Naj funkcija f(t) je definiran in zvezen na nekem intervalu, ki vsebuje točko a. Nato vsako številko x iz tega intervala lahko povežemo število,
s čimer definiramo na intervalu funkcijo jaz(x), ki se imenuje določen integral s spremenljivo zgornjo mejo. Upoštevajte, da na točki x = a ta funkcija je enaka nič. Izračunajmo odvod te funkcije v točki x. Če želite to narediti, najprej razmislite o prirastku funkcije v točki x pri povečevanju argumenta D x:
D jaz(x) = jaz(x+ D x) – jaz(x) = 
.
Kot je prikazano na sl. 4, vrednost zadnjega integrala v formuli za prirast D jaz(x) je enako ploščini ukrivljen trapez, označeno s senčenjem. Pri majhnih vrednostih D x(tu, tako kot drugje v tem tečaju, ko govorimo o majhnih povečanjih argumenta ali funkcije, mislimo absolutne vrednosti povečanja, saj so lahko povečanja sama pozitivna in negativna), se to območje izkaže za približno enako površini pravokotnika, označenega na sliki z dvojnim šrafiranjem. Območje pravokotnika je podano s formulo f(x)D x. Od tu dobimo razmerje
.
V zadnji aproksimativni enakosti je točnost aproksimacije večja, čim manjša je vrednost D x.
Iz zgornjega sledi formula za odvod funkcije jaz(x):
.
Odvod določenega integrala glede na zgornjo mejo v točki x je enak vrednosti integranda v točki x. Iz tega sledi, da funkcija 
je antiderivacija funkcije f(x), in tak protiizpeljanka, ki zavzame bistvo x = a pomen, enako nič. To dejstvo omogoča predstavitev določenega integrala v obliki
. (1)
Pustiti F(x) je tudi antiderivat funkcije f(x), potem po izreku o splošni pogled vsi antiizvodi funkcije jaz(x) = F(x) + C, Kje C- določeno število. pri čemer desni del formula (1) ima obliko
jaz(x) – jaz(a) = F(x) + C– (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)
Iz formul (1) in (2) po zamenjavi x na b sledi formuli za izračun določenega integrala funkcije f(t) vzdolž intervala [ a;b]:
,
ki se imenuje Newton-Leibnizova formula. Tukaj F(x)- kateri koli protiodvod funkcije f(x).
Za izračun določenega integrala funkcije f(x) vzdolž intervala [ a;b], moraš najti nekaj protiizpeljanke F(x) funkcije f(x) in izračunajte razliko med vrednostmi protiizpeljave v točkah b in a. Razlika med temi antiderivativnimi vrednostmi je običajno označena s simbolom, tj. 
.
Sprememba spremenljivke v določenem integralu. Pri izračunu določenih integralov z uporabo Newton-Leibnizove formule je zaželeno, da se stopnje reševanja problema ne razlikujejo strogo (iskanje protiodvoda integranda, iskanje prirastka protiodvoda). Ta pristop, ki uporablja predvsem formule za spreminjanje spremenljivke in integracijo po delih za določen integral, običajno omogoča poenostavitev pisanja rešitve.
TEOREM. Naj ima funkcija φ(t) zvezen odvod na intervalu [α,β], a=φ(α), β=φ(β) in je funkcija f(x) zvezna v vsaki točki x oblike x =φ(t), kjer je t [α,β].
Potem velja naslednja enakost:
Ta formula se imenuje formula za spreminjanje spremenljivke v določenem integralu.
Tako kot v primeru nedoločenega integrala nam uporaba spremenljivke omogoča, da poenostavimo integral in ga približamo tabelarnemu(-om). Še več, v nasprotju z nedoločenim integralom v v tem primeru vrnitev na izvirno integracijsko spremenljivko ni potrebna. Dovolj je samo, da poiščemo meje integracije α in β po novi spremenljivki t kot rešitvi spremenljivke t enačb φ(t)=a in φ(t)=b. V praksi pri zamenjavi spremenljivke pogosto začnejo z navedbo izraza t=ψ(x) nove spremenljivke glede na staro. V tem primeru je iskanje limitov integracije po spremenljivki t poenostavljeno: α=ψ(a), β=ψ(b).
Primer 19. Izračunaj 
Postavimo t=2-x 2. Potem je dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx in xdx=- dt. Če je x=0, potem je t=2-0 2 =2, in če je x=1, potem t=2-1 2 =1. Zato:
Integracija po delih. Metoda integracije po delih nam omogoča reduciranje prvotnega nedoločenega integrala na več preprost pogled ali na integral tabele. Ta metoda se najpogosteje uporablja, če integrand vsebuje logaritemsko, eksponentno, inverzno trigonometrično, trigonometrične funkcije, kot tudi njihove kombinacije.
