Zmanjšane kvadratne enačbe. Kratko zgodovinsko ozadje

Vietov izrek

Ustvarjalno deloštudent 8. razred

Mestna izobraževalna ustanova "Novokijevska srednja šola"

Lukanina Kiril

Vodja: Kryzhanovskaya V.I.

I Uvod. Zgodovinski podatki.

II Glavni del

1. 
   Strani iz biografije F. Vieta
2. 
   Znanstvene dejavnosti:

B) obratni izrek

1. 
   Primeri reševanja enačb
2. 
   Praktično delo
3. 
   nekaj posebni primeri reševanje enačb

III Sklep. Vietov izrek v verzih

IV Uporabljena literatura
Upravičeno vreden, da bi bil opevan v poeziji

Vietov izrek o lastnostih korenin.

Zgodovinsko ozadje

Razmerje med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe je prvi ugotovil slavni francoski znanstvenik Francois Viète.

François Viète je bil po poklicu pravnik in je dolga leta delal kot kraljev svetovalec. In čeprav je bila matematika le njegov hobi, je zaradi trdega dela v njej dosegal odlične rezultate.

Leta 1951 je uvedel črkovne oznake za koeficiente neznank v enačbah, pa tudi njegove lastnosti.

Vieta je prišel do številnih odkritij, sam pa je najbolj cenil ugotovitev razmerja med koreni in koeficienti kvadratne enačbe, ki se imenuje Vietov izrek.

Začetek obrazca

Konec obrazca

Le del del tega nadarjenega in plodovitega znanstvenika je bil objavljen v času Vietinega življenja. Njegov glavni esej: " Uvod v analitično umetnost"()), ki ga je imel za začetek obsežne razprave, vendar ni imel časa nadaljevati. Obstaja nekaj indicev, da je znanstvenik umrl nasilno.

Neposredno uporabo Vietovih del je zelo otežila težka in okorna predstavitev. Zaradi tega še niso v celoti objavljeni. Več ali manj polno srečanje Wirthova dela je leta 1646 v Leidnu objavil nizozemski matematik van Scooten pod naslovom "Matematična dela Vieta". G. G. Zeiten je opozoril, da je branje Vietovih del oteženo zaradi nekoliko prečiščene oblike, v kateri povsod zasije njegova velika erudicija, in veliko število izumil in se sploh ni uveljavil Grški izrazi. Zato se je njegov vpliv, tako pomemben glede na vso kasnejšo matematiko, širil relativno počasi.«

MATEMATIČNI DOSEŽKI
Izjemno je pisal članke o matematiki težak jezik, zato niso dobili distribucije. Viethova dela je po njegovi smrti zbral profesor matematike v Leidnu F. Schooten. V Vietovih delih postane algebra splošno znanost o algebrskih enačbah, ki temeljijo na simbolnem zapisu. Viet je bil prvi, ki je s črkami označil ne samo neznanke, ampak tudi dane količine, to je koeficiente ustreznih enačb. Zahvaljujoč temu je bilo prvič mogoče izraziti lastnosti enačb in njihovih korenin splošne formule, in sebe algebrski izrazi spremenili v predmete, na katerih je mogoče izvajati dejanja. Viet je razvil enotno tehniko za reševanje enačb 2., 3. in 4. stopnje in nova metoda rešitve kubična enačba, dal trigonometrična rešitev enačb 3. stopnje v ireduktibilnem primeru predlagal razl racionalne transformacije korenov, ugotovil razmerje med koreni in koeficienti enačb (Vieta formule). Za približno rešitev enačb z številčni koeficienti Viet je predlagal metodo, podobno metodi, ki jo je kasneje razvil I. Newton. Vietini dosežki v trigonometriji - popolna rešitev problemi določanja vseh elementov ravninskega ali sferičnega trikotnika iz treh danih elementov, pomembne razširitve sinпх in cosпх na potence cos x in sinx. Poznavanje formule za sinuse in kosinuse več lokov je Vietu omogočilo rešitev enačbe 45. stopnje, ki jo je predlagal matematik A. Roomen; Viète je pokazal, da je rešitev te enačbe zmanjšana na razdelitev kota na 45 enakih delov in da je 23 pozitivne korenine ta enačba. Vieth je rešil Apolonijev problem z uporabo ravnila in šestila.

Znanstvene dejavnosti

Vsi matematiki so vedeli, da se pod njihovo algebro ... skrivajo neprimerljivi zakladi, a niso vedeli, kako jih najti; naloge, ki so se jim zdele najtežje, jih na desetine popolnoma enostavno reši s pomočjo naše umetnosti, ki torej predstavlja največ prava pot za matematične raziskave.

Viet vseskozi deli predstavitev na dva dela: splošni zakoni in njihove konkretne numerične izvedbe. Oziroma najprej rešuje probleme v splošni pogled, in šele nato vodi numerični primeri. V splošnem delu s črkami ne označuje le neznank, ki so jih že srečali, ampak tudi vse druge parametri, za kar je skoval izraz " kvote« (dobesedno: spodbujanje). Vieth je za to uporabil le velike tiskane črke - samoglasnike za neznanke, soglasnike za koeficiente.

Viet svobodno uporablja različne algebraične transformacije - na primer spreminjanje spremenljivk ali spreminjanje znaka izraza, ko ga prenaša v drug del enačbe. To velja omeniti, upoštevajoč takrat sumničav odnos na negativna števila. Vietovi eksponenti so še vedno zapisani ustno.

Drugi dosežki Vieta:

• 
  slavni" Vietove formule» za kvote polinom kako deluje korenine;
• 
  novo trigonometrična metoda rešitve za nereducibilne kubična enačba, ki se uporablja tudi za trisekcijo kotov;
• 
  prvi primer neskončnega produkta:

• 
  popolna analitična predstavitev teorije enačb prvih štirih stopenj;
• 
  ideja za aplikacijo transcendentalne funkcije za reševanje algebrskih enačb;
• 
  izvirna metoda približna rešitev algebrskih enačb z numeričnimi koeficienti.

Vieta formule

Formulacija

(vsak koren se vzame tolikokrat, kolikor ustreza njegovi večkratnosti), potem so koeficienti izraženi v obliki simetrični polinomi iz korenin, in sicer:

Z drugimi besedami (− 1) k a k je enaka vsoti vseh možnih produktov iz k korenine.

