V tem članku bomo predstavili koncept korena števila. Nadaljevali bomo zaporedno: začeli bomo s kvadratnim korenom, od tam bomo prešli na opis kubičnega korena, nakar bomo posplošili pojem korena in definirali n-ti koren. Hkrati bomo predstavili definicije, oznake, podali primere korenin ter podali potrebna pojasnila in komentarje.

Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren

Če želite razumeti definicijo korena števila in še posebej kvadratnega korena, morate imeti . Na tem mestu se bomo pogosto srečali z drugo potenco števila - kvadratom števila.

Začnimo z definicije kvadratnega korena.

Opredelitev

Kvadratni koren iz a je število, katerega kvadrat je enak a.

Da bi prinesel primeri kvadratni koreni , vzamemo več števil, na primer 5, −0,3, 0,3, 0, in jih kvadriramo, dobimo števila 25, 0,09, 0,09 oziroma 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 in 0 2 =0·0=0 ). Potem je po zgornji definiciji število 5 kvadratni koren iz števila 25, števili −0,3 in 0,3 sta kvadratni koren iz 0,09, 0 pa kvadratni koren iz nič.

Upoštevati je treba, da za nobeno število a ne obstaja a, katerega kvadrat je enak a. Za nobeno negativno število a namreč ne obstaja realno število b, katerega kvadrat je enak a. Pravzaprav je enakost a=b 2 nemogoča za kateri koli negativni a, ker b 2 ni negativno število za katerikoli b. torej na setu realna števila ni kvadratnega korena negativnega števila. Z drugimi besedami, na množici realnih števil kvadratni koren negativnega števila ni definiran in nima pomena.

To vodi do logičnega vprašanja: "Ali obstaja kvadratni koren iz a za vsak nenegativen a"? Odgovor je pritrdilen. Utemeljitev tega dejstva je mogoče preučiti konstruktiven način, ki se uporablja za iskanje vrednosti kvadratnega korena.

Potem se pojavi naslednje logično vprašanje: "Koliko je število vseh kvadratnih korenin danega nenegativnega števila a - ena, dve, tri ali celo več"? Tukaj je odgovor: če je a nič, potem je edini kvadratni koren iz nič nič; če je a neko pozitivno število, potem je število kvadratnih korenin števila a dve, korenine pa so . Utemeljimo to.

Začnimo s primerom a=0. Najprej pokažimo, da je nič res kvadratni koren iz nič. To izhaja iz očitne enakosti 0 2 =0·0=0 in definicije kvadratnega korena.

Zdaj pa dokažimo, da je 0 edini kvadratni koren iz nič. Uporabimo obratno metodo. Recimo, da obstaja neko neničelno število b, ki je kvadratni koren iz nič. Takrat mora biti izpolnjen pogoj b 2 =0, kar je nemogoče, saj je za vsak neničelni b vrednost izraza b 2 pozitivna. Prišli smo do protislovja. To dokazuje, da je 0 edini kvadratni koren iz nič.

Pojdimo na primere, ko je a pozitivno število. Zgoraj smo rekli, da vedno obstaja kvadratni koren katerega koli nenegativnega števila, naj bo kvadratni koren iz a število b. Recimo, da obstaja število c, ki je tudi kvadratni koren iz a. Potem po definiciji kvadratnega korena veljata enakosti b 2 =a in c 2 =a, iz česar sledi, da je b 2 −c 2 =a−a=0, ker pa je b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , potem (b−c)·(b+c)=0 . Dobljena enakost je veljavna lastnosti operacij z realnimi števili možno samo, če je b−c=0 ali b+c=0. Tako sta števili b in c enaki ali nasprotni.

Če predpostavimo, da obstaja število d, ki je drug kvadratni koren števila a, potem s sklepanjem, podobnim že podanim, dokažemo, da je d enako številu b ali številu c. Torej je število kvadratnih korenov pozitivnega števila dve, kvadratni koreni pa so nasprotna števila.