Formula za integracijo po delih je naslednja.
to je integrand f(x)dx predstavi kot produkt funkcije u(x) na d(v(x))- diferencialna funkcija v(x). Nato najdemo funkcijo v(x)(največkrat po metodi neposredna integracija) In d(u(x))- diferencialna funkcija u(x). Najdene izraze nadomestimo v formulo integracije po delih in prvotni nedoločeni integral reduciramo na razliko 
. Zadnji nedoločeni integral lahko vzamemo s katerokoli integracijsko metodo, vključno z integracijo po delih.
Če je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu , potem je integrabilna na kateremkoli manjšem intervalu, tj. za "xO obstaja integral
Da ne bi zamenjali oznak mejne in integracijske spremenljivke, označujemo integracijska spremenljivka preko t. Potem bo integral (4) zapisan v obliki Vrednost tega integrala je funkcija Zgornja meja x in je označena s F(x):
. (5)
Pokličemo funkcijo Ф(х). integral s spremenljivo zgornjo mejo.
Oglejmo si nekaj lastnosti funkcije Ф(х).
T.3.1.(zveznost funkcije Ф(х))
Če je funkcija f(x) zvezna na intervalu, bo tudi funkcija Ф(x) zvezna na intervalu.
T.3.2.(diferenciacija funkcije Ф(х))
Če je funkcija f(x) zvezna na intervalu, potem je funkcija Ф(x) diferenciabilna na katerem koli notranja točka x tega segmenta in enakost velja
.
Posledica
Če je funkcija f(x) zvezna na intervalu, potem za to funkcijo obstaja protiodvod na ta segment, funkcija Ф(x) - integral s spremenljivo zgornjo mejo - pa je antiodvod za funkcijo f(x).
Ker se vsaka druga protiodpeljava za funkcijo f(x) razlikuje od F(x) samo s konstantnim členom, lahko ugotovimo povezava med nedoločenim in določenim integralom:
,
kjer je C poljubna konstanta.
4. vprašanje Izračun določenega integrala. Newton-Leibnizova formula
Izračun določenih integralov po metodi, ki temelji na definiciji integrala kot meje integralnih vsot, je običajno povezan z velike težave. Za računanje določenih integralov obstaja bolj priročna metoda, ki temelji na vzpostavljeni povezavi med nedoločenimi in določenimi integrali.
T.4.1.Če je funkcija f(x) zvezna na intervalu in je F(x) katera koli protiodpeljava za funkcijo f(x) na , potem velja formula
. (6)
Formula (6) se imenuje Newton-Leibnizova formula.
Če vnesete oznako 
potem lahko Newton-Leibnizovo formulo (6) prepišemo kot
.
Newton-Leibnizova formula daje priročen način izračuni določenih integralov. Za izračun določenega integrala je treba za f(x) poiskati poljubno protiodvodno funkcijo F(x) in vzeti razliko F(b) ‒ F(a) na koncih odseka.
Primer
Vprašanje 5. Sprememba spremenljivke in integracija po delih v določenem integralu
Metoda zamenjave spremenljivke
Pri izračunu določenih integralov se pogosto uporablja metoda substitucije ali metoda spremembe spremenljivke.
T.5.1. (sprememba spremenljivke v določenem integralu)
Naj bo funkcija y = f(x) zvezna na intervalu. Potem, če:
1) funkcija x = j(t) in njen odvod x′ = j′(t) sta zvezna na intervalu;
2) množica vrednosti funkcije x = j(t) je segment ;
3) j(a) = a, j(b) = b,
potem je pošteno formula za spreminjanje spremenljivke v določenem integralu:
.
Komentiraj
1. Pri izračunu določenega integrala z metodo substitucije se ni treba vrniti na staro spremenljivko.
2. Pogosto se namesto zamenjave x = j(t) uporablja zamenjava t = g(x).
3. Pri uporabi formule je potrebno preveriti izpolnjevanje pogojev, navedenih v izreku. Če so ti pogoji kršeni, lahko dobite napačen rezultat.
Primer. Izračunaj
Integracija po delih
T.5.2. (integracija po delih v določenem integralu)
Če imata funkciji u = u(x) in v = v(x) zvezne odvode na intervalu , potem formula za integracijo po delih v določenem integralu:
.
Primer. Izračunaj integral
Na današnjem predavanju bomo nadaljevali s preučevanjem določenega integrala in dobili formulo za njegov izračun. Kot bomo videli kasneje, je določeni integral enak prirastku protiodvoda in predstavlja stalno število, enako površini ukrivljeni trapez. Zato vse metode za izračun nedoločenega integrala veljajo tudi za določen integral.
Vprašanje 1. Osnovne lastnosti določenega integrala
Integral
je bil uveden za primer a< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.
Lastnost 1. .
Ta formula je pridobljena iz (1) pod pogojem, da so vsi Δx i = 0.
