Dušena in prisilna nihanja

Dušenje nihanj imenujemo zmanjšanje amplitude nihanj skozi čas zaradi izgube energije nihajnega sistema (na primer pretvorba energije nihanja v toploto zaradi trenja v mehanski sistemi). Dušenje prekine periodičnost nihanj, zato niso več periodičen proces. Če je slabljenje majhno, potem lahko pogojno uporabimo koncept obdobja nihanja - T(na sliki 7.6 A 0 – začetna amplituda nihanj).

Slika 7.6 – Značilnosti dušena nihanja

Razpadajoče mehanske vibracije vzmetno nihalo nastanejo pod vplivom dveh sil: elastične sile in sile upora:

Kje r– koeficient upora.

Z uporabo enačbe Newtonovega drugega zakona lahko dobimo:

Zadnjo enačbo delite z m in uvedemo notacijo oz

Kje β koeficient dušenja, potem dobi enačba obliko

(7.20)

Ta izraz in obstaja diferencialna enačba dušena nihanja. Rešitev te enačbe je

To pomeni eksponentno naravo dušenih nihanj, tj. amplituda nihanj se zmanjšuje z eksponentni zakon(Slika 7.6):

(7.22)

Za relativno zmanjšanje amplitude nihanj v obdobju je značilen dekrement dušenja, ki je enak

(7.23)

oz logaritemski dekrement dušenje:

(7.24)

Koeficient slabljenja β obratno sorazmerno s časom τ med katerim se amplituda nihanj zmanjša za e enkrat:

tiste. (7,25)

Frekvenca dušenih nihanj je vedno manjša od frekvence lastnih nihanj in jo lahko najdemo iz izraza

(7.26)

kjer je ω 0 frekvenca lastnih nihanj sistema.

V skladu s tem je obdobje dušenih nihanj enako:

oz (7.27)

Z naraščajočim trenjem se perioda nihanja povečuje in ko se perioda .

Za pridobitev zveznih nihanj je potreben vpliv dodatne spremenljivke zunanja sila, ki bi potisnil materialna točka najprej v eno smer, nato v drugo smer in delo, ki bi nenehno dopolnjevalo izgubo energije, porabljene za premagovanje trenja. Takšna spremenljiva sila klical siljenjeF vyn in tiste, ki nastanejo pod njegovim vplivom nedušena nihanja – prisiljeni.

Če se pogonska sila spreminja v skladu z izrazom, bo enačba prisilnih nihanj dobila obliko

(7.28)

(7.29)

kjer je ω ciklična frekvenca pogonske sile.

to diferencialna enačba prisilnih nihanj. Njegovo rešitev lahko zapišemo v obliki

Enačba opisuje harmonično nihanje, ki se pojavi pri frekvenci enako frekvenco gonilna sila, ki se v fazi razlikuje za φ glede na nihanje sile.

Amplituda prisilnega nihanja:

(7.30)

Iz izraza najdemo fazno razliko med nihanji sile in sistema

(7.31)

Graf prisilnih nihanj je prikazan na sliki 7.7.

Slika 7.7 – Prisiljena nihanja

pri prisilne vibracije Lahko opazimo pojav, imenovan resonanca. Resonanca to močno povečanje amplitude sistemskih nihanj.

Določimo pogoj, pod katerim se pojavi resonanca; za to upoštevamo enačbo (7.30). Poiščimo pogoj, pod katerim traja amplituda največja vrednost.

Iz matematike je znano, da bo ekstrem funkcije takrat, ko bo odvod enak nič, tj.

Diskriminanta je enaka

Zato

Po transformaciji dobimo

Zato – resonančna frekvenca.

V najpreprostejšem primeru do resonance pride z zunanjo periodično silo F spreminja s frekvenco ω , enaka frekvenci lastnih nihanj sistema ω = ω 0 .

Mehanski valovi

Proces širjenja vibracij v kontinuum, periodično v času in prostoru, se imenuje valovni proces oz val.

Pri širjenju valovanja se delci medija ne premikajo z valovanjem, ampak nihajo okoli svojih ravnotežnih položajev. Skupaj z valovanjem se z delca na delec medija prenaša le stanje nihajnega gibanja in njegova energija. Zato je glavna lastnost valov, ne glede na njihovo naravo, prenos energije brez prenosa snovi.

