Reševanje iracionalnih trigonometričnih enačb. Metode reševanja iracionalnih enačb

1.1 Iracionalne enačbe

Iracionalne enačbe pogosto najdemo v sprejemni izpiti v matematiki, saj je z njihovo pomočjo enostavno diagnosticirati poznavanje pojmov, kot so ekvivalentne transformacije, domena definicije in drugi. Metode rešitve iracionalne enačbe, praviloma temeljijo na možnosti zamenjave (z uporabo nekaterih transformacij) ir racionalna enačba racionalno, ki je enakovredna prvotni iracionalni enačbi ali pa je njena posledica. Najpogosteje sta obe strani enačbe dvignjeni na isto potenco. Enakovrednost ni kršena, če sta vgrajena oba dela neparna stopnja. V nasprotnem primeru je potrebno preveriti najdene rešitve ali ovrednotiti predznak obeh strani enačbe. Obstajajo pa tudi druge tehnike, ki so morda bolj učinkovite pri reševanju iracionalnih enačb. Na primer, metoda trigonometrična zamenjava.

Primer 1: Reši enačbo

Od takrat. Zato lahko postavimo . Enačba bo dobila obliko

Potem postavimo kam

.

.

odgovor: .

Algebraična rešitev

Od takrat . pomeni, , tako da lahko razširite modul

.

odgovor: .

Algebraično reševanje enačbe zahteva dobre veščine pri izvajanju transformacij identitete in kompetentno ravnanje z enakovrednimi prehodi. Toda na splošno sta obe metodi odločanja enakovredni.

Primer 2: Reši enačbo

.

Rešitev z uporabo trigonometrične substitucije

Definicijsko področje enačbe poda neenačba, ki je torej enakovredna pogoju. Zato lahko postavite. Enačba bo dobila obliko

Od takrat. Odpremo notranji modul

Postavimo , Potem

.

Pogoj izpolnjujeta dve vrednosti in .

.

.

odgovor: .

Algebraična rešitev

.

Kvadrirajmo enačbo prvega sistema populacije in dobimo

Naj bo potem. Enačba bo prepisana kot

S preverjanjem ugotovimo, da je koren, nato pa z deljenjem polinoma z binomom dobimo razgradnjo desne strani enačbe na faktorje

Gremo od spremenljivke do spremenljivke, dobimo

.

Pogoj zadovoljujejo dve vrednosti

.

Če nadomestimo te vrednosti v prvotno enačbo, ugotovimo, da je to koren.

Če na podoben način rešimo enačbo drugega sistema prvotne množice, ugotovimo, da je tudi ta koren.

odgovor: .

Če sta bili v prejšnjem primeru algebrska rešitev in rešitev s trigonometrično substitucijo enakovredni, potem v v tem primeru rešitev z zamenjavo je donosnejša. Pri reševanju enačbe z uporabo algebre morate rešiti niz dveh enačb, to je dvakrat kvadrirati. Po tej neenaki transformaciji dobimo dve enačbi četrte stopnje z iracionalnimi koeficienti, ki ju lahko odpravimo s substitucijo. Druga težava je preverjanje rešitev, ki jih najdemo tako, da jih zamenjamo v prvotno enačbo.

Primer 3: Reši enačbo

.

Rešitev z uporabo trigonometrične substitucije

Od takrat. Upoštevajte, da negativna vrednost neznanke ne more biti rešitev problema. Dejansko pretvorimo izvirno enačbo v obliko

.

Faktor v oklepaju na levi strani enačbe je pozitiven, desna stran enačbe je prav tako pozitivna, torej faktor na levi strani enačbe ne more biti negativen. Zato, torej, zato lahko postavite Prvotna enačba bo prepisana kot

Od , potem in . Enačba bo dobila obliko

Pustiti . Pojdimo z enačbe na enakovredni sistem

.

Številke so korenine kvadratna enačba

.

Algebraična rešitev Kvadratirajmo obe strani enačbe

Predstavimo zamenjavo , potem bo enačba zapisana v obliki

Drugi koren je odveč, zato upoštevajte enačbo

.

Od takrat.

V tem primeru je algebraična rešitev v tehnično preprostejša, vendar je potrebno obravnavati dano rešitev s trigonometrično substitucijo. Prvič, to je posledica nestandardne narave same zamenjave, ki uničuje stereotip, da je uporaba trigonometrične zamenjave možna le, če. Izkazalo se je, da se uporablja tudi trigonometrična substitucija. Drugič, težko je rešiti trigonometrično enačbo , ki se zmanjša z uvedbo substitucije v sistemu enačb. V določenem smislu se lahko ta zamenjava šteje tudi za nestandardno, poznavanje pa vam omogoča, da obogatite svoj arzenal tehnik in metod za reševanje trigonometrične enačbe.