Za lažje delo s kvadratnimi koreni negativni koren»ločuje« od pozitivnega. V ta namen je uveden definicija aritmetičnega kvadratnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kvadratni koren nenegativnega števila a- To nenegativno število, katerega kvadrat je enak a.

Zapis za aritmetični kvadratni koren a je . Predznak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena. Imenuje se tudi radikalni znak. Zato lahko včasih slišite tako "koren" kot "radikal", kar pomeni isti predmet.

Število pod znakom aritmetičnega kvadratnega korena se imenuje radikalno število, izraz pod korenskim znakom pa je radikalno izražanje, medtem ko izraz " radikalno število" se pogosto nadomesti z "radikalnim izrazom". Na primer, v zapisu je število 151 radikalno število, v zapisu pa je izraz a radikalni izraz.

Pri branju je beseda "aritmetika" pogosto izpuščena, na primer vnos se bere kot "kvadratni koren iz sedem pik devetindvajset." Beseda "aritmetika" se uporablja le, ko želijo to poudariti govorimo o posebej o pozitivnem kvadratnem korenu števila.

V luči uvedenega zapisa iz definicije aritmetičnega kvadratnega korena izhaja, da za vsako nenegativno število a .

Kvadratni koreni pozitivnega števila a so zapisani z aritmetičnim znakom kvadratnega korena kot in . Na primer, kvadratni koren iz 13 je in . Aritmetični kvadratni koren iz nič enako nič, to je . Za negativna števila a zapisu ne bomo pripisovali pomena, dokler ga ne preučimo kompleksna števila . Na primer, izraza in sta brez pomena.

Na podlagi definicije kvadratnega korena so dokazane lastnosti kvadratnih korenov, ki se pogosto uporabljajo v praksi.

Za zaključek te točke omenimo, da so kvadratni koreni števila a rešitve oblike x 2 =a glede na spremenljivko x.

Kubični koren števila

Opredelitev kubnega korenaštevila a je podana podobno kot definicija kvadratnega korena. Le da temelji na konceptu kocke števila, ne kvadrata.

Opredelitev

Kubični koren a je število, katerega kub je enak a.

Dajmo primeri kubične korenine . Če želite to narediti, vzemite več števil, na primer 7, 0, −2/3, in jih kockajte: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Potem lahko na podlagi definicije kubičnega korena rečemo, da je število 7 kubični koren iz 343, 0 je kubični koren iz nič in −2/3 je kubični koren iz −8/27.

Lahko se pokaže, da kubični koren števila, za razliko od kvadratnega korena, vedno obstaja, ne samo za nenegativno a, ampak tudi za vsako realno število a. Če želite to narediti, lahko uporabite isto metodo, ki smo jo omenili pri preučevanju kvadratnih korenov.

Poleg tega obstaja le en sam kubični koren dano številko a. Dokažimo zadnjo trditev. Če želite to narediti, razmislite o treh primerih ločeno: a je pozitivno število, a=0 in a je negativno število.

Preprosto je pokazati, da če je a pozitiven, kubni koren a ne more biti niti negativno število niti nič. Res, naj bo b kubični koren od a, potem lahko po definiciji zapišemo enakost b 3 =a. Jasno je, da ta enakost ne more veljati za negativni b in za b=0, saj bo v teh primerih b 3 =b·b·b negativno število oziroma nič. Torej je kubni koren pozitivnega števila a pozitivno število.

Zdaj pa predpostavimo, da poleg števila b obstaja še en kubični koren števila a, označimo ga s c. Potem je c 3 =a. Zato je b 3 −c 3 =a−a=0, vendar b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(to je skrajšana formula množenja razlika kock), od koder je (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Dobljena enakost je mogoča le, če je b−c=0 ali b 2 +b·c+c 2 =0. Iz prve enačbe izhaja b=c, druga enačba pa nima rešitev, saj je njena leva stran pozitivno število za poljubna pozitivna števila b in c kot vsota treh pozitivnih členov b 2, b·c in c 2. To dokazuje edinstvenost kubnega korena pozitivnega števila a.