Označite naslednje vrste valovi:

Elastični(ali mehansko) valovi imenujemo mehanske motnje, ki se širijo v elastični medij. V vsakem elastičnem valu hkrati obstajata dve vrsti gibanja: nihanje delcev medija in širjenje motenj.

Valovanje, pri katerem se nihanje delcev medija in širjenje valovanja odvijata v isto smer, imenujemo vzdolžni, valovanje, pri katerem delci medija nihajo pravokotno na smer širjenja valovanja, pa imenujemo prečni.

Vzdolžni valovi se lahko širijo v medijih, v katerih med deformacijami stiskanja in napetosti nastanejo elastične sile, tj. trdno, tekoče in plinasta telesa. Prečni valovi se lahko širi v mediju, v katerem med strižno deformacijo nastanejo elastične sile, tj. V trdne snovi. Tako se v tekočinah in plinih pojavljajo samo vzdolžni valovi, v trdnih snoveh pa vzdolžni in prečni valovi.

Elastični val klical sinusno(ali harmonično), če so ustrezna nihanja delcev medija harmonična.

Imenuje se razdalja med bližnjimi delci, ki vibrirajo v isti fazi valovna dolžina λ .

Valovna dolžina je enaka razdalji, ki jo val prepotuje v času enako obdobju nihanja:

kjer je hitrost širjenja valov.

Ker (kjer je ν frekvenca nihanja), potem

Geometrijsko mesto točke, do katerih segajo nihanja v trenutku t, poklical valovna fronta . Imenuje se geometrična lokacija točk, ki nihajo v isti fazi valovna površina.

MEHANSKE VIBRACIJE

Oglejmo si nihanja, ki se pojavljajo v mehanskih sistemih.

Nihanja so procesi, ki imajo različne stopnje ponovljivosti skozi čas.

So prost, če so doseženi na račun prvotno posredovane energije v kasnejši odsotnosti zunanji vplivi na oscilacijski sistem. Proste vibracije so lahko nedušen in dušen.

Druga vrsta nihanja - prisiljeni, se izvajajo pod vplivom zunanje, periodično delujoče sile.

Najenostavnejša vrsta nihanj je harmonično. Tako proste kot vsiljene vibracije so lahko harmonične.

Prosta nedušena nihanja

Nihanje, pri katerem vrednost X nihajoče količine se sčasoma spreminjajo t v zakonu

x = A sin(ω 0 t+a 0) oz

x = Aсos(ω 0 t+ a), (1.1)

klical harmonično.

V izrazih (1.1) za mehanske vibracije x- premik nihajne točke iz ravnotežnega položaja; A- amplituda nihanj (največji premik); (ω 0 t+a) - faza nihanj v trenutku t; a, a 0 - začetne faze v trenutku t = 0; ω 0 - naravna ciklična frekvenca. Iz primerjave enačb je razvidno, da sta začetni fazi povezani: a = a 0 - p / 2. V SI se faza meri v radianov(za udobje v delnice p, na primer p/2), lahko pa se meri tudi v stopinjah.

Mehanske harmonične vibracije nastanejo pod vplivom elastična oz kvazielastičen sila, ki je sorazmerna s premikom in vedno usmerjena proti ravnotežnemu položaju, tj. po zakonu F = - k x, Kje k- sorazmernostni koeficient (za elastična sila koeficient trdote).

Ker je - 1 ≤ сos(ω 0 t+a) ≤ 1 in - 1 ≤ sin(ω 0 t+a 0) ≤ 1, potem vrednost X razlikuje od - A na + A.

Imenuje se število popolnih nihanj na enoto časa frekvenca n, čas enega popolnega nihanja pa je nihajna doba T. Perioda harmonične funkcije je povezana s ciklično frekvenco:

T= 2p / ω 0 . (1,2)

Frekvenca je torej obratno sorazmerna z obdobjem

n = 1/T,ω 0 = 2pn . (1.3)

Enota frekvence je hertz(Hz). 1 Hz je frekvenca nihanja, pri kateri pride do enega celotnega nihanja v eni sekundi, 1 Hz = 1 s -1.

