Odkar ste prišli sem, ste verjetno že videli to formulo v učbeniku

in naredi tak obraz:

Prijatelj, ne skrbi! Pravzaprav je vse preprosto nezaslišano. Zagotovo boste vse razumeli. Samo ena prošnja - preberite članek počasi, poskusite razumeti vsak korak. Napisal sem čim bolj preprosto in jasno, vendar morate še vedno razumeti idejo. In obvezno rešite naloge iz članka.

Kaj je kompleksna funkcija?

Predstavljajte si, da se selite v drugo stanovanje in zato pakirate stvari v velike škatle. Recimo, da jih moramo nekaj zbrati majhne predmete, na primer šolsko pisno gradivo. Če jih samo vržete v ogromno škatlo, se med drugim izgubijo. Da bi se temu izognili, jih najprej spravite na primer v vrečko, ki jo nato spravite v veliko škatlo, nakar jo zaprete. Ta "kompleksni" postopek je predstavljen v spodnjem diagramu:

Zdi se, kaj ima matematika s tem? Da, kljub temu, da je kompleksna funkcija oblikovana na POPOLNOMA ENAKO! Le da ne »pakiramo« zvezkov in pisal, ampak \(x\), medtem ko sta »paketi« in »škatle« različni.

Na primer, vzemimo x in ga "spakirajmo" v funkcijo:

Kot rezultat dobimo seveda \(\cos⁡x\). To je naša "vreča stvari". Zdaj pa ga dajmo v "škatlo" - spakirajmo ga na primer v kubično funkcijo.

Kaj bo na koncu? Da, tako je, v škatli bo "vreča stvari", to je "kosinus X na kubik."

Nastala zasnova je kompleksna funkcija. Od preprostega se razlikuje po tem VEČ “vplivov” (paketov) se aplicira na en X v vrsti in izpade kot »funkcija iz funkcije« - »embalaža v embalaži«.

IN šolski tečaj Obstaja zelo malo vrst teh "paketov", le štiri:

Zdaj najprej »zapakirajmo« X v eksponentna funkcija z osnovo 7 in nato v trigonometrično funkcijo. Dobimo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Zdaj dvakrat "zapakirajmo" X trigonometrične funkcije, najprej v , nato pa v:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Preprosto, kajne?

Zdaj sami zapišite funkcije, kjer je x:
- najprej se "zapakira" v kosinus, nato pa v eksponentno funkcijo z osnovo \(3\);
- najprej na peto potenco, nato pa na tangento;
- najprej na logaritem na osnovo \(4\) , nato na potenco \(-2\).

Odgovore na to nalogo poiščite na koncu članka.

Ali lahko X "spakiramo" ne dvakrat, ampak trikrat? Brez problema! In štiri, pet in petindvajsetkrat. Tukaj je na primer funkcija, v kateri je x "zapakiran" \(4\)-krat:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Toda takšne formule šolska praksa se ne bodo srečali (študenti imajo več sreče - zanje je lahko težje☺).

"Razpakiranje" kompleksne funkcije

Ponovno si oglejte prejšnjo funkcijo. Ali lahko ugotovite zaporedje "pakiranja"? V kaj je bil najprej stlačen X, v kaj potem in tako naprej do samega konca. Se pravi, katera funkcija je ugnezdena znotraj katere? Vzemite kos papirja in zapišite, kaj mislite. To lahko storite z verigo s puščicami, kot smo zapisali zgoraj ali na kateri koli drug način.

Zdaj je pravilen odgovor: najprej je bil x "zapakiran" na \(4\) potenco, nato je bil rezultat zapakiran v sinus, ta pa je bil postavljen v logaritem z osnovo \(2\) , na koncu pa je bila vsa ta konstrukcija stlačena v močne petice.

To pomeni, da morate zaporedje odviti V OBRATNEM VRSTNEM REDU. In tukaj je namig, kako to narediti lažje: takoj poglejte X - od njega bi morali zaplesati. Poglejmo si nekaj primerov.