Primer 4: Reši enačbo

.

Rešitev z uporabo trigonometrične substitucije

Ker lahko spremenljivka sprejme katero koli realno vrednost, postavimo . Potem

,

Ker .

Prvotna enačba bo ob upoštevanju izvedenih transformacij dobila obliko

Ker obe strani enačbe delimo z , dobimo

Pustiti , Potem . Enačba bo dobila obliko

.

Glede na zamenjavo , dobimo niz dveh enačb

.

Rešimo vsako enačbo množice posebej.

.

Ne more biti sinusna vrednost, saj za vse vrednosti argumenta.

.

Ker in je desna stran prvotne enačbe pozitivna, potem . Iz česar izhaja, da .

Ta enačba nima korenin, saj .

Torej ima prvotna enačba en sam koren

.

Algebraična rešitev

Ta enačba zlahka "pretvorimo" v racionalno enačbo osme stopnje s kvadriranjem obeh strani prvotne enačbe. Iskanje korenin dobljene racionalne enačbe je težko in ga je treba imeti visoka stopnja iznajdljivost za spopadanje z nalogo. Zato je priporočljivo poznati drug način reševanja, manj tradicionalen. Na primer, zamenjava, ki jo je predlagal I. F. Sharygin.

Postavimo , Potem

Transformirajmo desno stran enačbe :

Ob upoštevanju transformacij enačba bo dobil obliko

.

Predstavimo torej zamenjavo

.

Drugi koren je torej odveč in .

Če ideja za rešitev enačbe ni vnaprej znana , potem je reševanje standardne rešitve s kvadriranjem obeh strani enačbe problematično, saj je rezultat enačba osme stopnje, katere korene je izjemno težko najti. Rešitev s trigonometrično zamenjavo je videti okorna. Morda bo težko najti korenine enačbe, če ne opazite, da je vzajemna. Rešitev te enačbe se pojavi z uporabo aparata algebre, zato lahko rečemo, da je predlagana rešitev kombinirana. V njej informacije iz algebre in trigonometrije delujejo skupaj za en cilj – pridobiti rešitev. Tudi reševanje te enačbe zahteva natančno preučitev dveh primerov. Rešitev s substitucijo je tehnično preprostejša in lepša kot uporaba trigonometrične substitucije. Priporočljivo je, da učenci poznajo ta način nadomeščanja in ga uporabljajo pri reševanju nalog.

Poudarjamo, da mora biti uporaba trigonometrične substitucije za reševanje problemov zavestna in utemeljena. Zamenjavo je priporočljivo uporabiti v primerih, ko je rešitev na drug način težja ali popolnoma nemogoča. Navedimo še en primer, ki ga je za razliko od prejšnjega lažje in hitreje rešiti s standardno metodo.

Realne številke. Približek realna števila končni decimalni ulomki.

Realno ali pravo število - matematična abstrakcija, ki je nastala zaradi potrebe po merjenju geometrijskih in fizikalne količine okoliški svet, pa tudi izvajanje operacij, kot so pridobivanje korenin, računanje logaritmov, reševanje algebrskih enačb. če cela števila nastala v procesu štetja, racionalna - iz potrebe po delovanju z deli celote, potem so realna števila namenjena merjenju neprekinjene količine. Tako je razširitev obravnavane zaloge števil privedla do niza realnih števil, ki poleg racionalnih števil vključuje tudi druge elemente, imenovane iracionalna števila .

Absolutna napaka in njena meja.

Naj obstaja neka numerična vrednost in številčna vrednost, ki mu je dodeljena, velja za natančno, nato pod napaka približne vrednosti številčna vrednost (napaka) razumejo razliko med točno in približno vrednostjo številske vrednosti: . Napaka ima lahko pozitivne in negativne vrednosti. Količina se imenuje znani približek na natančno vrednost numerične količine – katero koli število, ki se uporablja namesto tega točna vrednost. Najenostavnejša kvantitativna mera napake je absolutna napaka. Absolutna napaka približna vrednost je količina, za katero je znano, da: Relativna napaka in njena meja.

Kakovost aproksimacije je bistveno odvisna od sprejetih merskih enot in veličinskih lestvic, zato je priporočljivo povezati napako količine in njeno vrednost, za kar je uveden pojem relativne napake. Relativna napaka približna vrednost je količina, za katero je znano, da: . Relativna napaka je pogosto izražena v odstotkih. Uporaba relativnih napak je priročna predvsem zato, ker niso odvisne od merila količin in merskih enot.