Ciklična frekvenca je enaka številu popolnih nihanj v 2p sekundah, merjeno v s -1.

Obdobje nihanja T lahko določite iz grafov (slika 1.1).

Kosinus in sinus sta periodični funkciji, zato se ponavljata skozi vrednost argumenta, ki je enaka 2 π radianom, tj. po obdobju nihanja se faza spremeni v 2π radian. funkcija x= greh( t) se začne od nič, na sl. 1.1, A njegov začetek je levo od osi Ox, je graf časovno premaknjen za T/8, v fazi pa za π/4 rad. Če se želite vrniti na začetek grafa, se morate premakniti Avtor:časovni osi, zato je faza vzeta s predznakom plus: α 0 = π/4 rad.

Odštevanje začetna faza po kosinusnem zakonu (slika 1.1, b) se naredi z "grbe" grafa, saj funkcija x= cos( t) je enaka enoti pri t= 0. Graf je premaknjen tako, da je najbližja največja vrednost kosinusa v desno glede na os Ox: po času naprej T/8, v fazi pa za π/4 rad. Vrnitev v izhodišče koordinatnih osi se zgodi nasproti časovne osi, začetna faza V v tem primeru se šteje z znakom minus: α = - π/4 rad. Trenutna faza vibracije določajo stanje nihajni sistem V ta trenutekčas. Za točko M(slika 1.1, b) v enačbi po sinusnem zakonu je faza nihanja enaka π radianom, ker od najbližje vrednosti funkcije x= greh( t) pri t= 0 polovica obdobja je minila pred podanim trenutkom. Četrtina periode je pretekla od najbližje "grbe", tako da je po kosinusnem zakonu faza enaka π/2 radiana.

Opozarjamo vas, da so te funkcije periodične, tako da lahko fazi dodate (ali odštejete). sodo številoπ – to ne bo spremenilo stanja nihajnega sistema.

Oglejmo si najpreprostejši mehanski nihajni sistem z eno prostostno stopnjo, imenovan harmonični oscilator. Kot realno izvedbo oscilatorja si oglejmo telo z maso m, obešeno na vzmeti s togostjo k, ob predpostavki, da lahko zanemarimo sile upora. Raztezek vzmeti bomo šteli od ravnotežnega položaja vzmeti. Statična sila elastičnosti bo uravnotežila silo gravitacije in ne ena ne druga sila ne bosta vstopili v enačbo gibanja. Zapišimo enačbo gibanja po drugem Newtonovem zakonu:

(4.1)
Zapišimo to enačbo v projekcijah na os x (slika 4.1).

Projekcijo pospeška na os x predstavimo kot drugi odvod koordinate x glede na čas. Razlikovanje glede na čas je običajno predstavljeno s piko dobesedni izraz količine. Druga izpeljanka je označena z dvema pikama. Nato enačbo (4.1) prepišemo v obliki:

(4.2)
Znak minus na desni strani enačbe (4.2) kaže, da je sila usmerjena proti odmiku telesa iz ravnotežnega položaja. Označimo k/m z w2 in dajmo enačbi (4.2) obliko:

(4.3)
Kje

(4.4)
Enačbo (4.3) imenujemo enačba harmoničnega oscilatorja. Podobno enačbo smo že srečali (enačba 3.29) in jo bomo še večkrat. To je diferencialna enačba. Od algebrske se razlikuje po tem, da je neznanka v njej funkcija (v našem primeru funkcija časa) in ne število, in tudi po tem, da vključuje odvode neznane funkcije. Reševanje diferencialne enačbe pomeni iskanje funkcije x(t), ki jo, ko jo nadomestimo v enačbo, spremeni v identiteto. Rešitev bomo iskali z izbirno metodo (z naknadnim preverjanjem). Obstaja razlog za domnevo, da je rešitev naše enačbe funkcija oblike