Tukaj je na primer naslednja funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pogledamo X - kaj se najprej zgodi z njim? Vzeto od njega. In potem? Vzame se tangens rezultata. Zaporedje bo enako:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drug primer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizirajmo - najprej smo kubirali X, nato pa vzeli kosinus rezultata. To pomeni, da bo zaporedje: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Bodite pozorni, zdi se, da je funkcija podobna prvi (kjer ima slike). Toda to je popolnoma drugačna funkcija: tukaj v kocki je x (to je \(\cos⁡((x·x·x)))\), tam v kocki pa je kosinus \(x\) ( to je \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ta razlika izhaja iz različnih zaporedij "pakiranja".

Zadnji primer (z pomembna informacija v njem): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je, kaj so naredili tukaj najprej aritmetične operacije z x, nato vzel sinus rezultata: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). In to pomembna točka: kljub temu, da aritmetične operacije niso funkcije same po sebi, tukaj delujejo tudi kot način “pakiranja”. Poglobimo se nekoliko globlje v to subtilnost.

Kot sem rekel zgoraj, je v preprostih funkcijah x "zapakiran" enkrat, v kompleksnih funkcijah pa dva ali več. Poleg tega je tudi vsaka kombinacija preprostih funkcij (to je njihova vsota, razlika, množenje ali deljenje). preprosta funkcija. Na primer, \(x^7\) je preprosta funkcija in prav tako \(ctg x\). To pomeni, da so vse njihove kombinacije preproste funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - preprosto,
\(x^7· cot x\) – preprosto,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – preprosto itd.

Če pa k takšni kombinaciji dodamo še eno funkcijo, bo postala kompleksna funkcija, saj bosta obstajala dva »paketa«. Glej diagram:

V redu, kar naprej. Zapišite zaporedje funkcij »ovijanja«:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori so spet na koncu članka.

Notranje in zunanje funkcije

Zakaj moramo razumeti gnezdenje funkcij? Kaj nam to daje? Dejstvo je, da brez takšne analize ne bomo mogli zanesljivo najti derivatov zgoraj obravnavanih funkcij.

In da bi šli naprej, bomo potrebovali še dva pojma: notranje in zunanje funkcije. To je zelo preprosta stvar, poleg tega smo jih pravzaprav že analizirali zgoraj: če se spomnimo naše analogije na samem začetku, potem notranja funkcija- to je "paket", zunanji pa je "škatla". Tisti. tisto, v kar je X najprej »zavito«, je notranja funkcija, tisto, v kar je »zavita« notranja funkcija, pa je že zunanje. No, jasno je zakaj - ona je zunaj, to pomeni zunanja.

V tem primeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), je funkcija \(\log_2⁡x\) interna in
- zunanji.

In v tem: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je notranji in
- zunanji.

Dokončajte zadnjo prakso analize kompleksnih funkcij in končno preidimo na tisto, za kar smo vsi začeli - našli bomo izpeljanke kompleksnih funkcij:

Izpolnite prazna mesta v tabeli:

Odvod kompleksne funkcije

Bravo za nas, končno smo prišli do "šefa" te teme - pravzaprav izpeljanke kompleksna funkcija, in še posebej na tisto zelo grozno formulo z začetka članka.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formula se glasi takole:

Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo in odvoda notranje funkcije.

In takoj poglejte diagram razčlenjevanja glede na besede, da boste razumeli, kaj storiti s čim:

Upam, da izraza "derivat" in "izdelek" ne bosta povzročala težav. "Kompleksna funkcija" - to smo že razvrstili. Ulov je v "izpeljanki zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo." Kaj je to?

Odgovor: To je običajna izpeljanka zunanje funkcije, pri kateri se spremeni samo zunanja funkcija, notranja pa ostane enaka. Še vedno ni jasno? V redu, uporabimo primer.

Naj imamo funkcijo \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je, da je notranja funkcija tukaj \(x^3\), zunanja pa
. Poiščimo zdaj izpeljanko zunanjosti glede na stalno notranjost.

Kompleksni derivati. Logaritemski odvod.
Odvod potenčne eksponentne funkcije

Še naprej izboljšujemo našo tehniko razlikovanja. V tej lekciji bomo utrdili preteklo snov, si ogledali bolj zapletene odvode, seznanili pa se bomo tudi z novimi tehnikami in triki za iskanje odvoda, predvsem z logaritemskim odvodom.

