Zmanjševanje ulomkov je potrebno, da se ulomek zmanjša na več preprost pogled, na primer v odgovoru, ki ga dobimo kot rezultat reševanja izraza.
Zmanjševanje ulomkov, definicija in formula.
Kaj je zmanjševanje ulomkov? Kaj pomeni zmanjšati ulomek?
definicija:
Zmanjševanje ulomkov- to je delitev števca in imenovalca ulomka na isto stvar pozitivno število ni enako nič in ena. Kot rezultat zmanjšanja dobimo ulomek z manjšim števcem in imenovalcem, ki je enak prejšnjemu ulomku glede na.
Formula za zmanjševanje ulomkov glavno premoženje racionalna števila.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Poglejmo primer:
Zmanjšaj ulomek \(\frac(9)(15)\)
rešitev:
Ulomek lahko razširimo na glavni dejavniki in zmanjša skupne dejavnike.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(rdeča) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \krat 1=\frac(3)(5)\)
Odgovor: po redukciji smo dobili ulomek \(\frac(3)(5)\). Po osnovni lastnosti racionalnih števil sta prvotni in dobljeni ulomek enaka.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Kako zmanjšati ulomke? Zmanjšanje ulomka na nezmanjšano obliko.
Da bi kot rezultat dobili nezmanjšani ulomek, potrebujemo najti največjega skupni delilnik(KIMAJ) za števec in imenovalec ulomka.
Obstaja več načinov za iskanje GCD; v primeru bomo uporabili razgradnjo števil na prafaktorje.
Dobite nezmanjšani ulomek \(\frac(48)(136)\).
rešitev:
Poiščimo GCD(48, 136). Zapišimo števili 48 in 136 v prafaktorje.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(rdeča) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(rdeča) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(rdeča) (6) \times 2 \times 3)(\color(rdeča) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Pravilo reduciranja ulomka v nezmanjšano obliko.
- Za števec in imenovalec morate najti največji skupni delitelj.
- Števec in imenovalec morate deliti z največjim skupnim deliteljem, da dobite nezmanjšani ulomek kot rezultat deljenja.
primer:
Zmanjšajte ulomek \(\frac(152)(168)\).
rešitev:
Poiščimo GCD(152, 168). Zapišimo števili 152 in 168 v prafaktorje.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(rdeča) (6) \times 19)(\color(rdeča) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Odgovor: \(\frac(19)(21)\) nezmanjšani ulomek.
Zmanjšanje nepravilnih ulomkov.
Kako zmanjšati nepravilni ulomek?
Pravila za zmanjševanje ulomkov so enaka za prave in neprave ulomke.
Poglejmo primer:
Zmanjšajte nepravilni ulomek \(\frac(44)(32)\).
rešitev:
Zapišimo števec in imenovalec na enostavne faktorje. In potem bomo zmanjšali skupne dejavnike.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(rdeča) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(rdeča) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Zmanjšanje mešanih frakcij.
Mešani ulomki sledijo istim pravilom kot navadni ulomki. Edina razlika je, da lahko ne dotikajte se celotnega dela, ampak zmanjšajte delni del oz Pretvorite mešani ulomek v nepravi ulomek, ga zmanjšajte in pretvorite nazaj v pravi ulomek.
Poglejmo primer:
Prekliči mešani ulomek \(2\frac(30)(45)\).
rešitev:
Rešimo ga na dva načina:
Prvi način:
Zapišimo ulomek na enostavne faktorje, ne bomo pa se dotikali celotnega dela.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(rdeča) (5 \times 3))(3 \times \color(rdeča) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Drugi način:
Najprej ga pretvorimo v nepravi ulomek, nato pa ga zapišimo na prafaktorje in zmanjšajmo. Nastali nepravi ulomek pretvorimo v pravi ulomek.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(rdeča) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(rdeča) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Vprašanja na temo:
Ali lahko pri seštevanju ali odštevanju zmanjšujete ulomke?
Odgovor: ne, najprej morate ulomke sešteti ali odšteti po pravilih in šele nato zmanjšati. Poglejmo primer:
Ovrednotite izraz \(\frac(50+20-10)(20)\) .
rešitev:
Pogosto naredijo napako pri krajšanju iste številke V našem primeru imata števec in imenovalec številko 20, vendar ju ni mogoče zmanjšati, dokler ne zaključite seštevanja in odštevanja.