(4.5)
Funkcija (4.5) je sinusna funkcija v splošni pogled. Parametri A, a,j0, 0 še niso določeni in šele zamenjava funkcije (4.5) v enačbo (4.3) bo pokazala, kako jih izbrati. Poiščimo drugi odvod funkcije (4.5) in ga nadomestimo v enačbo (4.3):

(4.6)

(4.7)
Zmanjšajmo člene enačbe z Asin(a t + j0) in dobimo:

(4.8)
Dejstvo, da po zmanjšanju čas ne »izpade« iz enačbe, pomeni, da je bil tip iskane funkcije izbran pravilno. Enačba (4.8) kaže, da mora biti a enako w.
Konstanti A in j0 ni mogoče določiti iz enačbe gibanja; treba ju je najti iz nekaterih drugih premislekov. Torej je rešitev enačbe harmoničnega oscilatorja funkcija

(4.9)
Kako določiti konstanti A in j 0? Imenujejo se poljubne konstante in so določene iz začetnih pogojev. Bistvo je, da se morajo v nekem trenutku pojaviti nihanja. Njihov pojav je posledica nekaterih tujih razlogov. Oglejmo si dva različna primera pojava nihanj: 1) nihanje vzmeti, ki jo eksperimentator potegne nazaj za količino x0 in nato sprosti. 2) nihanja telesa, obešenega na vzmet, ki je bila udarjena s kladivom in ki je v začetnem trenutku dobila hitrost v0. Poiščimo konstanti A in j 0 za te primere.

(4.10)
Razlikujmo (4.9) glede na čas, tj. poiščimo hitrost telesa:

(4.11)
Nadomestimo začetne pogoje v enačbi (4.9) in (4.11):

(4.12)
Iz tega sledi, da je 0 = p /2, A = x0.
Zakon gibanja telesa bo končno dobil obliko

(4.13)
2)Pri t = 0 x = 0 in hitrosti v = x = v0.
V enačbi (4.9) in (4.11) nadomestimo nove začetne pogoje:
0=Asinj 0,
v0=Awcosj 0.
(4.14)
Dobimo, da je pri 0 = 0 A = v0/w. Zakon gibanja ima obliko

(4.15)
Seveda so možni tudi drugi, bolj zapleteni začetni pogoji, iz njih pa je treba najti nove konstante A in j 0. Tako je rešitev (4.9) splošna rešitev enačbe gibanja telesa. Iz nje je na podlagi začetnih pogojev mogoče najti določeno rešitev, ki opisuje določen primer gibanja.
Ugotovimo sedaj fizični pomen vpeljanih konstant A, j 0,w. Očitno A predstavlja amplitudo nihanj, tj. največje odstopanje telesa od ravnotežnega položaja. j 0 imenujemo začetna faza nihanja, sinusni argument (wt + j 0) pa faza. Faza določa stanje gibajočega se telesa v danem trenutku. Če poznate fazo (sinusni argument), lahko najdete lokacijo telesa (njegovo koordinato) in njegovo hitrost. j 0 je faza v začetnem času.
Še vedno je treba ugotoviti pomen parametra w. V času, ki je enak obdobju
nihanja T, tj. pri popolnem nihanju se argument sinusa spremeni za 2p. Zato je wТ = 2p, od koder

(4.16)
Formula (4.16) kaže, da je w število nihanj v času 2p sekund - ciklična frekvenca. Slednja je s frekvenco n povezana z razmerjem

(4.17)
Poiščimo energijo proste vibracije. Predstavljata jo dve vrsti energije: kinetična in potencialna.

(4.18)
Če nadomestimo vrednosti x in v v to formulo v skladu z razmerji (4.9) in (4.11), dobimo:

(4.19)

Tako je energija prostih nihanj sorazmerna s kvadratom amplitude vibracij.
Bodimo pozorni na naslednjo okoliščino. Funkciji sinusa in kosinusa se med seboj razlikujeta le v tem, da je ena glede na drugo premaknjena v fazi za p / 2. Kvadrat sinusa določa potencialno energijo, kvadrat kosinusa pa kinetično energijo. Iz tega sledi, da sta časovno povprečeni (na primer v obdobju nihanja) kinetična in potencialna energija enaki, tj.