Ko je a=0, je kubni koren števila a samo število nič. Če predpostavimo, da obstaja število b, ki je različen od nič kubni koren iz nič, potem mora veljati enakost b 3 =0, kar je možno le pri b=0.

Za negativni a je mogoče navesti argumente, podobne argumentom za pozitivni a. Najprej pokažemo, da kubični koren negativnega števila ne more biti enak niti pozitivnemu številu niti nič. Drugič, predpostavimo, da obstaja drugi kubični koren negativnega števila in pokažemo, da bo nujno sovpadal s prvim.

Torej, vedno obstaja kubni koren katerega koli danega realnega števila a in edinstven.

Dajmo definicija aritmetičnega kubnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kubični koren nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega kub je enak a.

Aritmetični kubni koren nenegativnega števila a je označen kot , znak se imenuje predznak aritmetičnega kubnega korena, število 3 v tem zapisu se imenuje korenski indeks. Številka pod korenskim znakom je radikalno število, izraz pod korenskim znakom je radikalno izražanje.

Čeprav je aritmetični kubni koren definiran le za nenegativna števila a, je prav tako priročno uporabljati zapise, v katerih so negativna števila pod znakom aritmetičnega kubnega korena. Razumeli jih bomo takole: , kjer je a pozitivno število. na primer .

O lastnostih kockastih korenov bomo govorili v splošnem članku Lastnosti korenin.

Izračun vrednosti kubnega korena se imenuje pridobivanje kubnega korena; to dejanje je obravnavano v članku pridobivanje korenov: metode, primeri, rešitve.

Za zaključek te točke povejmo, da je kubični koren števila a rešitev oblike x 3 =a.

n-ti koren, aritmetični koren stopnje n

Posplošimo pojem korena števila - uvajamo definicija n-tega korena za n.

Opredelitev

n-ti koren od a je število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Od ta definicija jasno je, da je koren prve stopnje števila a samo število a, saj pri proučevanju stopnje c naravni indikator sprejeli smo 1 =a.

Zgoraj smo si ogledali posebne primere n-tega korena za n=2 in n=3 - kvadratni in kubični koren. To pomeni, da je kvadratni koren koren druge stopnje, kubični koren pa koren tretje stopnje. Za preučevanje korenin n-te stopnje za n=4, 5, 6, ... jih je priročno razdeliti v dve skupini: prva skupina - korenine sodih stopenj (to je za n = 4, 6, 8) , ...), druga skupina - korenine lihih stopinj (to je z n=5, 7, 9, ...). To je posledica dejstva, da so koreni sodih potenc podobni kvadratnim korenom, koreni lihih potenc pa so podobni kubičnim korenom. Ukvarjajmo se z njimi enega za drugim.

Začnimo s koreni, katerih potence so soda števila 4, 6, 8, ... Kot smo že povedali, so podobni kvadratnemu korenu števila a. To pomeni, da koren katere koli sode stopnje števila a obstaja samo za nenegativno a. Poleg tega, če je a=0, potem je koren a edinstven in enak nič, in če je a>0, potem obstajata dva korena sode stopnje števila a in sta nasprotni števili.

Utemeljimo zadnjo trditev. Naj bo b koren sode stopnje (označujemo ga kot 2 m, kjer je m nekaj naravno število) od številke a . Recimo, da obstaja število c - drug koren stopnje 2·m iz števila a. Potem je b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Poznamo pa obliko b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), potem (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz te enakosti sledi, da je b−c=0, ali b+c=0, oz b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvi dve enakosti pomenita, da sta števili b in c enaki oziroma sta b in c nasprotni. In zadnja enakost velja le za b=c=0, saj je na njeni levi strani izraz, ki je nenegativen za poljubna b in c kot vsota nenegativnih števil.

Kar zadeva korenine n-te stopnje za liho n, so podobne kockastemu korenu. To je kateri koli koren neparna stopnja iz števila a obstaja za vsako realno število a in je za dano število a edinstveno.