Če je vodilni koeficient polinoma , je treba za uporabo formule Vieta najprej vse koeficiente deliti z a 0 (to ne vpliva na vrednost korenin polinoma). V tem primeru Vietina formula daje izraz za razmerje med vsemi koeficienti in največjim. Iz Vietove zadnje formule sledi, da če so koreni polinoma celo število, potem so delitelji njegovega prostega člena, ki je prav tako celo število.

Dokaz

kje desna stran je polinom faktorizirano.

Po množenju elementov desne strani so koeficienti za enake stopinje x morajo biti v obeh delih enaki, iz česar sledijo Vietove formule.

Primeri

Kvadratna enačba

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q= 0 je enak koeficientu str, vzeto z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu q:

IN splošni primer(za nereducirano kvadratno enačbo sekira 2 + bx + c = 0):

Praktično delo pri algebri v 8. razredu.

Tema: "Vietov izrek"

Cilj: vzpostaviti povezavo med koreninami kvadratne enačbe in njenimi koeficienti.

Predmet študija: kvadratna enačba in njene korenine.

Znanje, spretnosti in sposobnosti, ki so potrebne za opravljanje dela:

(tj. kaj si je treba zapomniti in ponoviti, preden študentom ponudimo to delo):

• 
  pojem popolne kvadratne enačbe;
• 
  sposobnost zapisa kvadratnega trinoma v splošni obliki;
• 
  algoritem za reševanje kvadratne enačbe (popolne in zmanjšane);
• 
  sposobnost zapisa splošne formule za korene kvadratne enačbe (popolne in okrnjene).

dano kvadratne enačbe.

1.1. Reši enačbe:

A) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Izpolni tabelo:

1.3. Primerjaj vsoto in produkt korenov vsake enačbe z njenimi koeficienti.

1.4. Hipoteza: Kakšno povezavo ste opazili med koreninami zgornje kvadratne enačbe in njenimi koeficienti? Zapiši s simboli.

1.5. Preizkušanje hipotez: zapišite zgornjo kvadratno enačbo v splošni obliki (x 2 + px + q = 0).

1.6. Zapišite splošno formulo za korenine dane kvadratne enačbe.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. Poiščite vsoto korenin kvadratne enačbe.

1.8. Poiščite produkt korenin kvadratne enačbe.

1.9. Potegnite zaključek

Dodatno vprašanje.

Svoje ugotovitve preveri z rešitvijo enačbe: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. Dopolnite kvadratne enačbe.

2.1. Reši enačbe:

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. Izpolni tabelo:

2.4. Hipoteza: Kakšno povezavo ste opazili med koreninami popolne kvadratne enačbe in njenimi koeficienti? Zapiši s simboli.

2.5. Preizkušanje hipotez: zapišite celotno kvadratno enačbo v splošni obliki

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. Zapišite splošno formulo za korenine popolne kvadratne enačbe.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. Poiščite vsoto korenin kvadratne enačbe.

2.8. Poiščite produkt korenin kvadratne enačbe.

2.9. Potegnite zaključek: navedite dobljeni rezultat. Zapiši v zvezek.

(Nastala izjava se imenuje Vietov izrek)

Dodatno vprašanje.

Svoje ugotovitve preverite tako, da rešite enačbo: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Dodatna naloga.

Poiščite vsoto in produkt korenin naslednjih kvadratnih enačb:

A) x 2 – 5x + 6 = 0;

B) 3x 2 – 4x – 2 = 0;

B) x 2 – 6x + 24 = 0;

D) 6x 2 – 5x = 0.

2. S pomočjo Vietovega izreka preveri, ali so koreni kvadratne enačbe pravilno najdeni.

Z izrekom, inverznim Vietovemu izreku, poiščite korenine kvadratne enačbe:

A) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; d) x 2 – 6 = 0.

Posebni primeri reševanja kvadratnih enačb

ax 2 + bx + c = 0

1. če je a+b+c =0, potem je x 1 = 1, x 2 =

2. če je a-b+c =0, (ali a+c=b), potem je x 1 = -1, x 2 = -

Na primer: 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Reši ustno:

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Najprej napišimo "minus",
Poleg njega str na pol,
Radikalni znak "plus-minus",
Znano nam je iz otroštva.

No, v korenu, kolega,
Vse se zmanjša na nič:
str na pol in na kvadrat
Minus lepega q.

• 
  od " Varuške"(druga možnost):

In pod korenom je zelo uporaben
pol str na kvadrat
minus q- in tukaj so rešitve,
to je korenine enačbe.

Upravičeno vreden, da bi bil opevan v poeziji

Vietov izrek o lastnostih korenin.

Kaj je bolje, dosledno povejte to:

Pomnožite korene in ulomek je pripravljen:

Števec je c, imenovalec a,

In vsota korenin je prav tako ulomek

Tudi če je ulomek z minusom, kakšna težava

Števec je v, imenovalec je a.
Uporabljena literatura:

1. 
   Enciklopedični slovar mladega matematika.

1. 
   Matematika. Referenčni materiali. V.A.Gusev, A.G.Mordkovič. M. "Razsvetljenje" 1986
2. 
   Zgodovina matematike v šoli. G.I. Glazer

1. 
   Algebra 8. razred. uredil S.A. Telyakovsky

Danes si zasluži, da jo opevamo v poeziji
Vietov izrek o lastnostih korenin.
Kaj je boljše, povej mi, takšna doslednost:
Pomnožili ste korenine - in ulomek je pripravljen
V števniku z, v imenovalcu A.
In vsota korenin ulomka je prav tako enaka
Tudi z minusom ta ulomek
Kakšen problem
V števnikih V, v imenovalcu A.
(Iz šolskega folklora)

V epigrafu čudovit izrek Françoisa Vieta ni podana povsem natančno. Pravzaprav lahko zapišemo kvadratno enačbo, ki nima korenin, in zapišemo njuno vsoto in produkt. Na primer, enačba x 2 + 2x + 12 = 0 nima pravih korenin. Toda s formalnim pristopom lahko zapišemo njihov produkt (x 1 · x 2 = 12) in vsoto (x 1 + x 2 = -2). Naš verzi bodo ustrezali izreku z opozorilom: »če ima enačba korene«, tj. D ≥ 0.

najprej praktična uporaba Ta izrek je konstrukcija kvadratne enačbe, ki ima podane korene. Drugič, omogoča ustno reševanje številnih kvadratnih enačb. Šolski učbeniki se osredotočajo predvsem na razvijanje teh veščin.

