"Koordinatni sistem na ravnini" - Hiparh. Kakšna je vloga teme pri tečaju matematike in sorodne discipline? Ptolomej. Kako se imenuje koordinatni sistem? Katere vrste koordinatnih sistemov poznate? Kako narisati točko z dane koordinate na koordinatna ravnina? Ali poznate zgodovino nastanka koordinat? Kako določiti koordinate točke na koordinatni ravnini?
“Ravninske koordinate” - os Ox – abscisa x. Piloti in mornarji s pomočjo koordinatne mreže določijo lokacijo predmetov. Os Oy je ordinata y. Pri igranju šaha se uporablja tudi koordinatna metoda. Vsi učenci našega razreda so z veseljem risali slike. Pravokotno mrežo so uporabljali tudi renesančni umetniki.
"Kuba" - ozemlje Kube - 111 tisoč km?. Nekatera območja so zasedena z vegetacijo, podobno travnatim savanam. Hribi in gore zavzemajo približno tretjino ozemlja. Površinske vode. Bančni sektor se krepi. Povprečna letna temperatura je 25,5 °C. Akutno pomanjkanje tuje valute. Temperatura površinske vode ob obali pozimi je 22-24 °, poleti - 28-30 ° C.
"Vektorji na letalu" - Analitična geometrija. Naloga 2. V prostoru sta podana točka in vektor. Upoštevajte trenutno točko, v kateri direktni vektor leži na ravnini. Preučevanje enačbe premice. Enačba ravnine, ki poteka skozi točko vzporedno z dvema vektorjema. Normalni vektor – vektor, pravokotno na ravnino. Če izločimo parameter t parametrična enačba, potem dobimo kanonična enačba naravnost.
"Težave z letali" - Naloga št. 3. Naloga št. 4. Priprava načrta za reševanje problemov. Lastnost višine pravokotni trikotnik, narisano na hipotenuzo. Malo teorije. Oblikujte znak pravokotnosti dveh ravnin. Preizkus "pravokotnost". Reševanje problemov z uporabo že pripravljenih risb. Lastnost tangente in polmera, vlečenega na stično točko.
"Sinus kosinus tangens ostrega kota" - Razmislite o pravokotniku trikotnik ABC: ?A=30°, ?B=60°. Trigonometrične identitete. Vrednosti za sinus, kosinus in tangens kota 30°. Po Pitagorovem izreku je AB2 = AC2+ BC2 = 2 AC2 = 2 BC2, od koder so torej vrednosti sinusa, kosinusa in tangensa kota 60°. Razmislite o enakokrakem pravokotnem trikotniku ABC: AC=BC, ?A=45°, ?B=45°.
Ta članek govori o kotu med ravninama in o tem, kako ga najti. Najprej je podana definicija kota med dvema ravninama in podana grafična ponazoritev. Po tem se analizira načelo iskanja kota med dvema sekajočima se ravninama s koordinatno metodo in dobimo formulo, ki vam omogoča izračun kota med sekajočima se ravninama z uporabo znanih koordinat normalnih vektorjev teh ravnin. Na koncu je prikazano podrobne rešitve značilne naloge.
Navigacija po strani.
Kot med ravninama - definicija.
Predstavimo argumente, ki nam bodo omogočili, da se postopoma približamo določitvi kota med dvema sekajočima se ravninama.
Naj nam bo podana dve sekajoči se ravnini in . Te ravnine se sekajo po premici, ki jo označimo s črko c. Konstruirajmo ravnino, ki poteka skozi točko M premice c in je pravokotna na premico c. V tem primeru bo ravnina sekala ravnine in. Premico, po kateri se ravnini sekata, označimo z a, premico, po kateri se ravnini sekata, pa z b. Očitno se premici a in b sekata v točki M.
Enostavno je pokazati, da kot med sekajočima se premicama a in b ni odvisen od lokacije točke M na premici c, skozi katero poteka ravnina.
Konstruirajmo ravnino, pravokotno na premico c in različno od ravnine. Ravnino sekajo ravnine in vzdolž ravnin, ki jih označimo z a 1 oziroma b 1.
Iz načina konstruiranja ravnin izhaja, da sta premici a in b pravokotni na premico c, premici a 1 in b 1 pa pravokotni na premico c. Ker premici a in a 1 ležita v isti ravnini in sta pravokotni na premico c, sta vzporedni. Podobno ležita premici b in b 1 v isti ravnini in sta pravokotni na premico c, torej sta vzporedni. Torej lahko storite vzporedni prenos ravnina v ravnino, v kateri premica a 1 sovpada z premico a, premica b pa s premico b 1. Zato je kot med dvema sekajočima se premicama a 1 in b 1 enak kotu med sekajočima se premicama a in b.