Edinstvenost korena lihe stopnje 2·m+1 števila a dokažemo po analogiji z dokazom edinstvenosti kubnega korena iz a. Samo tukaj namesto enakosti a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) uporabljena je enačba oblike b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Izraz v zadnjem oklepaju lahko prepišemo kot b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primer, z m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Če sta a in b oba pozitivna ali oba negativna, je njun produkt pozitivno število, potem je sam izraz b 2 +c 2 +b·c v oklepaju visoka stopnja gnezdenje, je pozitiven kot vsota pozitivnih števil. Zdaj, ko se zaporedoma premaknemo na izraze v oklepajih prejšnjih stopenj gnezdenja, smo prepričani, da so pozitivni tudi kot vsota pozitivnih števil. Kot rezultat dobimo, da je enakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 mogoče le, če je b−c=0, torej ko je število b enako številu c.

Čas je, da razumemo zapis n-tih korenin. V ta namen je dano definicija aritmetični koren n-to stopnjo.

Opredelitev

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Zbrano pri nas osebne informacije omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javne pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Prva stopnja

Koren in njegove lastnosti. Podrobna teorija s primeri (2019)

Poskusimo ugotoviti, kaj je ta koncept "korenina" in "s čim se jedo". Če želite to narediti, si poglejmo primere, s katerimi ste se že srečali pri pouku (no, ali pa se boste s tem šele srečali).

Na primer, imamo enačbo. Kaj je rešitev podana enačba? Katera števila lahko kvadriramo in dobimo? Če se spomnite tabele množenja, lahko preprosto odgovorite: in (navsezadnje, ko pomnožite dve negativni števili, dobite pozitivno število)! Če poenostavimo, so se predstavili matematiki poseben koncept kvadratni koren in mu dodelil poseben simbol.

Določimo aritmetični kvadratni koren.

Zakaj mora biti število nenegativno? Na primer, čemu je enako? No, no, poskusimo izbrati enega. Mogoče tri? Preverimo: , ne. Mogoče, ? Še enkrat preverimo: . No, ne ustreza? To je pričakovano – saj ni števil, ki bi ob kvadriranju dala negativno število!
To si morate zapomniti: število ali izraz pod korenom mora biti nenegativen!

Tisti najbolj pozorni pa so verjetno že opazili, da definicija pravi, da se rešitev kvadratnega korena »števila imenuje to nenegativnoštevilo, katerega kvadrat je enak ". Nekateri boste rekli, da smo na samem začetku analizirali primer, izbrali števila, ki jih lahko kvadriramo in dobimo, odgovor je bil in, ampak tukaj govorimo o nekakšnem “nenegativnem številu”! Ta pripomba je povsem na mestu. Tukaj morate le razlikovati med pojmoma kvadratnih enačb in aritmetičnega kvadratnega korena števila. Na primer, ni enakovreden izrazu.

Iz tega sledi, da je oz. (Preberi temo "")

In temu sledi.

Seveda je to zelo zmedeno, vendar se je treba spomniti, da so predznaki rezultat reševanja enačbe, saj moramo pri reševanju enačbe zapisati vse X-e, ki jih, ko jih zamenjamo v izvirna enačba bo dal pravilen rezultat. V našem kvadratna enačba primerno za oba.

Vendar, če samo vzemite kvadratni koren od nečesa, potem vedno dobimo en nenegativen rezultat.

Zdaj poskusite rešiti to enačbo. Vse ni več tako preprosto in gladko, kajne? Poskusite pregledati številke, morda se bo kaj izšlo? Začnimo čisto od začetka – od začetka: – ne štima, gremo naprej – manj kot tri, tudi pometemo stran, kaj pa če. Preverimo: - tudi ni primeren, ker... to je več kot tri. Ista zgodba je z negativnimi števili. Torej, kaj naj storimo zdaj? Ali nam iskanje res ni dalo ničesar? Sploh ne, zdaj zagotovo vemo, da bo odgovor neko število med in, pa tudi med in. Prav tako očitno rešitve ne bodo cela števila. Poleg tega niso racionalni. Torej, kaj je naslednje? Narišimo graf funkcije in na njem označimo rešitve.