Tukaj bomo razmislili več kompleksne naloge, rešeno z uporabo Vietovega izreka.

Primer 1.

Eden od korenov enačbe 5x 2 – 12x + c = 0 je trikrat večji od drugega. Najdi s.

rešitev.

Naj bo drugi koren x 2.

Potem je prvi koren x1 = 3x 2.

Po Vietovem izreku je vsota korenin 12/5 = 2,4.

Ustvarimo enačbo 3x 2 + x 2 = 2,4.

Zato je x 2 = 0,6. Zato je x 1 = 1,8.

Odgovor: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Primer 2.

Znano je, da sta x 1 in x 2 korena enačbe x 2 – 8x + p = 0, pri čemer je 3x 1 + 4x 2 = 29. Poiščite p.

rešitev.

Po Vietovem izreku je x 1 + x 2 = 8, po pogoju pa 3x 1 + 4x 2 = 29.

Po rešitvi sistema teh dveh enačb najdemo vrednost x 1 = 3, x 2 = 5.

In zato je p = 15.

Odgovor: p = 15.

Primer 3.

Brez izračunavanja korenov enačbe 3x 2 + 8 x – 1 = 0 poiščite x 1 4 + x 2 4

rešitev.

Upoštevajte, da je po Vietovem izreku x 1 + x 2 = -8/3 in x 1 x 2 = -1/3 ter transformirajte izraz

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Odgovor: 4898/9.

Primer 4.

Pri katerih vrednostih parametra a je razlika med največjimi in najmanjšimi koreninami enačbe
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 je enako njunemu produktu.

rešitev.

To je kvadratna enačba. Imel bo 2 različna korena, če je D > 0. Z drugimi besedami, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 ali (a – 3) 2 > 0. Zato imamo 2 korena za vse a, razen a = 3.

Za določnost bomo predpostavili, da je x 1 > x 2 in dobili x 1 + x 2 = (a + 1)/2 in x 1 x 2 = (a – 1)/2. Na podlagi pogojev problema x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Vsi trije pogoji morajo biti izpolnjeni hkrati. Upoštevajmo prvo in zadnjo enačbo kot sistem. Z lahkoto jo je mogoče rešiti z algebraičnim seštevanjem.

Dobimo x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Preverimo pri čem A izpolnjena bo druga enakost: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Zamenjajmo dobljene vrednosti in imeli bomo: a/4 = (a – 1)/2. Potem je a = 2. Očitno je, da če je a = 2, so vsi pogoji izpolnjeni.

Odgovor: ko je a = 2.

Primer 5.

Čemu je enako najmanjša vrednost a, pri kateri je vsota korenov enačbe
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 je enako vsoti kvadratov njegovih korenin.

rešitev.

Najprej zmanjšajmo enačbo na kanonična oblika: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Imelo bo korenine, če je D/4 ≥ 0. Torej: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Ali (a – 1) 2 ≥ 0. In to je pogoj velja za vsak a.

Uporabimo Vietov izrek: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Izračunajmo

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Ali po zamenjavi x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Še vedno je treba ustvariti enakost, ki ustreza pogojem problema: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Dobimo: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Ta kvadratna enačba ima 2 korena: a 1 = 1 in a 2 = 1/2. Najmanjši med njimi je –1/2.

Odgovor: 1/2.

Primer 6.

Poiščite razmerje med koeficienti enačbe ax 2 + bx + c = 0, če je vsota kubov njenih korenin enaka produktu kvadratov teh korenin.

rešitev.

Predpostavili bomo, da ima ta enačba korenine in je zato mogoče zanjo uporabiti Vietin izrek.

Potem bo pogoj problema zapisan takole: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Ali: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Drugi faktor je treba pretvoriti. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

Dobimo (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Ostaja še zamenjava vsot in produktov korenin s koeficienti.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ta izraz je mogoče zlahka pretvoriti v obliko b(3ac – b 2)/a = c 2. Razmerje je bilo ugotovljeno.

Komentiraj. Upoštevati je treba, da je nastalo relacijo smiselno upoštevati šele, ko je izpolnjena druga: D ≥ 0.

Primer 7.

Poiščite vrednost spremenljivke a, za katero je vsota kvadratov korenov enačbe x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 največja vrednost.

rešitev.

Če ima ta enačba korena x 1 in x 2, potem je njuna vsota x 1 + x 2 = -2a in produkt x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

Izračunamo x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

Zdaj je očitno, da ta izraz traja najvišja vrednost pri a = 3.

Ostaja še preveriti, ali ima izvirna kvadratna enačba dejansko korenine pri a = 3. Preverimo s substitucijo in dobimo: x 2 + 6x + 7 = 0 in zanjo D = 36 – 28 > 0.

Zato je odgovor: za a = 3.

Primer 8.

Enačba 2x 2 – 7x – 3 = 0 ima korena x 1 in x 2. Poiščite trojno vsoto koeficientov dane kvadratne enačbe, katere korena sta števili X 1 = 1/x 1 in X 2 = 1/x 2. (*)

rešitev.

Očitno je x 1 + x 2 = 7/2 in x 1 x 2 = -3/2. Sestavimo drugo enačbo iz njenih korenin v obliki x 2 + px + q = 0. Da bi to naredili, uporabimo obratno od Vietovega izreka. Dobimo: p = -(X 1 + X 2) in q = X 1 · X 2.

Po zamenjavi v te formule na podlagi (*), potem: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 in q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Zahtevana enačba bo imela obliko: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Zdaj lahko enostavno izračunamo potrojeno vsoto njenih koeficientov:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Odgovor je prejet.