Tistim bralcem, ki imajo nizka stopnja pripravo, se morate obrniti na članek Kako najti izpeljanko? Primeri rešitev, ki vam bo omogočil, da dvignete svoje sposobnosti skoraj iz nič. Nato morate skrbno preučiti stran Odvod kompleksne funkcije, razumeti in rešiti Vse primere, ki sem jih dal. Ta lekcija logično tretji, in ko ga obvladate, boste samozavestno razlikovali dokaj zapletene funkcije. Nezaželeno je zavzeti položaj »Kje drugje? Da, dovolj je!«, saj so vsi primeri in rešitve vzeti iz realnega testi in jih pogosto srečamo v praksi.

Začnimo s ponavljanjem. Pri lekciji Odvod kompleksne funkcije Ogledali smo si številne primere s podrobnimi komentarji. Med študijem diferencialnega računa in drugih oddelkov matematična analiza– zelo pogosto boste morali razlikovati in ni vedno priročno (in ni vedno potrebno) zelo podrobno opisovati primere. Zato bomo ustno vadili iskanje izpeljank. Najprimernejši »kandidati« za to so izpeljanke najpreprostejših kompleksnih funkcij, na primer:

Po pravilu diferenciacije kompleksnih funkcij :

Ko bomo v prihodnosti preučevali druge matan teme, to podroben vnos najpogosteje se ne zahteva, predpostavlja se, da študent zna poiskati takšne izpeljanke na avtopilotu. Predstavljajmo si, da je bil ob 3. uri zjutraj a telefonski klic, In prijeten glas vprašal: "Kaj je odvod tangente dveh X-jev?" Temu bi moral slediti skoraj takojšen in vljuden odgovor: .

Prvi primer bo takoj namenjen neodvisna odločitev.

Primer 1

Ustno poišči naslednje izpeljanke v enem dejanju, na primer: . Za dokončanje naloge morate le uporabiti tabela odvodov elementarnih funkcij(če se še niste spomnili). Če imate kakršne koli težave, priporočam, da lekcijo ponovno preberete Odvod kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na koncu lekcije

Kompleksni derivati

Po predhodni artilerijski pripravi bodo primeri s 3-4-5 gnezditvami funkcij manj strašljivi. Morda se bosta naslednja dva primera komu zdela zapletena, a če ju razumete (nekdo bo trpel), potem skoraj vse ostalo v diferencialni račun Zdelo se bo kot otroška šala.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Kot smo že omenili, je pri iskanju derivata kompleksne funkcije najprej potrebno Prav RAZUMITE svoje naložbe. V primerih, ko obstajajo dvomi, vas opozarjam uporaben trik: vzamemo na primer eksperimentalni pomen "x" in poskušamo (miselno ali v osnutku) ta pomen nadomestiti z "groznim izrazom".

1) Najprej moramo izračunati izraz, kar pomeni, da je vsota najgloblja vpetost.

2) Nato morate izračunati logaritem:

4) Nato kubiramo kosinus:

5) V petem koraku razlika:

6) In končno, najbolj oddaljena funkcija je kvadratni koren:

Formula za razlikovanje kompleksne funkcije bo uporabljen v obratni vrstni red, od najbolj zunanje funkcije do najbolj notranje. Odločamo se:

Zdi se, da ni napak ...

(1) Izvlecite kvadratni koren.

(2) Odvod razlike vzamemo s pravilom

(3) Odvod trojke je nič. Pri drugem členu vzamemo odvod stopnje (kub).

(4) Vzemite odvod kosinusa.

(5) Vzemite odvod logaritma.

(6) In končno, vzamemo izpeljanko najgloblje vpetosti.

Morda se zdi pretežko, vendar to ni najbolj brutalen primer. Vzemite na primer zbirko Kuznecova in cenili boste vso lepoto in preprostost analizirane izpeljanke. Opazil sem, da podobno stvar radi dajo na izpitu, da preverijo, ali študent razume, kako najti odvod kompleksne funkcije, ali ne razume.

Naslednji primer lahko rešite sami.