Poskusimo prevarati sistem in odgovor dobiti s pomočjo kalkulatorja! Spravimo koren iz tega! Oh-oh-oh, izkazalo se je, da. Ta številka se nikoli ne konča. Kako si lahko to zapomniš, saj na izpitu ne bo kalkulatorja!? Vse je zelo preprosto, ni vam treba zapomniti, morate se spomniti (ali biti sposobni hitro ugotoviti) približna vrednost. in sami odgovori. Takšna števila se imenujejo iracionalna; za poenostavitev pisanja takšnih števil je bil uveden koncept kvadratnega korena.

Oglejmo si še en primer, da to podkrepimo. Poglejmo naslednjo težavo: kvadratno polje s stranico km morate prečkati diagonalno, koliko km morate prehoditi?

Najbolj očitna stvar tukaj je obravnavati trikotnik ločeno in uporabiti Pitagorov izrek: . Tako,. Kakšna je torej zahtevana razdalja tukaj? Očitno razdalja ne more biti negativna, to razumemo. Koren dveh je približno enak, vendar, kot smo že omenili, - je že popoln odgovor.

Če želite rešiti primere s koreni brez povzročanja težav, jih morate videti in prepoznati. Če želite to narediti, morate poznati vsaj kvadrate števil od do in jih znati tudi prepoznati. Na primer, vedeti morate, kaj je enako kvadratu, in tudi, nasprotno, kaj je enako kvadratu.

Ste ujeli, kaj je kvadratni koren? Nato reši nekaj primerov.

Primeri.

No, kako je uspelo? Zdaj pa si poglejmo te primere:

odgovori:

Kockasti koren

No, zdi se, da smo razvrstili koncept kvadratnega korena, zdaj pa poskusimo ugotoviti, kaj je kubični koren in kakšna je njihova razlika.

Kubični koren števila je število, katerega kub je enak. Ste opazili, da je tukaj vse veliko preprostejše? Ni omejitev glede možne vrednosti tako vrednosti pod znakom kubičnega korena kot število, ki se ekstrahira. To pomeni, da je kubični koren mogoče izluščiti iz poljubnega števila: .

Ali razumete, kaj je kubični koren in kako ga izluščiti? Nato nadaljujte in rešite primere.

Primeri.

odgovori:

Koren - oh stopnja

No, razumeli smo koncepte kvadratnih in kubičnih korenin. Zdaj pa povzamemo znanje, pridobljeno s konceptom 1. koren.

1. korenštevila je število, katerega potenca je enaka, tj.

enakovreden.

Če - celo, to:

• z negativnim, izraz nima smisla (sodi koreni negativnih števil ni mogoče odstraniti!);
• za nenegativno() ima en nenegativen koren.

Če je - liho, potem ima izraz edinstven koren za kateri koli.

Naj vas ne skrbi, tukaj veljajo ista načela kot pri kvadratnih in kubičnih korenih. To pomeni, da so načela, ki smo jih uporabili pri obravnavanju kvadratnih korenov, razširjena na vse korene sode stopnje.

In lastnosti, ki so bile uporabljene za kubični koren, veljajo za korenine lihe stopnje.

No, je postalo bolj jasno? Poglejmo si primere:

Tukaj je vse bolj ali manj jasno: najprej pogledamo - ja, stopnja je soda, število pod korenom je pozitivno, kar pomeni, da je naša naloga najti število, katerega četrta potenca nam bo dala. No, kakšna ugibanja? Mogoče, ? točno tako!

Torej, stopnja je enaka - liho, število pod korenom je negativno. Naša naloga je najti število, ki, če ga dvignemo na potenco, proizvede. Precej težko je takoj opaziti korenino. Vendar pa lahko takoj zožite iskanje, kajne? Prvič, zahtevano število je zagotovo negativno, in drugič, opazimo lahko, da je liho, zato je želeno število liho. Poskusite najti koren. Seveda ga lahko varno zavrnete. Mogoče, ?