Iracionalne enačbe

Enačbe, ki vsebujejo spremenljivko pod predznakom korena, imenujemo iracionalne. Pri reševanju iracionalnih enačb je treba dobljene rešitve preveriti, saj lahko na primer nepravilna enakost pri kvadriranju da pravilno enakost. Pravzaprav nepravilna enakost na kvadrat daje pravilno enakost 1 2 = (-1) 2, 1=1. Včasih je bolj priročno reševati iracionalne enačbe z uporabo ekvivalentnih prehodov.

Kvadrirajmo obe strani te enačbe; Po transformacijah pridemo do kvadratne enačbe; in zamenjajmo.

Kompleksna števila. Operacije s kompleksnimi števili.

Kompleksna števila so razširitev množice realnih števil, običajno označena z . Vsako kompleksno število je mogoče predstaviti kot formalno vsoto x + iy, Kje x in l- realna števila, jaz - imaginarna enota Kompleksna števila tvorijo algebraično zaprto polje – to pomeni, da polinom stopnje n s kompleksnimi koeficienti ima točno n kompleksne korenine, to je temeljni izrek algebre resničen. To je eden glavnih razlogov za njegovo široko uporabo kompleksna števila V matematične raziskave. Poleg tega nam uporaba kompleksnih števil omogoča priročno in kompaktno oblikovanje mnogih matematičnih modelov, ki se uporablja v matematična fizika in v naravne znanosti- elektrotehnika, hidrodinamika, kartografija, kvantna mehanika, teorija nihanj in mnogi drugi.

Primerjava a + bi = c + di pomeni, da a = c in b = d(dve kompleksni števili sta enaki, če in samo če sta njun realni in imaginarni del enaka).

dodatek ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) jaz .

odštevanje ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) jaz .

Množenje

Numerična funkcija. Metode za določanje funkcije

Pri matematiki numerična funkcija je funkcija, katere domene definicije in vrednosti so podmnožice številski nizi- običajno niz realnih števil ali niz kompleksnih števil.

Verbalno: Z naravni jezik Igrek enako cel del od x. Analitično: z uporabo analitično formulo f (x) = x !

Grafika Uporaba grafa Delček grafa funkcije.

Tabelarno: z uporabo tabele vrednosti

Osnovne lastnosti funkcije

1) Funkcijska domena in funkcijsko območje . Domena funkcije x(spremenljivka x), za katero je funkcija y = f(x) odločen.

Območje delovanja l, ki jih funkcija sprejme. IN elementarna matematika funkcije proučujemo samo na množici realnih števil.2 ) Ničelna funkcija) Monotonost funkcije . Povečanje funkcije Zmanjševanje funkcije . Celotna funkcija X f(-x) = f(x). Čudna funkcija- funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izhodišče koordinat in za katero koli X f (-x) = - f (x. Funkcija se imenuje omejeno neomejeno .7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) - periodično obdobje funkcije

Funkcijski grafi. Najenostavnejše transformacije grafov s funkcijo

Graf funkcije- niz točk, katerih abscise so veljavne vrednosti argumenta x, ordinate pa so ustrezne vrednosti funkcije l .

Ravna črta- urnik linearna funkcija y = ax + b. Funkcija y monotono narašča pri a > 0 in pada pri a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabola- funkcijski graf kvadratni trinom y = ax 2 + bx + c. Ima navpična os simetrija. Če je a > 0, ima minimum, če je a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0

Hiperbola- graf funkcije. Pri a > O se nahaja v I in III četrtini, pri a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ali y - x (a< 0).

Logaritemska funkcija y = log a x(a > 0)

Trigonometrične funkcije. Pri konstruiranju trigonometričnih funkcij uporabljamo radian merilo kotov. Nato funkcija l= greh x je predstavljen z grafom (slika 19). Ta krivulja se imenuje sinusoid .

Graf funkcije l=cos x prikazano na sl. 20; to je tudi sinusni val, ki je posledica premikanja grafa l= greh x vzdolž osi X levo do /2.

Osnovne lastnosti funkcij. Monotonost, parnost, lihost, periodičnost funkcij.

Funkcijska domena in funkcijska domena . Domena funkcije je nabor vseh veljavnih prave vrednosti prepir x(spremenljivka x), za katero je funkcija y = f(x) odločen.

Območje delovanja je množica vseh realnih vrednosti l, ki jih funkcija sprejme.

V osnovni matematiki preučujemo funkcije le na množici realnih števil.2 ) Ničelna funkcija- vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije enaka nič.3 ) Intervali konstantnega predznaka funkcije- takšne množice vrednosti argumentov, na katerih so vrednosti funkcije samo pozitivne ali samo negativne.4 ) Monotonost funkcije .

