30. Kaj je stacionarni proces?

Stacionarnost je lastnost procesa, da s časom ne spreminja svojih značilnosti. Smiselno je na več področjih znanosti. Stacionarnost naključnega procesa pomeni, da njegovi verjetnostni vzorci skozi čas ostanejo nespremenjeni.

Časovna vrsta je končna izvedba stohastičnega procesa: generiranje niza naključnih spremenljivk Y(t).

Stohastični proces je lahko stacionaren in nestacionaren. Postopek je stacionaren, če

1. Matematično pričakovanje vrednosti spremenljivke se ne spremeni.

2. Matematično pričakovanje varianc spremenljivk se ne spremeni.

3. Ni periodičnih nihanj.

Prepoznavanje stacionarnosti:

1. Graf: sistematična rast ali upad, takoj so vidni valovi in ​​območja visoke volatilnosti (disperzije) v dolgem nizu.

2. Avtokorelacija (zmanjša se z večanjem zamika)

3. Testi trendov: preverjanje hipoteze, da je koeficient pri t enak nič.

4. Posebni testi, vključeni v programske pakete Stata,

31. Lastnosti časovnih vrst.

Ekonometrični model je mogoče zgraditi z uporabo treh vrst vhodnih podatkov:

Podatki, ki označujejo zbirko različnih predmetov na določeni točki (obdobju) časa: križ sekcijski podatke , "prostorski";

Podatki, ki označujejo en predmet za več zaporednih trenutkov

(obdobja) časa: Časovne serije, čas serije ;

podatki, ki označujejo niz različnih predmetov za več zaporednih časovnih trenutkov: panel podatke , "plošča".

Časovne serije je niz vrednosti katerega koli indikatorja za več zaporednih trenutkov (obdobij) časa. Nastane pod vplivom veliko število dejavnike, ki jih lahko razdelimo v tri skupine:

dejavniki, ki oblikujejo trend ( trend ) vrstica;

dejavniki oblikovanja ciklično nizka nihanja, na primer sezonska, tedenska; za serijo tečajev na borzi je značilno neperiodična nihanja;

naključen dejavniki.

Modeli, ki so zgrajeni z uporabo podatkov, ki označujejo en objekt v številnih zaporednih obdobjih, se imenujejo modeli časovnih vrst.

Vsako raven časovne serije lahko tvorijo njihove trendne (T), ciklične ali sezonske komponente (S) ter naključne (E) komponente.

Modele, pri katerih je časovna vrsta predstavljena kot vsota naštetih komponent, imenujemo aditivni, če so v obliki produkta, pa multiplikativni modeli.

Aditivni model ima obliko: Y=T+J+V

Multiplikativni model ima obliko: Y=T*S*E

Gradnja modela časovne vrste:

izvedite poravnavo časovnih vrst (na primer z uporabo metode drsečega povprečja); 2. Izračunajte vrednosti sezonske komponente; 3. Izločimo sezonsko komponento in dobimo poravnano vrsto; 4. Analitična poravnava ravni (T in E) in izračun vrednosti E se izvedeta z uporabo nastale enačbe trenda; 5. Izračunajte vrednosti T in E; 6. Izračunajte absolutne in relativne napake.

Konstrukcija analitične funkcije pri modeliranju trenda v kateri koli ekonometrični težavi na časovni vrsti se imenuje analitična poravnava časovne serije in v glavnem se uporabljajo naslednje funkcije: linearna, potenčna, hiperbolična, parabolična itd.

Parametri trenda so določeni kot pri linearni regresiji z metodo OLS, kjer je čas neodvisna spremenljivka, nivoji časovnih vrst pa odvisna spremenljivka. Kriterij izbora najboljša oblika služi kot trend najvišjo vrednost determinacijski koeficient, Fisherjev in Studentov test.

