Sa është moduli i një numri në matematikë. Si të zgjidhim ekuacionet me modul

Moduli i numrit aështë distanca nga origjina në pikën A(a).

Për të kuptuar këtë përkufizim, le të zëvendësojmë variablin açdo numër, për shembull 3 dhe përpiquni ta lexoni përsëri:

Moduli i numrit 3 është distanca nga origjina në pikën A(3 ).

Bëhet e qartë se moduli nuk është asgjë më shumë se një distancë e zakonshme. Le të përpiqemi të shohim distancën nga origjina në pikën A( 3 )

Largësia nga origjina në pikën A ( 3 ) është e barabartë me 3 (tre njësi ose tre hapa).

Moduli i një numri shënohet me dy vija vertikale, Për shembull:

Moduli i numrit 3 shënohet si më poshtë: |3|

Moduli i numrit 4 shënohet si më poshtë: |4|

Moduli i numrit 5 shënohet si më poshtë: |5|

Ne kërkuam modulin e numrit 3 dhe zbuluam se është i barabartë me 3. Pra, e shkruajmë atë:

Lexohet si: "Moduli i numrit tre është tre"

Tani le të përpiqemi të gjejmë modulin e numrit -3. Përsëri, ne kthehemi te përkufizimi dhe zëvendësojmë numrin -3 në të. Vetëm në vend të një pike A ne përdorim pikë e re B. Ndalesa e plotë A kemi përdorur tashmë në shembullin e parë.

Moduli i numrit - 3 është distanca nga origjina në një pikë B(—3 ).

Distanca nga një pikë në tjetrën nuk mund të jetë negative. Prandaj, moduli i çdo numër negativ, duke qenë një distancë, gjithashtu nuk do të jetë negative. Moduli i numrit -3 do të jetë numri 3. Largësia nga origjina deri në pikën B(-3) është gjithashtu e barabartë me tre njësi:

Lexohet si: "Moduli i minus tre është tre."

Moduli i numrit 0 është i barabartë me 0, pasi pika me koordinatë 0 përkon me origjinën, d.m.th. distanca nga origjina në pikë O(0) barazohet me zero:

"Moduli zero e barabartë me zero»

Ne nxjerrim përfundime:

• Moduli i një numri nuk mund të jetë negativ;
• Për një numër pozitiv dhe zero, moduli është i barabartë me vetë numrin, dhe për një numër negativ - numër i kundërt;
• Numrat e kundërt kanë module të barabarta.

Numra të kundërt

Numrat që ndryshojnë vetëm në shenja quhen përballë. Për shembull, numrat −2 dhe 2 janë të kundërt. Ato ndryshojnë vetëm në shenja. Numri -2 ka një shenjë minus, dhe 2 ka një shenjë plus, por ne nuk e shohim atë, sepse plus, siç thamë më herët, tradicionalisht nuk shkruhet.

Më shumë shembuj të numrave të kundërt:

Numrat e kundërt kanë module të barabarta. Për shembull, le të gjejmë modulet për −2 dhe 2

Figura tregon se distanca nga origjina në pikat A(-2) Dhe B(2)është e barabartë me dy hapa.

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me tonën grup i ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

>>Matematika: Moduli i numrave (rus)

Largësia e pikës M (- 6) nga origjina O është e barabartë me 6 segmente njësi (Fig. 63). Numri 6 quhet moduli i numrit -6.

Ata shkruajnë: |-6|=6.

Moduli i një numri a është distanca (në segmente njësi) nga fillimi koordinatat në pikën A (a).

Moduli i numrit 5 është i barabartë me 5, pasi pika B (5) është 5 larg nga origjina segmente të vetme.

Ata shkruajnë: |5|=5.

Moduli i numrit O është i barabartë me 0, pasi pika me koordinatë 0 përkon me origjinën O, d.m.th., ajo hiqet prej saj me 0 segmente njësi (shih Fig. 63). Ata shkruajnë: |0I=0.

Moduli i një numri nuk mund të jetë negativ. Për pozitive dhe zero është e barabartë me vetë numrin, dhe për negative është e barabartë me numrin e kundërt. Numrat e kundërt kanë module të barabarta: I-aI = |a|.

? Cili është moduli i një numri?

Si të gjeni modulin e një numri pozitiv ose zero?

Si të gjeni modulin e një numri negativ?

A mund të jetë moduli i çdo numri një numër negativ?

TE 934. Gjeni modulin e secilit prej numrave: 81, 1.3; -5,2;
Shkruani barazitë përkatëse.

935. Gjeni vlerën e shprehjes |x|, nëse x= -12.3;

936. Gjeni distancën (në segmente njësi) nga origjina në secilën nga pikat: A (3.7), B (- 7.8), C (- 200),

937. Gjeni kuptimin e shprehjes:

938. Pika A ndodhet 5,8 njësi në të majtë nga origjina dhe pika B shtrihet 9,8 njësi në të djathtë. Cila është koordinata e secilës pikë? Cili është moduli i secilës koordinatë?

939. Gjeni:
a) një numër negativ moduli i të cilit është 25; ; 7.4;

b) një numër pozitiv moduli i të cilit është 12; 1; ; 3.2.

940. Shkruani të gjithë numrat që kanë modul:

941. Dihet se IаI=7. Çfarë është e barabartë me | -a|?

942. Nga dy numra zgjidhni atë moduli i të cilit është më i madh:

P 943. Ndër numrat tregoni çifte: a) numrash të kundërt; b) numrat reciprokë.

944. Njehso me gojë:

945. Cili numër ndodhet djathtas: -2 ose -1; -rrahu -7; 0 ose -4.2; -A -15?

M 946. Figura 64a tregon një kon. Baza e konit është një rreth, dhe zhvillimi i sipërfaqes anësore është një sektor (shih Fig. 64, b). Llogaritni sipërfaqen e konit nëse rrezja eTo e bazës është 3 cm, dhe zhvillimi i sipërfaqes anësore është një sektor me kënd të drejtë, rrezja e këtij sektori është 12 cm deklarata e problemit?