Povečanje funkcije(v nekem intervalu) - funkcija, za katero višja vrednost argument iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

Zmanjševanje funkcije(v določenem intervalu) - funkcija, ki ji ustreza večja vrednost argumenta iz tega intervala nižjo vrednost funkcije.5 ) Soda (liha) funkcija . Celotna funkcija- funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izhodišče koordinat in za katero koli X s področja definicije enakost f(-x) = f(x). Urnik celo funkcijo simetrično glede na ordinatno os. Čudna funkcija- funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izhodišče koordinat in za katero koli X s področja definicije velja enakost f (-x) = - f (x). Urnik nenavadna funkcija simetrična glede na izvor.6 ) Omejene in neomejene funkcije. Funkcija se imenuje omejeno, če obstaja pozitivno število M tako, da |f (x) | ≤ M za vse vrednosti x. Če taka številka ne obstaja, potem funkcija obstaja neomejeno .7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) - periodično, če obstaja neničelno število T tako, da za vsak x iz domene definicije funkcije velja: f (x+T) = f (x). to najmanjše število klical obdobje funkcije. Vse trigonometrične funkcije so periodične. (Trigonometrične formule).

Periodične funkcije. Pravila za iskanje glavne periode funkcije.

Periodična funkcija- funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti po določenem obdobju, ki ni nič, to pomeni, da ne spremeni svoje vrednosti, ko se argumentu doda fiksno število, ki ni nič (obdobje). Vse trigonometrične funkcije so periodične. So nezvesti izjave o znesku periodične funkcije: Vsota 2 funkcij s primerljivimi (celo osnovnimi) obdobji T 1 in T 2 je funkcija z obdobjem LCM ( T 1 ,T 2). Vsota dveh zveznih funkcij z nesorazmernimi (celo osnovnimi) obdobji je neperiodična funkcija. Ni periodičnih funkcij enaka konstanti, katerih obdobja so nesorazmerna števila.

Risanje grafov potenčnih funkcij.

Funkcija moči. To je funkcija: y = axn, Kje a, n- trajno. pri n= 1 dobimo premo sorazmernost : l =sekira; pri n = 2 - kvadratna parabola ; pri n = 1 - obratno sorazmernost oz hiperbola. Tako so te funkcije posebni primeri potenčne funkcije. Vemo, da je ničelna potenca katerega koli števila, ki ni nič, 1, torej, ko n= 0 potenčna funkcija postane konstantna vrednost: l =a, tj. njen graf je ravna črta, vzporedna z osjo X, razen izvora (prosimo, pojasnite, zakaj?). Vsi ti primeri (z a= 1) so prikazani na sliki 13 ( n 0) in sl. 14 ( n < 0). Negativne vrednosti x tukaj niso zajete, od takrat nekatere funkcije:

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija- funkcija, ki obrne odvisnost, izraženo s to funkcijo. Funkcija je inverzna funkciji, če so izpolnjene naslednje identitete: za vse za vse

Limit funkcije v točki. Osnovne lastnosti limita.

Koren n in njegove lastnosti.

N-ti koren števila je število, katerega n-ta potenca je enaka a.

definicija: Aritmetični koren N-ta potenca a je nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Osnovne lastnosti korenin:

Potencija s poljubnim realnim eksponentom in njene lastnosti.

Naj sta podana pozitivno število in poljubno realno število. Število imenujemo potenca, število je osnova potence, število pa je eksponent.

Po definiciji verjamejo:

Če - pozitivna števila, in so poljubna realna števila, potem veljajo naslednje lastnosti:

.

.

Funkcija moči, njene lastnosti in grafi

Funkcija moči kompleksna spremenljivka f (z) = z n s celim eksponentom se določi z uporabo analitičnega nadaljevanja podobne funkcije realnega argumenta. V ta namen se uporablja eksponentna oblika zapisa kompleksnih števil. potenčna funkcija s celim eksponentom je analitična v celotni kompleksni ravnini, tako kot produkt končno število primeri preslikave identitete f (z) = z. Po izreku edinstvenosti ta dva kriterija zadoščata za edinstvenost nastalega analitičnega nadaljevanja. Z uporabo te definicije lahko takoj sklepamo, da ima funkcija moči kompleksne spremenljivke pomembne razlike od njene realne protipostavke.

To je funkcija oblike , . Upoštevani so naslednji primeri:

A). Če, potem. Potem, ; če je število sodo, je funkcija soda (tj pred vsemi); če je število liho, potem je funkcija liha (tj pred vsemi).

Eksponentna funkcija, njene lastnosti in grafi

Eksponentna funkcija - matematična funkcija.