Avtokorelacija v ostankih je korelacija med vrednostmi ostankov za trenutno in prejšnje točke v času. Za določitev avtokorelacije ostankov se uporablja Durbin-Watsonov kriterij:

Časovna vrsta je ekonomska spremenljivka, datirana na celo število točk v času t. Ta spremenljivka služi kot kvantitativna značilnost določenega gospodarskega objekta, zato je sprememba te spremenljivke skozi čas določena z dejavniki, ki skozi čas vplivajo na ta objekt.

Vsi dejavniki so razdeljeni v 3 razrede. Razred 1: dejavniki (»sekularni« vplivi), katerih posledični vpliv na določen objekt v daljšem časovnem obdobju ne spremeni svoje smeri. Ustvarjajo monotono komponento (težnjo ali težnjo). Razred 2: dejavniki (ciklični vplivi), katerih posledični vpliv na objekt v določenem fiksnem času T naredi celoten krog. Razred 3: dejavniki (naključni vplivi), katerih posledični vpliv na objekt spreminja smer in intenzivnost pri visoki hitrosti. 3 Razred faktorjev vam omogoča interpretacijo vrednosti v vsakem časovnem obdobju kot naključno spremenljivko

Stacionarni naključni proces

pomemben poseben razred naključnih procesov, ki jih pogosto najdemo v aplikacijah teorije verjetnosti v različnih vejah naravoslovja in tehnologije. Naključni proces X (t) se imenuje stacionaren, če so vsi njegovi verjetnostne značilnosti se ne spremenijo v času t (zato je na primer verjetnostna porazdelitev količine X (t) za vse t enaka in skupna distribucija verjetnosti vrednosti X (t

odvisno le od trajanja časovnega intervala t2≈t1, tj. porazdelitve parov količin (X (t1), X (t2)) in (X (t1 + s), X (t2 + s)) so enake za kateri koli t1, t2 in s itd.).

Shema S. s. str., opisuje mnoge z dobrim približkom resnični pojavi, ki ga spremljajo neurejena nihanja. Na primer valovanje toka ali napetosti električni tokokrog(električni "hrup") lahko štejemo za S. s. itd., če je to vezje v stacionarnem načinu, tj. če se vse njegove makroskopske značilnosti in vsi pogoji, zaradi katerih tok teče skozenj, ne spremenijo v času; pulzacije hitrosti na točki v turbulentnem toku predstavljajo s.s. itd., če se ne spremenijo Splošni pogoji, ustvarjanje obravnavanega toka (tj. tok je enakomeren) itd. Ti in drugi primeri S. s. predmetov, ki jih najdemo v fiziki (zlasti geo- in astrofiziki), mehaniki in tehniki, so spodbudili razvoj raziskav na področju sončnih sistemov. P.; Ob tem so se izkazale za pomembne tudi nekatere posplošitve koncepta družbenih sistemov. (na primer koncept naključnega procesa s stacionarnimi prirastki dano naročilo, posplošen S. s. in homogeno naključno polje).

IN matematična teorija S. s. Glavno vlogo igrajo trenutki verjetnostne porazdelitve vrednosti procesa X (t), ki so najenostavnejši numerične značilnosti te distribucije. Še posebej pomembni so trenutki prvih dveh naročil: povprečna vrednost S. s. n. EX (t) = m ≈ pričakovana vrednost naključna spremenljivka X (t) in korelacijska funkcija S. s. p EX (t1) X (t2) = B (t2≈t1) ≈ matematično pričakovanje produkta X (t1) X (t2) (preprosto izraženo v smislu razpršitve vrednosti X (t) in korelacijski koeficient med X (t1) in X (t2); V veliko matematične raziskave, posvečeno S. s. itd., v splošnem se proučujejo samo tiste njihove lastnosti, ki so popolnoma določene samo z značilnostma m in B (t) (t.i. korelacijska teorija S. s. P.). V zvezi s tem so naključni procesi X (t), ki imajo konstantno povprečno vrednost EX (t) = m in korelacijsko funkcijo B (t2, t1) = EX (t1) X (t2), odvisno samo od t2 ≈ t1, pogosto imenovan C. With. p.c. v širšem smislu(in natančneje naključne procese, katerih vse značilnosti se skozi čas ne spreminjajo, v tem primeru imenujemo naključni procesi v ožjem pomenu).