947. Gjeni vlerën e k nëse - k është -3,5; 6.8;
948. Zgjidhe ekuacionin:
949. Nina shpenzoi 4,8 rubla në dyqan. Sa shumë paratë shpenzuar nga Olya, nëse dihet që Nina shpenzoi:
a) me 0.3 fshij. më shumë Olya;
b) me 0,5 fshij. më pak Olya;
c) 2 herë më shumë se Olya;

d) 1.5 herë më pak se Olya;
e) çfarë shpenzoi Olya;
f) çfarë shpenzoi Olya;
g) 0.2 nga ajo që shpenzoi Olya; Olya shpenzoi;
h) 25% e asaj që shpenzoi Olya;
i) me 25% për më tepër, Çfarë

j) 125% e asaj që shpenzoi Olya?

950. Gjeni kuptimin e shprehjes:

951. Shënoni në vijën koordinative numrat modulet e të cilëve janë të barabartë me 3; 8; 1; 3.5; 5.

952. Nga dy numra zgjidhni atë me modul më të madh:

953. Sipërfaqja e fushës së parë është sipërfaqja e fushës së dytë. Me çfarë është e barabartë katrore fusha e dytë, nëse sipërfaqja e së parës është 12.6 hektarë?

954. Çmimi Ivanov është 75% e çmimit Sergeev. Me çfarë është çmimi Sergeev nëse çmimi Ivanov është 73.2 rubla?

955. Shpejtësia e kamionit ishte e njëjtë me atë të një makine pasagjerësh. Gjeni shpejtësinë e makinës nëse shpejtësia e kamionit është 22 km/h më e vogël se shpejtësia e makinës.

956. Rendimenti i pambukut në fushën e parë është 12,5% më pak se rendimenti i pambukut në fushën e dytë. Sa është rendimenti i pambukut në fushën e parë nëse në fushën e dytë është 28 kuintalë për hektar?

957. Gjeni kuptimin e shprehjes

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I Zhokhov, Matematika për klasën e 6-të, Libër mësuesi për shkolla e mesme

Ndihmë për nxënësit online, Matematika për klasën e 6-të shkarko, kalendar dhe planifikim tematik

Një nga më tema të vështira për nxënësit është zgjidhja e ekuacioneve që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e modulit. Le të kuptojmë fillimisht se me çfarë lidhet kjo? Pse, për shembull, shumica e fëmijëve i thyejnë ekuacionet kuadratike si arra, por me këtë është larg nga më e mira? koncept kompleks Si ka kaq shumë probleme moduli?

Sipas mendimit tim, të gjitha këto vështirësi shoqërohen me mungesën e rregullave të formuluara qartë për zgjidhjen e ekuacioneve me një modul. Pra, duke vendosur ekuacioni kuadratik, studenti e di me siguri se fillimisht duhet të zbatojë formulën diskriminuese dhe më pas formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik. Çfarë duhet bërë nëse një modul gjendet në ekuacion? Ne do të përpiqemi të përshkruajmë qartë planin e nevojshëm të veprimit për rastin kur ekuacioni përmban një të panjohur nën shenjën e modulit. Ne do të japim disa shembuj për secilin rast.

Por së pari, le të kujtojmë përcaktimi i modulit. Pra, moduloni numrin a vetë ky numër quhet nëse a jo negative dhe -a, nëse numri a më pak se zero. Mund ta shkruani kështu:

|a| = a nëse a ≥ 0 dhe |a| = -a nëse a< 0

Duke folur për gjeometrikisht modul, duhet mbajtur mend se çdo numër real korrespondon me një pikë të caktuar në boshti numerik- ajo te koordinoj. Pra, moduli ose vlerë absolute numri është distanca nga kjo pikë deri në origjinën e boshtit të numrave. Distanca është specifikuar gjithmonë si një numër pozitiv. Kështu, moduli i çdo numri negativ është një numër pozitiv. Nga rruga, edhe në këtë fazë, shumë studentë fillojnë të hutohen. Moduli mund të përmbajë çdo numër, por rezultati i përdorimit të modulit është gjithmonë një numër pozitiv.

Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në zgjidhjen e ekuacioneve.

1. Konsideroni një ekuacion të formës |x| = c, ku c është një numër real. Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur përkufizimin e modulit.

Të gjitha numra realë Le ta ndajmë në tre grupe: ato që më i madh se zero, ato që janë më të vogla se zero dhe grupi i tretë është numri 0. Zgjidhjen ta shkruajmë në formë diagrami:

(±c, nëse c > 0

Nëse |x| = c, atëherë x = (0, nëse c = 0

(pa rrënjë nëse me< 0

1) |x| = 5, sepse 5 > 0, pastaj x = ±5;

2) |x| = -5, sepse -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, pastaj x = 0.

2. Ekuacioni i formës |f(x)| = b, ku b > 0. Për të zgjidhur këtë ekuacion është e nevojshme të heqësh qafe modulin. E bëjmë në këtë mënyrë: f(x) = b ose f(x) = -b. Tani ju duhet të zgjidhni secilin nga ekuacionet që rezultojnë veç e veç. Nëse në ekuacionin origjinal b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, sepse 4 > 0, atëherë

x + 2 = 4 ose x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, sepse 11 > 0, atëherë

x 2 – 5 = 11 ose x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 pa rrënjë

3) |x 2 – 5x| = -8, sepse -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Një ekuacion i formës |f(x)| = g(x). Sipas kuptimit të modulit, një ekuacion i tillë do të ketë zgjidhje nëse ana e djathtë e tij është më e madhe ose e barabartë me zero, d.m.th. g(x) ≥ 0. Atëherë do të kemi:

f(x) = g(x) ose f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ky ekuacion do të ketë rrënjë nëse 5x – 10 ≥ 0. Këtu fillon zgjidhja e ekuacioneve të tilla.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Zgjidhja:

2x – 1 = 5x – 10 ose 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Bashkojmë O.D.Z. dhe zgjidhja, marrim:

Rrënja x = 11/7 nuk i përshtatet O.D.Z., është më e vogël se 2, por x = 3 e plotëson këtë kusht.