(4.20)
in

Zilberman A. R. Generator nedušenih nihanj // Quantum. - 1990. - št. 9. - Str. 44-47.

Po posebnem dogovoru z uredništvom in uredništvom revije "Kvant"

Takšni generatorji se uporabljajo v številnih napravah - radijskih sprejemnikih, televizorjih, magnetofonih, računalnikih, električnih orglah itd. - in so zelo različni. Tako lahko frekvence generatorja segajo od nekaj deset hercev ( nizke note v električnih orglah) do sto megahercev (televizija) in celo do nekaj gigahercev ( satelitska televizija, radarji, ki jih prometni policisti uporabljajo za določanje hitrosti vozila). Moč, ki jo lahko generator dobavi potrošniku, se giblje med nekaj mikrovati (generator v ročna ura) do več deset vatov (televizijski generator skeniranja), v nekaterih posebnih primerih pa je moč lahko taka, da nima smisla pisati - itak ne boste verjeli. Oblika nihanj je lahko tako enostavna kot sinusna (radijski lokalni oscilator) ali pravokotna (računalniški časovnik) ali pa zelo zapletena - »simulira« zvok glasbila(glasbeni sintetizatorji).

Seveda ne bomo upoštevali vse te raznolikosti, ampak se bomo povsem omejili preprost primer- generator sinusne napetosti majhne moči zmerne frekvence (stotine kilohercev).

Kot je znano, lahko v najpreprostejšem nihajnem krogu, sestavljenem iz idealnega kondenzatorja in idealne tuljave, pride do nedušenih harmoničnih nihanj. Enačbo procesa je mogoče enostavno dobiti z izenačitvijo (ob upoštevanju znakov) napetosti na kondenzatorju in na tuljavi - navsezadnje so povezani vzporedno (slika 1):

\(~\frac qC = -LI"\) .

Tok, ki teče skozi tuljavo, spremeni naboj na kondenzatorju; te količine so povezane z razmerjem

\(~I = q"\) .

Zdaj lahko zapišemo enačbo

\(~q"" + \frac(q)(LC) = 0\) .

Rešitev te enačbe je znana – to so harmonična nihanja. Njihovo pogostost določajo parametri nihajni krog\[~\omega = \frac(1)(\sqrt(LC))\] , amplituda pa je odvisna le od energije, ki je bila prvotno dana vezju (in ki ostane konstantna za idealno vezje).

Kaj se bo spremenilo, če elementi vezja niso idealni, kot se dejansko dogaja v praksi (avtor že vrsto let ni videl niti ene idealne tuljave, čeprav ga je to vprašanje zelo zanimalo)? Naj za določenost povem, da je vsa nepopolnost vezja posledica dejstva, da ima tuljava, ali natančneje, žica, iz katere je navita, aktivni (ohmski) upor r(slika 2). Pravzaprav ima kondenzator seveda tudi izgube energije (čeprav ne zelo visoke frekvence Brez večjih težav lahko naredite zelo dober kondenzator). In porabnik odvzema energijo vezju, kar prispeva tudi k dušenju nihanj. Z eno besedo, to bomo domnevali r- to je ekvivalentna vrednost, odgovorna za vse izgube energije v tokokrogu. Nato enač. proces dobi obliko

\(~LI" + rI + \frac(q)(C) = 0\) .

Jasno je, da prav drugi člen onemogoča, da bi dobili želeno enačbo nedušenih nihanj. Zato je naša naloga, da nadomestimo ta termin. Fizično to pomeni, da je treba v tokokrog črpati dodatno energijo, to je, da je treba uvesti drugo EMF. Kako to narediti, ne da bi prekinili verigo? Najlažji način uporabe magnetno polje- ustvarite dodatne magnetni tok prebadanje zavojev tuljave vezja. Če želite to narediti, morate nedaleč od te tuljave postaviti drugo tuljavo (slika 3) in skozi njo spustiti tok, katerega vrednost naj se spreminja po želenem zakonu, tj. magnetno polje, ki bo, ko prodre v tokokrog tuljave, v njem ustvarilo takšen magnetni tok, ki bo s spreminjanjem induciral inducirana emf, ki natančno kompenzira člen, ki nam ni všeč v enačbi procesa. Celoten dolg stavek, ki spominja na "hišo, ki jo je zgradil Jack," je preprosto ponovitev Faradayevega zakona, ki ga poznate za pojav elektromagnetne indukcije.

