odgovor: Hiperbolične funkcije - družina elementarne funkcije, izražen s eksponentom in tesno povezan z trigonometrične funkcije. Hiperbolične funkcije je uvedel Vincenzo Riccati leta 1757 (Opusculorum, zvezek I). Dobil jih je iz upoštevanja enotske hiperbole.
Nadaljnje raziskave lastnosti hiperboličnih funkcij je izvedel Lambert. Hiperbolične funkcije pogosto srečamo pri izračunu različnih integralov. Nekateri integrali od racionalne funkcije in iz funkcij, ki vsebujejo radikale, se precej preprosto izvajajo z uporabo sprememb spremenljivk z uporabo hiperboličnih funkcij. Odvode hiperboličnih funkcij je enostavno najti, ker so hiperbolične funkcije kombinacije. Na primer, hiperbolični sinus in kosinus sta definirana kot 
Izpeljanke teh funkcij imajo obliko 
Podane so hiperbolične funkcije naslednje formule: 1)hiperbolični sinus: 
(V tuje literature označen sinx); 2) hiperbolični kosinus: 
(v tuji literaturi je označena kot cosx); 3) hiperbolični tangens: 
(v tuji literaturi je označena kot tanx); 4) hiperbolični kotangens: 
; 5) hiperbolični sekans in kosekans: 
Geometrijska definicija: Glede na razmerje dajejo hiperbolične funkcije parametrično predstavitev hiperbole. V tem primeru je argument t = 2S, kjer je S površina krivuljega trikotnika OQR, vzeta z znakom "+", če je sektor. leži nad osjo OX, v nasprotnem primeru pa »−«. Ta definicija je podobna definiciji trigonometričnih funkcij v smislu enotski krog, ki ga je prav tako mogoče sestaviti na podoben način. Povezava s trigonometričnimi funkcijami: Hiperbolične funkcije so izražene s trigonometričnimi funkcijami imaginarnega argumenta. Analitične lastnosti: Hiperbolični sinus in hiperbolični kosinus sta vseskozi analitična kompleksna ravnina, z izjemo v bistvu posebne točke v neskončnosti.
Izpeljana tabela.
odgovor:
Tabela izpeljank (ki jih predvsem potrebujemo): 
46) Odvod funkcije – podana parametrično.
odgovor:
Naj bo podana odvisnost dveh spremenljivk x in y od parametra t, ki se spreminja v mejah od Naj ima funkcija inverz: 
Potem lahko, vzamemo sestavo funkcij 
dobimo odvisnost y od x: 
Odvisnost vrednosti y od vrednosti x, določeno parametrično, lahko izrazimo preko odvodov funkcij, saj in po formuli za odvod inverzne funkcije 
kjer je vrednost parametra, pri kateri dobimo vrednost x, ki nas zanima pri izračunu derivata. Upoštevajte, da nas uporaba formule vodi do razmerja med, ki je ponovno izraženo kot parametrično razmerje: 
drugi od teh odnosov je isti, ki je sodeloval parametrična naloga funkcije y(x). Kljub temu, da odvod ni eksplicitno izražen, nas to ne ovira pri reševanju problemov, povezanih z iskanjem odvoda, z iskanjem ustrezne vrednosti parametra t. Pokažimo naprej naslednji primer. Primer 4.22: Naj bo odvisnost med x in y podana parametrično z naslednjimi formulami: Poiščite enačbo tangente na graf odvisnosti y(x) v točki Vrednosti dobimo, če vzamemo t=1. Poiščimo odvode x in y glede na parameter t: Torej 
Pri t=1 dobimo vrednost izpeljanke, ki jo določa ta vrednost naklon k želene tangente. Koordinate 
stične točke so določene v izjavi o problemu. To pomeni, da je tangentna enačba naslednja: Upoštevajte, da lahko na podlagi dobljene parametrične odvisnosti najdemo drugi odvod funkcije y glede na spremenljivko x: 
Hiperbolične funkcije najdemo v mehaniki, elektrotehniki in drugih tehničnih disciplinah. Mnoge formule za hiperbolične funkcije so podobne formulam za trigonometrične funkcije, razen glede lastnosti omejenosti.
| № | funkcija | Ime | Izpeljanka  |
| 1. |  | hiperbolični sinus |  |
| 2. |  | hiperbolični kosinus |  |
| 3. |  | hiperbolični tangens |  |
| 4. |  | hiperbolični kotangens |  |
Formule za hiperbolične funkcije
1. 
.
Dokaz. Upoštevajmo zahtevano razliko
. .
Dokaz. Poglejmo delo
.
Poglejmo delo 
.
Dodajmo dva izdelka in dajmo podobne:
Če povežemo začetek in konec, dobimo enakost, ki jo je treba dokazati: .
Obstaja veliko drugih lastnosti hiperboličnih funkcij, podobnih lastnostim trigonometričnih funkcij, ki se dokazujejo na podoben način.
Dokažimo formule za odvode hiperboličnih funkcij.
1. Upoštevajte hiperbolični sinus 
.
Pri iskanju odvoda konstanto izvzamemo iz predznaka odvoda. Nato uporabimo lastnost odvoda razlike med dvema funkcijama in . Poiščite odvod funkcije s pomočjo tabele odvodov: 
. Odvod funkcije iščemo kot odvod kompleksna funkcija 
.
Zato je izpeljanka 
.
Če povežemo začetek in konec, dobimo enakost, ki jo je treba dokazati: 
.
2. Upoštevajte hiperbolični kosinus .
Prejšnji algoritem uporabimo v celoti, le da namesto lastnosti o odvodu razlike dveh funkcij uporabimo lastnost o odvodu vsote teh dveh funkcij. 
.