Përgjigje: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Le ta zgjidhim këtë pabarazi duke përdorur metodën e intervalit:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. Zgjidhja:

x – 1 = 1 – x 2 ose x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ose x = 1 x = 0 ose x = 1

3. Bashkojmë tretësirën dhe O.D.Z.:

Vetëm rrënjët x = 1 dhe x = 0 janë të përshtatshme.

Përgjigje: x = 0, x = 1.

4. Ekuacioni i formës |f(x)| = |g(x)|. Ky ekuacion është i barabartë me dy ekuacionet e mëposhtme f(x) = g(x) ose f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ky ekuacion është i barabartë me dy sa vijon:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ose x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ose x = 4 x = 2 ose x = 1

Përgjigje: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ekuacionet e zgjidhura me metodën e zëvendësimit (zëvendësimi i variablave). Kjo metodë zgjidhjet janë më të lehta për t'u shpjeguar shembull specifik. Pra, le të na jepet një ekuacion kuadratik me modul:

x 2 – 6 | x| + 5 = 0. Nga vetia e modulit x 2 = |x| 2, kështu që ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Le të bëjmë zëvendësimin |x| = t ≥ 0, atëherë do të kemi:

t 2 – 6t + 5 = 0. Zgjidhja ekuacioni i dhënë, marrim se t = 1 ose t = 5. Le të kthehemi te zëvendësimi:

|x| = 1 ose |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Përgjigje: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Le të shohim një shembull tjetër:

x 2 + |x| – 2 = 0. Nga vetia e modulit x 2 = |x| 2, pra

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Le të bëjmë zëvendësimin |x| = t ≥ 0, atëherë:

t 2 + t – 2 = 0. Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim t = -2 ose t = 1. Le të kthehemi te zëvendësimi:

|x| = -2 ose |x| = 1

Nuk ka rrënjë x = ± 1

Përgjigje: x = -1, x = 1.

6. Një lloj tjetër ekuacionesh janë ekuacionet me një modul "kompleks". Ekuacione të tilla përfshijnë ekuacione që kanë "module brenda një moduli". Ekuacionet e këtij lloji mund të zgjidhen duke përdorur vetitë e modulit.

1) |3 – |x|| = 4. Do të veprojmë në të njëjtën mënyrë si në ekuacionet e tipit të dytë. Sepse 4 > 0, atëherë marrim dy ekuacione:

3 – |x| = 4 ose 3 – |x| = -4.

Tani le të shprehim modulin x në çdo ekuacion, pastaj |x| = -1 ose |x| = 7.

Ne zgjidhim secilin nga ekuacionet që rezultojnë. Nuk ka rrënjë në ekuacionin e parë, sepse -1< 0, а во втором x = ±7.

Përgjigjuni x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ne e zgjidhim këtë ekuacion në mënyrë të ngjashme:

3 + |x + 1| = 5 ose 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ose x + 1 = -2. Nuk ka rrënjë.

Përgjigje: x = -3, x = 1.

Ekziston gjithashtu një metodë universale për zgjidhjen e ekuacioneve me një modul. Kjo është metoda e intervalit. Por ne do ta shohim më vonë.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Moduli është një nga ato gjëra që të gjithë duket se kanë dëgjuar, por në realitet askush nuk e kupton vërtet. Prandaj sot do të ketë leksion i madh, kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve me modul.

Unë do të them menjëherë: mësimi nuk do të jetë i vështirë. Dhe në përgjithësi, modulet janë një temë relativisht e thjeshtë. “Po, sigurisht, nuk është e komplikuar! Më merr mendjen!” - do të thonë shumë studentë, por të gjitha këto prishje të trurit ndodhin për faktin se shumica e njerëzve nuk kanë njohuri në kokën e tyre, por një lloj katrahure. Dhe qëllimi i këtij mësimi është të kthejë katrahurën në njohuri.

Pak teori

Pra, le të shkojmë. Le të fillojmë me gjënë më të rëndësishme: çfarë është një modul? Më lejoni t'ju kujtoj se moduli i një numri është thjesht i njëjti numër, por merret pa shenjën minus. Kjo është, për shembull, $\left| -5 \djathtas|=5$. Ose $\majtas| -129,5 \djathtas|=129,5$.

A është kaq e thjeshtë? Po, e thjeshtë. Cila është atëherë vlera absolute e një numri pozitiv? Këtu është edhe më e thjeshtë: moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë këtë numër: $\left| 5 \djathtas|=5$; $\majtas| 129,5 \djathtas|=129,5$, etj.

Rezulton një gjë kurioze: numra të ndryshëm mund të ketë të njëjtin modul. Për shembull: $\left| -5 \djathtas|=\majtas| 5 \djathtas|=5$; $\majtas| -129.5 \djathtas|=\majtas| 129,5\djathtas|=129,5$. Është e lehtë të shihet se çfarë lloj numrash janë këta, modulet e të cilëve janë të njëjta: këta numra janë të kundërt. Kështu, vërejmë vetë se modulet e numrave të kundërt janë të barabarta:

\[\majtas| -a \djathtas|=\majtas| a\drejtë|\]

Një tjetër fakt i rëndësishëm: moduli nuk është kurrë negativ. Çfarëdo numri që marrim - qoftë pozitiv apo negativ - moduli i tij gjithmonë rezulton pozitiv (ose si mjet i fundit zero). Kjo është arsyeja pse moduli shpesh quhet vlerë absolute e një numri.