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Namig: Najprej uporabimo pravila linearnosti in pravilo diferenciacije produkta

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Čas je, da se premaknete na nekaj manjšega in lepšega.
Ni neobičajno, da primer prikazuje produkt ne dveh, ampak tri funkcije. Kako najti izpeljanko izdelki treh multiplikatorji?

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

Najprej pogledamo, ali je mogoče produkt treh funkcij spremeniti v produkt dveh funkcij? Na primer, če bi imeli v produktu dva polinoma, bi lahko odprli oklepaje. Toda v obravnavanem primeru so vse funkcije drugačne: stopnja, eksponent in logaritem.

V takih primerih je potrebno zaporedno uporabite pravilo razlikovanja izdelkov dvakrat

Trik je v tem, da z "y" označimo produkt dveh funkcij: , z "ve" pa logaritem: . Zakaj je to mogoče storiti? Ali je res – to ni produkt dveh dejavnikov in pravilo ne deluje?! Nič ni zapleteno:

Zdaj je treba pravilo uporabiti drugič v oklepaj:

Še vedno si lahko sprevržen in nekaj vzameš iz oklepaja, ampak noter v tem primeru Bolje je, da pustite odgovor v tej obliki - lažje ga boste preverili.

Obravnavani primer je mogoče rešiti na drugi način:

Obe rešitvi sta popolnoma enakovredni.

Primer 5

Poiščite odvod funkcije

To je primer samostojne rešitve, v vzorcu je rešen po prvi metodi.

Razmislimo podobni primeri z ulomki.

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tu lahko greste na več načinov:

ali takole:

Toda rešitev bo zapisana bolj strnjeno, če najprej uporabimo pravilo diferenciacije količnika , za celoten števec:

Načeloma je primer rešen in če ostane tako kot je, ne bo napaka. Toda če imate čas, je vedno priporočljivo preveriti osnutek, da vidite, ali je odgovor mogoče poenostaviti? Zmanjšajmo izraz števnika na skupni imenovalec in znebimo se trinadstropne frakcije:

minus dodatne poenostavitve je, da obstaja nevarnost napake ne pri iskanju izpeljanke, temveč med banalnimi preobrazbami šole. Po drugi strani pa učitelji nalogo pogosto zavrnejo in prosijo, naj si »spomnijo« izpeljanko.

Enostavnejši primer, ki ga lahko rešite sami:

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

Še naprej obvladujemo metode iskanja derivata, zdaj pa bomo obravnavali tipičen primer, ko je za diferenciacijo predlagan "grozen" logaritem

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko greš daleč z uporabo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije:

Toda že prvi korak te takoj pahne v malodušje - vzeti moraš neprijetno izpeljanko delna moč, nato pa tudi iz ulomka.

Zato prej kako vzeti izpeljanko "sofisticiranega" logaritma, je najprej poenostavljeno z uporabo znanih šolskih lastnosti:

! Če imate pri roki zvezek za vadbo, te formule kopirajte neposredno tja. Če nimate zvezka, jih prepišite na list papirja, saj se bodo preostali primeri lekcije vrteli okoli teh formul.

Samo rešitev lahko zapišemo nekako takole:

Preoblikujemo funkcijo:

Iskanje izpeljanke:

Predhodna pretvorba same funkcije je močno poenostavila rešitev. Kadar je torej za diferenciacijo predlagan podoben logaritem, je vedno priporočljivo, da ga "razčlenimo".

In zdaj nekaj preprostih primerov, ki jih lahko rešite sami:

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Vse transformacije in odgovori so na koncu lekcije.

Logaritemski odvod

Če je izpeljanka logaritmov tako sladka glasba, se postavlja vprašanje: ali je v nekaterih primerih mogoče umetno organizirati logaritem? Lahko! In celo potrebno.

Primer 11

Poiščite odvod funkcije

Nedavno smo si ogledali podobne primere. Kaj storiti? Zaporedoma lahko uporabite pravilo diferenciacije količnika in nato pravilo diferenciacije produkta. Pomanjkljivost te metode je, da na koncu dobite ogromen trinadstropni del, s katerim se sploh ne želite ukvarjati.