Če povežemo začetek in konec, dobimo enakost, ki jo je treba dokazati: 
.
3. Upoštevajte hiperbolično tangento .
Odvod poiščemo po pravilu za iskanje odvoda ulomka.
4. Izpeljanka hiperbolični kotangens
lahko najdemo kot odvod kompleksne funkcije 
.
Če povežemo začetek in konec, dobimo enakost, ki jo je treba dokazati: 
.
Funkcijski diferencial
Naj funkcija 
– je diferencibilna v točki, potem lahko njen prirastek te funkcije v točki, ki ustreza prirastku argumenta, predstavimo kot
kjer je določeno število, neodvisno od , in je funkcija argumenta , ki je infinitezimalen za 
.
Tako je prirast funkcije je vsota dveh infinitezimalnih členov 
in 
. Pokazalo se je, da je drugi mandat 
je neskončno majhna funkcija višjega reda kot npr. (glejte 8.1). Zato prvi izraz 
je glavni linearni del prirastka funkcije . V opombi 8.1. za prirastek funkcije je bila pridobljena druga formula (8.1.1). , in sicer: . (8.1.1)
Definicija 8.3. Diferencial funkcije v točki imenujemo glavni linearni del njenega prirastka, enako zmnožku izpeljanka 
na tej točki s poljubnim prirastkom argumenta in je označen (ali 
):
(8.4)
Funkcijski diferencial imenovan tudi diferencial prvega reda.
Diferencial neodvisne spremenljivke razumemo kot poljubno število, neodvisno od . Najpogosteje je to število vzeto kot prirastek spremenljivke, tj. 
. To je skladno s pravilom (8.4) za iskanje diferenciala funkcije
Upoštevajte funkcijo 
in poiščite njegov diferencial.
Ker izpeljanka 
. Tako smo dobili: 
in diferencialne funkcije lahko najdete s formulo
. (8.4.1)
Opomba 8.7. Iz formule (8.4.1) sledi, da. 
Tako zapis ne moremo razumeti le kot zapis za izpeljanko 
, ampak tudi kot razmerje diferencialov odvisne in neodvisne spremenljivke.
8.7. Geometrijski pomen diferencialne funkcije
Naj bo graf funkcije 
narisana je tangenta (glej sliko 8.1). Pika 
je na grafu funkcije in ima absciso - . Damo poljuben prirastek tako, da točka 
ni zapustil okvira funkcije .
Slika 8.1 Prikaz grafa funkcije
Točka ima koordinate 
. Odsek črte 
. Točka leži na tangenti na graf funkcije in ima absciso - . Od pravokotne 
iz tega sledi , kjer je kot kot med pozitivno smerjo osi in tangento, narisano na graf funkcije na točki. Z definicijo diferenciala funkcije in geometrijski pomen funkcije odvoda na točki sklepamo, da 
. torej geometrijski pomen diferencialna funkcija je, da diferencial predstavlja prirastek ordinate tangente na graf funkcije na točki.
Opomba 8.8. Diferencial in prirastek za poljubno funkcijo na splošno med seboj niso enaki.B splošni primer, je razlika med prirastkom in diferencialom funkcije infinitezimalna višjega reda manjši od prirastka argumenta. Iz definicije 8.1 sledi, da 
, tj. 
.
Na sliki 8.1 leži točka na grafu funkcije in ima koordinate 
. Odsek črte.
Na sliki 8.1 je neenakost izpolnjena 
, tj. 
. Lahko pa obstajajo primeri, ko je res nasprotna neenakost 
. To se naredi za linearna funkcija in za navzgor konveksno funkcijo.
Referenčni podatki o hiperboličnih funkcijah. Definicije, grafi in lastnosti hiperboličnega sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Formule za vsote, razlike in zmnožke. Odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi trigonometrične funkcije.
Definicije hiperboličnih funkcij, njihovih domen definicij in vrednosti
sh x - hiperbolični sinus
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - hiperbolični kosinus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x - hiperbolični tangens
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - hiperbolični kotangens
X ≠ 0 ; l< -1 или y > +1 .
Grafi hiperboličnih funkcij
Hiperbolični sinusni graf y = sh x
Urnik hiperbolični kosinus y = ch x
Urnik hiperbolični tangens y = Hvala
Graf hiperboličnega kotangensa y = cth x
Formule s hiperboličnimi funkcijami
Odnos do trigonometričnih funkcij
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i cot z
tukaj sem - imaginarna enota, i 2 = - 1
.
Z uporabo teh formul za trigonometrične funkcije dobimo formule, ki povezujejo hiperbolične funkcije.
Pariteta
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x;
cth(-x) = - cth x.
funkcija ch(x)- celo. Funkcije sh(x), Hvala), cth(x)- Čuden.
Razlika kvadratov
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Formule za vsoto in razliko argumentov
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Formule za produkte hiperboličnega sinusa in kosinusa
,
,
,
,
,
.
Formule za vsoto in razliko hiperboličnih funkcij
,
,
,
,
.
Povezava hiperboličnega sinusa in kosinusa s tangensom in kotangensom
,
,
,
.
Odvod
,
Integrali od sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Razširitve serije
sh x
ch x
Hvala
cth x
Inverzne funkcije
Areasinus
Pri - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakosinus
pri 1 ≤ x< ∞
in 0 ≤ y< ∞
veljajo naslednje formule:
,
.
Druga veja areakosinusa se nahaja na 1 ≤ x< ∞
in - ∞< y ≤ 0
:
.
Ploščinska tangenta
ob - 1
< x < 1
in - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakotangens
Pri - ∞< x < - 1
oz 1
< x < ∞
in y ≠ 0
veljajo naslednje formule:
,
.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