\(\frac(50+\barva(rdeča) (20)-10)(\barva(rdeča) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \krat 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
S katerimi številkami lahko skrajšate ulomek?
Odgovor: Ulomek lahko zmanjšate za največji skupni faktor ali skupni delitelj števca in imenovalca. Na primer ulomek \(\frac(100)(150)\).
Zapišimo števili 100 in 150 prafaktorja.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Največji skupni delitelj bo število gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Dobili smo nezmanjšani ulomek \(\frac(2)(3)\).
Vendar ni nujno, da vedno delite z gcd; nezmanjšani ulomek ni vedno potreben; ulomek lahko zmanjšate s preprostim deliteljem števca in imenovalca. Na primer, števili 100 in 150 imata skupni delitelj 2. Zmanjšajmo ulomek \(\frac(100)(150)\) za 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \krat 50)(2 \krat 75)=\frac(50)(75)\)
Dobili smo pomanjšani ulomek \(\frac(50)(75)\).
Katere ulomke je mogoče zmanjšati?
Odgovor: Lahko skrajšate ulomke, v katerih imata števec in imenovalec skupni delitelj. Na primer ulomek \(\frac(4)(8)\). Števili 4 in 8 imata število, s katerim sta obe deljivi – število 2. Zato lahko tak ulomek skrajšamo s številom 2.
primer:
Primerjajte dva ulomka \(\frac(2)(3)\) in \(\frac(8)(12)\).
Ta dva ulomka sta enaka. Oglejmo si podrobneje ulomek \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \krat 1=\frac(2)(3)\)
Od tu dobimo \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Dva ulomka sta enaka, če in samo če enega od njiju dobimo z zmanjšanjem drugega ulomka za skupni množiteljštevec in imenovalec.
primer:
Če je mogoče, zmanjšajte naslednje ulomke: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
rešitev:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(rdeča) (5) \times 3 \times 3)(\color(rdeča) (5) \times 13)=\frac (2 \krat 3 \krat 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(rdeča) (3 \krat 3) \krat 3)(\barva(rdeča) (3 \krat 3) \krat 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) nezmanjšani ulomek
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(rdeča) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(rdeča) (2 \times 5 \times 5) \ krat 5)=\frac(2)(5)\)
Da bi razumeli, kako zmanjšati ulomke, si najprej oglejmo primer.
Zmanjšati ulomek pomeni deliti števec in imenovalec z isto stvarjo. Tako 360 kot 420 se končata s števko, zato lahko ta ulomek zmanjšamo za 2. V novem ulomku sta tudi 180 in 210 deljiva z 2, zato ta ulomek zmanjšamo za 2. Pri številih 90 in 105 je vsota števk je deljivo s 3, torej sta obe števili deljivi s 3, ulomek zmanjšamo za 3. V novem ulomku se 30 in 35 končata na 0 in 5, kar pomeni, da sta obe števili deljivi s 5, zato zmanjšamo ulomek za 5. Dobljeni ulomek šest sedmin je nezmanjšljiv. To je končni odgovor.
Do istega odgovora lahko pridemo na drugačen način.
Tako 360 kot 420 se končata na nič, kar pomeni, da sta deljiva z 10. Ulomek zmanjšamo za 10. V novem ulomku sta tako števec 36 kot imenovalec 42 deljena z 2. Ulomek zmanjšamo za 2. naslednji ulomek tako števec 18 kot imenovalec 21 delimo s 3, kar pomeni, da ulomek zmanjšamo za 3. Prišli smo do rezultata - šest sedmin.
In še ena rešitev.
Naslednjič si bomo ogledali primere krajšanja ulomkov.
Temelji na njihovi osnovni lastnosti: če števec in imenovalec ulomka delimo z enakim polinomom, ki ni nič, dobimo enak ulomek.
Množitelje lahko samo zmanjšate!
Članov polinomov ni mogoče skrajšati!
Za zmanjšanje algebraičnega ulomka je treba najprej faktorizirati polinome v števcu in imenovalcu.
Oglejmo si primere zmanjševanja ulomkov.
Števec in imenovalec ulomka vsebujeta monome. Predstavljajo delo(števila, spremenljivke in njihove moči), multiplikatorji lahko zmanjšamo.
