Tema lekcije: Funkcija y=a in njene lastnosti.
Vrsta lekcije: Učenje nove snovi.
Cilji lekcije:
Cilji lekcije:
Oblika:
sposobnost uporabe lastnosti kvadratna funkcija;
sposobnost grafov funkcij;
sposobnost oblikovanja lastnosti kvadratne funkcije;
sposobnost izražanja lastnega mnenja in sklepanja;
Razviti: razmišljanje, spomin, sposobnost izvajanja samostojna dejavnost pri lekciji.
Učne metode
po viru znanja: pogovor, vaje;
narava kognitivna dejavnost: iskalno, razlagalno in ilustrativno, reproduktivno.
Oblike usposabljanja: čelni.
Koraki lekcije:
Organiziranje časa(1 min).
Nadgradnja osnovno znanje in metode delovanja (5 min).
Učenje nove snovi (15 min).
Začetni nanos novega materiala (20 min).
Priprava domače naloge (1 min).
Povzetek lekcije (3 min).
| Dejavnosti učitelja | Študentska dejavnost |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Organiziranje časa |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Pozdravljeni fantje, usedite se. | Učenci se usedejo in poslušajo učitelja. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Posodabljanje osnovnih znanj in načinov delovanja |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Torej, začnimo. Odprite zvezke, zapišite številko, Delo v razredu. Danes se bomo učili nov material. Preden preidete na novo temo, odgovorite na nekaj vprašanj. Učitelj učencem postavlja vprašanja - Kaj je funkcija? Kako se imenuje graf funkcije? Katere vrste funkcij poznate? Kako se imenuje linearna funkcija? Kaj je kvadratna funkcija? S katero vrsto kvadratne funkcije ste že delali? Kako je nastala ta funkcija in kako se imenuje? Danes se boste seznanili z novo vrsto kvadratne funkcije. Zato zapišemo nova tema: “Funkcija in njene lastnosti.” | Zapišite si številko v zvezek, odlično delo. Odgovorite na vprašanja učiteljev - Funkcija – odvisnost enega spremenljiva velikost od drugega. Graf funkcije je množica vseh točk koordinatna ravnina, katerih abscise so enake vrednosti neodvisne spremenljivke, ordinate pa enake ustreznim vrednostim funkcije. Z linearno in kvadratno. Linearna funkcija imenovana funkcija oblike. - Kvadratna funkcija je funkcija, kjer so dane realna števila, je realna spremenljivka. Ta funkcija se imenuje parabola. Ker ima kvadratna funkcija obliko , dobimo parabolo s koeficienti Zapišite novo temo v zvezek |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Učenje nove snovi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ko je a=1, ima formula obliko . Rekli smo že, da je graf te funkcije parabola. Zato zgradimo graf funkcije. Zapišimo nalogo št. 1: Zgradite graf funkcije. Pokličimo nekoga k odboru.
Kot za vsako drugo funkcijo ustvarimo tabelo vrednosti. Kakšen urnik smo dobili? Naslednja naloga: Graf funkcije Bo šel na tablo ... Učitelj pokliče učenca k tabli Rešujemo tudi po analogiji s prejšnjim primerom. Zdaj pa zgradimo graf s pomočjo teh točk. Povežimo točke z gladko krivuljo. Če primerjamo grafe funkcij Kaj mislite, kakšni bodo urniki? Kam bodo potem usmerjene veje parabole grafa? Kaj lahko po vseh rešenih primerih sklepamo o funkciji? Zdaj pa se pogovorimo o lastnostih funkcije. Grafi funkcij so napisani na tabli, učitelj pa jih uporabi za razlago lastnosti. 1) Če je a0, potem funkcija vzame pozitivne vrednosti ob ; če a sprejme negativne vrednosti ob ; vrednost funkcije je 0 le, če je x=0. 2) Parabola je simetrična glede na koordinatno os. 3) Če je a0, potem funkcija narašča pri in pada pri , če a pada pri in narašča pri . | Učitelji poslušajo
Naloga št. 1: Izdelajte graf funkcije. Odločijo se skupaj z učiteljem.