Pomembno mesto v matematični teoriji družboslovja. področja zavzemajo študije, ki temeljijo na razširitvi naključnega procesa X (t) in njegovih korelacijsko funkcijo B (t2 ≈t1) = B (t) v Fourierjevem integralu ali Fourier ≈ Stieltjes (glej Fourierjev integral). Tu igra glavno vlogo Khinchinov izrek, po katerem je korelacijska funkcija sistema. postavko X (t) lahko vedno predstavimo v obliki

kjer je F (l) ≈ monotono nepadajoča funkcija l (in integral na desni ≈ je Stieltjesov integral); če B (t) pada dovolj hitro kot |t|╝¥ (kar se najpogosteje zgodi v aplikacijah, pod pogojem, da z X (t) dejansko mislimo razliko X (t) ≈ m), potem je integral na desnem delu (1) spremeni v običajni Fourierjev integral:

kjer je f (l) = F▓(l) ≈ nenegativna funkcija. Funkcija F(l) se imenuje spektralna funkcija s.s. postavka X (t), funkcija F (l) [v primerih, ko velja enakost (2)] ≈ njena spektralna gostota. Iz Khinchinovega izreka sledi tudi, da sam proces X (t) dopušča spektralno razgradnjo oblike

kjer je Z (l) ≈ naključna funkcija z nekoreliranimi prirastki, integral na desni pa razumemo kot srednjo kvadratno mejo ustreznega zaporedja integralnih vsot. Dekompozicija (3) daje podlago za obravnavanje katerega koli sistema sistemov. postavka X (t) kot superpozicija nekoreliranih harmonične vibracije različne frekvence z naključnimi amplitudami in fazami; pri čemer spektralna funkcija F(l) in spektralna gostota f (l) določi porazdelitev povprečna energija harmonična nihanja, vključena v X (t) vzdolž frekvenčnega spektra l (in torej v uporabne raziskave funkcijo f (l) pogosto imenujemo tudi energijski spekter ali spekter moči sistema. točka X (t)).

Identifikacija koncepta S. s. postavka in pridobivanje prvih matematičnih rezultatov, povezanih z njo, so zasluge E. E. Slutskega in segajo v pozne 20. in zgodnja 30. leta. 20. stoletje Nadalje pomembno delo po teoriji S. s. postavke so izvedli A. Ya. Khinchin, A. N. Kolmogorov, G. Kramer, N. Wiener in drugi.

Lit.: Slutsky E. E., Izbr. tr., M., 1960; Khinchin A. Ya., Teorija korelacije stacionarnih stohastičnih procesov, “Napredek matematične vede", 1938, c. 5, str. 42≈51; Rozanov Yu., Stacionarni naključni procesi, M., 1963; Prokhorov Yu, Rozanov Yu, Teorija verjetnosti. (Osnovni pojmi. Mejni izreki. Naključni procesi), 2. izdaja, M., 1973; Gikhman I. I., Skorokhod A. V., Teorija naključnih procesov, vol. 1, M., 1971; Hennan E., Multivariatne časovne serije, trans. iz angleščine, M., 1974.

Pomemben razred naključnih procesov so stacionarni naključni procesi, torej naključni procesi, ki s časom ne spreminjajo svojih lastnosti. Imajo obliko zveznih naključnih nihanj okoli neke povprečne vrednosti. To so: tlak plina v plinovodu, tresljaji letala med »samodejnim letom«, nihanje napetosti v električno omrežje itd.

Naključni proces se imenujestacionarni v v širšem smislu ,če je njegovo matematično pričakovanje
Tukaj je stalno število, in korelacijsko funkcijo
odvisno samo od razlike med argumenti, tj.

Iz te definicije sledi, da je korelacijska funkcija stacionarnega procesa funkcija enega argumenta: ta okoliščina pogosto poenostavlja operacije na stacionarnih naključnih procesih.