V realnem primeru je osnova diplome nekaj nenegativnega realno število, argument funkcije pa je pravi eksponent.

V teoriji kompleksne funkcije obravnava se bolj splošen primer, ko sta lahko argument in eksponent poljubno kompleksno število.

V samem splošni pogled - u v, ki ga je uvedel Leibniz leta 1695

Posebej omembe vreden je primer, ko število e deluje kot osnova stopnje. Takšno funkcijo imenujemo eksponentna (realna ali kompleksna).

Lastnosti ; ; .

Eksponentne enačbe.

Pojdimo neposredno k eksponentnim enačbam. Da bi se odločil eksponentna enačba je treba uporabiti naslednji izrek: Če sta potenci enaki in sta osnovi enaki, pozitivni in različni od ena, potem sta njuna eksponenta enaka. Dokažimo ta izrek: Naj bo a>1 in a x =a y.

Dokažimo, da je v tem primeru x=y. Predpostavimo nasprotno od tega, kar je treba dokazati, tj. predpostavimo, da je x>y ali da je x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ay. Oba rezultata sta v nasprotju s pogoji izreka. Zato je x = y, kar je bilo treba dokazati.

Definicija 1. Navpičnica na dano premico je odsek, pravokoten na dano premico, katerega konci so na presečišču. Konec odseka, ki leži na dani premici, se imenuje osnova navpičnice.

Definicija 2. Naklon, ki poteka od dane točke do dane črte, se imenuje povezovalni segment to točko s katero koli točko na premici, ki ni osnova navpičnice, spuščene iz iste točke na dano premico. AB je pravokotna na ravnino α.

AC - poševno, CB - projekcija.

C je osnova nagnjenice, B je osnova navpičnice.

Kot med premico in ravnino.

Kot med premico in ravnino Vsak kot med ravno črto in njeno projekcijo na to ravnino se imenuje.

Diedrski kot.

Diedrski kot- prostorski geometrijski lik, ki ga tvorita dve polravnini, ki izhajata iz ene ravne črte, ter del prostora, omejen s tema polravninama. Polravnine se imenujejo robovi diedrski kot, njuna skupna premica pa je rob. Merijo se diedrski koti linearni kot, to je kot, ki ga tvori presečišče diedričnega kota z ravnino, pravokotno na njegov rob. Vsak polieder, pravilen ali nepravilen, konveksen ali konkaven, ima na vsakem robu diedrski kot.

Pravokotnost dveh ravnin.

ZNAK PRAVOKOTNOSTI RAVNIN.

Če gre ravnina skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, potem sta ti ravnini pravokotni.

Mestna izobraževalna ustanova

"Srednja šola Kuedino št. 2"

Metode reševanja iracionalnih enačb

Izpolnila: Olga Egorova,

Nadzornik:

učiteljica

matematika,

najvišja kvalifikacija

Uvod....……………………………………………………………………………………… 3

Oddelek 1. Metode za reševanje iracionalnih enačb…………………………………6

1.1 Reševanje iracionalnih enačb dela C……….….….…………………21

Sekcija 2. Individualne naloge…………………………………………….....………...24

odgovori………………………………………………………………………………………….25

Bibliografija…….…………………………………………………………………….26

Uvod

Matematična izobrazba, pridobljena v Srednja šola, je bistvena sestavina Splošna izobrazba in splošna kultura sodobni človek. Skoraj vse, kar obdaja sodobnega človeka, je tako ali drugače povezano z matematiko. A najnovejši dosežki v fiziki, tehniki in informacijski tehnologiji ni dvoma, da bo tudi v prihodnje stanje ostalo enako. Zato odločitev mnogih praktični problemi pride do odločitve različne vrste enačbe, ki se jih morate naučiti reševati. Ena od teh vrst so iracionalne enačbe.

Iracionalne enačbe

Enačba, ki vsebuje neznano (ali racionalno algebrski izraz iz neznanega) pod radikalnim znakom, imenovan iracionalna enačba. V elementarni matematiki rešitve iracionalnih enačb najdemo v množici realnih števil.

Vsako iracionalno enačbo je mogoče reducirati na racionalno algebrsko enačbo z uporabo elementarnih algebrskih operacij (množenje, deljenje, povišanje obeh strani enačbe na celo potenco). Upoštevati je treba, da se lahko dobljena racionalna algebrska enačba izkaže za neekvivalentno izvirni iracionalni enačbi, in sicer lahko vsebuje "dodatne" korene, ki ne bodo koreni prvotne iracionalne enačbe. Torej, ko smo našli korenine nastalega racionalnega algebraična enačba, je treba preveriti, ali so vsi koreni racionalne enačbe koreni iracionalne enačbe.