To dokazuje, da kot med sečiščema a in b, ki ležita v sekajočih se ravninah, ni odvisen od izbire točke M, skozi katero poteka ravnina. Zato je logično, da ta kot vzamemo za kot med dvema sekajočima se ravninama.
Zdaj lahko izrazite definicijo kota med dvema sekajočima se ravninama in.
Opredelitev.
Kot med dvema ravninama, ki se premo sekata in– to je kot med dvema sekajočima se premicama a in b, po katerem se ravnini in sekata ravnino, pravokotno na premico c.
Opredelitev kota med dvema ravninama je lahko podana nekoliko drugače. Če na premici c, po kateri se sekata ravnini in, označimo točko M in skozi njo narišemo premici a in b, ki sta pravokotni na premico c in ležita v ravninah oziroma, potem je kot med premicama a in b je kot med ravninama in. Običajno se v praksi izvajajo prav takšne konstrukcije, da dobimo kot med ravninama.
Ker kot med sekajočimi se premicami ne presega , iz navedene definicije sledi, da stopenjska mera izražen je kot med dvema sekajočima se ravninama realno število iz intervala. V tem primeru se imenujejo sekajoče se ravnine pravokotno, če je kot med njima devetdeset stopinj. Kot med vzporedne ravnine ali ga sploh ne določijo ali pa ga imajo za enakega nič.
Iskanje kota med dvema sekajočima se ravninama.
Običajno morate pri iskanju kota med dvema sekajočima se ravninama najprej narediti dodatne konstrukcije da vidite sekajoče se črte, kot med katerimi je enak želenemu kotu, nato pa povežete ta kot z izvirnimi podatki z uporabo znakov enakosti, znakov podobnosti, kosinusnega izreka ali definicij sinusa, kosinusa in tangensa kota. Pri tečaju geometrije Srednja šola pojavljajo podobne težave.
Kot primer navedimo rešitev problema C2 iz Enotnega državnega izpita iz matematike za leto 2012 (pogoj je bil namerno spremenjen, vendar to ne vpliva na načelo rešitve). V njem je bilo treba samo najti kot med dvema sekajočima se ravninama.
Primer.
rešitev.
Najprej naredimo risbo.
Izvedimo dodatne konstrukcije, da "vidimo" kot med ravninama.
Najprej določimo premico, po kateri se sekata ravnini ABC in BED 1. Točka B je ena od njunih skupnih točk. Poiščimo drugo skupno točko teh ravnin. Premici DA in D 1 E ležita v isti ravnini ADD 1 in nista vzporedni, zato se sekata. Po drugi strani pa črta DA leži v ravnini ABC, črta D 1 E pa v ravnini BED 1, zato bo točka presečišča črt DA in D 1 E skupna točka ravnini ABC in BED 1. Torej, nadaljujmo črti DA in D 1 E do njunega presečišča, pri čemer točko njunega presečišča označimo s črko F. Tedaj je BF premica, po kateri se sekata ravnini ABC in BED 1.
Ostaja še konstruirati dve črti, ki ležita v ravninah ABC oziroma BED 1, ki potekata skozi eno točko na črti BF in pravokotni na črto BF - kot med tema črtama bo po definiciji enak želenemu kotu med ABC letala in POSTELJO 1. Naredimo to.
Pika A je projekcija točke E na ravnino ABC. Narišimo premico, ki seka premico BF pod pravim kotom v točki M. Tedaj je premica AM projekcija premice EM na ravnino ABC in po izreku treh navpičnic.
Tako je zahtevani kot med ravninama ABC in BED 1 enak .
Iz pravokotnega trikotnika AEM lahko določimo sinus, kosinus ali tangens tega kota (in torej sam kot), če poznamo dolžini njegovih dveh stranic. Iz pogoja je enostavno najti dolžino AE: ker točka E deli stranico AA 1 v razmerju 4 proti 3, šteto od točke A, dolžina stranice AA 1 pa je 7, potem je AE = 4. Poiščimo dolžino AM.
Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku ABF s pravim kotom A, kjer je AM višina. Po pogoju AB = 2. Dolžino stranice AF najdemo iz podobnosti pravokotnih trikotnikov DD 1 F in AEF: 
S pomočjo Pitagorovega izreka poiščemo iz trikotnika ABF. Dolžino AM poiščemo skozi ploščino trikotnika ABF: na eni strani je ploščina trikotnika ABF enaka 
, na drugi strani 
, kje 
.
Tako imamo iz pravokotnega trikotnika AEM 
.