Imate še vprašanja? Niste prepričani, kako uporabiti Vietin izrek?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Med koreni in koeficienti kvadratne enačbe so poleg korenskih formul še druga uporabna razmerja, ki so navedena Vietov izrek. V tem članku bomo podali formulacijo in dokaz Vietovega izreka za kvadratno enačbo. Nato obravnavamo izrek, ki je nasproten Vietovemu izreku. Po tem bomo najbolj analizirali rešitve tipični primeri. Na koncu zapišemo formule Vieta, ki določajo razmerje med pravimi koreninami algebrska enačba stopnja n in njeni koeficienti.

Navigacija po straneh.

Vietov izrek, formulacija, dokaz

Iz formul za korene kvadratne enačbe a·x 2 +b·x+c=0 oblike, kjer je D=b 2 −4·a·c, sledijo razmerja: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Ti rezultati so potrjeni Vietov izrek:

Izrek.

če x 1 in x 2 sta korena kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0, potem je vsota korenov enaka razmerju koeficientov b in a, vzetih iz nasprotno znamenje, produkt korenin pa je enak razmerju koeficientov c in a, to je .

Dokaz.

Dokaz Vietovega izreka bomo izvedli po naslednji shemi: sestavili bomo vsoto in produkt korenin kvadratne enačbe z uporabo znane formule korenov, nato transformiramo dobljene izraze in poskrbimo, da so enaki −b/a oziroma c/a.

Začnimo z vsoto korenin in jo sestavimo. Sedaj zmanjšamo ulomke na skupni imenovalec, imamo . V števcu dobljenega ulomka, po katerem:. Končno, po 2, dobimo . To dokazuje prvo razmerje Vietovega izreka za vsoto korenin kvadratne enačbe. Preidimo na drugo.

Sestavimo produkt korenov kvadratne enačbe: . Po pravilu množenja ulomkov, zadnji kos lahko zapišemo kot. Zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu, vendar je hitreje strniti ta produkt z formula kvadratne razlike, torej . Nato, ko se spomnimo, izvedemo naslednji prehod. In ker diskriminanta kvadratne enačbe ustreza formuli D=b 2 −4·a·c, potem lahko namesto D v zadnjem ulomku nadomestimo b 2 −4·a·c, dobimo. Po odpiranju oklepaja in ulivanju podobni pogoji pridemo do ulomka , njegovo zmanjšanje za 4·a pa da . To dokazuje drugo razmerje Vietovega izreka za produkt korenin.

Če izpustimo razlago, bo dokaz Vietovega izreka dobil jedrnato obliko:
,
.

Ostaja le opozoriti, da ko enako nič Diskriminantna kvadratna enačba ima en koren. Če pa predpostavimo, da ima enačba v tem primeru dva enake korenine, potem veljajo tudi enakosti iz Vietovega izreka. Dejansko je, ko je D=0 koren kvadratne enačbe enak , potem in , in ker je D=0, to je b 2 −4·a·c=0, od koder je b 2 =4·a·c, potem .

V praksi se Vietov izrek najpogosteje uporablja v zvezi z zmanjšano kvadratno enačbo (z vodilnim koeficientom a enakim 1) oblike x 2 +p·x+q=0. Včasih je formulirana samo za kvadratne enačbe tega tipa, kar ne omejuje splošnosti, saj lahko katero koli kvadratno enačbo nadomestimo z enakovredno enačbo tako, da obe strani delimo z ničelnim številom a. Naj podamo ustrezno formulacijo Vietovega izreka:

Izrek.

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 je enaka koeficientu pri x, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu, to je x 1 +x 2 = −p, x 1 x 2 = q.

Izrek je nasproten Vietovemu izreku

Druga formulacija Vietovega izreka, podana v prejšnjem odstavku, kaže, da če sta x 1 in x 2 korena reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0, potem razmerja x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Po drugi strani pa iz zapisanih razmerij x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sledi, da sta x 1 in x 2 korenini kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0. Z drugimi besedami, obratno od Vietovega izreka velja. Oblikujmo ga v obliki izreka in dokažimo.

Izrek.

Če sta števili x 1 in x 2 takšni, da je x 1 +x 2 =−p in x 1 · x 2 =q, potem sta x 1 in x 2 korenini reducirane kvadratne enačbe x 2 +p · x+q =0.

Dokaz.

Po zamenjavi koeficientov p in q v enačbi x 2 +p·x+q=0 z njunima izrazoma skozi x 1 in x 2 se le-ta pretvori v enakovredno enačbo.

V dobljeno enačbo namesto x nadomestimo število x 1 in dobimo enakost x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, ki za vsak x 1 in x 2 predstavlja pravilno numerično enakost 0=0, saj x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Zato je x 1 koren enačbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, kar pomeni, da je x 1 koren ekvivalentne enačbe x 2 +p·x+q=0.

Če v enačbi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zamenjamo število x 2 namesto x, dobimo enakost x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. To je prava enakost, saj x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Zato je x 2 tudi koren enačbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, in zato enačbe x 2 +p·x+q=0.

S tem je zaključen dokaz izreka, nasprotnega Vietovemu izreku.

Primeri uporabe Vietovega izreka

Čas je, da spregovorimo o praktični uporabi Vietovega izreka in njegovega obratnega izreka. V tem razdelku bomo analizirali rešitve več najbolj tipičnih primerov.

Začnimo z uporabo izreka v nasprotju z Vietovim izrekom. Primeren je za preverjanje, ali sta dani števili korenini dane kvadratne enačbe. V tem primeru se izračunata njuna vsota in razlika, nato pa se preveri veljavnost razmerij. Če sta obe razmerji izpolnjeni, potem na podlagi izreka, ki se konverzira z Vietovim izrekom, sklepamo, da so te številke korenine enačbe. Če vsaj eno od razmerij ni izpolnjeno, te številke niso korenine kvadratne enačbe. Ta pristop je mogoče uporabiti pri reševanju kvadratnih enačb za preverjanje najdenih korenin.

Primer.

Kateri od parov števil 1) x 1 =−5, x 2 =3 ali 2) ali 3) je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0?

rešitev.

Koeficienti podane kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0 so a=4, b=−16, c=9. Po Vietovem izreku mora biti vsota korenov kvadratne enačbe enaka −b/a, to je 16/4=4, produkt korenin pa mora biti enak c/a, to je 9. /4.

Zdaj pa izračunajmo vsoto in zmnožek števil v vsakem od treh danih parov in jih primerjajte s pravkar pridobljenimi vrednostmi.