Imamo parabolo. Prvo nalogo zapiši v zvezek Naloga št. 2: Graf funkcije Odločijo se skupaj z učiteljem. K tabli pride eden od učencev Ti bodo simetrični, saj bo imel graf nasprotne vrednosti grafa. Veje parabole bodo usmerjene navzdol. Tudi graf funkcije je parabola. Pri a0 so veje usmerjene navzgor, pri a Učitelji poslušajo |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Začetna uporaba novega materiala |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Zdaj pa poskusimo pridobljeno znanje uporabiti v praksi. Odpremo učbenike na strani 161 in zapišemo števila v zvezke. Učitelj pokliče učence pred tablo, da rešijo naloge Ustno analizirajmo št. 596. Določite smer vej parabole: V zvezek št. 597 (1,3) pišemo: Konstruirajte grafe funkcij na eni koordinatni ravnini Učitelj pokliče učenca k tabli | Odprite učbenike in zapišite število v zvezek Učenci ob tabli rešujejo naloge Verbalno izgovori rešitev problema 1) - navzgor, ker a0 2) - navzgor, ker a0 3) - navzdol, ker a 4) -dol, ker a K tabli pride eden od učencev |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Postavljanje domače naloge |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Učitelj poroča Domača naloga. Naša lekcija se je končala. Zapišite domačo nalogo. Učitelj napiše domačo nalogo na tablo. P 37 str. №595(2): Na milimetrski papir nariši graf funkcije. S pomočjo grafa približno poiščite vrednosti x, če je y=9; 6; 2; 8; 1.3. №597 (2,4): Zgradite grafe funkcij na eni koordinatni ravnini S pomočjo grafov ugotovi, katera od teh funkcij narašča na intervalu. | Zapiši domačo nalogo. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Povzetek lekcije |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Kaj smo se naučili pri pouku? Vam je bilo vse jasno? To zaključuje našo lekcijo. Učenci, ki ste prišli pred tablo, pridite k meni s svojimi dnevniki. Adijo! | Učenci odgovarjajo na vprašanja: Študirali smo nova vrsta kvadratna funkcija in njene lastnosti. Poslovite se od učitelja. Prihajajo z dnevniki. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, potem bomo opazili, da je za isti x vrednost funkcije 2-kratna 
, potem bomo opazili, da lahko vsako točko na grafu dobimo iz točke na grafu funkcije z isto absciso, če njeno ordinato zmanjšamo za 2-krat. Posledično dobimo graf funkcije tako, da graf funkcije stisnemo na os Ox vzdolž osi Oy za 2-krat.
?Razmislite o izrazu v obliki ax 2 + bx + c, kjer so a, b, c realna števila, a je različno od nič. to matematični izraz znan kot kvadratni trinom.
Spomnimo se, da je ah 2 najvišji izraz tega kvadratni trinom, a je njegov vodilni koeficient.
Toda kvadratni trinom nima vedno vseh treh členov. Vzemimo za primer izraz 3x 2 + 2x, kjer je a=3, b=2, c=0.
Pojdimo na kvadratno funkcijo y=ax 2 +in+c, kjer so a, b, c poljubni poljubna števila. Ta funkcija je kvadratna, ker vsebuje člen druge stopnje, to je x na kvadrat.
Kvadratno funkcijo je precej enostavno narisati; uporabite lahko na primer metodo izolacije popolnega kvadrata.
Oglejmo si primer izdelave grafa funkcije y, ki je enaka -3x 2 - 6x + 1.
Da bi to naredili, je prva stvar, ki se je spomnimo, shema za izolacijo celotnega kvadrata v trinomu -3x 2 - 6x + 1.