Përveç kësaj, nëse kombinojmë përkufizimin e modulit për një numër pozitiv dhe negativ, marrim një përkufizim global të modulit për të gjithë numrat. Domethënë: moduli i një numri është i barabartë me vetë numrin nëse numri është pozitiv (ose zero), ose i barabartë me numrin e kundërt nëse numri është negativ. Ju mund ta shkruani këtë si formulë:

Ekziston edhe një modul zero, por ai është gjithmonë i barabartë me zero. Përveç kësaj, zero njëjës, e cila nuk ka të kundërtën.

Kështu, nëse marrim parasysh funksionin $y=\left| x \right|$ dhe përpiquni të vizatoni grafikun e tij, do të merrni diçka të tillë:

Grafiku i modulit dhe shembulli i zgjidhjes së ekuacionit

Nga kjo foto është menjëherë e qartë se $\left| -m \djathtas|=\majtas| m \right|$, dhe grafiku i modulit nuk bie kurrë nën boshtin x. Por kjo nuk është e gjitha: vija e kuqe shënon vijën e drejtë $y=a$, e cila, për $a$ pozitive, na jep dy rrënjë njëherësh: $((x)_(1))$ dhe $((x) _(2)) $, por ne do të flasim për këtë më vonë.

Përveç thjesht përkufizim algjebrik, ka gjeometrike. Le të themi se ka dy pika në vijën numerike: $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))$. Në këtë rast, shprehja $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ është thjesht distanca ndërmjet pikave të specifikuara. Ose, nëse preferoni, gjatësia e segmentit që lidh këto pika:

Ky përkufizim nënkupton gjithashtu se moduli është gjithmonë jo negativ. Por mjaft përkufizime dhe teori - le të kalojmë në ekuacione reale.

Formula bazë

Mirë, ne e kemi rregulluar përkufizimin. Por kjo nuk e bëri më të lehtë. Si të zgjidhen ekuacionet që përmbajnë pikërisht këtë modul?

Qetë, vetëm qetësi. Le të fillojmë me gjërat më të thjeshta. Konsideroni diçka si kjo:

\[\majtas| x\djathtas|=3\]

Pra, moduli i $x$ është 3. Me çfarë mund të jetë i barabartë $x$? Epo, duke gjykuar nga përkufizimi, ne jemi mjaft të kënaqur me $x=3$. Vërtet:

\[\majtas| 3\djathtas|=3\]

A ka numra të tjerë? Cap duket se është duke lënë të kuptohet se ka. Për shembull, $x=-3$ është gjithashtu $\left| -3 \djathtas|=3$, d.m.th. plotësohet barazia e kërkuar.

Pra, ndoshta nëse kërkojmë dhe mendojmë, do të gjejmë më shumë numra? Por shkëputeni: më shumë numra Nr. Ekuacioni $\majtas| x \right|=3$ ka vetëm dy rrënjë: $x=3$ dhe $x=-3$.

Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Lëreni funksionin $f\left(x \right)$ të varet nën shenjën e modulit në vend të ndryshores $x$, dhe në vend të treshes në të djathtë vendosim numër arbitrar$a$. Ne marrim ekuacionin:

\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=a\]

Pra, si mund ta zgjidhim këtë? Më lejoni t'ju kujtoj: $f\left(x \right)$ është një funksion arbitrar, $a$ është çdo numër. Ato. Gjithçka fare! Për shembull:

\[\majtas| 2x+1 \djathtas|=5\]

\[\majtas| 10x-5 \djathtas|=-65\]

Le t'i kushtojmë vëmendje ekuacionit të dytë. Mund të thuash menjëherë për të: ai nuk ka rrënjë. Pse? Gjithçka është e saktë: sepse kërkon që moduli të jetë i barabartë me një numër negativ, gjë që nuk ndodh kurrë, pasi ne tashmë e dimë që moduli është gjithmonë një numër pozitiv ose, në raste ekstreme, zero.

Por me ekuacionin e parë gjithçka është më argëtuese. Ka dy opsione: ose ka një shprehje pozitive nën shenjën e modulit, dhe më pas $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ose kjo shprehje është ende negative, dhe më pas $\left| 2x+1 \djathtas|=-\majtas(2x+1 \djathtas)=-2x-1$. Në rastin e parë, ekuacioni ynë do të rishkruhet si më poshtë:

\[\majtas| 2x+1 \djathtas|=5\Djathtas 2x+1=5\]

Dhe befas rezulton se shprehja submodulare $2x+1$ është vërtet pozitive - është e barabartë me numrin 5. Kjo është ne mund ta zgjidhim me siguri këtë ekuacion - rrënja që rezulton do të jetë një pjesë e përgjigjes:

Veçanërisht njerëzit mosbesues mund të përpiqen të zëvendësojnë rrënjën e gjetur në ekuacioni origjinal dhe sigurohuni që ka vërtet një numër pozitiv nën modul.

Tani le të shohim rastin e një shprehje negative submodulare:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& \majtas| 2x+1 \djathtas|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\Rightarrow -2x-1=5 \Shigjeta djathtas 2x+1=-5\]

Oops! Përsëri, gjithçka është e qartë: ne supozuam se $2x+1 \lt 0$, dhe si rezultat morëm atë $2x+1=-5$ - në të vërtetë, kjo shprehje është më pak se zero. Ne zgjidhim ekuacionin që rezulton, ndërsa tashmë e dimë me siguri se rrënja e gjetur do të na përshtatet:

Në total, përsëri morëm dy përgjigje: $x=2$ dhe $x=3$. Po, sasia e llogaritjeve doli të jetë pak më e madhe se në ekuacionin shumë të thjeshtë $\left| x \right|=3$, por asgjë në thelb nuk ka ndryshuar. Pra, ndoshta ekziston një lloj algoritmi universal?

Po, ekziston një algoritëm i tillë. Dhe tani do ta analizojmë.