Ja, to smo iskali! Upoštevajte, da smo za poenostavitev izračuna uporabili lastnosti stopinj: .

Osnovne lastnosti korenin

To je jasno? Če ne, potem bi moralo po ogledu primerov vse pasti na svoje mesto.

Množenje korenin

Kako pomnožiti korenine? Najpreprostejša in najbolj osnovna lastnost pomaga odgovoriti na to vprašanje:

Začnimo z nečim preprostim:

Ali koreni dobljenih števil niso natančno izluščeni? Ni problema – tukaj je nekaj primerov:

Kaj pa, če nista dva, ampak več množiteljev? Enako! Formula za množenje korenov deluje s poljubnim številom faktorjev:

Kaj lahko storimo z njim? No, seveda skrijte tri pod koren, ne pozabite, da je tri kvadratni koren od!

Zakaj potrebujemo to? Da, samo za razširitev naših zmožnosti pri reševanju primerov:

Kako vam je všeč ta lastnost korenin? Ali močno olajša življenje? Zame je to točno tako! Samo zapomniti si moraš to Pod koren sode stopnje lahko vpišemo samo pozitivna števila.

Poglejmo, kje je še lahko to koristno. Na primer, problem zahteva primerjavo dveh števil:

Še to:

Ne morete takoj povedati. No, uporabimo disassembled lastnost vnosa števila pod znak korena? Potem nadaljuj:

No, saj vem kaj večje število pod znakom korena, večji je sam koren! Tisti. če, potem, . Iz tega trdno sklepamo, da. In nihče nas ne bo prepričal v nasprotno!

Pred tem smo pod znak korena vnesli množitelj, a kako ga odstraniti? Samo razložiti ga morate na faktorje in izluščiti, kar izluščite!

Možno je bilo ubrati drugačno pot in se razširiti na druge dejavnike:

Ni slabo, kajne? Vsak od teh pristopov je pravilen, odločite se, kot želite.

Tukaj je na primer izraz:

V tem primeru je stopnja soda, kaj pa če je liha? Ponovno uporabite lastnosti eksponentov in faktorizirajte vse:

S tem se zdi vse jasno, toda kako izvleči koren števila na moč? Tukaj je na primer to:

Precej preprosto, kajne? Kaj pa, če je diploma večja od dve? Sledimo isti logiki z uporabo lastnosti stopinj:

No, je vse jasno? Potem je tukaj primer:

To so pasti, o njih vedno vreden spomina. To se dejansko odraža v primerih lastnosti:

To je jasno? Podkrepite s primeri:

Ja, vidimo, da je koren na sodo potenco, negativno število pod korenom je tudi na sodo potenco. No, ali se izkaže enako? Evo kaj:

To je vse! Tukaj je nekaj primerov:

Razumem? Nato nadaljujte in rešite primere.

Primeri.

odgovori.

Če ste prejeli odgovore, potem lahko mirne duše nadaljujete. Če ne, potem razumejmo te primere:

Oglejmo si še dve lastnosti korenin:

Te lastnosti je treba analizirati na primerih. No, naredimo to?

Razumem? Zavarujmo ga.

Primeri.

odgovori.

KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. POVPREČNA STOPNJA

Aritmetični kvadratni koren

Enačba ima dve rešitvi: in. To so števila, katerih kvadrat je enak.

Razmislite o enačbi. Rešimo jo grafično. Narišimo graf funkcije in premico na ravni. Presečišča teh črt bodo rešitve. Vidimo, da ima tudi ta enačba dve rešitvi - eno pozitivno in drugo negativno:

Ampak v v tem primeru rešitve niso cela števila. Poleg tega niso racionalni. Da bi te zapisal neracionalne odločitve, uvedemo poseben simbol kvadratnega korena.

Aritmetični kvadratni koren je nenegativno število, katerega kvadrat je enak. Ko izraz ni definiran, ker Ni števila, katerega kvadrat je enak negativnemu številu.