Lastnost 2. 
.
Ta formula je pridobljena iz (1) pod pogojem, da je segment speljan v nasprotni smeri (od b do a), tj. vse Δx i< 0.
Lastnost 3. (lastnost aditivnosti)
Če je funkcija f(x) integrabilna na intervalu in a< c < b, то
. (2)
Enakost (2) velja za poljubno lokacijo točk a, b in c (predpostavljamo, da je funkcija f(x) integrabilna na večjem izmed nastalih segmentov).
Lastnina 4.
Konstantni množitelj lahko vzamemo kot znak določenega integrala, tj.
,
kjer je k = konst.
Lastnina 5.
Določen integral od algebraična vsota dveh funkcij je enaka algebraični vsoti integralov teh funkcij, tj.
.
Komentiraj
- Lastnost 5 velja za količino katerega koli končno število pogoji.
- Lastnosti 4 in 5 skupaj predstavljata lastnost linearnosti določen integral.
Vprašanje 2. Ocene integrala. Izrek o srednji vrednosti
1. Če je funkcija f(x) ≥ 0 povsod na intervalu, potem .
2.
Če je f(x) ≥ g(x) povsod na intervalu, potem 
.
3.
Za funkcijo f(x), definirano na intervalu, velja neenakost 
.
Še posebej, če povsod na intervalu potem 
In .
4.
Če sta m in M najmanjši in najvišjo vrednost funkcija f(x) na intervalu , potem 
.
T.2.1. (teorem o srednji vrednosti))
Če je funkcija f(x) zvezna na segmentu , potem na tem segmentu obstaja točka c, taka da
. (3)
Enačba (3) se imenuje formula povprečne vrednosti, in vrednost f(c) se pokliče srednja vrednost funkcije f(x) na segmentu .
3. vprašanje: Določen integral kot funkcija zgornje meje
Če je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu , potem je integrabilna na kateremkoli manjšem intervalu, tj. za "xO obstaja integral
Da ne bi zamenjali oznak limite in integracijske spremenljivke, integracijsko spremenljivko označimo s t. Takrat bo integral (4) zapisan v obliki Vrednost tega integrala je funkcija zgornje meje x in jo označimo s F(x):
. (5)
Pokličemo funkcijo Ф(х). integral s spremenljivo zgornjo mejo.
Oglejmo si nekaj lastnosti funkcije Ф(х).
T.3.1.(zveznost funkcije Ф(х))
Če je funkcija f(x) zvezna na intervalu, bo tudi funkcija Ф(x) zvezna na intervalu.
T.3.2.(diferenciacija funkcije Ф(х))
Če je funkcija f(x) zvezna na segmentu , potem je funkcija Ф(x) diferenciabilna v kateri koli notranji točki x tega segmenta in enakost velja
.
Posledica
Če je funkcija f(x) zvezna na intervalu, potem za to funkcijo obstaja antiodvod na tem intervalu in funkcija Ф(x) - integral s spremenljivo zgornjo mejo - je antiodvod za funkcijo f(x ).
Ker se vsaka druga protiodpeljava za funkcijo f(x) razlikuje od F(x) samo s konstantnim členom, lahko ugotovimo
Naj funkcija f(t) je definiran in zvezen na nekem intervalu, ki vsebuje točko a. Nato vsako številko x iz tega intervala lahko ujemate številko
jaz(x) = jaz(x+x) – jaz(x) =
Kot je prikazano na sliki 23, je vrednost zadnjega integrala v formuli za prirast jaz(x) je enaka površini krivuljnega trapeza, označenega s senčenjem. Pri majhnih vrednostih x(tu, tako kot drugje v tem predmetu, ko govorimo o majhnih prirastkih argumenta ali funkcije, mislimo na absolutne velikosti prirastkov, saj so prirastki sami lahko pozitivni in negativni) se izkaže, da je to območje približno enako območju pravokotnika, označenega na sliki z dvojno šrafuro. Območje pravokotnika je podano s formulo f(x)x. Od tu dobimo razmerje
.
Pri zadnji aproksimativni enakosti je točnost aproksimacije tem večja, čim manjša je vrednost x.
Iz zgornjega sledi formula za odvod funkcije jaz(x):
.
Odvod določenega integrala glede na zgornjo mejo v točkix
enaka vrednosti integranda v točkix. Iz tega sledi, da funkcija 
je antiderivacija funkcije f(x), in tak protiizpeljanka, ki zavzame bistvo x = a vrednost enaka nič. To dejstvo omogoča predstavitev določenega integrala v obliki
. (9)
Pustiti F(x) je tudi antiderivat funkcije f(x), nato z izrekom o splošni obliki vseh antiodvodov funkcije jaz(x) = F(x) + C, Kje C- določeno število. V tem primeru ima desna stran formule (9) obliko
jaz(x) – jaz(a) = F(x) + C– (F(a) +C) = F(x) – F(a). (10)
Iz formul (9) in (10) po zamenjavi x na b sledi formuli za izračun določenega integrala funkcije f(t) vzdolž intervala [ a;b]:
,
ki se imenuje formula Newton-Leibniz. Tukaj F(x)- kateri koli protiodvod funkcije f(x).