V prvem primeru imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Dobljena vrednost je drugačna od 4, zato nadaljnjega preverjanja ni mogoče izvesti, vendar lahko z uporabo izreka, inverznega Vietovemu izreku, takoj sklepamo, da prvi par števil ni par korenov dane kvadratne enačbe.

Pojdimo k drugemu primeru. Tu je torej prvi pogoj izpolnjen. Preverimo drugi pogoj: dobljena vrednost se razlikuje od 9/4. Posledično drugi par števil ni par korenin kvadratne enačbe.

Ostal zadnji primer. Tukaj in. Oba pogoja sta izpolnjena, zato sta ti števili x 1 in x 2 korenini dane kvadratne enačbe.

odgovor:

Nasprotje Vietovega izreka lahko v praksi uporabimo za iskanje korenin kvadratne enačbe. Običajno se izberejo celoštevilske korenine danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti, saj je v drugih primerih to precej težko narediti. V tem primeru uporabljajo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzetega z znakom minus, in je produkt teh števil enak prostemu členu, potem sta ti števili korenine te kvadratne enačbe. Razumejmo to s primerom.

Vzemimo kvadratno enačbo x 2 −5 x+6=0. Da sta števili x 1 in x 2 korenini te enačbe, morata biti izpolnjeni dve enakosti: x 1 + x 2 =5 in x 1 ·x 2 =6. Vse, kar ostane, je izbrati takšne številke. IN v tem primeru to je zelo preprosto narediti: takšni števili sta 2 in 3, saj je 2+3=5 in 2·3=6. Tako sta 2 in 3 korenini te kvadratne enačbe.

Izrek, inverzen Vietovemu izreku, je še posebej priročen za uporabo za iskanje drugega korena dane kvadratne enačbe, ko je eden od korenov že znan ali očiten. V tem primeru lahko drugi koren najdemo iz katere koli relacije.

Za primer vzemimo kvadratno enačbo 512 x 2 −509 x −3=0. Tukaj je enostavno videti, da je enotnost koren enačbe, saj je vsota koeficientov te kvadratne enačbe enaka nič. Torej x 1 = 1. Drugi koren x 2 lahko najdemo na primer iz relacije x 1 ·x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512, iz česar je x 2 =−3/512. Tako smo določili oba korena kvadratne enačbe: 1 in −3/512.

Jasno je, da je izbira korenin priporočljiva le v najbolj enostavni primeri. V drugih primerih lahko za iskanje korenin uporabite formule za korenine kvadratne enačbe skozi diskriminanto.

Druga praktična uporaba nasprotja Vietovega izreka je konstruiranje kvadratnih enačb glede na korena x 1 in x 2 . Če želite to narediti, je dovolj, da izračunate vsoto korenin, ki daje koeficient za x z nasprotnim predznakom dane kvadratne enačbe, in produkt korenin, ki daje brezplačen član.

Primer.

Napišite kvadratno enačbo, katere korena sta števili −11 in 23.

rešitev.

Označimo x 1 =−11 in x 2 =23. Izračunamo vsoto in zmnožek teh števil: x 1 +x 2 =12 in x 1 ·x 2 =−253. torej določene številke so koreni reducirane kvadratne enačbe z drugim koeficientom −12 in prostim členom −253. To pomeni, da je x 2 −12·x−253=0 zahtevana enačba.

odgovor:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietov izrek se zelo pogosto uporablja pri reševanju problemov, povezanih z znaki korenin kvadratnih enačb. Kako je Vietin izrek povezan s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p·x+q=0? Tukaj sta dve ustrezni izjavi:

• Če je prosti člen q pozitivno število in če ima kvadratna enačba realne korenine, potem sta obe pozitivni ali obe negativni.
• Če je prosti člen q negativno število in če ima kvadratna enačba realne korenine, potem sta njuna predznaka različna, z drugimi besedami, en koren je pozitiven, drugi pa negativen.

Te trditve izhajajo iz formule x 1 · x 2 =q ter pravil za množenje pozitivnih, negativnih števil in števil z različnimi predznaki. Oglejmo si primere njihove uporabe.

Primer.

R je pozitiven. Z diskriminantno formulo najdemo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vrednost izraza r 2 +8 je pozitiven za vsak realni r, torej D>0 za kateri koli realni r. Zato ima izvirna kvadratna enačba dva korena za katero koli prave vrednosti parameter r.

Zdaj pa ugotovimo, kdaj imajo korenine različna znamenja. Če so znaki korenin različni, je njihov produkt negativen, po Vietovem izreku pa je produkt korenin reducirane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Zato nas zanimajo tiste vrednosti r, pri katerih je prosti člen r−1 negativen. Torej, da bi našli vrednosti r, ki nas zanimajo, potrebujemo odločiti se linearna neenakost r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

pri r<1 .

Vieta formule

Zgoraj smo govorili o Vietovem izreku za kvadratno enačbo in analizirali razmerja, ki jih uveljavlja. Vendar obstajajo formule, ki povezujejo resnične korenine in koeficiente ne samo kvadratnih enačb, ampak tudi kubičnih enačb, enačb četrte stopnje in na splošno, algebraične enačbe stopnja n. Imenujejo se Vietove formule.

Zapišimo formulo Vieta za algebraično enačbo stopnje n oblike in predpostavimo, da ima n realnih korenin x 1, x 2, ..., x n (med njimi so lahko tudi sovpadajoče):

Dobite lahko Vietove formule izrek o razgradnji polinoma na linearne faktorje, kot tudi definicija enakih polinomov skozi enakost vseh njihovih ustreznih koeficientov. Torej sta polinom in njegova razširitev na linearne faktorje oblike enaka. Z odpiranjem oklepajev pri zadnjem produktu in izenačenjem pripadajočih koeficientov dobimo Vietove formule.

Zlasti za n=2 imamo že znane Vieta formule za kvadratno enačbo.

Za kubično enačbo imajo Vietove formule obliko

Ostaja le opozoriti, da so na levi strani Vietovih formul tako imenovani elementarni simetrični polinomi.

Reference.