IN splošni primer težko je navesti katero koli univerzalno metodo za reševanje katere koli iracionalne enačbe, saj je zaželeno, da kot rezultat transformacij izvirne iracionalne enačbe rezultat ni le neka racionalna algebrska enačba, med koreninami katere bodo korenine dane iracionalne enačbe, vendar čim manj racionalne algebraične enačbe, sestavljene iz polinomov. Želja po pridobitvi te racionalne algebrske enačbe, sestavljene iz polinomov najmanjše možne stopnje, je povsem naravna, saj je iskanje vseh korenin racionalne algebrske enačbe samo po sebi lahko povsem težka naloga, ki jih lahko popolnoma rešimo le v zelo omejenem številu primerov.

Vrste iracionalnih enačb

Reševanje iracionalnih enačb sode stopnje vedno povzroči več težav kot reševanje iracionalnih enačb lihe stopnje. Pri reševanju iracionalnih enačb lihe stopnje se OD ne spremeni. Zato bomo v nadaljevanju obravnavali iracionalne enačbe, katerih stopnja je soda. Obstajata dve vrsti iracionalnih enačb:

2..

Razmislimo o prvem od njih.

ODZ enačbe: f(x)≥ 0. V ODZ leva stran enačba je vedno nenegativna - zato lahko rešitev obstaja le, če g(x)≥ 0. V tem primeru sta obe strani enačbe nenegativni in potenciranje 2 n daje ekvivalentno enačbo. To razumemo

Bodimo pozorni na dejstvo, da v tem primeru ODZ se izvaja avtomatsko in ni treba napisati njega, ampak pogojg(x) ≥ 0 je treba preveriti.

Opomba: To je zelo pomemben pogoj enakovrednost. Prvič, študenta osvobodi potrebe po raziskovanju in po iskanju rešitev preveri pogoj f(x) ≥ 0 – nenegativnost radikalnega izraza. Drugič, osredotoča se na preverjanje stanjag(x) ≥ 0 – nenegativnost desne strani. Navsezadnje je po kvadriranju enačba rešena to pomeni, da se rešita dve enačbi hkrati (vendar na različnih intervalih numerične osi!):

1. - kje g(x)≥ 0 in

2. - kjer je g(x) ≤ 0.

Medtem pa mnogi iz šolske navade iskanja ODZ pri reševanju takšnih enačb ravnajo ravno nasprotno:

a) po najdenih rešitvah preverijo pogoj f(x) ≥ 0 (ki je samodejno izpolnjen), pri tem pa delajo aritmetične napake in dobijo napačen rezultat;

b) zanemarite pogojg(x) ≥ 0 - in spet se lahko izkaže, da je odgovor napačen.

Opomba: Ekvivalenčni pogoj je še posebej uporaben pri reševanju trigonometričnih enačb, pri katerih je iskanje ODZ povezano z reševanjem trigonometrične neenakosti, kar je veliko težje kot reševanje trigonometričnih enačb. Preverjanje parnih pogojev v trigonometričnih enačbah g(x)≥ 0 ni vedno lahko narediti.

Oglejmo si drugo vrsto iracionalnih enačb.

. Naj bo podana enačba . Njegov ODZ:

V ODZ sta obe strani nenegativni in kvadriranje da ekvivalentno enačbo f(x) =g(x). Zato v ODZ oz

S to metodo rešitve je dovolj, da preverite nenegativnost ene od funkcij - lahko izberete enostavnejšo.

Oddelek 1. Metode za reševanje iracionalnih enačb

1 metoda. Znebite se radikalov z zaporednim dvigovanjem obeh strani enačbe na ustrezno naravna stopnja

Najpogosteje uporabljena metoda za reševanje iracionalnih enačb je metoda izločanja radikalov z zaporednim dvigovanjem obeh strani enačbe na ustrezno naravno potenco. Upoštevati je treba, da ko sta obe strani enačbe povišani na liho potenco, je nastala enačba enakovredna prvotni, in ko sta obe strani enačbe povišani na sodo potenco, bo nastala enačba na splošno povedano, biti neekvivalenten izvirni enačbi. To lahko enostavno preverimo tako, da obe strani enačbe dvignemo na poljubno sodo potenco. Rezultat te operacije je enačba , katerega množica rešitev je unija množic rešitev: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Vendar Kljub tej pomanjkljivosti je postopek dvigovanja obeh strani enačbe na neko (pogosto enakomerno) potenco najpogostejši postopek redukcije iracionalne enačbe na racionalno enačbo.