Števila zmanjšamo za njihov največji skupni delitelj, to je za največje število, s katerim je vsako od teh števil deljeno. Za 24 in 36 je to 12. Po zmanjšanju ostane 2 od 24 in 3 od 36.
Stopnje se zmanjšajo za stopnjo c najnižjo stopnjo. Zmanjšati ulomek pomeni deliti števec in imenovalec z istim deliteljem ter odšteti eksponente.
a² in a⁷ se zmanjšata na a². V tem primeru v števcu a² ostane ena (1 pišemo le v primeru, ko po redukciji ne ostane noben drug faktor. Od 24 ostane 2, zato 1 ostane od a² ne pišemo). Od a⁷ po zmanjšanju ostane a⁵.
b in b zmanjšamo za b; nastale enote ne zapišemo.
c³º in c5 sta skrajšana na c5. Od c³º ostane c²⁵, od c5 pa ena (ne pišemo). torej
Števec in imenovalec tega algebraičnega ulomka sta polinoma. Ne morete preklicati členov polinomov! (ne morete zmanjšati npr. 8x² in 2x!). Če želite zmanjšati ta delež, potrebujete. Števec ima skupni faktor 4x. Vzemimo iz oklepajev:
Tako števec kot imenovalec imata enak faktor (2x-3). S tem faktorjem zmanjšamo ulomek. V števcu smo dobili 4x, v imenovalcu - 1. Za 1 lastnost algebrski ulomki, ulomek je 4x.
Zmanjšate lahko le množitelje (zmanjšajte dani ulomek na 25x² je nemogoče!). Zato je treba polinome v števcu in imenovalcu ulomka faktorizirati.
V števcu - popoln kvadrat vsote, imenovalec je razlika kvadratov. Po razgradnji s skrajšanimi formulami za množenje dobimo:
Ulomek zmanjšamo za (5x+1) (če želite to narediti, prečrtajte dve v števcu kot eksponent, tako da ostane (5x+1)² (5x+1)):
Števec ima skupni faktor 2, vzemimo ga iz oklepaja. Imenovalec je formula za razliko kock:
Kot rezultat razširitve sta števec in imenovalec dobila enak faktor (9+3a+a²). Z njim zmanjšamo ulomek:
Polinom v števcu je sestavljen iz 4 členov. prvi člen z drugim, tretji s četrtim in odstranite skupni faktor x² iz prvih oklepajev. Imenovalec razčlenimo po formuli vsote kubov:
V števcu vzemimo skupni faktor (x+2) iz oklepaja:
Zmanjšaj ulomek za (x+2):
Torej že vemo, da lahko števec in imenovalec ulomka pomnožimo in delimo z istim številom, ulomek se ne bo spremenil. Razmislimo o treh pristopih:
Približajte se enemu.
Če želite zmanjšati, delite števec in imenovalec s skupnim deliteljem. Poglejmo si primere:
Skrajšajmo:
V navedenih primerih takoj vidimo, katere delitelje vzeti za zmanjšanje. Postopek je preprost - gremo skozi 2,3,4,5 in tako naprej. V večini primerov šolskih tečajev je to povsem dovolj. Če pa je ulomek:
Tukaj lahko postopek izbire deliteljev traja dolgo;). Seveda so takšni primeri izven šolskega programa, a jim je treba biti kos. Spodaj si bomo ogledali, kako se to naredi. Za zdaj se vrnimo k procesu zmanjševanja.
Kot je razloženo zgoraj, smo, da bi zmanjšali ulomek, delili s skupnim deliteljem(-i), ki smo ga določili. Vse je pravilno! Dodati je treba samo znake deljivosti števil:
- če je število sodo, potem je deljivo z 2.
- če je število iz zadnjih dveh števk deljivo s 4, potem je samo število deljivo s 4.
— če je vsota števk, ki sestavljajo število, deljiva s 3, potem je samo število deljivo s 3. Na primer 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dvanajst je deljivo s 3, torej je 123031 deljivo s 3.
- če je konec števila 5 ali 0, potem je število deljivo s 5.
— če je vsota števk, ki sestavljajo število, deljiva z 9, potem je samo število deljivo z 9. Na primer, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osemnajst je deljivo z 9, kar pomeni, da je 623032 deljivo z 9.
Drugi pristop.
