite ničlo v formulo:

l = a 0 2 + b 0 + c = c. Izkazalo se je, da y = c. To je z je ordinata presečišča parabole z osjo y. Običajno je to točko enostavno najti na grafu. In ugotovite, ali leži nad ničlo ali pod. To je z> 0 oz z < 0.

z > 0:

y = x 2 + 4x + 3

z < 0

y = x 2 + 4x - 3

V skladu s tem, če z= 0, potem bo parabola nujno potekala skozi izvor:

y = x 2 + 4x

Težje s parametrom b. Točka, na kateri ga bomo našli, ni odvisna samo od b ampak tudi iz A. To je vrh parabole. Njegova abscisa (koordinata osi X) najdemo s formulo x in = - b/(2a). torej b = - 2 ax in. To pomeni, da nadaljujemo na naslednji način: na grafu najdemo vrh parabole, določimo znak njene abscise, torej pogledamo desno od ničle ( x v> 0) ali v levo ( x v < 0) она лежит.

Vendar to še ni vse. Pozorni moramo biti tudi na predznak koeficienta A. Se pravi, poglejte, kam so usmerjene veje parabole. In šele po tem, po formuli b = - 2 ax in določi znak b.

Poglejmo primer:

Veje so usmerjene navzgor, kar pomeni A> 0, parabola seka os pri pod ničlo, tj z < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Torej b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, z < 0.