Naključni proces se imenujestacionarni v v ožjem smislu , če njegove značilnosti niso odvisne od vrednosti argumentov, ampak le od njihovega relativnega položaja. To pomeni, da mora porazdelitvena funkcija procesnih prerezov izpolnjevati naslednjo enakost:

za katero koli

Upoštevajte, da iz stacionarnosti SP v ožjem smislu sledi, da je stacionaren v širšem smislu; obratna trditev ne drži.

V nadaljevanju bomo obravnavali le stacionarne naključne procese v širšem smislu. Nato predstavimo glavne lastnosti korelacijske funkcije naključnega stacionarnega procesa (r.s.p.).

1. Disperzija s.s.p. je konstantna in enaka vrednosti korelacijske funkcije pri ničli, tj.

Se pravi v izhodišču koordinat.

2. Korelacijska funkcija s.s.p. je soda funkcija, tj.


3. Absolutna vrednost korelacija funkcija s.s.p. ne presega svoje vrednosti pri
, tj.


Normalizirana korelacijska funkcija r.s.p. je funkcija nenaključnega argumenta , tj.



Poleg tega v skladu z lastnostjo 3 neenakost velja


Primer 6. Podana je naključna funkcija,

enakomerno porazdeljena naključna spremenljivka v intervalu


Dokaži to


rešitev. Poiščimo matematično pričakovanje

Na podlagi definicije m.o. dobimo (ob upoštevanju enakomerne porazdelitve r.v. , glede na kontrolne pogoje
)

in


torej


Poiščimo korelacijsko funkcijo. Ob upoštevanju, da sta centrirana in naključna funkcija enaki (ker
), tj. potem imamo glede na definicijo korelacijske funkcije (glej odstavek 16.5)

,

zaradi ).

telovadba. Pokažite, da v pogojih našega primera to poteka

Torej, matematično pričakovanje r.v.
je konstantno število za vse vrednosti argumenta, njegova korelacijska funkcija pa je odvisna le od razlike med argumenti. torej
naključna stacionarna funkcija.

Upoštevajte to, dajanje
v korelacijski funkciji najdemo varianco



Tako varianca ostane konstantna za vse vrednosti argumenta, kot bi morala biti za naključno stacionarno funkcijo.

Večina naključnih stacionarnih procesov ima za prakso pomembno t.i. « ergodična lastnost" , katerega bistvo je, da je iz ene dovolj dolge ločene izvedbe danega procesa mogoče soditi o vseh lastnostih procesa kot tudi iz poljubnega števila izvedb.

Z drugimi besedami, posamezne značilnosti s.s.p.
lahko definiramo kot ustrezna časovna povprečja za eno realizacijo dovolj dolgega trajanja.

Razmerje med razredi stacionarnih in naključnih ergodičnih procesov lahko označimo na primer kot na sliki 61.

riž.

61 (pismo).
Zadosten pogoj za ergodični s.p.
.

glede na matematično pričakovanje in korelacijsko funkcijo je, da njena korelacijska funkcija teži k ničli pri



Kot ocene značilnosti ergodičnih s.p.-jev. vzemite časovno povprečno vrednost:

Integrale na desni strani enačb v praksi približno izračunamo.
in
Naključni procesi se imenujejo stacionarni povezano
, če je njihova medsebojna korelacijska funkcija
odvisno samo od razlike
. Kot primer stacionarnega procesa lahko vzamemo harmonično nihanje. Lahko se pokaže, da

A [ | ]

Opredelitev,

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T (\displaystyle X_(t)(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb (R) ,\quad t\in T) Kje T (\displaystyle T) imenujemo poljubno množico .

naključna funkcija [ | ]

Terminologija

Ta klasifikacija ni stroga. Zlasti izraz "naključni proces" se pogosto uporablja kot absolutni sinonim za izraz "naključna funkcija". [ | ]