Toda v teoriji in praksi obstaja tako čudovita stvar, kot je logaritemski derivat. Logaritme je mogoče organizirati umetno tako, da jih "obesite" na obeh straneh:

Zdaj morate čim bolj "razstaviti" logaritem desne strani (formule pred vašimi očmi?). Ta postopek bom opisal zelo podrobno:

Začnimo z razlikovanjem.
Oba dela sklenemo pod praštevilo:

Izpeljanka desne strani je dokaj enostavna, ne bom je komentiral, ker če berete to besedilo, bi jo zagotovo znali obvladati.

Kaj pa leva stran?

Na levi strani imamo kompleksna funkcija. Predvidevam vprašanje: "Zakaj, ali je pod logaritmom ena črka "Y"?"

Dejstvo je, da ta "igra z eno črko" - JE SAMO FUNKCIJA(če ni zelo jasno, glejte članek Izpeljava implicitno navedene funkcije). Zato je logaritem zunanja funkcija, "y" pa notranja funkcija. In uporabljamo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije :

Na levi strani, kot po čarovniji magična palica imamo izpeljanko. Nato v skladu s pravilom sorazmerja prenesemo "y" iz imenovalca leve strani na vrh desne strani:

In zdaj se spomnimo, o kakšni "player" funkciji smo govorili med diferenciacijo? Poglejmo stanje:

Končni odgovor:

Primer 12

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Primer oblikovanja te vrste na koncu lekcije.

Z uporabo logaritemskega odvoda je bilo mogoče rešiti kateri koli od primerov št. 4-7, druga stvar je, da so tam funkcije enostavnejše in morda uporaba logaritemskega odvoda ni zelo upravičena.

Odvod potenčne eksponentne funkcije

Te funkcije še nismo upoštevali. Potenčno eksponentna funkcija je funkcija, za katero stopnja in osnova sta odvisni od "x". Klasičen primer, ki vam bo na voljo v katerem koli učbeniku ali na katerem koli predavanju:

Kako najti odvod potenčne eksponentne funkcije?

Uporabiti je treba pravkar obravnavano tehniko - logaritemski derivat. Na obeh straneh obesimo logaritme:

Praviloma je na desni strani stopinja vzeta izpod logaritma:

Posledično imamo na desni strani produkt dveh funkcij, ki ju bomo razlikovali po standardna formula .

Najdemo izpeljanko, oba dela priložimo pod črte:

Nadaljnja dejanja so preprosta:

Končno:

Če katera koli pretvorba ni povsem jasna, ponovno natančno preberite razlago primera št. 11.

IN praktične naloge Potenčno eksponentna funkcija bo vedno kompleksnejša od primera, obravnavanega v predavanju.

Primer 13

Poiščite odvod funkcije

Uporabljamo logaritemski odvod.

Na desni strani imamo konstanto in produkt dveh faktorjev - "x" in "logaritem logaritma x" (še en logaritem je ugnezden pod logaritem). Pri razlikovanju, kot se spomnimo, je bolje konstanto takoj premakniti iz izpeljanega znaka, da ne bo v napoto; in seveda uporabimo znano pravilo :

Kot lahko vidite, algoritem za uporabo logaritemskega odvoda ne vsebuje posebnih trikov ali trikov in iskanje odvoda potenčne eksponentne funkcije običajno ni povezano z "mučenjem".

V tem članku bomo govorili o tako pomembnem matematičnem konceptu, kot je kompleksna funkcija, in se naučili, kako najti odvod kompleksne funkcije.

Preden se naučimo najti izpeljanko kompleksne funkcije, poglejmo koncept kompleksne funkcije, kaj je, "s čim se jedo" in "kako jo pravilno kuhati."

Razmislite o poljubni funkciji, na primer tej:

Upoštevajte, da je argument na desni in levi strani enačbe funkcije isto število ali izraz.

Namesto spremenljivke lahko postavimo na primer naslednji izraz: . In potem dobimo funkcijo

Imenujmo izraz vmesni argument, funkcijo pa zunanjo funkcijo. Ni strogo matematičnih pojmov, vendar pomagajo razumeti pomen koncepta kompleksne funkcije.

Stroga definicija koncepta kompleksne funkcije zveni takole:

Naj bo funkcija definirana na množici in naj bo množica vrednosti te funkcije. Naj bo množica (ali njena podmnožica) domena definicije funkcije. Vsakemu od njih določimo številko. Tako bo funkcija definirana na nizu. Imenuje se funkcijska sestava ali kompleksna funkcija.