Če na kratko povedano, se celotno dejanje dejansko zmanjša na faktoriziranje števca in imenovalca ter nato zmanjševanje enakih faktorjev v števcu in imenovalcu (ta pristop je posledica prvega pristopa):
Vizualno, da bi se izognili zmedi in napakam, so enaki faktorji preprosto prečrtani. Vprašanje - kako faktorizirati število? Z iskanjem je treba določiti vse delilnike. To je ločena tema, ni zapleteno, poiščite informacije v učbeniku ali na internetu. Pri faktoriziranju števil, ki so prisotna v šolskih ulomkih, ne boste naleteli na velike težave.
Formalno lahko načelo redukcije zapišemo na naslednji način:
Pristop tri.
Tukaj je najbolj zanimivo za napredne in tiste, ki to želijo postati. Zmanjšajmo ulomek 143/273. Poskusite sami! No, kako se je to zgodilo na hitro? Poglej zdaj!
Obrnemo (zamenjamo mesti števca in imenovalca). Nastali ulomek razdelimo z vogalom in ga pretvorimo v mešano število, torej izberemo cel del:
Je že lažje. Vidimo, da lahko števec in imenovalec zmanjšamo za 13:
Zdaj pa ne pozabite spet obrniti ulomka nazaj, zapišimo celotno verigo:
Preverjeno - traja manj časa kot iskanje in preverjanje deliteljev. Vrnimo se k našima dvema primeroma:
najprej Če delimo z vogalom (ne na kalkulatorju), dobimo:
Ta ulomek je seveda preprostejši, vendar je redukcija spet problem. Zdaj ločeno analiziramo ulomek 1273/1463 in ga obrnemo:
Tukaj je lažje. Upoštevamo lahko delitelj, kot je 19. Ostali niso primerni, to je jasno: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hura! Zapišimo:
Naslednji primer. Skrajšajmo 88179/2717.
Delimo, dobimo:
Ločeno analiziramo frakcijo 1235/2717 in jo obrnemo:
Upoštevamo lahko delitelj, kot je 13 (do 13 ni primeren):
Števec 247:13=19 Imenovalec 1235:13=95
*Med procesom smo videli še en delitelj enak 19. Izkazalo se je, da:
Zdaj zapišemo prvotno številko:
In ni pomembno, kaj je v ulomku večje - števec ali imenovalec, če je imenovalec, ga obrnemo in ravnamo, kot je opisano. Na ta način lahko zmanjšamo katero koli frakcijo; tretji pristop lahko imenujemo univerzalen.
Zgoraj obravnavana primera seveda nista preprosta primera. Poskusimo to tehnologijo na "preprostih" ulomkih, ki smo jih že obravnavali:
Dve četrtini.
Dvainsedemdeset šestdeseta. Števec je večji od imenovalca, ni ga treba obračati:
Pri tem je bil seveda uporabljen tretji pristop preprosti primeri samo kot alternativa. Metoda je, kot že rečeno, univerzalna, vendar ni primerna in pravilna za vse frakcije, zlasti za preproste.
Raznolikost frakcij je velika. Pomembno je, da razumete načela. Preprosto ni strogega pravila za delo z ulomki. Pogledali smo, ugotovili, kako bi bilo bolj priročno ukrepati, in šli naprej. Z vajo bo prišla spretnost in lomili jih boste kot semena.
Zaključek:
Če vidite skupni delitelj(-e) za števec in imenovalec, jih uporabite za zmanjševanje.
Če znate hitro faktorizirati število, faktorizirajte števec in imenovalec, nato zmanjšajte.
Če ne morete določiti skupnega delitelja, uporabite tretji pristop.
*Za zmanjševanje ulomkov je pomembno obvladati načela zmanjševanja, razumeti osnovno lastnost ulomka, poznati pristope k reševanju in biti izjemno previden pri računanju.
In zapomni si! Običajno je zmanjševati ulomek, dokler se ne ustavi, torej zmanjševati, dokler obstaja skupni delitelj.
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
Če moramo 497 deliti s 4, potem bomo pri deljenju videli, da 497 ni enakomerno deljivo s 4, tj. preostanek delitve ostane. V takih primerih se reče, da je zaključeno deljenje z ostankom, rešitev pa je zapisana takole:
497 : 4 = 124 (1 ostanek).