• Algebra: učbenik za 8. razred. splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str .: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. stopnje / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; uredil A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Francois Viet se je rodil leta 1540 v Franciji v Fontenay-le-Comte. Po izobrazbi pravnik. Veliko se je ukvarjal z odvetništvom, od leta 1571 do 1584 je bil svetovalec kraljev Jurija III. in Jurija IV. Vendar je ves svoj prosti čas, ves svoj prosti čas posvetil matematiki in astronomiji. Še posebej intenzivno se je začel ukvarjati z matematiko leta 1584 po njegovi odstavitvi s položaja na kraljevem dvoru. Viet je podrobno preučeval dela starodavnih in sodobnih matematikov.

François Viète je v bistvu ustvaril novo algebro. Vanjo je vnesel abecedno simboliko. Njegove glavne ideje so predstavljene v delu "Uvod v analitično umetnost". Zapisal je: »Vsi matematiki so vedeli, da se pod njihovo algebro in almukabalo skrivajo neprimerljivi zakladi, niso pa vedeli, kako jih najti: probleme, ki so se jim zdeli najtežje, je povsem enostavno rešiti s pomočjo naše umetnosti.«

Pravzaprav vsi vemo, kako enostavno je rešiti na primer kvadratne enačbe. Za njihovo reševanje obstajajo že pripravljene formule. Pred F. Vieto je bila rešitev vsake kvadratne enačbe izvedena po lastnih pravilih v obliki zelo dolgih verbalnih argumentov in opisov, precej okornih dejanj. Niti same enačbe niso mogli zapisati v sodobni obliki. To je zahtevalo tudi precej dolg in zapleten besedni opis. Trajala so leta, da so obvladali tehnike reševanja enačb. Ni bilo splošnih pravil, podobnih sodobnim, še manj formul za reševanje enačb. Konstantni koeficienti niso bili označeni s črkami. Upoštevani so bili samo izrazi z določenimi številskimi koeficienti.

Viet je v algebro uvedel črkovne simbole. Po Vietini inovaciji je postalo mogoče zapisati pravila v obliki formul. Res je, da je Viet še vedno označeval eksponente z besedami, kar je povzročilo določene težave pri reševanju nekaterih problemov. V času Vieta je bila ponudba številk še omejena. François Viète je v svojih delih zelo natančno orisal teorijo reševanja enačb prve do četrte stopnje.

Vietova velika zasluga je bila odkritje razmerja med koreni in koeficienti enačb reducirane oblike poljubne naravne stopnje. Dobro poznamo znameniti Vietov izrek za reducirano kvadratno enačbo: »vsota korenin kvadratne enačbe reducirane oblike je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin te enačbe pa je enako prostemu terminu.« Ta izrek vam omogoča, da ustno preverite pravilnost reševanja kvadratnih enačb in v najpreprostejših primerih poiščete korenine enačb.

Upoštevajte tudi, da je Viète dal prvo analitično (z uporabo formule) predstavitev števila π v Evropi.

Viet je leta 1603 umrl v starosti 63 let.

Vietov izrek.

Vsota korenin kvadratni trinom x2 + px + q je enak drugemu koeficientu p z nasprotnim predznakom, produkt pa je enak prostemu členu q.

Dokaz.

Naj sta x1 in x2 različna korena kvadratnega trinoma x2 + px + q. Vietov izrek pravi, da veljajo naslednje relacije: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Da bi to dokazali, nadomestimo vsakega od korenov v izraz za kvadratni trinom. Dobimo dve pravilni številski enakosti: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Odštejmo te enačbe eno od druge. Dobimo x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Razširimo razliko kvadratov in hkrati premaknimo drugi člen na desno stran:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Ker sta po pogoju korena x1 in x2 različna, potem je x1 – x2 ≠ 0 in lahko enakost delimo z x1 – x2. Dobimo prvo enakost izreka: x1 + x2 = –p

Za dokaz drugega zamenjajmo v eno od zgoraj zapisanih enakosti (na primer prvo) namesto koeficienta p enako število – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Če transformiramo levo stran, dobimo: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, kar je bilo treba dokazati.

V primeru nereducirane kvadratne enačbe ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

Izrek, inverzen Vietovemu izreku.

Če sta izpolnjeni enakosti x1+x2 = in x1x2 =, sta števili x1 in x2 korenini kvadratne enačbe ax2 + bx + c = 0.

Dokaz.

Iz enakosti x1+x2 = in x1x2 = sledi x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

Toda x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) in torej x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Iz tega sledi, da sta x1 in x2 korena enačbe x2 + x + = 0, zato sta enačbi ax2 + bx + c = 0.

Uporaba Vietovega izreka.

Vietov izrek se uporablja v 8. razredu za iskanje korenov kvadratnih enačb. Obseg uporabe tega izreka lahko razširite na primer za reševanje sistemov enačb v 9.–11. razredu in reševanje problemov, povezanih s študijem kvadratnih enačb in njihovih korenin. To skrajša čas in poenostavi reševanje sistema.

Rešite sistem enačb:

Če predpostavimo, da sta korena x in y neke kvadratne enačbe, katerih vsota korenin je enaka 5, njihov produkt pa je enak 6, potem dobimo niz dveh sistemov

Odgovor: (2;3), (3;2).

Učenci hitro osvojijo ta način reševanja in ga z veseljem uporabljajo. Potem lahko zapletete sisteme in uporabite to tehniko pri preučevanju različnih tem v razredih 10-11.

Rešite sistem enačb:

Pod pogojem x > 0 y > 0 dobimo

Naj sta in korenini neke reducirane kvadratne enačbe, potem je ta sistem enakovreden nizu dveh sistemov

Drugi sistem populacije nima rešitve; rešitev prvega je par x=9,y=4.

Odgovor: (9;4).

Spodaj so sistemi enačb, ki jih je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka.

Odgovor: (65;3),(5;63).

Odgovor: (23;11),(7;27).

Odgovor: (4;729),(81;4096).

Odgovor: (2;2).

5. x + y =12 Odgovor: (8;4),(4;8).

Odgovor: (9;4),(4;9).

Podobne sisteme enačb lahko učitelj sestavi sam ali pa pri tem vključi učence, kar prispeva k razvoju zanimanja za predmet.

Ustno reševanje nalog.