Reši enačbo:

Kje - nekaj polinomov. Zaradi definicije operacije ekstrakcije korena v nizu realnih števil so dovoljene vrednosti neznanke https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 višina =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Ker sta bili obe strani enačbe 1 na kvadrat, se lahko izkaže, da ne bodo vsi koreni enačbe 2 rešitve prvotne enačbe; preverjanje korenov je potrebno.

Reši enačbo:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Kocke obeh strani enačbe, dobimo

Glede na to, da https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(zadnja enačba ima lahko korenine, ki na splošno niso korenine enačba ).

Kockamo obe strani te enačbe: . Enačbo prepišemo v obliki x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. S preverjanjem ugotovimo, da je x1 = 0 tuj koren enačbe (-2 ≠ 1), x2 = 1 pa zadošča prvotnemu enačba.

odgovor: x = 1.

2. metoda. Zamenjava sosednji sistem pogoji

Pri reševanju iracionalnih enačb, ki vsebujejo radikale sodega reda, se lahko v odgovorih pojavijo tuji koreni, ki jih ni vedno lahko prepoznati. Da bi olajšali prepoznavanje in zavrženje tujih korenin, jih pri reševanju iracionalnih enačb takoj nadomestimo s sosednjim sistemom pogojev. Dodatne neenačbe v sistemu dejansko upoštevajo ODZ enačbe, ki jo rešujemo. ODZ lahko najdete ločeno in ga upoštevate pozneje, vendar je bolje uporabiti mešane sisteme pogojev: manjša je nevarnost, da bi kaj pozabili ali ne upoštevali pri reševanju enačbe. Zato je v nekaterih primerih bolj racionalno uporabiti metodo prehoda na mešane sisteme.

Reši enačbo:

odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ta enačba je enakovredna sistemu

odgovor: enačba nima rešitev.

3. metoda. Uporaba lastnosti n-tega korena

Pri reševanju iracionalnih enačb se uporabljajo lastnosti n-tega korena. Aritmetični koren n- th stopnje izmed A pokličite nenegativno številko n- i, katerega moč je enaka A. če n – celo ( 2n), potem je a ≥ 0, sicer koren ne obstaja. če n –Čuden( 2 n+1), potem je a poljuben in = - ..gif" width="45" height="19"> Potem:

2.

3.

4.

5.

Pri formalni uporabi katere od teh formul (brez upoštevanja navedenih omejitev) je treba upoštevati, da ODZ levice in desni deli vsak od njih je lahko drugačen. Na primer, izraz je definiran z f ≥ 0 in g ≥ 0, in izraz je, kot da f ≥ 0 in g ≥ 0, in z f ≤ 0 in g ≤ 0.

Za vsako od formul 1-5 (brez upoštevanja navedenih omejitev) je lahko ODZ njene desne strani širši od ODZ leve. Iz tega sledi, da transformacije enačbe s formalno uporabo formul 1-5 "od leve proti desni" (kot so zapisane) vodijo do enačbe, ki je posledica prvotne. V tem primeru se lahko pojavijo tuji koreni izvirne enačbe, zato je preverjanje obvezen korak pri reševanju izvirne enačbe.

Transformacije enačb s formalno uporabo formul 1-5 "od desne proti levi" so nesprejemljive, saj je mogoče presoditi OD prvotne enačbe in posledično izgubo korenin.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

ki je posledica prvotnega. Reševanje te enačbe se zmanjša na reševanje niza enačb .

Iz prve enačbe tega niza najdemo https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> od koder najdemo. Tako so korenine ta enačba je lahko le številka ( -1) in (-2). Preverjanje pokaže, da oba najdena korena izpolnjujeta to enačbo.

odgovor: -1,-2.

Reši enačbo: .

Rešitev: glede na identitete zamenjajte prvi člen z . Upoštevajte, da kot vsota dveh nenegativna števila leva stran. "Odstranite" modul in po vnosu podobnih členov rešite enačbo. Ker , Dobimo enačbo . Od , nato https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

odgovor: x = 4,25.

4. metoda Uvedba novih spremenljivk

Drug primer reševanja iracionalnih enačb je metoda uvajanja novih spremenljivk, glede na katere dobimo bodisi enostavnejšo iracionalno enačbo bodisi racionalno enačbo.

Reševanje iracionalnih enačb z zamenjavo enačbe z njeno posledico (ki ji sledi preverjanje korenin) je mogoče izvesti na naslednji način:

1. Poiščite ODZ prvotne enačbe.

2. Pojdite od enačbe do njene posledice.

3. Poiščite korenine dobljene enačbe.

4. Preverite, ali so najdene korenine korenine prvotne enačbe.

Preverjanje je naslednje:

A) preveri se pripadnost vsakega najdenega korena izvirni enačbi. Tiste korenine, ki ne pripadajo ODZ, so v prvotni enačbi tuje.