V tej definiciji, če uporabimo našo terminologijo, je zunanja funkcija vmesni argument.

Odvod kompleksne funkcije najdemo po naslednjem pravilu:

Da bo bolj jasno, želim to pravilo zapisati takole:

V tem izrazu uporaba označuje vmesno funkcijo.

torej. Če želite najti odvod kompleksne funkcije, potrebujete

1. Ugotovi, katera funkcija je zunanja in iz tabele odvodov poišči ustrezen odvod.

2. Določite vmesni argument.

Pri tem postopku je največja težava iskanje zunanje funkcije. Za to se uporablja preprost algoritem:

A. Zapišite enačbo funkcije.

b. Predstavljajte si, da morate izračunati vrednost funkcije za neko vrednost x. To naredite tako, da to vrednost x nadomestite v funkcijsko enačbo in izvedete aritmetiko. Zadnje dejanje, ki ga naredite, je zunanja funkcija.

Na primer v funkciji

Zadnje dejanje je potenciranje.

Poiščimo odvod te funkcije. Da bi to naredili, napišemo vmesni argument

Funkcije kompleksen tip ne ustrezajo vedno definiciji kompleksne funkcije. Če obstaja funkcija v obliki y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, potem je ni mogoče šteti za kompleksno, za razliko od y = sin 2 x.

Ta članek bo prikazal koncept kompleksne funkcije in njeno identifikacijo. Delajmo s formulami za iskanje odvoda s primeri rešitev v zaključku. Uporaba tabele odvodov in diferenciacijskih pravil bistveno skrajša čas iskanja odvoda.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne definicije

Kompleksna funkcija je tista, katere argument je tudi funkcija.

Označeno je tako: f (g (x)). Imamo, da se funkcija g (x) šteje za argument f (g (x)).

Definicija 2

Če obstaja funkcija f in je kotangensna funkcija, potem je g(x) = ln x funkcija naravni logaritem. Ugotovimo, da bo kompleksna funkcija f (g (x)) zapisana kot arctg(lnx). Ali funkcija f, ki je funkcija, dvignjena na 4. potenco, kjer g (x) = x 2 + 2 x - 3 velja za celo število racionalna funkcija, ugotovimo, da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očitno je g(x) lahko kompleksen. Iz primera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 je jasno, da je vrednost g kockasti koren z ulomkom. Ta izraz dovoljeno označiti kot y = f (f 1 (f 2 (x))) . Od koder imamo, da je f sinusna funkcija in f 1 funkcija, ki se nahaja pod kvadratni koren, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - delna racionalna funkcija.

Definicija 3

Stopnja gnezdenja je določena s katero koli naravno število in je zapisan kot y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definicija 4

Koncept sestave funkcij se nanaša na število ugnezdenih funkcij glede na pogoje problema. Za rešitev uporabite formulo za iskanje odvoda kompleksne funkcije oblike

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Primeri

Poiščite odvod kompleksne funkcije oblike y = (2 x + 1) 2.

rešitev

Pogoj kaže, da je f funkcija kvadriranja, g(x) = 2 x + 1 pa velja za linearno funkcijo.

Uporabimo izpeljano formulo za kompleksno funkcijo in zapišimo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Poiskati je treba odvod s poenostavljeno izvirno obliko funkcije. Dobimo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Od tu imamo to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati so bili enaki.

Pri reševanju tovrstnih problemov je pomembno razumeti, kje se bo nahajala funkcija oblike f in g (x).

Primer 2

Poiskati bi morali odvode kompleksnih funkcij oblike y = sin 2 x in y = sin x 2.

rešitev

Prvi zapis funkcije pravi, da je f funkcija kvadriranja in g(x) funkcija sinusa. Potem to razumemo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi vnos kaže, da je f sinusna funkcija, g(x) = x 2 pa je označeno funkcija moči. Iz tega sledi, da produkt kompleksne funkcije zapišemo kot

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za izpeljanko y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) bo zapisana kot y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))) · f 1 " (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (. . . (f n (x) ))) )) · . . . fn "(x)

Primer 3

Poiščite odvod funkcije y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

rešitev

Ta primer prikazuje težave pri pisanju in določanju lokacije funkcij. Potem je y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kjer je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) funkcija sinusa, funkcija dviga do 3 stopnje, funkcija z logaritmom in osnovo e, arktangens in linearna funkcija.