Komponente deljenja na levi strani enačbe imenujemo enako kot pri deljenju brez ostanka: 497 - dividenda, 4 - delilnik. Rezultat deljenja pri deljenju z ostankom se imenuje nepopolno zasebno. V našem primeru je to številka 124. In končno, zadnja komponenta, ki je ni v navadna delitev, - ostanek. V primerih, ko ni ostanka, se eno število deli z drugim brez sledu ali popolnoma. Menijo, da s takšno delitvijo ostanek enako nič. V našem primeru je ostanek 1.
Ostanek je vedno manjši od delitelja.
Deljenje lahko preverimo z množenjem. Če na primer obstaja enakost 64: 32 = 2, potem lahko preverite takole: 64 = 32 * 2.
Pogosto v primerih, ko se izvaja deljenje z ostankom, je priročno uporabiti enakost
a = b * n + r,
kjer je a dividenda, b je delitelj, n je delni količnik, r je ostanek.
Kvocient naravnih števil lahko zapišemo kot ulomek.
Števec ulomka je dividenda, imenovalec pa delitelj.
Ker je števec ulomka dividenda, imenovalec pa delitelj, verjamejo, da črta ulomka pomeni dejanje deljenja. Včasih je priročno zapisati deljenje kot ulomek brez uporabe znaka ":".
Kvocient deljenja naravnih števil m in n lahko zapišemo kot ulomek \(\frac(m)(n) \), kjer je števec m dividenda, imenovalec n pa delitelj:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Naslednja pravila veljajo:
Če želite dobiti ulomek \(\frac(m)(n)\), morate enoto razdeliti na n enakih delov (deležev) in vzeti m takih delov.
Če želite dobiti ulomek \(\frac(m)(n)\), morate število m deliti s številom n.
Če želite najti del celote, morate število, ki ustreza celoti, deliti z imenovalcem in rezultat pomnožiti s števcem ulomka, ki izraža ta del.
Če želite najti celoto iz njenega dela, morate število, ki ustreza temu delu, razdeliti s števcem in rezultat pomnožiti z imenovalcem ulomka, ki izraža ta del.
Če sta števec in imenovalec ulomka pomnožena z istim številom (razen nič), se vrednost ulomka ne spremeni:
\(\velik \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Če sta števec in imenovalec ulomka deljena z istim številom (razen z ničlo), se vrednost ulomka ne spremeni:
\(\velik \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta lastnost se imenuje glavna lastnost ulomka.
Zadnji dve transformaciji se imenujeta zmanjševanje ulomka.
Če je treba ulomke predstaviti kot ulomke z enakim imenovalcem, se to dejanje pokliče zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec .
Pravilni in nepravi ulomki. Mešane številke
Že veste, da lahko ulomek dobimo tako, da celoto razdelimo na enake dele in vzamemo več takih delov. Na primer, ulomek \(\frac(3)(4)\) pomeni tri četrtine ena. V mnogih nalogah iz prejšnjega odstavka so bili ulomki uporabljeni za predstavitev delov celote. Zdrava pamet predlaga, da mora biti del vedno manjši od celote, kaj pa potem z ulomki, kot je na primer \(\frac(5)(5)\) ali \(\frac(8)(5)\)? Jasno je, da to ni več del enote. Verjetno se zato imenujejo ulomki, katerih števec je večji ali enak imenovalcu nepravi ulomki. Preostali ulomki, torej ulomki, katerih števec manjša od imenovalca, poklical pravilni ulomki.
Kot veste, kateri koli navadni ulomek, tako pravilne kot nepravilne, je mogoče obravnavati kot rezultat deljenja števca z imenovalcem. Zato pri matematiki za razliko od navaden jezik, izraz “nepravi ulomek” ne pomeni, da smo naredili nekaj narobe, ampak le, da je števec tega ulomka večji ali enak imenovalcu.
Če je število sestavljeno iz celega dela in ulomka, potem je tako frakcije se imenujejo mešane.
Na primer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3)\) : 1 - cel del in \(\frac(2)(3)\) je delni del.
Če je števec ulomka \(\frac(a)(b)\) deljiv z naravnim številom n, potem je treba, da bi ta ulomek delili z n, njegov števec deliti s tem številom:
\(\velik \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Če števec ulomka \(\frac(a)(b)\) ni deljiv z naravnim številom n, morate za delitev tega ulomka z n njegov imenovalec pomnožiti s tem številom:
\(\velik \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Upoštevajte, da drugo pravilo velja tudi, če je števec deljiv z n. Zato ga lahko uporabimo, ko je na prvi pogled težko ugotoviti, ali je števec ulomka deljiv z n ali ne.