Kvadratni koren: .

Na primer,. In iz tega sledi oz.

Naj vas še enkrat opozorim, to je zelo pomembno: Kvadratni koren je vedno nenegativno število: !

Kockasti korenštevila je število, katerega kub je enak. Kubični koren je definiran za vse. Izvleče se lahko iz poljubne številke: . Kot lahko vidite, ima lahko tudi negativne vrednosti.

Koren števila je število, katerega potenca je enaka, tj.

Če je sodo, potem:

• če, potem je th koren od a nedefiniran.
• če, potem se nenegativni koren enačbe imenuje aritmetični koren th stopnje in je označen.

Če je - liho, potem ima enačba edinstven koren za katero koli.

Ste opazili, da levo nad znakom korena pišemo njegovo stopnjo? Ampak ne za kvadratni koren! Če vidite koren brez stopnje, to pomeni, da je kvadrat (stopinj).

Primeri.

Osnovne lastnosti korenin

KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratni koren (aritmetični kvadratni koren) iz nenegativnega števila se imenuje to nenegativno število, katerega kvadrat je

Lastnosti korenin:

Aritmetični koren druge stopnje

Definicija 1

Drugi koren (ali kvadratni koren) od $a$ pokličite število, ki postane, če ga kvadrirate, enako $a$.

Primer 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, kar pomeni, da je število $7$ 2. koren števila $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, kar pomeni, da je število $0,9$ 2. koren števila $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, kar pomeni, da je število $1$ 2. koren števila $1$.

Opomba 2

Preprosto povedano, za poljubno število $a

$a=b^2$ za negativno $a$ ni pravilno, ker $a=b^2$ ne more biti negativen za nobeno vrednost $b$.

Lahko sklepamo, da za realna števila ne more biti 2. korena negativnega števila.

Opomba 3

Ker $0^2=0 \cdot 0=0$, potem iz definicije sledi, da je nič 2. koren iz nič.

Definicija 2

Aritmetični koren 2. stopnje števila $a$($a \ge 0$) je nenegativno število, ki je na kvadrat enako $a$.

Imenujejo se tudi korenine 2. stopnje kvadratni koreni.

Aritmetični koren 2. stopnje števila $a$ je označen kot $\sqrt(a)$ ali pa lahko vidite zapis $\sqrt(a)$. Najpogosteje pa je za kvadratni koren število $2$ korenski eksponent- ni določeno. Znak “$\sqrt( )$” je znak aritmetičnega korena 2. stopnje, ki se imenuje tudi “ radikalni znak" Pojma "koren" in "radikal" sta imeni istega predmeta.

Če je pod znakom aritmetičnega korena število, se to imenuje radikalno število, in če izraz, potem – radikalno izražanje.

Vnos $\sqrt(8)$ se bere kot "aritmetični koren 2. stopnje osem", beseda "aritmetika" pa se pogosto ne uporablja.

Definicija 3

Po definiciji aritmetični koren 2. stopnje se lahko napiše:

Za kateri koli $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Pokazali smo razliko med drugim korenom in aritmetičnim drugim korenom. V nadaljevanju bomo upoštevali samo korenine nenegativnih števil in izrazov, tj. samo aritmetika.

Aritmetični koren tretje stopnje

Definicija 4

Aritmetični koren 3. stopnje (ali kubični koren) števila $a$($a \ge 0$) je nenegativno število, ki postane kockasto enako $a$.

Pogosto se beseda aritmetika izpusti in rečejo "tretji koren števila $a$".

Aritmetični koren 3. stopnje $a$ je označen kot $\sqrt(a)$, znak “$\sqrt( )$” je znak aritmetičnega korena 3. stopnje, število $3$ pa v ta zapis se imenuje korenski indeks. Število ali izraz, ki se pojavi pod znakom korena, se imenuje radikalen.

Primer 2

$\sqrt(3,5)$ – aritmetični koren 3. stopnje od $3,5$ ali kubični koren od $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – aritmetični koren 3. stopnje od $x+5$ ali kubni koren od $x+5$.