Poglejmo zdaj tok, ki naj teče skozi dodatno tuljavo. Jasno je, da potrebuje vir energije (za zapolnitev izgub energije v tokokrogu) in krmilno napravo, ki zagotavlja želeni zakon spremembe toka skozi čas. Kot vir lahko uporabimo navadno baterijo, kot krmilno napravo pa elektronsko cev ali tranzistor.

Obstajajo tranzistorji različne vrste- konvencionalne (imenujejo se bipolarne) in poljske, ki se nadalje delijo na poljske z izoliranimi vrati (običajno se uporabljajo v digitalnih napravah) in s krmiljenjem str-n-prehod. Vsak poljski tranzistor vsebuje "kanal" z dvema terminaloma - inventivno se imenujeta vir in odtok, njegova prevodnost pa se uravnava z uporabo krmilne napetosti na tretji terminal - vrata (slika 4). V poljskem tranzistorju s krmiljenjem str-n-s prehodom - in o tem bomo še govorili - so vrata ločena od kanala s prav takšnim prehodom, pri katerem je območje vrat narejeno nasprotne vrste prevodnosti glede na kanal. Na primer, če ima kanal prevodnost nečistoč vrsto str, potem je zaklop kot n, in obratno.

Ko se na spoj uporabi blokirna napetost U z (slika 5), se presek prevodnega kanala zmanjša in pri določeni napetosti - imenujemo jo mejna napetost - se kanal popolnoma zamaši in tok preneha.

Odvisnost kanala od toka jaz k od napetosti vrat U z je prikazan na sliki 6. Ta odvisnost je skoraj enaka kot pri elektronski elektronki (triodi). Pomembno je omeniti, da je krmilna napetost blokirna napetost, kar pomeni, da je tok v krmilnem tokokrogu izredno majhen (običajno več nanoamperov), krmilna moč pa temu primerno nizka, kar je zelo dobro. Pri majhnih vrednostih krmilne napetosti se lahko odvisnost toka od napetosti šteje za linearno in zapisano v obliki

\(~I_k = I_0 + SU_z\),

Kje S - konstantna. Za generator so tudi odstopanja od linearnosti pomembna, vendar o tem kasneje.

Slika 7 prikazuje shema vezja generator zveznih nihanj. Tukaj je krmilna napetost za tranzistor z učinkom polja napetost na kondenzatorju nihajnega kroga:

\(~U_z = U_C = \frac qC\) ,

in tok skozi dodatno tuljavo je

\(~I_k = I_0 + \frac(Sq)(C)\) .

Dodatni magnetni pretok je sorazmeren s tem tokom, dodatni EMF vezja je enak odvodu tega toka, vzetega iz nasprotno znamenje:

\(~\varepsilon_i = -\Phi" = -(MI_k)" = -\frac(MS)(C) q"\) ,

Znak minus je tukaj precej poljuben - tuljava se lahko poveže s tranzistorjem na polju na enem ali drugem koncu, znak dodatnega EMF pa se spremeni v nasprotno. Z eno besedo, dodatni EMF mora biti takšen, da kompenzira izgube energije v tokokrogu. Ponovno zapišimo enačbo procesa:

\(~LI" + rI + \frac(q)(C) - \frac(MS)(C) q" = 0\) .

Če izberete vrednost M tako da četrti člen kompenzira drugega, potem dobimo enačbo

\(~LI" + \frac(q)(C) = 0\) ,

kar ustreza harmonskim nedušenim nihanjem.