Heqja e shenjës së modulit

Le të na jepet ekuacioni $\left| f\left(x \right) \right|=a$, dhe $a\ge 0$ (përndryshe, siç e dimë tashmë, nuk ka rrënjë). Pastaj mund të heqësh qafe shenjën e modulit duke përdorur rregullin e mëposhtëm:

\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=a\Shigjeta djathtas f\majtas(x \djathtas)=\pm a\]

Kështu, ekuacioni ynë me një modul ndahet në dy, por pa një modul. Kjo është e gjitha teknologjia! Le të përpiqemi të zgjidhim disa ekuacione. Le të fillojmë me këtë

\[\majtas| 5x+4 \djathtas|=10\Djathtas shigjetë 5x+4=\pm 10\]

Le të shqyrtojmë veçmas kur ka një dhjetë plus në të djathtë, dhe veçmas kur ka një minus. Ne kemi:

\[\fillim(rreshtoj)& 5x+4=10\Djathtas shigjetë 5x=6\Djathtas shigjetë x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Djathtas 5x=-14\Djathtas x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\fund (radhis)\]

Kjo është ajo! Ne morëm dy rrënjë: $x=1.2$ dhe $x=-2.8$. E gjithë zgjidhja mori fjalë për fjalë dy rreshta.

Ok, pa dyshim, le të shohim diçka pak më serioze:

\[\majtas| 7-5x\djathtas|=13\]

Përsëri hapim modulin me plus dhe minus:

\[\fillim(rreshtoj)& 7-5x=13\Djathtas -5x=6\Djathtas x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fund (radhis)\]

Përsëri disa rreshta - dhe përgjigja është gati! Siç thashë, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me modulet. Thjesht duhet të mbani mend disa rregulla. Prandaj, ne vazhdojmë dhe fillojmë me detyra vërtet më komplekse.

Rasti i një ndryshoreje në anën e djathtë

Tani merrni parasysh këtë ekuacion:

\[\majtas| 3x-2 \djathtas|=2x\]

Ky ekuacion është thelbësisht i ndryshëm nga të gjitha ato të mëparshme. Si? Dhe fakti që në të djathtë të shenjës së barazimit është shprehja $2x$ - dhe nuk mund ta dimë paraprakisht nëse është pozitive apo negative.

Çfarë duhet bërë në këtë rast? Së pari, duhet ta kuptojmë një herë e përgjithmonë nëse ana e djathtë e ekuacionit rezulton negative, atëherë ekuacioni nuk do të ketë rrënjë- ne tashmë e dimë se moduli nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

Dhe së dyti, nëse pjesa e djathtë është ende pozitive (ose e barabartë me zero), atëherë mund të veproni saktësisht në të njëjtën mënyrë si më parë: thjesht hapni modulin veçmas me një shenjë plus dhe veçmas me një shenjë minus.

Kështu, ne formulojmë një rregull për funksionet arbitrare $f\left(x \right)$ dhe $g\left(x \right)$:

\[\majtas| f\ majtas(x \djathtas) \djathtas|=g\majtas(x \djathtas)\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& f\majtë(x \djathtas)=\pm g\majtas (x \djathtas ), \\& g\majtas(x \djathtas)\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Në lidhje me ekuacionin tonë marrim:

\[\majtas| 3x-2 \djathtas|=2x\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(radhis)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Epo, ne do të përballojmë disi kërkesën $2x\ge 0$. Në fund, ne mund të zëvendësojmë marrëzi rrënjët që marrim nga ekuacioni i parë dhe të kontrollojmë nëse pabarazia vlen apo jo.

Pra, le të zgjidhim vetë ekuacionin:

\[\fillim(lidh)& 3x-2=2\Djathtas shigjetë 3x=4\Djathtas x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Djathtas shigjetë 3x=0\Djathtas x=0. \\\fund (radhis)\]

Epo, cila nga këto dy rrënjë plotëson kërkesën $2x\ge 0$? Po të dyja! Prandaj, përgjigja do të jetë dy numra: $x=(4)/(3)\;$ dhe $x=0$. Kjo është zgjidhja.

Dyshoj se disa nga studentët tashmë kanë filluar të mërziten? Epo, le të shohim një ekuacion edhe më kompleks:

\[\majtas| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \djathtas|=x-((x)^(3))\]

Edhe pse duket e keqe, në fakt është ende i njëjti ekuacion i formës "moduli është i barabartë me funksionin":

\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=g\majtas(x \djathtas)\]

Dhe zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë:

\[\majtas| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \djathtas|=x-((x)^(3))\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \majtas(x-((x)^(3)) \djathtas), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne do të merremi me pabarazinë më vonë - ajo është disi shumë e keqe (në fakt, është e thjeshtë, por ne nuk do ta zgjidhim atë). Tani për tani, është më mirë të merremi me ekuacionet që rezultojnë. Le të shqyrtojmë rastin e parë - kjo është kur moduli zgjerohet me një shenjë plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Epo, është e kotë që ju duhet të mbledhni gjithçka nga e majta, të sillni të ngjashme dhe të shihni se çfarë ndodh. Dhe kjo është ajo që ndodh:

\[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fund (radhis)\]

Ne e nxjerrim atë shumëzues i përbashkët$((x)^(2))$ jashtë kllapave dhe marrim një ekuacion shumë të thjeshtë:

\[((x)^(2))\majtas(2x-3 \djathtas)=0\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillimi(rreshtoj)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[((x)_(1))=0;\katër ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Këtu kemi përdorur pronë e rëndësishme produkti, për hir të të cilit faktorizuam polinomin origjinal: prodhimi është i barabartë me zero kur të paktën njëri prej faktorëve është i barabartë me zero.