B) za vsak koren, vključen v ODZ izvirne enačbe, se preveri, ali imajo enaki znaki levo in desno stran vsake od enačb, ki nastanejo v procesu reševanja izvirne enačbe in se dvignejo na sodo potenco. Tiste korenine, za katere imajo deli katere koli enačbe, dvignjene na sodo potenco različna znamenja, so tuji izvirni enačbi.

C) samo tisti koreni, ki pripadajo ODZ izvirne enačbe in pri katerih imata obe strani vsake enačbe, ki nastanejo v procesu reševanja izvirne enačbe in se dvignejo na sodo potenco, enake predznake z neposredno zamenjavo v izvirna enačba.

Ta metoda rešitve z določeno metodo preverjanja omogoča, da se izognemo okornim izračunom v primeru neposredne zamenjave vsake najdene korenine zadnje enačbe v prvotno.

Rešite iracionalno enačbo:

.

Kup sprejemljive vrednosti ta enačba:

Če postavimo , po zamenjavi dobimo enačbo

ali enakovredna enačba

ki jo lahko obravnavamo kot kvadratno enačbo glede na. Če rešimo to enačbo, dobimo

.

Zato je nabor rešitev izvirne iracionalne enačbe unija naborov rešitev naslednjih dveh enačb:

, .

Če dvignemo obe strani vsake od teh enačb na kocko, dobimo dve racionalni algebrski enačbi:

, .

Z reševanjem teh enačb ugotovimo, da ima ta iracionalna enačba en sam koren x = 2 (preverjanje ni potrebno, saj so vse transformacije enakovredne).

odgovor: x = 2.

Rešite iracionalno enačbo:

Označimo 2x2 + 5x – 2 = t. Potem bo izvirna enačba dobila obliko . S kvadriranjem obeh strani dobljene enačbe in prinašanjem podobni člani, dobimo enačbo, ki je posledica prejšnje. Iz njega najdemo t=16.

Če se vrnemo k neznanki x, dobimo enačbo 2x2 + 5x – 2 = 16, ki je posledica prvotne. S preverjanjem se prepričamo, da sta njeni korenini x1 = 2 in x2 = - 9/2 korenini prvotne enačbe.

odgovor: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metoda. Identična transformacija enačbe

Pri reševanju iracionalnih enačb ne smete začeti reševati enačbe tako, da dvignete obe strani enačb na naravno potenco, s čimer poskušate reducirati rešitev iracionalne enačbe na rešitev racionalne algebraične enačbe. Najprej moramo videti, ali je mogoče narediti neko identično transformacijo enačbe, ki lahko bistveno poenostavi njeno rešitev.

Reši enačbo:

Niz sprejemljivih vrednosti za to enačbo: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Razdelimo to enačbo z .

.

Dobimo:

Ko je a = 0, enačba ne bo imela rešitev; ko lahko enačbo zapišemo kot

za to enačbo nima rešitev, saj za nobeno X, ki pripada naboru dopustne vrednosti enačbe, izraz na levi strani enačbe je pozitiven;

ko ima enačba rešitev

Ob upoštevanju, da je množica dopustnih rešitev enačbe določena s pogojem , končno dobimo:

Pri reševanju te iracionalne enačbe bo https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> rešitev enačbe. Za vse druge vrednosti X enačba nima rešitev.

PRIMER 10:

Rešite iracionalno enačbo: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Reševanje kvadratne enačbe sistema daje dva korena: x1 = 1 in x2 = 4. Prvi izmed nastalih korenov ne zadošča neenakosti sistema, zato je x = 4.

Opombe

1) Izvajanje identičnih transformacij vam omogoča, da delate brez preverjanja.

2) Neenakost x – 3 ≥0 se nanaša na identične transformacije, in ne na domeno definicije enačbe.

3) Na levi strani enačbe je padajoča funkcija, na desni strani te enačbe pa naraščajoča funkcija. Grafi padajočih in naraščajočih funkcij na presečišču svojih definicijskih domen imajo lahko največ eno skupna točka. Očitno je v našem primeru x = 4 abscisa presečišča grafov.

odgovor: x = 4.

6 metoda. Uporaba domene funkcij za reševanje enačb

Ta metoda je najučinkovitejša pri reševanju enačb, ki vključujejo funkcije https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> in iskanju njenih definicij površin (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, potem morate preveriti, ali je enačba na koncu intervala pravilna in če< 0, а b >0, potem je potrebno preverjanje v intervalih (a;0) in . Najmanjše celo število v E(y) je 3.