Vzemimo -3 od prvih dveh členov. Imamo -3-kratnik vsote x na kvadrat plus 2x in dodamo 1. Če dodamo in odštejemo ena v oklepaju, dobimo formulo vsote na kvadrat, ki jo lahko strnemo. Dobimo -3 pomnoženo z vsoto (x+1) na kvadrat minus 1 dodamo 1. Odpiranje oklepajev in prinašanje podobni pogoji, pride do izraza: -3 pomnoženo s kvadratom vsote (x+1) dodajte 4.
Zgradimo graf nastale funkcije tako, da se premaknemo v pomožni koordinatni sistem z izhodiščem v točki s koordinatami (-1; 4).
Na sliki iz videa je ta sistem označen s pikčastimi črtami. Konstruiranemu koordinatnemu sistemu povežimo funkcijo y = -3x2. Za udobje vzemimo kontrolne točke. Na primer (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Hkrati jih bomo v konstruiranem koordinatnem sistemu odložili. Parabola, pridobljena med gradnjo, je graf, ki ga potrebujemo. Na sliki je rdeča parabola.
Z uporabo metode izolacije celotnega kvadrata imamo kvadratno funkcijo oblike: y = a*(x+1) 2 + m.
Graf parabole y = ax 2 + bx + c lahko zlahka dobimo iz parabole y = ax 2 z vzporednim prevajanjem. To potrjuje izrek, ki ga je mogoče dokazati z izolacijo popoln kvadrat binom. Izraz ax 2 + bx + c po zaporedne transformacije spremeni v izraz v obliki: a*(x+l) 2 + m. Narišimo graf. Izvedimo vzporedno gibanje parabole y = ax 2, pri čemer oglišče poravnamo s točko s koordinatami (-l; m). Pomembno je, da je x = -l, kar pomeni -b/2a. To pomeni, da je ta ravna črta os parabole ax 2 + bx + c, njeno vrh je v točki z absciso x nič, ki je enaka minus b deljeno z 2a, ordinata pa se izračuna z okorno formulo 4ac - b 2 /. Ni pa vam treba zapomniti te formule. Ker s substitucijo vrednosti abscise v funkcijo dobimo ordinato.
Za določitev enačbe osi, smeri njenih vej in koordinat vrha parabole upoštevajte naslednji primer.
Vzemimo funkcijo y = -3x 2 - 6x + 1. Ko smo sestavili enačbo za os parabole, imamo, da je x = -1. In ta vrednost je koordinata x vrha parabole. Ostane le še najti ordinato. Če v funkcijo zamenjamo vrednost -1, dobimo 4. Vrh parabole je v točki (-1; 4).
Graf funkcije y = -3x 2 - 6x + 1 smo dobili, ko vzporedni prenos graf funkcije y = -3x 2, kar pomeni, da se obnaša podobno. Vodilni koeficient je negativen, zato so veje usmerjene navzdol.
Vidimo, da je za vsako funkcijo oblike y = ax 2 + bx + c najlažje vprašanje zadnje vprašanje, to je smer vej parabole. Če je koeficient a pozitiven, so veje obrnjene navzgor, če je negativen, pa so veje obrnjene navzdol.
Naslednje najtežje vprašanje je prvo vprašanje, saj zahteva dodatne izračune.
In največ težko drugo, saj poleg izračunov potrebujete tudi poznavanje formul, po katerih je x nič in y nič.
Zgradimo graf funkcije y = 2x 2 - x + 1.
Takoj določimo - graf je parabola, veje so usmerjene navzgor, saj je vodilni koeficient 2, in to pozitivno število. S pomočjo formule ugotovimo, da je abscisa x enaka nič, enaka je 1,5. Če želite najti ordinato, ne pozabite, da je y nič enaka funkciji 1,5, pri izračunu dobimo -3,5.
Vrh - (1,5;-3,5). Os - x=1,5. Vzemimo točke x=0 in x=3. y=1. Označimo te točke. V treh znane točke Zgradimo zahtevani graf.
Za risanje grafa funkcije ax 2 + bx + c potrebujete:
Poiščite koordinate vrha parabole in jih označite na sliki, nato narišite os parabole;
Na oh-osi vzemite dve točki, ki sta simetrični glede na os parabole, poiščite vrednost funkcije v teh točkah in ju označite na koordinatni ravnini;
Konstruirajte parabolo skozi tri točke; po potrebi lahko vzamete še nekaj točk in na podlagi njih sestavite graf.