Tani le të merremi me ekuacionin e dytë në të njëjtën mënyrë, i cili përftohet duke zgjeruar modulin me një shenjë minus:

\[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\majtas(x-((x)^(3)) \djathtas); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ majtas(-3x+2 \djathtas)=0. \\\fund (radhis)\]

Përsëri e njëjta gjë: produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Ne kemi:

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Epo, ne morëm tre rrënjë: $x=0$, $x=1.5$ dhe $x=(2)/(3)\;$. Epo, cili nga ky grup do të hyjë në përgjigjen përfundimtare? Për ta bërë këtë, mbani mend se kemi një kufizim shtesë në formën e pabarazisë:

Si të merret parasysh kjo kërkesë? Le të zëvendësojmë vetëm rrënjët e gjetura dhe të kontrollojmë nëse pabarazia vlen për këto $x$ apo jo. Ne kemi:

\[\fillimi(rreshtoj)& x=0\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fund (radhis)\]

Kështu, rrënja $x=1.5$ nuk na përshtatet. Dhe si përgjigje do të ketë vetëm dy rrënjë:

\[((x)_(1))=0;\katër ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Siç mund ta shihni, edhe në këtë rast nuk kishte asgjë të komplikuar - ekuacionet me module zgjidhen gjithmonë duke përdorur një algoritëm. Ju vetëm duhet të keni një kuptim të mirë të polinomeve dhe pabarazive. Prandaj, ne kalojmë në detyra më komplekse - tashmë nuk do të ketë një, por dy module.

Ekuacionet me dy module

Deri tani kemi studiuar vetëm më së shumti ekuacione të thjeshta— kishte një modul dhe diçka tjetër. E dërguam këtë “diçka tjetër” në një pjesë tjetër të pabarazisë, larg modulit, në mënyrë që në fund gjithçka të reduktohej në një ekuacion të formës $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \djathtas)$ ose edhe më e thjeshtë $\left| f\left(x \djathtas) \djathtas|=a$.

Por kopshti i fëmijëve përfundoi - është koha të shqyrtojmë diçka më serioze. Le të fillojmë me ekuacione si kjo:

\[\majtas| f\left(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\left(x \djathtas) \djathtas|\]

Ky është një ekuacion i formës "moduli është i barabartë me modulin". Në thelb pikë e rëndësishmeështë mungesa e termave dhe faktorëve të tjerë: vetëm një modul në të majtë, një modul më shumë në të djathtë - dhe asgjë më shumë.

Dikush tani do të mendojë se ekuacione të tilla janë më të vështira për t'u zgjidhur sesa ato që kemi studiuar deri tani. Por jo: këto ekuacione janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur. Këtu është formula:

\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\majtas(x \djathtas) \djathtas|\Djathtas f\ majtas(x \djathtas)=\pm g\majtas(x \djathtas)\]

Të gjitha! Ne thjesht barazojmë shprehjet nënmodulare duke vendosur një shenjë plus ose minus përpara njërës prej tyre. Dhe pastaj ne zgjidhim dy ekuacionet që rezultojnë - dhe rrënjët janë gati! Asnjë kufizim shtesë, pa pabarazi, etj. Është shumë e thjeshtë.

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë problem:

\[\majtas| 2x+3 \djathtas|=\majtas| 2x-7 \djathtas|\]

Fillore, Watson! Zgjerimi i moduleve:

\[\majtas| 2x+3 \djathtas|=\majtas| 2x-7 \djathtas|\Djathtas 2x+3=\pm \majtas(2x-7 \djathtas)\]

Le të shqyrtojmë secilin rast veç e veç:

\[\fillim(lidh)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\majtas(2x-7 \djathtas)\Djathtas shigjetë 2x+3=-2x+7. \\\fund (radhis)\]

Ekuacioni i parë nuk ka rrënjë. Sepse kur është $3=-7$? Në çfarë vlerash prej $x$? “Çfarë dreqin është $x$? Jeni të vrarë me gurë? Nuk ka fare $x$ atje, "thoni ju. Dhe do të kesh të drejtë. Ne kemi marrë një barazi që nuk varet nga ndryshorja $x$, dhe në të njëjtën kohë barazia në vetvete është e pasaktë. Kjo është arsyeja pse nuk ka rrënjë :)

Me ekuacionin e dytë, gjithçka është pak më interesante, por edhe shumë, shumë e thjeshtë:

Siç mund ta shihni, gjithçka u zgjidh fjalë për fjalë në disa rreshta - ne nuk prisnim asgjë tjetër nga një ekuacion linear.

Si rezultat, përgjigja përfundimtare është: $x=1$.

Pra, si? E veshtire? Sigurisht që jo. Le të provojmë diçka tjetër:

\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|\]

Përsëri kemi një ekuacion të formës $\left| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\left(x \djathtas) \djathtas|$. Prandaj, ne e rishkruajmë menjëherë, duke zbuluar shenjën e modulit:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \majtas(x-1 \djathtas)\]

Ndoshta dikush do të pyesë tani: “Hej, çfarë marrëzie? Pse shfaqet “plus-minus” në shprehjen e djathtë dhe jo në të majtë?” Qetësohu, do të shpjegoj gjithçka tani. Në të vërtetë, në një mënyrë të mirë duhet ta kishim rishkruar ekuacionin tonë si më poshtë:

Pastaj duhet të hapni kllapat, të zhvendosni të gjithë termat në njërën anë të shenjës së barabartë (pasi ekuacioni, padyshim, do të jetë katror në të dyja rastet) dhe më pas gjeni rrënjët. Por ju duhet të pajtoheni: kur "plus ose minus" shfaqet para tre termave (veçanërisht kur njëri prej këtyre termave është shprehje kuadratike), kjo duket disi më e ndërlikuar se situata kur "plus ose minus" shfaqet vetëm para dy termave.