Dejanja z ulomki. Seštevanje ulomkov.
Z ulomki, kot z naravnimi števili, lahko storite aritmetične operacije. Najprej si poglejmo seštevanje ulomkov. Preprosto seštejte ulomke z enaki imenovalci. Poiščimo na primer vsoto \(\frac(2)(7)\) in \(\frac(3)(7)\). Lahko je razumeti, da \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti enak.
Z uporabo črk lahko pravilo za seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci zapišemo takole:
\(\velik \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Če morate dodati ulomke z različne imenovalce, potem jih je treba najprej spraviti na skupni imenovalec. Na primer:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Za ulomke, kakor za naravna števila, komutativne in asociativne lastnosti dodatek.
Dodajanje mešanih frakcij
Imenujejo se zapisi, kot je \(2\frac(2)(3)\). mešane frakcije. V tem primeru se kliče številka 2 cel del mešani ulomek in število \(\frac(2)(3)\) je njegovo delni del . Vnos \(2\frac(2)(3)\) se bere takole: »dve in dve tretjini«.
Ko število 8 delite s številom 3, lahko dobite dva odgovora: \(\frac(8)(3)\) in \(2\frac(2)(3)\). Izražata isto delno število, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Tako je nepravi ulomek \(\frac(8)(3)\) predstavljen kot mešani ulomek \(2\frac(2)(3)\). V takih primerih pravijo, da iz nepravega ulomka poudaril cel del.
Odštevanje ulomkov (ulomkov)
Odštevanje ulomkov, tako kot naravna števila, je določeno na podlagi dejanja seštevanja: odštevanje drugega od enega števila pomeni iskanje števila, ki, ko ga dodamo drugemu, da prvo. Na primer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), ker \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Pravilo za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci je podobno pravilu za seštevanje takih ulomkov:
Če želite najti razliko med ulomki z enakimi imenovalci, morate od števca prvega ulomka odšteti števec drugega in pustiti imenovalec enak.
Z uporabo črk je to pravilo zapisano takole:
\(\velik \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Množenje ulomkov
Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce ter prvi produkt zapisati kot števec, drugega pa kot imenovalec.
S črkami lahko pravilo za množenje ulomkov zapišemo takole:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
S pomočjo formuliranega pravila lahko pomnožite ulomek z naravnim številom, z mešanim ulomkom in tudi pomnožite mešane ulomke. Če želite to narediti, morate naravno število zapisati kot ulomek z imenovalcem 1, mešani ulomek - kot nepravilen ulomek.
Rezultat množenja je treba (če je mogoče) poenostaviti tako, da zmanjšamo ulomek in izločimo cel del nepravilnega ulomka.
Za ulomke, tako kot za naravna števila, veljajo komutativne in kombinativne lastnosti množenja ter razdelilna lastnost množenja glede na seštevanje.
Delitev ulomkov
Vzemimo ulomek \(\frac(2)(3)\) in ga »obrnemo« ter zamenjamo števec in imenovalec. Dobimo ulomek \(\frac(3)(2)\). Ta ulomek se imenuje vzvratno ulomki \(\frac(2)(3)\).
Če zdaj »obrnemo« ulomek \(\frac(3)(2)\), bomo dobili prvotni ulomek \(\frac(2)(3)\). Zato se ulomki, kot sta \(\frac(2)(3)\) in \(\frac(3)(2)\), imenujejo medsebojno obratno.
Na primer, ulomki \(\frac(6)(5) \) in \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) in \(\frac (18 )(7)\).
Medsebojna uporaba črk recipročni ulomki lahko zapišemo na naslednji način: \(\frac(a)(b) \) in \(\frac(b)(a) \)
Jasno je, da produkt recipročnih ulomkov je enak 1. Na primer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Z recipročnimi ulomki lahko deljenje ulomkov zmanjšate na množenje.
Pravilo za deljenje ulomka z ulomkom je:
Če želite deliti en ulomek z drugim, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.
S črkami lahko pravilo za deljenje ulomkov zapišemo takole:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Če je dividenda ali delitelj naravno število oz mešana frakcija, potem je treba, da lahko uporabimo pravilo za deljenje ulomkov, najprej predstaviti kot nepravi ulomek.