Iz formule za definiranje kompleksne funkcije imamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dobimo, kar moramo najti

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kot odvod sinusa po tabeli odvodov, nato f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kot odvod potenčne funkcije, potem f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kot logaritemski odvod, potem f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kot odvod arktangensa, potem je f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Pri iskanju odvoda f 4 (x) = 2 x odstranite 2 iz znaka odvoda z uporabo formule za odvod potenčne funkcije z eksponentom, ki je enak 1, nato pa f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Izvedemo združitev vmesni rezultati in to dobimo

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takšnih funkcij spominja na lutke. Pravil diferenciacije ni mogoče vedno eksplicitno uporabiti z uporabo izpeljane tabele. Pogosto morate uporabiti formulo za iskanje derivatov kompleksnih funkcij.

Obstaja nekaj razlik med kompleksnim videzom in kompleksnimi funkcijami. Z jasno sposobnostjo razlikovanja tega bo iskanje derivatov še posebej enostavno.

Primer 4

Upoštevati je treba kasting podoben primer. Če obstaja funkcija oblike y = t g 2 x + 3 t g x + 1, jo lahko obravnavamo kot kompleksno funkcijo oblike g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Očitno je treba uporabiti formulo za kompleksen derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblike y = t g x 2 + 3 t g x + 1 se ne šteje za kompleksno, saj ima vsoto t g x 2, 3 t g x in 1. Vendar t g x 2 velja za kompleksno funkcijo, potem dobimo potenčno funkcijo v obliki g (x) = x 2 in f, ki je tangentna funkcija. Če želite to narediti, ločite po količini. To razumemo

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Pojdimo k iskanju odvoda kompleksne funkcije (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dobimo, da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije kompleksnega tipa lahko vključimo v kompleksne funkcije, same kompleksne funkcije pa so lahko komponente funkcij kompleksnega tipa.

Primer 5

Na primer, razmislite o kompleksni funkciji oblike y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

To funkcijo lahko predstavimo kot y = f (g (x)), kjer je vrednost f funkcija logaritma z osnovo 3, g (x) pa velja za vsoto dveh funkcij v obliki h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 in k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Očitno je y = f (h (x) + k (x)).

Razmislite o funkciji h(x). To je razmerje l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 proti m (x) = e x 2 + 3 3

Imamo, da je l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) vsota dveh funkcij n (x) = x 2 + 7 in p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , kjer je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je kompleksna funkcija z numerični koeficient 3 in p 1 - s funkcijo kocke, p 2 s kosinusno funkcijo, p 3 (x) = 2 x + 1 - z linearno funkcijo.

Ugotovili smo, da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) vsota dveh funkcij q (x) = e x 2 in r (x) = 3 3, kjer je q (x) = q 1 (q 2 (x)) je kompleksna funkcija, q 1 je funkcija z eksponento, q 2 (x) = x 2 je potenčna funkcija.

To kaže, da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prehodu na izraz v obliki k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) je jasno, da je funkcija predstavljena v obliki kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) z racionalnim celim številom t (x) = x 2 + 1, kjer je s 1 kvadriranje funkcije in s 2 (x) = ln x logaritemsko z osnova e.

Iz tega sledi, da bo izraz v obliki k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Potem to razumemo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na podlagi struktur funkcije je postalo jasno, kako in katere formule je treba uporabiti za poenostavitev izraza pri njegovem razlikovanju. Za informacijo podobne naloge in in za koncept njihovega reševanja se je treba obrniti do točke razlikovanja funkcije, to je iskanja njenega odvoda.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Podan je dokaz formule za odvod kompleksne funkcije. Podrobno so obravnavani primeri, ko je kompleksna funkcija odvisna od ene ali dveh spremenljivk. Za primer je narejena posplošitev poljubno število spremenljivke.