Potem je zahtevani kot med ravninama ABC in BED 1 enak (upoštevajte, da 
).
odgovor:
V nekaterih primerih je za iskanje kota med dvema sekajočima se ravninama priročno nastaviti Oxyz in uporabiti koordinatno metodo. Ustavimo se tam.
Postavimo si nalogo: poišči kot med dvema sekajočima se ravninama in . Označimo želeni kot kot.
Predpostavili bomo, da v danem pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz poznamo koordinate normalnih vektorjev sekajočih se ravnin in ali jih imamo možnost najti. Pustiti 
je normalni vektor ravnine in 
je normalni vektor ravnine. Pokazali bomo, kako najdemo kot med sekajočima se ravninama in skozi koordinate normalnih vektorjev teh ravnin.
Premico, po kateri se sekata ravnini in, označimo s c. Skozi točko M na premici c narišemo ravnino, pravokotno na premico c. Ravnina seka ravnini in vzdolž premic a oziroma b se premici a in b sekata v točki M. Po definiciji je kot med sečnima ravninama in enak kotu med sečnima premicama a in b.
Narišimo normalne vektorje in ravnine in iz točke M v ravnino. V tem primeru leži vektor na premici, ki je pravokotna na premico a, vektor pa na premici, ki je pravokotna na premico b. Tako je v ravnini vektor normalni vektor premice a, normalni vektor premice b.
V članku o iskanju kota med sekajočimi se premicami smo prejeli formulo, ki nam omogoča izračun kosinusa kota med sekajočimi se premicami s pomočjo koordinat normalnih vektorjev. Tako je kosinus kota med premicama a in b in posledično kosinus kota med sekajočima se ravninama in se najde s formulo, kjer je in so normalni vektorji ravnin oz. Nato se izračuna kot 
.
Rešimo prejšnji primer s koordinatno metodo.
Primer.
Podan je pravokotni paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v katerem je AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 in točka E deli stranico AA 1 v razmerju 4 proti 3, šteto od točke A. Poiščite kot med ravninama ABC in BED 1.
rešitev.
Ker so stranice pravokotnega paralelepipeda na enem oglišču po parih pravokotne, je priročno uvesti pravokotni sistem koordinira Oxyz takole: začetek je poravnan z točko C in koordinatne osi Ox, Oy in Oz so usmerjene na stranice CD, CB oziroma CC 1.
Kot med ravninama ABC in BED 1 je mogoče najti preko koordinat normalnih vektorjev teh ravnin z uporabo formule , kjer sta in normalna vektorja ravnin ABC oziroma BED 1. Določimo koordinate normalnih vektorjev.
Primeri nalog.- V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sta točki E in F razpolovišči robov A 1 B 1 oziroma A 1 D 1 . Poiščite tangens kota med ravninama AEF in BDD 1.
Rešitev [, 205Kb]. - Dana je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Poiščite kot med ravninama AB 1 D 1 in ACD 1.
Rešitev [, 150Kb]. - Pogosto pri gradnji risbe doživim nelagodje; trikotniki niso vidni. V osnutku začnem "obračati" polieder in izbrati najuspešnejši kot. To se je zgodilo pri reševanju te težave ...
V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 poiščite sinus kota med ravninama BA 1 C 1 in BAD 1.
Rešitev [, 165Kb]. - V desni štirikotna prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 z osnovno stranico 12 in višino 21, točka M je vzeta na robu AA 1 tako, da je AM=8. Točka K je vzeta na robu BB 1 tako, da je KB 1 =8. Poiščite kot med ravnino D 1 MK in ravnino CC 1 D 1.
Rešitev [, 350Kb]. - V pravilni štirikotni prizmi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 z osnovno stranico 4 in višino 7 je točka M vzeta na robu AA 1 tako, da je AM = 2. Točka K je vzeta na robu BB 1 tako, da je KB 1 = 2. Poiščite kot med ravnino D 1 MK in ravnino CC 1 D 1.
- V pravilni štirikotni prizmi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 so stranice baze enake 2, stranski robovi pa 5. Na robu AA 1 je označena točka E tako, da velja AE: EA 1 = 3: 2. Poišči kot med ravninama ABC in BED 1 .
Rešitev [, 304Kb], koordinatna metoda [, 180Kb]. - Osnova ravne prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je romb s stranico 2 in kotom B 120 0. Poiščite kot, ki ga tvori ravnina ABD 1 z osnovo prizme, če je znano, da je razdalja med premicama AC in B 1 D 1 enaka 4.
Rešitev [, 145Kb]. - Osnovna stranica pravilne trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1 je enaka 2, diagonala stranske ploskve pa je enaka . Poiščite kot med ravnino A 1 BC in ravnino osnove prizme.