IN naslednji primer naučili se bomo poiskati največjo in najmanjšo vrednost funkcije -2x 2 + 8x - 5 na segmentu.
Po algoritmu: a=-2, b=8, kar pomeni, da je x nič 2, y nič pa 3, (2;3) je vrh parabole, x=2 pa je os.
Vzemimo vrednosti x=0 in x=4 in poiščemo ordinate teh točk. To je -5. Konstruiramo parabolo in jo določimo najmanjša vrednost funkcije -5 pri x=0 in največje 3 pri x=2.
Kot kaže praksa, naloge o lastnostih in grafih kvadratne funkcije povzročajo resne težave. To je precej nenavadno, saj kvadratno funkcijo preučujejo v 8. razredu, nato pa v prvi četrtini 9. razreda "mučijo" lastnosti parabole in gradijo njene grafe za različne parametre.
To je posledica dejstva, da ko učence silijo v konstrukcijo parabol, praktično ne posvečajo časa "branju" grafov, torej ne vadijo razumevanja informacij, prejetih s slike. Očitno se domneva, da bo po izdelavi ducata ali dveh grafov pameten študent sam odkril in oblikoval razmerje med koeficienti v formuli in videz grafične umetnosti. V praksi to ne deluje. Za takšno posploševanje so potrebne resne izkušnje z matematičnimi mini raziskavami, ki jih večina devetošolcev seveda nima. Državni inšpektorat medtem predlaga določitev predznakov koeficientov z urnikom.
Od šolarjev ne bomo zahtevali nemogočega in bomo preprosto ponudili enega od algoritmov za reševanje takšnih problemov.
Torej funkcija oblike y = ax 2 + bx + c imenujemo kvadratna, njen graf pa je parabola. Kot že ime pove, je glavni izraz sekira 2. To je A ne sme biti enak nič, preostali koeficienti ( b in z) je lahko enako nič.
Poglejmo, kako predznaki njenih koeficientov vplivajo na videz parabole.
Najenostavnejša odvisnost za koeficient A. Večina šolarjev samozavestno odgovori: »če A> 0, potem so veje parabole usmerjene navzgor in če A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
IN v tem primeru A = 0,5
In zdaj za A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
V tem primeru A = - 0,5
Vpliv koeficienta z Prav tako je precej enostavno slediti. Predstavljajmo si, da želimo najti vrednost funkcije v točki X= 0. Nadomestite ničlo v formulo:
l = a 0 2 + b 0 + c = c. Izkazalo se je, da y = c. To je z je ordinata presečišča parabole z osjo y. Običajno je to točko enostavno najti na grafu. In ugotovite, ali leži nad ničlo ali pod. To je z> 0 oz z < 0.
z > 0:
y = x 2 + 4x + 3
z < 0
y = x 2 + 4x - 3
V skladu s tem, če z= 0, potem bo parabola nujno potekala skozi izvor:
y = x 2 + 4x
Težje s parametrom b. Točka, na kateri ga bomo našli, ni odvisna samo od b ampak tudi iz A. To je vrh parabole. Njegova abscisa (koordinata osi X) najdemo s formulo x in = - b/(2a). torej b = - 2 ax in. To pomeni, da nadaljujemo na naslednji način: na grafu najdemo vrh parabole, določimo znak njene abscise, torej pogledamo desno od ničle ( x v> 0) ali v levo ( x v < 0) она лежит.
Vendar to še ni vse. Pozorni moramo biti tudi na predznak koeficienta A. Se pravi, poglejte, kam so usmerjene veje parabole. In šele po tem, po formuli b = - 2 ax in določi znak b.
Poglejmo primer:
Veje so usmerjene navzgor, kar pomeni A> 0, parabola seka os pri pod ničlo pomeni z < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Torej b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, z < 0.