• Razvrstitev Naključni proces X (t) (\displaystyle X(t)) imenovan proces diskretno v času , če sistem, v katerem se pojavi, spreminja svoja stanja samo v trenutkih časa t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ) , katerih število je končno ali števno. Naključni proces se imenuje postopek z neprekinjen čas
• , če lahko do prehoda iz stanja v stanje pride kadarkoli. , katerih število je končno ali števno. Naključni proces se imenuje Naključni proces se imenuje zvezna stanja , če je vrednost naključnega procesa zvezna naključna vrednost . Naključni proces se imenuje naključni proces z diskretnimi stanji
• , če lahko do prehoda iz stanja v stanje pride kadarkoli. , če je vrednost naključnega procesa diskretna naključna spremenljivka: stacionarni , če so vsi večdimenzionalni zakoni porazdelitve odvisni le od relativni položaj t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), vendar ne na same vrednosti teh količin. Z drugimi besedami, naključni proces imenujemo stacionaren, če so njegovi verjetnostni vzorci skozi čas konstantni. V nasprotnem primeru se imenuje nestacionarni.
• Pokliče se naključna funkcija stacionarni v širšem smislu, če sta njegovo matematično pričakovanje in varianca konstantni in je ACF odvisen le od razlike med časovnimi trenutki, za katere so vzete ordinate naključna funkcija. Koncept je uvedel A. Ya.
• Naključni proces se imenuje proces s stacionarnimi prirastki določenega reda, če so verjetnostni vzorci takšnega prirastka skozi čas konstantni. Takšne procese je obravnaval Yaglom.
• Če ordinate naključne funkcije upoštevajo normalni porazdelitveni zakon, se imenuje sama funkcija normalno.
• Naključne funkcije, katerih zakon porazdelitve ordinat je v prihodnosti popolnoma določen z vrednostjo ordinate procesa v trenutnočas in ni odvisen od vrednosti ordinate procesa v prejšnjih časih markovski.
• , če lahko do prehoda iz stanja v stanje pride kadarkoli. postopek z neodvisnimi prirastki, če za katerikoli komplet t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), Kje n > 2 (\displaystyle n>2), A t 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , naključne spremenljivke (X t 2 − X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots ), (X t n − X t n − 1) (\displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1)))) kolektivno neodvisni.
• Če lahko pri določanju momentnih funkcij stacionarnega naključnega procesa operacijo povprečenja po statističnem ansamblu nadomestimo s povprečenjem po času, potem se takšen stacionarni naključni proces imenuje ergodičen .
• Med naključnimi procesi ločimo impulzivne naključne procese.

Trajektorija naključnega procesa[ | ]

Naj bo podan naključni proces ( X t ) t ∈ T (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\in T)). Nato za vsako fiksno t ∈ T (\displaystyle t\in T) X t (\displaystyle X_(t))- imenovana naključna spremenljivka prečni prerez. Če je osnovni izid fiksen ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \in \Omega ), To X t: T → R (\displaystyle X_(t)\dvopičje T\to \mathbb (R) )- deterministična parametrska funkcija t (\displaystyle t). Ta funkcija se imenuje trajektorija oz izvajanje naključna funkcija ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)) | ]

Stacionarni naključni proces v ožjem pomenu je naključni proces, za katerega n-razsežna gostota verjetnosti se ne bo spremenila, če se vsi časovni vzorci premaknejo za enako količino:

Če se odločite, potem n-razsežna gostota verjetnosti ne bo odvisna od izvora časa

Tako za stacionarni proces enodimenzionalna gostota verjetnosti sploh ni odvisna od časa, dvodimenzionalna gostota pa ni odvisna ločeno od t 1 in t 2 , in iz njihove razlike

Iz izrazov (2.9) in (2.10) pa sledi, da matematično pričakovanje in disperzija stacionarnega procesa nista odvisna od časa, korelacijska funkcija pa je odvisna od t:

(2.11)

(2.12)

Iz (2.11), (2.12) in (2.13) sledi, da je matematično pričakovanje konstantno in zato za stacionarni proces označuje konstantno komponento procesa; konstantnost označuje dejstvo, da v vsakem trenutku t povprečna specifična moč nihanja (to je moč spremenljive komponente) je enaka; odvisnost od pomeni, da za stacionarni proces ni pomembno, na katerih točkah t 1 in t Vzameta se 2 odseka, razlika med njima je pomembna .