Risba [, 18.2Kb], rešitev. - V desni trikotna prizma ABCA 1 B 1 C 1 stranice osnovke so enake 3, stranski robovi pa 1. Točka D je sredina roba CC 1. Poiščite kot med ravninama ABC in ADB 1.
Rešitev [, 180Kb]. - V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite kot med ravninama ACB 1 in A 1 C 1 B.
Rešitev [, 267Kb]. - Osnova ravne prizme ABCA 1 B 1 C 1 je trikotnik ABC, katerega površina je 12, AB = 5. Stranski rob prizme je 36. Poiščite tangento kota med ravninama ABC 1 in ABC.
Rešitev [, 162Kb]. - Osnovica prave prizme ABCA 1 B 1 C 1 je enakokraki trikotnik ABC, kjer je CB=CA=5, BA=6. Višina prizme je 24. Točka M je sredina roba AA 1, točka K je sredina roba BB 1. Poiščite kot med ravninama MKS 1 in ravnino osnove prizme.
Rešitev [, 151Kb]. - IN pravokotni paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, za katerega je AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, poiščite tangens kota med ravninama ACD 1 in A 1 B 1 C 1.
Rešitev [, 239Kb]. - V pravokotnem paralelepipedu ABCDA 1 B 1 C 1 D, v katerem je AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, poiščite tangens kota med ravninama ACD 1 in A 1 B 1 C 1.
- V pravokotnem paralelepipedu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v katerem je AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, poiščite tangens kota med ravninama CDD 1 in BDA 1.
Rešitev [, 105Kb]. - V pravokotnem paralelepipedu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je točka N sredina roba CD, AB = 3, BC = 2, BB 1 = 2. Poiščite kot med ravninama AB 1 N in ABC.
Rešitev [, 256Kb]. - V pravokotnem paralelepipedu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 točka M je sredina roba B 1 C 1, AB = 3, BC = 4, BB 1 = 2. Poiščite kot med ravninama BMD in ABC.
Rešitev [, 188Kb]. - Podan je pravokotni paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, dolžine robov AB = 2, AD = AA 1 = 1. Poiščite kot med ravninama CD 1 B 1 in CDA 1.
Rešitev [, 174Kb], koordinatna metoda [, 210Kb]. - V pravokotnem paralelepipedu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB=AA 1 =4, AD=3. Poiščite tangens kota, ki ga ravnina ACB 1 tvori s ploskvijo CDD 1 C 1.
Rešitev [, 168Kb]. - V pravokotnem paralelepipedu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 so znani robovi AB = 8, AD = 6, CC 1 = 5. Poiščite kot med ravninama BDD 1 in AD 1 B 1.
Rešitev [, 185Kb]. - V pravokotnem paralelepipedu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 so znani robovi AB = 5, AD = 12, CC 1 = 15. Poiščite kot med ravninama ABC in A 1 DB.
Rešitev [, 190Kb]. - V desni heksagonalna prizma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, katerega vsi robovi so enaki 1, skozi oglišča A, E in D 1 je narisana ravnina. Najti diedrski kot(v stopinjah) med to ravnino in ravnino osnove prizme.
Rešitev [, 107Kb]. - V pravilni štirikotni piramidi SABCD z ogliščem S so vsi robovi med seboj enaki. Točka M je sredina roba SC. Poiščite kot med ravnino ADM in osnovno ravnino.
Rešitev [, 208Kb], druga risba - V pravilni štirioglati piramidi SABCD z ogliščem S so stranski robovi dvakrat daljši od stranic osnove. Točka M je sredina roba SC. Poiščite kot med ravnino ADM in osnovno ravnino.
rešitev - V pravilni štirikotni piramidi SABCD z osnovo ABCD je stranica osnovke 3 in stransko rebro je 5. Poiščite kot med ravninama ABC in ACM, kjer točka M deli rob BS tako, da je BM: MS = 2:1.
Rešitev [, 167Kb] - V pravilni štirikotni piramidi SABCD z osnovo ABCD je osnovna stranica 6 in stranski rob 10. Poiščite kot med ravninama ABC in ACM, kjer točka M deli rob BS tako, da je BM:MS = 2:1.
- V bazi štirikotna piramida SABCD je kvadrat ABCD s stranico . Dolžine vseh stranskih robov so enake 3, točka M je sredina roba AS. Skozi premico BM je narisana ravnina vzporedno z diagonalo AC. Določite vrednost ostri kot(v stopinjah) med to ravnino in ravnino SAC.
rešitev [