Aritmetični n-ti koren

Definicija 5

Aritmetika n-ti koren stopnje iz števila $a \ge 0$ se pokliče nenegativno število, ki postane, če ga dvignemo na $n$to potenco, enako $a$.

Zapis za aritmetični koren stopnje $n$ od $a \ge 0$:

kjer je $a$ radikalno število ali izraz,

Aritmetična korenina n-te stopnje nenegativnega števila je nenegativno število n-to stopnjo kar je enako:

Moč korena je naravno število, večje od 1.

3.

4.

Posebni primeri:

1. Če korenski eksponent ni celo število sodo število (), potem je radikalni izraz lahko negativen.

V primeru lihega eksponenta enačba za poljubno realno vrednost in celo število VEDNO ima en sam koren:

Za koren lihe stopnje velja naslednja identiteta:

,

2. Če je korenski eksponent sodo celo število (), potem radikalni izraz ne more biti negativen.

V primeru sodega eksponenta enačba Ima

pri enojni koren

in, če in

Za koren sode stopnje velja naslednja identiteta:

Za koren sode stopnje veljajo naslednje enakosti::

Funkcija moči, njegove lastnosti in graf.

Funkcija moči in njene lastnosti.

Potenčna funkcija z naravnim eksponentom. Funkcijo y = x n, kjer je n naravno število, imenujemo potenčna funkcija z naravnim eksponentom. Za n = 1 dobimo funkcijo y = x, njene lastnosti:

Neposredna sorazmernost. Neposredna sorazmernost je funkcija podana s formulo y = kx n, pri čemer število k imenujemo sorazmernostni koeficient.

Naštejmo lastnosti funkcije y = kx.

Domena funkcije je množica vseh realnih števil.

y = kx - ne celo funkcijo(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Pri k > 0 funkcija narašča, pri k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Graf (ravna črta) je prikazan na sliki II.1.

riž. II.1.

Ko je n=2, dobimo funkcijo y = x 2, njene lastnosti:

Funkcija y -x 2. Naštejmo lastnosti funkcije y = x 2.

y = x 2 - soda funkcija (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Funkcija se z intervalom zmanjšuje.

Dejansko, če je , potem - x 1 > - x 2 > 0, in zato

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, tj. in to pomeni, da funkcija pada.

Graf funkcije y=x2 je parabola. Ta graf je prikazan na sliki II.2.

riž. II.2.

Ko je n = 3, dobimo funkcijo y = x 3, njene lastnosti:

Domena definicije funkcije je celotna številska premica.

y = x 3 - liha funkcija (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funkcija y = x 3 narašča vzdolž celotne številske premice. Graf funkcije y = x 3 je prikazan na sliki. Imenuje se kubična parabola.

Graf (kubična parabola) je prikazan na sliki II.3.

riž. II.3.

Naj bo n poljubno sodo naravno število, večje od dve:

n = 4, 6, 8,... . V tem primeru ima funkcija y = x n enake lastnosti kot funkcija y = x 2. Graf takšne funkcije je podoben paraboli y = x 2, le da sta veji grafa pri |n| >1 bolj ko gredo navzgor, večji je n, in bolj ko so "pritisnjeni" na x os, večji je n.

Naj bo n poljubno liho število, večje od tri: n = = 5, 7, 9, ... . V tem primeru ima funkcija y = x n enake lastnosti kot funkcija y = x 3. Graf takšne funkcije je podoben kubični paraboli (samo veje grafa se dvigajo in spuščajo čim bolj strmo, večji je n. Upoštevajte tudi, da se na intervalu (0; 1) graf potenčne funkcije y = x n premika proč od osi x počasneje, ko x narašča, bolj kot n.

Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom. Razmislite o funkciji y = x - n, kjer je n naravno število. Ko je n = 1, dobimo y = x - n ali y = Lastnosti te funkcije:

Graf (hiperbola) je prikazan na sliki II.4.