Kako lahko vplivate na velikost M? Izkazalo se je, da se bo povečalo, če navijete več ovojev v dodatno tuljavo ali če to tuljavo postavite bližje tuljavi vezja. Povedati je treba, da koeficient zadostuje za proizvodnjo M v praksi ga je precej enostavno dobiti. Bolje je izbrati to vrednost z nekaj rezerve - to bo povzročilo vezje ne samo brez izgub, ampak tudi s črpanjem energije iz zunanji vir(z "negativnimi" izgubami). Ko je generator vklopljen, se bo amplituda nihanj sprva povečala, čez nekaj časa pa se bo stabilizirala - energija, ki vstopi v vezje v enem obdobju, bo postala enaka energiji, izgubljeni v istem času. Dejansko se s povečanjem amplitude napetosti na kondenzatorju (krmilna napetost tranzistorja z učinkom polja) tranzistor začne slabše ojačati, saj se pri veliki negativni napetosti tok v kanalskem vezju ustavi, pri pozitivni napetosti se spoj začne odpirati, kar poveča tudi izgube v vezju. Zaradi tega nihanja niso popolnoma sinusna, če pa so izgube v tokokrogu majhne, je popačenje zanemarljivo.

Če želite uporabiti nastala nihanja - in ravno za to je generator narejen - se morate bodisi priključiti neposredno na vezje ali naviti drugo tuljavo. Toda v obeh primerih je treba upoštevati "uhajanje" energije iz tokokroga in ga med drugimi izgubami nadomestiti.

Oglejmo si nihanja, ki se pojavljajo v mehanskih sistemih.

Nihanja so procesi, ki imajo različne stopnje ponovljivosti skozi čas.

So prost, če so doseženi zaradi prvotno predane energije ob kasnejši odsotnosti zunanjih vplivov na nihajni sistem. Proste vibracije so lahko nedušen in dušen.

Druga vrsta nihanja - prisiljeni, se izvajajo pod vplivom zunanje, periodično delujoče sile.

Najenostavnejša vrsta nihanj je harmonično. Tako proste kot vsiljene vibracije so lahko harmonične.

1.1. Prosta nedušena nihanja

Nihanje, pri katerem vrednost X nihajoče količine se sčasoma spreminjajo t v zakonu

x = A sin(ω 0 t+a 0) oz

x = Aсos(ω 0 t+ a), (1.1)

klical harmonično.

V izrazih (1.1) za mehanske vibracije x- premik nihajne točke iz ravnotežnega položaja; A- amplituda nihanj (največji premik); (ω 0 t+a) - faza nihanj v trenutku t; a, a 0 - začetne faze v trenutku t = 0; ω 0 - naravna ciklična frekvenca. Iz primerjave enačb je razvidno, da sta začetni fazi povezani: a = a 0 - p / 2. V SI se faza meri v radianov(za udobje v delnice p, na primer p/2), lahko pa se meri tudi v stopinjah.

Ker je - 1 ≤ сos(ω 0 t+a) ≤ 1 in - 1 ≤ sin(ω 0 t+a 0) ≤ 1, potem vrednost X razlikuje od - A na + A.

Imenuje se število popolnih nihanj na enoto časa pogostostn, čas enega popolnega nihanja pa je obdobje nihanja T. Perioda harmonične funkcije je povezana s ciklično frekvenco:

T= 2p / ω 0 . (1,2)

Frekvenca je torej obratno sorazmerna z obdobjem

n = 1 /T,ω 0 = 2pn . (1.3)

Enota frekvence je hertz(Hz). 1 Hz je frekvenca nihanja, pri kateri pride do enega celotnega nihanja v eni sekundi, 1 Hz = 1 s -1.

Ciklična frekvenca je enaka številu popolnih nihanj v 2p sekundah, merjeno v s -1.

Obdobje nihanja T lahko določite iz grafov (slika 1.1).

Odštevanje začetna faza po kosinusnem zakonu (slika 1.1, b) se naredi z "grbe" grafa, saj funkcija x= cos( t) je enaka enoti pri t= 0. Graf je premaknjen tako, da je najbližja največja vrednost kosinusa v desno glede na os Ox: po času naprej T/8, v fazi pa za π/4 rad. Vrnitev v izhodišče koordinatnih osi se pojavi nasproti časovni osi; začetna faza se v tem primeru upošteva z znakom minus: α = - π/4 rad. Trenutna faza vibracije določajo stanje nihajnega sistema v danem trenutku. Za točko M(slika 1.1, b) v enačbi po sinusnem zakonu je faza nihanja enaka π radianom, ker od najbližje vrednosti funkcije x= greh( t) pri t= 0 polovica obdobja je minila pred podanim trenutkom. Četrtina periode je pretekla od najbližje "grbe", tako da je po kosinusnem zakonu faza enaka π/2 radiana.