Za izračun določenega integrala funkcije f(x) vzdolž intervala [ a;b], moraš najti nekaj protiizpeljanke F(x) funkcije f(x) in izračunajte razliko med vrednostmi protiizpeljave v točkah b in a. Razlika med temi antiderivativnimi vrednostmi je običajno označena s simbolom 
.
Navedimo primere izračuna določenih integralov z uporabo Newton-Leibnizove formule.
Primeri. 1. 
.
2.
.
Najprej izračunajmo nedoločen integral funkcije f(x) = xe x. Z metodo integracije po delih dobimo: 
. Kot antiderivativna funkcijaf(x) izberite funkcijo e x (x– 1) in uporabi Newton-Leibnizovo formulo:
jaz = e x (x – 1)= 1.
Pri izračunu določenih integralov lahko uporabite formula za spreminjanje spremenljivke v določenem integralu:
.
Tukaj in se določijo iz enačb ( ) = a; ( ) = b, in funkcije f, , mora biti neprekinjen v ustreznih intervalih.
primer: 
.
Naredimo zamenjavo: ln x = t oz x = e t, potem če x = 1, torej t = 0, in če x = e, To t = 1. Kot rezultat dobimo:
.
Ko spremenite spremenljivko v določenem integralu, se vam ni treba vrniti na prvotno integracijsko spremenljivko.
HTML različice dela še ni.
Podobni dokumenti
Potrebno in zadosten pogoj obstoj določenega integrala. Enakost določenega integrala algebraične vsote (razlike) dveh funkcij. Izrek o srednji vrednosti – posledica in dokaz. Geometrijski pomen določenega integrala.
predstavitev, dodana 18.09.2013
Preučevanje koncepta integralne vsote. Zgornja in spodnja meja integracije. Analiza lastnosti določenega integrala. Dokaz izreka o srednji vrednosti. Sprememba spremenljivke v določenem integralu. Odvod integrala glede na zgornjo mejo spremenljivke.
predstavitev, dodana 11.4.2013
Uvod v pojem in osnovne lastnosti določenega integrala. Predstavitev formule za izračun integralne vsote za funkcijo y=f(x) na odseku [a, b]. Integral je enak nič, če sta spodnja in zgornja meja integracije enaki.
predstavitev, dodana 18.09.2013
Problemi, ki vodijo do koncepta določenega integrala. Določen integral, kot limita integralne vsote. Povezava med določenimi in nedoločenimi integrali. Newton-Leibnizova formula. Geometrijske in mehanski občutek določen integral.
povzetek, dodan 30.10.2010
Metode integracije v starih časih. Koncept antiderivacijske funkcije. Glavni izrek integralni račun. Lastnosti nedoločenih in določenih integralov in metode njihovega izračuna, poljubne konstante. Tabela integralov elementarnih funkcij.
predstavitev, dodana 9. 11. 2011
Pojem antiodvodne funkcije, izrek o antiodvodih. Nedoločen integral, njegove lastnosti in tabela. Koncept določenega integrala, njegov geometrijski pomen in osnovne lastnosti. Izvod določenega integrala in Newton-Leibnizova formula.
tečajna naloga, dodana 21.10.2011
Pojem in lastnosti odsevne funkcije. Prvi integral diferencialnega sistema in pogoji obstoja. Pogoji motenj diferencialni sistemi, ki ne spreminjajo časovne simetrije. Ugotavljanje povezave med prvim integralom in ekvivalentnimi sistemi.
tečajna naloga, dodana 21.08.2009
Koncept in študij sodih, lihih in simetričnih funkcij relativne osi. Koncept intervalov konstantnega predznaka. Konveksnost in konkavnost, prevojne točke. Navpično in poševne asimptote. Najmanjša in največja vrednost funkcije in integrala.
praktično delo, dodano 25.03.2011
Funkcija ene neodvisne spremenljivke. Lastnosti limitov. Odvodne in diferencialne funkcije, njihova uporaba pri reševanju problemov. Koncept protiizpeljave. Newton-Leibnizova formula. Približne metode za izračun določenega integrala. Izrek o srednji vrednosti.
zapiski lekcije, dodano 23. 10. 2013
Splošni koncept številčno zaporedje. Limit funkcije v točki. Neskončno velika in majhna funkcija. Povezava med funkcijo, njeno mejo in neskončnostjo majhna funkcija. Znaki obstoja meja. Osnovni izreki o mejah: kratek opis.