Brez reševanja kvadratnih enačb poiščite njihove korenine.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Odgovor: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Odgovor: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Odgovor: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Odgovor: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Odgovor: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Odgovor: -2,5;-1.

Razmislimo o problemih, pri katerih se uporablja Vietin izrek.

Brez reševanja enačbe 9x²+18x-8=0 poiščite x1³+x2³, kjer sta x1,x2 njeni korenini.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) Diskriminanta je večja od nič, D>0, kar pomeni, da sta x1, x2 prava korena.

Po Vietovem izreku sledi: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) Pretvorite izraz x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Nadomestimo vrednosti, ki jih poznamo, v nastalo formulo in dobimo odgovor:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

Pri kateri vrednosti k v enačbi je 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Po Vietovem izreku: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1) smo dobili sistem dveh enačb in zamenjali 2x1 namesto x2.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Primerjajmo nastale enačbe:

Rešimo kvadratno enačbo in poiščemo k:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Odgovor: pri k1=-1 in k2=2.

Naj bodo x1;x2 korenine kvadratne enačbe x²+13x-17=0. Sestavite enačbo, katere koreni bi bili števili 2-x1 in 2-x2.

Razmislite o enačbi x²+13x-17=0.

1) Diskriminanta D>0, kar pomeni, da so x1; x2 pravi koreni.

Po Vietovem izreku: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) Zamenjajte števili 2-x2 in 2-x2 v ta sistem.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Zato je z uporabo Vietovega izreka želena enačba x²-17x+13=0.

Odgovor: x²-17x+13=0.

Kakšna sta predznaka b in c, če je podana kvadratna enačba ax2+bx+c=0, če je x2>x1,x1>0,x2

Ker je x2 x1, sledi b>0,c

Odgovor: b>0,с

6) Kakšna sta predznaka b in c za kvadratno enačbo ax2+bx+c=0, če je x1 0,x2>0.

Po Vietovem izreku: x1+x2=-b x1∙x2=c

Ker je x1>0, x2>0 in x2>x1, je b 0.

Naloge za neodvisna odločitev.

1) Brez reševanja enačbe 2x²-3x-11=0 poiščite +, kjer sta x1;x2 njeni koreni.

2) Poiščite vrednost izraza +, kjer sta x1;x2 korena trinoma x²-18x+11=0.

3) Naj bodo x1;x2 korenine kvadratne enačbe x²-7x-46=0.

Napišite kvadratno enačbo, katere koreni so števila

2x1 +x2 in 2x2 +x1.

Odgovor: 9x2-21x-481=0

4) Pri kateri celoštevilski vrednosti k je eden od korenov enačbe

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 trikrat manj kot drugi?

Odgovor: k=2.

5) Kakšna sta predznaka b in c za kvadratno enačbo ax2+bx+c=0, če je x1 0.

Občinska proračunska izobraževalna ustanova

"Povprečje srednja šolašt. 64" Bryansk

Mestna znanstvena in praktična konferenca

"Prvi koraki v znanost"

Znanstveno raziskovalno delo

"Vietejev izrek za enačbe tretje in četrte stopnje"

Matematika

Izpolnila: učenka 11. b razreda

Šanov Ilja Aleksejevič

Znanstveni mentor:

učiteljica matematike,

Kandidat fizike in matematike znanosti

Bykov Sergej Valentinovič

Brjansk 2012

Uvod…………………………………………………………………………………… 3

Cilji in cilji ………………………………………………………… 4

Na kratko zgodovinsko ozadje ………………………………………… 4

Kvadratna enačba……………………………………………………. 5

Kubična enačba………………………………………………………………. 6

Enačba četrte stopnje ………………………………………… 7

Praktični del………………………………………………………. 9

Reference…………………………………………………… 12

Dodatek ……………………………………………………………… 13

Uvod

Temeljni izrek algebre pravi, da je polje algebraično zaprto, z drugimi besedami, da obstaja točno n enačb stopnje n s kompleksnimi koeficienti (na splošno) nad poljem kompleksne korenine. Enačbe tretje stopnje se rešujejo s Cordanovo formulo. Enačbe četrte stopnje z uporabo Ferrarijeve metode. Poleg tega, da je v teoriji algebre dokazano, da če je torej koren enačbe je tudi koren te enačbe. Za kubično enačbo so možni naslednji primeri:

vse tri korenine so prave;

dva korena sta kompleksna, eden je pravi.

Iz tega sledi, da ima vsaka kubična enačba vsaj en pravi koren.

Za enačbo četrte stopnje:

Vse štiri korenine so različne.

Dva korena sta prava, dva sta kompleksna.

Vse štiri korenine so kompleksne.

To delo je posvečeno temeljiti študiji Vietovega izreka: njegovi formulaciji, dokazu in reševanju problemov z uporabo tega izreka.

Opravljeno delo je namenjeno pomoči učencem 11. razreda, ki se bodo opravljanje enotnega državnega izpita, pa tudi za mlade matematike, ki niso ravnodušni do preprostejših in učinkovite metode rešitve v različna področja matematika.

V prilogi k temu delu je zbirka nalog za samostojno reševanje in utrjevanje nove snovi, ki sem jo študiral.

Tega vprašanja ne gre prezreti, saj je pomembno za matematiko, tako za naravoslovje nasploh kot za študente in tiste, ki jih tovrstni problemi zanimajo.

Cilji in cilji dela:

Pridobite analog Vietovega izreka za enačbo tretje stopnje.

Dokažite analog Vietovega izreka za enačbo tretje stopnje.

Pridobite analog Vietovega izreka za enačbo četrte stopnje.

Dokažite analog Vietovega izreka za enačbo četrte stopnje.

Razmislite o uporabi teh vprašanj pri reševanju praktičnih problemov.

• Prepričajte se, da je uporaba tega izreka praktična.

Poglobite se matematično znanje na področju reševanja enačb.

Razviti zanimanje za matematiko.