Spomnimo vas, da so te funkcije periodične, zato lahko fazi dodate (ali odštejete) sodo število π - to ne bo spremenilo stanja nihajnega sistema.

1.2. Hitrost, pospešek, energija nihajne točke

Hitrost nihajoče točke je prvi odvod premika točke v času (za osnovo vzemimo drugo od para enačb (1.1):

Tukaj u maks = Aω 0 - maksimum hitrost, oz amplituda hitrosti.

Pospešek je drugi odvod premika točke v času:

Kje a maks = Aω 0 2 - največji pospešek, oz amplituda pospeška.

Iz formul (1.1), (1.4) in (1.5) je razvidno, da premik, hitrost in pospešek se ne ujema po fazah (slika 1.2). V trenutkih, ko je premik največji, je hitrost enaka nič, pospešek pa ima največjo negativno vrednost. Premik in pospešek sta notri protifaza- to pravijo, ko je fazna razlika enaka p. Pospešek je vedno usmerjen v nasprotni smeri od premika.

Skupna energija vibracij enaka vsoti kinetične in potencialne energije nihajne točke:

W=W Za + W p = mu 2 / 2+ kx 2/ 2.

V ta izraz nadomestimo formuli (1.4) in (1.1) ob upoštevanju k = m ω 0 2 (kot bo prikazano spodaj), dobimo

W = kA 2/ 2 = m A 2ω 0 2 /2. (1.6)

Iz primerjave funkcijskih grafov X(t), W Za ( t) In W P ( t) (slika 1.3) je jasno, da je frekvenca energijskih nihanj dvakrat večja od frekvence nihanj premika.

Povprečna vrednost potencialne in kinetične energije za obdobje T enaka polovici skupna energija(slika 1.3):

Primer 1. Materialna točka z maso 5 g niha po enačbi kjer je x– odmik, glejte Definiraj največja moč in polno energije.

Rešitev: Največja sila je izražena s formulo kjer (glej formulo (1.5)). Potem F max = mAω 0 2 . Iz enačbe vibracij sledi, da Zamenjajmo številske vrednosti: F max =5∙10 -3 0,1∙4 = 2∙10 -3 N = 2mN.

Skupna energija Sčasoma E= 0,5∙5∙10 -3 ∙4∙10 -2 = 10 -4 J.

1.3. Diferencialna enačba

prosta nedušena nihanja. Nihala

Sistem, sestavljen iz telesa mase m obešeno na vzmet, katere drugi konec je pritrjen, se imenuje vzmetno nihalo(slika 1.4). Ta sistem služi kot model linearni oscilator.

Če raztegnete (stisnete) vzmet za količino X, potem se bo pojavila elastična sila, ki želi telo vrniti v ravnotežni položaj. Za majhne deformacije velja Hookov zakon: F = - kx, Kje k- koeficient togosti vzmeti. Zapišimo drugi Newtonov zakon:

ma = - kx. (1.7)

Predznak minus pomeni, da je elastična sila usmerjena v nasprotni smeri od premika x. V to enačbo nadomestimo pospešek a nihajno točko iz enačbe (1.5), dobimo
-mω 0 2 x = - k x,
kje k = mω 0 2 , Obdobje nihanja

(1.8)

Tako obdobje nihanja ni odvisno od amplitude.

Primer 2. Pod vplivom težnosti bremena, vzmet, raztegnjena za 5 cm, potem ko jo odstranimo iz stanja mirovanja, izvaja harmonična nihanja. Določite periodo teh nihanj.

Rešitev. Nihajno obdobje vzmetnega nihala najdemo s formulo (1.8). Koeficient togosti vzmeti izračunamo z uporabo Hookovega zakona, ki temelji na dejstvu, da se vzmet razteza pod vplivom gravitacije: mg = -kx, od koder prihaja modul k =mg/x. Zamenjajmo k v formulo (1.8):