Por asgjë nuk na pengon të rishkruajmë ekuacionin origjinal si më poshtë:

\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|\Djathtas shigjeta \majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\]

Çfarë ndodhi? Asgjë e veçantë: ata thjesht ndryshuan të majtën dhe anën e djathtë në disa vende. Një gjë e vogël që përfundimisht do ta bëjë jetën tonë pak më të lehtë :)

Në përgjithësi, ne e zgjidhim këtë ekuacion, duke marrë parasysh opsionet me një plus dhe një minus:

\[\fillo(rreshtoj)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Shigjeta djathtas ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\majtas(x-1 \djathtas)\Shigjeta djathtas ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fund (radhis)\]

Ekuacioni i parë ka rrënjë $x=3$ dhe $x=1$. E dyta është përgjithësisht një katror i saktë:

\[((x)^(2))-2x+1=((\majtas(x-1 \djathtas))^(2))\]

Prandaj, ajo ka vetëm një rrënjë: $x=1$. Por ne e kemi marrë tashmë këtë rrënjë më herët. Kështu, vetëm dy numra do të hyjnë në përgjigjen përfundimtare:

\[((x)_(1))=3;\katër ((x)_(2))=1.\]

Misioni i kryer! Mund të merrni një byrek nga rafti dhe ta hani. Janë 2 prej tyre, e juaja është e mesme.

Shënim i rëndësishëm. Disponueshmëria rrënjë të njëjta me opsione të ndryshme për zgjerimin e modulit do të thotë që polinomet origjinale janë të faktorizuar dhe midis këtyre faktorëve do të ketë patjetër një të përbashkët. Vërtet:

\[\filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|; \\& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| \majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x-2 \djathtas) \djathtas|. \\\fund (radhis)\]

Një nga vetitë e modulit: $\left| a\cdot b \djathtas|=\majtas| a \djathtas|\cdot \majtas| b \right|$ (d.m.th. moduli i produktit e barabartë me produktin module), kështu që ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|\]

Siç mund ta shihni, ne kemi vërtet një faktor të përbashkët. Tani, nëse mblidhni të gjitha modulet në njërën anë, mund ta hiqni këtë faktor nga kllapa:

\[\filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|; \\& \majtas| x-1 \djathtas|-\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|=0; \\& \majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas(1-\majtas| x-2 \djathtas| \djathtas)=0. \\\fund (radhis)\]

Epo, tani mbani mend se produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero:

\[\majtas[ \filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=0, \\& \majtas| x-2 \djathtas|=1. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Kështu, ekuacioni origjinal me dy module është reduktuar në dy ekuacionet më të thjeshta për të cilat folëm që në fillim të mësimit. Ekuacione të tilla mund të zgjidhen fjalë për fjalë në disa rreshta.

Kjo vërejtje mund të duket e panevojshme komplekse dhe e pazbatueshme në praktikë. Megjithatë, në realitet mund të hasni shumë më tepër detyra komplekse, sesa ato që po analizojmë sot. Në to, modulet mund të kombinohen me polinome, rrënjët aritmetike, logaritme etj. Dhe në situata të tilla, mundësia për të reduktuar shkallë e përgjithshme ekuacionet duke vendosur diçka jashtë kllapave mund të jenë shumë, shumë të dobishme.

Tani do të doja të shikoja një ekuacion tjetër, i cili në pamje të parë mund të duket i çmendur. Shumë studentë ngecin në të, edhe ata që mendojnë se i kuptojnë mirë modulet.

Sidoqoftë, ky ekuacion është edhe më i lehtë për t'u zgjidhur sesa ai që pamë më parë. Dhe nëse e kuptoni pse, do të merrni një mashtrim tjetër zgjidhje e shpejtë ekuacionet me module.

Pra, ekuacioni është:

\[\majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|+\majtas| ((x)^(2))+x-2 \djathtas|=0\]

Jo, kjo nuk është një gabim shtypi: është një plus midis moduleve. Dhe ne duhet të gjejmë në çfarë $x$ shuma e dy moduleve është e barabartë me zero.

Cili është problemi gjithsesi? Por problemi është se çdo modul është një numër pozitiv, ose, në raste ekstreme, zero. Çfarë ndodh nëse shtoni dy numra pozitivë? Natyrisht një numër pozitiv përsëri:

\[\fillim(lidh)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Rreshti i fundit mund t'ju japë një ide: e vetmja herë kur shuma e moduleve është zero është nëse secili modul është zero:

\[\majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|+\majtas| ((x)^(2))+x-2 \djathtas|=0\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& \majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|=0, \\& \majtas| ((x)^(2)+x-2 \djathtas|=0.

Dhe kur moduli është i barabartë me zero? Vetëm në një rast - kur shprehja nënmodulare është e barabartë me zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Djathtas shigjeta \majtas(x+2 \djathtas)\majtas(x-1 \djathtas)=0\Shigjeta djathtas \majtas[ \fillimi(radhis)& x=-2 \\& x=1 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Kështu, kemi tre pika në të cilat moduli i parë rivendoset: 0, 1 dhe −1; si dhe dy pika në të cilat moduli i dytë rivendoset në zero: −2 dhe 1. Megjithatë, ne kemi nevojë që të dy modulet të rivendosen në zero në të njëjtën kohë, kështu që midis numrave të gjetur duhet të zgjedhim ata që përfshihen në të dy grupet. Natyrisht, ekziston vetëm një numër i tillë: $x=1$ - kjo do të jetë përgjigja përfundimtare.

Metoda e ndarjes

Epo, ne kemi mbuluar tashmë një mori problemesh dhe kemi mësuar shumë teknika. A mendoni se kjo është e gjitha? Por jo! Tani do të shikojmë teknikën përfundimtare - dhe në të njëjtën kohë më të rëndësishmen. Do të flasim për ndarjen e ekuacioneve me modul. Për çfarë do të flasim madje? Le të kthehemi pak prapa dhe të shohim një ekuacion të thjeshtë. Për shembull kjo:

\[\majtas| 3x-5 \djathtas|=5-3x\]

Në parim, ne tashmë dimë se si ta zgjidhim një ekuacion të tillë, sepse është një ndërtim standard i formës $\left| f\left(x \djathtas) \djathtas|=g\left(x \djathtas)$. Por le të përpiqemi ta shikojmë këtë ekuacion nga një kënd pak më ndryshe. Më saktësisht, merrni parasysh shprehjen nën shenjën e modulit. Më lejoni t'ju kujtoj se moduli i çdo numri mund të jetë i barabartë me vetë numrin, ose mund të jetë i kundërt me këtë numër:

\[\majtas| a \djathtas|=\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& a,\katër a\ge 0, \\& -a,\katër a \lt 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Në fakt, kjo paqartësi është i gjithë problemi: meqenëse numri nën modul ndryshon (kjo varet nga ndryshorja), nuk është e qartë për ne nëse është pozitiv apo negativ.