Tukaj predstavljamo zaključek naslednje formule za odvod kompleksne funkcije.
Če, potem
.
Če, potem
.
Če, potem
.

Odvod kompleksne funkcije iz ene spremenljivke

Naj bo funkcija spremenljivke x predstavljena kot kompleksna funkcija v naslednji obliki:
,
kjer so nekatere funkcije. Funkcija je diferenciabilna za neko vrednost spremenljivke x. Funkcija je diferenciabilna pri vrednosti spremenljivke.
Potem je kompleksna (sestavljena) funkcija diferenciabilna v točki x in je njen odvod določen s formulo:
(1) .

Formulo (1) lahko zapišemo tudi takole:
;
.

Dokaz

Vstavimo naslednji zapis.
;
.
Tukaj je funkcija spremenljivk in , obstaja funkcija spremenljivk in . Vendar bomo izpustili argumente teh funkcij, da ne bomo zapletli izračunov.

Ker sta funkciji in diferenciabilni v točkah x oziroma , potem na teh točkah obstajajo derivati ​​teh funkcij, ki so naslednje meje:
;
.

Razmislite o naslednji funkciji:
.
Za fiksno vrednost spremenljivke u je funkcija . To je očitno
.
Potem
.

Ker je funkcija v točki diferenciabilna funkcija, je v tej točki zvezna. Zato
.
Potem
.

Zdaj najdemo izpeljanko.

.

Formula je dokazana.

Posledica

Če lahko funkcijo spremenljivke x predstavimo kot kompleksno funkcijo kompleksne funkcije
,
potem je njegov derivat določen s formulo
.
Tukaj je nekaj diferencialnih funkcij.

Da bi dokazali to formulo, zaporedno izračunamo odvod z uporabo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije.
Razmislite o kompleksni funkciji
.
Njegova izpeljanka
.
Razmislite o izvirni funkciji
.
Njegova izpeljanka
.

Odvod kompleksne funkcije iz dveh spremenljivk

Zdaj naj bo kompleksna funkcija odvisna od več spremenljivk. Najprej poglejmo primeru kompleksne funkcije dveh spremenljivk.

Naj bo funkcija, ki je odvisna od spremenljivke x, predstavljena kot kompleksna funkcija dveh spremenljivk v naslednji obliki:
,
Kje
in obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x;
- funkcija dveh spremenljivk, diferenciabilna v točki , . Takrat je kompleksna funkcija definirana v določeni okolici točke in ima odvod, ki je določen s formulo:
(2) .

Dokaz

Ker sta funkciji in diferenciabilni v točki, sta definirani v neki okolici te točke, sta v točki zvezni in v točki obstajata njuna odvoda, ki sta naslednji meji:
;
.
Tukaj
;
.
Zaradi kontinuitete teh funkcij na točki imamo:
;
.

Ker je funkcija v točki diferenciabilna, je definirana v neki okolici te točke, je v tej točki zvezna in njen prirastek lahko zapišemo v naslednji obliki:
(3) .
Tukaj

- povečanje funkcije, ko se njeni argumenti povečajo za vrednosti in ;
;

- delni odvodi funkcije glede na spremenljivke in .
Za fiksne vrednosti in sta funkciji spremenljivk in . Težijo k ničli pri in:
;
.
Od in , potem
;
.

Povečanje funkcije:

. :
.
Zamenjajmo (3):



.

Formula je dokazana.

Odvod kompleksne funkcije iz več spremenljivk

Zgornji sklep zlahka posplošimo na primer, ko je število spremenljivk kompleksne funkcije večje od dveh.

Na primer, če je f funkcija treh spremenljivk, To
,
Kje
, in obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x;
- diferenciabilna funkcija treh spremenljivk v točki , , .
Potem imamo iz definicije diferenciabilnosti funkcije:
(4)
.
Ker zaradi kontinuitete,
; ; ,
to
;
;
.

Če delimo (4) z in preidemo na mejo, dobimo:
.

In končno, razmislimo večina splošni primer .
Naj bo funkcija spremenljivke x predstavljena kot kompleksna funkcija n spremenljivk v naslednji obliki:
,
Kje
obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x;
- diferenciabilna funkcija n spremenljivk v točki
, , ... , .
Potem
.