Če pogoj (2.7) ni izpolnjen, se prikliče naključni proces nestacionarni. Včasih se stacionarnost ocenjuje le z izpolnjevanjem enakosti (2.9), (2.10) in s tem (2.11) - (2.13). Pravijo, da če sta izpolnjeni enakosti (2.9) in (2.10), potem je proces stacionaren, ne da bi nas zanimalo, ali je pogoj (2.7) izpolnjen ali ne. Ta pristop daje širšo razlago stacionarnosti.

Definicija stacionarnega procesa v širšem smislu je bolj sprejemljiva za reševanje praktičnih problemov, saj je lažje pridobiti podatke o enodimenzionalnih in dvodimenzionalnih gostotah verjetnosti kot o večdimenzionalnih.

V strogem smislu fizično ni stacionarnih naključnih procesov, saj se mora vsak proces začeti na določeni točki v preteklosti in verjetno končati na neki točki v prihodnosti. Vendar pa obstaja veliko fizičnih situacij, ko se statistične značilnosti procesa ne spremenijo v časovnem intervalu opazovanja. V teh primerih vodi predpostavka o stacionarnosti do priročnega matematičnega modela, ki je dokaj natančen približek dejanske situacije.

Ergodična lastnost stacionarnih naključnih procesov

Med vsemi stacionarnimi procesi je del, ki ima ergodično lastnost. Razložimo to lastnost. Naj bo eno dolgo izvajanje x(t) naključni proces ( t). Ta izvedba je definirana na intervalu Poiščimo povprečno vrednost te realizacije tako, da jo povprečimo skozi čas v dovolj velikem intervalu:

(2.14)

kjer črtica nad črto pomeni povprečje v času, je povprečna vrednost stalna vrednost, neodvisna od t.

Podobno lahko najdete povprečno vrednost kvadrata nihanj in povprečno vrednost produkta nihanj, premaknjenih glede na drugega za interval:

(2.15)

V svojem fizičnem pomenu so količine (2.14) - (2.16) numerične značilnosti, ki sovpadajo s povprečno vrednostjo, disperzijsko in korelacijsko funkcijo procesa (t). Vendar pa so pridobljeni kot rezultat povprečenja ene dolge izvedbe v času x(t) ali funkcije iz njega.

Rečeno je, da ima stacionarni proces ergodična lastnost, če so z verjetnostjo blizu enote numerične značilnosti, dobljene kot rezultat povprečenja ene dolge realizacije skozi čas, enake enakim karakteristikam, dobljenim kot rezultat povprečenja po ansamblu. V tem primeru je povprečenje po ansamblu opredelitev numeričnih karakteristik z uporabo gostote verjetnosti, to je z uporabo formul (2.11) - (2.13), saj gostota verjetnosti označuje celotno populacijo ali ansambel realizacij.

Tako za ergodičen stacionarni proces veljajo enakosti:

, (2.17)

Beseda "ergodičen" izhaja iz grškega "ergon", kar pomeni "delo". Ergodična lastnost je priročna delovna hipoteza za izračun numeričnih značilnosti stacionarnega procesa, ko je na voljo ena njegova dolga izvedba. Fizično je to upravičeno z dejstvom, da lahko ena dolga izvedba vsebuje informacije o vseh izvedbah tega naključnega procesa.

Upoštevajte, da je stacionarnost procesa nujen, a nezadosten pogoj za ergodičnost. To pomeni, da niso vsi stacionarni procesi ergodični. Na splošno je težko, če ne nemogoče, dokazati, da je ergodičnost veljavna predpostavka za kateri koli fizikalni proces, saj je mogoče opaziti le eno izvedbo tega procesa. Vendar je običajno smiselno domnevati, da je proces ergodičen, razen če obstajajo prepričljivi fizični argumenti proti temu.