Por, çka nëse fillimisht kërkon që ky numër të jetë pozitiv? Për shembull, ne kërkojmë që $3x-5 \gt 0$ - në këtë rast ne jemi të garantuar të marrim një numër pozitiv nën shenjën e modulit, dhe ne mund të shpëtojmë plotësisht nga ky modul:

Kështu, ekuacioni ynë do të kthehet në një linear, i cili mund të zgjidhet lehtësisht:

Vërtetë, të gjitha këto mendime kanë kuptim vetëm nën kushtin $3x-5 \gt 0$ - ne vetë e prezantuam këtë kërkesë në mënyrë që të zbulojmë pa mëdyshje modulin. Prandaj, le të zëvendësojmë $x=\frac(5)(3)$ të gjetur në këtë gjendje dhe kontrollojmë:

Rezulton se kur vlera e specifikuar$x$ kërkesa jonë nuk plotësohet, sepse shprehja doli të jetë e barabartë me zero, dhe ne kemi nevojë që ajo të jetë rreptësisht më e madhe se zero. E trishtueshme :(

Por është në rregull! Në fund të fundit, ekziston një opsion tjetër $3x-5 \lt 0$. Për më tepër: ekziston edhe rasti $3x-5=0$ - kjo gjithashtu duhet të merret parasysh, përndryshe zgjidhja do të jetë e paplotë. Pra, merrni parasysh rastin $3x-5 \lt 0$:

Natyrisht, moduli do të hapet me një shenjë minus. Por pastaj lind situatë e çuditshme: si në të majtë ashtu edhe në të djathtë në ekuacionin origjinal do të dalë e njëjta shprehje:

Pyes veten se në çfarë $x$ shprehja $5-3x$ do të jetë e barabartë me shprehjen $5-3x$? Edhe kapiteni Obviousness do të mbytej në pështymën e tij nga ekuacione të tilla, por ne e dimë: ky ekuacion është një identitet, d.m.th. është e vërtetë për çdo vlerë të ndryshores!

Kjo do të thotë se çdo $x$ do të na përshtatet. Megjithatë, ne kemi një kufizim:

Me fjalë të tjera, përgjigja nuk do të jetë një numër i vetëm, por një interval i tërë:

Së fundi, ka mbetur edhe një rast për t'u marrë parasysh: $3x-5=0$. Gjithçka është e thjeshtë këtu: nën modulin do të ketë zero, dhe moduli i zeros është gjithashtu i barabartë me zero (kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi):

Por pastaj ekuacioni origjinal $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ do të rishkruhet si më poshtë:

Ne e kemi marrë tashmë këtë rrënjë më lart, kur kemi marrë parasysh rastin e $3x-5 \gt 0$. Për më tepër, kjo rrënjë është një zgjidhje për ekuacionin $3x-5=0$ - ky është kufizimi që ne vetë kemi prezantuar për të rivendosur modulin.

Kështu, përveç intervalit, do të jemi të kënaqur edhe me numrin që shtrihet në fund të këtij intervali:

Përgjigja përfundimtare totale: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \djathtas]$ Nuk është shumë e zakonshme të shohësh një mut në përgjigjen e një ekuacioni mjaft të thjeshtë (në thelb linear) me modulin , Me të vërtetë, mësohu me të: vështirësia e modulit është se përgjigjet në ekuacione të tilla mund të jenë plotësisht të paparashikueshme.

Diçka tjetër është shumë më e rëndësishme: sapo kemi analizuar një algoritëm universal për zgjidhjen e një ekuacioni me një modul! Dhe ky algoritëm përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1. Barazoni çdo modul në ekuacion me zero. Marrim disa ekuacione;
2. Zgjidhini të gjitha këto ekuacione dhe shënoni rrënjët në vijën numerike. Si rezultat, vija e drejtë do të ndahet në disa intervale, në secilën prej të cilave të gjitha modulet zbulohen në mënyrë unike;
3. Zgjidheni ekuacionin origjinal për çdo interval dhe kombinoni përgjigjet tuaja.

Kjo është ajo! Mbetet vetëm një pyetje: çfarë të bëjmë me rrënjët e marra në hapin 1? Le të themi se kemi dy rrënjë: $x=1$ dhe $x=5$. Ata do ta ndajnë vijën numerike në 3 pjesë:

Pra, cilat janë intervalet? Është e qartë se janë tre prej tyre:

1. E majta: $x \lt 1$ — vetë njësia nuk përfshihet në interval;
2. Qendrore: $1\le x \lt 5$ - këtu një përfshihet në interval, por pesë nuk përfshihen;
3. E drejta: $x\ge 5$ - pesë përfshihen vetëm këtu!

Unë mendoj se ju tashmë e kuptoni modelin. Çdo interval përfshin skajin e majtë dhe nuk përfshin të djathtën.

Në pamje të parë, një hyrje e tillë mund të duket e papërshtatshme, e palogjikshme dhe në përgjithësi një lloj e çmendur. Por më besoni: pas një praktike të vogël, do të zbuloni se kjo qasje është më e besueshme dhe nuk ndërhyn në hapjen e paqartë të moduleve. Është më mirë të përdorësh një skemë të tillë sesa të mendosh çdo herë: jepni fundin majtas/djathtas në intervalin aktual ose "hedhe" atë në tjetrin.