Kratko zgodovinsko ozadje

Upravičeno vreden, da bi bil opevan v poeziji

O lastnostih korenin VIETTEJEV TEOREM...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - francoski matematik. Po poklicu pravnica. Leta 1591 je uvedel črkovne oznake ne samo za neznane količine, ampak tudi za koeficiente enačb; zahvaljujoč temu je bilo prvič mogoče izraziti lastnosti enačb in njihovih korenov s splošnimi formulami. Bil je odgovoren za vzpostavitev enotne metode za reševanje enačb 2., 3. in 4. stopnje. Med odkritji je sam Viète posebej visoko cenil ugotavljanje razmerja med koreni in koeficienti enačb. Za približno rešitev enačb s številčni koeficienti Vieth je predlagal metodo, podobno kasnejši Newtonovi metodi. V trigonometriji je François Viète podal popolno rešitev problema določanja vseh elementov ravnega ali sferičnega trikotnika iz treh podatkov in našel pomembne razširitve cos nx in greh nx v potencah cos X in greh X. Prvič je razmišljal o neskončnih delih. Vietova dela so bila napisana v težkem jeziku in so bila zato v svojem času manj razširjena, kot so si zaslužila .

Kvadratna enačba

Najprej se spomnimo Vietovih formul za enačbe druge stopnje, ki smo se jih učili v programu šolski tečaj usposabljanje.

T
Vietov izrekza kvadratno enačbo (8. razred)

E
če sta in sta korenini kvadratne enačbe, potem

to pomeni, da je vsota korenin reducirane kvadratne enačbe enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.

Zapomnite si tudi izrek, inverz Vietovega izreka:

Če številke - str in q so takšni, da

potem sta in korena enačbe

Vietov izrek je izjemen v tem, da brez poznavanja korenin kvadratnega trinoma zlahka izračunamo njihovo vsoto in produkt, torej najpreprostejše simetrične izraze.

Vietov izrek vam omogoča, da uganete celotne korene kvadratnega trinoma.

Kubična enačba

Zdaj pa pojdimo neposredno na formulacijo in rešitev kubične enačbe z uporabo Vietovega izreka.

Formulacija

TO
Vseprisotna enačba je enačba tretjega reda oblike

kje a ≠ 0.

če a = 1, potem se enačba imenuje zmanjšana kubična enačba:

Torej, to moramo dokazati za enačbo

resničen je naslednji izrek:

n
rasti korenine podana enačba, Potem

Dokaz

Predstavljajmo si polinom

izvedimo transformacije:

Torej, to razumemo

Dva polinoma sta enaka, če in samo če sta njuna koeficienta pri ustreznih potencah enaka.

To pomeni, da

Q.E.D.

Zdaj razmislite o teoremu, inverz Vietovega izreka za enačbo tretje stopnje.

F
formulacija

E
če so številke takšne, da

Enačba četrte stopnje

Zdaj pa preidimo na postavitev in rešitev enačbe četrte stopnje z uporabo Vietovega izreka za enačbo četrte stopnje.

Formulacija

U
enačba četrte stopnje - enačba oblike

G
de a ≠ 0.

E
če a = 1, potem se enačba imenuje zmanjšana

IN
torej, dokažimo to za enačbo

z
velja naslednji izrek: pustimo torej korenine dane enačbe

Dokaz

Predstavljajmo si polinom

izvedimo transformacije:

Torej, to razumemo

To vemo dva polinoma sta enaka, če in samo če sta njuna koeficienta pri ustreznih potencah enaka.

To pomeni, da

Q.E.D.

Upoštevajte izrek, inverz Vietovega izreka za enačbo četrte stopnje.

Formulacija

Če so številke takšne,

potem so te številke korenine enačbe

Praktični del

Zdaj pa si poglejmo rešitve problemov z uporabo Vietovih izrekov za enačbe tretje in četrte stopnje.

Naloga št. 1

Odgovor: 4, -4.

Naloga št. 2

Odgovor: 16, 24.

Za rešitev teh enačb lahko uporabimo Cardanove formule oziroma Ferrarijevo metodo, vendar z uporabo Vietaovega izreka poznamo vsoto in produkt korenin teh enačb.

Naloga št. 3

Sestavite enačbo tretje stopnje, če je znano, da je vsota korenin 6, parni produkt korenin 3 in produkt -4.

Sestavimo enačbo, dobimo

Naloga št. 4

Napišite enačbo tretje stopnje, če vemo, da je vsota korenin enaka 8 , je produkt parov korenin enak 4 , potrojni produkt je enak 12 , in izdelek 20 .

Rešitev: z uporabo Vietove formule dobimo

Sestavimo enačbo, dobimo

S pomočjo Vietovega izreka smo zlahka sestavili enačbe z uporabo njihovih korenov. To je največ racionalen način reševanje teh težav.

Problem #5

kjer so a, b, c Heronove formule.

Odpremo oklepaje in transformiramo izraz, dobimo

Z
Upoštevajte, da je radikalni izraz kubični izraz. Uporabimo Vietov izrek za ustrezno kubično enačbo, potem imamo to

Z

Vemo, da dobimo:

Iz rešitve tega problema je jasno, da je Vietin izrek uporaben za probleme iz različna področja matematika.

Zaključek

V tem članku je bila raziskana metoda za reševanje enačb tretje in četrte stopnje z uporabo Vietovega izreka. Formule, izpeljane v delu, so enostavne za uporabo. Med študijo je postalo očitno, da je v nekaterih primerih ta metoda učinkovitejša od Cordanove formule in Ferrarijeve metode za enačbe tretje oziroma četrte stopnje.

Vietov izrek je bil uporabljen v praksi. Rešene so bile številne težave, ki so pripomogle k boljši utrditvi nove snovi.

Ta študij je bil zame zelo zanimiv in poučen. Ob poglabljanju znanja matematike sem odkrila veliko zanimivih stvari in uživala v tem raziskovanju.

Mojega raziskovanja na področju reševanja enačb pa še ni konec. V prihodnosti nameravam preučiti rešitev enačbe n-te stopnje z uporabo Vietovega izreka.

Rad bi izrazil svojo globoko hvaležnost svojemu znanstveni mentor, kandidat fizikalnih in matematičnih znanosti, in možnost takega nenavadne raziskave in nenehno pozornost do dela.

Reference

Vinogradov I.M. Matematična enciklopedija. M., 1977.

V. B. Lidski, L. V. Ovsjannikov, A. N. Tulajkov, M. I. Šabunin. Naloge za elementarna matematika, Fizmatlit, 1980.